大学物理熵和熵增加原理教学提纲
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第3节：熵的定义及熵增加原理
1233熵增原理ambisodsdssys在实际中所遇到的系统常常不是隔离系统系统与环境之间总是有能量交换但是只有隔离系统的熵变才能作为判断过程的方向所以需要将系统与环境放在一起作为一个隔离系统来研究
第三节：熵
任意可逆循环的热温商
熵的引出 熵的定义 克劳修斯不等式 熵增加原理
1
第三节：熵
9
3.3 熵增加原理
当过程为绝热过程时，因系统与环境之间无热交 换，即δQ＝0 ，则克劳休斯不等式可以写作： ΔS绝热 ≥0 > 不可逆过程
= 可逆过程 Tamb = T
∴(1)绝热系统中只能发生熵大于0或者等于0的过程,
即：不可逆绝热过程的熵必定增大；
(2) 绝热可逆过程的熵不变——称为恒熵过程； (3)不可能发生熵减少的绝热过程.
Q1
T1
Q2
T2
0
对于一个任一不可逆循环，同时能用无限多个小不可逆 卡诺循环代替，所以所有小不可逆卡诺循环的热温商只和也 同样小于0。即： Qi Q i ＝ 0 式中T为环境温度 T T
不可逆
8
3.2 克劳修斯不等式
将一任意过程与一可逆途径组成一个循环, 则有
或它的环程积分等于零。
QR Q R T T 0
4
第三节：熵
5
第三节：熵
再将循环分成途径a(12)和b(21), 有
1 QR 0 1 2 T a T b 2 QR
p
a
2
1
b
或
2 QR 1 1 T a T b
Q Tamb
1
1
2
2
1 QR Q 0 2 Tamb T
第三节：熵
任意可逆循环的热温商
熵的引出 熵的定义 克劳修斯不等式 熵增加原理
1
第三节：熵
9
3.3 熵增加原理
当过程为绝热过程时，因系统与环境之间无热交 换，即δQ＝0 ，则克劳休斯不等式可以写作： ΔS绝热 ≥0 > 不可逆过程
= 可逆过程 Tamb = T
∴(1)绝热系统中只能发生熵大于0或者等于0的过程,
即：不可逆绝热过程的熵必定增大；
(2) 绝热可逆过程的熵不变——称为恒熵过程； (3)不可能发生熵减少的绝热过程.
Q1
T1
Q2
T2
0
对于一个任一不可逆循环，同时能用无限多个小不可逆 卡诺循环代替，所以所有小不可逆卡诺循环的热温商只和也 同样小于0。即： Qi Q i ＝ 0 式中T为环境温度 T T
不可逆
8
3.2 克劳修斯不等式
将一任意过程与一可逆途径组成一个循环, 则有
或它的环程积分等于零。
QR Q R T T 0
4
第三节：熵
5
第三节：熵
再将循环分成途径a(12)和b(21), 有
1 QR 0 1 2 T a T b 2 QR
p
a
2
1
b
或
2 QR 1 1 T a T b
Q Tamb
1
1
2
2
1 QR Q 0 2 Tamb T
《大学基础物理学》教学课件：熵
• 例如一个具有100个氨基酸残基的蛋白质分子， 20个不同种类的氨基酸残基可有10130种排列方式， 若按等概率观点，要想得到某种特定结构的蛋白 质分子的概率为10-130，不可能出现。假设蛋白 质分子中氨基酸残基的排列方式可以自动调整， 每秒可以变换106次排列方式，也要等待10124S， 地球的年龄为1017S，与实际情况不符。
• 负熵
• 生命系统的熵变
• 单细胞→多细胞 ， 由无序→有序，即生命系统的热力 学过程熵在减少。与熵增原理是否矛盾？
• 生命系统为开放系统，其熵变为：
dS = diS + deS • diS——系统内不可逆过程的熵变，称为熵产生。deS—
—系统与外界交换能量、质量引起的熵变，称为熵流。
• 孤立系统： deS = 0 dS = diS ＞0——熵增原理 • 开放系统： deS≠ 0 若 deS ＜0 且|deS|＞ diS • 则： dS ＜0 即由无序→有序
S是状态函数，ΔS与积分路径无关。
p Ⅰ a
p Ⅰ a
b
Ⅱ
b
Ⅱ
V
V
dQ
II dQ I dQ
S
T
(SII SI ) (SI SII )
I(a)
T
T II(b)
0
II dQ II dQ 0 I(a) T I(b) T
SII
SI
II I(a)
dQ T
II I(b)
dQ T
3.4 熵 熵增加原理
一.波尔兹曼熵
S = k lnW （1）S是一状态函数，其值与系统的某一宏观态一一对应 （2）二宏观态的熵差为： S2 –S1= k (lnW2 –lnW1) 二.克劳修斯熵
