高中数学必修一1.3函数的基本性质练习题及答案.
数学高中必修一练习题及讲解
数学高中必修一练习题及讲解### 数学高中必修一练习题及讲解#### 练习题一：函数的基本性质题目：已知函数 \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\)，求其定义域和值域。
解答：函数 \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\) 是一个二次函数。
二次函数的定义域为全体实数，即 \(x \in (-\infty, +\infty)\)。
要找到值域，我们可以将函数转换为顶点形式。
首先，找到顶点的\(x\) 坐标：\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \times 2} = \frac{3}{4} \]将 \(x = \frac{3}{4}\) 代入原函数，得到顶点的 \(y\) 坐标：\[ f\left(\frac{3}{4}\right) = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 -3\left(\frac{3}{4}\right) + 1 \]\[ f\left(\frac{3}{4}\right) = 2\left(\frac{9}{16}\right) -\frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} + 1 = -\frac{1}{8} \]因此，函数的最小值为 \(-\frac{1}{8}\)，由于开口向上，函数没有最大值，所以值域为 \([-\frac{1}{8}, +\infty)\)。
#### 练习题二：指数函数的运算题目：计算 \(2^3 \cdot 5^3\)。
解答：指数函数的乘法运算可以转换为基数相乘，指数相同的形式。
即：\[ 2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 \]计算基数的乘积：\[ 2 \cdot 5 = 10 \]将结果代入指数：\[ 10^3 = 1000 \]所以 \(2^3 \cdot 5^3 = 1000\)。
#### 练习题三：三角函数的图像和性质题目：已知 \(\sin(\alpha) = \frac{3}{5}\)，\(\alpha\) 在第一象限，求 \(\cos(\alpha)\)。
高一函数的单调性-基础练习题含答案
人教A 版高中数学必修一第一章 《1.3函数的基本性质》练习题11.3.1函数的单调性[基础练习]1．判断1)(2-=xx f 在（0，+∞）上是增函数还是减函数 2．判断x x x f 2)(2+-=在（ —∞，0）上是增函数还是减函数3．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ）（A ）y=x1 （B ） y=2x-1 （C ） y=1-x （D ）y=2)12(-x 4． 函数y=x1-1的单调 递 区间为 5．证明函数 f （x ）=-2x +x 在（21，+∞）上为减函数[巩固练习]1．已知f （x ）=（2k+1）x+1在（-∞，+∞）上是减函数，则（ ）（A ）k ＞21 （B ）k ＜21 （C ）k ＞-21 （D k ＜-21 2．在区间（0，+∞）上不是增函数的是 （ ） （A ）y=2x+1 （B ）y=32x +1 （C ）y=x 2 （D ） y=32x +x +1 3．若函数f （x ）=2x +2（a-1）x+2在区间（-∞，4）上为增函数，则实数a 的取值范围是 （ ）（A ） a ≤ -3 （B ）a ≥-3 （C ）a ≤ 3 （D ）a ≥34．如果函数f （x ）是实数集R 上的增函数，a 是实数，则 （ ）（A ）f （2a ）＞f （a+1） （B ）f （a ）＜ f （3a ）（C ）f （2a +a ）＞f （2a ） （D ）f （2a -1）＜f （2a ）5．函数y=11+x 的单调减区间为 6．函数y=1+x +x -2的增区间为 减区间为7．证明：21)(x x f =在（0，+∞）上是减函数[能力提高]1．证明函数xx x f 1)(+=在（0，1）上是减函数2．定义域为R 的函数f （x ）在区间（ —∞，5）上单调递减，对注意实数t 都有)5()5(t f t f -=+，那么f （—1），f （9），f （13）的大小关系是 3．若f （x ）是定义在[]1,1-上的减函数，f （x-1）＜f （2x -1），求x 的取值范围答案[基础练习]1、增2、增3、B4、减，()0,∞-和()+∞,05、略[巩固练习]1、D2、C3、A4、D5、()1,-∞-和()+∞-,16、[)+∞,2，(]1,-∞-7、略[能力提高]1、略2、f(9)＜f(—1)＜f(13)3、（0，1）。
高中数学,必修一,《第一章,集合与函数概念》习题解析
目录第一章集合与函数概念 (1)1.1.1、集合的含义与表示 ............................................................................................................................. 1 1.1.2、集合间的基本关系 ............................................................................................................................. 2 1.1.3、集合的基本运算 (3)习题1.1 集合 ....................................................................................................................................... 4 1.2.1 函数的概念 ........................................................................................................................................... 7 1.2.2、函数的表示法 . (8)习题1.2 函数及其表示 ....................................................................................................................... 9 1.3.1 单调性与最大（小）值 ................................................................................................................... 13 1.3.2、奇偶性 .. (14)习题1.3 函数的基本性质 ................................................................................................................. 16 复习参考题 . (18)第一章集合与函数概念 1.1.1、集合的含义与表示1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则： 中国∈Ａ，美国∉Ａ，印度∈Ａ，英国∉Ａ.【解析】美国∈北美洲，英国∈欧洲.（２）若2{|A x x x ==}，则1-∉A ；【解析1】2{|}{0,1}A x x x === ，1A ∴-∉； 【解析2】因为2(1)1-=-不成立，所以1A -∉.（３）若2{|60}B x x x =+-=，则3∉B ；【解析1】2{|60}{|(2)(3)0}{3,2}B x x x x x x =+-==-+==- ，3B ∴∉； 【解析2】因为23360+-=不成立，所以3B ∉；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8∈C ，9.1∉C.【解析1】{|110}{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}C x N x =∈≤≤=，9.1C ∴∉.【解析2】9.1N ∉ ，9.1C ∴∉.注1：判断一个元素是否属于某个集合，方法有二：（1）如果集合是用列举法表示的，就看元素有没有在集合中.如果元素在集合中，则元素属于集合；如果元素不在集合中，则元素不属于集合.如果集合是用描述法给出的，且集合中元素的个数有限，则往往先将集合改用列举法表示. （2）检验元素是否符合特征.如果元素符合特征，则元素属于集合；如果元素不符合特征，则元素不属于集合.注2：熟练掌握集合的三种表示方法，必要时将集合从一种形式转换为另一种形式。
函数的基本性质练习题（高考题）
1 1.3函数的基本性质练习题（2）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。
1．（2010浙江理）设函数的集合211()log (),0,,1,1;;1,0,122P f x x a b a b ìü==++=-=-íýîþ，平面上点的集合11(,),0,,1,1;;1,0,122Q x y x y ìü==-=-íýîþ，则在同一直角坐标系中，P 中函数()f x 的图象恰好．．经过Q 中两个点的函数的个数是（A ）4 4 （（B ）6 6 （（C ）8 8 （（D ）102.（2010重庆理）(5) (5) 函数函数()412x xf x +=的图象A. A. 关于原点对称关于原点对称关于原点对称 B. B. B. 关于直线关于直线y=x 对称对称 C. C. C. 关于关于x 轴对称轴对称 D. D. D. 关于关于y 轴对称3.（2010广东理）3．若函数f （x ）=3x+3-x与g （x ）=3x-3-x的定义域均为R ，则A. )(x f 与)(x g 与均为偶函数与均为偶函数 B. B.)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数C. )(x f 与)(x g 与均为奇函数与均为奇函数 D. D.)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数4.（2010山东理）（4）设f(x)f(x)为定义在为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，时，f(x)=f(x)=2x+2x+b(b 为常数)，则f(-1)=(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-35.（2010湖南理）8.用{}min ,a b 表示a ，b 两数中的最小值。
