[VIP专享]03 第三节 一元线性回归
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《一元线性回归》课件
模型评价
使用评价指标对模型的性能进行评估。
《一元线性回归》PPT课 件
一元线性回归是一种用于探索变量之间关系的统计方法。本课件将介绍一元 线性回归的基本概念、模型、参数估计、模型评估以及Python实现。
一元线性回归-简介
一元线性回归是一种分析两个变量之间线性关系的方法。在这一节中，我们 将介绍一元线性回归的定义、使用场景以及它的重要性。
决定系数
4
方的平均值。
衡量模型对观测值的解释能力，取值范 围从0到1。
一元线性回归-Python实现
导入数据
使用Python的pandas库导入数据集。
划分数据集
将数据集划分为训练集和测试集。
预测结果
使用测试集数据对模型进行预测。
特征工程
选择合适的特征并对其进行处理。
训练模型
使用训练集数据训练线性Байду номын сангаас归模型。
一元线性回归-线性回归模型
1
简单线性回归模型
一个自变量和一个因变量之间的线性关
多元线性回归模型
2
系。
多个自变量和一个因变量之间的线性关
系。
3
线性回归模型的假设
包括线性关系、平均误差为零、误差具 有相同的方差、误差相互独立等。
一元线性回归-模型参数估计
1
最小二乘法
通过最小化观测值和模型预测值之间的平方误差来估计模型参数。
2
矩阵求导
使用矩阵求导的方法来计算模型参数的最优解。
3
梯度下降法
通过迭代的方式逐步优化模型参数，使得模型预测值与观测值之间的差距最小。
一元线性回归-模型评估
1
对模型误差的描述
通过各种指标来描述模型预测值和观测
使用评价指标对模型的性能进行评估。
《一元线性回归》PPT课 件
一元线性回归是一种用于探索变量之间关系的统计方法。本课件将介绍一元 线性回归的基本概念、模型、参数估计、模型评估以及Python实现。
一元线性回归-简介
一元线性回归是一种分析两个变量之间线性关系的方法。在这一节中，我们 将介绍一元线性回归的定义、使用场景以及它的重要性。
决定系数
4
方的平均值。
衡量模型对观测值的解释能力，取值范 围从0到1。
一元线性回归-Python实现
导入数据
使用Python的pandas库导入数据集。
划分数据集
将数据集划分为训练集和测试集。
预测结果
使用测试集数据对模型进行预测。
特征工程
选择合适的特征并对其进行处理。
训练模型
使用训练集数据训练线性Байду номын сангаас归模型。
一元线性回归-线性回归模型
1
简单线性回归模型
一个自变量和一个因变量之间的线性关
多元线性回归模型
2
系。
多个自变量和一个因变量之间的线性关
系。
3
线性回归模型的假设
包括线性关系、平均误差为零、误差具 有相同的方差、误差相互独立等。
一元线性回归-模型参数估计
1
最小二乘法
通过最小化观测值和模型预测值之间的平方误差来估计模型参数。
2
矩阵求导
使用矩阵求导的方法来计算模型参数的最优解。
3
梯度下降法
通过迭代的方式逐步优化模型参数，使得模型预测值与观测值之间的差距最小。
一元线性回归-模型评估
1
对模型误差的描述
通过各种指标来描述模型预测值和观测
一元线性回归分析
y 总体回归模型的均值概念
总体回归函数
·y i4
y01x
样本回归
·y i 3
yˆ0ˆ1x 函数
yi0
· y i0 0 1 x i E y x x i
·y ·y
i i
2 1
0
2019/11/5
xi 朱晋
x
16
• 回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状态
（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。
第2章 一元线性回归分析
• §2.1 ：回归分析及回归模型 • §2.2 ：一元线性模型的参数估计 • §2.3 ：参数估计值的性质及统计推断 • §2.4 ：一元线性模型的统计检验 • §2.5 ：一元线性模型的预测
2019/11/5
朱晋
1
§2.1 ：回归分析及回归模型
一、变量间的关系及回归分析的基本概念 二、总体回归函数 三、随机扰动项 和总体回归模型的基本假设 四、样本回归函数
2019/11/5
朱晋
24
该样本的散点图（scatter diagram)：