当系统沿任一可逆过程，由状态1变到状态2时，系统 的熵的增量为：
• 负熵
• 生命系统的熵变
• 单细胞→多细胞 ， 由无序→有序，即生命系统的热力 学过程熵在减少。与熵增原理是否矛盾？
• 生命系统为开放系统，其熵变为：
dS = diS + deS • diS——系统内不可逆过程的熵变，称为熵产生。deS—
—系统与外界交换能量、质量引起的熵变，称为熵流。
• 孤立系统： deS = 0 dS = diS ＞0——熵增原理 • 开放系统： deS≠ 0 若 deS ＜0 且|deS|＞ diS • 则： dS ＜0 即由无序→有序
S是状态函数，ΔS与积分路径无关。
p Ⅰ a
p Ⅰ a
b
Ⅱ
b
Ⅱ
V
V
dQ
II dQ I dQ
S
T
(SII SI ) (SI SII )
I(a)
T
T II(b)
0
II dQ II dQ 0 I(a) T I(b) T
SII
SI
II I(a)
dQ T
II I(b)
dQ T
3.4 熵 熵增加原理
一.波尔兹曼熵
S = k lnW （1）S是一状态函数，其值与系统的某一宏观态一一对应 （2）二宏观态的熵差为： S2 –S1= k (lnW2 –lnW1) 二.克劳修斯熵
当系统沿任一可逆过程，由状态1变到状态2时，系统 的熵的增量为：
大学物理第 13 章 第 5 次课 -- 熵变的计算 熵增加原理讲解
由能量守恒得: 高温水放出的热量等于低温水吸收的热量
0.30 c p (T1 T ' ) 0.70 c p (T ' T2 )
即
解得
0.30 c p (363K T ' ) 0.70 c p (T ' 293K)
T ' 314K
上海师范大学
3 /15
§13.7
熵 熵增加原理
作业: P260
13-33
10 /15
上海师范大学
期终复习提纲 第九章 振动
1. 简谐运动的微分方程、运动方程及方程中各量的物理意义； 2. 简谐振动与旋转矢量的对应关系, 能画简谐振动的旋转矢量图； 3. 简谐运动(包括单摆)的周期、频率的计算； 4. 简谐运动中质点的速度、加速度等物理量的求解； 5. 同一单摆在不同地点的摆动周期如何变化, 其意义是什么?
V1
V2 V
8 /15
§13.7
熵 熵增加原理
dE 0,
dQ dW pdV
pd V V1 T 1 mR T pVM
V2
p
1
2
由此可得, 膨胀前后的熵变为 2 dQ S S 2 S1 1 T m pV RT 理想气体状态方程 M 上式代入熵变式得,
o
dQ S B S A A T
B
静电场中
E dl E dl
ACB ADB
电势差VB VA E d l
B
A
上海师范大学
1 /15
§13.7
熵 熵增加原理
熵变的计算:
p
B
C E * A D
dQ 宏观可逆过程 S B S A A T
5.3熵与熵增加原理
首先，态函数熵的存在，以及熵的一些宏观性质。
Page 2
§5.3.1 克劳修斯等式(clausius equality) 1、卡诺循环的热温比=常数 卡诺定理，工作在相同的T1、T2的可逆卡诺热机的效率 都相等，即
T2 1 1 Q1 T1
Q2
Q2 T2 Q1 T1
Q1 Q2 T1 T2
dQ S T 1
2
1
2
V2 PdV RT dV R ln T T V V1 1
2
Page 24
6) 热源的熵变。热源是一个热容很大的系统， 它吸收或放出的有限热量时，热源温度及其 它强度量变化非常小，非常缓慢。热源变化 可通过可逆过程来实现，因而不管别的系统 经历什么过程，对热源总有：
( 5.14 )
这里的热量是绝对值，若采用第一定律中的热量的定义：
Page 3
2、在整个卡诺循环中，热温比的代数和为零
Q1 Q2 0 T1 T2
( 5.15 )
Q绝 热1 Q绝 热2 Q1 Q 2 ( )0 T1 T2 T T
上式表明：当可逆卡诺机的工作物质从某一状态出发，经历一个 循环又回到原来的状态后，热温比的代数和为零。 3、这个结论推广到任意可逆循环过程：
实际上是：因为是不可逆过程，状态变化 了，熵肯 定变化，熵增加。
现在设计一个可逆过程，实现状态1到2的变化，
（P1、T、V1）→ （P2、T、V2）。
虽然它们具体的过程不同，但它们初终两态是相同 的，。所以熵变是相同的。
Page 19
dQ S T 1
2
1
2
V2 PdV RT dV R ln T T V V1 1
13-7 熵 熵增加原理-15页PPT资料
说明：
熵增加原理成立的条件: 孤立系统或绝热过程.
