锐角的正切.1锐角三角形
方法 2. .体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问
题.提高解决实际问题的能力.
标
3. 体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.
情感
态度与
1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲. 2. 形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
价值观
重点 理解 tanA 的数学含义和公式。
tanA=BC/AC
（）
tanA=AC/BC
（）
图1
tanA=0.7m tanA=0.7
() ()
图2
边
注意： 1.tanA 是一个完整的
符号，它表示∠A 的正切， 记号里习惯省去角的符号 “∠”.
2.tanA 没有单位，它表 示一个比值，即直角三角形 中∠A 的对边与邻边的比.
3.tanA 不表示“tan” 乘以“A”.
[活动 5]
学生分组小结，各组代
归纳小结 整理反思
表发言交流，教师及时给予
让学生自己小结，有利于
小结：
肯定、赞扬。
培养学生的概括能力，使学生
本节课你有哪些收获？
在活动 5 中教师应重点 自主构建知识体系，养成良好
关注:
的学习习惯。
（1）不同层次学生对本节
知识的掌握情况。
（2）学生对本节课不同方
面的感受。
设置巩固练习、综合运用、拓广探索题，达 到落实新知的目的。
以探究的形式将知识进一步延伸，拓广了 学生的思维。
让学生小结，养成良好的学习习惯。 通过作业，增强学生应用数学的意识，形成 基本技能。
活动 6 布置作业 形成技能
教具
电脑、课件、
问题与情境
课前准备
学具
教学过程设计
师生行为
-1-
补充材料
课件资料
4.初中阶段，我们只学 习直角三角形中，∠A 是锐 角的正切.
5．tanA 的大小只与∠A
的大小有关，而与直角三角
形的大小无关。
质。
通过这组练习，既复习了 正切的定义，又以探究的形式 将知识进一步延伸，拓广了学 生的思维，同时为以后学习三 角函数埋下了伏笔。
-2-
教师出示探究题，引导 学生思考。在学生独立思考 的基础上，组织学生讨论交 流。
从而引出正切的定义
体验如何“做数学”，从中感
定义 在在 Rt△ABC 中，锐 受到数学的力量，促使学生乐
角 A 的对边与邻边的比叫做 于学习。 ∠A 的正切，记作 tanA，即 让学生在讨论过程中学会与
tanA=∠A 的对边/∠A 的邻 他人交流，养成良好的学习品
[活动 3]判断对错:图 1， (1)
板书设计：
§1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一) 1.当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定. 2.正切的定义：在 Rt△ABC 中，锐角 A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比随之确定，这个比叫
做∠A 的正切，记作 tanA，即 tanA＝ A的对边 . A的邻边
注：(1)tanA 的值越大.梯子越陡. (2)坡度通常表示斜坡的倾斜程度，是坡角的正切.坡度越 大，坡面越陡.（3）tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”。
求 tanA 和 tanB 的值.
我们学习数学就是为了更好 地应用数学.
正切在日常生活中的应用 很广泛.例如建筑，工程技术 等.
正切是生活当中用的最多 的三角函数，如刻画物体的倾 斜程度，山的坡度等都往往用 正切，
[例 2] 让学生利用直角三 角形中两边的比，并能够根据 直角三角形的边角关系进行 计算，培养学生的创新能力。
设计意图
[活动 1]
在活动 1 中教师应重点
创设情境 引入课题
[问题 1]在直角三角形中，知 道一边和一个锐角，你能求出 其他的边和角吗?从而引出课 题
关注: (1) 学 生是 否 能 从实 际生 活中发现并提出数学问题。 (2)学生的审美意识及对演
通过熟悉的物体（梯子）， 不仅让学生感受到生活中数 学无处不在，也为后面的探究 活动作好了情感准备。
1.1 锐角正切函数
1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活
教 知识
的联系
2. 能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、
技能
坡度等，能够用正切进行简单的计算。
学
1. 经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清
目 过程与
晰地阐述自己的观点.
-3-
[活动 6] 布置作业 形成技能
作业：
（1）随堂练习 T2
（2）习题 1.1 T1 ,T2
教师布置作业。
在活动 6 中教师应重点 关注:
学生的创新能力和应 用意识。
第(1)题让学生利用正切
来描述山坡的坡度、堤坝的坡
度，增强学生应用数学的意
识。 第(2)题让学生利用直角
三角形中两边的比，并能够根 据直角三角形的边角关系进 行计算，培养学生的创新能 力。
使学生感受到数学与现实 世界的联系，鼓励他们有条理 地进行表达和思考，特别关注 他们对概念的理解.
