11.1 模糊数学的基本概念与运算
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，
~ A {x A ( x) ,
x U}
~ ~ 前者称为 A 的强 –截集，后者称为 A 的弱 -截
集,有时也把二者统称为 –截集。
2.模糊子集的 -截集的性质
~ ~ ~ ~ ① 若 ，则 A A ， A A ；
② 对于任意 [0,1] ，都有： A A ；
第11章 模糊数学方法
模糊数学的基本概念与运算 模糊聚类分析方法 模糊综合评判方法
在地理学中，模糊现象和模糊概念是大量存 在的。对于地理区划，地理模式识别，资源、环
境及生态评价，区域发展规划与决策，……，等
许多问题的研究，都必然涉及到模糊现象、模糊 概念与模糊逻辑问题。对于这类问题的定量化研 究，模糊数学方法是必不可少的重要工具。
U V {( x, y) x U , y V }
~ R 上的一个模糊子集 称为U到V上的一个模糊关系。
若 ( x, y) U V ，则称 R ( x, y) 为x与y
~ 具有关系 R 的程度。
~ 一般地，也可以记为 R( x, y) 。 ~ 特别地，当U=V时，则称 R 为U中的模
③ 全称关系E：
E E ( x, y) 1
x, y U
x, y U
④ 转置关系或逆关系 RT :
RT RT ( x, y) R ( y, x)
x, y U
（2）模糊关系的合成及其性质
R1 是U到V上的模 设U、V 、W 是三个集合，
R2 是V到W上的模糊关系，则称 R1 R2 糊关系，
~ ~ A B A B ( x) max{ A ( x), B ( x)} A ( x) B ( x) ~ ~ A B AB ( x) min{ A ( x), B ( x)} A ( x) B ( x) x U x U
（2） 模糊子集运算的基本性质
~ ~ ⑥ 对合律： A A
~ ~ ~ ~ ⑦ De Morgan法则： A B AB
~ ~ ~ ~ AB A B
~ ⑧ 常数运算法则： A U U
~ ~ A U A
（二）模糊子集的 -截集及其性质
1.模糊子集的 -截集
~ A {x A ( x) , x U }
如果论域U是有限集时，可以用向量来表示模糊
~ A [1, 2 ,, n ]
（11.1.3）
~ i [0,1](i 1,2,n) 为第i个元素对 A 的 式中，
隶属度。
② 查德表示方法
如果论域U是有限集时，采用查德记号可以将
模糊子集 A 表示为：
n ~ u1 u2 un ui A （11.1.4） x1 x2 xn i 1 xi
~ ~ A 是一个给定的模糊向量：A [a1, a2 ,, am ] ~ A 则称 与R的合成运算
m m m ~ ~ B [b1 , b2 ,, bn ] A R [ (ak rk1 ), (ak rk 2 ),, (ak rkn )] k 1 k 1 k 1
糊关系。
模糊矩阵：
~ 当U和V为有限集合时，模糊关系 R 可以用矩阵表示为：
~ R ( rij ) mn
r11 r21 r m1
r12 r22 rm 2
r1n r2 n rmn
（11.1.9）
rij R ( xi , y j ) ， rij [0,1] ，i 1,2,, m ；j 1,2,, n ；
第1节 模糊数学的基本概念与运算
模糊数学基本知识 应用实例：农业生态气候适宜度模型
一、模糊数学基本知识
（一）模糊子集及其运算 现实世界中并非所有事物和现象都具有明 确的界限 ，没有绝对外延的概念称之为模
糊概念。
它们不能用一般集合论来描述，需要用模
糊集合论去描述。
1.模糊子集及其表示方法
（1）模糊子集 ① 隶属函数。 在经典集合论中，一个元素x和一个集合A之间的 关系只能有 x A 或者 x A 这两种情况。元素与集 合之间的关系可以通过特征函数刻画，每一个集合A 都有一个特征函数 CA ( x) ，其定义为：
1 x A C A ( x) 0 x A
（11.1.1）
I R RI R
③
0 R R0 0
T ( R1 R2 )T R2 R1T
R1 R R2 R ④若 R1 R2 ，则有 R R1 R R2 ，
⑤
⑥
R ( R1 R2 ) R R1 R R2
( R1 R2 ) R ( R1 R) ( R2 R)
即
x, y, z U
[ R ( x, z) R ( z, y)] R ( x, y)
