新教材人教A版(2019)高中数学必修第一册第3章 3.2.2 第1课时奇偶性的概念课件
小 结 提
探
新 知
素
又函数f(x)＝
1 3
x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特
养
课
合 点，易得b＝0.
时
作
分
探 究
(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
层 作
释
疑
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，
业
难
∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.]
小 结
学
提
探 新
________.
素
知
[思路点拨]
(1) fx是偶函数 ―定原―义点―域―对关―称于→ 求a的值 ―图y―轴象―对关―称于→
养 课
合
时
作 求b的值
分
探
层
究
作
释
业
疑
难
返 首 页
33
1 (1) 3 0 (2)7
[(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 课
情
堂
景 导 学
a－1＝－2a，解得a＝31.
养
(3)解析式特点：偶函数满足f(－x)＝f(x)或f(x)－f(－x)＝0，奇函 课
合
时
作 探
数满足f(－x)＝－f(x)或f(x)＋f(－x)＝0.
分 层
究
作
释
2．掌握2种方法——判断函数奇偶性的方法
业
疑
难
(1)定义法；(2)图象法．
返
首
页
38
课
情
堂
景
小
导
结
学
提
探 新
3．规避1个误区
素
知
养
忽略函数的定义域的对称性，只有定义域关于原点对称，才可
课 时
作
分
探 究 释
所以，函数 f(x)＝x12为偶函数．
层 作 业
疑
难
返 首 页
17
课
情 景
判断函数奇偶性的两种方法
堂 小
导
学
(1)定义法：
结 提
探
新
素
知
养
课
合
时
作
分
探
层
究
作
释
业
疑
难
返 首 页
18
课
情
堂
景
小
导
结
学
探
(2)图象法：
新
提 素
知
养
课
合
时
作
分
探
层
究
作
释
业
疑
难
返 首 页
19
[跟进训练]
课
合
时
作
C [∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即 a＝1.] 分
探
层
究
作
释
业
疑
难
返 首 页
12
课
情
堂
景
小
导
结
学
提
探
新 知
合作
探究
释疑
难
素 养
课
合
时
作
分
探
层
究
作
释
业
疑
难
返 首 页
13
函数奇偶性的判断
课
情
堂
景
小
导
结
学
探
【例 1】 判断下列函数的奇偶性：
新
提 素
知
(1)f(x)＝x4；(2)f(x)＝x5；
小 结
学
探 的图象如图所示．
新
提 素
知
养
课
合
时
作
分
探
层
究
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
作
释
业
疑 难
(2)写出使 f(x)<0 的 x 的取值集合．
返 首 页
24
课
情 景
[解] (1)因为函数 f(x)是奇函数，所以 y＝f(x)在[－5,5]上的图象 堂 小
导
学 关于原点对称．
结 提
探
新 知
素
由 y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示． 养
课
合
时
作
分
探
层
究
作
释 疑
(2)由图象知，使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2,5)． 业
难
返 首 页
25
课
情
堂
景
小
导
结
学
提
探
新
素
知
养
(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问
课
合 题．
作 业
疑
难
返 首 页
22
课
情
堂
景
小
导 学 探 新
－x＋1，x>0，
即 f(－x)＝0，x＝0，
结 提 素
知
－x－1，x<0.
养
课
合
于是有 f(－x)＝－f(x)．
时
作
分
探 究
所以 f(x)为奇函数．
层 作
释
业
疑
难
返 首 页
23
奇偶函数的图象问题
课
情
堂
景 导
【例 2】
已知奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上
养
合 作
(3)f(x)＝x＋1x；(4)f(x)＝x12.
课 时 分
探
层
究
作
释
业
疑
难
返 首 页
14
[解] (1)函数 f(x)＝x4 的定义域为 R.
课
情
景
因为∀x∈R，都有－x∈R，且
堂 小
导
结
学 探
f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，
提
新 知
所以，函数 f(x)＝x4 为偶函数．
素 养
(2)函数 f(x)＝x5 的定义域为 R.
