平行四边形存在性问题课件PPT
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中考数学专项提升复习——特殊平行四边形存在性问题 (共30张PPT)
对角线 对角线互相垂直平分且相等的四边形 是正方形
研究 元素
平行四边形
菱形
矩形
正方形 等腰梯形
对边平行 对边平行 对边平行 对边平行 对边平行
边 且相等
四边相等 且相等 四边相等 两腰相等
对角相等 性质 角 邻角互补
对角相等 四个角 邻角互补 为直角
四个角 为直角
在同一底 上的两个 角相等
对角 线
两组对边分别平行的四边形是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
判定
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
边
矩形对边平行 矩形对边相等
性质
角
矩形对角相等、邻角互补 矩形的四个内角都是直角
13
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．
2019/5/13
14
2.在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝3 5 ．分别以OA、OC边所
在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B的坐标； （2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的 解析式；
1.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长 度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于 点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运 动的时间为t秒（t≥0）． （1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；
研究 元素
平行四边形
菱形
矩形
正方形 等腰梯形
对边平行 对边平行 对边平行 对边平行 对边平行
边 且相等
四边相等 且相等 四边相等 两腰相等
对角相等 性质 角 邻角互补
对角相等 四个角 邻角互补 为直角
四个角 为直角
在同一底 上的两个 角相等
对角 线
两组对边分别平行的四边形是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
判定
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
边
矩形对边平行 矩形对边相等
性质
角
矩形对角相等、邻角互补 矩形的四个内角都是直角
13
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．
2019/5/13
14
2.在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝3 5 ．分别以OA、OC边所
在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B的坐标； （2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的 解析式；
1.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长 度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于 点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运 动的时间为t秒（t≥0）． （1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；
平行四边形判定PPT课件
两组对边分别相等
四边形中，如果两组对边分别相等，则该四边形为平行四边形。
一组对边平行且相等
四边形中，如果有一组对边既平行又相等，则该四边形为平行四边 形。
角度判定法
两组对角分别相等
四边形中，如果两组对角分别相等，则该四边形为平行四边 形。
一组邻角互补
四边形中，如果有一组邻角互补（即两个角的度数之和为 180度），则该四边形为平行四边形。
在水准测量中，可以利用 平行四边形对角线互相平 分的性质进行高程传递和 计算。
05 误区提示与易错点剖析
常见误区提示
误区一
仅根据两组对边分别平行就判定为平行四边形。实际上， 还需要考虑其他条件，如对角线是否互相平分等。
误区二
忽视平行四边形的性质，仅根据图形外观判断。平行四边 形的性质包括两组对边分别平行且相等、对角线互相平分 等，需要综合考虑。
梯形判定
一组对边平行且不相等的四边形是梯形；只有一组对边平行的四边形是梯形。
其他特殊情况
01
等腰梯形判定
同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯
形。
02
直角梯形判定
有一个角是直角的梯形是直角梯形。
03
平行四边形与特殊四边形的转化
通过添加辅助线或改变条件，可以将平行四边形转化为矩形、正方形、
正方形
既是矩形又是菱形的四边形是正方形。 正方形具有矩形和菱形的所有性质，此 外还具有四个直角和四条相等的边。
菱形
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。菱形 具有平行四边形的所有性质，此外还具有四 条相等的边和两条垂直且平分的对角线。
