北师大版角平分线 PPT
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《角平分线》PPT课件 (公开课获奖)2022年北师大版 (3)
2、如以以以下图 ,从点O出发有
三条射线 ,那么图中有 个
角 ,它们分别是
．
C B
OA
D O AC B
(3)哈尔滨在北京的北 偏东大约多少度 ?
例 填空
1 4
___ ____
11700 ___ ___
3018
____
________
201536 ___________
想一想:
线 ,DE⊥AB ,垂足为E . 〔〔21〕〕求：证CD：A=B4c=mA,C求A+CC的D长；
稳固练习：
1、到三角形三边距离相等的点是三 角形〔 〕的交点 .
A、三条角平分线 B、三条中线
C、三条高线
D、三边中垂线
2、△ABC中 ,AC = BC ,∠C = 90° ,
AD平分∠CAB ,DE⊥AB ,CD = 2 ,
大家说
：AC平分∠BAD ,CE⊥AB ,CF⊥AD ,BC =CD；求证：BE =DF
1.4.2 角平分线
• 学习目标：
• 1、通过尺规作图 ,发现并推证三角形三条 角平分线交于一点 ,且此点到三角形三边距 离相等 .
• 2、能够综合运用角平分线定理及逆定理 解决有关的计算与证明 .
练一练 ： 且如CE图=,BBFE.⊥求A证C：于点ED,C在F⊥∠BAABC于的F平, 分线上
A
D OE
B
C
1、如图1, D、E分别是AB、AC上的点.
是
∠ ABC与∠ DBC是不是同一个角?
是
∠BAC与∠ DAE是不是同一个角不是?
∠BAC与∠ ACB是不是同一个角?
2、如图2 ,图A 中共共有有10个多角少个角E ?D请分别表
北师大版七年级数学上角的比较及角平分线课件
B 角平分线的定义
从一个角的顶点出发的一条射线，把这个角分成
C
两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
几何语言
O
A
因为OC是∠AOB的角平分线，
所以∠AOC ＝∠BOC ＝ 1 ∠AOB 2
或∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC
归类探究
例2 如图，已知点O为直线AB上一点，OM，ON分 别是∠AOC，∠BOC的平分线，求∠MON的度数．
O'
DA
3.若射线O'C在
∠AOB内部，那么
∠DO'C_<__∠AOB.
归类探究
例1 根据下图，回答下列问题：
(1)试比较∠AOB，∠AOD，∠AOE，∠AOC的大小，
并找出其中的锐角、直角、钝角、平角； (2)在图中找出角的三个等量关系．
[解析] ∠AOB是平角，∠AOC是钝角，∠AOD是直角，∠AOE是锐角，于是就可找到
解：(1)OA 的方向是北偏东 60°，OC 的方向是北偏东 45°. (2)∵OB 的方向是南偏东 60°，∴∠BOE＝30°， ∴∠NOB＝30°＋90°＝120°. ∵OA 平分∠NOB，∴∠NOA＝12∠NOB＝60°. ∵OC 平分∠NOE， ∴∠NOC＝1∠NOE＝45°，
2 ∴∠AOC＝∠NOA－∠NOC＝60°－45°＝15°.
当堂测试
3．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点 O，并 能绕点 O 自由旋转．若∠DOB＝65°，则∠AOC 的度数为________．
当堂测试
4．[2018·河南]如图，直线 AB，CD 相交于点 O，∠EOB＝90°，∠ EOD＝50°，则∠BOC 的度数为_______.
