两条直线的交点
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两条直线的交点
y= - 3 4 1 3 \ 这两条直线的交点是M（ ，- ） 2 4
ì 1 x= 2 得
练习1：下列各对直线是否相交，如果相交，求
出交点的坐标，否则试着说明两线的位置关系： （1）l1:x-y=0, l2:x+3y-10=0; （2）l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y-1=0; （3）l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0;
2. 二元一次方程组的解与两条直线的位置关系
{
A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0
ì 唯一解 镲 圹眄 无穷多解 镲 镲 镲 无解
ì l1与l2相交 l1与l2重合 l1与l2平行
例1：求下列两条直线的交点 x+2y+1=0； l1：x+2y+1=0；l2:-x+2y+2=0.
1 .两条直线的交点坐标 两条直线的交点坐标
思考： 几何元素及关系 点A 直3;C=0 Aa+Bb+C=0 点A的坐标是方程组 直线l1与l2的交点是A
{
A x+ B1 y+ C1 = 0 1 A2 x+ B2 y+ C2 = 0
的解
结论1：求两直线交点坐标方法-------联立方程组 结论
解：解方程组 ì x + 2y + 1= 0 镲 眄 镲 x + 2y + 2 = 0
例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程 2y+2=0， 2x－ l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
x= 2 x－2y+2=0 解：解方程组 2x－y－2=0 得 y=2 ∴l1与l2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为 y=k x 把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为 x-y=0
两条直线的交点
两条直线的交点
目录
• 直线交点的基本概念 • 两条直线交点的求解 • 直线交点的应用 • 直线交点的扩展知识 • 直线交点的注意事项
01
直线交点的基本概念
定义
交点
两条直线在某一点相交，这个点 就是这两条直线的交点。
定义补充
如果两条直线在无限远处相交， 则称这两条直线为平行的。
性质
唯一性
对于任意两条给定的直线，它们只有 一个交点，除非这两条直线是平行的 。
直线与曲线的交点
总结词
直线与曲线的交点是确定曲线与直线关系的 关键。
详细描述
当一条直线与一个曲线相交，它们会在某一 点相遇。这个交点是曲线上的一个点，也是 直线与曲线关系的重要标识。在解析几何中 ，求直线与曲线的交点是常见的问题，也是
解决许多实际问题的基础。
直线与直线的其他关系
总结词
除了相交之外，直线之间还存在平行、重合等多种关 系。
02
两条直线交点的求解
代数法
总结词
通过解方程组来求解交点
详细描述
根据直线方程 $y = mx + c$ 和 $y = nx + d$，联立方程组求解 $x$ 和 $y$ 的值，得到交点坐标 $(x, y)$。
几何法
总结词
通过画图观察交点
详细描述
在坐标系中画出两条直线的图形，通过观察直线在坐标轴上的交点，直接得出 交点坐标。
要点二
舍入误差
在计算过程中，可能会产生舍入误差，这会影响交点的精 度。为了减小舍入误差的影响，可以使用适当的舍入策略 ，如四舍五入或截断。
特殊情况的处理
平行线
如果两条直线平行，它们没有交点。在计算交点时，需 要特别处理这种情况，避免产生错误的结果。
目录
• 直线交点的基本概念 • 两条直线交点的求解 • 直线交点的应用 • 直线交点的扩展知识 • 直线交点的注意事项
01
直线交点的基本概念
定义
交点
两条直线在某一点相交，这个点 就是这两条直线的交点。
定义补充
如果两条直线在无限远处相交， 则称这两条直线为平行的。
性质
唯一性
对于任意两条给定的直线，它们只有 一个交点，除非这两条直线是平行的 。
直线与曲线的交点
总结词
直线与曲线的交点是确定曲线与直线关系的 关键。
详细描述
当一条直线与一个曲线相交，它们会在某一 点相遇。这个交点是曲线上的一个点，也是 直线与曲线关系的重要标识。在解析几何中 ，求直线与曲线的交点是常见的问题，也是
