三角函数平面向量一题多解 28题89解

题目及解答(a+-证法二：由正弦定理，sina b c A+≥⇒+2<三角函数图像变换问题的2，所以2BD =(0,)πθ∈，所以（2）由0[1,1]41010b a bb a b a >⎧⎪⎪-∉-⎪⎨⎪-+≥⎪++≥⎪⎩得44a b a b <->或若4,a b <-则302a b b +<-<<；若4,a b >则由10b a ++≥得1413b a b b <≤+⇒<，故51223a b b +≤+<<． （3）由20[1,1]442(1)0b a b a b b >⎧⎪⎪-∈-⎨⎪∆=-⨯-+≤⎪⎩得2218()22a b +-≤， 由柯西不等式，2222291112[8()]1()8282a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯≥+-+≥+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故13222a b a b +-≤⇒+≤， 当且仅当2218()2218()2a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即4323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，此时满足1[1,1]42a b -=-∈-． 综上，a b +的最大值为2.第6题 三角形内角平分线定理的2种证法三角形内角平分线定理：△ABC 中，AD 平分BAC ∠交边BC 于D ，则AB DB AC DC=． 证法一：初中平面几何证法 利用平行线分线段成比例 证明：过D 作DE AC交AB 于E ，则ADE DAC ∠=∠，又DAE DAC ∠=∠，所以DAE DAC ∠=∠，所以AE DE =，又由DE AC 得，DB EB EB AB DC EA ED AC ===，所以AB DBAC DC =． 证法二：高中三角证法 正弦定理法 证明：在△ABD 和△ACD 中，sin sin AB ADBBD BAD ∠=∠， sin sin AC ADCCD CAD∠=∠， 而BAD CAD ∠=∠，ADB ADC π∠+∠=，所以sin sin ,BAD CAD ∠=∠sin sin ,ADB ADC ∠=∠所以AB DBAC DC=． 说明：还可以利用面积法第7题 三角形重心定理的2种证法三角形重心定理：三角形的三条中线交于一点，该点到每个顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的2倍．如图，AD BE CF 、、是△ABC 的三条中线，则它们交于一点G ，且2AG BG CGGD GE GF===. 证法一：初中平面几何证法，构造三角形中位线法连接EF ，由已知EF 为△ABC 的中位线， 所以,EFBC 12EF BC =， 设CF BE 、交于1G ，则再由EFBC 得11112BG CG BCG E G F EF===，同理可证AD BE 、的交点2G 满足同样的性质，所以12G G 、重合于G ，且2AG BG CGGD GE GF=== 证法二：高中向量几何证法，利用相等向量法在中线AD 上取点1G 满足112AG G D=，则112AG G D =，于是123AG AD =，又D 为BC 中点，所以1()2AD AB AC =+，所以11()3AG AB AC =+， 对于平面ABC 内任意点O ，11()3OG OA OB OA OC OA -=-+-所以11()3OG OA OB OC =++，同理在中线BE 上取点2G 满足222BG G E=，则21()3OG OA OB OC =++，在中线CF 上取点3G 满足332CG G F=，则31()3OG OA OB OC =++， 所以123OG OG OG ==，所以123G G G 、、重合于G 且 2.AG BG CG GD GE GF===第8题 垂心定理的2种证法若AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，则AD 、BE 、CF 相交于一点H ．H 叫做△ABC 的垂心．证法一：初中平面几何证法，运用四点共圆性质证明：设△ABC 的两条高AD 、BE 相交于点H ，连结CH 交AB 于点F ． ∵AD ⊥BC 于E ，BE ⊥AC 于E ，∴A 、B 、D 、E 四点共圆，∴∠1＝∠ABE ， 同理∠2＝∠1，∴∠2＝∠ABE ， ∵∠ABE+∠BAC ＝90°， ∴∠2+∠BAC ＝90°即CF ⊥AB ．证法二：高中解析几何法，坐标法如图，以直线BC 为x 轴，高AD 为y 轴，建立直角坐标系， 设A(0 , a) , B(b , 0) , C(c , 0)，由两条直线垂直的条件1,BE AC ck k a =-=1,CF AB b k k a=-=则三条高的直线方程为：解（2）和（3）得()(),c bx b x c aa-=-()0b c x -=，)0,0(><≠c b c b∴0=x ，这说明BE 和CF 得交点在AD 上，所以三角形的三条高相交于一点。

第9题 勾股定理的2种证法勾股定理：直角三角形ABC 中，90ACB∠=，则222BCAC AB +=.证法1：初中平面几何证法，构造正方形法做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD. 过C 作CL ⊥DE ， 交AB 于点M ，交DE 于点 L.∵ AF = AC ，AB = AD ，∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a ，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积 = 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积∴ 222b a c += ，即222BC AC AB +=因为AB CB CA =-，所以证法2：高中向量几何证法，利用数量积法22()AB CB CA =-222CB CB CA CA=-+又CB CA ⊥，所以0CBCA =，所以222AB CB CA=+，即222||||||AB CB CA =+，即222BC AC AB +=．第10题 梯形中位线定理的2种证法cba cb a ABCD EFGH MLKAD 0(1)BE ()(2)CF ()(3)x cy x b a by x c a==-=-：：：梯形中位线定理 若E 、F 分别是梯形ABCD 的腰AD 、BC 的中点，则EF ∥AB ∥CD 且1()2EFAB CD =+. 