[例 1]分析：比较甲、乙两 个自动电梯哪一个陡，只需分 别求出 tanα 、tanβ 的值，比 较大小。正切值越大，扶梯就 越陡。
在活动 4 中教师要重点
关注：
（1）学生独立思考、解
决问题的能力。
正切在日常生活中的应 （2）学生在探究过程中
难点 现实情境中理解 tanA 的数学含义，以及公式的应用。
活动流程图
活动 1 创设情境 引入课题 活动 2 合作交流 探索新知 活动 3 反馈练习 落实新知 活动 4 应用延伸 探究思考 活动 5 归纳小结 整理反思
教学流程安排
活动内容和目的
通过“观察——实践——思考——讨论”等 活动，促进师生间合作交流，探索新知。
示图片倾注的情感。
[活动 2] 梯子是日常生活常见的物体， 让学生比较如何比较梯子的 倾斜度，有哪些办法？
“陡”或“平缓”是用
来描述梯子什么的?
教师通过引导学生观
利用这个梯子模型引入，
可以帮助学生直观理解正切
察、讨论，通过步步设 的概念。同时，通过学生主动
问，引发学生思考。
的活动，让学生亲眼目睹数学 过程形象而生动的性质，亲身
用很广泛，例如建筑，工程技 与他人的合作交流意识和
术等.正切经常用来描述山坡 情感。
的坡度、堤坝的坡度.
（3）学生对知识的应用
如图，有一山坡在坡的坡度(即坡角α
的正切——就是 tanα )
[例 2] 在△ABC 中，
∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，
北师版九年级数学下册作业课件 第一章 直角三角形的边角关系 锐角三角函数 第1课时 正切
5．(8 分)(教材 P4 习题 1.1T2 变式)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 tan A
＝5 12
，AB＝26，求 AC 和 BC 的长．
解：∵tan A＝BC ＝ 5 ，∴可设 AC＝12x，BC＝5x，∴AB＝ AC2＋BC2 ＝ AC 12
（12x）2＋（5x）2 ＝13x＝26，∴x＝2，∴AC＝12x＝24，BC＝5x＝10
＋∠ADB ＝90°，∴∠DCE＝∠BAD，∴DCEE ＝tan ∠DCE ＝tan ∠BAD＝13 .设 DE
＝x m，则 CE＝3x m．在 Rt△CDE 中，∵CD2＝CE2＋DE2，∴3.22＝x2＋(3x)2，解
得 x≈1.012，∴CE＝3x≈3.036(m)＞2.8(m)，∴货车能顺利进入地下停车场
(2)∵AD＝ AE2＋DE2 ＝ 62＋82 ＝10，∴AC＝AD＋CD＝10＋8＝18.又∵在
Rt△ABC中，tan A＝BACC ＝43 ，∴BC＝43 AC＝43 ×18＝24，∴tan ∠DBC＝DBCC ＝
8 24
＝13
【素养提升】 16．(14 分)某公园要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示， 其中斜坡的坡度为 1∶3，一楼到地下停车场地面的垂直高度 CD＝3.2 m，一楼到地 平线的距离 BC＝1 m. (1)为保证斜坡的坡度为 1∶3，斜面 AD 的长度应为多少米？(结果精确到 0.01 m， 参考数据： 10 ≈3.16) (2)若给该地下停车场送货的货车的高度为 2.8 m，则按这样的设计能否保证货车 顺利进入地下停车场？请说明理由．
7．(8 分)如图，两架长度分别为 17 m，15 m 的梯子 AB，CD 靠墙摆放，且 BE ＝8 m，DF＝12 m，则哪一架梯子比较陡？请说明理由．
课件锐角三角形复习.ppt
3．证明： △ABC 的面积 S 1 AB AC sin A 2
（其中∠A为锐角）．
4．某商场营业大厅从一层到二层的电梯长为11.65m，坡 角为31º，求一层和二层之间的高差（精确到0.01m）．
5．一艘轮船由西向东航行到B处时，距A岛有30海里，且 A岛在船的北偏东62º的方向，A岛周围10海里的水域有暗 礁，如果轮船不改变航向，那么轮船有触礁的危险吗？
2、 30º 45º 60º 的正弦
tanα
30º
1 2
3 2 3 3
45º
2 2
2 2
1
60º
3 2
1 2
3
3、同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系．
（1） sin2 cos2 1.