1700 1500 1300 Y 1100
900 700 500
0
500
1000
1500 X
2000
2500
3000
样本散点图近似于一条直线，画一条直线以尽可能好地拟
合该散点图，由于样本取自总体，可以该线近似地代表总体回 归线。该线称为样本回归线（sample regression lines），其函 数形式记为：
• 函数形式可以是线性或非线性的。
例2.1中：E(Y|Xi)01Xi 为 一线 性 函数 。 其中，1与 2 为未知然而固定的参数，称为回归系数 （regressioncoefficients） 。
总体回归函数
·y i4
y01x
样本回归
·y i 3
yˆ0ˆ1x 函数
yi0
· y i0 0 1 x i E y x x i
·y ·y
i i
2 1
0
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xi 朱晋
x
16
• 回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状态
（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。
第2章 一元线性回归分析
• §2.1 ：回归分析及回归模型 • §2.2 ：一元线性模型的参数估计 • §2.3 ：参数估计值的性质及统计推断 • §2.4 ：一元线性模型的统计检验 • §2.5 ：一元线性模型的预测
2019/11/5
朱晋
1
§2.1 ：回归分析及回归模型
一、变量间的关系及回归分析的基本概念 二、总体回归函数 三、随机扰动项 和总体回归模型的基本假设 四、样本回归函数
2019/11/5
朱晋
24
该样本的散点图（scatter diagram)：
1700 1500 1300 Y 1100
900 700 500
0
500
1000
1500 X
2000
2500
3000
样本散点图近似于一条直线，画一条直线以尽可能好地拟
合该散点图，由于样本取自总体，可以该线近似地代表总体回 归线。该线称为样本回归线（sample regression lines），其函 数形式记为：
• 函数形式可以是线性或非线性的。
例2.1中：E(Y|Xi)01Xi 为 一线 性 函数 。 其中，1与 2 为未知然而固定的参数，称为回归系数 （regressioncoefficients） 。
《统计基础理论》一元线性回归详解(3)
《统计基础理论》一元线性回归详解(3)
《统计基础理论》一元线性回归详解(3)
相关系数r是衡量x与y线性相关程度的指标。
一般教材中都会附有《相关系数显著性检验表》，表中给出的是相关系数绝对值的临界值。
当计算出的变量x与y的相关系数绝对值大于表中临界值时，才可以判定x与y有线性关系。
通常，当|r|大于表中与α=5%相应的值，但小于表中与α=1%相应的值时，称x与y有显著的线性关系;当|r|大于表中与α=1%相应的值时，称x与y有高度的线性关系;如果|r|小于表中与α=5%相应的值时，就判定x与y没有明显的线性关系。
这种检验方法通常称临界值法，即比较|r|与r(α，n–2)的关系。
(2)方差分析检验法(因涉及数学知识较多，建议同学们了解一下思路即可)
方差分析检验法，属于回归方程的显著性检验，它是对所有参数感兴趣的一种显著性检验。
其检验步骤为：
第一步：提出假设。
第三节 一元线性回
• （1）提出假设： H 0 : β1 = 0; H1 : β1 ≠ 0 • （2）确定显著性水平 α 。 • 根据自由度和给定的显著性水平，查t分布表的理 论临界值 tα / 2 (n − 2) 。 • （3）计算回归系数的t值。 • （4）决策。 • t ˆ > tα / 2 (n − 2) 则拒绝 H 0 ，接受 H1，
1
1、回归系数的显著性检验
• 估计量 S 2 来代替。 ˆ • 但样本为小样本时，回归系数估计量 β1 的标准 化变换值服从t分布，即：
σ 2 是未知的，要用其无偏 一般来说，总体方差
tβˆ =
1
ˆ β1 − β1 Sβˆ
1
~ t (n − 2)
• 式中n为样本容量，n-2为自由度。 •
回归系数显著性检验步骤：
(二)一元线性回归分析的特点 二 一元线性回归分析的特点