证法1：初中平面几何证法，构造三角形中位线法证明：延长DF 到G ，使FG DF =，又BF FC =，DFC BFG ∠=∠所以DFC GFB ∆≅∆， 所以DF FG =，又E 为AD 中点， 所以 1,2EF AG EF AG = ，又,,DC BG DC BG =所以EF ∥AB ∥CD ,且1()2EFAB CD =+． 证法2: 高中向量几何证法，利用共线向量法，最好利用向量加法的多边形法则 证明：因为EFED DC CF =++，EF EA AB BF =++，又0,0,ED EA FC FB +=+= 2EF AB DC =+，又AB DC ，所以设(0)AB DC λλ=>，则1(1)2EFDC λ=+， 所以EFDC ，所以EF AB ，所以EF ∥AB ∥CD ，又可得，又可得11||(1)||(||||)22EF DC AB DC λ=+=+即1()2EF AB CD =+．即1()2EF AB CD =+.第11题 正弦定理的5种证明方法在⊿ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，则,sin sin sin a b cA B C==这就是正弦定理． 在这个定理的证明过程中蕴涵着丰富的几何意义．为了简单,仅以锐角三角形为例作简要说明．直角三角形的情形非常简单, 钝角三角形的情形与锐角三角形类似． 证法一 三角形高法2ac =cos(cos(CD b CD 因为AB =CB CA -,所以CB CA -)•CD , cos(cos(CD b CD sin sin .a B b A =所以a b=． b c=．证法三 解析几何法如图建立平面直角坐标系，使A 点在x 轴上方，由三角函数的定义，无论ACB ∠是直角、锐角还是钝角，都有(cos ,sin )A b C b C ，又(,0)B a 两点的距离公式，22||(cos )(sin 0)c AB b C a b C ==-+-，两边平方得222222sin cos 2cos c b C a b C ab C =++-，即2222cos c a b ab C =+-.第13题 求数量积的2种方法例1若等边△ABC 的边长为32，平面内一点M 满足1263CM CB CA =+，则MB NA ⋅ ＝__________.思路点拨：一种方法是建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算即可; 另一种方法是将MB MA ,用CB CA ,表示,然后用数量积的定义计算. 方法一:以BC 的中点为原点，BC 所在直线为x 轴建立如图(1)所示的 平面直角坐标系，根据题设条件可知)0,3(),0,3(),3,0(C B A - 设),(y x M ，则)3,3(),0,32(),,3(-=-=-=CA CB y x CM由CA CB CM 3261+=得： )2,3()3,3(32)0,32(61),3(-=-+-=-y x2,0==∴y x ，∴点M 的坐标为)2,0(，(0,1),(3,2)MA MB ∴==--2-=⋅∴MB MA . 方法二：由于1211()6336MA CA CM CA CB CA CA CB =-=-+=- CB CA CA CB CB CM CB MB 6532)3261(+-=+-=-==⋅∴MB MA ⋅-)6131(CB CA 2225275()3691836CA CB CA CA CB CB -+=-+⋅-又ABC ∆是边长为32的等边三角形， 6,1222=⋅==∴CB CA CB CA ，21236561871292-=⨯-⨯+⨯-=⋅∴MB MA B(a,0)图3CA （bcosC,bsinC ）图(1)第14题 求数量积的2种方法例2在正三角形ABC 中，D 是BC 边上的点，AB=3，BD=1，则AB AD ⋅=________. 方法一：如图所示，B=60°，由余弦定理得AD 2=32+12-2×3×1×cos 60°=7, ∴AD=7，再由余弦定理得cos ∠BAD=2223(7)15714237+-=⨯⨯， 所以5715AB AD AB AD cos BAD 37142⋅=⋅∠=⨯⨯=. 方法二：∵AD AB BDAB AD AB (AB BD)=+∴⋅=⋅+， = 22AB AB BD AB AB BD cos 120+⋅=+⋅︒=9+3×1×115()22-=.第15题 一个向量题的4种解法在ABC ∆中，若对于任意t R ∈，||||BA tBC AC -≥，求角.C 解法1：由||||BA tBC AC -≥得：22()BA tBC AC -≥，22222BA t BC tBA BC AC +-⋅≥，即222220t BC tBA BC BA AC -⋅+-≥，所以22224()4()0BA BC BC BA AC ∆=⋅--≤，2222224cos 4()0BA BC B BC BA AC ⋅--≤， 2222cos ()0BA B BA AC --≤，222sin 0BA B AC -+≤，即||||sin AC BA B ≤，sin sin sin B C B ≤，1sin C ≤，又sin 1C ≥，所以sin 1C =，所以2C π=.解法2：由||||BA tBC AC -≥得：22()BA tBC AC -≥，()()0BA tBC AC BA tBC AC -+⋅--≥，2解法3：由|||BA tBC AC -≥2cos tac B b ≥222cos 0t ac Bt b --≥，sin C B ，1sin C ≤，又sin 1C ≥，所以sin 1C =于是原题化为||||DA AC ≥恒成立，根据垂线段最短通过上面两种解法的比较可以看出，利用平面向量的三角形法则和共线向量的意义可以大大缩减运算量，提 三角中的特殊变换与一般变换（2sin()sin()2sin sin A B A B B C ⇒+-=，因为sin()sin 0A B C +=≠，所以sin()sin A B B -=， 又,0,A B B πππ-<-<<<所以A B B -=，即2.A B = 法二：（分析法）考虑先证明sin sin 2A B =，只要证明sin 2sin cos A B B =，只要证明22222a c b a b ac+-=，只要证2222()a c b a c b =+-，注意到由已知22a b bc -=，只要证22()a c b bc c =+，只要证2()a b b c =+，由已知此式成立，所以sin sin 2A B =成立， 所以2A B =或2A B π+=，由2A B π+=结合A B C π++=可得B C b c =⇒=，又2()a b b c =+，所以222a b c =+，所以2A π=，4B C π==，所以2A B =，综上2A B =。