2016-2017学年高中数学人教版选修1-1课件：2.2.1 双曲线及其标准方程
对双曲线标准方程的认识
[例 1] x2 y2 已知方程 － ＝1 对应的图形是双曲线，那么 k k－5 |k|－2 ( B．(－2,2)∪(5，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) )
的取值范围是 A．(5，＋∞) C．(－2,2)
[解 ]
∵方程对应的图形是双曲线，
k－5＜0， 或 |k|－2＜0.
解析：由题意知，(1＋k)(1－k)＞0，即－1＜k＜1. 答案：(－1,1)
x2 y2 4．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 － ＝1 上一点 M 的 4 12 横坐标为 3，则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析： 由题易知， 双曲线的右焦点为(4,0)， 点 M 的坐标为(3， 15) 或(3，－ 15)，则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为 4. 答案：4
[易错防范] 1．求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中 “距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线 的一支． 2．在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定 义，才能保证解题的正确性．当 ||PF1|－|PF2||＝2a＜|F1F2|(a＞0)， 即|PF1|－|PF2|＝± 2a(0＜2a＜|F1F2|)时，P 点的轨迹是双曲线，其中 取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．
(2)∵焦点在 x 轴上，c＝ 6， x2 y2 ∴设所求双曲线方程为 λ － ＝1(其中 0＜λ＜6)． 6－ λ 25 4 ∵双曲线经过点(－5,2)，∴ λ － ＝1， 6－ λ ∴λ＝5 或 λ＝30(舍去)． x2 2 ∴所求双曲线方程是 －y ＝1. 5
双曲线定义及标准方程的应用 2 y [例 3] 设 P 为双曲线 x2－ ＝1 上的一点，F1，F2 是该双曲 12
[成功破障] 求与⊙C1：x2＋(y－1)2＝1 和⊙C2：x2＋(y＋1)2＝4 都外切的动 圆圆心 M 的轨迹方程．
解：∵⊙M 与⊙C1，⊙C2 都外切， ∴|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋2. 从而可知|MC2|－|MC1|＝1＜|C1C2|. 因此， 点 M 的轨迹是以 C2， C1 为焦点的双曲线的上支， 1 3 2 2 2 且有 a＝ ，c＝1，b ＝c －a ＝ . 2 4
5．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，c＝4，焦点在 x 轴上； (2)经过点(3，－4
9 2)，4，5.
解：(1)由题设知，a＝3，c＝4， 由 c2＝a2＋b2 得，b2＝c2－a2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在 x 轴上， 所以所求双曲线的标准方程为 x2 y2 － ＝1. 9 7
双曲线的标准方程
[提出问题] 问题 1： “知识点一”的问题 2 中， 动点 P 的轨迹方程是什么？
x2 y2 提示： － ＝1. 9 16
问题 2：平面内，动点 P 到两定点 F1(0,5)，F2(0，－5)的距离之 差的绝对值为定值 6，动点 P 的轨迹方程是什么？
y2 x2 提示： － ＝1. 9 16
x2 y2 x2 y2 2． 椭圆 ＋ 2＝1 与双曲线 a － ＝1 有相同的焦点， 则 a 的值是( 4 a 2 1 A. 2 1 C．1 或 2 B．1 或－2 D．1
)
解析：由于 a＞0,0＜a2＜4，且 4－a2＝a＋2，所以可解得 a ＝1，故选 D. 答案：D
x2 y2 3．若方程 － ＝1 表示双曲线，则 k 的取值范围是________． 1＋k 1－k
(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 因为双曲线经过点(3，－4
9 2)，4，5，
1 9m＋32n＝1， m＝－9， 所以81 解得 1 m＋25n＝1， n＝ . 16 16 故所求双曲线的标准方程为 y2 x2 － ＝1. 16 9
2
当焦点在 y 轴上时， y2 x2 设所求双曲线的标准方程为 － 2＝1(b＞0)， 16 b 把 A 点的坐标代入，得 b2＝9， y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 16 9 (2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)， 1 m＝9， 9m＋0＝1， ∴ 解得 36m＋9n＝1， n＝－1， 3 x2 y2 ∴所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 9 3
[导入新知] 双曲线的标准方程
焦点在x轴上 标准方程
x2 y2 － ＝1 _____________ a2 b2 (a＞0，b＞0)
焦点在y轴上
y2 x2 － ＝1 ____________ a2 b2 (a＞0，b＞0)
焦点坐标 a，b，c 的关系
F1(0，－c)，F2(0，c) F1(－c,0)，F2(c,0) __________________ __________________
5.双曲线的定义理解中的误区
[典例] 已知定点 A(－3,0)和定圆 C：(x－3)2＋y2＝16，动 圆和圆 C 相外切，并且过定点 A，求动圆圆心 M 的轨迹方程．
[解 ]
设 M(x， y)， 设动圆与圆 C 的切点为 B， |BC|＝4.则|MC|
