第四章一元线性回归汇总
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《一元线性回归》课件
模型评价
使用评价指标对模型的性能进行评估。
《一元线性回归》PPT课 件
一元线性回归是一种用于探索变量之间关系的统计方法。本课件将介绍一元 线性回归的基本概念、模型、参数估计、模型评估以及Python实现。
一元线性回归-简介
一元线性回归是一种分析两个变量之间线性关系的方法。在这一节中，我们 将介绍一元线性回归的定义、使用场景以及它的重要性。
决定系数
4
方的平均值。
衡量模型对观测值的解释能力，取值范 围从0到1。
一元线性回归-Python实现
导入数据
使用Python的pandas库导入数据集。
划分数据集
将数据集划分为训练集和测试集。
预测结果
使用测试集数据对模型进行预测。
特征工程
选择合适的特征并对其进行处理。
训练模型
使用训练集数据训练线性Байду номын сангаас归模型。
一元线性回归-线性回归模型
1
简单线性回归模型
一个自变量和一个因变量之间的线性关
多元线性回归模型
2
系。
多个自变量和一个因变量之间的线性关
系。
3
线性回归模型的假设
包括线性关系、平均误差为零、误差具 有相同的方差、误差相互独立等。
一元线性回归-模型参数估计
1
最小二乘法
通过最小化观测值和模型预测值之间的平方误差来估计模型参数。
2
矩阵求导
使用矩阵求导的方法来计算模型参数的最优解。
3
梯度下降法
通过迭代的方式逐步优化模型参数，使得模型预测值与观测值之间的差距最小。
一元线性回归-模型评估
1
对模型误差的描述
通过各种指标来描述模型预测值和观测
使用评价指标对模型的性能进行评估。
《一元线性回归》PPT课 件
一元线性回归是一种用于探索变量之间关系的统计方法。本课件将介绍一元 线性回归的基本概念、模型、参数估计、模型评估以及Python实现。
一元线性回归-简介
一元线性回归是一种分析两个变量之间线性关系的方法。在这一节中，我们 将介绍一元线性回归的定义、使用场景以及它的重要性。
决定系数
4
方的平均值。
衡量模型对观测值的解释能力，取值范 围从0到1。
一元线性回归-Python实现
导入数据
使用Python的pandas库导入数据集。
划分数据集
将数据集划分为训练集和测试集。
预测结果
使用测试集数据对模型进行预测。
特征工程
选择合适的特征并对其进行处理。
训练模型
使用训练集数据训练线性Байду номын сангаас归模型。
一元线性回归-线性回归模型
1
简单线性回归模型
一个自变量和一个因变量之间的线性关
多元线性回归模型
2
系。
多个自变量和一个因变量之间的线性关
系。
3
线性回归模型的假设
包括线性关系、平均误差为零、误差具 有相同的方差、误差相互独立等。
一元线性回归-模型参数估计
1
最小二乘法
通过最小化观测值和模型预测值之间的平方误差来估计模型参数。
2
矩阵求导
使用矩阵求导的方法来计算模型参数的最优解。
3
梯度下降法
通过迭代的方式逐步优化模型参数，使得模型预测值与观测值之间的差距最小。
一元线性回归-模型评估
1
对模型误差的描述
通过各种指标来描述模型预测值和观测
第四章 线性回归分析
Y 0 1Z1 2 Z2 3Z3 k Zk
（4-1）
, zki 是 k 个对 Y 有显
其中 j ( j 1,2,
, k ) 是回归系数，Y 是被解释变量， z1i , z2i ,
著影响的解释变量 (k 2) ， i 是反映各种误差扰动综合影响的随机项，下标 i 表 示第 i 期观察值 (Yi , z1i , z2i ,
, zki ), i 1,2,
2
,n 。
ˆ ˆZ ˆ Z ˆZ ˆ 假设多元样本回归函数为：Y i 0 1 1i 2 2i 3 3i
ˆ。 差为： i Yi Y i
由于有 n 期的观察值，这一模型实际上包含 n 个方程：
Y2 0 1Z12 Yn 0 1Z1n
另 V 对 b0 ,
bk zki )]2
（4-3）
, bk 的一阶偏导数都等于 0，即下列方程组：
2[Y (b
i
0
b1 z1i b1 z1i b1 z1i
bk zki )]( 1) 0, bk zki )]( z1i ) 0, bk zki )]( zki ) 0
把样本数据分别代入样本回归方程，得到回归方程组为：
ˆ b bz Y 1 0 1 11 ˆ b bz Y n 0 1 1n bk zk 1 ,
（4-4）
（4-5）
bk zkn
写成等价的向量方程，则为：
ˆ ZB Y
这样回归残差向量为：
ˆ Y ZB Y Y
再利用向量，矩阵的运算法则，可以得到残差平方和为：
k Zk ，
, bk 分 别 表 示 模 型 参 数 0 ,
（4-1）
, zki 是 k 个对 Y 有显
其中 j ( j 1,2,
, k ) 是回归系数，Y 是被解释变量， z1i , z2i ,
著影响的解释变量 (k 2) ， i 是反映各种误差扰动综合影响的随机项，下标 i 表 示第 i 期观察值 (Yi , z1i , z2i ,
, zki ), i 1,2,
2
,n 。
ˆ ˆZ ˆ Z ˆZ ˆ 假设多元样本回归函数为：Y i 0 1 1i 2 2i 3 3i
ˆ。 差为： i Yi Y i
由于有 n 期的观察值，这一模型实际上包含 n 个方程：
Y2 0 1Z12 Yn 0 1Z1n