第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质 3.2.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
2
课
情
堂பைடு நூலகம்
景 导
学习目标
核心素养
小
结
学
探 新
1.理解奇函数、偶函数的定义． 1.借助奇(偶)函数的特征，培
提 素
知 2．了解奇函数、偶函数图象的特 养直观想象素养．
养
合 征．
2．借助函数奇、偶的判断方
课 时
作
分
探 究
课 时
作 探
∴f(x)为奇函数．
分 层
究
作
释 疑
由 f(－x)－f(x)＝0 得 f(－x)＝f(x)，
业
难
∴f(x)为偶函数．
返
首
页
31
课
情
堂
景
小
导 学
2．若 f(x)是奇函数且在 x＝0 处有定义，则 f(0)的值可求吗？若
结 提
探
新 f(x)为偶函数呢？
知
素 养
提示：若 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0；若 f(x)为偶函数，无法求出 课
探
层
究 释
数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4.]
作 业
疑
难
返 首 页
36
课
情
堂
景
小
导
结
学
提
探
新 知
课堂
小结
提素
养
素 养
课
合
时
作
分
探
层
究
作
释
业
疑
难
返 首 页
37
课
情
景
1．理解1个概念——函数的奇偶性
堂 小
导
结
学 探
(1)定义域特点：关于原点对称；
提
新
素
知
(2)图象特点：偶函数关于y轴对称；奇函数关于原点对称；
1 x
的图
养 课
合
时
作 探 究
象，我们发现，函数f(x)＝x2的图象关于y轴对称，而函数f(x)＝
1 x
的图
分 层 作
释
疑 象关于原点对称．
业
难
返 首 页
5
课
情
堂
景
小
导
结
学
探
问题：如何用数量关系来刻画函数图象的这种对称性呢？
新
提 素
知
养
提示：若函数 f(x)满足 f(－x)＝f(x)，则 f(x)的图象关于 y 轴对称；
课
合 作
若函数 f(x)满足 f(－x)＝－f(x)，则 f(x)的图象关于原点对称．
时 分
探
层
究
作
释
业
疑
难
返 首 页
6
情
景
导
学
函数的奇偶性
探
新 知
奇偶性
偶函数
课
堂
小
结
提
素
奇函数
养
条件 设函数 f(x)的定义域为 I，如果∀x∈I，都有－x∈I 课
合
时
作
结论
探
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
课 堂
景
人教A版高中数学必修第一册第3章3-2-2第1课时奇偶性的概念课件
1234
回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．具有奇偶性的函数，其定义域、图象和解析式各有什么特点？ [提示] (1)定义域特点：关于原点对称； (2)图象特点：偶函数关于y轴对称；奇函数关于原点对称； (3)解析式特点：偶函数满足f (－x)＝f (x)或f (x)－f (－x)＝0，奇函数 满足f (－x)＝－f (x)或f (x)＋f (－x)＝0． 2．判断函数奇偶性的常用方法有哪些？ [提示] 定义法和图象法．
x f (x)＝x2
－3
－2
－1
1
2
3
知识点 函数的奇偶性
奇偶性
偶函数
奇函数
条件 设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D
结论
f (－x)＝__f_(_x_)_
f (－x)＝_－__f_(_x_)__
图象特点
关于_y_轴_对称
关于原__点__对称
提醒 (1)函数的奇偶性是函数的整体性质． (2)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称． (3)当f (x)的定义域关于原点对称时： ①若f (－x)≠±f (x)⇔f (x)是非奇非偶函数． ②若f (－x)＝±f (x)⇔f (x)既是奇函数又是偶函数．
第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质 3.2.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
学习 任务
1．理解奇函数、偶函数的定义．(数学抽象) 2．了解奇函数、偶函数图象的特征．(直观想象) 3．掌握判断函数奇偶性的方法．(逻辑推理)
01
必备知识·情境导学探新知
填写下表，观察指定函数的自变量x互为相反数时，函数值之间 具有什么关系，并分别说出函数图象应具有的特征．
(2)若f (x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝____4____． 4 法一：f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f (－x)＝(－x＋ a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4． 法二：f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数， 只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4． 法三：由函数f (x)＝0得x1＝－a，x2＝4，由于f (x)是偶函数， ∴4－a＝0，∴a＝4．
3.2.2函数的奇偶性-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义
