流体力学-(3)

当两个方向同时伸长时正方形面元将扩张，面积的相对扩
张率为：
lA i0 m (A A t)lx y i0 0 m (x u xxt)x (y y y v tyt)xy
u v xy
u v t
xu
一阶面积 二阶面积
相对扩张率 相对扩张率
当δt→0时，面积的瞬时相对扩张率为
lA t i m 0 0 (A At) u x yvv
层流区
Re=2000
过渡区
Re=3000
湍流区
B2.6.1 层流与湍流
实验三
1934年，【美】德雷顿首次用热线测速仪测量到 湍流速度脉动。林格伦得到如下结果
层流区
过渡区
湍流区
B2.6.1 层流与湍流
实验结果分析：
当雷诺数较小时，染液线为一条平滑直线；测速信号也 是一条平滑直线；hf与 V 呈线性关系。
Recr 2300
当 Re2300时，流动必为层流， 当 Re2300时，将发生湍流。
名人堂
雷诺 (Osborne Reynolds 1842～1912)， 德国力学家、物理学家、工程师。 1842年8月23日生于北爱尔兰的贝尔法斯特， 1912年2月21日卒于萨默塞特的沃切特。 早年在工厂做技术工作， 1867年毕业于剑桥大学王后学院。 1868年起任曼彻斯特欧文学院工程学教授， 1877年当选为皇家学会会员。 1888年获皇家奖章。
Ω v2 w
涡线：线上任意点的切线方向与该点的涡量方向一致的假想曲线， 如下图中的曲线。
涡束：涡线组成的集束称为涡束。
B2.5.3 流体的旋转
在充满涡量的流场中，涡量的作用与速度矢量相当：
（1）速度矢量：表示质点平移运动的方向和快慢，处处与流线相切。 涡量矢量：表示质点旋转运动的方向和快慢，处处与涡线相切。
B
M
A
考察图中正交线元MA和MB绕M点的旋转运动，规定逆时针方向 旋转为正。MA,MB 绕 M 点旋转角速度分别为
M
Altim 0t lt im 0xvt t
v x
M
Bltim 0tltim 0uyt t
u y
式中负号代表顺时针方向。
B2.5.3 流体的旋转
定义一点邻域内流体绕z轴方向的旋转角速度为xy平面上正交于该点的 两线元的平均角速度。
v在场论中称为速度散度。
B2.5.2 流体的变形
将上述分析推广到空间流动，流体元体积的瞬时膨胀率为
l i0m (t) u x y v w z( u x y v u x w z y v w z)t
u v w ( t)2
xyz
一阶体积相对膨 二胀 阶率 体积相对膨胀 三阶率 体积相对膨胀率
①②
③④
① 质点M0的平移速度 ② M点绕M0点旋转引起的相对速度 ③ 两点间线元线应变率引起的相对速度
④ 两点间体元角变形率引起的相对速度
亥姆霍兹定理 表明：
一点邻域内的速度 =平移速度① + 旋转速度② + 线变形率③ + 角变形率④
B2.5.2 流体的变形 线应变率： 正方形面元的线应变率
z 12xv uy
类似的，绕x轴和y轴方向的旋转角速度分别为：
x
1(wv) 2 y z
y
1(uw) 2 z x
三个角速度分量构成一点邻域内的角速度矢量：
i jk
ω (xiyjzk)1 2( v)1 2x y z
uvw
在场论中
称为速度旋度。
B2.5.3 流体的旋转
涡量：在流体力学中，将速度旋度定义为涡量
式中，V为平均速度，d为直径。, 分别
为流体的密度和粘度。
B2.6.1 层流与湍流 下面介绍与雷诺数相关的三个著名实验。 实验一
1839年，【德】哈根在黄铜管定常流中测量压强 损失与平均速度V的关系；
Re=2100
Re=4200
B2.6.1 层流与湍流
实验二
1883年，【英】雷诺用红色染液显示玻璃管中的 流态，发现雷诺数。
B2.5.2 流体的变形 角变形率：
B
M
A
考察 xy 平面流场中过任意点M的一对正交线元 MA 和 MB，分别长δx，δy，
v 存在速度梯度
x
u
， y 。经过δt时间后，MA，MB分别转过角度δα，δβ，其在M
点邻域内的时间平均值分别为
vx
limx
t
vt
x0 x
x
uy t
limy
ut
y0 y
（2）类似于流量
Q (v n)dA
A
引入涡通量
I (n)dA A
B2.6 几种流动分类 B2.6.1 层流与湍流
粘性流体的流动按流场的结构形态可分为：层流+湍流 层流：流动是有规则的，有层次的，稳定的； 湍流：流动是无规则脉动的，有强烈的掺混性和涡旋性。
雷诺数：圆管定常流动系列实验 Re Vd
当雷诺数逐渐增大后，染液开始波动；测速信号发生间 歇性脉动，说明流动开始向不稳定状态转变；hf与 V 关 系不确定。
当雷诺数继续增大后，染液线突然变得模糊，并弥散到 整个管内；测速信号变为连续不断的随机脉动；hf与 V 成1.75-2次关系。
B2.6.1 层流与湍流 综合多种实验结果，临界雷诺数为
船舶与海洋工程
流体力学（二）
B基础篇
B1 流体及物理性质 B2 流动分析基础 B3 微分形式的基本方程 B4 量纲分析与相似原理 B5 积分形式的基本方程
B2.5.1 亥姆霍兹速度分解定理
在x方向分量式上加减 ，在y方向分量式上加减 ， 整理后可得
u(M )u(M 0)2 1( u y x v)dy x udx2 1( u y x v)dy v(M )v(M 0)2 1( x v u y)dx y vdy2 1( x v u y)dx
仍以 xy 平面流场为例，设速度分量 u 沿 y 方向不变，v 沿
x 方向不变。现考察正方形面元 δxδy，经过δt 时间后，x方
向增加的长度为 （图B2.5.2）。单位长度单位时间的
伸长为
xx
u, x
yy
v, y
zz
w z
称为x方向的线应变率。同理，y方向和z方向的线应变率。
B2.5.2 流体的变形
y
B2.5.2 流体的变形
定义一点邻域内流体面元的角变形率为该面元上正交于该点的 两线元夹角的瞬时变化率。在xy平面内
x ydd tx ylt i0m t x v u y
在xz平面和yz平面内的角变形率分别为
xz
wu x z
yz
w y
v z
角变源自文库率又称剪切变形率，简称切变率。
B2.5.3 流体的旋转 旋转角速度：