则称R为U中的模糊等价关系。
2.模糊变换
设R是一个给定的模糊矩阵
R ( rij ) mn r11 r12 r1n r21 r22 r2 n r r r mn m1 m 2
⑤
~ பைடு நூலகம் A A ~ ~ A A
~ ~ A A
~ ~ A A
⑥
，
⑦
~ ~ A A
[ 0,1]
（三）模糊关系与模糊变换
1.模糊关系
（1）模糊关系的概念 模糊关系，是一般关系的推广，其定义为：设 U和V是两个普通集合，则U和V的直积
⑦ R ( R1 R2 ) R R1 R R2
( R1 R2 ) R ( R1 R) ( R2 R)
⑧
T ( R1 R2 )T R1T R2
T ( R1 R2 )T R1T R2
⑨
( RT )T R
（3）模糊相似关系与模糊等价关系
连续过程：
S 2 (t )
离散过程：
t[ 0,t0 ]
[ST (t ) S R (t ) S I (t )] t
S 2 (t )
[S
j 1
n
T
(t j ) S R (t j ) S I (t j )] / t j
结构模型：反映了农业生态气候过程的区域差异。 权 重 ai (i 1,2,3) 的选择，旱生和长日照作物区，可适当 增大 a2 ，减小 a3；喜温喜湿作物区，可酌情增大
是一个模糊变量。式中，有 0 b j 1( j 1,2,, n)。
二、应用实例：农业生态气候适宜度模型
农业生态气候适宜度模型 模型应用实例：甘肃黄土高原区农业 生态气候条件分析
（一）农业生态气候适宜度模型
资源模型 ：表示光、水、热组合过程对作物生 长可提供的气候资源。 1 ~ ~ ~ ~ S1 (t ) [ S T (t ) S R (t ) S I (t )] 3 连续过程： 1 S1 (t ) [ S T (t ) S R (t ) S I (t )] / t t[ 0 ,t 0 ] 3 离散过程：
~
式中，绝对不是分式求和，而只是一个记号，
其“分母”表示论域U中的元素，“分子”是相应 元素的隶属度，当隶属度为0时，那一项可不写入。
如果论域U是无限集时，采用查德记号可将模 ~ 糊子集 A 表示为：
~ A
xU
A ( x) x
（11.1.5）
式中：“积分号”不是普通的积分，也不代表 求和，而是表示各个元素与其隶属度对应关系的
一个总括。
2. 模糊子集的运算及其性质
（1）模糊子集的运算
~ 论域U上两个模糊子集 A 和 B 之间的相等、包含
~
关系，以及并、交、补运算，分别定义如下： ~ ~ A B A ( x) B ( x) x U ~ A A ( x) 0 x U ~ ~ A B A ( x) B ( x) x U ~ A A ( x) 1 A ( x ) x U
1 S1 (t ) [ST (t j ) S R (t j ) S I (t j )] / t j j 1 3
n
效能模型 ：反映了光、水、热匹配程度及其对作 物生长的适宜度过程。
~ ~ ~ ~ S 2 (t ) S T (t ) S R (t ) S I (t )
，
~
~
③ 对于任意 [0,1] ，都有：
~ ~ ~ ~ ( A B) A B
~ ~ ~ ~ ， ( A B) A B
④ 对于任意 [0,1]，都有：
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( A B ) A B ( A B) A B ，
0 x 1
（11.1.2）
（11.1.2）式也可以记作 x [0,1] ，其图形如 图11.1.2所示：
图11.1.2
隶属函数 μ（x）
② 模糊子集的定义。 设U是一个给定的论域（即讨论对象的全体范 围）， A : x [0,1] 是U到[0,1]闭区间上的一个映射， 如果对于任何 x U ,都有唯一的 A x [0,1] 与之
④ 吸收律： A ( A B) A
~
~
~
~
~ ~ ~ ~ A ( A B) A
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ A ( B C ) ( A B ) ( A C) ⑤ 分配律： ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ A ( B C ) ( A B) ( A C )
模糊相似关系： 设 R 是 U 中的模糊关系，若它满足如下性 质： ① 自反性： x U ，R ( x, x) 1