＝|MB|＋|BC|，|MA|＝|MB|， 所以|MC|＝|MA|＋|BC|， 即|MC|－|MA|＝|BC|＝4＜|AC|. 所以由双曲线的定义知，M 点轨迹是以 A，C 为焦点的双曲线 x2 y2 的左支，设其方程为 2－ 2＝1(x<0)，且 a＝2，c＝3，所以 b2＝5. a b x2 y2 所以所求圆心 M 的轨迹方程是 － ＝1(x≤－2)． 4 5
2 1 4 x 2 故所求的双曲线的方程为 4y － ＝1y≥2. 3
[随堂即时演练]
1．已知 F1(－8,3)，F2(2,3)，动点 P 满足|PF1|－|PF2|＝10，则 P 点的轨迹是 A．双曲线 C．直线 B．双曲线的一支 D．一条射线 ( )
解析：F1，F2 是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2| ＝10 的点 P 的轨迹应为一条射线． 答案：D
[类题通法] 在解决双曲线中与焦点有关的问题时， 要注意定义中的条件 ||PF1|－ |PF2||＝ 2a 的应用；与三角形有关的问题要考虑正弦定 理、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧 和整体代换思想的应用．
[活学活用] ―→ ―→ 若把本题中的“|PF1|∶|PF2|＝3∶2”改为“ PF1 · PF2 ＝0”， 求△PF1F2 的面积．
[类题通法] 1．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的 a，b，c，再写出双曲 线的标准方程． x2 y2 x2 y2 (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程 2－ 2＝1 或 2－ 2＝ a b b a 1(a，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 2．求双曲线标准方程的两个关注点 (1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方 程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)定量：“定量”是指确定 a2，b2 的具体数值，常根据条件列 方程求解．
提示：不是，是双曲线．
[导入新知] 双曲线的定义 把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的 差的绝对值 等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这 两个定点 叫做双曲线的焦点， 两焦
点间的距离 叫做双曲线的焦距．
[化解疑难] 平面内到两定点 F1， F2 的距离的差的绝对值为常数，即 ||MF1|－ |MF2||＝2a，关键词“平面内”． 当 2a＜|F1F2|时，轨迹是双曲线； 当 2a＝|F1F2|时，轨迹是分别以 F1，F2 为端点的两条射线； 当 2a＞|F1F2|时，轨迹不存在．
求双曲线的标准方程
[例 2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a＝4，经过点
4 A1，－
10 ； 3
(2)经过点(3,0)，(－6，－3)． [解 ] (1)当焦点在 x 轴上时，
x2 y2 设所求双曲线的标准方程为 － 2＝1(b＞0)， 16 b 16 160 把 A 点的坐标代入，得 b ＝－ × ＜0，不符合题意； 方程
双曲线的定义
[提出问题] 问题 1：平面内，动点 P 到两定点 F1(－5,0)，F2(5,0)的距离 之和为 12，动点 P 的轨迹是什么？
提示：椭圆．
问题 2：平面内，动点 P 到两定点 F1(－5,0)，F2(5,0)的距离 之差的绝对值为 6，动点 P 的轨迹还是椭圆吗？是什么？
线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2 的面积为( A．6 3 C．12 3
[解 ] 如图所示，
)
B．12 D．24
∵|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 且|PF1|∶|PF2|＝3∶2， ∴|PF1|＝6，|PF2|＝4. 又∵|F1F2|＝2c＝2 13， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 1 1 ∴S V PF1F2 ＝ |PF1|· |PF2|＝ ×6×4＝12. 2 2 [答案] B
k－5＞0， ∴(k－5)(|k|－2)＞0.即 |k|－2＞0，
解得 k＞5 或－2＜k＜2. [答案] B
[类题通法] x2 将双曲线的方程化为标准方程的形式， 假如双曲线的方程为 m＋
m＞0， y2 ＝ 1 ，则当 mn ＜ 0 时，方程表示双曲线．若 则方程表 n n＜0， m＜0， 轴上的双曲线；若 n＞0，
―→ ―→ 解：由题意 PF1 · PF2 ＝0， 得 PF1⊥PF2，∴△PF1F2 为直角三角形， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|· |PF2|＝|F1F2|2. 又∵||PF1|－|PF2||＝2a＝2，|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2) ＝4(1＋12)＝52，∴4＋2|PF1|· |PF2|＝52， 1 ∴|PF1|· |PF2|＝24，∴S V PF1F2 ＝ |PF1|· |PF2|＝12. 2
合集下载
人教新课标版数学高二选修1-1课件双曲线及其标准方程
返回
(2)求双曲线的标准方程时，应注意两个问题： ①正确判断焦点的位置；②设出标准方程后，再运用待定系数法求解. 求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考 虑.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在 哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式； “定量”是指用定义法或待定系数法确定a，b的值.
