结构动力学(6)-第五章 模态综合法(20080617)
模态综合法
6.4 子结构模态综合法简介在结构静力分析中，对于大型复杂结构问题往往采用子结构技术，即将结构划分为若干个子结构，先进行局部分析，然后综合组集，再作整体分析。
这种先局部后整体的分析方法是科学研究的普遍方法。
实际上有限元法本身也就是这种分析方法的具体应用。
人们为了克服大型结构动力分析的困难，从60年代以来，不断提出了各种动态子结构的方法。
通过多年的实践证明，动态子结构方法已成为解决复杂结构动力分析的有效方法。
它不仅能够大幅度降低动力方程的阶数，而且能够保证结构分析的精度。
从解决问题所采用的方式来看，一般可把动态子结构方法分为模态综合法、界面位移综合法、迁移子结构法和超单元法。
在这四类方法中，模态综合法目前使用得最为普遍。
子结构模态综合法又可称为分支结构模态综合法，它的基本思想是把一复杂结构，按其结构的特点分成若干个子结构，然后用离散化方法对子结构做各种力学分析（有时也可用实验模态分析的方法）得到各子结构的分支模态，再对各子结构的物理坐标——结点位移坐标进行模态坐标变换，并在此基础上对子结构进行组集——把所有子结构的模态坐标简单组集成整个结构的模态坐标，再通过各子结构的界面连接条件，作第二次坐标变换，消去不独立的模态坐标，即对整个结构的模态坐标进行独立坐标变换，得到一组用独立的各子结构模态坐标组成的描述整个系统运动的独立广义坐标。
由于在进行结构的模态坐标变换时，一般只选用各子结构的少数低阶分支模态，因此，组集后的整个结构的独立广义坐标数目就远小于结构离散化以后的有限元模型的整体自由度数。
由此可导出整个系统的以独立的模态坐标表示的动力方程。
这样，求解此低阶的系统动力学方程就简单多了。
以上的分析过程可以归纳为两个基本步骤：1.对子结构的分支模态坐标变换；2.利用各子结构的界面连接条件，进行第二次坐标变换，消去不独立的模态坐标。
最后得到一组独立的广义坐标。
因为模态综合方法实际上是采用子结构技术来获得一组复杂结构的品质优良的“假设模态”，此假设模态作为Ritz基所张成的模态空间可以很好的覆盖住系统的真实的低阶模态空间，所以，用模态综合法不但可以简化复杂结构的动态特性计算，而且也可以简化其响应计算。
结构动力学-6
或
myky 0
设方程的特解为
y1 y2
X1 X2
sin( t sin( t
) )
代入方程,得
k11X1 k12 X 2 m1 2 X1 0
k21X1 k22 X 2 m2 2 X 2 0
(kk1211
k12 k22
m1
0
0 m2
2
)
X1 X2
0 0
(k 2m)X 0
X1 11m1 2 X1 12m2 2 X 2
X1 X2
12m2 2 1 11m1
2
X11 12m212 1 X 21 1 11m112
l/3 l/3 l/3 1
11
21
1
X12 X 22
1
12m2
2 2
11m1
2 2
1
1
1
第一振型 1
1
X
1
1 1
X
2
1 1
12
22
对称体系的振型分 成两组: 一组为对称振型
一组为反对称振型
按对称振型振动
m
l/3 l/6
=1 l/3
11
5 162
l3 EI
2 1 m11
5.692 EI / ml3
按反对称振型振动
m
m1 m m2 m EI
l/3 l/3 l/3 1
11
21
1
12
22
l/3 l/6
1 1 第二振型
X
1
1 1
X
2
1 1
对称系的振型分 成两组: 一组为对称振型
---振型方程
k 2m 0
---频率方程
解频率方程得 2的两个根 值小者记作 1 称作第一频率
结构动力学第五章
i = 0 ,1,2 ,L
而这种离散化正符合计算机存贮的特点。 • 与运动变量的离散化相对应，体系的运动微分方程也不一定要 求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间点上满足，这相 当于放松了对运动变量的约束。
采用等时间步长离散时，ti = iΔ t ,i = 1,2 ,3, L
&& & mui + cui + kui = Pi
• 根据是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可分为两 大类：
– 隐式方法：逐步积分计算公式是耦联的方程组，需联立求 解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的平方成正 比，例如Newmark-β 法、Wilson -θ 法。 – 显式方法：逐步积分计算公式是解耦的方程组，无需联立求 解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线性关系，如 中心差分方法（无阻尼时）。 • 下面先介绍分段解析算法，然后重点介绍两种常用的时域逐步积 分法—中心差分法和Newmark-β 法，同时也介绍Wilson -θ 法，最后介绍非线性问题分析方法。