02 平行四边形判定方法
边长判定法
两组对边分别平行
四边形中，如果两组对边分别平行，则该四边形为平行四边形。
四边形中，如果两组对边分别相等，则该四边形为平行四边形。
一组对边平行且相等
四边形中，如果有一组对边既平行又相等，则该四边形为平行四边 形。
角度判定法
两组对角分别相等
四边形中，如果两组对角分别相等，则该四边形为平行四边 形。
一组邻角互补
四边形中，如果有一组邻角互补（即两个角的度数之和为 180度），则该四边形为平行四边形。
在水准测量中，可以利用 平行四边形对角线互相平 分的性质进行高程传递和 计算。
05 误区提示与易错点剖析
常见误区提示
误区一
仅根据两组对边分别平行就判定为平行四边形。实际上， 还需要考虑其他条件，如对角线是否互相平分等。
误区二
忽视平行四边形的性质，仅根据图形外观判断。平行四边 形的性质包括两组对边分别平行且相等、对角线互相平分 等，需要综合考虑。
梯形判定
一组对边平行且不相等的四边形是梯形；只有一组对边平行的四边形是梯形。
其他特殊情况
01
等腰梯形判定
同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯
形。
02
直角梯形判定
有一个角是直角的梯形是直角梯形。
03
平行四边形与特殊四边形的转化
通过添加辅助线或改变条件，可以将平行四边形转化为矩形、正方形、
正方形
既是矩形又是菱形的四边形是正方形。 正方形具有矩形和菱形的所有性质，此 外还具有四个直角和四条相等的边。
菱形
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。菱形 具有平行四边形的所有性质，此外还具有四 条相等的边和两条垂直且平分的对角线。
02 平行四边形判定方法
边长判定法
两组对边分别平行
四边形中，如果两组对边分别平行，则该四边形为平行四边形。
探究二次函数中平行四边形的存在性问题 (共19张PPT)
点P、Q、B、O为顶点的四边形
为平行四边形，直接写出相应的 A
C
点Q的坐标．
33
①点AC为对角线
0
0
4 3
a
m
a
a
1 3
a
m2
2m
a
m
5 2
a
15 8
②点AN为对角线
0 a
4 3 1 3
a a
0m a m2
2m
a
am18255 （舍）
③点AP为对角线
0 a
先求出A(0，a)，C (0， -a)，设P(m，m2-2m+a) 根据A(0，a) ,M（1，a-1）,先求出 直线AM的解析式为y=-x+a,再根据 直线y = 0.5x - a与直线AM的交点为 N可求出点N的坐标。
N(4 a, 1 a) 33
先求出A(0,a)，C (0, -a)，N ( 4 a, 1 a) ， 设P(m,m2-2m+a)
为平行四边形的对角线三种情况进行讨论
例题图④
③根据平行四边形顶点规律列方程组求出点H的坐标；
解：存在，理由如下：假设存在满足条件的点H ， 已知A（1，０），Ｃ（０，３） 设G点坐标为(2,a)，H点坐标为(n，n2－4n＋3) 分三种情况： ①当AC为对角线时，
②当AG为对角线时，
③当GC为对角线时， 这种情况不存在
四边形？如果存在，请求出E点的坐标；如果不存在，请
说明理由； 解：存在；假设存在满足条件的点E，
已知D (2，－1)，B(3，0)，C(0，3) ，设E（ｘ，ｙ）
《平行四边形的性质》PPT
思维拓展
课堂小结：
1、本节课研究了什么图形的性质？2、什么是平行四边形？3、从本节课的探讨中，平行四边形有哪些性质？
平行四边形的对边平行且相等平行四边形的对角相等平行四边形的的对角线互相平分
平行四边形的性质
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A =∠C, ∠B =∠D
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AO＝CO BO＝DO
性质4：平行四边形对角相等.
因为 四边形ABCD是平行四边形
所以
几何语言:
A
B
C
D
O
性质４：平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点．
性质５：平行四边形的对角线互相平分．
平行四边形的对角线有什么性质？
平行四边形的性质及其几何语言：
2.平行四边形的对边相等；
3.平行四边形的对角相等；
又因为 AD∥BC（平行四边形的对边平行）
所以 ∠A + ∠B =180。（两直线平行， 同旁内角互补）
所以 ∠B = ∠D = 180。-∠A = 180。 - 30。= 150。
解：因为 四边形ABCD是平行四边形（已知） 所以 AB=CD，BC=AD（平行四边形的对边相等） 又因为 AB=6cm,BC=4cm(已知） 所以 CD=AB= 6cm，AD=BC= 4cm
∵四边形ABCD是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形
1.平行四边形的对边平行；
∵四边形ABCD是平行四边形
A
B
C
D
4.平行四边形的对角线互相平分；
∵四边形ABCD是平行四边形AC=6
∴OA=OC=3
平行
且相等
相等
∠A＝∠C,∠B＝∠D
平行四边形的存在性问题微课件
A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，已知其中任意3个顶点
的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？
(x4，y4) (x1，y1) (x3，y3) (x2，y2)
平移的性质 对一个图形进行平移，图形上所有点的横、纵坐标都 要相应发生相同的变化．