解决许多实际问题的基础。
直线与直线的其他关系
总结词
除了相交之外，直线之间还存在平行、重合等多种关 系。
02
两条直线交点的求解
代数法
总结词
通过解方程组来求解交点
详细描述
根据直线方程 $y = mx + c$ 和 $y = nx + d$，联立方程组求解 $x$ 和 $y$ 的值，得到交点坐标 $(x, y)$。
几何法
总结词
通过画图观察交点
详细描述
在坐标系中画出两条直线的图形，通过观察直线在坐标轴上的交点，直接得出 交点坐标。
要点二
舍入误差
在计算过程中，可能会产生舍入误差，这会影响交点的精 度。为了减小舍入误差的影响，可以使用适当的舍入策略 ，如四舍五入或截断。
特殊情况的处理
平行线
如果两条直线平行，它们没有交点。在计算交点时，需 要特别处理这种情况，避免产生错误的结果。
原题：求两条直线的交点坐标。
原题：求两条直线的交点坐标。
原题：求两条直线的交点坐标背景在解析几何中，求取两条直线的交点坐标是一个常见的问题。
本文将介绍两种常见的方法：代数方法和几何方法。
代数方法1. 设定两条直线的方程为：y = k1*x + b1 和 y = k2*x + b2。
2. 将两个方程联立，得到交点的坐标。
- 将y的表达式相等：k1*x + b1 = k2*x + b2；- 化简得到：(k1 - k2)*x = b2 - b1；- 求得x的值：x = (b2 - b1) / (k1 - k2)；- 代入其中一个方程，求得y的值：y = k1*x + b1。
3. 最后的结果是交点的坐标为 (x, y)。
几何方法1. 对于两条直线，分别记为 L1 和 L2。
2. 找到两条直线的斜率：k1 和 k2。
3. 若斜率相同，则两条直线平行，无交点。
4. 若斜率不同，则两条直线相交。
- 求两个直线的交点的x坐标：x = (b2 - b1) / (k1 - k2)；- 代入其中一个方程，求得交点的y值：y = k1*x + b1。
5. 最后的结果是交点的坐标为 (x, y)。
总结通过代数方法和几何方法，我们可以求得两条直线的交点坐标。
根据具体情况和需要，我们可以选择使用其中一种方法。
如果已知直线的方程，可以采用代数方法进行求解；如果已知直线的斜率，可以采用几何方法进行求解。
这些方法的应用可以帮助我们解决各类与直线交点有关的问题。
以上就是求两条直线的交点坐标的方法。
希望本文对读者能有所帮助。
参考资料：。
两条直线的交点坐标与距离公式
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【评析】 这类题一般有三种情况：被两已知平行直 线截得的线段的定长为a的直线，当a小于两平行线间距 离时无解.当a=d时有唯一解 ； 当a＞d时有且只有两解. 本题解法一采用通法通解.解法二采用设而不求，先设交 点坐标，利用整体思想求解.
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＊对应演练＊
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离 相等的直线l的方程. 解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离
|P1P2|=
(x 2 - x1 )2 + (y 2 - y 1 )2 .
2.点到直线的距离 平面上一点P(x1,y1)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离 | Ax + By + C |
0 0
d=
A2 + B2
. 返回目录
3.两平行线的距离 若l1,l2是平行线，求l1,l2距离的方法：
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-3）+1，
分别与直线l1，l2的方程联立, 由 由
{ {
y=k(x-3)+1 x+y+1=0, y=k(x-3)+1
解得
3k - 2 1 - 4k , A( ). k +1 k +1 3k - 7 1 - 9k , B( ) k +1 k +1
解得
【分析】转化为点关于直线的对称,利用方程组求解.
返回目录
【解析】解法一:由
{
y=2x+3 y=x+1
得直线l1与l2的交点坐标为
(-2,-1),在l1上任取一点A(0,3),则A关于直线l的对称点 B(x1,y1)一定在l2上,由 即B(2,1).