若函数(){}min ||,||f x x x t =+的图像关于直线x=12-对称，则t 的值为A ．-2B -2 B．．2C 2 C．．-1D -1 D．．16. .若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2，则f(3)-f(4)= （A ）-1 (B) 1 (C) -2 (D) 2 7. （2009全国卷Ⅰ理）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( )A.()f x 是偶函数B.()f x 是奇函数C.()(2)f x f x =+ D.(3)f x +是奇函数8. 对于正实数a ，记M a 为满足下述条件的函数f （x ）构成的集合：12,x x "ÎR 且2x ＞1x ,有212121()()()()x x f x f x x x a a --<-<-，下列结论正确的是，下列结论正确的是（A ）若1212(),(),()()f x M g x M f x g x M a a a a ×ÎÎ×Î则 （B ）1212()(,()()0,()f x f x M g x M g x Mg x a a a a ÎιÎ若）且则（C ）1212(),(),()()f x M g x M f x g x M a a a a +ÎÎ+Î若则（D ）若()()12,a f x M g x M a ÎÎ1()f x M a Î，2()g x M a Î，且12a a >，则()()12.f x g x M a a --Î9. (2009山东卷理山东卷理))函数xxx x e ey e e--+=-的图像大致为的图像大致为10. (2009山东卷理山东卷理))定义在R 上的函数f(x )满足f(x)=îíì>---£-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ， 则f （2009）的值为）的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 11. (2009山东卷文山东卷文))已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<< 12. （2009全国卷Ⅱ文）函数y=x -(x £0)的反函数是的反函数是（ ）（A ）2y x =（x ³0） （B ）2y x =-（x ³0）1x y 1O A xyO 11B xyO 1 1 C x y 1 1 D O（B ）2y x =（x £0） （D ）2y x =-（x £0） 13. （2009全国卷Ⅱ文）函数22log 2xy x-=+的图像的图像 （ ）（A ） 关于原点对称关于原点对称 （B ）关于主线y x =-对称对称 （C ） 关于y 轴对称轴对称 （D ）关于直线y x =对称对称 14. （2009全国卷Ⅱ文）设2lg ,(lg ),lg ,a e b e c e ===则（ ）（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >> 15. （2009江西卷理）设函数2()(0)f x ax bx c a =++<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D Î构成一个正方形区域，则a 的值为的值为( ) A ．2-B ．4-C ．8-D ．不能确定16. （2009安徽卷理）设a ＜b,b,函数函数2()()y x a x b =--的图像可能是的图像可能是（ ）17.（2009福建卷理）函数()(0)f x ax bx c a =++¹的图象关于直线2b x a=-对称。
(2021年整理)人教版A版高中数学必修1课后习题及答案三章全
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高中数学必修1课后习题答案第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．(1)中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．(2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3)3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．解：(1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2)因为小于8的素数为2,3,5,7,所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3)由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩,得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4)由453x -<，得2x <,所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．（1){,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==;（3)2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根,2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集;（5）{0}2{|}x x x = (或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；(6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以AB ；(2)当2k z =时,36k z =;当21k z =+时，363k z =+,即B 是A 的真子集，B A ； （3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习(第11页)1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形,{|}A B x x =是等腰三角形或直角三角形．4．解：显然{2,4,6}U B =,{1,3,6,7}U A =，则(){2,4}U A B =，()(){6}U U A B =．1．1集合习题1．1 （第11页) A 组1．（1）237Q ∈ 237是有理数； (2）23N ∈ 239=是个自然数； （3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数; （4）2R ∈ 2是实数；(5）9Z ∈ 93=是个整数; （6）2(5)N ∈ 2(5)5=是个自然数．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉; （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．解：（1)大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；(2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求;（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-,得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3)由不等式342x x ≥-，得45x ≥,即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥． 5．（1）4B -∉; 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈; {1}-A ; ∅A ； {1,1}-=A ；2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形,是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形;{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．解:3782x x -≥-,即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥，则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}A B =，{3,4,5,6}A C =，而{1,2,3,4,5,6}B C =，{3}B C =,则(){1,2,3,4,5,6}A B C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项,即为()A B C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；(2）{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x =是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类,而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形，{|}S A x x =是梯形．10．解：{|210}A B x x =<<，{|37}A B x x =≤<,{|3,7}R A x x x =<≥或,{|2,10}R B x x x =≤≥或，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或，(){|3,7}R A B x x x =<≥或，(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或，(){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或．B 组1．4 集合B 满足A B A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集,得4个子集．2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合， 即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==,当3a =时，集合{3}A =,则{1,3,4},A B A B ==∅；当1a =时，集合{1,3}A =,则{1,3,4},{1}A B A B ==；当4a =时,集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅．4．解:显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U A B =，得U B A ⊆，即()U U A B B =，而(){1,3,5,7}U A B =， 得{1,3,5,7}U B =,而()U U B B =，即{0,2,4,6,8.9,10}B =． 第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习(第19页）1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠,即74x ≠-， 得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2)要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤．2．