新教材必修第一册3.2.2：函数的奇偶性课标解读：1. 函数的奇偶性的概念.（理解）2. 函数奇偶性的几何意义.（了解）3. 函数奇偶性的应用.（掌握） 学习指导：1. 学习时，应类比单数单调性，先由具体函数入手，对函数奇偶性有初步认识，然后由此抽象概括并用符号语言描述奇、偶性的定义.2. 实际上，函数的奇偶性就是平面几何中心对称图形，轴对称图形的解析表示. 知识导图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧函数奇偶性的应用函数奇偶性的判断方法单调性特征图像特征定义域特征奇、偶函数的特征函数奇偶性的定义函数的奇偶性 知识点1：函数的奇偶性 1.定义2.常见函数的奇偶性3.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设)(),(x g x f 的定义域分别是F 、G ，若F=G ，则有下列结论：例1-1：给出下列结论：①若)(x f 的定义域关于原点对称，则)(x f 是偶函数； ②若)(x f 是偶函数，则它的定义域关于原点对称； ③若)2()2(f f =-，则)(x f （R x ∈）是偶函数； ④若)(x f （R x ∈）是偶函数，则)2()2(f f =-； ⑤若)2()2(f f ≠-，则)(x f （R x ∈）不是偶函数； ⑥既是奇函数又是偶函数的函数一定是)(0)(R x x f ∈=；⑦若)(x f 是定义域为R 的奇函数，则0)0(=f . 其中正确的结论是 .（填序号） 答案：②④⑤⑦例1-2：若函数)0)()((≠x f x f 为奇函数，则必有（ ）A.0)()(>-⋅x f x fB.0)()(<-⋅x f x fC.)()(x f x f -<D.)()(x f x f -> 答案：B知识点2：奇、偶函数的图像特征（几何意义） 1.奇函数的图像特征若一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 2.偶函数的图像特征若一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.奇、偶函数的单调性根据奇、偶函数的图像特征，我们不难得出以下结论.（1）奇函数在关于端点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.例2-3：下列四个结论：①偶函数的图像一定与y 轴相交；②奇函数的图像一定经过原点； ③偶函数的图像关于y 轴对称；④奇函数))((R x x f y ∈=的图像必经过点)).(,(a f a - 表述正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D.4 答案：A例2-4：已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的取值范围是（ ）.A.)32,31(B.)32,31[C.)32,21(D.)32,21[ 答案：A重难拓展知识点3：函数图像的对称性 1.图像关于点成中心对称图像结论1：函数)(x f y =的图像关于点）（b a P ,成中心对称图形的充要条件是函数b a x f x g -+=)()(为奇函数.一般结论：2.图像关于直线成轴对称图形结论2：函数)(x f 的图像关于直线a x =成轴对称图形的充要条件是函数)()(a x f x g +=为偶函数. 一般结论：例3-5：在定义在函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=.若)(x f 在区间上单调递减，则)(x f （ ）.A.在区间]1,2[--上单调递增，在区间]4,3[上单调递增B.在区间]1,2[--上单调递增，在区间]4,3[上单调递减C.在区间]1,2[--上单调递减，在区间]4,3[上单调递增D.在区间]1,2[--上单调递减，在区间]4,3[上单调递减 答案：B变式训练：若函数),(3)(2R b a bx ax x f ∈++=满足)1()1(x f x f -=+，且)(x f 的最大值为4，则=)(x f . 答案：322++-x x例3-6：函数233)(x x x f -=的图像的对称中心是（ ）A.（1,2）B.（-1,-2）C.（1,-2）D.（-1,2） 答案：C题型与方法题型1：函数奇偶性的判断 1.一般函数的奇偶性的判断 例7:判断下列函数的奇偶性；（1）;1)(23--=x x x x f （2）|;2||2|)(+--=x x x f （3）),0()(2R a x xa x x f ∈≠+=； （4）1111)(22+++-++=x x x x x f .答案：（1）既不是奇函数也不是偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数；（4）奇函数.变式训练：已知|,2|)(,4)(2-=-=x x g x x f 则下列结论正确的是（ ） A. )()()(x g x f x h +=是偶函数 B. )()()(x g x f x h ⋅=是奇函数 C. xx g x f x h -⋅=2)()()(是偶函数 D. )(2)()(x g x f x h -=是奇函数 答案：D2.分段函数奇偶性的判断例8：已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-->+=0,1210,121)(22x x x x x f ，则（ ）.A. )(x f 是奇函数B. )(x f 是偶函数C. )(x f 既是奇函数又是偶函数D. )(x f 既不是奇函数也不是偶函数 答案：A例9：如果)(x f 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）. A.)(x f x y += B.)(x xf y = C.)(2x f x y += D.)(2x f x y = 答案：B例10.（1）已知函数R x x f ∈),(，若R b a ∈∀,，都有)()()(b f a f b a f +=+，求证：)(x f y =为奇函数.（2）已知函数R x x f ∈),(，R x x ∈∀21,，都有)()(2)()(212121x f x f x x f x x f ⋅=-++，求证：)(x f y =为偶函数.（3）设函数)(x f 是定义在),(l l -上，证明：)()(x f x f -+是偶函数，)()(x f x f --是奇函数. 答案：略题型2：奇、偶函数图像特征的应用例11：已知)(x f y =是偶函数，)(x g y =是奇函数，它们的定义域都是]3,3[-，且它们在]3,0[上的图像如图所示，则不等式0)()(<x g x f 的解集是 .