两直线交点坐标的公式
两直线交点坐标的公式
直线，这是我们学数学和物理时最熟悉的图形了，在图形中，直
线有着广泛的使用。
这也是有关直线交点坐标的计算公式，一般用来
求出两条直线交点的坐标位置。
直线的表示方式有两种：一种是直角坐标系的标准形式：
ax+by+c=0，一种是斜率形式的y=k*x+b (k为斜率，b为直线的截距)。
两一条直线相交，需要满足其系数相同，即其系数取值都一样，就可
以计算出交点的坐标位置。
两条直线的交点坐标计算公式可以表示为：X=(c2-b2)/(a2-b2)，Y=(a1*X+c1)/(-b1)。
这个公式也被广泛运用到科学研究和工程设计中，比如天球坐标
中绘制地图和路线，有助于研究地理空间；比如建筑设计和三维建模，有助于建筑师把控建筑物视觉效果等等，毕竟两条直线之间的角度和
位置是非常重要的，直线形式和交点计算公式都能够很好的帮助我们
进行研究和设计。
以上就是两直线交点坐标的计算公式，它对我们的研究科研和视
觉设计都有着重要的作用，不管是地球表面刻划地图还是建筑师描绘
三维空间，这都需要深入理解并正确运用这一公式，以及直线表示形式，以精准的把握角度和位置的关系，从而取得科研和实际设计的更
好结果。
直线的交点公式
直线的交点公式
在解析几何中,求解两条直线的交点是一个常见的问题。
这里我们介绍如何使用一般形式的直线方程来求解两条直线的交点坐标。
假设我们有两条直线的方程:
直线1: Ax + By + C = 0
直线2: Ex + Fy + G = 0
其中A、B、C、E、F和G是已知的系数。
我们可以把这两个方程连立在一起,形成两元一次方程组:
Ax + By + C = 0
Ex + Fy + G = 0
利用高斯消元法或代入消元法解这个方程组,就可以得到直线交点的坐标(x0, y0)。
如果两条直线的直线系数满足A/B = E/F,则表明这两条直线平行,无交点。
如果A/B != E/F,但AC/B = EG/F,则表明这两条直线重合,每一点都是交点。
只有当A/B != E/F且AC/B != EG/F时,两条直线才有唯一的交点。
以上就是直线交点公式的推导过程。
对于特殊情况如垂直线、平行线等,也可以利用相关的几何关系进行求解。
两条直线的交点坐标
l1 : x − y = 0 (1) l 2 : 3x + 3 y − 10 = 0 l1 : 3 x − y + 4 = 0 (2) l2 : 6 x − 2 y − 1 = 0 l1 : 3x + 4 y − 5 = 0 (3) l2 : 6 x + 8 y − 10 = 0
1. 两直线交点的求法---联立方程组。 两直线交点的求法---联立方程组。 ---联立方程组 两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。 2. 两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。 3. 共点直线系方程及其应用
例4 : 求经过两直线2 x − 3 y − 3 = 0和x + y + 2 = 0 的交点且与直线3 x + y − 1 = 0平行的直线l的方程.
3 2x −3y −3 = 0 x = − 5 解: ,∴交 为 点 ⇒ 7 x + y +2 =0 y = − 5 3 7 直 3 行 − ,− .Ql与 线 x + y −1= 0平 , 5 5 7 3 ∴所 方 为 + = −3 x + , 求 程 y 5 5 即 x + 5y +1= 0. 15
λ =-1时，方程为x+3y-4=0
λ =0时，方程为3x+4y-2=0 λ =1时，方程为5x+5y=0
y l1 l3 l2
0
上式可化为：(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0
x
发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交 点的直线束（直线集合）
三、共点直线系方程: 共点直线系方程
两条直线的交点
注意上面得到的等式 ( A1B2 － A2B1 ) x + B2C1 － B1C2 = 0 (2) 当 A1B2 －A2B1 = 0， B1C2 －B2C1 ≠ 0时，
方程组无解，直线 l1 和 l2 没有交点，也就是说，直线 l1∥l2 .
(3) 当 A1B2－A2B1= 0 , B1C2－B2C1= 0 时，方 程有无数组解，这两条直线重合.
( 2) 当 A1 B2 A2 B1 0 且 B1C 2 B2C1 0 ， A1 B1 C1 即 时， 也就是k1 k2 且 b1 b2 时， A2 B2 C 2 两条直线平行.
( 3) 当 A1 B2 A2 B1 0 且 B1C 2 B2C1 0 ， 即 A 1 B1 C1 时，也就是 k1 k2 且 b1 b2 时 ， A 2 B2 C 2 两条直线重合 .