• 1、在两个变量之间，必须根据研究目的具体确定哪个 是自变量，哪个是因变量。相关分析不必确定两个变量中 哪个是自变量，哪个是因变量。 2、计算相关系数时，要求相关的两个变量都是随机的； 但是，在回归分析中因变量是随机的，而自变量不是随机 的变量。 3、在没有明显的因果关系的两个变量与y之间，可以 3 y 求得两个回归方程。 4、回归方程的主要作用在于：给出自变量的数值来估 计因变量的可能值。一个回归方程只能做出一种推算，推 算的结果表明变量之间的具体的变动关系。 5、直线回归方程中，自变量的系数称回归系数。回归 系数的符号为正，表示正相关；为负则表示负相关。
ˆ β1 =
n∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi n∑ x − (∑ xi )
2 i 2
ˆ ˆ β 0 = yi − β1 xi
（一）参数 β 0 , β 1 的最小二乘估计
1
1、回归系数的显著性检验
• 估计量 S 2 来代替。 ˆ • 但样本为小样本时，回归系数估计量 β1 的标准 化变换值服从t分布，即：
σ 2 是未知的，要用其无偏 一般来说，总体方差
tβˆ =
1
ˆ β1 − β1 Sβˆ
1
~ t (n − 2)
• 式中n为样本容量，n-2为自由度。 •
回归系数显著性检验步骤：
(二)一元线性回归分析的特点 二 一元线性回归分析的特点
• 1、在两个变量之间，必须根据研究目的具体确定哪个 是自变量，哪个是因变量。相关分析不必确定两个变量中 哪个是自变量，哪个是因变量。 2、计算相关系数时，要求相关的两个变量都是随机的； 但是，在回归分析中因变量是随机的，而自变量不是随机 的变量。 3、在没有明显的因果关系的两个变量与y之间，可以 3 y 求得两个回归方程。 4、回归方程的主要作用在于：给出自变量的数值来估 计因变量的可能值。一个回归方程只能做出一种推算，推 算的结果表明变量之间的具体的变动关系。 5、直线回归方程中，自变量的系数称回归系数。回归 系数的符号为正，表示正相关；为负则表示负相关。
ˆ β1 =
n∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi n∑ x − (∑ xi )
2 i 2
ˆ ˆ β 0 = yi − β1 xi
（一）参数 β 0 , β 1 的最小二乘估计
一元线性回归法linlm
b
x y xy x2 x2
101.8389 ,
a y bx -28.6883
y
[ yi (a bxi )]2 n2
0.931912
利用肖维涅舍弃判据来剔除测量值中带有粗差的数 据，列表如下（n=16时,Cu=2.15)：
y'=a+bxi-Cu·σy
y"=a+bxi+Cu·σy
令Y lห้องสมุดไป่ตู้ y, X x，A lna, B b
则方程可化为：Y A BX
可求得，BA
A B
A B
Alna,Bba b
eA eAA B B
线性方程 y a bx
a y bx
xy x y
,
b
x2 x2
a b. x2
b
n(
x
1 2
x
2
)
.
y
r
xy x y
n 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Cu 2.10 2.13 2.15 2.17 2.20 2.22 2.24 2.26 2.28
n 23 24 25 30 40 50 75 100 200 Cu 2.30 2.31 2.33 2.39 2.49 2.58 2.71 2.81 3.02
最终得到最佳的拟合直线方程(也称回归方程):
y a bx
• 需要考虑的两个问题
* 经验公式是否合适——相关系数 * 测量列是否存在粗差——肖维涅舍弃判据
附：相关系数表和肖维涅系数表
注意
*相关系数 r
1.只有当x和y之间存在线性关系时，拟合的直线才有
意义。
2.为了检验拟合的直线有无意义，引入一个叫相关系 数r来判别，r的定义为:
计量经济学第三章-一元线性回归模型PPT课件
同样地，样本回归函数也有如下的随机形式：
Y i Y ˆi ˆiˆ0ˆ1 X i e i
式中， ei 称为（样本）残差（或剩余）项（residual），是
实际观测值和拟合值的偏差。可看成是 的估i 计量 ˆi 。
由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型， 因此也称为样本回归模型（sample regression model）。
.