可逆过程
平衡态 A
平衡态 B （熵不变）
非平衡态
不可逆过程 自发过程
平衡态（熵增加）
熵增加原理的应用 ：给出自发过程进行方向的判据 .
S>0 S=0
S<0
不可逆过程 可逆过程 不可能发生
第十三章 热力学基础
12
物理学
第五版
证明 可逆的 .
13-7 熵 熵增加原理
第十三章 热力学基础
10
物理学
第五版
13-7 熵 熵增加原理
说明：
SB SA
B dQ AT
2）对于孤立系统，没有能量和物质交换 SB SA 0
孤立系统经可Biblioteka 过程熵不变；经历不可逆过程熵增加。
孤立系统中的熵永不减少. 熵增加原理
第十三章 热力学基础
11
物理学
第五版
13-7 熵 熵增加原理
第十三章 热力学基础
5
物理学
第五版
13-7 熵 熵增加原理
例1 计算不同温度液体混合后的熵变 . 质量为0.30 kg、温度为 90C 的水, 与质量 为 0.70 kg、 温度为 20C 的水混合后，最后 达到平衡状态. 试求水的熵变. 设整个系统与 外界间无能量传递 .
解 系统为孤立系统 , 混合是不可逆的 等压过程. 为计算熵变 , 可假设一可逆等压 混合过程.
AT B T
A
根据熵的定义
SA SB
A dQr BT
B
第十三章 热力学基础
9
物理学
第五版
13-7 熵 熵增加原理
因此对于任何热力学过程AB
第六章 6-7熵及熵增加原理
系统的这种性质（差别）可以用一个物 理量：态函数熵来描写。
可逆卡诺热机的效率为：
Q1 Q2 T1 T2
Q1
T1
Q1 Q2 0 T1 T 2
如果规定（系统）吸收热量为正：
Q1 T1
Q2 T2
0
Q1 Q2 0 T1 T2
加上：在可逆卡诺循环中，两个绝热过
程无热量传递即热温比为零。
4. 热力学无法说明熵的微观意义，这是 这种宏观描述方法的局限性所决定的。
5. 在不可逆过程熵的计算中，可以计算 出熵作为状态参量的函数形式，再以初末两 状态参量代入计算熵变。若工程上已对某些 物质的一系列平衡态的熵值制出了图表则可 查图表计算两状态熵之差。
6. 若把某一初态定为参考态，则任一
状态的熵变表示为：
dS
δQ =T
根据热力学第一定律 dU Q A
TdS dU pdV
这是综合了热力学第一、第二定律的 热力学基本关系式。
熵的定义： 若系统的状态经历一可逆微小变化，它
与恒温热源 T 交换的热量为 δQ ，则系统的 熵改变了 d S = δ Q /T
由于温度是恒大于零，所以系统可逆吸 热时，熵是增加的；系统可逆放热时，熵 是减少的。可逆绝热过程是等熵过程。
玻尔兹曼关系
S k lnW
宏观系统的无序 度是以微观状态 数W（也就是宏 观状态的热力学 概率）来表示的。
S=klogW
4. 不能将有限范围（地球）得到的熵增 原理外推到浩瀚的宇宙中去。否则会得出宇
宙必将死亡的“热寂说”错误结论。
热寂说 ( Theory of Heat Death )
克劳修斯把熵增加原理应用到无限的宇宙中，他 于1865年指出，宇宙的能量是常数，宇宙的熵趋于极 大，并认为宇宙最终也将死亡，这就是“热寂说”。 不对。
《熵与熵增加原理》课件
熵与信息的关系
熵与信息之间也存在一定的关系。在信息论中，熵被定义为系统不确定性的度量，即系统状态的不确 定性越大，熵就越大。
在通信过程中，信息传递的过程实际上就是熵传递的过程。通过传递信息，可以降低系统的不确定性 ，即降低系统的熵值。
05
CHAPTER
熵在现代科技中的应用
熵在能源领域的应用
能源转换与利用
02
CHAPTER
熵增加原理
熵增加原理的表述
熵增加原理是热力学第二定律的核心内 容，它表述为：在一个封闭系统中，总 熵（即系统熵与环境熵的和）总是增加 的，即自然发生的反应总是向着熵增加