另 V 对 b0 ,
bk zki )]2
（4-3）
, bk 的一阶偏导数都等于 0，即下列方程组：
2[Y (b
i
0
b1 z1i b1 z1i b1 z1i
bk zki )]( 1) 0, bk zki )]( z1i ) 0, bk zki )]( zki ) 0
把样本数据分别代入样本回归方程，得到回归方程组为：
ˆ b bz Y 1 0 1 11 ˆ b bz Y n 0 1 1n bk zk 1 ,
（4-4）
（4-5）
bk zkn
写成等价的向量方程，则为：
ˆ ZB Y
这样回归残差向量为：
ˆ Y ZB Y Y
再利用向量，矩阵的运算法则，可以得到残差平方和为：
k Zk ，
, bk 分 别 表 示 模 型 参 数 0 ,
第4章-一元线性回归-计量经济学及Stata应用
n
ei 0
i1
n
i1
xiei
0
写为向量内积的形式：
(4.16) (4.17)
22
e1
1
1
0,
x1
en
e1
xn
0
en
(4.18)
定义常数向量、残差向量、解释向量以及拟合值向量为
1
1
,
1n1
e1
e
,
en
x1
x
,
xn
yˆ1
yˆ
yˆn
(4.19)
y
(xi , yi ) • ei
• ••
a•
• a +bx
•
•
•
b
•
1
••
x
图 4.2 数据生成过 程
11
4.2 OLS 估计量的推导
如何根据观测值xi
,
yi
n i1
来估计总体回归直线
xi？
希望在(x, y) 平面上找到一条直线，使得此直线离所有这些点 (观 测值)最近，参见图 4.3。
在此平面上，任意给定一条直线，yi ˆ ˆxi (其中，ˆ读为 alpha hat， ˆ读为 beta hat)，计算每个点(观测值)到这条线的距离， ei y i ˆ ˆ xi，称为“残差”(residual)。
除 xi 以外，影响 yi 的所有其他因素都在i 中。
下标 i 表示个体 i，比如第 i 个人，第 i 个企业，第 i 个国家 等。
i 的取值为1, , n ，其中n 为“样本容量”(sample size)。
方程 (4.5) 右边的确定性部分为 xi ，称为 总体回归线
第四章计量经济学答案
第四章一元线性回归第一部分学习目的和要求本章主要介绍一元线性回归模型、回归系数的确定和回归方程的有效性检验方法。
回归方程的有效性检验方法包括方差分析法、t检验方法和相关性系数检验方法。
本章还介绍了如何应用线性模型来建立预测和控制。
需要掌握和理解以下问题：1 一元线性回归模型2 最小二乘方法3 一元线性回归的假设条件4 方差分析方法5 t检验方法6 相关系数检验方法7 参数的区间估计8 应用线性回归方程控制与预测9 线性回归方程的经济解释第二部分练习题一、术语解释1 解释变量2 被解释变量3 线性回归模型4 最小二乘法5 方差分析6 参数估计7 控制8 预测二、填空ξ，目的在于使模型更1 在经济计量模型中引入反映（）因素影响的随机扰动项t符合（）活动。
2 在经济计量模型中引入随机扰动项的理由可以归纳为如下几条：（1）因为人的行为的（）、社会环境与自然环境的（）决定了经济变量本身的（）；（２）建立模型时其他被省略的经济因素的影响都归入了（）中；（３）在模型估计时，（）与归并误差也归入随机扰动项中；（4）由于我们认识的不足，错误的设定了（）与（）之间的数学形式，例如将非线性的函数形式设定为线性的函数形式，由此产生的误差也包含在随机扰动项中了。
3 （）是因变量离差平方和，它度量因变量的总变动。
就因变量总变动的变异来源看，它由两部分因素所组成。
一个是自变量，另一个是除自变量以外的其他因素。
（）是拟合值的离散程度的度量。
它是由自变量的变化引起的因变量的变化，或称自变量对因变量变化的贡献。
（）是度量实际值与拟合值之间的差异，它是由自变量以外的其他因素所致，它又叫残差或剩余。
4 回归方程中的回归系数是自变量对因变量的（）。
某自变量回归系数β的意义，指的是该自变量变化一个单位引起因变量平均变化（ ）个单位。
5 模型线性的含义，就变量而言，指的是回归模型中变量的（ ）；就参数而言，指的是回归模型中的参数的（ ）；通常线性回归模型的线性含义是就（ ）而言的。
一元线性回归
由此可推测：当火灾发生地离最近的消 防 站 为 10km 时 ， 火 灾 损 失 大 致 在
ˆ y 10.279 49.19 59.369（千元） 当火 ；
灾发生地离最近的消防站为 2km 时，火灾损 失大致在 20.117（千元）
三、0，1的性质
1, 线性
1
(x x ) y
为 y 关于 x 的一元线性经验回归方程 （简称为回归直
ˆ 线方程） 0 为截距， 1 为经验回归直线的斜率。 ， ˆ
引进矩阵的形式：
y1 1 x1 1 0 y2 1 x2 2 设 y ， X ， ， 1 y 1 x n n n
变量之间具有密切关联 而又不能由一个或某一些变 量唯一确定另外一个变量的 关系称为变量之间的相关关 系.
y
y f ( x)
y
Y f (X )
0
(a) 函数关系
x
0
(b) 统计关系
x
种类
正相关 负相关
一元相关 多元相关
线性相关 曲线相关
y
y
y
y
正相关
x
负相关
x
曲线相关
x
不相关
x