八年级数学下册1.4.2角平分线课件新版北师大版
度数，可以求此角的度数。
3
应用三 解决实际问题
可以运用角平分线及其性质来解决直角 三角形、等腰三角形等问题。
角平分线的练习
练习一 画出角的平分线
练习用尺规等工具作出各种角的 平分线。
练习二 用角平分线定理 求角度
练习应用角平分线定理来求出角 的度数。
练习三 解决实际问题
练习将角平分线应用于解决不同 的实际问题。
总结
1 角平分线的重要性
角平分线是许多的几何问题的基础课件的学习，你是否已经对角平分线有了更好的理解？
3 知识点回顾
通过课件中的练习，你是否已经掌握了角平分线的基本定义、性质、作用、应用及求解 方法？
可用尺规作图法作出一条角的平 分线。
角平分线的作用
寻找角平分线
可以用尺规作图法求角平分线。
确定长度
若一个角的一条平分线已知其长度，则可以求出与此平分线相应两边的长度。
证明定理
可以用角平分线定理来证明一些定理。
角平分线的应用
1
应用一 求角平分线
通过尺规作图等方法求角平分线。
应用二 求角度大小
2
已知一个角的一条平分线与相应两边的
角平分线课件：北师大版 八年级数学下册1.4.2
本课件将深入讲解角平分线的定义、性质、作用、应用和练习，助你更好地 掌握这一知识点。
角平分线的定义
什么是角平分线
角平分线是指可以将一个角平分 成两个相等的角的线段。
角平分线的性质
作图
1.角平分线可以互相平分。
2.如果一个角的两条平分线相交， 则它们所截的弧上的点都在相同 的直线上。
北师大版数学八下1.4角平分线课件
2.已知：如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，
使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相
等．
A
A
D
O
C B
D C
O
B
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,作AB的垂直平分线，交AB于点D， 交AC于点E，连接BE，求证：BE平分∠ABC 证明：
1、判断题 (1)∵ AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = DC ( × )
(2)∵ DC⊥AC于C，DB⊥AB于B （已知）
∴ BD = DC ( × )
B
A
D
C
A B
D
C
(3)∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC于C ，DB⊥AB于B （已知）
∴ BD = DC ( √ )
A
不必再证全等
B
D C
∴点P即为所求
O
A
P
D
C B
四、课堂小结 角平分线性质定理 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
角平分线判定定理
定理
在一个角形内部，到角的两边的距离相等 的点在这个角的平分线上
探究二：
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
条件
结论
你能写出这个定理的逆命题？
逆命题：一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
真命题 ？ 假命题 ？
角平分线性质定理的逆命题
一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
条件
结论
已知： 点P为∠AOB内一点 PD丄OA, PE丄OB,垂足分别 为D、E ， PD＝PE.
小结： 角平分线性质判定定理 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
8年级 数学北师大版 下册课件第1章《4 角平分线》
线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,AC的长;
A
(2)求证:AB=AC+CD.
E
C
D
B
典例精讲
解：(1)∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE=CD=4
又∵AC=BC ∠C=90°
A
∴ ∠B=45°
∴ ∠BDE=45°
E
∴ BE=DE=4
在等腰RT△BDE中，由勾股定理得
利用以上两个性质可得线段相等
作业布置
1.必做题：课本P31随堂练习、P32 习题1-3题
2.选做题：
如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，
F在AC上，BD＝DF，
A
（1）证明：CF＝EB．
（2）证明：AB＝AF+2EB．
F E
C
D
B
随堂练习
如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息， 要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么位置？
∵点 P 在∠AOB 的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
PD⊥OA ， PE⊥OB。
PD=PE
，
∴ PE=PD
∴OP 平分 ∠AOB 。
探究新知
如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休 息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么 地方？
A
B
C
探究新知
活动1 分别作出△ABC的三条角平分线
同理 PE=PF ∴PD=PE=PF
D
NN
PP
MM F
又∵PF⊥AC，PD⊥AB
B B
∴点P在∠A的平分线上。
第1课时 角平分线PPT课件(北师大版)
解：在△BDF和△CDE中，∠BFD＝∠CED＝90°，∠FDB＝∠EDC， BD＝CD，∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE，又∵DF⊥AB，DE⊥AC ，∴AD平分∠BAC
14．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D， 现要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的 距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹， 写出结论)
距离相等)，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴BE＝CF
知识技能： 1．根据角平分线性质定理可证明三角形全等，一组线段相等，一组角 相等； 2．根据角平分线性质定理的逆定理可证明角平分线、某一点在角平分 线上． 易错提示：角平分线的性质定理及判定定理互逆，使用时注意“在角的 内部”．
解：DF＝EF.理由：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC， 又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵OP＝OP， ∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)，∴OD＝OE，又∵∠DOF＝∠EOF，OF＝OF
，∴△DOF≌△EOF(SAS)，∴DF＝EF
13．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于 点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.