解析 由题意得(10－k)(5－k)<0，解得5<k<10.
解析答案
1 2345
4.设 m 是常数，若点 F(0,5)是双曲线ym2－x92＝1 的一个焦点，则 m＝_1_6_. 解析 由已知条件知m＋9＝52，所以m＝16.
解析答案
1 2345
5.已知双曲线x92－1y62 ＝1 上一点 M 的横坐标为 5，则点 M 到左焦点的距离 34
答案
知识点二 双曲线的标准方程 (1)两种形式标准方程
焦点所在的坐标轴 标准方程
x轴 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)
y轴 ay22－bx22＝1 (a>0，b>0)
图形
焦点坐标 a、b、c的关系式
__F__1(_－__c_,0_)_，__F_2_(c_,_0_)
__F_1_(_0_，__－__c_)，__F_2_(_0_，__c)
答案
问题2 双曲线的标准方程的推导过程是什么？
答案
问题3 双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a、b、c的关系有何不同？ 答案 双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小， 是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a 与b的大小关系不确定；而在椭圆中 b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中 a>b>0，a>c，c与b大小不确定.
(2)求双曲线的标准方程时，应注意两个问题： ①正确判断焦点的位置；②设出标准方程后，再运用待定系数法求解. 求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考 虑.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在 哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式； “定量”是指用定义法或待定系数法确定a，b的值.
解析 由题意得(10－k)(5－k)<0，解得5<k<10.
解析答案
1 2345
4.设 m 是常数，若点 F(0,5)是双曲线ym2－x92＝1 的一个焦点，则 m＝_1_6_. 解析 由已知条件知m＋9＝52，所以m＝16.
解析答案
1 2345
5.已知双曲线x92－1y62 ＝1 上一点 M 的横坐标为 5，则点 M 到左焦点的距离 34
答案
知识点二 双曲线的标准方程 (1)两种形式标准方程
焦点所在的坐标轴 标准方程
x轴 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)
y轴 ay22－bx22＝1 (a>0，b>0)
图形
焦点坐标 a、b、c的关系式
__F__1(_－__c_,0_)_，__F_2_(c_,_0_)
__F_1_(_0_，__－__c_)，__F_2_(_0_，__c)
答案
问题2 双曲线的标准方程的推导过程是什么？
答案
问题3 双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a、b、c的关系有何不同？ 答案 双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小， 是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a 与b的大小关系不确定；而在椭圆中 b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中 a>b>0，a>c，c与b大小不确定.
2016-2017学年高中数学人教版选修1-1课件：2.2.1 双曲线及其标准方程
解：由题意―PF→1 ·―PF→2 ＝0， 得 PF1⊥PF2，∴△PF1F2 为直角三角形， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2. 又∵||PF1|－|PF2||＝2a＝2，|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2) ＝4(1＋12)＝52，∴4＋2|PF1|·|PF2|＝52， ∴|PF1|·|PF2|＝24，∴S PF1F2 ＝12|PF1|·|PF2|＝12.
提示：y92－1x62 ＝1.
第四页，编辑于星期五：十六点 五十二分。
[导入新知] 双曲线的标准方程
标准方程
焦点在x轴上
____xa_22_－__by_22＝__1__ (a＞0，b＞0)
焦点在y轴上
___ay_22_－__xb_22_＝__1_ (a＞0，b＞0)
焦点坐标
__F_1_(－__c_,_0_)，__F__2(_c_,0_)__ _F_1_(0_，__－__c_)_，__F_2_(_0，__c_)
a，b，c 的关系
c2＝__a_2＋__b_2__
第五页，编辑于星期五：十六点 五十二分。
[化解疑难] 1．标准方程的代数特征：方程右边是 1，左边是关于 x，y 的平方差，并且分母大小关系不确定． 2．a，b，c 三个量的关系： 标准方程中的两个参数 a 和 b，确定了双曲线的形状和大小， 是双曲线的定形条件，这里 b2＝c2－a2，与椭圆中 b2＝a2－c2 相 区别，且椭圆中 a＞b＞0，而双曲线中，a，b 大小不确定．
当 2a＜|F1F2|时，轨迹是双曲线； 当 2a＝|F1F2|时，轨迹是分别以 F1，F2 为端点的两条射线； 当 2a＞|F1F2|时，轨迹不存在．
提示：y92－1x62 ＝1.