的方向进行。
熵是一个描述系统混乱程度或无序度的 物理量，其值越大，系统的混乱程度或
无序度越高。
在封闭系统中，如果没有外力干预，系 统总是会自发地向着熵增加的方向演化 ，即向着更加混乱或无序的状态演化。
此外，熵增加原理还可以帮助我们理 解信息论和热力学的基本概念，以及 它们在物理学、化学和生物学等领域 的应用。
03
CHAPTER
熵与热力学第二定律
热力学第二定律的表述
热力学第二定律指出，在封闭系统中 ，自发过程总是向着熵增加的方向进 行，即系统的熵永不自发减少。
这一定律揭示了热力学的自然规律， 是热力学理论体系的重要组成部分。
熵增加原理的证明
熵增加原理可以通过热力学的基本定律来证明，特别是第二定律 。
第二定律指出，对于封闭系统，热量总是自发地从高温向低温传 递，而不是自发地从低温向高温传递。这是由于热量在传递过程 中总是伴随着熵的增加，即无序度的增加。
通过分析热力学过程，可以证明在封闭系统中，系统的熵总是自 发地增加，从而证明了熵增加原理。
12 13-7 熵 熵增加原理
分布 （宏观态）
详细分布 （微观态）
粒子不可区分的态为宏观态 粒子可区分的态为微观态
1 4Biblioteka 641设所有的微观状态其出现的可能性是相同的(等概率假设） 4粒子情况：总微观态数16（2N）。 宏观态1和5，几率各为1/16； 宏观态2和4，几率各为1/4（4 /16 ）； 宏观态3，几率为3/8（ 6 /16 ）。 微观状态数目多(无序度高)的宏观状态其出现的 概率最大。 共有24=16种可能的方式，而且4个分子全部退 回到A部的可能性即几率为1/24=1/16。可认4 个分子的自由膨胀是“可逆的”。
与热力学第二定律的统计表述相比较
熵与热力学 概率有关 玻尔兹曼公式：S = k ln W
(k为玻尔兹曼常数） 玻尔兹曼建 立了此关系 W越大，微观态 数就越多，系统 就越混乱越无序。
W2 S S2 S1 k ln 0 W1
熵的微观意义：系统内分子热运动无序性的一种量度。
（1）熵的概念建立，使热力学第二定律 得到统一的定量的表述 . （2）熵是孤立系统的无序度的量度.（平 衡态熵最大.）（W 愈大，S 愈高，系统无序 度愈高.）
平衡态相应于一定宏观 条件下M最大的状态。
热力学第二定律的统计表述： 孤立系统内部所发生的过程总是从包含微 观态数少的宏观态向包含微观态数多的宏观态 过渡，从热力学概率小的状态向热力学概率大 的状态过渡。
三 熵与热力学概率 玻耳兹曼关系式
非平衡态到平衡态，有序向无序，都是自然过程进行 的方向，隐含着非平衡态比平衡态更有序，或宏观状态的 有序度或无序度按其所包含的微观状态数目来衡量。因微 观状态数目W太大，玻耳兹曼引入了另一量，熵。
长江大学教学课件
大学物理学电子教案
热力学第二定律与熵
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解（1）水在炉子上的加热是有限温差热传 导，不可逆。为计算水的熵变，设想把水依次 与一系列温度逐渐升高无穷小温差dT的炉子接 触，通过可逆的等温热传导使水温升高到100℃ 。
水的熵变：
S1
dQ
T2 CmdT
Cm ln
T2
T T1 T
T1
4.18103 1 ln 273100
273 20
T 1( L)
2 dQ 2 dQ
1(L) T
T 1( L)
系统的热温比沿可逆过程的积分与可逆过程
无关。由此可以定义系统的一个状态函数：克
劳修斯熵
系统从平衡态1，经某一过程到达另一平衡
态2，克劳修斯熵的增量定义为
S
S2ห้องสมุดไป่ตู้
S1