（2） tan A sin A . cos A
4、互为余角的正弦、余弦的关系． 设α为锐角，则
解直角三角形依据下列关系式：如图
B
a2 b2 c2. 勾股定理 a
c
∠A+∠B=90º.
sin
A
A的对边 斜边
.
cos
A
A的邻边 斜边
.
C
A
b
tan
A
A的对边 ． A的邻边
其中∠A可以换成∠B．
２、在将解直角三角形应用到实际问题中时，首先要弄清楚 实际问题的情况，找出其中的直角三角形和已知元素；其次 要从已知元素和所求的未知元素，正确选用正弦，或余弦， 或正切；第三要会用计算器进行有关计算．
本章我们主要学习了锐角的正弦、余弦、正切的概念， 以及它们在求解直角三角形和实际生活中的广泛应用． 一、锐角三角形
１、概念． 在直角三角形中，一个锐角为α，则
sin
锐角三角函数(复习巩固)
奇偶性
正弦函数是奇函数（sin(-A) = sinA），余弦函数是偶函数 （cos(-A) = cosA）。
图像特征
正弦和余弦函数的图像是连续的 波浪形曲线，正切函数的图像是 间断的折线。在直角坐标系中， 可以通过五点作图法绘制出这些
函数的图像。
02
三角函数关系式及诱导公 式
同角三角函数关系式
平方关系
锐角三角函数(复习 巩固)
目录
• 锐角三角函数基本概念 • 三角函数关系式及诱导公式 • 三角恒等变换与证明 • 解三角形相关知识点回顾
目录
• 锐角三角函数在几何中应用 • 复习策略与备考建议
01
锐角三角函数基本概念
正弦、余弦、正切定义
正弦（sine）
正切（tangent）
在直角三角形中，锐角的正弦等于对 边长度除以斜边长度，即sinA = a/c。
重点难点突破
在知识体系梳理的基础上，要针对重点难点进行突破。例如，对于正弦、余弦、正切等基本概念的理 解和应用，可以通过多做练习题来加深理解；对于与三角形相关的定理和公式，可以通过分析典型例 题来掌握解题方法。
常见题型分类及解题技巧总结
常见题型分类
锐角三角函数的常见题型包括求值题、证明题、应用题等。在复习时，要对各种题型进行分类，并总结相应的解 题技巧。
05
锐角三角函数在几何中应 用
相似三角形判定定理
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
相似三角形判定定理
如果两个三角形的两组对应角分别相等，则这两个三角形相似。
相似比
相似三角形对应边之间的比值称为相似比。
勾股定理及其逆定理
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
锐角三角函数(正切)
正切函数的单调性
总结词
正切函数在开区间(-π/2, π/2)上是 单调递增的。
详细描述
在区间(-π/2, π/2)内，随着角度的 增加，正切函数的值也会增加。这 意味着在这个区间内，正切函数是 单调递增的。
03
正切函数的应用
在几何学中的应用
计算直角三角形中的边长
通过已知的直角三角形中的两个边长， 使用正切函数可以计算出未知的边长。
总结词
30度角的正切值是三角函数中一个重要的基础值。
详细描述
在直角三角形中，当锐角为30度时，对边与邻边的比值即为正切值。具体地，30度角的正切值等于对边长度除以 邻边长度，结果为$tan 30^circ = frac{sqrt{3}}{3}$。这个值在三角函数计算中经常用到，是三角函数的基础之 一。
05
练习与思考
练习题一：求正切值
总结词
掌握计算方法
详细描述
通过观察锐角三角形的边长关系，理解正切函数的定义，掌握利用已知边长求正切值的方法。
练习题二：判断正切函数的奇偶性
总结词
理解奇偶性
详细描述
通过分析正切函数的定义域和值域， 理解正切函数的奇偶性，掌握判断正 切函数奇偶性的方法。
练习题三：应用正切函数解决实际问题
45度角的正切值
总结词
45度角的正切值是另一个重要的基础值，具有特殊的数学意 义。
详细描述
在直角三角形中，当锐角为45度时，对边与邻边的比值即为 正切值。具体地，45度角的正切值等于对边长度除以邻边长 度，结果为$tan 45^circ = 1$。这个值在三角函数计算中经 常用到，特别是在等腰直角三角形中。
锐角三角函数（正切）
目录
• 引言 • 正切函数的性质 • 正切函数的应用 • 特殊角的正切值 • 练习与思考
锐角三角函数(余弦、正切)
振动与波动
余弦函数在振动和波动的研究中有广泛 应用。例如，简谐振动的位移、速度和 加速度都可以表示为余弦函数的形式。
03
正切函数
正切函数的定义与性质
正切函数的定义
正切函数是锐角三角函数的一种，定义为直角三角形中锐角的对边与邻边的比 值，记作tan(α)，其中α为锐角。
正切函数的性质
正切函数具有连续性、周期性、奇偶性等性质。在区间(0,π/2)和(π/2,π)内，正 切函数是单调递增的，而在区间(-π/2,0)和(π/2,3π/2)内，正切函数是单调递减 的。
01
余弦函数和正切函数的定义
余弦函数和正切函数是锐角三角函数的重要组成部分，它们分别描述了
直角三角形中锐角对应的邻边和斜边的比值，以及锐角对应的对边和邻
边的比值。
02
基本性质和应用
余弦函数和正切函数具有周期性、奇偶性等基本性质，这些性质在解决
几何、物理和工程问题中有着广泛的应用。例如，在计算角度、长度、
工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械工程中，锐 角三角函数用于设计各种 结构，如桥梁、建筑和机 器部件。
控制系统
在控制工程中，锐角三角 函数用于设计和分析控制 系统，以确保系统的稳定 性和性能。
信号处理
在电子和通信工程中，锐 角三角函数用于信号处理， 如滤波、调制和解调等。
06
总结与展望
锐角三角函数的总结
正切函数的图像与周期性
正切函数的图像
正切函数的图像是一条周期函数，其周期为π，且在每一个周期 内，图像呈现出先增后减的趋势。
正切函数的周期性
由于正切函数的周期为π，因此对于任意整数k，tan(x+kπ) = tan(x)，即正切函数在每个周期内具有相同的形状，但位置会随 着k的变化而变化。
1.1锐角三角函数第1课时正切(教案)
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
-正切表的使用：学会查找和利用正切表解决实际问题，这是进行进一步三角函数学习的基础。
-正切函数性质的探索：了解正切函数的周期性、奇偶性等性质，为学习其他三角函数性质打下基础。
举例：通过具体的直角三角形图形，引导学生理解正切值是如何计算的，以及如何判断正切值的正负。
2.教学难点