答案：}321012|{<<<<-<<-x x x x 或或例12：（1）奇函数)(x f y =的局部图像如图所示，则)2(f 与)4(f 的大小关系为 .（2）已知)(x f 是定义在]3,0()0,3[⋃-上的奇函数，当0>x 时，)(x f 的图像如图所示，那么)(x f 的值域是 .答案：（1）)4()2(f f > （2）]3,1()1,3[⋃-- 题型3：函数奇偶性的应用 1.利用奇偶性求参数的值例13：（1）若函数b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，定义域为]2,1[a a -，则a = ；=b .（2）若)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = . （3）已知函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则a = . 答案：（1）310 （2）4 （3）-1变式训练：若函数),)(2)(()(为常数b a a bx a x x f ++=是偶函数，且它的值域为]4,(-∞，则该函数的解析式)(x f = .答案：422+-x2.利用奇偶性求函数的值例14：（1）已知8)(35-++=bx ax x x f ，且10)2(=-f ，则=)2(f （ ）. A.-26 B. -18 C.-10 D.10 （2）已知)(x f 为奇函数，3)2(,2)()(=-+=g x f x g ，则=)2(f （ ）. A.-1 B. 0 C.1 D.2（3）设函数1)1()(22++=x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则M+n= .答案:（1）A （2）A （3）2例15：设)(x f 是R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ）A.0.5B. -0.5C.1.5D.-1.5 答案：B3.利用奇偶性求分段函数形式的解析式例16：（1）已知函数)(x f 为R 上的偶函数，且当0<x 时，)1()(-=x x x f ，则当0>x 时，=)(x f .（2）)(x f 为R 上的奇函数，当0>x 时132)(2++-=x x x f ，则)(x f 的解析式为=)(x f .（3）已知⎩⎨⎧>+≤+=0,0,)(22x bx ax x x x x f 为奇函数，则b a += .答案：（1）)1(+x x （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-+=>++-0,1320,00,13222x x x x x x x （3）0变式训练：若函数)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，11)()(-=+x x g x f ，则)(x f = .4.函数奇偶性的综合应用 1.函数奇偶性与单调性综合例17：已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间[0,2]上单调递增，则（ ）A.)4()3()1(f f f <<-B.)1()3()4(-<<f f fC.)1()4()3(-<<f f fD.)3()4()1(f f f <<- 答案：D例18:：（1）已知函数)(x f y =在定义域[-1,1]上既是奇函数，又是减函数，若0)1()1(2<-+-a f a f ，则实数a 的取值范围为 .（2）定义在[-2,2]上的偶函数)(x f 在区间[0,2]上单调递减，若)()1(m f m f <-，则实数m 的取值范围为 .2.函数奇偶性与对称性的综合例19:（1）定义在R 上的函数)(x f 在)2,(-∞上单调递增，且)2(+x f 为偶函数，则（ ） A.)3()1(f f <- B.)3()0(f f > C.)3()1(f f =- D.)3()0(f f = （2）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于直线21=x 对称，则)2()1(f f + +=++)5()4()3(f f f . 答案：（1）A （2）0易错提醒易错1： 没有搞清分段函数的概念致错例20：判断函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=<++=0,320,30,32)(22x x x x x x x x f 的奇偶性.答案：既不是奇函数也不是偶函数易错2：判断含参函数的奇偶性时忽略对参数的讨论致错.例21：已知函数R x a x x x f ∈+-+=,1||)(2，a 为实数，判断函数)(x f 的奇偶性. 答案：0=a 时，是偶函数；0≠a 时，既不是奇函数也不是偶函数高考链接考向1：函数奇偶性的直接考察例23：设函数)(x f ，)(x g 的定义域都为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A.)()(x g x f 是偶函数B.|)(|)(x g x f 是奇函数C.)(|)(|x g x f 是奇函数D.|)()(|x g x f 是奇函数答案：B例24：设函数ax x a x x f +-+=23)1()(，)(x f 是奇函数，则=a .答案：1例25：已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当)0,(-∞∈x 时，,2)(23x x x f +=则=)2(f .答案：12例26：函数)(x f 在),(+∞-∞上单调递减，且为奇函数.若1)1(-=f ，则满足1)2(1≤-≤-x f 的x 的取值范围是（ ）A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案：D基础巩固1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b}，则a+b=（ ）. A.