混沌理论及其在经济学中的发展
动力系统中的混沌理论与预测
动力系统中的混沌理论与预测序言：动力系统是描述物体或系统在时间和空间上演变的数学模型。
在动力系统中，混沌现象是一种具有极其敏感的初值依赖性和随机性的行为。
混沌理论及其与预测的关系一直是科学界的研究焦点，本文将探讨动力系统中混沌理论与预测的相关问题。
什么是混沌理论：混沌理论起源于20世纪70年代，由于对动力系统中的非线性行为的研究而催生。
混沌系统表现出时间上的不可预测性，即使系统的演化方程是确定性的。
经典的混沌系统包括洛伦兹系统和双螺旋系统等。
混沌现象的特征：混沌现象具有以下几个特征：首先，混沌系统对初值极其敏感，微小的初始条件差异可能导致系统最终的演化轨迹截然不同。
这就是所谓的蝴蝶效应，即蝴蝶在巴西拍动翅膀可能导致美国发生飓风。
其次，混沌系统表现出随机性，即使初始条件相同，系统的演化也是不可预测的。
最后，混沌系统的演化轨迹通常呈现出分岔、周期倍增和奇异吸引子等复杂特征。
混沌理论与现实世界：混沌理论的研究在物理学、生物学、经济学等领域都有广泛的应用。
在物理学中，混沌系统的研究有助于理解自然界中的复杂现象，如天体运动和分子动力学等。
在生物学中，混沌系统的研究有助于理解生物体内复杂的生理过程，如心脏的跳动和神经信号的传递等。
在经济学中，混沌系统的研究有助于理解市场的波动和金融风险的评估等。
如何预测混沌系统的演化：由于混沌系统的不可预测性，在实际应用中对其演化的准确预测是一项具有挑战性的任务。
一种常见的方法是利用混沌系统的吸引子特征进行预测。
吸引子是混沌系统演化轨迹的稳定部分，通过对吸引子的重构和分析，可以揭示出系统的动力特性，并进而对其未来演化进行预测。
另外，基于混沌系统的时间序列分析也是一种常见的预测方法。
该方法通过对混沌系统输出信号的统计分析，建立模型并进行预测。
混沌理论的挑战与展望：混沌理论虽然在解释和预测复杂系统方面取得了显著成果，但仍然存在一些挑战和待解决的问题。
首先，混沌系统的初值敏感性限制了长期的预测能力，长时间尺度上的预测仍然是困难的。
混沌 方法
混沌方法混沌方法是一种用于解决复杂问题的方法论，它源自于混沌理论和系统科学的研究。
混沌方法的核心思想是通过观察和模拟系统的非线性行为，揭示其中的规律和模式，以实现对复杂系统的理解和控制。
本文将从混沌理论的基本原理、混沌方法的应用领域和具体实施步骤等方面，对混沌方法进行详细介绍。
我们来了解一下混沌理论的基本原理。
混沌理论是20世纪70年代提出的一种新的科学理论，它认为复杂系统中的微小变化可能导致系统行为的剧烈变化，使其呈现出看似无规律但又有一定规律的状态。
混沌理论的核心概念是“敏感依赖于初始条件”，即微小扰动会在系统中呈指数级地放大，导致系统出现非周期性的、看似随机的运动。
这种看似无序的运动实际上包含有一定的规律和模式，只是需要通过适当的方法来挖掘和分析。
混沌方法的应用领域非常广泛，涉及到自然科学、社会科学、工程技术等众多领域。
在物理学中，混沌方法被应用于天体力学、流体力学等领域，用于研究天体运动、流体流动等复杂系统的行为。
在生物学中，混沌方法被用于研究生物体的自组织行为、神经网络的动力学等问题。
在经济学中，混沌方法被应用于金融市场的预测和风险评估等方面。
此外，混沌方法还被广泛用于系统工程、控制理论、信息处理等领域。
那么，如何具体实施混沌方法呢？下面将介绍混沌方法的几个基本步骤。
首先是数据采集和预处理。
在实施混沌方法之前，需要采集和整理相关的数据，以便后续的分析和建模。
数据预处理主要包括数据清洗、缺失值处理、异常值检测等过程，以确保数据的质量和可靠性。
接下来是混沌分析和建模。
在这一步骤中，我们需要通过合适的混沌分析方法对数据进行处理和分析，以揭示其中的规律和模式。
常用的混沌分析方法包括Lyapunov指数计算、相空间重构、分岔图分析等。
通过这些方法，我们可以得到系统的动力学特性、稳定性边界等重要信息，为后续的建模和控制提供基础。