15．如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上， PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.
求证：PM＝PN.
解：在△ABD和△CBD中，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB，又∵∠ADB＋∠ADP＝∠CDB ＋∠CDP＝180°，∴∠ADP＝∠CDP，∴DP平分∠ADC，又∵PM⊥AD，
14．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D， 现要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的 距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹， 写出结论)
距离相等)，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴BE＝CF
知识技能： 1．根据角平分线性质定理可证明三角形全等，一组线段相等，一组角 相等； 2．根据角平分线性质定理的逆定理可证明角平分线、某一点在角平分 线上． 易错提示：角平分线的性质定理及判定定理互逆，使用时注意“在角的 内部”．
解：DF＝EF.理由：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC， 又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵OP＝OP， ∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)，∴OD＝OE，又∵∠DOF＝∠EOF，OF＝OF
，∴△DOF≌△EOF(SAS)，∴DF＝EF
13．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于 点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.
15．如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上， PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.
求证：PM＝PN.
解：在△ABD和△CBD中，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB，又∵∠ADB＋∠ADP＝∠CDB ＋∠CDP＝180°，∴∠ADP＝∠CDP，∴DP平分∠ADC，又∵PM⊥AD，
北师大版数学七年级下册第3课时三角形的中线、角平分线课件(17张P)
位置关系？
A 用量角器画最简便，用圆规也能.
在一张纸上画出一个 一个三角形并剪下，将它 的一个角对折，使其两边 B 重合.
折痕 AD 即为∠BAC 的 平分线.
A
D
C
C
D
B
归纳总结 三角形角平分线的特征
三角形的三条角平分线交于同一点.
典例精析
例3 如图，在△ABC 中，∠BAC = 68°，∠B = 36°， AD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ADB 的度数.
七年级下册数学（北师版）
第四章 三角形
4.1 认识三角形
第3课时 三角形的中线、角平分线
情景导入
如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片. 你知道怎样确定这个点的位置吗？
探究新知
1 三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点
A
与它对边中点的线段，叫做这
个三角形的中线.
如图，AE 是 △ABC 的 BC B
∠C = 60°，求∠BAE 和∠AEB 的度数. C
解：因为 AE 是△ABC 的角平分线，
所以∠CAE
=∠BAE
=
1 2
∠BAC.
E
因为∠BAC +∠B +∠C = 180°，
A
B
所以∠BAC = 180°－∠B－∠C = 180°－45°－60° = 75°.
所以∠BAE = 37.5°.
因为∠B +∠BAE +∠AEB = 180°， 所以∠AEB = 180°－45°－37.5° = 97.5°.
解析：因为 CE 是△ACD 的中线， 所以 S△AEC = S△EDC = 12S△ADC， 即 S△ADC = 6 cm2. 又因为 AD 是△ABC 的中线，
A 用量角器画最简便，用圆规也能.
在一张纸上画出一个 一个三角形并剪下，将它 的一个角对折，使其两边 B 重合.
折痕 AD 即为∠BAC 的 平分线.
A
D
C
C
D
B
归纳总结 三角形角平分线的特征
三角形的三条角平分线交于同一点.
典例精析
例3 如图，在△ABC 中，∠BAC = 68°，∠B = 36°， AD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ADB 的度数.
七年级下册数学（北师版）
第四章 三角形
4.1 认识三角形
第3课时 三角形的中线、角平分线
情景导入
如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片. 你知道怎样确定这个点的位置吗？
探究新知
1 三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点
A
与它对边中点的线段，叫做这
个三角形的中线.