2 1( R )
dQ T
R：连接态1和态2的任意一个可逆过程。
R 可任意选择，但设计巧妙使计算简单。
V2 T2 p1 , V1 T1 p2
CV ,m R C p,m
【例9.6】一刚性绝热容器用隔板平均分成左、 右两部分。开始时在容器的左侧充满1摩尔单原 子理想气体，并处于平衡态，容器右侧抽成真 空。打开隔板后气体自由膨胀充满整个容器并 达到平衡。求熵变。
解（1）用玻耳兹曼熵计算
1 V NA
S ln
1900 年 普 朗 克 引 入 系 数 k —玻耳兹曼常数
玻耳兹曼熵公式：
S = k ln
单位： Jk1
（1）熵和 一样，也是系统内分子热运动的无
序性的一种量度。
（2）一个宏观状态 一个 值 一个S 值
熵是系统状态的函数
（3）熵具有可加性
设1和2分别表示两个子系统的热力学概率，
整个系统的热力学概率
S 0（孤立系统）
熵增加原理
9.5.4 理想气体的熵 综合热力学第一、第二定律 dQ TdS（可逆过程），dQ dE dA 得热力学中的一个基本关系式
TdS dE dA（可逆过程）
1摩尔理想气体由状态1经过某一过程到达状 态2，熵增
2
2 dE dA
S S2 S1 dS
1( R)
273 100
896.5 J K1
系统的熵变：
ΔS ΔS1 ΔS2 1009 896 .5 112 .5 J K 1 0
1009 J K1
水的熵变与加热的过程无关，因此上述结果 就是把水直接放到100℃ 炉子上加热到100℃ 所 引起的熵变。
炉子可当成恒温热源，炉子经过等温过程， 其熵变等于整个过程吸收的热量除以炉温。
炉子的熵变：
S2
dQ
1
T2
dQ
Cm(T2
T1 )
T T2 T1
T2
4.18103 1 (100 20)
1 2
整个系统的熵：
S k ln k ln 1 k ln 2 S1 S2
把熵和概率联系起来：具有深远意义的思想
熵的概念，已经进入人文科学领域。
9.5.2 熵增加原理
孤立系统进行不可逆过程时总是向热力学概 率增加的方向进行，而进行可逆过程时系统的 热力学概率不变。
熵增加原理 （热力学第二定律的数学表述）
一个孤立系统的熵永不会减少
S S2 S1 0（孤立系统）
S1、S2：系统初、末态熵；“=” ：可逆过程， “>”：不可逆过程
由熵增加原理可知：孤立系统从一个平衡态 经过某一过程到达另一平衡态，如果过程是可 逆的，则熵不变；过程不可逆，熵增加。由于平 衡态的熵最大，所以孤立系统总是自发地由非 平衡态向平衡态过渡。一旦到达平衡态，系统在 宏观上就不再发生变化。
对任意一个可逆循环 R：
dQ
0
(R) T
克劳修斯等式：系统的热温比沿任一可逆循
环的积分等于零。
劳修斯熵的引入：
L、L/：连接平衡态1和2 的任意可逆过程，C：可逆 循环1L2L/1。
dQ 2 dQ 2 dQ 0,
2 dQ 2 dQ
(C) T
T T 1(L)
1( L)
1(L) T
对无穷小可逆过程
dS dQ T
由克劳修斯不等式，导出熵增加原理：
dQ 2 dQ 2 dQ
(C) T 1(I ) T 1(R) T
2 dQ S 0 1(I ) T
S 2 dQ , S 2 dQ
1(I ) T
1(R) T
可逆
不可逆
S 2 dQ 1(L) T
S 2 dQ 1(L) T “＝”：可逆过程；“>”：不可逆过程 由于孤立系统中发生的任意过程都是绝热的， dQ=0，所以有
1( R)
T
dE CV ,mdT ,
dA PdV RT dV V
S S2 S1
2 dE dA 1(R) T
CV ,m
2 dT 1(R )T
R
2 dV 1( R )V
ΔS
S2
S1
CV ,m
ln
T2 T1
R ln V2 V1