例 2 城镇居民的收入与消费支出之间有很大的关 联，居民的收入提高了，消费也随之潇洒，但居民的 收入不能完全确定消费，人们的消费支出受到不同年 龄段的消费习惯的影响，也受到不同消费理念的影响。 因此居民的收入 x 与消费支出 y 就呈现出某种不确定 性。 我们将上海市城镇居民可支配收入与支出的数据 （1985 年~2002 年）用散点图表示，可以发现居民的 收入 x 与消费支出 y 基本上呈现线性关系，但并不完 全在一条直线上。 附数据与图形。
计量经济学 第四章
100%
统计检验
利用统计量对模型参数进行假设 检验，判断参数是否显著。
80%
计量经济学检验
包括模型的异方差性、自相关性 、多重共线性等问题的检验。
模型的修正方法
增加解释变量
如果模型存在遗漏变量，可以通过增加解释变量来 修正模型。
删除解释变量
如果模型中某些解释变量不显著或存在多重共线性 ，可以考虑删除这些变量。
模型表达式
Y = β0 + β1X + ε
最小二乘法
通过最小化残差平方和来估计参数β0和β1
参数解释
β0为截距项，β1为斜率项，ε为随机误差项
模型的检验
包括拟合优度检验、显著性检验等
多元线性回归模型
01
02
03
04
模型表达式
参数解释
最小二乘法
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε
最小二乘法估计量的性质
线性性
最小二乘法估计量是随机样本的线性组合。
无偏性
最小二乘法估计量的期望值等于总体参数的 真实值。
有效性
在所有无偏估计量中，最小二乘法估计量的 方差最小。
一致性
随着样本量的增加，最小二乘法估计量收敛 于总体参数的真实值。
最小二乘法的计算步骤
构造设计矩阵X和响应向量Y。 计算设计矩阵X的转置矩阵X'。 计算X'X和X'Y。
求解线性方程组X'Xβ=X'Y，得到回归系 数的最小二乘估计β^=(X'X)^(-1)X'Y。
根据β^计算因变量的拟合值Y^=Xβ^。
计算残差e=Y-Y^，以及残差平方和 RSS=e'e。
一元线性回归模型(第四次课)
温故知新
四、参数估计量的概率分布及随机干扰 项方差的估计
五、参数估计量的概率分布及随机干扰 项方差的估计
ˆ 1、参数估计量 0 和 ˆ1 的概率分布
ˆ 1 ~ N ( 1 ,
x
2
2 i
)
ˆ 0 ~ N ( 0 ,
n x
X i2
2 i
2)
2、随机误差项的方差2的估计
R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近，拟 合优度越高。
经变换发现，R与X,Y的相关系数r值相同。可通 过R与r进行X与Y的线性相关性检验，查书后附表1。
二、变量的显著性检验
回归分析是要判断解释变量X是否是被解释变量Y的一 个显著性的影响因素。 即判断X是否对Y具有显著的线性性影响。这就需要进 行变量的显著性检验。
Zi2
i 1 i 0
n
n
(Yi ) 2
2
~ 2 n
F分布：
分 设U是服从自由度为n1的χ2分布的随机变量，即U~ χ2(n1)， 布
U n1 F ~ F n1 , n2 V n2
V是服从自由度为n2的χ2分布的随机变量，即V~ χ2(n2)，且U 和V相互独立，则：
该两组数据是1978~2000年的时间序列数据 （time series data）； 前述收入-消费支出例中的数据是截面数据 （cross-sectional data）。
1、建立模型
拟建立如下一元回归模型
CONSP C GDPP
采用Eviews软件进行回归分析的结果见下表
表 2.5.2 中国居民人均消费支出对人均 GDP 的回归（1978~2000） LS // Dependent Variable is CONSP Sample: 1978 2000 Included observations: 23 Variable C GDPP1 Coefficient 201.1071 0.386187 Std. Error 14.88514 0.007222 t-Statistic 13.51060 53.47182 Prob. 0.0000 0.0000 905.3331 380.6428 7.092079 7.190818 2859.235 0.000000
四、参数估计量的概率分布及随机干扰 项方差的估计
五、参数估计量的概率分布及随机干扰 项方差的估计
ˆ 1、参数估计量 0 和 ˆ1 的概率分布
ˆ 1 ~ N ( 1 ,
x
2
2 i
)
ˆ 0 ~ N ( 0 ,
n x
X i2
2 i
2)
2、随机误差项的方差2的估计
R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近，拟 合优度越高。
经变换发现，R与X,Y的相关系数r值相同。可通 过R与r进行X与Y的线性相关性检验，查书后附表1。
二、变量的显著性检验
回归分析是要判断解释变量X是否是被解释变量Y的一 个显著性的影响因素。 即判断X是否对Y具有显著的线性性影响。这就需要进 行变量的显著性检验。
Zi2
i 1 i 0
n
n
(Yi ) 2
2
~ 2 n
F分布：
分 设U是服从自由度为n1的χ2分布的随机变量，即U~ χ2(n1)， 布
U n1 F ~ F n1 , n2 V n2
V是服从自由度为n2的χ2分布的随机变量，即V~ χ2(n2)，且U 和V相互独立，则：
该两组数据是1978~2000年的时间序列数据 （time series data）； 前述收入-消费支出例中的数据是截面数据 （cross-sectional data）。