7
含义：
回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状 态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。
• 函数形式：
可以是线性或非线性的。 为什么线性形式这么重要？Taylor展开。
将粮食产量看成是播种面积的线性函数时:
E (Y|X i)01X i
为一线性函数。其中，0，1是未知参数，称为
回归系数（regression coefficients）。
.
16
每次抽样都能获得一组样本，就可以拟合一条 样本回归线，因此，样本回归线是随抽样波动 而变化的，可以有许多条，这就决定了SRF不 唯一。
.
6
概念：
在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的 期望轨迹称为总体回归线（population regression line），或更一般地称为总体回归曲 线（population regression curve）。
相应的函数：
E(Y|Xi)f(Xi)
称为（双变量）总体回归函数（population regression function, PRF）。
.
8
注意：线性回归的含义 指的是对参数是线性的
E (cons|inc)01 inc
诸如此类，都是线性回归的范畴。 除此之外，很多模型不能塑造成线性回归模型，就 需要走入非线性回归模型的领域
Y i Y ˆi ˆiˆ0ˆ1 X i e i
式中， ei 称为（样本）残差（或剩余）项（residual），是
实际观测值和拟合值的偏差。可看成是 的估i 计量 ˆi 。
由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型， 因此也称为样本回归模型（sample regression model）。
.
7
含义：
回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状 态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。
• 函数形式：
可以是线性或非线性的。 为什么线性形式这么重要？Taylor展开。
将粮食产量看成是播种面积的线性函数时:
E (Y|X i)01X i
为一线性函数。其中，0，1是未知参数，称为
回归系数（regression coefficients）。
.
16
每次抽样都能获得一组样本，就可以拟合一条 样本回归线，因此，样本回归线是随抽样波动 而变化的，可以有许多条，这就决定了SRF不 唯一。
.
6
概念：
在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的 期望轨迹称为总体回归线（population regression line），或更一般地称为总体回归曲 线（population regression curve）。
相应的函数：
E(Y|Xi)f(Xi)
称为（双变量）总体回归函数（population regression function, PRF）。
.
8
注意：线性回归的含义 指的是对参数是线性的
E (cons|inc)01 inc
诸如此类，都是线性回归的范畴。 除此之外，很多模型不能塑造成线性回归模型，就 需要走入非线性回归模型的领域
课件 一元线性回归
y=7.743x+8.371
求回归直线方程的步骤：
⑴计算平均数 x 与 y ； ⑶计算 ；
2
⑵计算xi与yi的积，求 x
⑷将结果代入公式求 a；
i
yi
xi
⑸用 b y a x 求 b ； ⑹写出回归方程 ．
教材 P 198 A 组
最佳直线的方程即为
这条直线就称作为
回归直线
以直线表示的相关关系就叫做
一元线性关系
一般地，寻求数学公式表达，我们总结出一个普遍适用的式子
回归直线方程 y a bx 其中a、b是待定系数 ˆ
b
n
xi yi nx y , xi nx
2 2
i 1
n
i ⑵在直角坐标系内作出图象．
⑶观察图象中的点有什么特点？
70 60 50 40 30 20 10 0 -5 0
热茶销售量/杯
y=bx+a
5
10
15
20
25 30 最低气温/℃
W(a,b)=(26b+a-20)2+(18b+a-24)2+(13b+a-34)2 + (10b+a-38)2+ (4b+a-50)2+(- b+a-64)2
x y 2 25
设对变量 x，y 有如下观察数据：
4 40 5 48 6 50 7 60 8 75
试写出y对x的回归直线方程
解： x（平均）=16/3 y(平均)=149/3 x(平均)*y（平均）=2384/9 x i y i(总和)=1770 x i2（总和）=194 n=6
得 b=7.743
一元线性回归
2020/2/1
中山学院经济与管理系
4
2.1 模型的建立及其假定条件
2 回归分析的概念 回归分析研究一个变量关于另一个（些）变量的
具体依赖关系的计算方法和理论。
其用意：在于通过后者的已知或设定值，去估计 （或）预测前者的（总体）均值。
2020/2/1
中山学院经济与管理系
5
2.1 模型的建立及其假定条件
一般来说，回归模型的随机误差项中可能包 括如下几项内容。
（1）未在模型中列出的影响y变化的非重要
解释变量。如消费模型中家庭人口数、消 费习惯、物价水平差异等因素的影响都包 括在随机误差项中。
（2）人的随机行为。经济活动都是人参与 的。人的经济行为的变化也会对随机误差 项产生影响。
2020/2/1
中山学院经济与管理系
squares estimators）。
2020/2/1
