粒子群算法

粒子更新速度和位置公式如下：
k 1 k k k k k vid vid c1r ( p x ) c r ( p x 1d id id 2 2d gd id ) k 1 k k 1 xid xid vid
(1) (2)
r 1d , r 2 d U 0,1 1 i N ,1 d D
k 1 k vd w v cr 11 ( i d i d pd i k
x d i
k
k ) c rd 2 2p ( x g d d i
k
)
( 3 )
基本PSO是标准PSO在w = 1 时的特殊情况
加惯性权重的原因： 由基本粒子群算法模型中粒子位置的进化方程可以看出， 粒子在不同时刻的位置主要由飞行速度决定的，也就是说粒 k 1 k k 1 xid vid 子的飞行速度相当于搜索步长： xid 飞行速度的大小直接影响着算法的全局收敛性。当粒子 的飞行速度过大时，各粒子初始将会以较快的速度飞向全局 最优解邻近的区域，但是当逼近最优解时，由于粒子的飞行 速度缺乏有效的控制与约束，则将很容易飞越最优解，转而 去搜索其他区域，从而使算法很难收敛于最优解，陷入局部 最优解；当粒子的飞行速度过小时，粒子在初期向全局最优 解邻近区域靠近的搜索时间就需要很长，收敛速度慢，很难 达到最优解。
最大迭代次数为 学习因子取为
Iter _ max
，则第iter次迭代时的
cmax cmin iter Iter _ max
c1 c2 ci cmax
c1 和 c 2 同步线性减小

c1和 c 2
异步时变
使两个学习因子在优化过程中随时间进行不同的变化， 称之为异步时变。目的是在优化初期加强全局搜索， 搜索后期促使粒子收敛于全局最优解。
粒子群算法
简介 基本PSO 标准PSO PSO的改进与变形 PSO的优缺点
一、 简介
1 PSO的产生
粒子群算法，也称粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，缩写为PSO）。它是一种进化计算技术，是 1995年由Eberhart博士和Kennedy博士提出。 Particle swarm optimization. IEEE International Conference on Neural Networks,1995. A new optimizer using particle swarm theory. The 6th International Symposium on Micro-machine and Human Science,1995.
三、标准PSO
• 标准PSO公式 为了改变基本粒子群算法的收敛性能，Y.Shi与 R.C.Eberhart在1998年的IEEE国际进化计算学术会议 上发表了题为“A Modified Particle Swarm Optimization”的论文。首先在速度进化方程中引入 惯性权重（inertia weight）w,即
4 带有收缩因子的PSO 基本PSO有两种重要的改进版本：加入惯性权重和加入收 缩因子（constriction factor） Clerc在原始粒子群优化算法中引入收缩因子的概念，指 出该因子对于算法的收敛是必要的。
k 1 k k k k k vid K [vid c1r1d ( pid xid ) c2 r2 d ( pgd xid )]
例： 对将要计算邻域的粒子i，计算其与种群中其他所有粒子 的距离，该粒子与粒子l( l i )的距离记为：dist[l ] 。 最大距离记为：max_dist。 定义一个关于当前迭代次数(iter)的函数fraction（取 值为纯小数）： 3.0 iter 0.6 max_ iter
K
2 | 2 4 |
2
, c1 c2 4
当 c1 c2 2.05, 4.1 ，可得 K 0.7298 w 0.7298, c1 c2 0.7298 2.05 1.49609 在标准PSO中取参数如下：
可知，带收缩因子的PSO是标准PSO的一个特例。
id
“认知”部分，仅考虑了粒子 自身的经验，表示粒子本身的 思考
k 1 k k k k k vid vid c1r1 ( pid xid ) c2 r2 ( pgd xid )
粒子先前的速度
“社会”部分，表示粒子间的 群体或领域内信息共享
流程图：
基本粒子群算法的流程描述如下： （1）依照初始化过程，对粒子群的随机位置和速度进行初 始设定； （2）计算每个粒子的适应值； （3）对于每个粒子，将其适应值与所经历过的最好位置 Pi 的适应值进行比较，若较好，则将其作为当前最好位置； （4）对于每个粒子，将其适应值与全局所经历过的最好位 置 Pg 的适应值进行比较，若较好，则将其作为当前的全局 最好位置； （5）根据两个迭代公式对粒子的速度和位置进行进化； （6）如未达到结束条件（通常为足够好的适应值或达到一 个预设最大迭代数（Gmax）），返回步骤（2）；否则执行 步骤（7）； （7）输出gbest.