x1-x2= x4-x3 y1-y2= y4-y3 x2-x1= x3-x4
决问题的方法。
③点 B与点 与点P P 相对 所以， (2, 3) ①点 B O 相对 P ②点 Q 1 (2,1), 2 (6, 3), P 32 2+ 2 0 -0.25 m mm =m 0+ a 0+ a= 0 -+ 0.25 m 0+0= a0.25 + m
本题中有两个动点，难以探索，用对点法则不用分析 复杂的图形，降低了分析的难度，体现了“对点法”强大
(x4,y4) (x1,y1) (x3,y3) (x2,y2)
x1-x4= x2-x3 y1-y4= y2-y3 x4-x1= x3-x2
y2-y1= y3-y4
x1+x3= x2+x4 y1+y3= y2+y4
y4-y1= y3-y2
如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点坐标分别为
A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，已知其中任意3个顶点
的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？
(x4,y4)
(x3,y3)
x1+x3= x2+x4
(x1,y1)
y1+y3= y2+y4
(x2,y2)
平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点 的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等．
的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？
(x4，y4) (x1，y1) (x3，y3) (x2，y2)
平移的性质 对一个图形进行平移，图形上所有点的横、纵坐标都 要相应发生相同的变化．
x1-x2= x4-x3 y1-y2= y4-y3 x2-x1= x3-x4
决问题的方法。
③点 B与点 与点P P 相对 所以， (2, 3) ①点 B O 相对 P ②点 Q 1 (2,1), 2 (6, 3), P 32 2+ 2 0 -0.25 m mm =m 0+ a 0+ a= 0 -+ 0.25 m 0+0= a0.25 + m
本题中有两个动点，难以探索，用对点法则不用分析 复杂的图形，降低了分析的难度，体现了“对点法”强大
(x4,y4) (x1,y1) (x3,y3) (x2,y2)
x1-x4= x2-x3 y1-y4= y2-y3 x4-x1= x3-x2
y2-y1= y3-y4
x1+x3= x2+x4 y1+y3= y2+y4
y4-y1= y3-y2
如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点坐标分别为
A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，已知其中任意3个顶点
的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？
(x4,y4)
(x3,y3)
x1+x3= x2+x4
(x1,y1)
y1+y3= y2+y4
(x2,y2)
平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点 的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等．
《平行四边形及其性质》PPT课件5
∴OE=OF.
又∵ ∠BOE= ∠ DOF(对顶角相等)
∴ △OBE≌△ODF（SAS）
(平行四边形的对角线互相平分)
如图，在 ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AC＝10，BD=8,则AD的取值范围是 _________.
1＜AD＜9
2. 若平行四边形的一边长为５,则它的两条对角线长可以是( ) Ａ. １２和２ Ｂ. ３和４ Ｃ. ４和６ Ｄ. ４和８
O
D
B
A
C
D
1.选择：平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是（ ） A、不稳定性 B、对角线互相平分C、内角的为360度 D、外角和为360度
O
●
老大
老四
老三
老二
M
老人分地合理吗？
故四人的土地面积相同，老人分地合理。
小明家有一块平行四边形菜地，菜地中间有一口井，为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水井修一条路，可以把菜地分成面积相等的两部分. 同学们，你知道聪明的小明是怎么帮妈妈分的吗？
引申思考
O
找一找
在这些图形中面积相等的图形有哪些？
A. (3,7) B. (5,3)C. (7,3) D. (8,2)
C
一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动， 到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
老大
老二
老三
老四
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分
证明∵AB∥CD
∴∠ODF=∠OBE
∴△DOF≌△BOE（ASA）
又∵ ∠BOE= ∠ DOF(对顶角相等)
∴ △OBE≌△ODF（SAS）
(平行四边形的对角线互相平分)
如图，在 ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AC＝10，BD=8,则AD的取值范围是 _________.
