北师大九年级数学_第二章_一元二次方程知识点
（北大师）九年级上册 第二章 一元二次方程
知识点一：认识一元一次方程
（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元）并且未知数的次数是2（二次）的整式方程，这样的方程叫一元二次方程。
（注意：一元二次方程必须满足以下三个条件：是整式方程；一元；二次）
（二） 一元二次方程的一般形式：把20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式。
其中a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。
【例题】
1、一元二次方程3x 2＝5x －1的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
2、一元二次方程（x+1）(3x －2)=10的一般形式是 。
3、当m= 时，关于x 的方程5)3(7
2
=---x x m m
是一元二次方程。
4、下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0
C.(x+3)(x-2)=x+5
D.23
32057
x x +-=
知识点二：求解一元一次方程
（一）一元二次方程的根定义：使得方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
【例题】
例1、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、12
（二）解一元二次方程的方法： 1.配方法 <即将其变为2()0x m +=的形式> 配方法解一元二次方程的基本步骤：
①把方程化成一元二次方程的一般形式； ②将二次项系数化成1；
③把常数项移到方程的右边；
④两边加上一次项系数的一半的平方； ⑤把方程转化成2()0x m +=的形式； ⑥两边开方求其根。
【例题】
例2 一元二次方程x 2-8x-1=0配方后可变形为（ ）
A ．（x+4）2=17
B ．（x+4）2=15
C ．（x-4）2=17
D ．（x-4）2=15
例3 用配方法解一元二次方程x 2-6x-4=0，下列变形正确的是（ ） A ．（x-6）2=-4+36 B ．（x-6）2=4+36
C ．（x-3）2=-4+9
D ．（x-3）2=4+9
例4 x 2-6x-4=0； x 2-4x=1； x 2-2x-2=0
2.公式法242b b ac
x a
-±-=
（注意在找abc 时须先把方程化为一般形式）
【例题】
例5若一元二次方程x 2+2x+a=0的有实数解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1
B ．a≤4
C ．a≤1
D ．a≥1
例6 已知一元二次方程2x 2-5x+3=0，则该方程根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．两个根都是自然数
D ．无实数根
例7 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．
3.分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） 【例题】
例8 一元二次方程x 2-2x=0的解是（ ） A ．0
B ．2
C ．0，-2
D ．0，2
例9 方程3（x-5）2=2（x-5）的根是
例10 x 2-3x+2=0； x 2+2x=3； （x-1）2+2x （x-1）=0 知识点三：一元二次方程的根与系数的关系
1.根与系数的关系：如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为x1、x2，则有：
1212,
b
c x x x x a
a
+=-⋅=
. 2.一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值。
（3）对比记忆以下公式：
①22
2121212()2x x x x x x +=+- ②
121212
11
x x x x x x ++= ③22121212()()4x x x x x x -=+-
④2121212||()4x x x x x x -=+- ⑤2212121212(||||)()22||x x x x x x x x +=+-+
⑥33
312121212()3()x x x x x x x x +=+-+ ⑦其他能用12x x +或12x x 表达的代数式。
（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：1
2212()0x x x x x x -++=
（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程1
2212()0x x x x x x -++=
的根 【例题】
例11 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．
例12 已知关于x 的一元二次方程x 2-4x+m=0． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；
（2）若方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1+2x 2=2，求实数m 的值．
知识点四：应用一元一次方程
在利用方程来解应用题时，主要分为两步：
①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x ；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；
②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。
【例题】
例13 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x 米，则可列方程为（ ） A ．x （x-11）=180 B ．2x+2（x-11）=180 C ．x （x+11）=180
D ．2x+2（x+11）=180
例14 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？。
北师大版九年级上册数学《用因式分解法解一元二次方程》一元二次方程说课教学课件复习
小颖是这样解的 :
小明是这样解的 :
解 : x2 3x 0. x 3 9. 2
这个数是0或3.
解 : 方程x2 3x两 边都同时约去x, 得.
x 3. 这个数是3.
小颖做得对吗?
小明做得对吗?
心动 不如行动 你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
x2 6x 9 (x 3)2; x2 5x 6 (x 2)(x 3);
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?
4x2 12x 9 ?. 3x2 7x 4 ?.
观察下列各式,也许你能发现些什么
解方程 : x2 7x 6 0得x1 1, x2 6; 而x2 7x 6 (x 1)(x 6);
树状图
第一枚硬币 第二枚硬币
所有可能出 现的结果
正
正
(正，正)
开始
反
(正，反)
先分组进行试验，然后累计各组的试验数据，分别 计算这三个事件发生的频数与频率，并由此估计这 三个事件发生的概率.