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2.2 一元线性回归模型的参数估计
3 最小二乘直线的性质
（1）残n 差ei的均值等于0
因为 ei 0 ，所以 e
n
ei
i1
0
i 1
n
（2）残差ei与解释变量xi不相关
n
即
ei xi 0
（3）i1样本回归直线经过点（ x, y ）
y＝33.73＋0.516 x 这一方程表明：父母平均身高每增减一个单位时，其年 子女的身高仅平增减0.516个单位
2020/2/1
中山学院经济与管理系
6
这项研究结果表明，虽然高个子父辈有生高个子儿子
的趋势，矮个子的父辈有生矮个子儿子的趋势，但父辈
身高增减一个单位，儿子身高仅增减半个单位左右。通
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第三节 一元线性回归
在客观世界中, 普遍存在着变量之间的关系.数学的一个重要作用就是从数量上来揭示、 表达和分析这些关系。而变量之间关系, 一般可分为确定的和非确定的两类. 确定性关系可 用函数关系表示, 而非确定性关系则不然.
例如, 人的身高和体重的关系、人的血压和年龄的关系、某产品的广告投入与销售额 间的关系等, 它们之间是有关联的，但是它们之间的关系又不能用普通函数来表示。我们 称这类非确定性关系为相关关系。具有相关关系的变量虽然不具有确定的函数关系，但是 可以借助函数关系来表示它们之间的统计规律，这种近似地表示它们之间的相关关系的函 数被称为回归函数。回归分析是研究两个或两个以上变量相关关系的一种重要的统计方法。
88.8918÷.12990.÷1=4214÷3922=.0034=1÷15251371=8.535.78208÷.0232173c0*0÷1=m920.30392.2c=1÷203m=2÷1202.52=3535=42314)c*5232m40341*.31252=3.*1.153.5*03134.2*920522..104455=+21*3*50202.2.0285.4850.13*50+5c8*125*12m0.2+050.+0*014.852*0051000+0+/038.T+0÷+=55*+1011+010+91÷0145405*00010200+5+0+080+40*04+***115.103910*-%*C%6(+÷*M==5M÷5)0*3*0(31÷3110**5*+*÷414.m2371e=%7)8n08%.=s8.5=77.93cc60.mc*m4*m13,101w9.9o.k24mc-.cem5nm2csp2665m*9..03-4.50c60*5.pc3m85,9cm0.5g.i50mr0l-.p.s85p/6c50bc.0om7m.yp.cs6pc5m+;c0m..m7.ckm; 1+1k+12+1+k2234=1c+m1++4+4+2
1) B2Ak+22+12=+15+c51mc+=5m=2c111++m+12+21+++2=12=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2
★ 引例 ★ 最小二乘估计
★ 例2 ★ 回归方程的检验假设 ★ 回归方程的检验方法
★ 例4 ★ 控制问题
★ 例 6 ★ 课堂练习
内容要点：
一、引例
为研究某国标准普通信件(重量不超过 50 克)的邮资与时间的关系，得到如下数据：
不完全相同的数值，而样本中的 Y1,Y2,,Yn 在试验前为随机变量，在试验或观测后是具体
的数值，一次抽样的结果可以取得 n 对数据 (x1, y1), (x2, y2 ),, (xn , yn ) ，则有
yi 0 1xi i , i 在线性模型中,由假设知
88.8918÷.12990.÷1=4214÷3922=.0034=1÷15251371=8.535.78208÷.0232173c0*0÷1=m920.30392.2c=1÷203m=2÷1202.52=3535=42314)c*5232m40341*.31252=3.*1.153.5*03134.2*920522..104455=+21*3*50202.2.0285.4850.13*50+5c8*125*12m0.2+050.+0*014.852*0051000+0+/038.T+0÷+=55*+1011+010+91÷0145405*00010200+5+0+080+40*04+***115.103910*-%*C%6(+÷*M==5M÷5)0*3*0(31÷3110**5*+*÷414.m2371e=%7)8n08%.=s8.5=77.93cc60.mc*m4*m13,101w9.9o.k24mc-.cem5nm2csp2665m*9..03-4.50c60*5.pc3m85,9cm0.5g.i50mr0l-.p.s85p/6c50bc.0om7m.yp.cs6pc5m+;c0m..m7.ckm; 1+1k+12+1+k2234=1c+m1++4+4+2
在实际中最简单的情形是由两个变量组成的关系。考虑用下列模型表示 Y f (x) . 但
是，由于两个变量之间不存在确定的函数关系，因此必须把随机波动考虑进去，故引入模
型如下
Y f (x)
其中 Y 是随机变量， x 是普通变量， 是随机变量（称为随机误差）。
回归分析就是根据已得的试验结果以及以往的经验来建立统计模型，并研究变量间的
年x
1978 1981 1984 1985 1987 1991 1995 1997 2001 2005 2008
价格 y (单位:元) 0.06 0.08 0.10 0.13 0.15 0.20 0.22 0.25 0.29 0.32 0.33
试研究这些数据所蕴藏的规律性.