R ( x, y) R ( y, x) ② 对称性： x, y U ，
则称R为U中的模糊相似关系。
模糊等价关系：
设R是U中的模糊相似关系，若它满足传递性，
为关系 R1 与 R2 的合成，且规定它为U到W上的
模糊关系，其隶属函数为：
R R ( x, z) [R ( x, y) R ( y, z)]
1 2 1 2
模糊关系的合成，具有如下基本性质： ① 结合律： ( R1 R2 ) R3 R1 ( R2 R3 ) ②
m为U中所含元素的个数，n为V中所含元素的个数。
式中矩阵称为模糊关系矩阵，简称模糊矩阵。在 ~ 不引起混淆的情况下，也可将模糊关系 R 用R表示。
模糊矩阵的几个重要的特殊关系：
① 恒等关系I：
1 x y I I ( x, y) 0 x y x, y U
② 零关系0：
0 0 ( x, y) 0
（11.1.1）式所表示的特征函数的图形，如图11.1.1
所示。经典集合论的特征函数只允许取0或1两个值，
与二值逻辑{0,1}相对应。
C A ( x) 图11.1.1 集合A的特征函数
对于模糊集合，需将二值逻辑{0,1}拓广 到可取[0,1]闭区间上任意的无穷多个值的连续 值逻辑。 因此，必须把特征函数作适当的拓广，就 是隶属函数 x ，它满足：
对应，则该映射便给定了论域U上的一个模糊子
~ ~ ~ A x 称作x对 A 集 A , A 称作 A 的隶属函数， 的隶
属度。
（2）模糊子集的表示方法 模糊子集通常有以下几种表示方法： ① 向量表示方法
~ 子集 A。一般地，若论域为 U x1, x2 ,, xn ，则模 ~ 糊子集 A 可表示为如下向量：
模糊子集的运算，具有如下几个基本性质：
① 幂等律： A A A , A A A
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ A ② 交换律： B B A , A B B A
~
~
~
~
~
~
~ ~ ~ ~ ~ ~ ( A B ) C A (B C) ③ 结合律： ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( A B) C A ( B C )
~ A {x A ( x) ,
x U}
~ ~ 前者称为 A 的强 –截集，后者称为 A 的弱 -截
集,有时也把二者统称为 –截集。
2.模糊子集的 -截集的性质
~ ~ ~ ~ ① 若 ，则 A A ， A A ；
② 对于任意 [0,1] ，都有： A A ；
第11章 模糊数学方法
模糊数学的基本概念与运算 模糊聚类分析方法 模糊综合评判方法
在地理学中，模糊现象和模糊概念是大量存 在的。对于地理区划，地理模式识别，资源、环
境及生态评价，区域发展规划与决策，……，等
许多问题的研究，都必然涉及到模糊现象、模糊 概念与模糊逻辑问题。对于这类问题的定量化研 究，模糊数学方法是必不可少的重要工具。
U V {( x, y) x U , y V }
~ R 上的一个模糊子集 称为U到V上的一个模糊关系。
若 ( x, y) U V ，则称 R ( x, y) 为x与y
~ 具有关系 R 的程度。
~ 一般地，也可以记为 R( x, y) 。 ~ 特别地，当U=V时，则称 R 为U中的模
③ 全称关系E：
E E ( x, y) 1
x, y U
x, y U
④ 转置关系或逆关系 RT :
RT RT ( x, y) R ( y, x)
x, y U
（2）模糊关系的合成及其性质
R1 是U到V上的模 设U、V 、W 是三个集合，
R2 是V到W上的模糊关系，则称 R1 R2 糊关系，
~ ~ A B A B ( x) max{ A ( x), B ( x)} A ( x) B ( x) ~ ~ A B AB ( x) min{ A ( x), B ( x)} A ( x) B ( x) x U x U
（2） 模糊子集运算的基本性质
~ ~ ⑥ 对合律： A A
~ ~ ~ ~ ⑦ De Morgan法则： A B AB
~ ~ ~ ~ AB A B
~ ⑧ 常数运算法则： A U U
~ ~ A U A
（二）模糊子集的 -截集及其性质
1.模糊子集的 -截集
~ A {x A ( x) , x U }
如果论域U是有限集时，可以用向量来表示模糊