方法：随着时间不断减小自我学习因子 c1 ，同时不 断增大社会学习因子 c 2 。
例：
c1 (c1 f c1i ) c2 (c2 f c2i )
iter c1i Iter _ max iter c2i Iter _ max
其中， c1i , c1 f , c2i , c2 f 为常数，分别为 c1和 c2 的初始值和最终值。Iter_max 为最大迭代次数，iter 为当前迭代次数。 经验说明：异步时变的学习因子应与线性减小 的时变权重配合使用，效果更好。
时变权重 一般来说，希望粒子群在飞行开始的时候具有较好的探 索能力，而随着迭代次数的增加，特别是在飞行的后期，希 望具有较好的开发能力。所以希望动态调节惯性权重。 例：设惯性权重的取值范围： wmin , wmax ，最大迭代次数 为Iter_max，则第iter次迭代时的惯性权重可以取为：
3 基本思想 每个优化问题的潜在解都是搜索空间中的一只鸟，称之 为“粒子”。所有的粒子都有一个由被优化的函数决定的适 应值（fitness value），每个粒子还有一个速度决定他们 飞翔的方向和距离。然后粒子们就追随当前的最优粒子在解 空间中搜索，然后通过迭代找到最优解。PSO初始化为一群 随机粒子（随机解）。在每一次迭代中，粒子通过跟踪两个 “极值”来更新自己。第一个就是粒子本身所找到的最优解， 这个解称为个体极值。另一个极值是整个种群目前找到的最 优解，这个极值是全局极值。另外也可以不用整个种群而只 是用其中一部分作为粒子的邻居，那么在所有邻居中的极值 就是局部极值。
2 产生背景 • 设想一个场景：一群鸟随机的分布在一个区域中，在这个 区域里只有一块食物。所有的鸟都不知道食物在哪里。但 是他们知道当前的位置离食物还有多远。那么找到食物的 最优策略是什么呢？最简单有效的方法就是追寻自己视野 中目前离食物最近的鸟。如果把食物当作最优点，而把鸟 离食物的距离当作函数的适应度，那么鸟寻觅食物的过程 就可以当作一个函数寻优的过程。由此受到启发，经过简 化提出了粒子群优化算法。
基于距离的拓扑结构 基于距离的拓扑结构是在每次迭代时，计算一个粒子 与种群中其他粒子之间的距离，然后根据这些距离来 确定该粒子的邻域构成。 一种动态邻域拓扑结构：在搜索开始的时候，粒子的 邻域只有其自己，即将个体最优解作为邻域最优解， 然后随着迭代次数的增加，逐渐增大邻域，直至最后 将群体中所有粒子作为自己的邻域成员。这样使初始 迭代时可以有较好的探索性能，而在迭代后期可以有 较好的开发性能。
五、PSO的优缺点
PSO算法是一种启发式的优化计算方法，优点：
（1）采用实数编码，易于描述，易于理解 （2）对优化问题定义的连续性无特殊要求 （3）只有非常少的参数需要调整 （4）算法实现简单，速度快 （5）相对于其他演化算法，只需要较小的演化群体 （6）算法易于收敛 （7）无集中控制约束，不会因个体的故障影响整个 问题的求解，确保了系统具备很强的鲁棒性。
四、PSO的改进与变形
1 惯性权重 固定权重 赋予惯性权重以一个常数值，一般来说，该值在0和1 之间。固定的惯性权重使粒子在飞行中始终具有相同的探 索和开发能力。显然，对于不同的问题，获得最好优化效 果的这个常数是不同的，要找到这个值需要大量的实验。 通过实验我们发现：种群规模越小，需要的惯性权重越大， 因为此时种群需要更好的探索能力来弥补粒子数量的不足， 否则粒子极易收敛；种群规模越大，需要的惯性权重越小， 因为每个粒子可以更专注于搜索自己附近的区域。
wi w max wmax wmin
Iter _ max
iter
模糊权重 模糊权重是使用模糊系统来动态调节惯性权重。下面的 文献给出了一种模糊权重的设置方式
Shi Y, Eberhart R. Fuzzy adaptive particle swarm optimization: IEEE Int. Congress on Evolutionary Computation [C]. Piscataway, NJ: IEEE Service Center, 2001: 101-106. 随机权重 随机权重是在一定范围内随机取值。例如可以取值如下：
i 1, 2,
N
k 表示迭代次数
d 表示粒子的第d维
c1 , c2 称为学习因子（learning factor）或加速系数（acceleration
coefficient），学习因子使粒子具有自我总结和向群体中优秀个体学习的能 力，从而向自己的历史最优点以及群体内或领域内的历史最优点靠近。取 值0~4之间，通常取2。 r1d , r2 d 为两个相互独立的随机函数，取值0~1。 v Vmin ,Vmax 限制的目的是减少在进化过程中，粒子离开搜索空间的可 能性