二、一元线性回归模型 一般地,当随机变量 Y 与普通变量 x 之间有线性关系时, 可设
相关关系，建立起变量之间关系的近似表达式，即经验公式，并由此对相应的变量进行预
测和控制等。
本节主要介绍一元线性回归模型估计、检验以及相应的预测和控制等问题。
内容分布图示
★ 引言 ★ 一元线性回归模型
★ 例1 ★ 最小二乘估计的性质 ★ 总偏差平方和的分解
★ 例3 ★ 预测问题 ★ 例 5 ★ 可化一元线性回归的情形 ★ 内容小结 ★ 习题 8-3
Y ~ N (0 1x， 2 ), E(Y ) 0 1x
(3)
回归分析就是根据样本观察值寻求 0, 1 的估计 ˆ0 , ˆ1 .
对于给定 x 值, 取
Yˆ ˆ0 ˆ1x
(4)
1) B2Ak+22+12=+15+c51mc+=5m=2c111++m+12+21+++2=12=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2
Y 0 1x ,
（1）
~ N (0, 2 ), 其中 0, 1 为待定系数。
设 (x1,Y1), (x2,Y2 ),, (xn ,Yn ) 是取自总体 (x,Y ) 的一组样本,而
(x1, y1), (x2 , y2 ),, (xn , yn ) 是该样本的观察值,在样本和它的观察值中的 x1, x2 ,, xn 是取定的
在客观世界中, 普遍存在着变量之间的关系.数学的一个重要作用就是从数量上来揭示、 表达和分析这些关系。而变量之间关系, 一般可分为确定的和非确定的两类. 确定性关系可 用函数关系表示, 而非确定性关系则不然.
例如, 人的身高和体重的关系、人的血压和年龄的关系、某产品的广告投入与销售额 间的关系等, 它们之间是有关联的，但是它们之间的关系又不能用普通函数来表示。我们 称这类非确定性关系为相关关系。具有相关关系的变量虽然不具有确定的函数关系，但是 可以借助函数关系来表示它们之间的统计规律，这种近似地表示它们之间的相关关系的函 数被称为回归函数。回归分析是研究两个或两个以上变量相关关系的一种重要的统计方法。
88.8918÷.12990.÷1=4214÷3922=.0034=1÷15251371=8.535.78208÷.0232173c0*0÷1=m920.30392.2c=1÷203m=2÷1202.52=3535=42314)c*5232m40341*.31252=3.*1.153.5*03134.2*920522..104455=+21*3*50202.2.0285.4850.13*50+5c8*125*12m0.2+050.+0*014.852*0051000+0+/038.T+0÷+=55*+1011+010+91÷0145405*00010200+5+0+080+40*04+***115.103910*-%*C%6(+÷*M==5M÷5)0*3*0(31÷3110**5*+*÷414.m2371e=%7)8n08%.=s8.5=77.93cc60.mc*m4*m13,101w9.9o.k24mc-.cem5nm2csp2665m*9..03-4.50c60*5.pc3m85,9cm0.5g.i50mr0l-.p.s85p/6c50bc.0om7m.yp.cs6pc5m+;c0m..m7.ckm; 1+1k+12+1+k2234=1c+m1++4+4+2
1) B2Ak+22+12=+15+c51mc+=5m=2c111++m+12+21+++2=12=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2
★ 引例 ★ 最小二乘估计
★ 例2 ★ 回归方程的检验假设 ★ 回归方程的检验方法
★ 例4 ★ 控制问题
★ 例 6 ★ 课堂练习
内容要点：
