重庆中考数学第24题专题训练

2015年重庆中考数学第24题专题讲义

1、如图，在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是AD上一点，且DE＝CF，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分∠GBC交FC于H，连接DH。

（1）若DE＝10，求线段AB的长；（2）求证：DE－HG＝EG。

24.(1)AB=45

(2) 证明在正方形ABCD中

易证RT△CDF?RT△DAE

∴∠DGE=∠DAE=RT∠

∴∠EGC=∠EBC=RT∠

∴∠EGC+∠EBC=180°

∴B、C、G、E四点共圆

∠AED=∠BCG

连EC，∴∠BGC=∠BEC

因为BE=EA BC=AD

∴RT△BCE?RT△ADE

∴∠AED=∠BEC

∴∠BGC=∠AED

∴∠BGC=∠BCG

∴BG=BC

又因为BH平分∠GBC

∴BH是GC的中垂线

∴GH=HC=GC/2=4√(5)/5/2=2√(5)/5

∴GH=DG

∴△DGH是等腰直角三角形

即：DE－HG＝EG。

2．如图，平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，点F为DE的中点，且CF⊥DE，点M为线段CF上一点，使DM=BE，CM=BC.

(1)若AB=13，CF=12，求DE的长度；

(2)求证：

1

3

DCM DMF

∠=∠.

G

H

F

E

D

C

B

A

M

F

E

D C

B

A

第24题

4

321

M

F

E D

C

B

A

B

第24题图

24.解:(1)∵平行四边形,13ABCD AB = ∴13==AB CD ，又 ∵,12CF DE CF ⊥=

∴5DF ==又∵F 为DE 中点

∴210DE DF == ……4′ (2)连接CE , ∵,CF DE F DE ⊥为中点 ∴,CD CE =∴12∠=∠

在CDM CEB ??和中 ∵ CD CE CM CB DM BE =??

=??=?

∴CDM CEB ??? ∴34∠=∠

又∵41222∠=∠+∠=∠ ∴322∠=∠ ∴3232DMF ∠=∠+∠=∠

∴123DMF ∠=

∠ 即1

3

DCM DMF ∠=∠ ……10′

3．如图，E 为正方形ABCD 的CD 边上一点，连接BE ，过点A 作AF ∥BE ，交CD 的延长线于点F ， ABE ∠ 的平分线分别交AF 、AD 于点G 、H ． （1）若?=∠30CBE ，3=

AG ，求DH 的长度；

（2）证明：DF AH BE +=．

24: ∵ABCD 是正方形

∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠CDA =90°

∵∠CBE =30°且BG 平分∠ABE ,

∴∠ABG =∠GBE =30° 1分 ∴∠AGB =∠GBE ∴∠ABG =∠AGB

∴AB =AG =3 2分 又∵在Rt △ABE 中，∠ABG =30° ∴AH =

3

3

AB =1 3分 又∵ABCD 是正方形 ∴AD =AB

∴DH =3—1 4分 （2）证明：将△ABH 绕着点B 顺时针旋转90° （辅助线加说明） 5分 ∵ABCD 是正方形

∴AD =BC ,∠ADC =∠C =90° ∴∠ADF =∠C ∵AF ∥BE ∴∠F =∠BEC ∴△ADF ≌△BCE

∴DF =CE

6分 又由旋转可知：AH =CM ,∠AHB =∠M ,∠BAH =∠BCM =90° ∵∠BCD =90°

∴∠BCD +∠BCM =180°

∴点E 、C 、M 在同一直线。 7分 ∴AH +DF =EC +CM =EM 又∵BG 平分∠ABE , ∴∠ABG =∠GBE 又∵∠ABH =∠CBM ∴∠GBE =∠CBM

∴∠GBE +∠CBE =∠CBM +∠CBE

即 ∠GBC =∠MBE 8分 又∵正方形ABCD 中，AD ∥BC ∴∠AHB =∠GBC ∴∠GBC =∠M

∴∠M =∠MBE 9分 ∴BE =EM =AH +DF

∴BE =AH +DF 10分

A B

C D E F G

H

第24题

M

6. 已知：如图，正方形ABCD中，点E是BA延长线上一点，连接DE，点F在DE上且DF=DC，DG⊥CF于G. DH平分∠ADE交CF于点H，连接BH.