然后是模型建立和验证。
在这一步骤中，我们需要根据混沌分析的结果，建立适当的数学模型来描述系统的行为。
数学中的动力系统了解动力系统和混沌理论
数学中的动力系统了解动力系统和混沌理论数学中的动力系统：了解动力系统和混沌理论数学中的动力系统是一门研究动力学行为的学科，它以方程和映射为基础，研究系统随时间发展的规律。
动力系统的研究范围广泛，其中一个重要的分支是混沌理论。
本文将介绍动力系统的基本概念以及混沌理论的相关内容。
一、动力系统的基本概念动力系统是研究系统在时间上变化的行为的数学模型。
它可以用一组方程或映射来描述系统的演化过程。
动力系统的核心概念是状态和演化规律。
1. 状态系统的状态是描述系统特征的变量，它可以是一个向量、一个矩阵或一个函数等。
在动力系统中，状态随时间变化，我们可以通过状态轨道来表示系统状态随时间的演化。
2. 演化规律动力系统中的演化规律由方程或映射来描述。
方程可以是微分方程、差分方程或者其他类型的方程，映射则是描述状态之间的转移关系。
二、混沌理论的相关内容混沌理论是动力系统中的一个重要分支，它研究的是系统的非线性行为。
混沌指的是一个看似随机、无规律的运动状态，但实际上具有确定性的系统行为。
1. 混沌现象混沌现象是指系统在具有一定非线性性质的情况下，表现出对初值极为敏感的特征。
小的初始差异会随着时间的演化而不断放大，使得系统的行为变得难以预测和理解。
2. 混沌吸引子混沌吸引子是描述混沌系统行为的概念。
它是一个具有复杂结构的子集，可以吸引系统的轨道进入，并且保持系统在一定范围内的变化。
3. 分岔现象分岔现象是指系统参数的微小变化会导致系统行为的剧变，从而产生新的稳定状态或周期解。
分岔现象是非线性系统的典型特征，与混沌现象密切相关。
4. 混沌控制混沌控制是利用混沌现象中的特性来控制系统行为的方法。
通过对系统参数或外界干扰的调节，可以实现系统状态的稳定或目标轨道的引导。
三、动力系统和混沌在实际应用中的意义动力系统的理论和方法不仅在数学领域有着重要的应用，还在物理、生物、经济等领域发挥着重要的作用。
1. 物理学中的应用动力系统理论在物理学中广泛应用于描述粒子运动、非线性波动等现象。
混沌理论在经济学中的应用实例
混沌理论在经济学中的应用实例混沌理论是20世纪70年代发展起来的新兴理论，揭示了非线性系统中看似无序、混乱的行为背后隐藏着一种隐含的规律性。
在经济学领域，混沌理论的应用也逐渐得到了学者们的重视，并在诸多实例中展现出了强大的解释和预测能力。
一、股市波动股市的波动一直是经济学家们关注的焦点之一。
传统的金融理论认为股市价格变动是呈现出一种随机游走的趋势，无法找到规律性可循。
然而，混沌理论的引入改变了这一观点。
通过混沌理论的分析，研究者发现股市价格并非完全随机，而是存在一定的自相似性和吸引子结构，从而导致股市在变动中呈现出一种混沌状态，使得价格的波动虽表现出随机性，却又不是纯粹的随机过程。
二、经济周期经济学中的经济周期是描述国民经济长期运行规律的一种现象。
传统的宏观经济周期理论认为，经济发展过程中会产生周期性的波动，这些波动呈现出一定的规律性，如繁荣期、衰退期、萧条期和复苏期等。
然而，混沌理论的介入打破了这种简单的循环理论。
混沌理论认为，经济系统中存在着由外部干扰和内部复杂性交互引起的非线性效应，导致经济发展呈现出一种“群体智慧”的混沌动态特性，使得经济周期的规律性变得更加复杂和多样化。
三、金融风险管理金融风险管理是金融领域的一个重要课题，涉及到金融机构和投资者在资产配置和投资决策中如何有效地管理和控制风险。
混沌理论通过对金融市场的非线性特性和复杂性进行研究，提出了一种新的风险管理思路。
传统的风险管理方法往往基于线性假设和正态分布假设，无法较好地适应金融市场的实际情况。
混沌理论则强调通过对金融市场的混沌动力学特性进行分析和建模，建立更为适合金融市场实际情况的风险管理体系，更好地把握市场风险的变化和控制手段。