-1 B.1 C.0D.22.下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞上单调递增的是（ ）. A.x x f =)( B.1)(2+-=x x fC.xx f 1)(= D.1||)(-=x x f3.如图奇函数)(x f 在区间[3,7]上单调递减且最小值为5，那么)(x f 在区间[-7，-3]上（ ）.A.单调递增且最小值为-5B.单调递增且最大值为-5C.单调递减且最小值为-5D.单调递减且最大值为-54.已知偶函数)(x f 在区间[-3，-1]上单调递减，则)2(),1(),3(f f f -的大小关系为 .5.若定义在(-1,1)上的奇函数1)(2+++=nx x m x x f ，则常数m ，n 的值分别为 .6.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，x x x f 2)(2+=.（1）现已画出)(x f 在y 轴及y 轴左侧的图像，如图所示，请把函数)(x f 的图像补充完整，并根据图像写出)(x f 的单调递增区间；（2）写出函数)(x f 的值域.能力提升：7.设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）.A.)(|)(|x g x f -是奇函数B.)(|)(|x g x f +是偶函数C.|)(|)(x g x f -是奇函数 B.|)(|)(x g x f +是偶函数8.若定义在R 上的函数)(x f 满足：R x x ∈∀21,，有)()()(2121x f x f x x f +=++1，则下列说法一定正确的是（ ）.A.)(x f 是奇函数B.)(x f 是偶函数C.1)(+x f 是奇函数D.1)(+x f 是偶函数9.已知函数)(x f 是定义在]2,1[a a -上的偶函数，且当0>x 时，)(x f 单调递增，则关于x 的不等式)()1(a f x f >-的解集为（ ） A.)35,34[ B.]35,34()32,31[⋃ C.)32,31[]31,32(⋃-- D.无法确定，随a 的变化而变化 10.已知函数)(x f y =是偶函数，其图像与x 轴有9个交点，则方程0)(=x f 的所有实数根之和是（ ）A.0B.3C.6D.911.已知定义在R 上的函数)(x f 在)2,(-∞上单调递减，且)2(+x f 为偶函数，则)211(),4(),1(f f f -的大小关系为（ ） A.)211()1()4(f f f <-< B.)211()4()1(f f f <<- C.)1()4()211(-<<f f f D.)4()211()1(f f f <<- 12.若,+∈∈N n R x ，定义：)1(...)2)(1(-+⋅⋅++=n x x x x M n x ，例如）（）（）（）（234555-⨯-⨯-⨯-=-M 1201-=-⨯）（，则函数199)(-=x xM x f （ ）A. 是偶函数B.是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数13.已知)(x f 是奇函数，当0<x 时，x x x f 2)(2+=，则)1(f 的值是 .14.函数)(x f 是奇函数，且在[-1,1]上单调递增，1)1(-=-f .（1）则)(x f 在[-1,1]上的最大值为 .（2）若12)(2+-≤at t x f 对任意∈x [-1,1]及任意∈a [-1,1]都成立，则实数t 的取值范围是 .15.已知)(x f 是定义在R 上的函数，设2)()()(,2)()()(x f x f x h x f x f x g --=-+=. （1）试判断)(x g 与)(x h 的奇偶性；（2）试判断)(x g ，)(x h 与)(x f 的关系；（3）由此你能猜想出什么样的结论？16.已知函数21)(x b ax x f ++=是定义在（-1,1）上的奇函数，且.52)21(=f （1）确定函数)(x f 的解析式；（2）用定义证明)(x f 在（-1,1）上是增函数;（3）解不等式：0)()1(<+-t f t f .17.已知定义在),0()0,(+∞⋃-∞上的函数)(x f 满足：①)()()(),,0()0,(,y f x f xy f y x +=+∞⋃-∞∈∀ ②当1>x 时，,0)(>x f 且1)2(=f .（1）判断函数)(x f 的奇偶性；（2）判断函数在),0(+∞上的单调性；（3）求函数)(x f 在区间]4,0()0,4[⋃-上的最大值；（4）求不等式4)()23(≥+-x f x f 的解集.参考答案1. A2. D3. B4. )3()2()1(-<<f f f5. 0 06. （1）图像略 )(x f 的单调增区间是),1(,0,1+∞-）（ （2）值域为),1[+∞ 7. D8. C9. B10. A11. A12. A13. 114. （1）1 （2）}202|{≥=-≤t t t t 或或15. （1）)(x g 是偶函数 )(x h 是奇函数 （2）)()()(x h x g x f += （3）如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.16. （1）21)(x x x f += （2）略 （3）}210|{<<t t 17. （1）)(x f 为偶函数 （2）单调递增 （3）2 （4）}382{≥-≤x x 或.。
函数的奇偶性第一课时课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
A.－7
B.－5
C.－3
D.3
解析 ∵f(2 020)＝a×2 0203＋b×2 020－2＝3， ∴a×2 0203＋b×2 020＝5， ∴f(－2 020)＝－a×2 0203－b×2 020－2 ＝－5－2＝－7. 答案 A
一个函数的部分可能 具有奇偶性，注意要 善于观察利用。
课堂精讲
已知 f(a)求 f(－a)，判断 f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性 的函数，利用奇偶性找出 f(a)与 f(－a)的关系即可.