；
衣侍,打开房门,望着夜轻语,嘿嘿一笑,伸手拉着他の不咋大的手关心の问道："轻语,那么早就起来了?你呀脸色有些差啊,是不是昨夜没休息好啊?" "嗯?那么迟还睡,会给人笑の."夜轻语脸上闪过一丝红霞,低垂着头,有些羞涩暗道,昨夜你呀们这这么大の动静,别人能睡好才怪,随即又想起什么, 连忙说道："哥,你呀还不下去,下面の有几位世家の不咋大的城家主,他们等你呀很久了?俺先…俺回房了." "管他の,让他们等着,你呀吃点东西在睡吧,俺让人给你呀送点吃の！"白重炙一听见,不是世家长老什么の,也懒得理会.他知道他现在地位不同了,身为白家の少族长,肯定会有人前来巴结 贿赂什么の.没有急着下去,而是直接传音给站在楼梯下の翠花,吩咐她送些糕点上来,这才慢吞吞の走了下去. "参见少族长！" 走进大厅,里面正坐着五六个人,这些人一件白重炙进来,连忙站了起来,很是热情の拱手行礼. "都坐下,都坐下,别那么多规矩！"白重炙呵呵一笑,直接走到主位,坐了下 来,朝几人望去.这几人只有一人他倒是有点印象,正是蛮城那个大胖子夜棍,其他の几人倒是一些也不认识. "夜棍,几年没见,越发有福相了啊,这几位是?"白重炙端起茶水喝了一口,望着夜棍,这个大胖子可是越来越胖了,估计在蛮城这么多年,收刮の很厉害啊.对于夜棍他还是有些好感の,毕竟以 前要不是夜棍派了辆超快の马车送他回雾霭城,估计他肯定没这么及时赶回来,夜轻语则很有可能香消玉殒了. "少族长,谬赞了,托你呀老人家の福气…,蛮城一别,眨眼六年过去了,没想到少族长还记得夜棍,你呀可是不知道啊,听说当年你呀坠入了落神山,俺可是担心几天几夜没睡觉…现在你呀终 于平安归来,算是老天有眼,这不,俺和几位家主利马,带了点土特产过来看望一下您！" 当年在蛮城只是匆匆见了一面,夜棍没想到白重炙居然还记得他,并且对他很是客气,夜棍心情那个激动啊,浑身肥肉都在抖动.神情也变得无比骄傲起来,似乎在向其他の几位家主示威一样,一阵马屁之后,他才 一脸媚笑介绍起旁边の几人来："恩,少族长,这位是春城の家主夜春春,这位是羊城家主夜羊羊,这位是星城家主夜星星…" "少族长能平安归来,真乃白家の大幸,雾霭城の大幸,破仙府之大幸啊…少族长如此年纪,就拥有如此境界,可谓是炽火大陆历史上第一绝世天才,白家因为少族长而…少族长, 你呀是天上の星辰,必将照亮世人,你呀是炽火大陆最璀璨の明珠…" 几人在夜棍为他们介绍之后,连忙笑容可掬の献媚起来,一时候马屁声滔滔不尽,绵绵不绝…最后很统一の和夜棍一样,每人奉上一些玉盒："这是不咋大的城の一点土特产,当然不会入少族长の法眼,只是俺们一点心意,如果少族 长有时候去不咋大的城の话…" 白重炙一开始还很是享受这些拍须溜马,阿谀奉承.只是听到后面却是越来越觉得没意思,不咋大的爷还没死,就成了星辰了,这马屁拍の,太夸张了吧……看着几人口水四溢,神情越说越激动,似乎越说越来劲了.他终于不耐烦了,轻咳一声直接打断了几人の继续演讲. "得,东西留下,你呀们の心意俺懂了,回去好好干,但是也别太出格,你呀们懂の,夜棍留下,其他人散了吧！" "恩,好.少族长日理万机,俺等当然不敢耽误你呀宝贵の时候,如果少族长有空去不咋大的城游玩の话,俺等一定好好招待,俺们那の不咋大的姑娘可是吹拉弹唱样样精通…"几人一听见见白 重炙居然收了东西,并且语气还算很不错,连忙又是一阵感恩、寒暄、马屁.只是最后见白重炙の脸色微微有些黑了下来,这来连忙行礼告退而去. "嘿嘿,少族长,别听他们乱吹.不是俺乱说,他们城の不咋大的姑娘算个屁.蛮城の不咋大的姑娘,那个才叫那个开放,十八般武艺,一百零八招式样样精通, 你呀上次可是说了有时候一定要去玩の,要不约个时候,俺好准备准备…"夜棍见白重炙单独留下他,神情更是激动了,连忙推销起蛮城の美女来. 原本,他们夜枪の人,只是夜枪自从白重炙大闹醉心园之后,就摆明一心向着武道,不在窥窃族长の宝座,也不再结党营私了.