5.2 分段解析法 （Piecewise Exact Method）
分段解析法对外荷载进行离散化处 理，假设在ti≤t≤t i+1时段内 P
实际荷载
P(τ ) = Pi + α iτ
Pi+1 Pi
插值荷载：P(τ)
α i = ( Pi +1 − Pi )/Δti
如果荷载P( t )采用计算机采样，即 离散数值采样，则以上定义可认为 是“精确”的。 • 分段解析法一般适用于单自由度体系动 力反应分析，对于多自由度体系，有时 可以采用等效方法在满足一定近似的条 件下将多自由度体系化为单自由度问题 进行分析，这时 也可以采用分段解析 法完成体系的动力反应分析。
模态分析教程及实例讲解PPT学习教案
② 假定为自由振动（忽略阻尼）：M u Ku 0
③ 假定为谐运动： K2M u 0
④
这相个应方的程向的量根 是是{u}Ii，，即即特特征征向值量，。i 的范围从1到自由度的数目，
注意:
•模态分析假定结构是线性的(如, [M]和[K]保持为常数) •简谐运动方程u = u0cos(t), 其中 为自振圆周频率(rad/s)
有预应力的结构进行模态分析。例如旋转的涡轮叶片。 循环对称结构模态分析。允许对循环对称结构的一部分进行建模，
而分析产生整个结构的振型。 ANSYS的模态分析都是线性分析。 ANSYS中的模态提取方法：
Block Lanzos（默认）、子空间、PowerDynamics、缩减法、非对称法、阻 尼法和QR 阻尼法。后两种允许结构中包含阻尼。
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频率分析的相关知识
频率分析就是计算结构的共振频率及对应振动模态，不计 算位移和应力
固有频率：结构趋向于振荡的频率，固有的振动频率。 基本频率：最低的固有频率
固有振动模态：特定的固有频率对应唯一的振动形式。 每种模态对应着特定的固有频率
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频率分析的相关知识
振幅：大 振幅：小
振动频率：是单位时间里摆动的次数。 1秒钟内的次数用Hz（赫兹）来表示。 周期：摆动1次所需要的时间。
钟摆的形状（长度）决定了其固有的数值。 钟摆越长周期越长，钟摆越短周期越短。
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频率分析的相关知识
固有频率（以钟摆为例） 钟摆的振动所经过的时间越来越小，最后停了下来。 这是因为空气的阻碍、磨擦的阻碍等的阻力妨碍了钟摆的摆动（振动）。 因为这样的阻力作用使振动衰减的力而起作用，被称为衰减力。 钟摆在没有外部而来的强迫它摆动的力（重力除外）作用下的振动称为自由振动。 与此相对应，地震和汽车因为地基能、发动机等的强迫力作用下的振动称为强迫振动。
结构动力学课件PPT
地震作用
200 0 -200
t(sec)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
结构在确定性荷载作用下的响应分析通 常称为结构振动分析。 结构在随机荷载作用下的响应分析， 被称为结构的随机振动分析。 本课程主要学习确定性荷载作用下的结 构振动分析。
§1-3 动力问题的基本特性
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性
元件中） 分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成） 只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
A
x
x p( x,t ) = p a ( t )
1
令：
5l FE (t ) q(t ) 8
y FE (t )
FE(t) 定义为体系的等效动荷载或等效干扰力。其通用表达式
P FE (t )
含义：等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与
实际动荷载产生的位移相等！
已经知道柔度和刚度k 之间的关系为： k 表达式成为：
简支梁： 比较： 刚架： 基本质量弹簧体系：
大型桥梁结构 的有限元模型
§1-5 运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学 方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。 运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移 随时间变化的规律。 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
