中考冲刺班专题5-24题专题(教师版)

源于名校，成就所托

二十四专题

1、如图，直线y =「2x • n (n > 0)与x 轴、y 轴分别交于点A 、B , S OA ^16 ,抛物线

y = ax 2 - bx(a = 0)经过点A ，顶点M 在直线y = -2x • n 上.

(1) 求n 的值；

(2) 求抛物线的解析式；

(3) 如果抛物线的对称轴与 x 轴交于点N ，那么在对称轴上找一点 P ，使得.OPN 和 .AMN 相

似，求点P 的坐标.

过点A

{ a = _1

解得，’b=4 •抛物线的解析式为:

16a 4b =0 b 2 b - 2 ( ) 8 4a 2a

2

y 二-x 4x

方法二: 由(1)得，y = -2x 8，二 A(4,0)

当 x = 0 时，y 二 ax 2 bx 二 a 02 b 0 = 0 抛物线y = ax 2 • bx 经过原点。(0,0)

•抛物线y = ax 2 • bx 的对称轴是直线

设抛物线y = ax 2 bx 的顶点M (2, y)

V 顶点M 在直线y = -2x • 8上

V 抛物线y 二ax 2 • bx 的顶点M 在直线y = -2x • 8上，又抛物线

y = ax 2 bx 经

y - -2 2 8=4 , ••• M (2,4)设抛物线y = a( x - 2)2• 4

源于名校，成就所托

抛物线过原点0(0,0)

••• a(0-2)2 *4=0 解得，a —1

抛物线的解析式为：y = —X 2 • 4x (或y = _(x 一2)2 • 4 )

由(2)可得，抛物线y =-x 2 4x 的对称轴是直线x=2得N(2,0)

••• N(2,0)、M (2,4)、A(4,0)

在 Rt. AMN 中，ANM =90，且 AN =2, MN =4 在 Rt. QNP 中，.ONP =90，且 ON =2

PN AN

1

ON

AN

1

当空=竺=丄或也=竺二丄时，AOPN S .；AMN •这样的点P 有四个, ON MN 2 PN MN 2

即 R(2,4),P 2(2,1),P 3(2,_1),P 4(2,_4).

2、如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心，2为半径画圆，P 是。O 上一动点且 在第一象限内，过点P 作。0的切线，与x 、y 轴分别交于点A 、B 。 (1) 求证：△ OBP 与厶OPA 相似；

(2) 当点P 为AB 中点时，求出P 点坐标；

在。0上是否存在一点Q ,使得以Q 、0、A 、P 为顶点的四边形是平行四边形。若存在，试 求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由 (1) 证明：

••• AB 是过点P 的切线 • AB 丄 0P OPB =Z OPA = 90 •••在 Rt A OPB 中 / 1 + / 3 = 90 ° 又•••/ BOA = 90° 1 + / 2 = 90 °

• / 2 = / 3 在△ OPB 中厶 APO 中 • △ OPB 〜△ APO (2) T OP 丄AB 且 PA=PB

• OA=OB

• △ AOB 是等腰三角形 • OP 是/ AOB 的平分线

•••点P 到x 、y 轴的距离相(3)

又•••点P 在第一象限

x

(3)存在

① 如图 设OAPQ 为平行四边形

等

•设点 P( x, x ) (x > 0)

•••圆的半径为2「OP =莎=2解得x = V2 • P 点 坐标是(血，血)

• PQ // OA 0Q // PA

〜2 ~

x

•••抛物线的解析式为

••• AB 丄 OP 二 OQ 丄 OP PQ 丄 OB

:丄 POQ = 90°

••• OP=OQ

•••△ POQ 是等腰直角三角形

••• OB 是/ POQ 的平分线且是边PQ 上的中垂线 ••• / BOQ = / BOP = 45° •••/ AOP = 45°

设 P (x ,x )、Q (-x ,x ) (x > 0) ••• OP = 2 代入得... 2x^2 解得 x = 2

••• Q 点坐标是(-2 ,

2 )

②如图 设OPAQ 为平行四边形， 同理可得Q 点坐标是(2 , - 2)

3、已知：如图，AC=BC , ZACB=90。，点B 的坐标为(1,0),抛物线过A 、B 、C 三点. (1) 求抛物线的解析式；

(2) 过点A 作AP //CB 交抛物线于点P ,求四边形ACBP 的面积；

(3) 在x 轴上方y 轴左侧的抛物线上是否存在一点 M ，过M 作MG 丄x 轴于点G,使以A 、M 、 G 三点为顶点的三角形与PCA 相似.若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

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解:

分

y = x 2 _ 1

源于名校，成就所托

(2)v OA =0B =0C =1 ••• . BAC =/ACO =/BCO =45

v AP//CB ••• . PAB =45 ........................................................................... 1分

过点P作PE _ x轴于点E,则APE为等腰直角三角形令0E 二a，贝U PE =a 1

••• P(a,a 1) ...................................................................................................... 1分v点P在抛物线y = x2 -1上

•'•a •1二a2 -1，解得a1 = 2, a?二-1 (不合题意，舍去)

••• PE =3 ........................................................................................................ 1分•四边形ACBP的面积

S^^AB OC ^AB PE =丄2 1 - 2 3 = 4 2 2 2 2

(3) 假设存在.

v . PAB "BAC =45 • PA _ AC

v MG _ x轴于点G ,• MGA =/PAC =90

在Rt.：AOC 中, OA =OC -1

•AC = , 2 ............................................................................................ 1 分在Rt PAE 中，AE 二PE =3,

•AP=3.2 ............................................................................................... 1 分

设M点的横坐标为m，则M （m,m2 -1）.

v点M在x轴上方y轴左侧，• m”「1.

⑴当AMG…咻时，有齢烹

v AG =-m -1, MG -1,即 FT

3^2

m2 -1 二边，