解：（1）由2()32f x x x =+,得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=,即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=,即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；(2)不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．解：显然矩形的另一边长为，y ==，且050x <<,即(050)y x =<<．2．解：图象(A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象(B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件(1），返回家里的时刻,离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松,缓缓行进．3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．4．解：因为3sin 60=，所以与A 中元素60相对应的B 中素是3； 的元 因为2sin 452=，所以与B 中的元素22相对应的A 中元素是45． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页）1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠， 得该函数的定义域为{|4}x x ≠；(2)x R ∈，2()f x x =都有意义，即该函数的定义域为R ；（3)要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠， 得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且;（4）要使原式有意义,则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩,即4x ≤且1x ≠， 得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．解:(1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等； （2)2()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；(3)对于任何实数，都有362=，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同,x x得函数()f x与()g x相等．3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；(2)定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；(4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+， 即(2)852f -=+；同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++, 即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++， 即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+， 即2()(3)3516f a f a a +=-+．5．解:(1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-, 即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-，即14x =． 6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根， 即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+,得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=， 即(1)f -的值为8．7．图象如下：8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d ，即22d x y =+22100(0)d x x x =+>， 由周长为l ，即22l x y =+,得202(0)l x x x=+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+,得22222()22220(0)l x y x y xy d d =+=++=+>， 即2220(0)l d d =+>．9．解:依题意，有2()2d x vt π=，即24vx t dπ=，显然0x h ≤≤，即240vt h dπ≤≤，得204h d t v π≤≤,得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．解:(1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-； (2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3)当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应． 2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x-，得222125x xt +-=+，(012)x ≤≤， 即24125x xt +-=+，(012)x ≤≤． （2）当4x =时,2441242583()55t h +-=+=+≈．第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大(小）值练习（第32页)1．答：在一定的范围内,生产效率随着工人数量的增加而提高,当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时,生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多,生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间,[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．解：该函数在[1,0]-上是减函数,在[0,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明:设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->, 即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数。
高中数学必修一第三章函数的概念与性质基本知识过关训练(带答案)
高中数学必修一第三章函数的概念与性质基本知识过关训练单选题1、下列函数为奇函数的是（ ） A ．y =x 2B ．y =x 3C ．y =|x|D ．y =√x 答案：B分析：根据奇偶函数的定义判断即可；解：对于A ：y =f (x )=x 2定义域为R ，且f (−x )=(−x )2=x 2=f (x )， 所以y =x 2为偶函数，故A 错误；对于B ：y =g (x )=x 3定义域为R ，且g (−x )=(−x )3=−x 3=−g (x )， 所以y =x 3为奇函数，故B 正确；对于C ：y =ℎ(x )=|x |定义域为R ，且ℎ(−x )=|−x |=|x |=ℎ(x )， 所以y =|x |为偶函数，故C 错误；对于D ：y =√x 定义域为[0,+∞)，定义域不关于原点对称， 故y =√x 为非奇非偶函数，故D 错误； 故选：B 2、函数y =3√x 4−13的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A分析：利用x =2时y >0排除选项D ，利用x =−2时y <0排除选项C ，利用x =12时y <0排除选项B ，所以选项A 正确. 函数y =3√x 4−13的定义域为{x |x ≠±1 }当x =2时，y =3√24−13=√153>0，可知选项D 错误；当x =−2时，y =3()43=√153<0，可知选项C 错误；当x =12时，y =(12)3√(2)4−13=−12√603<0，可知选项B 错误，选项A 正确.故选：A3、若函数f (x )=x(2x−1)(x+a )为奇函数，则a=（ ）A ．12B ．23C ．34D ．1 答案：A分析：根据奇函数的定义可得−x(−2x−1)(−x+a )=−x(2x−1)(x+a )，整理化简可求得a 的值，即得答案. 由函数f (x )=x(2x−1)(x+a )为奇函数，可得f (−x )=−f (x )， 所以−x(−2x−1)(−x+a )=−x(2x−1)(x+a )，所以−x (2x −1)(x +a )=−x (−2x −1)(−x +a )，化简得2(2a −1)⋅x 2=0恒成立， 所以2a −1=0，即a =12,经验证f(x)=x(2x−1)(x+12)=2x4x2−1，定义域关于原点对称，且满足f(−x)=−f(x)，故a=12；故选:A．4、已知函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数，对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0，若a,b∈R,a+b<0，则f(a)+f(b)的值（）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断答案：B解析：根据函数为幂函数以及函数在(0,+∞)的单调性，可得m，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.由题可知：函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数则m2−m−1=1⇒m=2或m=−1又对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0所以函数f(x)为(0,+∞)的增函数，故m=2所以f(x)=x7，又f(−x)=−f(x)，所以f(x)为R单调递增的奇函数由a+b<0，则a<−b，所以f(a)<f(−b)=−f(b)则f(a)+f(b)<0故选：B小提示：本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如f(x1)−f(x2)x1−x2>0,[f(x1)−f(x2)]⋅(x1−x2)>0，属中档题.5、设a为实数，定义在R上的偶函数f(x)满足：①f(x)在[0,+∞)上为增函数；②f(2a)<f(a+1)，则实数a 的取值范围为（）A．(−∞,1)B．(−13,1)C．(−1,13)D．(−∞,−13)∪(1,+∞)答案：B分析：利用函数的奇偶性及单调性可得|2a |<|a +1|，进而即得. 因为f (x )为定义在R 上的偶函数，在[0,+∞)上为增函数， 由f (2a )<f (a +1)可得f (|2a |)<f (|a +1|)， ∴|2a |<|a +1|， 解得−13<a <1. 