（2-3）
刚度法: 取每一运动质量为隔离体，通过分析所受 的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方 程，得到体系的运动方程。
河南城建学院 结构力学 结构动力学(6)
(2)式可改写为：
~ ~ ~ k x F ( t ) m1 x 1 1 1 P1
(3)
第一振型相应的频率为：
~ ~ k 1 m1
2 1
相同方法推广至第二振型或多自由度体系：
~ mi ( ( i ) )T M ( i ) , ~ k i ( ( i ) )T K ( i ) , ~ FPi ( t ) ( ( i ) )T FP ( t ). ~ ~ ~ k x F ( t ) 相应的运动微分方程： m i xi i i Pi
m( x) y
0
l
( x)dx mi y
2 i
(10-56)
假设一个位移幅值函数y(x)代入上式求频率。
通常可取结构在某个静荷载（如自重）作用下的弹性曲线作 为 y（x）的近似表达式。此时应变能可用外力功来代替，即
V max 1 l 1 n m( x) gy ( x)dx mi gyi 2 0 2 i 1
这种可以使微分方程解除耦联关系的坐标称为正则坐标，它是 一种广义坐标。振型分解法也称为振型叠加法或正则坐标法。 以两个自由度为例作如下说明。
质点的位移可用向量
y ( y1
y 表示。 T y 2 ) y 1 e1 y 2 e2
1 )T
2
若改用振型 1 、 2 为基底，位移向量表示为：
则
2
m( x) gy( x)dx m gy
l 0
n
l
0
m( x) y 2 ( x)dx mi yi2
i 1
i 1 n
i集中质量法
在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质 量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单 的是静力等效的集中质量法。
结构动力学（ＰＤＦ）
机械振动系统，师汉民，华中科技大学出版社cos sin i t e t i t ωωω=+Ch1 单自由度线性系统自由振动1.3 无阻尼自由振动()()0mxt kx t += 解()()22002()cos sin cos cos n n n n nnv v x t x t t x t A t ωωωϕωϕωω=+=++=-振幅和相位由初始条件确定。
确定自然频率的方法： 1、 静变形法：kx mg =，n g xω=2、 能量法：无阻尼弹性振动能量守恒，因此取动能Tmax=势能Vmax 。
1.4 有阻尼自由振动22()()()020n n mx t cx t kx t s s ξωω++=⇒++= ，通解wt Ae通常自然频率可以很容易的通过实验测定，但阻尼比ξ的计算或辨识则比较困难，需要利用自由振动衰减曲线计算。
在间隔1个振动周期T 的自由振动减幅振动曲线上，取两个峰值A1和A2，A1/A2=EXP(ξωn T)Ch2 单自由度线性系统的受迫振动 2.1 谐波激励()()()cos cos mxt cx t kx t F t kA t ωω++= →22()2()()cos n n n x t x t x t A t ξωωωω++= ，设通解cos()X t ωϕ-，ϕ表响应对激励的滞后通解X1为：()20020002cos n t n n d dd v x v x xe t ξωξωξωωωω-+⎛⎫++- ⎪⎝⎭，瞬态响应，逐步衰减。
特解X2为：()()i t H Ae ωϕω-，稳态响应，实际上的激励和响应仅取实部，响应的频率是激励的频率！222222222222cos arctan cos arctan 112112n n n n n n n n AA t t i ωωξξωωωωωωωωωωξξωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭幅频特性221()12n n X H Ai ωωωξωω==-+，相频特性222()arctan1n nωξωϕωωω=-若激励表示为i t Ae ω，响应表示为i t Xe ω，可表述()()()x t H f t ω=，则()()()i t x t H Ae ωϕω-=共振频率212r n ωωξ=-，有阻尼自然频率21d n ωωξ=-，因此，对共振的研究应考虑阻尼比ξ=0.707的特殊点。
高等结构动力学2_模态综合法(动态子结构方法)
对于一般的动力学分析问题，也可以得到缩聚方程为：