~ A [1, 2 ,, n ]
（11.1.3）
~ i [0,1](i 1,2,n) 为第i个元素对 A 的 式中，
隶属度。
② 查德表示方法
如果论域U是有限集时，采用查德记号可以将
模糊子集 A 表示为：
n ~ u1 u2 un ui A （11.1.4） x1 x2 xn i 1 xi
~ ~ A 是一个给定的模糊向量：A [a1, a2 ,, am ] ~ A 则称 与R的合成运算
m m m ~ ~ B [b1 , b2 ,, bn ] A R [ (ak rk1 ), (ak rk 2 ),, (ak rkn )] k 1 k 1 k 1
糊关系。
模糊矩阵：
~ 当U和V为有限集合时，模糊关系 R 可以用矩阵表示为：
~ R ( rij ) mn
r11 r21 r m1
r12 r22 rm 2
r1n r2 n rmn
（11.1.9）
rij R ( xi , y j ) ， rij [0,1] ，i 1,2,, m ；j 1,2,, n ；
第1节 模糊数学的基本概念与运算
模糊数学基本知识 应用实例：农业生态气候适宜度模型
一、模糊数学基本知识
（一）模糊子集及其运算 现实世界中并非所有事物和现象都具有明 确的界限 ，没有绝对外延的概念称之为模
糊概念。
它们不能用一般集合论来描述，需要用模
糊集合论去描述。
1.模糊子集及其表示方法
（1）模糊子集 ① 隶属函数。 在经典集合论中，一个元素x和一个集合A之间的 关系只能有 x A 或者 x A 这两种情况。元素与集 合之间的关系可以通过特征函数刻画，每一个集合A 都有一个特征函数 CA ( x) ，其定义为：
1 x A C A ( x) 0 x A
（11.1.1）
I R RI R
③
0 R R0 0
T ( R1 R2 )T R2 R1T
R1 R R2 R ④若 R1 R2 ，则有 R R1 R R2 ，
⑤
⑥
R ( R1 R2 ) R R1 R R2
( R1 R2 ) R ( R1 R) ( R2 R)
即
x, y, z U
[ R ( x, z) R ( z, y)] R ( x, y)
则称R为U中的模糊等价关系。
2.模糊变换
设R是一个给定的模糊矩阵
R ( rij ) mn r11 r12 r1n r21 r22 r2 n r r r mn m1 m 2
⑤
~ பைடு நூலகம் A A ~ ~ A A
~ ~ A A
~ ~ A A
⑥
，
⑦
~ ~ A A
[ 0,1]
（三）模糊关系与模糊变换
1.模糊关系
（1）模糊关系的概念 模糊关系，是一般关系的推广，其定义为：设 U和V是两个普通集合，则U和V的直积
⑦ R ( R1 R2 ) R R1 R R2
( R1 R2 ) R ( R1 R) ( R2 R)
⑧
T ( R1 R2 )T R1T R2
T ( R1 R2 )T R1T R2
⑨
( RT )T R
（3）模糊相似关系与模糊等价关系
连续过程：
S 2 (t )
离散过程：
t[ 0,t0 ]
[ST (t ) S R (t ) S I (t )] t
S 2 (t )
[S
j 1
n
T
(t j ) S R (t j ) S I (t j )] / t j
结构模型：反映了农业生态气候过程的区域差异。 权 重 ai (i 1,2,3) 的选择，旱生和长日照作物区，可适当 增大 a2 ，减小 a3；喜温喜湿作物区，可酌情增大
是一个模糊变量。式中，有 0 b j 1( j 1,2,, n)。
二、应用实例：农业生态气候适宜度模型
农业生态气候适宜度模型 模型应用实例：甘肃黄土高原区农业 生态气候条件分析
（一）农业生态气候适宜度模型
资源模型 ：表示光、水、热组合过程对作物生 长可提供的气候资源。 1 ~ ~ ~ ~ S1 (t ) [ S T (t ) S R (t ) S I (t )] 3 连续过程： 1 S1 (t ) [ S T (t ) S R (t ) S I (t )] / t t[ 0 ,t 0 ] 3 离散过程：
~
式中，绝对不是分式求和，而只是一个记号，
其“分母”表示论域U中的元素，“分子”是相应 元素的隶属度，当隶属度为0时，那一项可不写入。
如果论域U是无限集时，采用查德记号可将模 ~ 糊子集 A 表示为：
~ A
xU
A ( x) x
（11.1.5）
式中：“积分号”不是普通的积分，也不代表 求和，而是表示各个元素与其隶属度对应关系的