-正切概念的内化：学生需要将正切概念从具体的直角三角形中抽象出来，内化为一般的数学定义。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正切函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对正切的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了锐角三角函数中的正切概念。我发现学生们对于正切的定义和应用有着不错的理解和接受度，但在具体的计算和应用中，还存在一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加注重以下几个方面：
1.1锐角三角函数第1课时正切（教案）
一、教学内容
《人教版八年级下册数学》第十章“锐角三角函数”第1课时“正切”。本节课主要内容包括以下部分：
1.理解正切的概念：通过对直角三角形的观察，引导学生发现锐角与对边、邻边的比值关系，引出正切函数的定义。
1.1 锐角三角函数 第1课时(教案)-北师大版数学九下
第1节锐角三角函数第1课时正切1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.2.理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义,并能够举例说明.3.能够运用tan A,sin A,cos A表示直角三角形中两边的比.4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.1.经历三个锐角三角函数的探索过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的数学思想.2.在探索锐角三角函数的过程中,初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.1.通过锐角三角函数概念的建立,使学生经历从特殊到一般的认识过程.2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦,从解决实际问题中感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.【重点】1.理解锐角三角函数的意义.2.能利用三角函数解三角形的边角关系.【难点】能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算.3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会解决问题的策略多样性,发展实践能力和创新精神.1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.【重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.【难点】理解正切的意义,并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.自制4个直角三角形纸板.2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.导入一:课件出示:你知道图中建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之日起便由于土层松软而倾斜.【引入】应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.[设计意图]创设新颖、有趣的问题情境,以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.导入二:课件出示:四个规模不同的滑梯A,B,C,D,它们的滑板长(平直的)分别为300cm,250cm,200cm,200cm;滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°.【问题】四个滑梯中哪个滑梯的高度最高[设计意图]利用学生所熟悉的滑梯进行引导,使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯子比较类似,学生的探究思路会比较顺畅.(一)探究新知请同学们看下图,并回答问题.探究一:问题1课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?小组讨论后展示结果:1组:梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角,发现∠ABC>∠EFD,根据倾斜角越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.师:哪组还有不同的判定方法?2组:我们也是认为梯子AB较陡.我们组是分别计算AC与BC的比,ED与FD的比,发现前者的比值大,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.3组:我们组的方法和1组的大致相同,借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过E作EG∥AB 交FD于G,就可以清晰比较∠ABC与∠EFD的大小了.4组:我们组发现这两架梯子的高度相同,水平宽度越小,梯子就越陡,所以我们也认为梯子AB较陡.探究二:问题2课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可.问题3课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎么判断的?多给学生思考和讨论的时间.代表发言:AB和EF的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等,再加上夹角相等,可以判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾斜角相等,所以AB和EF的倾斜度一样.教师引导:我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时,梯子的倾斜度一样,请大家判断一下在问题2与问题3中,两直角边的比值与倾斜度有什么关系?请继续探究下面的问题.问题4课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?教师引导:我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,可能就比较困难了.能不能从上面的探究中得到什么启示呢生讨论后得出:思路1:梯子EF较陡,因为∠EFD>∠ABC,根据倾斜角越大,梯子就越陡.思路2:梯子EF较陡,因为>,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.师生共同总结:在日常的生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB 和EF 的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.