} [C ]*{q } [ K ]*{q} {R}* [ M ]*{q
[C ]* [ S ]T [C ][ S ], {R}* [ S ]T {R}
系统势能： V
1 系统动能： T {q }T [ M ]*{q } 2
[ M ]* [ S ]T [ M ][ S ]
1 {q}T [ K ]*{q} 2
[ K ]* [ S ]T [ K ][ S ]
uJ uI
uI
a b u u a b I I {u } a , {u } b u J u J {u a } [Φ ]a { p a }, {u b } [Φ ]b { p b }
从量级上大幅缩减整体结构自由度而不改变问题的本质模态综合法或动态子结构法hurty和gladwell等人于上世纪60年代初奠定了模态综合技术的理论基础60年代末至70年代间craig和bamptonrubinhouhintz等人先后从各个不同侧面对古典的模态综合技术进行了改进和总结我国学者王文亮王永岩张汝清等人也做了大量研究工作使模态综合方法得到了进一步发展上世纪60年代初人们为了解决大型复杂结构系统整体动力分析困难问题而提出了模态综合技术模态综合法主要分为固定界面模态综合法和自由界面模态综合法模态综合法的发展按照工程的观点或结构的几何轮廓遵循某些原则要求把完整的大型复杂结构人为地抽象成若干个子结构
1 }T [ M ]{ p } T {p 2 [ M ]a [M ] [ 0]
(n1+n2)个
1 V { p}T [ K ]{ p} 2 [ 0] [ M ]b
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0 I 2B m12B 0 Λ 22B 0
m21B m11A m11B m21A 0 K 11A K 11B 0
因为在边界上：
f 1A f 1B 0
（满足界面上力的平衡条件）。
这种即满足位移协调、又满足力的平衡条件，称为双协调的。
于是
Φij p i Φi pB Φ jj p j A Φ j B A
p jA = Φ jjA1Φ jiApiA +Φ jjA1Φ jBpB
其中 Φ jj 为方阵，其阶次为两者界面的自由度数。
选择变换为
I piA 1 p jA = Φ jjA Φ jiA p 0 B Φ jjA 1Φ jB q = βq I 0
6．2 系统自由度减缩 1）静凝聚方法（Guyan缩聚）
K 11 K 21 K 12 u 1 M 11 K 22 u 2 M 21 M 12 u 1 f 1 M 22 u 2 f 2
当质量阵中只有第一部分不为零时，则可由第二部分的方程
0 f jA 0 f jB Φ jBT
0 T Φ jB
0 f jA 0 T 0 Φ jBT f jB Φ jB (f jA f jB )
４）求解后返回物理坐标
扫描鹰 全球鹰
X-45Ｃ
瑞士一飞机公司的PC-12飞机结构模型
其中
p iA q= p B
A、B两子结构合并为
p A Λ A2 + p B 0
0 f jA 0 p A Φ jA = Λ B 2 p B 0 Φ jB f jB
变换后得
Mq + Kq = 0
变换成
~ ~ Z11 ()u1 f1
如展开：
~ -1 Z11 ( ) K 11 K 12 K 22 K 21 2 (M12 K 22 K 21 K 12 K 22 M 21 K 12 K 22 M 22 K 22 K 21 )
-1 -1 -1 -1
4 ()
子结构的模态集：（1）主模态集；（2）约束模态集；（3）附加模
态集
u = Φp
３）按照子结构界面上的连接条件（协调方程），把所有的子结构的 不独立的模态坐标 p 变换到系统的耦联广义坐标系上，进行二次坐标
变换
p βq
４）求解后，返回物理坐标
u Φβq
子结构间的连接方式： 1）刚性 2）弹性 3）半弹性、半刚性
M = βT β
Λ A2 K =β 0
T
0 β ΛB2
1
右端
Φj A T β 0 0 f jA I (Φ jjA Φ jiA ) Φ jB f jB 0 (Φ jjA1Φ jB )T
T
Φ jiAT 0 T Φ jjA I 0
Λ 2 ，满足
作第一次变换
u = Φp
按内部和边界分开
ui Φi = p u j Φ j
j 指界面。界面上有：
u j = Φ jp
３）第二次方程变换及系统方程
当有A、B两个子结构时。对A：
0 M Au A + K Au A = f j
u2 Z22 ()[f2 Z21 ()u1 ]
-1
[Z11 () Z12 ()Z22 ()Z21 ()]u1 f1 Z12 ()Z22 f2
-1 -1
问题： a）不适用于在时域里求解； b）求解不方便（原来是线性特征问题，现为非线性）
变换可写为
I u1 u1 T( )u1 -1 u2 - Z 22 ( )Z21 ( )
T
子结构的主模态集：