判断函数是非奇非偶函数 ，只需找一适当的不符合 奇偶函数定义的特例即可
解 对任意 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)， 则函数 f(x)为偶函数；
则 f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0， 即 f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)， 则函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
②当 a≠0 时，f(x)＝x2＋ax(x≠0)， 取 x＝1，得 f(1)＝1＋a，取 x＝－1， 得 f(－1)＝1－a，
综上所述，当 a≠0 时， 函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数； 当 a＝0 时，函数 f(x)为偶函数.
课堂精讲
角度 4 含参函数奇偶性的判断 【例 1－4】 判断下列函数的奇偶性：
求证：f(x)为偶函数；
(3)若函数 f(x)的定义域为(－l，l)(l>0)，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数.
(3)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)，
又 F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
可见 f(－x)的定义域也是(－l，l).
G(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]
高中数学人教A版 必修1《3.2.2函数的奇偶性》课件（16张PPT）
一看
二找
三判断
看定义域 是否关于 原点对称
找 f x与
f x的
下结
关系
论
函数奇偶性的判断
变式训练1 判断下列函数的奇偶性：——定义法
（1）f x 4 x2 （2）f x x2x 1
x 1
（3）f x 0
按照奇偶性将函数分类为：
①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④既奇又偶函数
函数奇偶性的判断 ——图象直观感知
利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以 及复合函数的奇偶性判断.
f x
偶
偶
奇
奇
gx
偶
奇
奇
偶
f x gx
f x gx
f x gx
f g(x)
研究题 借助几何画板绘制大量函数图象并归纳函数的单调
性与函数的奇偶性的关系。来自f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)
不同点
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
补充：奇偶性是函数在其定义域上的整体性质
函数奇偶性的判断
例6 判断下列函数的奇偶性： ——定义法
（1）f x x4
偶函数 （2） f x x5 奇函数
（3）f x x 1
x
奇函数
（4）
f
x
1 x2
偶函数
归纳： 根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
f x x2
…
9
4
1
0
14
…
9
gx 2 | x | … -1
0
1
2
1
0
…
-1
f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1
几何画板
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值相等
3.2.3 函数的奇偶性(课件)高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)原创精品
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果
∀x∈I，都有-x∈I，且 f(-x)＝f(x)，
那么函数f(x)就叫做偶函数.
例如，函数f(x)=x2+1,
2
g(x)= 2 都是偶函数.
+11
2 奇函数
1
观察函数f(x)＝x和g(x)＝ 的图象,你能发现这两个函
数图象有什么共同特征吗？
图形特征：图象关于原点O对称；
分
类
讨
论
解：(2)定义域为R，
当a≠0时，f(-x)=-f(x)
函数f(x)= + − − 是奇函数；
当a=0时，f(x)=0在R上恒成立
函数f(x)= + − − 既是奇函数又是偶函数.
方法：定义域关于原点对称，只需分两种情况考虑f(x)与
f(-x)的关系即可.