课时1 用树状图或表格求概率
思考
你认为这个游戏公平吗？ 连续掷两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”，“两枚 “一枚正面朝上、一枚反面朝上”，这三个事件发生的概
通过大量重复试验我们发现， 在一般情况下，“一枚正面朝上、一枚反面朝上”发生的 两个事件发生的概率. 所以，这个游戏不公平. 它对小凡比较有利.
课时1 用树状图或表格求概率 新课引入 问题 2. 如何计算等可能概型的概率？
一般的，如果一个试验有 n 种等可能的结果，事件 A 种结果，那么事件 A 发生的概率为：
P A =m. n
北师大版初中九年级上册数学课件 《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程PPT优质课件
*2.5 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系． 2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．
课前预习
(一)知识探究 那么1x.1＋如x果2＝方－程－baax2＋,bxx1＋x2＝c＝0(aca≠0．)有两个实数根 x1，x2，
2. 利用根与系数的关系，求方程的两根之和、两根之积， 通常是将方程化为 一一般般 形式，计算 b2－4ac 的值并确定方 程有两个实根，再利用根与系数的关系加以计算．
两根之和或积
问题
方法
求方程中字母 根据已知条件并借助根与系数的关系列出关于
系数的值 字母的方程或不等式
求方程
逆用根与系数的关系确定一次项系数及常数项
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2 ＝1，
x1x2＝－53. x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12＋2×53＝133.
例2 已知 x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，不解 方程，求下列代数式的值：
(2)x11＋x12.
【思路点拨】根据异分母分式的加法法则进行变形处理， 代入求值．
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2＝1， x1x2＝－53. x11＋x12＝xx1＋1xx2 2＝－153＝－35.
【归纳总结】 用根与系数的关系解题时常用的一些变形式： ①x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； ② 1 ＋1 ＝x1＋x2；
x1 x2 x1x2 ③(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； ④xx21＋xx12＝xx21＋1x2x22＝（x1＋xx2）1x22－2x1x1.
北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程1一元二次方程的应用——几何问题
−
的长为b,则S能形ABCD= ×b.
知识点 2：动态几何问题(难点)
1.关键：“以静代动”，把动的点进行转换，用时间表示长度.
2.方法：时间变路程.
3.求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”，也
就是求线段的长度.
4.常找的数量关系——面积、勾股定理等.
九年级北师上册
6 应用一元二次方程
第1课时 一元二次方程的应用——几何问题
1.通过阅读课本可以根据实际面积问题中的等量关系
列出方程，提高学生的应用意识
2.通过归类面积问题的题型，构建解决面积问题的数
学模型，发展学生的建模能力.
3.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并
解决问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界
AB 边向点 B 以 1厘米/秒的速度移动，点 Q从点 B 开始沿BC 边向
点C 以2 厘米/秒的速度移动，如果 P、Q分别从A、B同时出发，其
中一点到达终点后两点均停止运动.
(1)经过几秒，△PBQ的面积等于8平方厘米?
解：(1)设运动时间为t秒( ≤ ≤ ,由题意得， = ሺ
准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900 平方米的一块
矩形绿地，并且长比宽多10 米，那么绿地的长和宽各
为多少？
栽种鲜花(如图中阴影部分),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2
m,剩余空地的面积为18 m²,求原正方形空地的边长.设原正方形空
地的边长为x m,则可列方程为(
A
)
A.(x-1)(x-2)=18
B.x²-3x+16=0
C.(x+1)(x+2)=18
北师大版数学九年级上册：一元二次方程的根与系数的关系课件
2
6.已知在关于x的分式方程 k 1 =2①和一元二次方程
x 1
（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0②中，k、m、n均为实数， 方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且 k=m+2，n=1时，求方程②的整数根； （3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1-k） +x2（x2-k）=（x1-k）（x2-k），且k为负整数时，试 判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22,
x12 x22 x1 x2 2 2x1x2
3 2
2
2
1 2
13 4
;
2
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
练习
1．设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为x1和 x2，则(x1＋x2)－x1· x2 ＝( C )
(二)合作探究
1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，视察表中 x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数 之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2＋3x－4＝0
1
－4
－3
－4
x2－2x－5＝0 1＋ 6 1－ 6
2
－5
2x2－3x＋1＝0 1
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
用公式法求解一元二次方程课件北师大版数学九年级上册
c=0
Δ=b2－4ac<0 方程没有实数根
知2－讲
特别说明：(1)由Δ=b2－4ac 的符号可判定ax2＋bx＋c=
0(a ≠ 0)的根的情况. 反之，由ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的
情况也可得到Δ=b2－4ac 的符号.