1＜AD＜9
2. 若平行四边形的一边长为５,则它的两条对角线长可以是( ) Ａ. １２和２ Ｂ. ３和４ Ｃ. ４和６ Ｄ. ４和８
O
D
B
A
C
D
1.选择：平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是（ ） A、不稳定性 B、对角线互相平分C、内角的为360度 D、外角和为360度
O
●
老大
老四
老三
老二
M
老人分地合理吗？
故四人的土地面积相同，老人分地合理。
小明家有一块平行四边形菜地，菜地中间有一口井，为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水井修一条路，可以把菜地分成面积相等的两部分. 同学们，你知道聪明的小明是怎么帮妈妈分的吗？
引申思考
O
找一找
在这些图形中面积相等的图形有哪些？
A. (3,7) B. (5,3)C. (7,3) D. (8,2)
C
一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动， 到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
老大
老二
老三
老四
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分
证明∵AB∥CD
∴∠ODF=∠OBE
∴△DOF≌△BOE（ASA）
平行四边形的不稳定性(课堂PPT)
用四根小棒摆一个平行四边形。
绿色圃中小学教育网
4. 小结：通过实验我们发现平行四边形的四条边确定了，形状不能确定。 绿色圃中小学教育网 5. 问题：请你思考一下，这是什么原因呢？
2021/3/29
6
二、认识平行四边形的底和高
事例吗？ 2021/3/29
4
用这四根小棒能摆成不同的平行四边形吗？
绿色圃中小学教育网
发现通平过行实四验边我形们的发四现条边什确么定？了，形状不能确定。 绿色圃中小学教育网 这是什么原因呢？
2021/3/29
5
一、通过实验，体验平行四边形的不 稳定性
我高3米
你高2米
3米
2米
对于平行四边形你还有哪些了解？
什么是平行四边形的底和高呢？
黄色平行四边形的高是多少？
2021/3/29
7
认识平行四边形各部分名称
高
任意一条边上
的任意一点
底
三角板的直角边与一条边重合，
移动三角板画一条高。
2021/3/29
8
画出下面平行四边形的高
高 底
2021/3/29
9
画出下面平行四边形的高
高 底
2021/3/29
10
画出下面平行四边形的高
2021/3/29
11
画出下面平行四边形的高
2021/3/29
12
平行四形的高有两种作法:
2021/3/29
高 高
底
底
13
同理画出另外四个底的高
底
底 底
2021/3/29
底
14
平行四边形一条底上有几条高? (无数条)
2021/3/29
15
1、从平行四边形（一条边 ）上的一点到
绿色圃中小学教育网
4. 小结：通过实验我们发现平行四边形的四条边确定了，形状不能确定。 绿色圃中小学教育网 5. 问题：请你思考一下，这是什么原因呢？
2021/3/29
6
二、认识平行四边形的底和高
事例吗？ 2021/3/29
4
用这四根小棒能摆成不同的平行四边形吗？
绿色圃中小学教育网
发现通平过行实四验边我形们的发四现条边什确么定？了，形状不能确定。 绿色圃中小学教育网 这是什么原因呢？
2021/3/29
5
一、通过实验，体验平行四边形的不 稳定性
我高3米
你高2米
3米
2米
对于平行四边形你还有哪些了解？
什么是平行四边形的底和高呢？
黄色平行四边形的高是多少？
2021/3/29
7
认识平行四边形各部分名称
高
任意一条边上
的任意一点
底
三角板的直角边与一条边重合，
移动三角板画一条高。
2021/3/29
8
画出下面平行四边形的高
高 底
2021/3/29
9
画出下面平行四边形的高
高 底
2021/3/29
10
画出下面平行四边形的高
2021/3/29
11
画出下面平行四边形的高
2021/3/29
12
平行四形的高有两种作法:
2021/3/29
高 高
底
底
13
同理画出另外四个底的高
底
底 底
2021/3/29
底
14
平行四边形一条底上有几条高? (无数条)
2021/3/29
15
1、从平行四边形（一条边 ）上的一点到
抛物线中平行四边形问题品质课件PPT
402m
m
00a0.25m2
m
a
2 1
②点B与点Q相对 420m
m 6
0a00.25m2 m a 3
③点B与点P相对
4m02 00.25m2 m0a
m
a
2 3
∴P1(2,1), P2(6,-3), P3(-2,-3)
变式训练2
如图，平面直角坐标系中，y=0.5x2+x-4与y轴相交于点B(0,-4),点P是抛物线上的
• 例1 如图，平面直角坐标系中，已知点A(-1,0),B(1,-2),C(3,1),点D