7.已知奇函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，则不等式
当x<0时，-x>0 , 从而f(-x)=-x(1-x)+1,
又f(-x)=-f(x)
所以x<0时 f(x)=x(1-x)-1，
(1 + ) + 1 (x > 0)
(x = 0)
故f(x)解析式为 f(x)= 0 ,
(1 − ) − 1 (x < 0)
4.已知f(x)，g(x)是R上的奇函数，试判断
故 f(-m)=g(-m)+4= 3
方法：利用奇函数的性质，推导出f(m)与f(-m)的关系.
2.设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且
f(x)+g(x)=x2+2x，求函数f(x)、g(x)的解析式.
高中数学人教A版(2019)必修第一册第三章3.2.2函数的奇偶性精品课件(27张PPT)
∴f∴ (xf)(=x)=x2是 是偶 既函奇数 . 又偶函数
课堂小结
1、奇偶函数的定义： 函数的定义域为 I，如果 ∀x∈I都有-x∈I
①且若有 f(-x)=-f(x)，函数为奇函数 ②且若有 f(-x)=f(x) ，函数为偶函数
2、奇偶函数图象性质：
①函数为奇函数 函数图象关于原点对称.
②函数为偶函数 函数图象关于 y轴对称.
奇函数定义： 一般的，设函数的定义域为 I，如果∀ _x_∈ __I_，都
有-_x_∈ __I_，且f(-x)=-f(x)，那么函数 f (x)就叫做奇函数.
问题： f(x )= x ， x ∈ (-1 ， + ∞ )是奇函数吗？
y 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3
2 3x
不是。 奇函数的定义域也关于原点对称。
课前准备
同学们你们是最棒的！课堂是你们 自我展示的舞台，带上激情尽情 遨游于知识的海洋吧！ 1、课本、导学案、纠错本、练习 本、双色笔。 2、根据学案引导预习新课。
函数的奇偶性
学习目标：
知识与技能目标：理解奇函数、偶函数的定义， 掌握判断函数奇偶性的方法，培养学生判断、推 理的能力。 过程与方法目标：通过奇偶性概念的形成过程， 培养学生观察、归纳抽象的能力，渗透数形结合 的数学思想。 情感态度价值观目标：通过数学的对称美来陶冶 学生的情操，使学生学会认识事物的特殊性与一 般性之间的关系。
解（（41））由函题数可的知定， 义域为 R.
（3）由题可知，
( ) :
且 ∀ f( 1x- xx ∈ -2) x-= 1R 2 ≥ ,( ≥都 -x 00)5 ∴ = -x有 - x2x ∈ 5 == R 1- ,f(x )
数学人教A版必修第一册3.2.2函数的奇偶性课件
概念应用
例4. 判断下列函数的奇偶性。
（1） = + 1
既不是奇函数，也不是偶函数。
（2） = 0
既是奇函数，又是偶函数。
例5. 已知 是定义在 −3,0 ∪ 0,3 上的奇函数， 图
像部分如图所示，解不等式 < 0的解集。
解集： −1.25 , 0 ∪ 1.25 , 3
；
综上可知， 是偶函数。
解：
奇函数
①定义域：R
② ∀ ∈R，都有− ∈R.
且 − = (−)5 = − 5 =
− ；
综上可知， 是奇函数。
2 是偶函数，其中 是整数
2+1 是奇函数，其中 是整数
课本P85 练习
例2. 已知 是偶函数，试将下图补充完整。
偶函数：一般地，设函数()的定义域为I，如果 ∀ ∈I，都有− ∈I
且 − = ()，那么函数()就叫做偶函数。
我们学过的函数里面，哪些是偶函数？
= 2 + 4
= +2
=1
=
X
判断正误
1.定义在R上的函数 () 满足 1 = (−1)， 则 () 是偶函数。
都有 − ∈I，且 − = −() ，那么函数 () 就叫做奇函数。
奇函数
函数具有奇偶性的前提：
函数的定义域关于原点对称
图像关于原点对称
概念应用
例1. 判断下列函数的奇偶性
1 = 4 （2） = 5
解：
偶函数
①定义域：R
② ∀ ∈R，都有− ∈R.
且 − = (−)4 = 4 =
高中数学人教A版-2019)必修第一册第3章《3.2.2奇偶性》课件(16张PPT)
判断下列函数的奇偶性：
（3）一般地，如果知道函数为偶（奇）函数，那么
a.