故选：B.6、函数y =√x +4+1x+1的定义域为（ ）A ．[−4,−1)B ．[−4,−1)∪(−1,+∞)C ．(−1,+∞)D ．[−4,+∞) 答案：B分析：偶次开根根号下为非负，分式分母不为零，据此列出不等式组即可求解. 依题意{x +4≥0x +1≠0 ，解得{x ≥−4x ≠−1，所以函数的定义域为[−4,−1)∪(−1,+∞). 故选：B ．7、已知函数f (x )对于任意x 、y ∈R ，总有f (x )+f (y )=f (x +y )+2，且当x >0时，f (x )>2，若已知f (2)=3，则不等式f (x )+f (2x −2)>6的解集为（ ） A ．(2,+∞)B ．(1,+∞)C ．(3,+∞)D ．(4,+∞) 答案：A分析：设g (x )=f (x )−2，分析出函数g (x )为R 上的增函数，将所求不等式变形为g (3x −2)>g (4)，可得出3x −2>4，即可求得原不等式的解集. 令g (x )=f (x )−2，则f (x )=g (x )+2，对任意的x 、y ∈R ，总有f (x )+f (y )=f (x +y )+2，则g (x )+g (y )=g (x +y )， 令y =0，可得g (x )+g (0)=g (x )，可得g (0)=0，令y =−x 时，则由g (x )+g (−x )=g (0)=0，即g (−x )=−g (x )， 当x >0时，f (x )>2，即g (x )>0，任取x 1、x 2∈R 且x 1>x 2，则g (x 1)+g (−x 2)=g (x 1−x 2)>0，即g (x 1)−g (x 2)>0，即g (x 1)>g (x 2)， 所以，函数g (x )在R 上为增函数，且有g (2)=f (2)−2=1，由f (x )+f (2x −2)>6，可得g (x )+g (2x −2)+4>6，即g (x )+g (2x −2)>2g (2)， 所以，g (3x −2)>2g (2)=g (4)，所以，3x −2>4，解得x >2. 因此，不等式f (x )+f (2x −2)>6的解集为(2,+∞). 故选：A. 8、函数f(x)=0√x−2定义域为（ ）A ．[2，+∞)B ．(2，+∞)C ．(2，3)∪(3，+∞)D ．[2，3)∪(3，+∞) 答案：C分析：要使函数有意义，分母不为零，底数不为零且偶次方根被开方数大于等于零. 要使函数f(x)=0√x−2有意义，则{x −3≠0x −2>0，解得x >2且x ≠3， 所以f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞). 故选：C.小提示：具体函数定义域的常见类型： （1）分式型函数，分母不为零；（2）无理型函数，偶次方根被开方数大于等于零； （3）对数型函数，真数大于零；（4）正切型函数，角的终边不能落在y 轴上； （5）实际问题中的函数，要具有实际意义. 多选题9、（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（ ） A ．y =85x +6B ．y =−x 2−2x +5C ．y =√x −1D ．y =1x −1 答案：AC分析：分别求得函数的定义域和值域，利用子集的定义判断. A 函数的定义域和值域都是R ，符合题意；B.定义域为R ，因为y =−x 2−2x +5=−(x +1)2+6≤6，所以函数值域为(−∞,6]，值域是定义域的真子集不符合题意；C.易得定义域为[1,+∞)，值域为[0,+∞)，定义域是值域的真子集；D.定义域为{x|x ≠0}，值域为{x|x ≠−1}，两个集合只有交集； 故选：AC10、定义运算a ⊕b ={a(a ≥b)b(a <b)，设函数f(x)=1⊕2−x ，则下列命题正确的有（ ）A ．f(x)的值域为 [1,+∞)B ．f(x)的值域为 (0,1]C ．不等式f(x +1)<f(2x)成立的范围是(−∞,0)D ．不等式f(x +1)<f(2x)成立的范围是(0,+∞) 答案：AC分析：求得f (x )的解析式，画出f (x )的图象，由此判断f (x )的值域，并求得不等式f(x +1)<f(2x)的解. 由函数f(x)=1⊕2−x ，有f(x)={1(1≥2−x )2−x(1<2−x )，即f(x)={2−x(x <0)1(x ≥0)，作出函数f(x)的图像如下，根据函数图像有f(x)的值域为[1,+∞)，所以A 选项正确，B 选项错误. 若不等式f(x +1)<f(2x)成立，由函数图像有 当2x <x +1≤0即x ≤−1时成立，当{2x <0x +1>0即−1<x <0时也成立. 所以不等式f(x +1)<f(2x)成立时，x <0.所以C 选项正确，D 选项错误. 故选：AC.小提示：本小题主要考查分段函数图象与性质，属于中档题.11、已知函数f(x)={log 12(x +1),x ≥0,f(x +1),x <0,若函数g(x)=f(x)−x −a 有且只有两个不同的零点，则实数a 的取值可以是（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．2 答案：BCD分析：作出函数f(x)的图象如下图所示，将原问题转化为函数f(x)的图象与直线y =x +a 有两个不同的交点，根据图示可得实数a 的取值范围. 根据题意，作出f(x)的图像如下所示：令g(x)=0，得f(x)=x +a ，所以要使函数g(x)=f(x)−x −a 有且只有两个不同的零点， 所以只需函数f(x)的图像与直线y =x +a 有两个不同的交点， 根据图形可得实数a 的取值范围为(−1,+∞)， 故选：BCD ．小提示：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 填空题12、若函数f (x )={−x 2+x,x >00,x =0ax 2+x,x <0 是奇函数，则实数a 的值为___________.答案：1分析：利用奇函数的性质进行求解. 若f(x)是奇函数，则有f (−x )=−f (x ).当x >0时，−x <0，则f (−x )=a (−x )2+(−x )=ax 2−x ， 又当x >0时，f (x )=−x 2+x ，所以−f (x )=x 2−x ， 由f (−x )=−f (x )，得ax 2−x =x 2−x ，解得a =1. 所以答案是：1.13、已知a >0，b >0，且a +b =1，则1a+2b−3ab 的最大值是______． 答案：32分析：利用a >0，b >0，且a +b =1，求出a 的范围，将1a+2b−3ab 消元得13a 2−4a+2，利用二次函数的最值及倒数法则即可求得1a+2b−3ab 的最大值.解：因为a >0，b >0，且a +b =1，所以a ∈(0,1),b ∈(0,1)，1a +2b −3ab =11+b −3ab=11+(1−a )(1−3a )=13a 2−4a+2，当a =23时，3a 2−4a +2取最小值23， 所以13a 2−4a+2取最大值32， 故1a+2b−3ab 的最大值是32.所以答案是：32.14、设函数f (x )={x,x ≤1,(x −1)2+1,x >1, 则不等式f (1−|x |)+f (2)>0的解集为________． 答案：(−3,3)分析：根据分段函数的单调性，把问题中的函数值大小比较转化为自变量大小比较，从而求得解集. 由函数解析式知f(x)在R 上单调递增，且−f(2)=−2=f(−2)， 则f (1−|x |)+f (2)>0⇒f (1−|x |)>−f (2)=f(−2)， 由单调性知1−|x |>−2，解得x ∈(−3,3) 所以答案是：(−3,3)小提示：关键点点睛：找到函数单调性，将函数值大小比较转化为自变量大小比较即可. 解答题15、已知函数f (x )=−x 2+mx −m ．（1）若函数f (x )的最大值为0，求实数m 的值．（2）若函数f (x )在[−1,0]上单调递减，求实数m 的取值范围．（3）是否存在实数m ，使得f (x )在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由．答案：（1）m =0或m =4；（2）m ⩽−2；（3）存在，m =6 分析：（1）配方后得最大值，由最大值为0可解得m 的值； （2）由对称轴在区间的左侧可得；（3）分类讨论求函数f(x)在[2,3]上的最大值和最小值，由最大值为3最小值为2求解m 的值． （1）f(x)=−(x −m 2)2−m +m 24，则最大值−m +m 24=0，即m 2−4m =0，解得m =0或m =4．（2）函数f(x)图象的对称轴是x =m 2，要使f(x)在[−1,0]上单调递减，应满足m 2⩽−1，解得m ⩽−2． （3）①当m2⩽2，即m ⩽4时，f(x)在[2,3]上递减，若存在实数m ，使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3]，则{f(2)=3，f(3)=2，即{−4+2m −m =3，−9+3m −m =2，，此时m 无解． ②当m2⩾3，即m ⩾6时，f(x)在[2,3]上递增，则{f(2)=2,f(3)=3, 即{−4+2m −m =2,−9+3m −m =3, 解得m =6．③当2<m 2<3，即4<m <6时，f(x)在[2,3]上先递增，再递减，所以f(x)在x =m2处取得最大值，则f (m2)=−(m 2)2+m ⋅m 2−m =3，解得m =−2或6，舍去．综上可得，存在实数m =6，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]．小提示：本题考查二次函数的性质，考查二次函数的最值，对称轴，单调性等性质，掌握二次函数的图象与性质是解题关键．。
(常考题)人教版高中数学必修第一册第三单元《函数概念与性质》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知幂函数()(1)n f x a x =-的图象过点(2,8)，且(2)(12)f b f b -<-，则b 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞2．已知()f x 为奇函数，且当0x >时，()2f x x =-，则1()2f -的值为（ ）A ．52- B ．32- C ．32 D ．523．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当[]0,1x ∈时，()31x f x =-，则()1f -=（ ） A ．2B ．1C ．-2D ．-14．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．()11f x x =- B ．()11f x x =- C ．()211f x x =- D ．()211f x x =+ 5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若12,x x R ∀∈，且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->成立，则不等式()()2120x f x x -->的解集是（ ）A ．()(),11,2-∞B ．()()0,11,+∞C ．()(),01,2-∞D ．()()0,12,⋃+∞6．