一、引例
为研究某国标准普通信件(重量不超过 50 克)的邮资与时间的关系，得到如下数据：
不完全相同的数值，而样本中的 Y1,Y2,,Yn 在试验前为随机变量，在试验或观测后是具体
的数值，一次抽样的结果可以取得 n 对数据 (x1, y1), (x2, y2 ),, (xn , yn ) ，则有
yi 0 1xi i , i 在线性模型中,由假设知
88.8918÷.12990.÷1=4214÷3922=.0034=1÷15251371=8.535.78208÷.0232173c0*0÷1=m920.30392.2c=1÷203m=2÷1202.52=3535=42314)c*5232m40341*.31252=3.*1.153.5*03134.2*920522..104455=+21*3*50202.2.0285.4850.13*50+5c8*125*12m0.2+050.+0*014.852*0051000+0+/038.T+0÷+=55*+1011+010+91÷0145405*00010200+5+0+080+40*04+***115.103910*-%*C%6(+÷*M==5M÷5)0*3*0(31÷3110**5*+*÷414.m2371e=%7)8n08%.=s8.5=77.93cc60.mc*m4*m13,101w9.9o.k24mc-.cem5nm2csp2665m*9..03-4.50c60*5.pc3m85,9cm0.5g.i50mr0l-.p.s85p/6c50bc.0om7m.yp.cs6pc5m+;c0m..m7.ckm; 1+1k+12+1+k2234=1c+m1++4+4+2
在实际中最简单的情形是由两个变量组成的关系。考虑用下列模型表示 Y f (x) . 但
是，由于两个变量之间不存在确定的函数关系，因此必须把随机波动考虑进去，故引入模
型如下
Y f (x)
其中 Y 是随机变量， x 是普通变量， 是随机变量（称为随机误差）。
回归分析就是根据已得的试验结果以及以往的经验来建立统计模型，并研究变量间的
年x
1978 1981 1984 1985 1987 1991 1995 1997 2001 2005 2008
价格 y (单位:元) 0.06 0.08 0.10 0.13 0.15 0.20 0.22 0.25 0.29 0.32 0.33
试研究这些数据所蕴藏的规律性.
二、一元线性回归模型 一般地,当随机变量 Y 与普通变量 x 之间有线性关系时, 可设
相关关系，建立起变量之间关系的近似表达式，即经验公式，并由此对相应的变量进行预
测和控制等。
本节主要介绍一元线性回归模型估计、检验以及相应的预测和控制等问题。
内容分布图示
★ 引言 ★ 一元线性回归模型
★ 例1 ★ 最小二乘估计的性质 ★ 总偏差平方和的分解
★ 例3 ★ 预测问题 ★ 例 5 ★ 可化一元线性回归的情形 ★ 内容小结 ★ 习题 8-3
Y ~ N (0 1x， 2 ), E(Y ) 0 1x
(3)
回归分析就是根据样本观察值寻求 0, 1 的估计 ˆ0 , ˆ1 .
对于给定 x 值, 取
Yˆ ˆ0 ˆ1x
(4)
1) B2Ak+22+12=+15+c51mc+=5m=2c111++m+12+21+++2=12=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2
Y 0 1x ,
（1）
~ N (0, 2 ), 其中 0, 1 为待定系数。
设 (x1,Y1), (x2,Y2 ),, (xn ,Yn ) 是取自总体 (x,Y ) 的一组样本,而
(x1, y1), (x2 , y2 ),, (xn , yn ) 是该样本的观察值,在样本和它的观察值中的 x1, x2 ,, xn 是取定的