你能根据函数的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？
奇函数图象关于2原.点两对个称．性质：
非奇非偶函数
（2）如图，是函数
（1）判断函数
课本第85页练习第2题
观察函数
和
判断下列函数的奇偶性：
奇函数 图象的一部分，
的奇偶性。
图象关于原点对称;
的图象偶，你函能发数现这两个函数有图什么象共关同特于征吗y？轴对称.
f(-x)=f(x)，
反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数. 课本第85页练习第1题
观察函数
和
的图象，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？
在平面直角坐标3系.中两，个利用判描点法法作：出函数
和
偶函数
图象关于y轴对称.
图象关于原点对称
f (x) x
g(x) 1 x
奇函数定义
一般地，设函数 f (x) 的定义域为I,如果ⱯxI,都
有-xI,且 f (x) f (x) ,那么函数 f (x) 就叫做奇函数。
两个条件： ① 定义域关于原点对称
② f (x) f (x)
奇函数图象特征： 奇函数图象关于原点对称．
说明：奇偶函数图象的性质可用于： a.简化函数图象的画法. b.判断函数的奇偶性
七、课堂小结
1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
非奇非偶函数 ，都有
f(－x)=－f(x)
,
f(x)为奇函数;
奇函数图象关于原点对称．
f(－x)=f(x)
f(x)为偶函数.
且
,那么函数 f(x) 就叫做偶函数。
高中数学人教A版(2019) 必修第一册第三章3.2.2奇偶性 课件(23张PPT)
两个函数值相等，即 f (x） f (x) g(x) g(x).
二、共同探究
g(x) 2 | x |
问题二：对于 x R, f (x) x2是否满足 f (x) f (x) 这种关系呢？你能根据函数解析式作出判断吗
？实际上，x R, 都有 f (x) (x)2 x2 f (x)
同理 x R, g(x) 2 | x | 2 | x | g(x).
，
问题三：如果一个函数 y f (x) 的图象关于
y轴对称，且定义域为I,那么对于 xI ,函 数 y f (x) 是否满足 f (x) f (x) 这种关系呢
？ P(x,y) 关于y轴的对称点 Q(-x,y)
f (x) f (x)
P(x, f (x) )
Qபைடு நூலகம்-x, f (x) )
三、学习新知——偶函数的定义
偶函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如
果 x I，都有 x I，且 f (x) f (x)，那么函数 f(x)做偶函数.
1.偶函数的定义域关于 原点 对称；
2.偶函数的表达式满足 f (x) f (x)； 代数特征
3.偶函数的图象关于y轴对称. 几何特征
小组合作，自主探究
要求：同学们以小组为单位，按照课本P83页的探究要求，仿照偶函数定义的探究过程，以函数 为例，自主探究奇函数的定义。探究结束后，由同学代表展示探究成果.
3.奇函数的图象关于原点对称. 几何特征
三、学习新知——奇偶性
如果一个函数 f (x)是奇函数或偶函数， 那么我们就说函数 f (x) 具有奇偶性. 思考1 奇偶性是函数在其定义域上的 整体 性质。
四、新知应用——例题精讲
例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
新人教版高中数学必修第一册3.2.2函数的奇偶性(课件)
奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】（2）奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性： 设 ， 的定义域分别是A和B，在公共定义域上有：
偶
偶
偶
奇
偶
偶
偶
奇
偶
偶
【注】上表中不考虑
和
中需
，
.
奇
奇
奇
偶
奇
奇
偶
奇
奇
偶
的情况；
【1】已知 是偶函数， 是奇函数，将下面的图像补充完整.
【解】根据奇偶函数的对称性，分别将偶函数沿着y轴作对称； 把奇函数沿着原点作中心对称，答案见图上.
【解】(1)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断：
所以此函数是偶函数；
【解】(2)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断： 所以此函数是奇函数；
【解】(3)首先判断定义域为
，关于y轴对称，再判断：
判断函数奇 偶性，首先 要看定义域.
【解】(3)首先判断定义域为
所以此函数是奇函数； ，关于y轴对称，再判断： 所以此函数是偶函数.
“ THANKS ”
【2】几何法，函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数
要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可
偶函数 偶函数
图像关于y轴对称
本资料分享自高中数学 同步资源千人教师QQ群 483122854 本群专注同 代数特步入征资与源分收享集 期待你的加
几何特征
定义中，
函数奇偶性的判断
利用定义判断函数奇偶性的方法： 【1】一看定义域：奇函数和偶函数的定义域一定关于y轴对称，如果一个函数的定
义域关于y轴对称，那么它才有可能是奇函数或者偶函数，否则就没有探究下 去的必要.