如图，AE 是 △ABC 的 BC B
∠C = 60°，求∠BAE 和∠AEB 的度数. C
解：因为 AE 是△ABC 的角平分线，
所以∠CAE
=∠BAE
=
1 2
∠BAC.
E
因为∠BAC +∠B +∠C = 180°，
A
B
所以∠BAC = 180°－∠B－∠C = 180°－45°－60° = 75°.
所以∠BAE = 37.5°.
因为∠B +∠BAE +∠AEB = 180°， 所以∠AEB = 180°－45°－37.5° = 97.5°.
解析：因为 CE 是△ACD 的中线， 所以 S△AEC = S△EDC = 12S△ADC， 即 S△ADC = 6 cm2. 又因为 AD 是△ABC 的中线，
初中数学《角平分线》课件-完美版【北师大版】2
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F， 连接 OA． ∵点 O 是∠ABC， ∠ACB 的平分线的交点， ∴OE＝OD，OF＝OD，即 OE＝OF＝OD＝3.
∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO ＝ AB·OE+ BC·OD+ AC·OF ＝ ×3×（AB+BC+AC） ＝ ×3×20 ＝30．
14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC， DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，且 BD=DF. （1）求证：CF=EB； （2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
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三级拓展延伸练
13. 如图所示，若 AB∥CD，AP，CP 分别平分 ∠BAC 和∠ACD，PE⊥AC 于点 E，且 PE=3 cm， 求 AB 与 CD 之间的距离.
（2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
（2）AF+BE＝AE．理由如下： ∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴AC=AE. ∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE.
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∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO ＝ AB·OE+ BC·OD+ AC·OF ＝ ×3×（AB+BC+AC） ＝ ×3×20 ＝30．
14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC， DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，且 BD=DF. （1）求证：CF=EB； （2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
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三级拓展延伸练
13. 如图所示，若 AB∥CD，AP，CP 分别平分 ∠BAC 和∠ACD，PE⊥AC 于点 E，且 PE=3 cm， 求 AB 与 CD 之间的距离.
（2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
（2）AF+BE＝AE．理由如下： ∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴AC=AE. ∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE.
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互动三：巩固作法
1、请大家画一个钝角，然后作 它的角平分线，与同桌互说作法。
2、请大家作一个平角的角平分 线，你有什发现？
互动四：课堂延伸
1、作出一对邻补角的角平分
线。 B
M
N
A
O
C
猜一猜这两条射线的位置关系如何？
互动四：课堂延伸
2、作一对对顶角的平分线，它 们又有何关系呢？ A
C
M
O
N
B
D
互动四：课堂延伸
快乐的生活， 快乐的学习数学， 体会数学的快乐， 数学会让你快乐的生活更加快乐！
爱好出勤奋
勤奋出天才！
布置做作中业学
关系你的还角知？道作那出些学它有们中特的作殊角位平置分
线，并想想这些角的角平分线 有何特殊位置关系？
角平分线的作法
互动一：寻找作法
工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法 如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边 OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺， 使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合。 过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分 线。为什么？
3、试一试：
你还知道那些有特殊位置关系 的角？作出它们的角平分线， 想想这些角的角平分线有何位 置关系？
4、想一想
如果过角平分线上一点向角的 两边作垂线，这两条垂线段有 何关系？
本节课收获
1. 通过本节课学习，你知道了什么？ 你学会了什么？ 2.今天的学习中，你最大的收获是 什么？你还有什么不明白的？
互动二：明确作法
现在我们一起来完成用尺规作一个锐 角的平分线。已知：∠AOB，求作： ∠AOB的平分线。
பைடு நூலகம்
作法：
1、以O为圆心，以适当的长为半径 画弧，交OA于M，交OB于N；
2长、为分半别径以画M弧、，N两为弧圆在心∠，A以O大B的于内12 部MN交的于 点C；
3、画射线OC，射线OC就是∠AOB的平 分线。