（1）若DG=2，求DH的长；

（2）求证：BH+DH=2CH.

G

H

F

A C B

D E

24. （1）∵DG ⊥CF 且DF ＝CD

∴∠FDG=21

∠FDC.................1分

∵DH 平分∠ADE

∴∠FDH=21

∠ADF.................2分

∴∠HDG=∠FDG-∠FDH=21∠FDC-21

∠ADF =21（∠FDC-∠ADF ）=21

∠ADC=45°....3分

∴△DGH 为等腰直角三角形 ∵DG=2，

∴DH ＝22 .................5分

（2）过点C 作CM ⊥CH, 交HD 延长线于点M ∵∠1+∠DCH=∠2+∠DCH=900 ∴∠1=∠2

又△DGH 为等腰直角三角形 ∴△MCH 为等腰直角三角形 ∴MC=HC

又∵四边形ABCD 为正方形 ∴CD ＝CB

∴△MCD ≌△HCB .................8分 ∴DM ＝BH

又∵△MCH 为等腰直角三角形 ∴DM+DH=2CH

∴BH+DH=2CH .................10分

7． 如图，正方形ABCD 中，P 在对角线BD 上，E 在CB 的延长线上，且PE=PC ，过点P 作PF ⊥AE 于F ，直线PF 分别交AB 、CD 于G 、H ， (1)求证： DH =AG+BE ； (2)若BE=1，AB=3，求PE 的长．

H P G F E D C

B A

24．（1）证明：在DC 上截取DM=BE ，连接AM. ∵四边形ABCD 是正方形

∴∠ABE= ∠ADM=90°，AB=AD

∴△ABE ≌ADM ∴∠1= ∠2 ……2分 ∴∠1+ ∠BAM= ∠2+ ∠BAM=90°，即AM ⊥AE 又∵PF ⊥AE 于F ∴AM ∥FH

又∵AB ∥CD ∴四边形AGHM 是平行四边形 ∴AG=MH ……4分 ∵DH=DM+MH ∴DH=AG+BE ……5分

(2)连接AP .

∵AB=BC, ∠ABP= ∠CBP=45°，BP=BP ∴△ABP ≌△CBP

∴PA=PC, ∠3= ∠4

∵PE=PC ∴PA=PE ……7分 ∵PE=PC ∴∠4= ∠5 ∴∠3= ∠5 又∠ANP= ∠ENB ∴∠3+ ∠ANP= ∠5+ ∠ENB=90°

∴AP ⊥PE ，即△APE 是等腰直角三角形. ……9分

∵BE=1，AB=3 ∴AE=

221310+=

∴

10

522PE === ……10分

8．已知，如图，在?ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE=CD ，点F 为CE 的中点，点G 为CD 上的一点，连接DF 、EG 、AG ，∠1=∠2． （1）若CF=2，AE=3，求BE 的长； （2）求证：∠CEG=∠AGE ．