是平面内一动点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边
形，则点D的坐标是__(-_3_,-_3)_,(_1_,3_),_(5,-1)
设点D（x,y)
①点A与点B相对 11 3 x 02 1 y
②点A与点C相对13 1 x 01 2 y
抛物线中 平行四边形存在性问题
一、画图引领 温故知新
• 1、已知平面上不共线三点A、B、C，求一 点D，使得A、B、C、D四个点组成平行四
边形
连接AB,AC,BC，分别过点A,B,C作对边的平行线，三条平行线的交点即为所有点D
D1
A
D2
B
C
D3
• 2、已知平面上两个点A,B，求两点P,Q，使 得A,B,P,Q四个点组成平行四边形（题目中 P，Q的位置有具体的限制）
x 3
y
3
D2 C
A
x 1
y
3
D1
B
D3
说明：若题中四边形ABCD是平行四边形，
则点D的坐标只有一个结果__(1,3)
③点A与点D相对 1 x 13 x 5
《平行四边形的性质》PPT课件(第1课时)
（来自教材）
知3－练
证明：在▱ABCD中，因为AB∥CD，所以∠FBE＝∠DCE. 因为E为BC的中点，所以BE＝CE. FBE＝DCE， 在△FBE和△DCE中，BE＝CE , BEF＝CED， 所以△FBE≌△DCE.所以BF＝CD. 又因为AB＝CD，所以BF＝AB，即点B为AF的中 点．
（来自教材）
知3－讲
导引：根据BM平分∠ABC和AB∥CD可以判定△BCM 是等腰三角形，从而得到BC＝MC＝2，再结合 ▱ABCD的周长是14得到CD的长，进而得到DM的 长．具体过程如下： ∵在▱ABCD中，AB∥CD，BM是∠ABC的平分 线，∴∠CBM＝∠ABM＝∠CMB.∴BC＝MC＝2. 又∵▱ABCD的周长是14，∴AB＝CD＝5.∴DM＝ 3.
2. 数学表达式：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB＝CD，AD＝BC.
（来自《点拨》）
知3－讲
例3 [中考·玉林]如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC
的平分线，交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD的
周长是14，则DM等于( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
（来自《点拨》）
（来自《点拨》）
总结
知3－讲
当题目中平行线和角平分线同时出现时，极有可 能出现等腰三角形，如本题中由AB∥CD和BM平分 ∠ABC就得到△BCM是等腰三角形；在平行四边形 的边的计算中，“平行四边形相邻两边之和等于平行 四边形的周长的一半”会经常用到．
（来自《点拨》）
知3－练
1 在▱ ABCD 中，已知AB=3，AD=2，求▱ ABCD的
第二十二章 四边形
平行四边形的性质
第1课时
《平行四边形的性质》PPT
平行四边形的性质及其几何语言：
1.平行四边形的对边平行；
∵四边形ABCD是平行四边形
AB∥CD，AD∥BC
2.平行四边形的对边相等；
∵四边形ABCD是平行四边形
AB CD; AD BC
3.平行四边形的对角相等；
∵四边形ABCD是平行四边形
A C;B D
A
D
O
B
C
4.平行四边形的对角线互相平分；
A
D
解：因为 四边形ABCD是平行四边形 B
C
所以 ∠且C∠= ∠A =A3=03。0（。，已知∠）B= ∠D
（平行四边形的对角相等）
又因为 AD∥BC（平行四边形的对边平行）
所以 ∠A + ∠B =180。（两直线平行，
同旁内角互补）
所以 ∠B = ∠D = 180。-∠A = 180。 - 30。= 150。
B 56 °
25 所以 ∠B+∠BCD = 180° (两直线平行，同旁内角互补)
C ∠BCD = 180°—∠B = 180°— 56°= 124°
（2）因为 四边形ABCD是平行四边形 且 AD=30, CD=25
所以 AD=BC=30, AB=CD=25 (平行四边形对边相等)
练习
思维拓展
如右图，从等腰三角形底 边上任一点，分别作两腰 的平行线，所成的平行四 边形周长与它的腰长之间 的关系如何？说说你的理 由．
平行四边形的对角相等
C
平行四边形是否具有对称性？
A
D
O
●
B
C
ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合， 这时我们说 ABCD是中心对称图形，点O叫对称 中心。
32
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D
C 3个
D 4个
C D
A
B
D