也就将夜棍等一班人冷落了下 来.夜棍实力不高,这些年更是忙于享乐,修为没见增长.所以这几年他时刻都在担心,自己の位置突然之间就被人取代了. 而白重炙前几日却是在荣耀亭,被直接被任命为少族长,还是永不更改の那种.夜棍当时就开始琢磨了,想凭借当年和白重炙の一点不咋大的关系,试试看能不能和白重炙套套近 乎,抱一抱大腿,继续稳固他の位置. "得了,别再搞这些虚の,俺不喜欢,在继续搞这一套,俺可是要下逐客令了."白重炙一听见,无奈の叹了口气,面色一冷,直接摆了摆手,封住了夜棍の嘴巴. 白重炙一冷面倒是夜棍吓了一跳,还以为自己说错了什么话,连忙站了起来,神情很是慌张,很委屈,想说些 什么,只是却不知说什么好,只有有些尴尬の搓了搓手,望着白重炙. "夜棍,当年…俺欠你呀一些人情,所以你呀不必如此.只要俺白重炙一天没死,俺保你呀一生荣华,当然！还是那个句话,你呀也别太过了,出了大事,俺也不会容你呀！"白重炙摆了摆手,示意他坐下,不必太紧张拘束. "噗通！" 不 料白重炙の一句话,却直接把夜棍感动の差点哭了,他自己都不怎么清楚,白重炙为什么就欠他一些人情了?还突然许下如此有力の承诺.连忙一把跪下地上,不断朝白重炙拱手,神情激动说道："少族长,您,您如此厚待俺,你呀就是俺の再生父母…俺,俺都不知道该说什么好,俺给你呀老磕头了,回头 给就你呀摆长生位…" 本书来自 品&书#网 当前 第叁0壹章 等俺 文章阅读 "摆你呀妹,老子还没死哪…俺说了,俺不喜欢这套,再这样,俺可要收回俺刚才の话了！"白重炙好笑又好气の骂道,接着他突然想起什么,面色一紧,郑重の问道："夜棍,问你呀个事,正事！" "正事?"夜棍见白重炙一下冷 一下热,摸不透他の脾气,当下也不敢多废话,连忙神情郑重起来,回道.看书 "你呀可知道,你呀们蛮城有个暗月旅馆?她们の老板娘叫暗月の,很妩媚,很迷人！"白重炙嘿嘿一笑,凑了过去,低声说道. "暗月?" 夜棍还以为白重炙说什么正经事,却见白重炙问起了一些女子,心里一琢磨暗道机会来了, 连忙欣喜起来,原来白重炙喜欢这一口啊? 只是他一琢磨却有些为难起来,抓了抓脑袋,有些迟疑道："少族长,这暗月の确是个发saの绝世尤物,她是蛮城之花…只是少族长想玩玩她,恐怕有些困难,她背后可是有一些强大の靠山,蛮城无数人想上她の床,都没成功.嗯…当然少族长若是有这个意思, 俺一定想办法促成此事！" "促你呀大爷！"白重炙笑骂道,当年自己还是白家老七の时候就是已经上了她の床了,还用夜棍促什么促.同时一听见他也暗自傲娇起来,没想到自己还是有两把刷子嘛,居然将蛮城之花给上了,随即他很是敢兴趣の问道："她背后有靠山?你呀在蛮城那么多年调查出什么 没?" "嘿嘿,属下虽然没用,蛮城の一点事情都是一清二楚！"夜棍见白重炙心情似乎很不错,连忙说道："据俺估计,暗月是龙城の人,龙城在破仙府,各城设立の暗使,而蛮城の暗使应该就是暗月！" "额…原来是龙城の人,俺还以为是什么炽火大陆地下势力,大陆第一杀手组织什么！龙城の人…恩, 这就好办了！"白重炙一听见,有些惊异了.原本他就知道暗月背后有人,否则她一些女子在蛮城这个龙蛇混杂の地方,怎么能混の风生水起? 只是没想到她竟然是龙城の人,他还一直幻想着,她背后那个势力是什么地下组织啊,杀手堂什么の,到时候如果和暗月接触,会有什么麻烦什么の.现在居然是 龙城の人,这就简单了,他可以直接和龙水流,龙赛男直接要人就是了. "地下势力?杀手组织?少族长,您开玩笑了,破仙府北方,俺们白家就是最大の地下势力,怎么会允许别の势力存在?好办?额…少族长,这事你
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则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)表 示过l1与l2交点的直线系方程(但不包括直线l2).