解答： （1）解：∵CE=CD ，点F 为CE 的中点，CF=2， ∴DC=CE=2CF=4，

∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD=4， ∵AE ⊥BC ， ∴∠AEB=90°，

4

5

3

12

N

M

H P

G

F E D C

B

A

在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE==；

（2）证明：过G作GM⊥AE于M，

∵AE⊥BE，

∴GM∥BC∥AD，

∵在△DCF和△ECG中，

，

∴△DCF≌△ECG（AAS），

∴CG=CF，

∵CE=CD，CE=2CF，

∴CD=2CG

即G为CD中点，

∵AD∥GM∥BC，

∴M为AE中点，

∵GM⊥AE，

∴AM=EM，

∴∠AGE=2∠MGE，

∵GM∥BC，

∴∠EGM=∠CEG，

∴∠CEG=∠AGE．

9. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。

（1）求证：OE=OF

（2）若BC=23，求AB的长。

10．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．

（1）若CE=1，求BC的长；

（2）求证：AM=DF+ME．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，

∴∠1=∠ACD，

∵∠1=∠2，

∴∠ACD=∠2，

∴MC=MD，

∵ME⊥CD，

∴CD=2CE，

∵CE=1，

∴CD=2，

∴BC=CD=2；

（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，

∴BF=CF=BC，

∴CF=CE，

在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，

∴∠ACB=∠ACD，

在△CEM和△CFM中，

∵，

∴△CEM≌△CFM（SAS），

∴ME=MF，

延长AB交DF的延长线于点G，

∵AB∥CD，

∴∠G=∠2，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠G，

∴AM=MG，

在△CDF和△BGF中，

∵，

∴△CDF≌△BGF（AAS），

∴GF=DF，

由图形可知，GM=GF+MF，

∴AM=DF+ME．

12．如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE中点，连接

∠=∠．

BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且12

（1）若AD=2，DE=1，求AP的长；

（2）求证：PB=PF＋FM．

14、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；

（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．

证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，

∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，

在△DAC和△BAE中，

AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，

∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴DC=BE；

（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，

由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，

∴∠DGF=∠FAE=90°，

又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°，

又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，

∴∠DBG=∠ABC=60°，

在△DGB和△ACB中，

∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，

∴△DGB≌△ACB（AAS），

∴DG=AC，

又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，

∴DG=AE，

在△DGF和△EAF中，

∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，

∴△DGF≌△EAF（AAS），

∴DF=EF，即F为DE中点．

20、已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连结AF、CF.求证：

(1)∠ADF=∠BCF；

(2) AF⊥CF.

证明：（1）在矩形ABCD中，

∵∠ADC=∠BCD=90°，

∴∠DCE=90°，

在Rt△DCE中，

∵F为DE中点，

∴DF=CF，

∴∠FDC=∠DCF，

∴∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF，

即∠ADF=∠BCF；

（2）连接BF，

∵BE=BD，F为DE的中点，

∴BF⊥DE，

∴∠BFD=90°，即∠BFA+∠AFD=90°，

在△AFD和△BFC中AD=BC ∠ADF=∠BCF CF=DF ，

∴△ADF≌△BCF，

∴∠AFD=∠BFC，

∵∠AFD+∠BFA=90°，

∴∠BFC+∠BFA=90°，

即∠AFC=90°， ∴AF ⊥FC ．

24、如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点，点Q 是AB 上一点，连接CQ ，DP ⊥CQ 于点E ，交BC 于点P ，连接OP ，OQ ； 求证：

（1）△BCQ ≌△CDP ； （2）OP=OQ ．

证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD ， ∴∠2+∠3=90°， 又∵DP ⊥CQ ， ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3，

在△BCQ 和△CDP 中，

∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ． ∴△BCQ ≌△CDP ． （2）连接OB ． 由（1）：△BCQ ≌△CDP 可知：BQ=PC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC ， 而点O 是AC 中点， ∴BO=

21AC=CO ，∠4=2

1

∠ABC=45°=∠PCO ， 在△BCQ 和△CDP 中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO ∴△BOQ ≌△COP ， ∴OQ=OP ．

25.如图，点E 为矩形ABCD 外一点，DE ⊥BD 于乎点D, DE= CE ，BD 的垂直平分线交AD 于点

F ，交BD 于点G.连接EF 交BD 于点H.(1)若∠CDE=∠DEH=∠2

1

HEC, 求∠ABG 度数；

(2)求证：H 为EF 中点．

3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．

（1）求证：∠BFC=∠BEA；

（2）求证：AM=BG+GM．

证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，在△ABE和△CBF中，

AB=BC ∠ABC=∠ABC BE=BF ，

∴△ABE≌△CBF（SAS），

∴∠BFC=∠BEA；

（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，

AB=AD ∠DAC=∠BAC=45°AG=AG ，

∴△ABG≌△ADG（SAS），

∴BG=DG，∠2=∠3，

∵BG⊥AE，

∴∠BAE+∠2=90°，

∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，

∴∠2=∠3=∠4，

∵GM⊥CF，

∴∠BCF+∠1=90°，

又∠BCF+∠BFC=90°，

∴∠1=∠BFC=∠2，

∴∠1=∠3，

在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，

∴∠DGC也是△CGH的外角，

∴D、G、M三点共线，

∵∠3=∠4（已证），

∴AM=DM，

∵DM=DG+GM=BG+GM，

∴AM=BG+GM．