混沌理论及其在经济学中的发展

混沌理论及其在经济学中的发展

摘要:利用数学知识来解释经济现象和经济理论历来是经济研究的热点，但经济系统本身就是由多种因素相互作用的非线性系统，时间上的不可逆性、线路上的多重因果反馈环及不确定性使其具有非常复杂的非线性特征。所以，改用非线性系统来研究经济学具有非常现实的意义。而混沌理论就是数学非线性系统中的一颗奇葩。因此，先介绍了混沌理论，并指出混沌经济系统的本质特征，然后总结了混沌经济学研究的发展及其意义。

关键词:混沌理论；混沌经济；研究；发展

1 混沌理论

混沌(chaos)是法国数学家庞加莱19世纪——20世纪之交研究天体力学时发现的，不过，由于当时牛顿力学在科学中占有统治地位，因而大多数数学家和物理学家都不理解。由于长久以来世界各地的物理学家都在探求自然的秩序，而面对无秩序的现象如大气、骚动的海洋、野生动物数目的突然增减及心脏跳动和脑部的变化，却都显得相当无知。这些大自然中不规则的部分，既不连续且无规律，在科学上一直是个谜。

1972年12月29日，美国数学家——混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断:在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风。用混沌学的术语来表述，那就是天气对初值的敏感依赖性，即天气是不可能长期预报的。1986年，英国皇家学会在一次关于混沌的国际会议上提出了混沌的定义:数学上指在确定性系统中出现的随机状态。

混沌在之后的整个20世纪才被确定下来，有人把相对论、量子力学和混沌理论称为20世纪科学中的传世之作。混沌作为一种复杂运动形式，其影响最大的时期是20世纪80年代到90年代。从数学角度看，混沌是继不动点(平衡点、均衡点)、周期循环(极限环、周期运动)、拟周期运动(准周期运动)之后，另外一种新型的运动类型。对初值的敏感性和无序中的有序是混沌的两个特性。

2 混沌经济系统

著名的美国经济学家诺贝尔经济学奖获得者保罗.A.萨缪尔森钟指出:“经济学的规律只是在平均意义上才是对的，它们并不表现为准确的关系。”按照他的这种思想，在经济学领域里对混沌的理解和把握可以不必太拘泥于数学定义的苛刻与抽象，只需从平均意义上把握混沌的主要本质特征就可以了。所以就“平均意义”而言，我们可以从混沌经济系统所具有的本质特征入手来进行综合判断。

2.1 积累效应

积累效应俗称蝴蝶效应，即系统演化对初始条件的敏感性。在混沌出现的参数范围内，初始条件的一个微小误差在迭代过程中会不断的放大，不但使迭代结果变得极为不同，而目在近似随机的历经了整个吸引子以后，使得系统的长期预测变为不可能。刚开始，许多人认为这是由于人的能力不够所造成的。从客观上讲，在初始条件变化后的迭代过程中，确实存在两种误差:一种来自于物理量本身的测量误差。任何测量都有误差，只是仪器越精密，误差会越小，但科学技术再发展也不可能造出一台绝对没有误差的仪器;另一种来自于计算机，即使计算出一个整数，它也可能在小数点若干零后加上一个尾巴。同时在迭代过程中要把

第n次迭代的输出值作为第n+ 1次迭代输入值，在这个转换过程中总要进行四舍五入，这本身又要产生误差。该误差在以后的迭代中也会被不断地放大，所以在整个迭代过程中包含了一个误差不断积累放大的过程。由此看来，长期不可预测性好像是人的能力不够或是机器的精度不够所造成的。但下面这样一个事实就会否定这一点，通过前面介绍可知，对于逻辑斯蒂迭代，在参数k>k∞时对初始条件敏感，而在k

2.2 内在随机性

混沌产生于确定性方程，有时又把混沌定义为确定性的内在随机性。传统的方法总是千方白计地寻求微分方程的解，认为知道了微分方程的解就等于知道了一切，不但包括未来，还包括过去。所以只要能写出微分方程的解，那么它一定是非混沌的。正是这种观点掩盖了混沌再现的可能性，例如，对于逻辑斯蒂模型，很容易写出它的精确解，它是非混沌的，但当把逻辑斯蒂微分方程变为差分方程进行迭代时，它所包含的从被周期分叉到混沌等复杂性才被提示出来，所以，知道了微分方程的解并不等于知道了一切，且往往正是这种性质才掩盖了微分方程所包含的复杂性。

对于非线性微分方程能够求解的本来就极为稀少，而且对于绝大多数还要进行数值求解。我们知道在实际计算中，数值求解需要把微分方程变为差分方程进行迭代，由于每次迭代都会由四舍五入产生误差，所以有人又把这种实际迭代称为随机迭代。因为混沌对误差的敏感性不在于误差本身而在于系统本身固有的对误差的放大功能，在混沌产生的条件下，当迭代步骤足够大时，相点儿乎跑遍整个吸引子。这样确切位置已变为不确定，因此，要作出长期预测就变为不可能，这是确定性方程所含有的内在随机性。因此，确定性方程所产生的内在随机性的随机强度是随着迭代步数的增加而增加的，对于系统的短期行为可以预测，而对长期行为变为不可能。

2.3 奇怪吸引性

吸引子是系统的收敛表现，无论一个稳定的动态系统是否出现混沌，在多数情况下，都可以用一个吸引子来描述该系统的均衡状态或极限时间路径，一个非线性系统最终会演化为以下几种不同的吸引子:不动点吸引子、极限环和奇怪吸引子(也称为混沌吸引子或Lorenz吸引子)。吸引不动点是将系统的行为收敛为一个静态的平衡点，极限环收敛为一个周期性或准周期性的行为，而奇怪吸引子则趋向不同于前二者的收敛行为，它具有分数维的吸引子，它是系统出现混沌的特征。奇怪吸引子是一个不可数的点集，它使从其内部出发的所有时间路径仍留在该集合中，邻近的时间路径会被它所吸引，从该集合中出发的时间可能是非周期的，或者具有与事先任意选定所数值一样长的持续期。

2.4 不可叠加性

因混沌现象发生于非线性系统，所以，经济混沌系统不再具有线性系统所特有的叠加性。所谓叠加性，是指现象系统中，各要素之间的比例关系和各要素间的合并或加和性。如某些经济变量间的现象比例关系，一些复杂经济系统可看成一些简单子系统的叠加。对于混沌经济系统而言，我们就不能再简单地认为系统各要素之间具有比例关系或是简单的加和关系。