2.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标(-1,0),B(3,0),C(0,2), 点D是平面内任意一点,若A、B 、C 、D四点恰好构成一 个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点D的坐标为
D (-4,2)
C(0,2)
D (4,2)
E (-1,0) A O B(3,0) D (2,-2)
第一类型：一个动点平行四边形存在性问题
例1. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为2cm，点A、
C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和 B，且12a+5c=0 （1）求抛物线的解析式； （2）如果点P由点A沿AB边以2cm/ｓ的速度向点B移动，同时点Q由点 B开始沿BC边以1cm/ｓ的速度向点C移动，那么： ①移动开始后第t秒时，设S=PQ2（cm2），试写出S与t之间的函数关 系式，并写出t的取值范围； ②当S取最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为 顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在， 请说明理由。
y P Q
由题意可知 PQ=4，所以P点 横坐标X=±4
A （-1,0）
Q
P
O
B （3,0）
x
(2)当AB为一条对角线时
y
由题意可知AO=BE=1 所以OE=3-1=2 所以P点横坐标X=2
Q E O A （-1,0） B P （3,0） x
例3.如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m 与该二次函数的图象交于A 、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B 点在y轴上 (1)求m值及二次函数的关系式. (2)D为直线A B与二次函数图象对称轴的 交点,P线段A B上的一个动点(点P与A 、 B不重合),过P作x轴的垂线与二次函数的 图象交于E点,在线段A B上是否存在一点 P,使四边形DCEP是平行四边形?若存在， 请求出点P的坐标；若不存在，请说明理 由。
(1) m=1 y=x+1 y= x - 2x + 1 O (2)点C、D是定点，点P、E两个动点 设P点坐标（X，x+1 得 （ x+1）- （ ），则点E坐标（X， x - 2x + 1 ）由 PE=DC x - 2x + 1
2 2 2
A P D B E C
）=2
练习
二次函数 y= 2x - 2 的图象与X轴交于A 、B两点,如图所示，与y 轴交于C点.直线x=m(m＞1)与X轴交于点D. （1）求A 、B 、C三点的坐标。 （2）在直线x=m(m＞1)上取一点P（点P在第一象限），要使以 PDB为顶点的三角形与以B为顶点的三角形相似，求P点得坐标 （用含m的代数式表示） 2 （3）在（2）成立的条件下，问抛物线 y= 2x - 2 的图象上是否 存在一点Q,使四边形ABPQ是平行四边形?若存在，请求出此时 m的值；若不存在，请说明理由。 y
2
A
O C
B
x
4 14 ∴2 5 5
8 14 8 14 ∴R( ， ) ，经检验R( ， ) 不在抛物线上 5 5 5 5
12 6 综上所述，当S最小时，抛物线上存在点R( ， ) ，使得以P、B、Q、R 5 5
为顶点的四边形是平行四边形。
第二类型：两个动点平行四边形存在性问题
例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B （3,0）C（0，-1）三点。
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，在抛物线上是否存在一点P ，使Q、P、 A、B为顶点的四边形是平行四边形。若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
y
点A、B是定点， 点Q 、P两个动点 分两种情况： AB为一条边 AB为一条对角线
A （-1,0） O
Q
P
（3,0） x B
解:假设在抛物线上存在点P，使得以A、B、Q、P为 顶点的四边形是平行四边形，分两种情况： (1)当AB为一条边时
分两类型 第一类型：一个动点平行四边形存在性问题
第二类型：两个动点平行四边形存在性问题
第一类型：一个动点平行四边形存在性问题
抛砖引玉
1.点A、B 、C是平面内不在同一条直线上的三点, 点D是平面内任意一点,若A、B 、C 、D四点恰好 构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的 点D有( C ) A 1个 B 2个
8 2 ∴BP 2 2 ，∴R( ， ) ， 5 5 5 5
12 6 经检验R( ， ) 在抛物线上， 5 5
显然，□ PBQR的点R不在抛物线上.