四、市场竞争市场竞争是经济学中一个重要的研究对象，混沌理论为市场竞争的分析提供了新的视角。
混沌理论认为，市场竞争的结果并非总是呈现出完美竞争或垄断的情况，而是会由于市场参与者的数量、行为的非线性效应、信息的不对称性等因素而表现出混沌状态。
混沌理论详解
混沌理论详解一、什么是混沌理论混沌理论的主导思想是，宇宙本身处于混沌状态，在其中某一部分中似乎并无关联的事件间的冲突，会给宇宙的另一部分造成不可预测的后果。
混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用，包括：数学、生物学、信息技术、经济学、工程学、金融学、哲学、物理学、政治学、人口学、心理学和机器人学。
二、混沌理论的发展背景混沌理论是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析。
一个混沌过程是一个确定性过程，但它看起来是无序的、随机的。
像许多其他知识一样，混沌和混沌行为的研究产生于数学和纯科学领域，之后被经济学和金融学引用。
在这些领域里，由于人们想知道在某些自然现象背后是否存在着尚未被认识的规律，因而激发了人们对于混沌的研究。
科学家已经注意到了某些现象，例如行星运动，是有稳定规律的，但其他的，比如像天气之类，则是反复无常的。
因此，关键问题在于天气现象是否是随机的。
曾经一度被认为是随机的后来又被证实是混沌的，这个问题激发了人们探索真理的热情。
如果一个变量或一个过程的演进、或时间路径看似随机的，而事实上是确定的，那么这个变量或时间路径就表现出混沌行为。
这个时间路径是由一个确定的非线性方程生成的。
在此，我们有必要介绍一下混沌理论的发展史。
人们对于混沌动态学的最初认识应当归功于Weis(1991)，而Weis又是从几百年前从事天体力学的法国数学家HenryPoincare那里得到的启示。
Poincare 提出，由运动的非线性方程所支配的动态系统是非线性的。
然而，由于那个时代数学工具的不足，他未能正式探究这个设想。
Poincare之后的很长一段时间，对于这个论题的研究趋于涅灭。
然而，在20世纪60-70年代间，数学家和科学家们又重新开始了对这个论题的研究。
一个名叫StephenSmale的数学家用差分拓扑学发展了一系列的理论模型。
气象学家EdwardLorenz设计了一个简单的方程组用来模拟气候，这个气候对于初始条件当中的变化极其敏感。
动力学中的混沌理论
动力学中的混沌理论混沌理论是动力学的一个重要分支，是研究复杂系统中的非线性现象、复杂性和不确定性的一种数学理论。
混沌理论的应用范围相当广泛，包括天文学、化学、生物学、经济学等方面，这是因为混沌现象本身在我们的日常生活中无所不在。
简单的说，混沌现象是指那些看似不规律的、无序的、不可预测的系统行为，实际上，混沌现象的本质是一种有序的、确定的、规律性的行为，只是这种行为非常复杂，难以通过我们的常规思维方法进行预测。
混沌理论最早的研究起点是在20世纪60年代，科学家Lorenz观察到大气运动的非线性行为，他提出了“蝴蝶效应”这个著名的概念，即即使是微不足道的变化，也可能对某些天气模式产生重大影响。
这个例子表明，即使我们已知原始条件，只进行这些条件的简单变化就足以导致模型行为的绝对变化，从而导致我们无法预测这个系统的未来行为。
混沌理论中的三要素混沌理论是一门复杂而又有深度的学科，它涉及到许多数学方面的知识，其中最为重要的三个方面是：1. 非线性非线性是混沌理论中最为基本的要素。
普通的线性方程在我们进行预测时，通常只要知道初值和方程的形式就可以进行预测，但是混沌现象则不同。
混沌理论研究的都是非线性方程，而非线性方程具有复杂多变的特点，初始条件发生轻微的变化，结果也可能迥异，这是造成混沌现象出现的重要原因。
2. 敏感依赖初值混沌现象最为重要的特点就是初始条件的微小变化可能会导致整个系统的运动轨迹产生很大的变化，这种情况被称为“敏感依赖初值”。