1、建立模型
拟建立如下一元回归模型
CONSP C GDPP
采用Eviews软件进行回归分析的结果见下表
表 2.5.2 中国居民人均消费支出对人均 GDP 的回归（1978~2000） LS // Dependent Variable is CONSP Sample: 1978 2000 Included observations: 23 Variable C GDPP1 Coefficient 201.1071 0.386187 Std. Error 14.88514 0.007222 t-Statistic 13.51060 53.47182 Prob. 0.0000 0.0000 905.3331 380.6428 7.092079 7.190818 2859.235 0.000000
一元线性回归分析PPT课件
第18页/共40页
拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
第8页/共40页
例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
第1页/共40页
回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
第2页/共40页
一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
第15页/共40页
回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
第16页/共40页
ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
2
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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拟合程度评价
拟合程度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度. ( Y t Y ) ( Y ˆ t Y ) ( Y t Y ˆ t)
n
n
n
(Y t Y )2 (Y ˆt Y )2 (Y t Y ˆ)2
t 1
t 1
t 1
n
(Yt Y)2 :总离差平方和，记为SST;
t1
n
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例
食品序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
求和
脂肪Xt 4 6 6 8 19 11 12 12 26 21 11 16 14 9 9 5
热量Yt 110 120 120 164 430 192 175 236 429 318 249 281 160 147 210 120
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回归分析的分类
一个自变量
一元回归
回归分析
两个及以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
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一元线性回归模型
(一)总体回归函数
Yt＝0＋1Xt＋ut
ut是随机误差项，又称随机干扰项，它是一个特殊的 随机变量，反映未列入方程式的其他各种因素对Y的 影响。
(ˆ1t(n2)Sˆ1)
2
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回归分析的Excel实现
“工具”->“数据分析”->“回归”
第16页/共40页
ˆ 0
S ˆ 0
ˆ 1
S ˆ 1
(ˆ0t(n2)Sˆ0)
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(ˆ1t(n2)Sˆ1)
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元）
元）
元）
（元）
1986
963
497
1996
5846
2789
1987
1112
565
1997
6420
3002
1988
1366
714
1998
6796
3159
1989
1519
788
1999
7159
3346
1990
1644
833
2000
7858
3632
1991
1893
932
2001
8622
3869
1992
2020/10/2
中国人民大学六西格玛质量管理研究中心
7
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§4.1 一元线性回归模型
2020/10/2
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8
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§4.1 一元线性回归模型
二、一元线性回归模型的数学形式
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§4.1 一元线性回归模型