函数()ln x xxf x e e -=-的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数f (x )＝|x |＋ln|x |，若f （3a -1）＞f （1），则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜0B ．23a >C ．023a <<D ．a ＜0或23a >8．设函数()()1xf x x R x=-∈+，区间[,]M a b =，集合{(),}N y y f x x M ==∈，则使MN 成立的实数对(,)a b 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个9．若函数2()|2|f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]4,0- B ．(],0-∞C ．(],4-∞-D ．(,4][0,)-∞-+∞10．函数24()|3|3x f x x -=+-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数11．函数1()2lg f x x x=+- ） A ．(0,2] B ．(0,2) C ．(0,1)(1,2]⋃ D ．(,2]-∞12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则()()()()2132020f f f f +++=（ ）A ．50B ．0C ．2D ．-2018 13．下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是 （ ）A ．2x y =B ．2y xC ．2log y x =D ．21y x =+14．现有下列四个结论中，其中正确结论的个数是（ ） ①幂函数()k yx k Q =∈的图象与函数1y x =的图象至少有两个交点；②函数()30xy k k =⋅>（k 为常数）的图象可由函数3xy =的图象经过平移得到；③函数11(0)312xy x x ⎛⎫=+≠⎪-⎝⎭是偶函数； ④函数21lg ||x y x +=无最大值，也无最小值；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．若()21f x ax x a =+++在()2,-+∞上是单调递增函数，则a 的取值范围是( ) A ．1(,]4-∞B ．1(0,]4C ．1[0,]4D ．1[,)4+∞二、填空题16．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：()()4f x f x +=-，对1x ∀，2[0,2]x ∈，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，且()10f =，则不等式()0f x >在[2019,2023]上的解集为______． 17．设函数()f x 在(,0)(0,)-∞+∞上满足()()0f x f x ，在(0,)+∞上对任意实数12x x ≠都有1212()(()())0x x f x f x -->成立，又(3)0f -=，则(1)()0x f x -<的解是___________.18．设函数()()333f x x x x R =-+∈.已知0a >，且()()()()2f x f a x b x a -=--，b R ∈，则ab =______.19．定义在[0,)+∞上的函数()y f x =满足：（1）(2)0f =；（2）当02x <<时，()0f x ≠；（3）任意的,0x y >总有()(())()f x y f x f y f y +=⋅⋅成立．则1(3)2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．20．记号{}max ,m n 表示m ，n 中取较大的数，如{}max 1,22=．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，()222max ,4x f x x x a a ⎧⎫=-+-⎨⎬⎩⎭．若0x <时，()f x 的最大值为1，则实数a 的值是_________．21．已知函数y =f （x ）和y =g （x ）在[-2，2]的图像如图所示，给出下列四个命题：①方程f [g （x ）]=0有且仅有6个根 ②方程g [f （x ）]=0有且仅有3个根 ③方程f [f （x ）]=0有且仅有5个根 ④方程g [g （x ）]=0有且仅有4个根 其中正确的命题是___22．定义在()1,1-上的函数()3sin f x x x =--，如果()()2110f a f a -+->，则实数a 的取值范围为______.23．函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-，若对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是_______参考答案24．函数()22f x x x =-，[]2,2x ∈-的最大值为________.25．已知函数()()11xf x x x =>-，())2g x x x ≥，若存在函数()(),F x G x 满足：()()()()()(),G x F x f x g x g x f x =⋅=，学生甲认为函数()(),F x G x 一定是同一函数，乙认为函数()(),F x G x 一定不是同一函数，丙认为函数()(),F x G x 不一定是同一函数，观点正确的学生是_________.26．已知定义在R 上的偶函数满足：(4)()(2)f x f x f +=+，且当[0,2]x ∈时，()y f x =单调递减，给出以下四个命题：①(2)0f =；②4x =-为函数()y f x =图象的一条对称轴； ③()y f x =在[8,10]单调递增；④若方程()f x m =在[6,2]--上的两根为1x 、2x ，则128.x x +=- 以上命题中所有正确命题的序号为___________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先根据题意得幂函数解析式为3()f x x =，再根据函数的单调性解不等式即可得答案. 【详解】解：因为幂函数()(1)nf x a x =-的图像过点(2,8)， 所以1128na -=⎧⎨=⎩，所以23a n =⎧⎨=⎩，所以3()f x x =， 由于函数3()f x x =在R 上单调递增，所以(2)(12)212f b f b b b -<-⇔-<-，解得：1b <． 故b 的取值范围是(,1)-∞. 故选：C. 【点睛】本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为1待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式.2．C解析：C 【分析】根据函数为奇函数可知1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后根据0x >时()f x 的解析式可求解出12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，则12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值可求. 【详解】因为()f x 为奇函数，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为1132222f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以113222f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用奇偶性的定义将计算12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值转化为计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，从而根据已知条件完成求解.3．C解析：C 【分析】由()f x 为奇函数，结合已知区间的解析式即可求10x -≤≤时()f x 的解析式，进而求()1f -即可.【详解】∵()f x 在R 上是奇函数， ∴令10x -≤≤，则[0,1]x -∈， 由题意，有()31()xf x f x --=-=-，∴1()13x f x =-，故()111123f --=-=-， 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用函数奇偶性，求对称区间上的函数解析式，然后代入求值.4．A解析：A 【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项B 、D ，再根据()01f =-不成立排除选项C ，即可得正确选项. 【详解】由图知()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，排除选项B 、D ，又因为当0x =时，()01f =-，不符合图象()01f =，所以排除C ， 故选：A 【点睛】思路点睛：排除法是解决函数图象问题的主要方法，根据函数的定义域、与坐标轴的交点、函数值的符号、单调性、奇偶性等，从而得出正确结果.5．C解析：C 【分析】根据条件先判断出()f x 的单调性，根据单调性得到()f x 取值的特点，根据1x -与0的关系，采用分类讨论的方法解不等式，从而求解出解集. 【详解】因为12,x x R ∀∈，且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->成立，所以()f x 为R 上增函数，又因为()f x 为R 上奇函数，所以0x <时，()0f x <；0x >时，()0f x >；0x =时，()0f x =；当10x -=时，1x =，此时()()2012x f x x --=，不符合条件；当10x ->时，因为()()2120x f x x -->，所以22010x x x ⎧->⎨->⎩，解得0x <；当10x -<时，因为()()2120x f x x -->，所以22010x x x ⎧-<⎨-<⎩，解得12x <<；所以()()2120x f x x -->的解集为()(),01,2-∞，故选：C. 【点睛】结论点睛：可直接判断函数单调性的几种变形形式： （1）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->或()()12120f x f x x x ->- 成立，则()f x 为单调递增函数；（2）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x --<或()()12120f x f x x x -<- 成立，则()f x 为单调递增函数.6．C解析：C 【分析】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可. 【详解】由题可知，函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()ln ln x x x xx xf x f x e e e e----==-=---， 所以函数()f x 为奇函数，所以排除选项BD ；又()10f =，所以排除选项A. 故选:C. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．