如果初值的精确性高，那么经过一段时间，系统的轨迹可能是收敛到一个确定的点或曲线，如果初值的精确性稍微低一些，那么系统将会是发生逐渐偏离，最终系统将处于一种混沌状态。
3. 复杂性混沌现象的行为表现往往是复杂、多变的。
正如前面所讲述的，混沌现象的本质是一种有序的、规律性的行为，该行为的规律和复杂性需要通过数学方法来描述。
发现混沌现象是一个不稳定的形态，而这种不稳定的形态之所以会导致复杂性，是因为本身的性质往往是由多个因素的复杂组合进行构建。
混沌系统理论及其应用
混沌系统理论及其应用混沌这个词汇曾经是描述一种凌乱的概念，但是在科学领域中，混沌系统是一种高度复杂和无序的动力学系统。
混沌理论已经被广泛应用于各种领域，例如经济学、气象学、工程学以及计算机科学等。
本文将介绍混沌系统的基础理论，以及其在实际应用中的价值。
混沌系统的基础理论在混沌系统的研究中，最具有代表性的就是洛伦兹吸引子。
1963年，美国气象学家Edward Lorenz用三个非线性微分方程来描述大气环流系统，他发现这个系统可以出现极其复杂的轨迹。
在数值模拟时，由于计算机精度的问题，他意外地发现微小的初始条件误差会在后来引起系统状态的强烈变化，从而导致结果的巨大不同。
这种现象被称为混沌。
根据混沌系统的定义，混沌是指无论初始状态如何微小，随着时间的推移都会渐渐加剧变化，并最终达到一个看似无序而非重复的状态。
在混沌系统的研究中，最具有代表性的就是洛伦兹吸引子，由三个非线性微分方程描述，表达式如下：$$\begin{aligned}\frac{dx}{dt} &= \sigma(y - x) \\\frac{dy}{dt} &= x(\rho - z) - y \\\frac{dz}{dt} &= xy-\beta z\end{aligned}$$其中，$x, y, z$是三个随时间变化的状态量，$\sigma, \rho,\beta$是系统的三个物理参数。
这一方程组描述了一个对流系统的演化过程。
洛伦兹吸引子表现出来的是一个“蝴蝶形状”，这也是混沌系统自身的内在特征之一。
洛伦兹吸引子的非线性巨大特点，例如混合状态、结构相对简单、吸引性等等，使得它在混沌理论基础研究和应用方面都有很广泛的应用。
混沌系统的应用混沌系统理论的应用非常广泛，下面简单介绍一些具体的应用。
1. 加密与通信混沌系统可以用来进行加密和通信，它的特点是出现的数字序列是随机的，因此具有较高的安全性。
这种随机性是由于混沌系统对初始条件和系统参数非常敏感，如果两者发生了极小的改变，就会出现严重的状态变化，从而产生一个看似无序的结果。
混沌理论——精选推荐
混沌理论混沌理论混沌理论是当今世界最伟⼤的理论之⼀。
它是社会科学与⾃然科学最完美结合的理论.它研究如何把复杂的⾮稳定事件控制到稳定状态的⽅法，它研究世界如何在不稳定的环境中稳定发展的问题。
.混沌⽅法对于处理复杂多变、动荡不定的重⼤事件有特殊功效混沌世界是纷繁复杂多变的世界。
“相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想；量⼦⼒学则消除了关于可控测量过程的⽜顿式的梦；⽽混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测的幻想。
”⼀点就是未来⽆法确定。
如果你某⼀天确定了，那是你撞上了。
第⼆事物的发展是通过⾃我相似的秩序来实现的。
看见云彩，知道他是云彩，看见⼀座⼭，就知道是⼀座⼭，凭什么？就是⾃我相似。
这是混沌理论两个基本的概念。
混沌理论还有⼀个是发展⼈格，他有三个原则，⼀个是事物的发展总是向他阻⼒最⼩的⽅向运动。
第⼆个原则当事物改变⽅向的时候，他存在⼀些结构。
⼀混沌理论（Chaos theory）是⼀种兼具质性思考与量化分析的⽅法，⽤以探讨动态系统中（如：⼈⼝移动、化学反应、⽓象变化、社会⾏为等）⽆法⽤单⼀的数据关系，⽽必须⽤整体、连续的数据关系才能加以解释及预测之⾏为。