做一做:请通过计算说明梯子AB 和EF 哪一个更陡呢?生独立解答,代表展示:∵==,==,<,∴梯子EF 比梯子AB 更陡.[设计意图]通过探究逐层深入的问题,让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程,既对已学知识和生活经验进行了回味和运用,也让学生的思想逐步向本节课的中心“两直角边之比”靠近.[知识拓展]梯子的倾斜程度的判定方法:(1)梯子的倾斜程度和倾斜角有关系,倾斜角越大,梯子就越陡.(2)梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系,铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.(二)再探新知课件出示:【想一想】如图所示,小明想通过测量B 1C 1及AC 1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B 2C 2及AC 2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系生很容易得出两个三角形相似.由生说明理由:∵∠B 2AC 2=∠B 1AC 1,∠B 2C 2A =∠B 1C 1A =90°,∴Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.(2)和有什么关系?由于Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2,所以有=.(3)如果改变B 2在梯子上的位置呢?由此你得出什么结论?生先独立思考后分组讨论.生得出结论:改变B 2在梯子上的位置,铅直高度与水平宽度的比始终相等.想一想:现在如果改变∠A 的大小,∠A 的对边与邻边的比值会改变吗?生讨论得出:∠A 的大小改变,∠A 的对边与邻边的比值会改变.∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关.【总结提升】由于直角三角形中的锐角A 确定以后,它的对边与邻边的比也随之确定,因此我们有如下定义:如图所示,在Rt△ABC 中,如果锐角A 确定,那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做∠A 的正切(tangent ),记作tan A ,即tan A =.当锐角A变化时,tan A的值也随之变化.能力提升:如果∠A+∠B=90°,那么tan A与tan B有什么关系?生讨论得出结论:tan A=,即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.【议一议】前面我们讨论了梯子的倾斜程度,在课本图1-3中,梯子的倾斜程度与tan A有关系吗?学生思考后,统一答案:tan A的值越大,梯子越陡.(反之,梯子越陡,tan A的值越大)[设计意图]此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操作,让学生学会由特殊到一般、数形结合及函数的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.[知识拓展]正切的注意事项:(1)tan A是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.(2)tan A没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.(3)tan A不表示“tan”乘以“A”.(4)初中阶段,我们只学习直角三角形中锐角的正切.(教材例1)如图所示表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?想一想:要判断哪个自动扶梯比较陡,只需求出什么即可?生思考后得出:比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡,只需分别求出tanα,tanβ的值进行比较大小即可,正切值越大,扶梯就越陡.要求学生独立解答,代表展示:解:甲梯中,tanα==.乙梯中,tanβ==.因为tanα>tanβ,所以甲梯更陡.[设计意图]通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度,同时规范学生的解题步骤,培养良好的解题习惯.课件出示:如图所示,有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是: i=tanα==.结论:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),tanα=,即坡度等于坡角的正切.[设计意图]正切在日常生活中的应用很广泛,通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义,密切数学与生活的联系,使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学,为生活服务.[知识拓展]坡度与坡面的关系:坡度越大,坡面越陡.(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=.1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则tan A等于()A.B. C. D.解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tan A=.故选B.2.如图所示,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是()A.B.C.D.解析:认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值,由图可得tan∠AOB=.故选B.3.(2014·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tan A的值是.解析:tan A==.故填.4.河堤横断面如图所示,堤高BC=5m,迎水坡AB的坡度是1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AB的长是.解析:在Rt△ABC中,BC=5,tan A=1∶,∴AC=5,∴AB==10(m).故填10m.第1课时(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=.一、教材作业【必做题】1.教材第4页随堂练习第1,2题.2.