D解析：D 【分析】根据函数为偶函数可转化为(|31|)(1)f a f ->，利用单调性求解即可.【详解】()||ln ||f x x x =+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称，又()||ln ||()f x x x f x -=-+-=， 所以()||ln ||f x x x =+为偶函数， 当0x >时，()ln f x x x =+为增函数， 又(31)(1)f a f ->可化为(|31|)(1)f a f ->， 所以|31|1a ->，所以311a ->或311a -<-， 解得23a >或0a <， 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的单调性，绝对值不等式的解法，属于中档题.8．A解析：A 【分析】 由已知中函数()()1||xf x x R x =-∈+，我们可以判断出函数的奇偶性及单调性，再由区间[M a =，]()b a b <，集合{|()N y y f x ==，}x M ∈，我们可以构造满足条件的关于a ，b 的方程组，解方程组，即可得到答案．【详解】x R ∈，()()1xf x f x x-==-+，()f x ∴为奇函数， 0x 时，1()111x f x x x -==-++，0x <时，1()111x f x x x-==--- ()f x ∴在R 上单调递减函数在区间[a ，]b 上的值域也为[a ，]b ，则()(),f a b f b a ==， 即1a b a -=+，1ba b-=+，解得0a =，0b = a b <，使M N 成立的实数对(,)a b 有0对 故选：A 【点睛】本题考查的知识点是集合相等，函数奇偶性与单调性的综合应用，其中根据函数的性质，构造出满足条件的关于a ，b 的方程组，是解答本题的关键．9．A解析：A 【分析】将()f x 写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为2()|2|f x x a x =+-，所以222,2()2,2x ax a x f x x ax a x ⎧+-≥=⎨-+<⎩，当()212f x x ax a =+-在[)2,+∞上单调递增时，22a-≤，所以4a ≥-， 当()222f x x ax a =-+在()0,2上单调递增时，02a≤，所以0a ≤， 且()()12224f f ==，所以[]4,0a ∈-， 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据分段函数单调性求解参数范围的步骤： （1）先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围； （2）根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系； （3）结合（1）（2）求解出参数的最终范围.10．A解析：A 【分析】首先求出函数的定义域，然后利用奇偶性定义判断即可. 【详解】解：因为()|3|3f x x =+-所以240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩解得22x -≤≤且0x ≠，故函数的定义域为[)(]2,00,2-，定义域关于原点对称，所以()f x x=，[)(]2,00,2x ∈-,又()()f x f x x-==-=-所以函数为奇函数； 故选：A 【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，判断函数的奇偶性按照两步：①求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称；②计算()f x -判断与()f x 之间的关系；11．C解析：C【分析】对数的真数大于零，分母不为零，偶次根式要求被开方式大于等于零，依据以上三点，列不等式求解. 【详解】欲使函数有意义，则0lg 020x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩，即012x x x >⎧⎪≠⎨⎪≤⎩解得()(]0,11,2x ∈⋃ 故选：C . 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关求函数定义域的问题，在求解的过程中，注意： （1）对数要求真数大于0； （2）分式要求分母不等于0； （3）偶次根式要求被开方式大于等于0.12．B解析：B 【分析】由奇函数和(1)(1)f x f x +=-得出函数为周期函数，周期为4，然后计算出(3),(2),(4)f f f 后可得结论．【详解】由函数()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x =--，且(0)0f =， 又由(1)(1)f x f x -=+，即(2)()()f x f x f x +=-=-，进而可得()(4)f x f x =+，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，又由(1)2f =，可得(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，(2)(0)0f f ==,(4)(0)0f f ==, 则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=， 所以(1)(2)(3)(2020)505[(1)(2)(3)(4)]0f f f f f f f f ++++=⨯+++=.故选：B . 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的周期性求函数值，解决本题的关键是由函数是奇函数以及(1)(1)f x f x -=+得出函数是周期为4的周期函数，进而可求出结果.13．D解析：D 【解析】根据基本初等函数的性质知，符合条件的是21y x =+，因为满足2()1()f x x f x -=+=，且在(0,)+∞上是增函数，故选D.14．A解析：A 【分析】①举反例说明命题为假；②应该是伸缩变换，可以判断出命题为假；③由奇偶函数的定义判断处函数为偶函数，可得命题为真； ④将函数变形，由均值不等式的性质可得最小值，可得命题为假． 【详解】 解：①取幂函数2y x ，显然与1y x=仅有一个交点，所以①不正确；②函数()30xy k k =⋅>（k 为常数）的图象可由函数3xy =的图象经过伸缩得到，所以②不正确；③设()y f x =，由()()()3111,0312231xxxx f x x x +⎛⎫=+=≠ ⎪--⎝⎭，定义域关于原点对称， 则()()()()()()3131231231x x xxx x f x f x ---++-===--，()f x ∴是偶函数，故③正确；④函数215lg lg ||||||x y x x x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭， 而lg y u =在定义域上单调递增，所以函数21lg ||x y x +=有最小值无最大值，所以④不正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查指对幂函数的性质，属于基础题.15．C解析：C 【分析】先考虑a 是否为零，然后再分一次函数和二次函数分别考虑. 【详解】当0a =时，则()1f x x =+，显然在()2,-+∞上递增；当0a ≠时，则()21f x ax x a =+++是二次函数，因为()f x 在()2,-+∞上递增，则对称轴122x a =-≤-且0a >，解得：10,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；综上：a 的取值范围是1[0,]4， 故选C. 【点睛】本题考查根据单调区间求解参数范围问题，难度一般.对于形如()2f x ax bx c =++的函数，一定要明确：并不一定是二次函数，可能会出现0a =的情况，所以要分类讨论.二、填空题16．【分析】先分析得到函数在上单调递减周期再得到当时即得解【详解】因为对当时所以在上单调递减而由偶函数得当时；又可得周期因为所以当时；于是的解集为故答案为：【点睛】方法点睛：对于函数的问题的研究一般从函 解析：(2019,2021)【分析】先分析得到函数()f x 在[0,2]上单调递减，周期4T=，再得到当(1,1)x ∈-时，()0f x >，即得解.【详解】因为对1x ∀，2[0,2]x ∈，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在[0,2]上单调递减，而()10f =， 由偶函数得当(1,1)x ∈-时，()0f x >； 又()()()4f x f x f x +=-=可得周期4T =，因为[2019,2023]x ∈，所以当(2019,2021)x ∈时，()0f x >； 于是()0f x >的解集为(2019,2021)． 故答案为：(2019,2021) 【点睛】方法点睛：对于函数的问题的研究，一般从函数的单调性、奇偶性和周期性入手，再研究求解.17．【分析】根据已知条件判断函数的奇偶性与单调性作出函数的草图等价于或根据函数图像解不等式【详解】由函数定义域及可知函数为奇函数在上对任意实数都有成立函数在上为增函数又函数为奇函数函数在为增函数又则作出 解析：()()3,01,3-【分析】根据已知条件判断函数的奇偶性与单调性作出函数的草图，(1)()0x f x -<等价于1()0x f x >⎧⎨<⎩或1()0x f x <⎧⎨>⎩，根据函数图像解不等式. 【详解】由函数()f x 定义域及()()0f x f x ，可知函数()f x 为奇函数，()f x 在(0,)+∞上对任意实数12x x ≠都有1212()(()())0x x f x f x -->成立，∴函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，又函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 在(,0)(0,)-∞+∞为增函数，又(3)0f -=，则(3)0f =， 作出函数草图如图所示：(1)()0x f x -<⇒1()0x f x >⎧⎨<⎩或1()0x f x <⎧⎨>⎩，根据()f x 的图像可知(1)()0x f x -<的解为：(3,0)(1,3)-.故答案为：(3,0)(1,3)-18．【分析】先将进行因式分解再与比较利用对应系数相等可得关于的方程即可得的值即可求解【详解】因为所以因为所以对任意的恒成立所以不恒为所以展开整理可得：所以解得：或（舍）所以故答案为：【点睛】关键点点睛： 解析：2-【分析】先将()()f x f a -进行因式分解再与()()2x b x a --比较，利用对应系数相等可得关于,a b 的方程，即可得,a b 的值，即可求解.【详解】因为()()333f x x x x R =-+∈，所以()()()()333333333f x f a x x a a x a x a -=-+----=-+，()()()()222233x ax a x ax x a x a x a a ⎡⎤---==+-++-⎣+⎦，因为()()()()2f x f a x b x a -=--，所以()()()2223x ax a x b x x a a ⎡⎤-=⎣-⎦++--，对任意的x 恒成立， 所以x a -不恒为0，所以()()223x ax a x b x a ++-=--展开整理可得：()23ax a a b x ab +-=-++，所以()23a a b a ab⎧=-+⎨-=⎩ 解得：12a b =⎧⎨=-⎩或12a b =-⎧⎨=⎩（舍），所以()122ab =⨯-=-， 故答案为：2-. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将()()f x f a -进行因式分解，由x a -不恒为0，得出()()223x ax a x b x a ++-=--利用待定系数法可求,a b 的值.19．【分析】先令求得再令可得结合已知条件可得从而可得答案【详解】解：令则由得因为所以令则因为当时；所以所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数求值问题解题的关键是结合已知条件正确赋值令解析：43【分析】先令1,2x y ==，求得(3)0f =，再令31,22x y ==，可得311(())()(2)222f f f f ⋅=，结合已知条件可得1()2f ，从而可得答案 【详解】解：令1,2x y ==，则由()(())()f x y f x f y f y +=⋅⋅得((2))(2)(12)f f f f ⋅=+， 因为(2)0f =，所以(3)0f =，令31,22x y ==，则311(())()(2)222f f f f ⋅=， 因为(2)0f =，当02x <<时，()0f x ≠；所以31(())0(2)22f f f ==， 所以31()222f =，所以14()23f =， 所以14(3)23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故答案为：43【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数求值问题，解题的关键是结合已知条件正确赋值，令31,22x y ==，则311(())()(2)222f f f f ⋅=，由(2)0f =，当02x <<时，()0f x ≠，可得31()222f =，从而得14()23f = 20．【分析】首先将时函数写成分段函数的形式并求函数的最小值根据奇函数的性质可知时的最小值是建立方程求【详解】当时解得：此时令解得此时所以时函数又因为此时是定义在上的奇函数所以图象关于原点对称时函数的最小解析：2±【分析】首先将0x >时，函数()f x 写成分段函数的形式，并求函数的最小值，根据奇函数的性质可知0x >时的最小值是1-，建立方程求a 【详解】当0x >时，22240x x x a a -+-+≥，解得：202x a <≤，此时()22x f x x a =-+，令22240x x x a a-+-+<，解得22x a >，此时()24f x x a =-， 所以0x >时，函数()222224,2,02x a x a f x x x x a a⎧-≥⎪=⎨-<≤⎪⎩，又因为此时()f x 是定义在R 上的奇函数，所以图象关于原点对称，0x ∴>时，函数的最小值是-1， 当22x a ≥时，函数单调递增，()222min 242f x a a a =-=-，当202x a <≤时，()222222124x a af x x x a a ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，函数的()()22min 22f x f aa==-，所以0x >时，函数的最小值是22a -，即221a -=-，解得：a =故答案为：2± 【点睛】思路点睛：本题主要考查分段函数与函数性质的综合应用，首先根据新定义，正确写出函数()f x 的表达式，这是本题最关键的一点，然后就转化为分段函数求最值问题.21．①③④【分析】根据函数图像逐一判断即可【详解】对于①令结合图象可得有三个不同的解从图象上看有两个不同的解有两个不同的解有两个不同的解故有6个不同解故①正确对于②令结合图象可得有两个不同的解从图象上看解析：①③④ 【分析】根据函数图像逐一判断即可. 【详解】对于①，令()t x g =，结合图象可得()0f t =有三个不同的解12321,0,12t t t -<<-=<<，从图象上看()1g x t =有两个不同的解，()2g x t =有两个不同的解，()3g x t =有两个不同的解，故[()]0f g x =有6个不同解，故①正确.对于②，令()t f x =，结合图象可得()0g t =有两个不同的解1221,01t t -<<-<<， 从图象上看()1f x t =的有一个解，()2f x t =有三个不同的解， 故[()]0g f x =有4个不同解，故②错误. 对于③，令()t f x =，结合图象可得()0f t =有三个不同的解12321,0,12t t t -<<-=<<， 从图象上看()1f x t =有一个解，()2f x t =有三个不同的解，()3f x t =有一个解，故[()]0f f x =有5个不同解，故③正确.对于④，令()t x g =，结合图象可得()0g t =有两个不同的解1221,01t t -<<-<<， 从图象上看()1g x t =有两个不同的解，()2g x t =有两个不同的解， 故[()]0g g x =有4个不同解，故④正确. 故答案为①③④. 【点睛】本题考查了函数图像的应用，考查了数学结合思想，属于中档题.22．【分析】先得出函数是奇函数且是减函数从而得到结合函数的定义域从而求出的范围【详解】解：是奇函数又是减函数若则则解得：或由解得：综上：故答案为：【点睛】本题考查了函数的奇偶性函数的单调性的应用属于中档题解析：(【分析】先得出函数是奇函数且是减函数，从而得到211a a -<-，结合函数的定义域，从而求出a 的范围． 【详解】 解：()3sin (3sin )()f x x x x x f x -=-=-+=-，是奇函数，又()3cos 0f x x '=-+<，是减函数， 若2(1)(1)0f a f a -+->， 则2((1))1f a f a -->，则211a a -<-，解得：1a >或2a <-，由2111111a a -<-<⎧⎨-<-<⎩，解得：0a <<，综上：12a <<，故答案为：()1,2． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性的应用，属于中档题．23．【分析】首先根据已知条件依次得到在附近的区间对应的函数解析式然后按其规律画出函数的图像再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m 的取值范围【详解】当时则当时则当时则由此作出图象如图所示由图知当解析：7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】首先根据已知条件依次得到在(0,1]x ∈附近的区间，(1,2]x ∈、(2,3]x ∈对应的函数解析式，然后按其规律画出函数的图像，再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m 的取值范围 【详解】当10-<≤x 时，011x <+≤，则11()(1)(1)22f x f x x x =+=+， 当12x <≤时，011x <-≤，则()2(1)2(1)(2)f x f x x x =-=--，当23x <≤时，021x <-≤，则22()2(1)2(2)2(2)(3)f x f x f x x x =-=-=--，由此作出()f x 图象如图所示，由图知当23x <≤时，令282(2)(3)9x x --=-， 整理得：(37)(38)0x x --=， 解得：73x =或83x =，要使对任意的(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，必有73m ≤， 所以m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查函数的解析式，函数的图象，不等式恒成立问题，考查分类讨论，数形结合的思想，属于中档题.24．8【分析】首先画出的图象根据图象即可求出函数的最大值【详解】函数的图象如图所示：由图可知故答案为：【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值熟练画出函数图象为解题的关键属于中档题解析：8 【分析】首先画出()f x 的图象，根据图象即可求出函数的最大值. 【详解】函数()f x 的图象如图所示：由图可知，max ()(2)44=8f x f =-=+. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值，熟练画出函数图象为解题的关键，属于中档题.25．甲【分析】由题意求出的解析式依据两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同即可得出结论【详解】解得所以故答案为:甲【点睛】本题主要考查两函数为同一函数的条件：定义域和对应关系相同；正确求出两函数的解析：甲 【分析】由题意求出()(),F x G x 的解析式,依据两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同,即可得出结论. 【详解】()()11xf x x x =>-,())2g x x x =≥, ()()11xf x x x ∴=>-, ())21x F x x x x x∴==≥-, ()()()G x g x f x =,())21G x x x x ∴=≥-, 解得())2G x x =≥,所以()())2F x G x x ==≥.故答案为:甲 【点睛】本题主要考查两函数为同一函数的条件：定义域和对应关系相同；正确求出两函数的解析式和定义域是求解本题的关键;属于易错题;26．①②④【分析】先求出从而得到为周期函数再根据函数为偶函数可逐项判断命题的正误【详解】令得故又函数是偶函数故；根据①可得则函数的周期是4由于偶函数的图象关于轴对称故也是函数图象的一条对称轴；根据函数的解析：①②④ 【分析】先求出()20f =，从而得到()f x 为周期函数，再根据函数为偶函数可逐项判断命题的正误. 【详解】令2x =-，得()()()222f f f =-+，故()20f =. 又函数()f x 是偶函数，故()20f =；根据①可得()()4f x f x +=，则函数()f x 的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故4x =-也是函数()y f x =图象的一条对称轴； 根据函数的周期性可知，函数()f x 在[]8,10上单调递减，③不正确； 由于函数()f x 的图象关于直线4x =-对称，故如果方程()f x m =在区间[]6,2-- [－6，－2]上的两根为12,x x ，则1242x x +=-，即128x x +=-.故正确命题的序号为①②④. 故答案为：①②④.. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性和单调性，注意偶函数在对称两侧区间上的单调性相反，具有周期性的偶函数的图象的对称轴有无数条，本题属于基础题.。
2018-2019学年高中数学 习题课3 函数的基本性质讲义 新人教A版必修1
(2)证明：设 x1＞x2＞0，则 f(x1)－f(x2)＝2x1－xa1－2x2－xa2＝ 2(x1－x2)＋xa2－xa1＝2(x1－x2)＋axx11－x2x2＝(x1－x2)2＋x1ax2.