⼆混沌⼀词原指宇宙未形成之前的混乱状态，我国及古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。
在井然有序的宇宙中，西⽅⾃然科学家经过长期的探讨，逐⼀发现众多⾃然界中的规律，如⼤家⽿熟能详的地⼼引⼒、杠杆原理、相对论等。
这些⾃然规律都能⽤单⼀的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的⾏径。
三近半世纪以来，科学家发现许多⾃然现象即使可化为单纯的数学公式，但是其⾏径却⽆法加以预测。
如⽓象学家Edward Lorenz发现，简单的热对流现象居然能引起令⼈⽆法想象的⽓象变化，产⽣所谓的「蝴蝶效应」，亦即某地下⼤雪，经追根究底却发现是受到⼏个⽉前远在异地的蝴蝶拍打翅膀产⽣⽓流所造成的。
⼀九六○年代，美国数学家Stephen Smale 发现，某些物体的⾏径经过某种规则性的变化之后，随后的发展并⽆⼀定的轨迹可寻，呈现失序的混沌状态。
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混沌理论及其在经济学中的发展摘要:利用数学知识来解释经济现象和经济理论历来是经济研究的热点，但经济系统本身就是由多种因素相互作用的非线性系统，时间上的不可逆性、线路上的多重因果反馈环及不确定性使其具有非常复杂的非线性特征。
所以，改用非线性系统来研究经济学具有非常现实的意义。
而混沌理论就是数学非线性系统中的一颗奇葩。
因此，先介绍了混沌理论，并指出混沌经济系统的本质特征，然后总结了混沌经济学研究的发展及其意义。
关键词:混沌理论；混沌经济；研究；发展1 混沌理论混沌(chaos)是法国数学家庞加莱19世纪——20世纪之交研究天体力学时发现的，不过，由于当时牛顿力学在科学中占有统治地位，因而大多数数学家和物理学家都不理解。
由于长久以来世界各地的物理学家都在探求自然的秩序，而面对无秩序的现象如大气、骚动的海洋、野生动物数目的突然增减及心脏跳动和脑部的变化，却都显得相当无知。
这些大自然中不规则的部分，既不连续且无规律，在科学上一直是个谜。
1972年12月29日，美国数学家——混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断:在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风。
用混沌学的术语来表述，那就是天气对初值的敏感依赖性，即天气是不可能长期预报的。
1986年，英国皇家学会在一次关于混沌的国际会议上提出了混沌的定义:数学上指在确定性系统中出现的随机状态。
混沌在之后的整个20世纪才被确定下来，有人把相对论、量子力学和混沌理论称为20世纪科学中的传世之作。
混沌作为一种复杂运动形式，其影响最大的时期是20世纪80年代到90年代。
从数学角度看，混沌是继不动点(平衡点、均衡点)、周期循环(极限环、周期运动)、拟周期运动(准周期运动)之后，另外一种新型的运动类型。
对初值的敏感性和无序中的有序是混沌的两个特性。
2 混沌经济系统著名的美国经济学家诺贝尔经济学奖获得者保罗.A.萨缪尔森钟指出:“经济学的规律只是在平均意义上才是对的，它们并不表现为准确的关系。
”按照他的这种思想，在经济学领域里对混沌的理解和把握可以不必太拘泥于数学定义的苛刻与抽象，只需从平均意义上把握混沌的主要本质特征就可以了。
所以就“平均意义”而言，我们可以从混沌经济系统所具有的本质特征入手来进行综合判断。
2.1 积累效应积累效应俗称蝴蝶效应，即系统演化对初始条件的敏感性。
在混沌出现的参数范围内，初始条件的一个微小误差在迭代过程中会不断的放大，不但使迭代结果变得极为不同，而目在近似随机的历经了整个吸引子以后，使得系统的长期预测变为不可能。
刚开始，许多人认为这是由于人的能力不够所造成的。