(2)一元二次方程有实数根(或有两个实数根)包括有两
2k－1=0 的根的情况为(
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不等的实数根
D. 无法判断
)
知2－练
思路导引：
解：∵ a=1，b=－2(k＋1)，c=－k2＋2k－1，
∴ Δ =b2－4ac=［－2(k＋1)］2－4×1×(－k2＋2k－
1)=8＋8k2>0.
当方程中的a，b，c含有字母时，求出
第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
1 课时讲授 用公式法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
知识点 1 用公式法解一元二次方程
知1－讲
1. 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)，当
b2－4ac
≥ 0 时，它的根是x =
知1－练
(3)x2－2x＋3=0.
解：这里a=1，b=－2，c=3 .
∵ b2 －4ac=(－2)2 －4×1×3=－8<0，
∴方程无实数根.
知1－练
知1－练
1-1. 用公式法解下列方程：
(1)y2－2y－2=0；
解：这里 a＝1，b＝－2，c＝－2.
第二章+一元二次方程+知识点总结及小测2024-2025学年北师大版数学九年级上册
第二章一元二次方程知识点总结：①配方法和十字叉乘法求解一元二次方程{二次项系数为±1二次项系数不是±1配方法：(a±b)2=a2+b2±2ab十字叉乘法：化简成(x±a)(x±b)=0的形式，解得x=∓a或∓b②公式法求解一元二次方程公式法：x=−b±√b2−4ac2a③因式分解法求解一元二次方程因式分解法：{(a±b)2=a2+b2±2ab a2−b2=(a−b)(a+b)④一元二次方程的根与系数的关系关系：x1+x2=−ba ；x1∙x2=ca⑤应用一元一次方程应用题第二章一元二次方程测试1（拔高题）1、下列方程为一元二次方程，求a的取值范围或者具体值：①2ax2−2bx+a=4x2②(a−1)x|a|+1−2x−7=0③ax2+6x+1=0没有实数根2、已知一元二次方程x2+k+3=0有一个根为1，则k的值为.3、已知一元二次方程为5x2+x=0，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为，x1x2=，x1+x2=.x2+3x−2=0 的两根，则(x1−x2)2的值4、设x1与x2为一元二次方程−12为.5、关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−k+1=0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．实数根的个数由k的值确定6、已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m=0的两实数根为x1，x2，且满足x1x2=2，则x1+x2的值为（）A．4B．−4C．4或−2D．−4或27、配方法解方程x2+6x+9=23x2−2=5x8、公式法解方程(x−2)(3x−5)=19x2+6x+1=49、直接开平方法解方程2(x−1)2 −18=010、因式分解法解方程3x (x −1)=3(x +2)(1−x ) 3(4−x )2=x 2−16(1−2x )(x −8)=8x −411、如图，在矩形ABCD 中，AB =10 cm ，AD =8 cm ，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 到达终点后，P ，Q 两点同时停止运动。
北师大版九年级数学上册一元二次方程的解及其估算
知1－讲
例1 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？ －3，－2，－1，0，1，2，3
导引：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未 知数的值分别代入方程中，能够使方程左右两边 相等的数就是方程的根．
解：－1，2.
总结
知1－讲
判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法： 将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两
边是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等， 就不是方程的根．
知1－讲
例2 如果2是一元二次方程x2＋bx＋2＝0的一个根， 那么字母b的值为( B ) A. 3 B. －3 C. 4 D．－4
知2－讲
(2)步骤： ①列表：根据实际情况确定方程解的大致范围，分别计算 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值； ②在表中找出当ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的范 围； ③进一步在②的范围内列表、计算、估计范围，直到找出 符合要求的范围．
知2－讲
例3 在前一课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足 方程(x＋6)2＋72＝102，也就是x2＋12x－15＝0. (1)小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？ 为什么？ (2)底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？ 为什么？ (3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？ (4)x的整数部分是几？十分位是几？
解：小亮把他的求解过程整理如下：
x
0 0.5 1 1.5 2
x2＋12x－15 －15 －8.75 －2 5.25 13
所以1<x<1.5.