0 ΦN Φ 22
一般只取低阶的部分模态。 静凝聚为
u2 K 22 (f1 K 21u1 )
-1
I Φc 1 K 22 K 21
引入变换为
u 1 Φ cu1 u 2
令：
Φ Φc
I 0 ΦN 1 K 22 K 21 Φ 22
K 21u1 K 22 u 2 f 2
求解得到
u2 K 22 (f2 K 21u1 )
-1
代回到第一部分的方程，有：
-1 -1 (K11 K12K 22 K 21 )u1 M11u1 f1 K12K 22 f2
相当于作了以下的变换：
I u1 u1 Tu 1 -1 u 2 - K 22 K 21
变换后的方程为
TTKTu 1 TTMTu1 TTf
当严格满足上述假设时，变换前后的方程有相同的解。当不满足时，
仍然可以采取一样的变换，但只是一种近似。
近似程度取决于第二部分的性态和耦合的程度。当这些部分比较刚硬 时，则缩聚前后关于低阶模态部分的解基本一致（从物理意义上讲，就是 这部分的变形类似于静态变形）。 2） 动凝聚方法 频域的方程为
如考虑A与B为刚性连接，则位移协调方程为界面位移相等，即：
u1A u1B
于是有
p1A p1B q1
系统得广义坐标为
q q 2A
T
q 2B
T
q1
T
T
p1A 0 p I 2A 2A p1B 0 p 2B 0
0 0 0 I 2B
4）返回物理坐标
6．4
自由界面模态综合法 与固定界面法相同，将整体划分为若干个子结构。不同的是
1） 分割 将界面自由度完全放松，而不是完全固定。 A B
２）子结构模态分析及第一次坐标变换
界面完全自由时，子结构的方程为
Mu + Ku = 0
求解特征值问题，得到 Φ 和
ΦT MΦ = IΦT 源自Φ = Λ2一般只取低阶部分的模态参与变换。可以证明，只要
c f
要分析的最高频率
子结构模态的最高截取频率
物理意义：子结构越刚，则保留的模态坐标可以越少。
４）界面坐标的减缩 （１）静凝聚 （２）Ritz减缩
u b Φb q b
其中 Φ b的每一列都是Ritz向量；
（３）重新插值
~ ub Nbub
6．3 固定界面模态综合法 分析下面的例子： A B
1）分割
A
B
分割后固定界面
对于每个自结构建立方程，譬如子结构A：
K 11 K 12 u1 M11 M12 u1 f1 K K 22 u 2 M 21 M 22 u 2 0 21
于是变换后有
p A + Λ A2p A = Φ jAf jA
对B同样有
pB + ΛB2pB = Φ jBf jB
在界面上
u jA = u jB
或
Φ jAp A = Φ jBpB
（相当于有一部分自由度是不独立的）
f jA = f jB
设界面自由度为
N，可将界面模态矩阵分为块 j
Φii Φ ji
I1 q 2A 0 q 2B βq I1 q1 0
变换以后，得到：
ˆ ˆ Mq Kq 0
其中
I 2A ˆ M βT Mβ 0 m12A Λ 22A ˆ M β T Kβ 0 0
其中下标为1的部分是界面部分，f 1 是相互之间的作用力。 2）各子结构的模态计算 固定界面时，u 1 0 ，于是
M 22 u 2 K 22 u 2 0
求解得到， Φ 22 , Λ 22 为全部模态向量组成的矩阵和特征值组成 的矩阵，并归一化
Φ22 M 2 2Φ22 I
T
Φ22 K 2 2Φ22 Λ22
0 Λ 22
f1 gΦ f 0
T
3）二次坐标变换建立系统方程（或者组集）
M A 0 0 p A K A M B p B 0 0 p A g A K B p B g B
第五章
模态综合法
提高精度的方法：1）增加结点 2）提高单元插值函数的阶次（单元自由度） 会导致自由度数目庞大，求解费时。
解决策略：分部件建模。
6．1 引言 基本思想“化整为零、积零为整” １）分割 将整体（系统）划分为若干个子结构（部件）。子结构上的自 由度分为内部自由度和界面自由度，子结构之间连接处称为界面。 因界面的处理方法分为固定界面法、自由界面法和混合界面法。 ２）建立子结构模态集和模态坐标
K 11 2 M11 K 12 2 M12 u1 Z11 ( ) Z12 ( ) u1 f1 u 2 2 K 21 M 21 K 22 M 22 u2 Z 21 ( ) Z 22 ( ) 2 f 2
如果仅仅取到二次项，那就是静凝聚的结果。
3）利用模态坐标的动凝聚方法 求解：
(K22 2M22 )φ2 0
得到 Φ 2 ，于是：
u 2 Φ 2q
当取全部特征向量时，此变换是精确的。
综合静凝聚方法一起构造变换：
I 0 u1 u1 -1 u 2 - K 22 K 21 Φ 2 q
u1 p Φ 1 u 2 p 2
（如果取全部模态，则为精确的变换） 可知
p1 u1
变换后得到：
Mp Kp g
其中
m M Φ T MΦ 11 m21