从客观上讲，在初始条件变化后的迭代过程中，确实存在两种误差:一种来自于物理量本身的测量误差。
任何测量都有误差，只是仪器越精密，误差会越小，但科学技术再发展也不可能造出一台绝对没有误差的仪器;另一种来自于计算机，即使计算出一个整数，它也可能在小数点若干零后加上一个尾巴。
同时在迭代过程中要把第n次迭代的输出值作为第n+ 1次迭代输入值，在这个转换过程中总要进行四舍五入，这本身又要产生误差。
该误差在以后的迭代中也会被不断地放大，所以在整个迭代过程中包含了一个误差不断积累放大的过程。
由此看来，长期不可预测性好像是人的能力不够或是机器的精度不够所造成的。
但下面这样一个事实就会否定这一点，通过前面介绍可知，对于逻辑斯蒂迭代，在参数k>k∞时对初始条件敏感，而在k<k∞时对初始条件却并不敏感。
例如，在k1 < k< k2时，系统的长时间行为是趋于稳定的两点周期，这时上述产生误差的原因仍然都存在，即使产生的误差比较大也不会改变这种两点轮回的状态。
因为从任何允许的初始条件出发都会趋于这种稳定的状态，所以混沌对初始条件敏感性的本质不在于产生误差的原因，而是非线性系统本身的固有属性，是大自然的内在规律性。
2.2 内在随机性混沌产生于确定性方程，有时又把混沌定义为确定性的内在随机性。
传统的方法总是千方白计地寻求微分方程的解，认为知道了微分方程的解就等于知道了一切，不但包括未来，还包括过去。
所以只要能写出微分方程的解，那么它一定是非混沌的。
正是这种观点掩盖了混沌再现的可能性，例如，对于逻辑斯蒂模型，很容易写出它的精确解，它是非混沌的，但当把逻辑斯蒂微分方程变为差分方程进行迭代时，它所包含的从被周期分叉到混沌等复杂性才被提示出来，所以，知道了微分方程的解并不等于知道了一切，且往往正是这种性质才掩盖了微分方程所包含的复杂性。
对于非线性微分方程能够求解的本来就极为稀少，而且对于绝大多数还要进行数值求解。
我们知道在实际计算中，数值求解需要把微分方程变为差分方程进行迭代，由于每次迭代都会由四舍五入产生误差，所以有人又把这种实际迭代称为随机迭代。
因为混沌对误差的敏感性不在于误差本身而在于系统本身固有的对误差的放大功能，在混沌产生的条件下，当迭代步骤足够大时，相点儿乎跑遍整个吸引子。
这样确切位置已变为不确定，因此，要作出长期预测就变为不可能，这是确定性方程所含有的内在随机性。
因此，确定性方程所产生的内在随机性的随机强度是随着迭代步数的增加而增加的，对于系统的短期行为可以预测，而对长期行为变为不可能。
2.3 奇怪吸引性吸引子是系统的收敛表现，无论一个稳定的动态系统是否出现混沌，在多数情况下，都可以用一个吸引子来描述该系统的均衡状态或极限时间路径，一个非线性系统最终会演化为以下几种不同的吸引子:不动点吸引子、极限环和奇怪吸引子(也称为混沌吸引子或Lorenz吸引子)。
吸引不动点是将系统的行为收敛为一个静态的平衡点，极限环收敛为一个周期性或准周期性的行为，而奇怪吸引子则趋向不同于前二者的收敛行为，它具有分数维的吸引子，它是系统出现混沌的特征。
奇怪吸引子是一个不可数的点集，它使从其内部出发的所有时间路径仍留在该集合中，邻近的时间路径会被它所吸引，从该集合中出发的时间可能是非周期的，或者具有与事先任意选定所数值一样长的持续期。
2.4 不可叠加性因混沌现象发生于非线性系统，所以，经济混沌系统不再具有线性系统所特有的叠加性。
所谓叠加性，是指现象系统中，各要素之间的比例关系和各要素间的合并或加和性。
如某些经济变量间的现象比例关系，一些复杂经济系统可看成一些简单子系统的叠加。
对于混沌经济系统而言，我们就不能再简单地认为系统各要素之间具有比例关系或是简单的加和关系。
2.5 自相似性混沌经济系统本身与其子系统、孙子系统等不同层次在结构上具有的相似性和类似性，称为自相似性。
在一般情况下，它的几何结构不是传统意义上的维数，而是一种具有分数维的“分形”物，其维数不再是整数，而是分数。