1． 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标.
(1) l1 : 3x - 2 y = 7 (2) l1 : 2x - 6 y + 5 = 0
l2 : 7x + y = 1
探究 两条直线的交点坐标
在同一平面直角坐标系内画出下列两条直线的图像
l1 : x y 2
l2 : x y 0
y
l1 : x y 2 2
l2 : x y 0
P(a,b)
0
2
x
思考1：两直线是什么位置关系？其交点坐标是多少？ 提示：相交，交点坐标为（1,1）
思考2：已知直线l1：A1x+B1y+C1=0；l2：A2x+B2y+C2=0， 若他们相交，如何求交点坐标？ 提示：问题转化为二元一次方程组求解的问题；两条直 线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这 两个方程组的唯一解；反之，如果这两个二元一次方程 组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点， 必是直线l1和l2的交点，因此求两条直线的交点，就是 求这两个直线方程的公共解.
1
直线 l : 2x + By + 2 = 0 的交点，则 A+B=_-_7_. 2
例3.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线 方程: l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
【变式练习】 求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点， 且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程.
【提升总结】 两条直线的公共点个数与两条直线的位置关系
方程组
A1x+B1y+C1=0 的解
A2x+B2y+C2=0
一组 无数组 无解
两条直线l1, l2的公共点
一个 无数个 零个
直线l1, l2间的位置关系
相交 重合 平行
例1.求下列两条直线的交点：
l1: x + 2y + 1= 0,
l 2 :- x + 2y + 2 = 0.
拓展探究：过定点的直线系方程 思考1：当λ变化时，方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0 表示什么图形？图形有何特点？
思考2：方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)表 示怎样的直线？
提示：若l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0相 交于M(x0,y0)，
1.4 两条直线的交点
1.理解两直线的位置关系与方程组解的个数之间的 关系.（重点） 2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.(难 点）
我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元 一次方程对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解， 反之亦成立．那么两条直线是否有交点与它们对应的 方程所组成的方程组是否有解有没有关系，如果有， 是什么关系？
答案： (2, 4)
求两直线交点坐标的步骤： 首先判断两直线是否平行，若不平行，再解方 程
1
l2 : y =
(x + 1) 3
(3) l1 : ( 2 - 1)x + y = 3 l2 : x + (1- 2) y = 2
答案：(1) 相交 交点坐标为( 9 ,- 46) . (2) 平行 17 17
(3) 垂直 交点坐标为 (5 2 + 4 , 6 + 2 )
4
4
2.经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行 于直线x+2y-3=0的直线方程是_3_x_+_6_y_-_2_=_0__. 3.直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标 是（ A ） A.（-2,1） B.（2,1） C.（1,-2） D.（1,2） 4.经过两直线2x-3y-3=0 和x+y+2=0 的交点且与直 线3x+y-1=0 垂直的直线方程为__5_x_-_1_5_y_-_1_8_=_0___．
l3 : x- (k + 1)y- 5 = 0.
若这三条直线交于一点，求k的值．
【变式练习】
1. 三条直线 ax + 2y + 8 = 0 , 4x + 3y - 10 = 0 与 2x - y - 10 = 0 相交于一点，则实数 a = _-_1_. 2.若点（2，1）是直线 l : Ax + 4y - 2 = 0 与
5. （2013·四川高考）在平面直角坐标系内，到点 A(1,2) ， B(1,5) ， C(3, 6) ， D(7, 1) 的 距 离 之 和 最 小 的 点 的 坐 标 是 _______。
【解析】由题可知 A(1, 2) ，B(1,5) ，C(3,6) ，D(7,1) ，四边形 ABCD 对角线的交点到四点距离之和最小，直线 AC 的方程为 2x y 0，直线 BD 的方程为 x y 6 0 ，所以其交点为 (2, 4)
思考: 点（1，-1）在直线l1上吗？在直线l2上吗？ 在直线l1上，不在直线l2上.
【变式练习】
求下列两条直线的交点：
（1） l1 : x y 5 ,
l2 : x y 0 .
1
(2) l1 : y
x 2, 2
答案：（1） ( 5 ,- 5) 22
l2 : y 3x 7 . （2）（-2，1）
例２．设三条直线 l1: x + y - 1= 0, l 2 : kx- 2y + 3= 0,
1． 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标.