一个总括。
2. 模糊子集的运算及其性质
（1）模糊子集的运算
~ 论域U上两个模糊子集 A 和 B 之间的相等、包含
~
关系，以及并、交、补运算，分别定义如下： ~ ~ A B A ( x) B ( x) x U ~ A A ( x) 0 x U ~ ~ A B A ( x) B ( x) x U ~ A A ( x) 1 A ( x ) x U
1 S1 (t ) [ST (t j ) S R (t j ) S I (t j )] / t j j 1 3
n
效能模型 ：反映了光、水、热匹配程度及其对作 物生长的适宜度过程。
~ ~ ~ ~ S 2 (t ) S T (t ) S R (t ) S I (t )
，
~
~
③ 对于任意 [0,1] ，都有：
~ ~ ~ ~ ( A B) A B
~ ~ ~ ~ ， ( A B) A B
④ 对于任意 [0,1]，都有：
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( A B ) A B ( A B) A B ，
0 x 1
（11.1.2）
（11.1.2）式也可以记作 x [0,1] ，其图形如 图11.1.2所示：
图11.1.2
隶属函数 μ（x）
② 模糊子集的定义。 设U是一个给定的论域（即讨论对象的全体范 围）， A : x [0,1] 是U到[0,1]闭区间上的一个映射， 如果对于任何 x U ,都有唯一的 A x [0,1] 与之
④ 吸收律： A ( A B) A
~
~
~
~
~ ~ ~ ~ A ( A B) A
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ A ( B C ) ( A B ) ( A C) ⑤ 分配律： ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ A ( B C ) ( A B) ( A C )
模糊相似关系： 设 R 是 U 中的模糊关系，若它满足如下性 质： ① 自反性： x U ，R ( x, x) 1
R ( x, y) R ( y, x) ② 对称性： x, y U ，
则称R为U中的模糊相似关系。
模糊等价关系：
设R是U中的模糊相似关系，若它满足传递性，
为关系 R1 与 R2 的合成，且规定它为U到W上的
模糊关系，其隶属函数为：
R R ( x, z) [R ( x, y) R ( y, z)]
1 2 1 2
模糊关系的合成，具有如下基本性质： ① 结合律： ( R1 R2 ) R3 R1 ( R2 R3 ) ②
m为U中所含元素的个数，n为V中所含元素的个数。
式中矩阵称为模糊关系矩阵，简称模糊矩阵。在 ~ 不引起混淆的情况下，也可将模糊关系 R 用R表示。
模糊矩阵的几个重要的特殊关系：
① 恒等关系I：
1 x y I I ( x, y) 0 x y x, y U
② 零关系0：
0 0 ( x, y) 0
（11.1.1）式所表示的特征函数的图形，如图11.1.1
所示。经典集合论的特征函数只允许取0或1两个值，
与二值逻辑{0,1}相对应。
C A ( x) 图11.1.1 集合A的特征函数
对于模糊集合，需将二值逻辑{0,1}拓广 到可取[0,1]闭区间上任意的无穷多个值的连续 值逻辑。 因此，必须把特征函数作适当的拓广，就 是隶属函数 x ，它满足：
对应，则该映射便给定了论域U上的一个模糊子
~ ~ ~ A x 称作x对 A 集 A , A 称作 A 的隶属函数， 的隶
属度。
（2）模糊子集的表示方法 模糊子集通常有以下几种表示方法： ① 向量表示方法
~ 子集 A。一般地，若论域为 U x1, x2 ,, xn ，则模 ~ 糊子集 A 可表示为如下向量：
模糊子集的运算，具有如下几个基本性质：
① 幂等律： A A A , A A A
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ A ② 交换律： B B A , A B B A
~
~
~
~
~
~
~ ~ ~ ~ ~ ~ ( A B ) C A (B C) ③ 结合律： ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( A B) C A ( B C )