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§4.1 一元线性回归模型
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§4.1 一元线性回归模型
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粮食产量y(万吨)
42947.44 41673.21 47244.34 43061.53 47336.78 37127.89 39515.07
化肥施用量x(万吨) 3710.56 3269.03 1017.12 1864.23 2797.24 1034.09
粮食产量y(万吨)
46598.04 44020.92 34866.91 37184.14 41864.77 33717.78
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3
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§4.1 一元线性回归模型
• 例4.1 假定需要研究化肥施用量与粮食产量的关 系，以便准确地定出化肥施用量的单位变化如何 影响粮食产量的平均单位变化，进而确定合理的 化肥施用量。表4.1列出了20组粮食产量与化肥施 用量的数据。图4.1给出20个样本点的分布状况。
2020/10/2
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§4.1 一元线性回归模型
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§4.1 一元线性回归模型
表4.2 年份
人均国民收入表
人均国民收入（ 人均消费金额（ 年份 人均国民收入（ 人均消费金额
§4.1 一元线性回归模型
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一、普通最小二乘估计
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§4.1 一元线性回归模型
为了在今后的讨论中充分利用矩阵这个处理线性关系的有力 工具,我们这里将一元线性回归的一般形(4.4)式用矩阵表示。
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§4.1 一元线性回归模型
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§4.1 一元线性回归模型
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• 在实际问题的研究中,经常需要研究某一现象与影 响它的某一最主要因素的影响。
• 如影响粮食产量的因素非常多,但在众多因素中, 施肥量是一个重要的因素,我们往往需要研究施肥 量这一因素与粮食产量之间的关系;
• 在消费问题的研究中,影响消费的因素很多,但我 们可以只研究国民收入与消费额之间的关系,因为 国民收入是影响消费的最主要因素;
• 保险公司在研究火灾损失的规律时,把火灾发生地 与最近的消防站的距离作为一个最主要因素,研究 火灾损失与火灾发生地距最近消防站的距离之间 的关系。
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§4.1 一元线性回归模型
• 上述几个例子都是研究两个变量之间的关系,而且 它们的一个共同点是:两个变量之间有着密切的关 联,但它们之间密切的程度并不能由一个变量唯一 确定另一个变量,即它们间的关联是一种非确定性 的关系。那么它们之间到底有什么样的关系呢?
2311
1116
2002
9398
4106
1993
2998
1393
2003
10542
4411
2020/10/12994 1995
4044
1833
2004
12336
4925
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5046
2355
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§4.1 一元线性回归模型
第4章 一元线性回归
§4.1 一元线性回归模型
§4.3 最小二乘估计的性质
§4.4 回归方程的显著性检验
§4.5 残差分析
§4.6 预测和控制
§4.7 建模总结和应注意的问题
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§4.1 一元线性回归模型
• 一、一元线性回归模型的实际背景
表4.1
粮食产量与化肥施用量
化肥施用量x(万吨) 4541.05 3637.87 2287.49 3056.89 4883.7 3779.3
4021.09
粮食产量y(万吨)
48526.69 45110.87 40753.79 43824.58 50890.11 46370.88 46577.91
化肥施用量x(万吨) 2989.06 3021.9 3953.97 3212.13 3804.76 1598.28 1998.56