北师大版九年级数学上册《一元二次方程》知识点归纳
北师大版九年级数学上册《一元二次方程》
知识点归纳
第二章一元二次方程
定义：方程是只含有一个未知数的整式方程，并且可以
化成ax2+bx+c=0的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
用配方法求解一元二次方程
思路：将方程转化为2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根。
我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程
的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
用公式法求解一元二次方程
对于一元二次方程，当b2-4ac≥0时，它的根是：
初中数学北师大版九年级上册《第二章一元二次方程》
知识点归纳
上面这个公式称为一元二次方程的求根公式，用求根公
式解一元二次方程的方法称为公式法。
对于ax2+bx+c=0，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
当
b2-4ac<0时，方程没有实数根。
用因式分解法求解一元二次方程
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以将方程分解成两个一元一次
方程，这两个一元一次方程的解就是一元二次方程的根，这
种解一元二次方程的方法，叫做因式分解法。
一元二次方程的根与系数的关系
如果方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1x2,那么
x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
北师大版九年级数学上册 第二章 考点整合
12．已知 x＝a 是 2x2＋x－2＝0 的一个根，求代数式 2a4＋a3＋ 2a2＋2a＋1 的值．
【点拨】对于一些复杂的高次幂代数式，利用整体思想，把某些 式子当成一个整体来求解． 解：∵x＝a 是 2x2＋x－2＝0 的一个根， ∴2a2＋a－2＝0，即 2a2＋a＝2. ∴原式＝a2(2a2＋a)＋2a2＋2a＋ 1＝2a2＋2a2＋2a＋1＝2(2a2＋a)＋1＝5.
5．(2019·烟台)当 b＋c＝5 时，关于 x 的一元二次方程 3x2＋bx－c＝0 的根的情况为( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
【点拨】∵b＋c＝5，∴c＝5－b， ∴Δ＝b2－4×3×(－c)＝b2＋12c＝b2＋12(5－b) ＝b2－12b＋60＝(b－6)2＋24. ∵(b－6)2≥0，∴(b－6)2＋24＞0，∴Δ＞0， ∴关于 x 的一元二次方程 3x2＋bx－c＝0 有两个不相等的实数 根．故选 A. 【答案】A
13．解方程：(2x＋1)2－3(2x＋1)＝－2.
解：设 2x＋1＝y，则原方程可变形为 y2－3y＝－2， 解得 y1＝1，y2＝2. 当 y＝1 时，有 2x＋1＝1，所以 x＝0； 当 y＝2 时，有 2x＋1＝2，所以 x＝12. 所以原方程的解为 x1＝0，x2＝12.
14．已知关于 x 的方程 x2－(2k＋1)x＋4k－12＝0. (1)求证：无论 k 取什么实数，这个方程总有实数根；
上将增加 2a%，每户物管费将会减少130a%；6 月份参加活动 的 80 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同户型户数的基础 上将增加 6a%，每户物管费将会减少14a%.这样，参加活动的 这部分住户 6 月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳 的物管费将减少158a%，求 a 的值．
北师大版九年级上册数学第二章第一节认识一元二次方程课件
导入新课
• 幼儿园某教室举行，地面的长是八米，宽是五米，现准备在地面 上铺设一块面积是18平方米的地毯，四周未铺地毯的条形区域的 宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
8米 5米
解：如果设花边的宽为 m ,那么地毯长为 m,宽为 x m,根据题意,可得方程：
.
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18
点拨
方法点拨： 用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未 知数的最高次数等于，列出关于某个字母的方程，再排除使二 次项系数等于0的字母的值．
看谁填的准。 .
1
3
-2
3
11
4
0
-5
3
-2
-5
总结：
是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是 2 .
ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0) 其中 ( a ≠0) 是一元二次方程 的必要条件；
上述两个方程有什么共同特点？
归 纳
3.并且还是一个整式方程，并非分式方程； 1.方程中只含有同一个未知数； 2.未知数的最高次数是2次；
得出定义和结论
概念：只含有一个未知数,并且未知数 的最高次数为2次的整式方程叫做一元 二次方程．
一般表达式
我们把 ax ２ ＋bx＋c＝０
( a、b、c为常数,a≠０ )称 为一元二次方程的一般形式， 其中ax ２ ， bx ， c分别 称为二次项、一次项和常数 项，a， b分别称为二次项系 数和一次项系数．
判断下列方程是否为一元二次方程？
(1) x3+ x2 =36
(2) x +3 y =36
(3) x +1=0
(5) x2+ x=36