因为 x1＞x2＞0，所以 x1－x2＞0，因为 a＞0，所以 2＋x1ax2 ＞0，所以(x1－x2)2＋x1ax2＞0，所以
1．用定义法判断函数的奇偶性时，为了判断 f(－x)与 f(x)
的关系，既可以从 f(－x)开始化简，也可以去考虑 f(－x)＋f(x)
或
f(－x)－f(x)是否为
0，当
f(x)不等于
0
时也可考虑f－x与 fx
1
或－1 的关系．
2．对于函数 y＝f(x)，x∈[a，b]．设 x1，x2∈[a，b]，若 x1 －x2 与 f(x1)－f(x2)同号，则 y＝f(x)在[a，b]上是单调递增的；若
本题主要考查对抽象函数的函数值域和单调性的探究．由
抽象函数求解某些函数值如f(0)时，一般采用赋值法求解，赋
值要恰当准确．已知一部分函数值求另一部分函数值时，则需 要设到所求段上，然后转到已知段求解．根据函数单调性的定 义，构造能够借助已知条件中的不等式，判断出函数的单调性 是此类问题的难点，也是关键点，需要剖析已知恒等式的结 构，转化为已知条件．
(3)解：设 x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋ f(－x2)＝f(x1－x2)＞0， ∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)为 R 上减函数． ∵f(2x－2)－f(x)＝f(2x－2)＋f(－x)＝f(x－2)≥－12， 又－12＝4f(1)＝f(4)， ∴f(x－2)≥f(4)，∴x－2≤4，∴x≤6， ∴原不等式的解集为{x|x≤6}．
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高中数学必修一1.3函数的基本性质练习题及答案
一：单项选择题： (共10题,每小题5分,共50分)
1. 已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
2. 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A.)2()1()23(f f f <-<- B.)
2
()23()1(f f f <-<- C.)23()1()2(-<-<f f f D.)
1()23
()2(-<-<f f f
3. 如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（
）
A.增函数且最小值是5-
B.增函数且最大值是5-
C.减函数且最大值是5-
D.减函数且最小值是5-
4. 设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ ）
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
5. 函数)11()(+--=x x x x f 是（ ）
A.是奇函数又是减函数
B.是奇函数但不是减函数
C.是减函数但不是奇函数
D.不是奇函数也不是减函数
6. 下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D.
7. 设函数|| + b + c 给出下列四个命题：
①c = 0时，y 是奇函数 ②b 0 , c >0时，方程0 只有一个实根 ③y 的图象关于(0 , c)对称 ④方程0至多两个实根
其中正确的命题是（ ）
A ．①、④
B ．①、③
C ．①、②、③
D ．①、②、④
8. 已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x 2
-2x,构造函数F(x),定义如下:当f(x)≥g(x)时,F(x)=g(x);当f(x)<g(x)时,F(x)=f(x).那么F(x) ( )
A ．有最大值7-2,无最小值
B ． 有最大值3,最小值-1
C ．有最大值3,无最小值
D ．无最大值,也无最小值
9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式
的解集是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10. 设定义域为R 的函数f （x ）满足
，且f （－1）＝，则f （2006）的值
为（ ） A ．1 B ．1 C ．2006 D ．
二：填空题： (共2题,每小题10分,共20分)
1. 设奇函数)(x f 的定义域为
[]5,5-，若当[0,5]x ∈时， )(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是 .
2. 若函数
2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是____________ 三：解答题： (共2题,每小题10分,共20分)
1. 判断y=1-2x 3 在(-
)上的单调性，并用定义证明。
2. 已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2+x )=f(x )－x 2+x .
（Ⅰ）若f (2)＝3,求f (1);又若f (0)=a ,求f (a );
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x 0,使得f(x 0?)= x 0,求函数f (x )的解析表达式.
答案
一：单项选择题：(共10题,每小题5分,共50分)
1. B.奇次项系数为0,20,2 m m
-==
2. D
3 (2)(2),21
2
f f
=--<-<-
3. A.奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性
4. A
()()()() F x f x f x F x
-=--=-
5. A
()(11)(11)() f x x x x x x x f x -=----+=+--=-
为奇函数，而
2
2
2,1
2,01
(),
2,10
2,1
x x
x x
f x
x x
x x
-≥
⎧
⎪
-≤<
⎪
=⎨
-≤<
⎪
⎪<-
⎩为减函数
6. D
7. C
8. A
9. B
10. B
二：填空题：(共2题,每小题10分,共20分)
1.
(]
(2,0)2,5
-
奇函数关于原点对称，补足左边的图象
2.[)
0,+∞2
10,1,()3 k k f x x
-===-+
三：解答题：(共2题,每小题10分,共20分)
1.证明：任取x1,x 2R,且-<x1<x2<+
f(x1)-f(x2)=(1-2x31)-(1-2x32)=2(x32-x13)=2(x2-x1)(x22+x1x2+x21)=2(x2-x1)[(x1+x2)2+x12] ∵
x 2>x1∴x0-x1>0,又（x1+x2）2+x12>0, ∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)故f(x)=1-2x3在（-，+）上为单调减函数。
或利用导数来证明（略）
2.解：（Ⅰ）因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2 + x)=f(x)－x2 +x，
所以f(f(2)－ 22+2)=f(2)－22+2.
又由f(2)=3，得f(3－22+2)－3－22+2，即f(1)=1.
若f(0)=a，则f(a－02+0)=a－02+0，即f(a)=a.
（Ⅱ）因为对任意x∈R，有f(f(x))－x2 +x)=f(x)－x2 +x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.所以对任意xεR，有f(x)－x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f(x0)－x + x0= x0,
又因为f(x0)－ x0，所以x0－x=0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f(x)－x2 +x=0，即f(x)= x2－x.
但方程x2－x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.
若x2=1,则有f(x)－x2 +x=1，即f(x)= x2－x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为f(x)= x2－x+1（x R）。