ΔS
S2
S1
C
p,m
ln
T2 T1
R ln
p2 p1
孤立系统中发生的过程一定绝热，熵增加原 理可表达为
S 0（绝热过程）
在可逆绝热过程中熵不变，在不可逆绝热过 程中熵增加。
9.5.3 克劳修斯熵
两热源循环过程： Q1 Q2 0 T1 T2
推广：
dQ 0
(C) T
“＝”：可逆循环；“<”：不可逆循环
克劳修斯不等式 ：系统的热温比沿任一循环 的积分都小于或等于零。
2 (2V )NA
ΔS
k(ln
2
ln
1 )
k
ln
2 1
kNA
ln
2
R
ln
2
（2）用克劳修斯熵计算
S
CV ,m
ln
T T
R ln
2V V
Rln 2
与玻耳兹曼熵的结果一致，反映出这两种熵 的等价性。
【例9.7】设有温度为20℃ 的水。求下述过程 引起水的熵变及水和炉子所组成系统的熵变： （ 1 ） 把 水 放 到 100℃ 的 炉 子 上 加 热 到 100℃ 。 （2）把水先放到50℃的炉子加热到50℃，再放 到100℃的炉子加热到100℃。（3）把水依次与 一系列温度从20℃逐渐升高到100℃的无穷小温 差的炉子接触，最后使水达到100℃。
熵，表示系统无序性的大小。其变化，反映 孤立系统自发过程的方向性。
熵的概念是由克劳修斯在1865年首先在宏观 上引入的，并用熵增加原理表述了热力学过程 的方向性。
1877年玻耳兹曼把熵和概率联系起来，阐明 了熵和熵增加原理的微观本质。
可以证明：克劳修斯熵和玻耳兹曼熵是等价 的
9.5.1 玻耳兹曼熵 1877年玻耳兹曼在微 观上引入熵，表示系统 无序性的大小
水的熵变：
S1
dQ
T2 CmdT
Cm ln
T2
T T1 T
T1
4.18103 1 ln 273100
273 20
T 1( L)
2 dQ 2 dQ
1(L) T
T 1( L)
系统的热温比沿可逆过程的积分与可逆过程
无关。由此可以定义系统的一个状态函数：克
劳修斯熵
系统从平衡态1，经某一过程到达另一平衡
态2，克劳修斯熵的增量定义为
S
S2ห้องสมุดไป่ตู้
S1
2 1( R )
dQ T
R：连接态1和态2的任意一个可逆过程。
R 可任意选择，但设计巧妙使计算简单。
V2 T2 p1 , V1 T1 p2
CV ,m R C p,m
【例9.6】一刚性绝热容器用隔板平均分成左、 右两部分。开始时在容器的左侧充满1摩尔单原 子理想气体，并处于平衡态，容器右侧抽成真 空。打开隔板后气体自由膨胀充满整个容器并 达到平衡。求熵变。
解（1）用玻耳兹曼熵计算
1 V NA
S ln
1900 年 普 朗 克 引 入 系 数 k —玻耳兹曼常数
玻耳兹曼熵公式：
S = k ln
单位： Jk1
（1）熵和 一样，也是系统内分子热运动的无
序性的一种量度。
（2）一个宏观状态 一个 值 一个S 值
熵是系统状态的函数
（3）熵具有可加性
设1和2分别表示两个子系统的热力学概率，
整个系统的热力学概率
S 0（孤立系统）
熵增加原理
9.5.4 理想气体的熵 综合热力学第一、第二定律 dQ TdS（可逆过程），dQ dE dA 得热力学中的一个基本关系式
TdS dE dA（可逆过程）
1摩尔理想气体由状态1经过某一过程到达状 态2，熵增
2
2 dE dA
S S2 S1 dS
1( R)
273 100
896.5 J K1
系统的熵变：
ΔS ΔS1 ΔS2 1009 896 .5 112 .5 J K 1 0
1009 J K1
水的熵变与加热的过程无关，因此上述结果 就是把水直接放到100℃ 炉子上加热到100℃ 所 引起的熵变。
炉子可当成恒温热源，炉子经过等温过程， 其熵变等于整个过程吸收的热量除以炉温。