教材第4页习题1.1第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tan A的值为()A. B. C. D.2.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000m,则他升高了()A.500mB.200mC.500mD.1000m3.已知斜坡的坡度为i=1∶5,如果这一斜坡的高度为2m,那么这一斜坡的水平距离为m.【能力提升】4.(2015·山西中考)如图所示,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是()A.2B.C.D.5.如图所示,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使点B'与C重合,连接A'B,则tan∠A'BC'的值为.6.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=10cm,BC=9cm,△ABC的面积为27cm2.求tan B的值.7.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图所示).如果改动后电梯的坡面长为13m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.【拓展探究】8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,若AB=13,BC=10,试求tan∠DBC的值.【答案与解析】1.D(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴tan A===.故选D.)2.B(解析:设铅直高度为x m,∵坡度为1∶2,∴水平宽度为2x m,由勾股定理得x2+(2x)2=10002,解得x=200.∴他升高了200m.故选B.)3.10(解析:∵斜坡的坡比是1∶5,∴=.∴=,∴斜坡的水平距离为=10m.故填10.)4.D(解析:如图所示,连接AC,由勾股定理,得AC=,AB=2,BC=,∴△ABC为直角三角形,∴tan B==.故选D.)5.(解析:如图所示,过A'作A'D⊥BC',垂足为D.在等腰直角三角形A'B'C'中,易知A'D是底边上的中线,∴A'D=B'D=.∵BC=B'C',∴tan∠A'BC'===.故填.)6.解:如图所示,过点A作AH⊥BC于H,∵S=27,∴×9×AH=27,∴AH=6.∵AB=10,∴BH===8,∴tan△ABCB===.7.解:在Rt△ADC中,AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132,∴AD=±5(负值不合题意,舍去),∴DC=12.在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,∴BD=5×1.8=9,∴BC=DC-BD=12-9=3(m).答:改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3m.8.解:如图所示,过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点H,F.∵BC=10,AH⊥BC,AB=AC,∴BH=5.∵AB=13,∴AH==12,在Rt△ACH中,AH=12,易知AH∥DF,且D为AC中点,∴DF=AH=6,∴BF=BC=,∴在Rt△DBF中,tan∠DBC==.本节课是三角函数部分的第一节概念教学,教学内容比较抽象,学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践”的认识规律,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生熟悉的实例入手,引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与,并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程,紧紧围绕着函数概念,引出正切概念,再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中,注重了阶段性的反思小结,使学生能够及时总结知识和方法.本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时,学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.对第一个环节的处理力求更加简洁,并大胆放手让学生去探索、去发现,真正让学生成为学习的主人.随堂练习(教材第4页)1.解:能.tan C====.2.解:根据题意,得AB=200,BC=55,则AC===5,所以山的坡度为=≈0.286.习题1.1(教材第4页)1.解:∵BC===12,∴tan A==,tan B==.2.解:∵tan A==,BC=3,∴AC=BC=.4.tan A=.学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务,做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系),在探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定要注意其前提条件——在直角三角形中,找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以通过角度的转化进行求解,同时还要注意数形结合思想的运用.如图所示,设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为h,两侧的坡角分别为α,β.已知h=2m,α=45°,tanβ=,CD=10m.求路基底部AB的宽.〔解析〕如图所示,过D,C分别作下底AB的垂线,垂足分别为E,F.在Rt△ADE和Rt△BCF中,可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE,BF的长,进而可求得AB的值.解:如图所示,过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,∴DE∥CF.∵四边形ABCD为梯形,∴AB∥CD,∴EF=CD=10m.∴四边形DCFE为矩形.在Rt△ADE中,α=45°,DE=h=2m,∴CF=DE=h=2m.在Rt△BCF中,tanβ=,CF=2m,∴BF=2CF=4(m).故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(m).答:路基底部AB的宽为16m.[解题策略]此题主要考查了坡度问题的应用,求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.。
锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数知识点总结一、引言锐角三角函数是数学中的基础知识点，它在解决与直角三角形相关的问题中扮演着重要角色。
本文将总结锐角三角函数的基本概念、性质和公式，以及它们在实际问题中的应用。
二、基本概念1. 锐角：角度小于90度的角。
2. 直角三角形：一个角为90度的三角形。
3. 边的命名：- 对边（Opposite side）：锐角所对的边。
- 邻边（Adjacent side）：锐角旁边的边，但不包括斜边。
- 斜边（Hypotenuse）：直角三角形中最长的边，对直角的两边进行闭合。
4. 锐角三角函数：- 正弦（Sine, sin）：锐角的对边与斜边的比值。
- 余弦（Cosine, cos）：锐角的邻边与斜边的比值。
- 正切（Tangent, tan）：锐角的对边与邻边的比值。
三、基本公式1. 定义公式：- sin(θ) = 对边 / 斜边- cos(θ) = 邻边 / 斜边- tan(θ) = 对边 / 邻边2. 互余关系：- sin(90° - θ) = cos(θ)- cos(90° - θ) = sin(θ)- tan(90° - θ) = cot(θ)3. 基本恒等式：- sin²(θ) + cos²(θ) = 1- 1 + tan²(θ) = sec²(θ)- 1 + cot²(θ) = csc²(θ)4. 特殊角的三角函数值：- sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = √3/3 - sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1- sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3四、应用1. 解直角三角形问题：- 利用三角函数求解边长。
锐角三角函数 第一课时正切
§1.1锐角三角函数（第一课时：正切）学习目标:1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.学习重点:1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.学习难点:理解正切的意义，并用它来表示两边的比.学习方法:引导—探索法.学习过程:一、生活中的数学问题:1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）⑴Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?⑷由此你得出什么结论?三、例题：例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.四、随堂练习：1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗?2、如图，某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55m ，求山的坡度.(结果精确到0.001)3、若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.五、课后练习：1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.2、在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.3、在△ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.4、在Rt △ABC 中,∠C 是直角,∠A、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c,且a=24,c= 25,求tanA 、tanB的值.课堂小结：1.正切的定义2.梯子的倾斜程度和tanA的关系3.利用数形结合的方法，构造直角三角形的意识作业布置：习题1.1 第二题教学反思：希望学生通过经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和现实生活中的联系。
1.1.锐角三角函数1(正切)
A的对边 即 tanA= A的邻边
A tan ['tændʒənt]
∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
tan: tan jin ta
2014.12
定义中应该注意的几个问题: 1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注意数形结 合，构造直角三角形）. 2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号 ；
BC tan A AC BC 5 AC 12 tan A 5 12 AB BC2 AC 2 5 2 12 2 13
2014.12
数学理解
3.观察你的学校、你家或附近的楼梯，哪个更陡？
2014.12
课堂小结
B
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那 么∠A的对边与邻边的比随之确定， ∠A的对边 这个比叫做∠A的正切,记作tanA ┌ A的对边 A ∠A的邻边 C 即 tanA=
B2
A
C2
C1
2014.12
议一议
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有 一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么 山坡的坡度i (即tanα)就是:
60 3 i tan . 100 5 坡面与水平面的夹角(α)称为坡角, 坡面的铅直高度与水平宽度的比称 为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的 正切.
B1C1 B 2C2 AC1 AC2
∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2
B1
B2
B3 A C3
C2
C1
∠A值不变的情况下，从任何位置测出的梯子的铅垂高 度与梯子底部与墙的水平距离的比值一定
2014.12
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与 邻边的比随之确定，这个比叫做∠A的正切(tangent), 记作tanA B