如处于混沌阶段的股价指数就具有明显的分形特征，它的维数就是一个分数。
总而言之，混沌经济系统是具有积累效应的非线性系统的一种不规则的宏观上无序、微观上有序的运动状态。
所以混沌是对存在于非线性系统中的无序的研究，以混沌为基本观点的系统科学，提倡横向的跨学科研究，探索远离平衡态的、非线性的、不可逆的、自组织的客观过程，创造处理复杂性、不确定性、演化特性的新方法。
混沌中蕴含着有序，有序的过程中也可能出现混沌。
混沌解释了自然界的非周期与不可预测性问题，从而成为20世纪三大重要基础科学之一，即:相对论、量子力学与混沌。
3 混沌经济学的发展方向国外的混沌经济学已涉及经济周期、货币、财政、股市、厂商供求、储蓄、跨代经济等几乎所有经济领域。
鲍莫尔和沃尔夫等人从微观经济角度研究了混沌经济问题1983年他们在考虑企业的研究开发支出水与企业生产增长率之间关系时发现，在R&D支出水平占企业销售收入的比例到达一定范围时，企业的生产增长率就会呈周期性或混沌态。
1985年，鲍莫尔和夸得特发表了论文“混沌模型及可预测性”，研究了利润与广告的关系模刑:Pt=ayt(1-Yt)式中Pt为t时的总利润，Yt为t时的广告支出.他们假定厂商按本期利润的一个固定比例b用于下期的广告支出，即Yt+1=b x Pt则在aXb=c的条件下，可得到Yt+1=c X Yt(1-Y t)；研究表明，这种关系模型经一段时间后，就会出现大幅度振荡，甚至出现混沌。
戴(R.Day，1982，1983)研究了包括人口净自然出生率、生产函数和平均工资收入的古典经济增长模型，在最大人口数量时的收入若低于维持最低生活水平所需的收入时，人口的变化将会出现混沌状态。
他和本哈比还研究了不同消费倾向将会产生不同的消费者行为:穷人的消费选择很可能是相当稳定的，而富人的消费行为则可能是周期波动的，甚至是混沌的。
博尔丁(Boldrin, 1988)的研究表明，经济现象的小规则波动是受到市场力、技术变革和消费倾向三者共同作用下经济系统内生决定的结果。
鲁塞等人以东欧集团国家的经济变革作了实证说明。
中央计划的社会主义经济既会出现周期性波动，也会出现混沌，而进入混沌的条件，往往也是将要发生经济制度变革之时。
1992年，底考斯持和米契尔研究了货币动力系统混沌问题。
布劳克(Brock, 1988)、沙因克曼和莱伯伦(Le Baron,1986)等人提出了用关联性、“搅拌”、“残差”等方法诊断经济时间序列的混沌性。
索耶斯巴雷特和费兰克(Frank)等人也都在股票证券、外汇交易、期货等市场产生高频经济数据的经济活动中找到了低维混沌吸引子。
这意味着只需少数几个经济变量就叫以描述这类复杂的经济现象。
在国内，1987年，旅美经济学学者陈平用实际数据，计算了分维，从宏观货币指数中发现了维数为1.5左右的奇怪吸引子。
自他将混沌经济学研究引入中国后，1992年杨培才等人在论文“经济混沌的实例及可预报性”中，用伦敦外汇市场发布的英镑对美元周平均汇率的时间序列作为原始数据，研究了外汇系统中的奇怪吸引子，推出了汇价变动的规律性及近期的可预报性。
1993年，王军等在“标准普尔500家指数(S&500)的混沌吸引子”一文中指出了S&500有一个混沌吸引子，其维数为 2.33，并论述了该吸引子对资本市场运动的意义。
刘洪在《系统工程理论方法应用》论证了道格拉斯生产函数产生混沌的条件。
1994年，黄登仕、李后强在《非线性经济学的理论与方法》一书中.对经济系统中的分形特征作了较深入研究。
他们首次使用非线性经济学的一些统计方法、预测方法(BDS统计、R/S分析)对香港黄金价格、深圳股市价格等进行了预测和实证研究。
现在国内已有越来越多的学者从事混沌经济的研究工作。
如庄新田等运用混沌经济学的方法，对股票市场的流动性及交易群体数量变动问题进行分析，探讨如何实现市场的流动性和均衡状态。
王春峰、康莉等利用混沌经济学和向量自回归(VA R)方法，实证分析了我国通货紧缩的成因及发展趋势。