炉子的熵变：
S2
dQ
1
T2
dQ
Cm(T2
T1 )
T T2 T1
T2
4.18103 1 (100 20)
1 2
整个系统的熵：
S k ln k ln 1 k ln 2 S1 S2
把熵和概率联系起来：具有深远意义的思想
熵的概念，已经进入人文科学领域。
9.5.2 熵增加原理
孤立系统进行不可逆过程时总是向热力学概 率增加的方向进行，而进行可逆过程时系统的 热力学概率不变。
熵增加原理 （热力学第二定律的数学表述）
一个孤立系统的熵永不会减少
S S2 S1 0（孤立系统）
S1、S2：系统初、末态熵；“=” ：可逆过程， “>”：不可逆过程
由熵增加原理可知：孤立系统从一个平衡态 经过某一过程到达另一平衡态，如果过程是可 逆的，则熵不变；过程不可逆，熵增加。由于平 衡态的熵最大，所以孤立系统总是自发地由非 平衡态向平衡态过渡。一旦到达平衡态，系统在 宏观上就不再发生变化。
对任意一个可逆循环 R：
dQ
0
(R) T
克劳修斯等式：系统的热温比沿任一可逆循
环的积分等于零。
劳修斯熵的引入：
L、L/：连接平衡态1和2 的任意可逆过程，C：可逆 循环1L2L/1。
dQ 2 dQ 2 dQ 0,
2 dQ 2 dQ
(C) T
T T 1(L)
1( L)
1(L) T
对无穷小可逆过程
dS dQ T
由克劳修斯不等式，导出熵增加原理：
dQ 2 dQ 2 dQ
(C) T 1(I ) T 1(R) T
2 dQ S 0 1(I ) T
S 2 dQ , S 2 dQ
1(I ) T
1(R) T
可逆
不可逆
S 2 dQ 1(L) T
S 2 dQ 1(L) T “＝”：可逆过程；“>”：不可逆过程 由于孤立系统中发生的任意过程都是绝热的， dQ=0，所以有
1( R)
T
dE CV ,mdT ,
dA PdV RT dV V
S S2 S1
2 dE dA 1(R) T
CV ,m
2 dT 1(R )T
R
2 dV 1( R )V
ΔS
S2
S1
CV ,m
ln
T2 T1
R ln V2 V1
ΔS
S2
S1
C
p,m
ln
T2 T1
R ln
p2 p1
孤立系统中发生的过程一定绝热，熵增加原 理可表达为
S 0（绝热过程）
在可逆绝热过程中熵不变，在不可逆绝热过 程中熵增加。
9.5.3 克劳修斯熵
两热源循环过程： Q1 Q2 0 T1 T2
推广：
dQ 0
(C) T
“＝”：可逆循环；“<”：不可逆循环
克劳修斯不等式 ：系统的热温比沿任一循环 的积分都小于或等于零。
2 (2V )NA
ΔS
k(ln
2
ln
1 )
k
ln
2 1
kNA
ln
2
R
ln
2
（2）用克劳修斯熵计算
S
CV ,m
ln
T T
R ln
2V V
Rln 2
与玻耳兹曼熵的结果一致，反映出这两种熵 的等价性。
【例9.7】设有温度为20℃ 的水。求下述过程 引起水的熵变及水和炉子所组成系统的熵变： （ 1 ） 把 水 放 到 100℃ 的 炉 子 上 加 热 到 100℃ 。 （2）把水先放到50℃的炉子加热到50℃，再放 到100℃的炉子加热到100℃。（3）把水依次与 一系列温度从20℃逐渐升高到100℃的无穷小温 差的炉子接触，最后使水达到100℃。
熵，表示系统无序性的大小。其变化，反映 孤立系统自发过程的方向性。
熵的概念是由克劳修斯在1865年首先在宏观 上引入的，并用熵增加原理表述了热力学过程 的方向性。
1877年玻耳兹曼把熵和概率联系起来，阐明 了熵和熵增加原理的微观本质。
可以证明：克劳修斯熵和玻耳兹曼熵是等价 的
9.5.1 玻耳兹曼熵 1877年玻耳兹曼在微 观上引入熵，表示系统 无序性的大小