R R
(2)当PB为一条对角线，使四边形PRBQ为平行四边形时
4 ∵BQ t PR 5
②当S取得最小值时，t
4 5
8 6 ∴P( ， 2) ，Q(2 ， ) 5 5
R
R
点P、B、Q都是定点，只有 点R一个动点位置不确定 分两种情况：
R
解:假设在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为 顶点的四边形是平行四边形，分两种情况： (1)当PB为一条边，使四边形PBRQ为平行四边形时
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在 的问题，这类问题多以压轴题形式出现，其包涵知 识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧， 解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力 要求较高，是近几年中考的“热点”，更是 难点。 存在性问题类型很多，今天这节课只研究
——平行四边形存在性问题
平行四边形存在性问题
C 3个
D 4个
C D
A
B
D
2.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标(-1,0),B(3,0),C(0,2), 点D是平面内任意一点,若A、B 、C 、D四点恰好构成一 个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点D的坐标为
D (-4,2)
C(0,2)
D (4,2)
E (-1,0) A O B(3,0) D (2,-2)
第一类型：一个动点平行四边形存在性问题
例1. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为2cm，点A、
C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和 B，且12a+5c=0 （1）求抛物线的解析式； （2）如果点P由点A沿AB边以2cm/ｓ的速度向点B移动，同时点Q由点 B开始沿BC边以1cm/ｓ的速度向点C移动，那么： ①移动开始后第t秒时，设S=PQ2（cm2），试写出S与t之间的函数关 系式，并写出t的取值范围； ②当S取最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为 顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在， 请说明理由。
y P Q
由题意可知 PQ=4，所以P点 横坐标X=±4
A （-1,0）
Q
P
O
B （3,0）
x
(2)当AB为一条对角线时
y
由题意可知AO=BE=1 所以OE=3-1=2 所以P点横坐标X=2
Q E O A （-1,0） B P （3,0） x
例3.如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m 与该二次函数的图象交于A 、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B 点在y轴上 (1)求m值及二次函数的关系式. (2)D为直线A B与二次函数图象对称轴的 交点,P线段A B上的一个动点(点P与A 、 B不重合),过P作x轴的垂线与二次函数的 图象交于E点,在线段A B上是否存在一点 P,使四边形DCEP是平行四边形?若存在， 请求出点P的坐标；若不存在，请说明理 由。
(1) m=1 y=x+1 y= x - 2x + 1 O (2)点C、D是定点，点P、E两个动点 设P点坐标（X，x+1 得 （ x+1）- （ ），则点E坐标（X， x - 2x + 1 ）由 PE=DC x - 2x + 1
2 2 2
A P D B E C
）=2
练习
二次函数 y= 2x - 2 的图象与X轴交于A 、B两点,如图所示，与y 轴交于C点.直线x=m(m＞1)与X轴交于点D. （1）求A 、B 、C三点的坐标。 （2）在直线x=m(m＞1)上取一点P（点P在第一象限），要使以 PDB为顶点的三角形与以B为顶点的三角形相似，求P点得坐标 （用含m的代数式表示） 2 （3）在（2）成立的条件下，问抛物线 y= 2x - 2 的图象上是否 存在一点Q,使四边形ABPQ是平行四边形?若存在，请求出此时 m的值；若不存在，请说明理由。 y
2
A
O C
B
x
4 14 ∴2 5 5
8 14 8 14 ∴R( ， ) ，经检验R( ， ) 不在抛物线上 5 5 5 5
12 6 综上所述，当S最小时，抛物线上存在点R( ， ) ，使得以P、B、Q、R 5 5
为顶点的四边形是平行四边形。
第二类型：两个动点平行四边形存在性问题
例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B （3,0）C（0，-1）三点。
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，在抛物线上是否存在一点P ，使Q、P、 A、B为顶点的四边形是平行四边形。若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
y
点A、B是定点， 点Q 、P两个动点 分两种情况： AB为一条边 AB为一条对角线
A （-1,0） O
Q
P
（3,0） x B
解:假设在抛物线上存在点P，使得以A、B、Q、P为 顶点的四边形是平行四边形，分两种情况： (1)当AB为一条边时
分两类型 第一类型：一个动点平行四边形存在性问题
第二类型：两个动点平行四边形存在性问题
第一类型：一个动点平行四边形存在性问题
抛砖引玉
1.点A、B 、C是平面内不在同一条直线上的三点, 点D是平面内任意一点,若A、B 、C 、D四点恰好 构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的 点D有( C ) A 1个 B 2个
8 2 ∴BP 2 2 ，∴R( ， ) ， 5 5 5 5
12 6 经检验R( ， ) 在抛物线上， 5 5
显然，□ PBQR的点R不在抛物线上.
R R
(2)当PB为一条对角线，使四边形PRBQ为平行四边形时
4 ∵BQ t PR 5
②当S取得最小值时，t
4 5
8 6 ∴P( ， 2) ，Q(2 ， ) 5 5
R
R
点P、B、Q都是定点，只有 点R一个动点位置不确定 分两种情况：
R
解:假设在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为 顶点的四边形是平行四边形，分两种情况： (1)当PB为一条边，使四边形PBRQ为平行四边形时
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在 的问题，这类问题多以压轴题形式出现，其包涵知 识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧， 解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力 要求较高，是近几年中考的“热点”，更是 难点。 存在性问题类型很多，今天这节课只研究
——平行四边形存在性问题
平行四边形存在性问题