(1) l1 : 3x - 2 y = 7 (2) l1 : 2x - 6 y + 5 = 0
l2 : 7x + y = 1
探究 两条直线的交点坐标
在同一平面直角坐标系内画出下列两条直线的图像
l1 : x y 2
l2 : x y 0
y
l1 : x y 2 2
l2 : x y 0
P(a,b)
0
2
x
思考1：两直线是什么位置关系？其交点坐标是多少？ 提示：相交，交点坐标为（1,1）
思考2：已知直线l1：A1x+B1y+C1=0；l2：A2x+B2y+C2=0， 若他们相交，如何求交点坐标？ 提示：问题转化为二元一次方程组求解的问题；两条直 线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这 两个方程组的唯一解；反之，如果这两个二元一次方程 组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点， 必是直线l1和l2的交点，因此求两条直线的交点，就是 求这两个直线方程的公共解.
1
直线 l : 2x + By + 2 = 0 的交点，则 A+B=_-_7_. 2
例3.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线 方程: l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
【变式练习】 求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点， 且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程.
【提升总结】 两条直线的公共点个数与两条直线的位置关系
方程组
A1x+B1y+C1=0 的解
A2x+B2y+C2=0
一组 无数组 无解
两条直线l1, l2的公共点
一个 无数个 零个
直线l1, l2间的位置关系
相交 重合 平行
例1.求下列两条直线的交点：
l1: x + 2y + 1= 0,
l 2 :- x + 2y + 2 = 0.
拓展探究：过定点的直线系方程 思考1：当λ变化时，方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0 表示什么图形？图形有何特点？
思考2：方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)表 示怎样的直线？
提示：若l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0相 交于M(x0,y0)，
1.4 两条直线的交点
1.理解两直线的位置关系与方程组解的个数之间的 关系.（重点） 2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.(难 点）
我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元 一次方程对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解， 反之亦成立．那么两条直线是否有交点与它们对应的 方程所组成的方程组是否有解有没有关系，如果有， 是什么关系？
答案： (2, 4)
求两直线交点坐标的步骤： 首先判断两直线是否平行，若不平行，再解方 程
1
l2 : y =
(x + 1) 3
(3) l1 : ( 2 - 1)x + y = 3 l2 : x + (1- 2) y = 2
答案：(1) 相交 交点坐标为( 9 ,- 46) . (2) 平行 17 17
(3) 垂直 交点坐标为 (5 2 + 4 , 6 + 2 )
4
4
2.经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行 于直线x+2y-3=0的直线方程是_3_x_+_6_y_-_2_=_0__. 3.直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标 是（ A ） A.（-2,1） B.（2,1） C.（1,-2） D.（1,2） 4.经过两直线2x-3y-3=0 和x+y+2=0 的交点且与直 线3x+y-1=0 垂直的直线方程为__5_x_-_1_5_y_-_1_8_=_0___．
l3 : x- (k + 1)y- 5 = 0.
若这三条直线交于一点，求k的值．
【变式练习】
1. 三条直线 ax + 2y + 8 = 0 , 4x + 3y - 10 = 0 与 2x - y - 10 = 0 相交于一点，则实数 a = _-_1_. 2.若点（2，1）是直线 l : Ax + 4y - 2 = 0 与
5. （2013·四川高考）在平面直角坐标系内，到点 A(1,2) ， B(1,5) ， C(3, 6) ， D(7, 1) 的 距 离 之 和 最 小 的 点 的 坐 标 是 _______。
【解析】由题可知 A(1, 2) ，B(1,5) ，C(3,6) ，D(7,1) ，四边形 ABCD 对角线的交点到四点距离之和最小，直线 AC 的方程为 2x y 0，直线 BD 的方程为 x y 6 0 ，所以其交点为 (2, 4)
思考: 点（1，-1）在直线l1上吗？在直线l2上吗？ 在直线l1上，不在直线l2上.
【变式练习】
求下列两条直线的交点：
（1） l1 : x y 5 ,
l2 : x y 0 .
1
(2) l1 : y
x 2, 2
答案：（1） ( 5 ,- 5) 22
l2 : y 3x 7 . （2）（-2，1）
例２．设三条直线 l1: x + y - 1= 0, l 2 : kx- 2y + 3= 0,