第四页，编辑于星期五：十六点 五十二分。
[导入新知] 双曲线的标准方程
标准方程
焦点在x轴上
____xa_22_－__by_22＝__1__ (a＞0，b＞0)
焦点在y轴上
___ay_22_－__xb_22_＝__1_ (a＞0，b＞0)
焦点坐标
__F_1_(－__c_,_0_)，__F__2(_c_,0_)__ _F_1_(0_，__－__c_)_，__F_2_(_0，__c_)
a，b，c 的关系
c2＝__a_2＋__b_2__
第五页，编辑于星期五：十六点 五十二分。
[化解疑难] 1．标准方程的代数特征：方程右边是 1，左边是关于 x，y 的平方差，并且分母大小关系不确定． 2．a，b，c 三个量的关系： 标准方程中的两个参数 a 和 b，确定了双曲线的形状和大小， 是双曲线的定形条件，这里 b2＝c2－a2，与椭圆中 b2＝a2－c2 相 区别，且椭圆中 a＞b＞0，而双曲线中，a，b 大小不确定．
当 2a＜|F1F2|时，轨迹是双曲线； 当 2a＝|F1F2|时，轨迹是分别以 F1，F2 为端点的两条射线； 当 2a＞|F1F2|时，轨迹不存在．
2017版高中数学选修1-1(课件)：2.2 双 曲 线 2.2.2.1
第三十页，编辑于星期六：三点 二十五分。
【补偿训练】求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)实轴长为16,离心率为 . 5 (2)顶点间的距离为6,渐近线4方程为y=± x.
3 2
第三十一页，编辑于星期六：三点 二十五分。
【解析】(1)设双曲线的标准方程为 (a＞0，b＞0)，
x或2 a2
y2 b2
方程设为
求解.
x2 n2
y2 m2
第十三页，编辑于星期六：三点 二十五分。
(4)与双曲线 x2 y2(a>10,b>0)共渐近线的双曲线系方程可设为 =λ(λa 2≠0b,2a>0,b>0).
x2 a2
y2 b2
第十四页，编辑于星期六：三点 二十五分。
2.离心率对双曲线开口大小的影响
以双曲线
(a>0,b>0)为例:
y2 － x2 a2 2a2
y2 －x2 24
第二十三页，编辑于星期六：三点 二十五分。
方法二:因为所求双曲线与已知双曲线 -yx2=2 1有公共的渐近线,故可
设双曲线方程为 x2=－λy(λ2 ≠0),代入点(2,-2),2得λ=-2.
所以所求双曲线的2方程1为 -y2=-2,即
x2
y2 －x2 ＝1.
________________
________________
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
第三页，编辑于星期六：三点 二十五分。
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
(a＞0，b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a＞0，b＞0)
实轴:线段____,长:___;虚轴:线段____,长:___;
人教课标版高中数学选修1-1《双曲线及其标准方程(第1课时)》名师课件
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测 探究二:双曲线的标准方程
活动一 双曲线的两种标准方程
焦点在x轴上的双曲线标准方程为___ax_22___by_22 __1__a__0_,_b__0____ 焦点在y轴上的双曲线标准方程为___ay_22___bx_22 __1__a__0_,_b__0____
探究三:运用待定系数法、定义法求解双曲线标准方程
★▲ 重难点
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程: （2）双曲线过M(1,1),N(2,-5)两点.
方法二:设所求双曲线的方程为 Ax2 By2 1 AB 0
∵点M,N在双曲线上
A B 1 4A 25B
解得 1
A
B
8 7
1
7
x2
故所求双曲线的标准方程为 7
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究一:椭圆的定义
活动二
1. | F1F2 | 与a之间有何大小关系? 2. 去掉定义中”绝对值”三个字对结论有影响吗? 在双曲线的定义中,条件 0<2a |F1F2| 不应忽视, 若 2a |F1F2| ,则动点轨迹是两条射线; 若 2a |F1F2| ,则动点轨迹不存在. 双曲线定义中应注意关键字”绝对值”三个字. 若去掉”绝对值”三个字,动点轨迹只能是双曲线一支.
★▲ 重难点
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程: （1）一个焦点坐标是(0,-6),双曲线经过点A(-5,6); 详解:方法一 由已知得c=6，且焦点在y轴上,则另一焦点坐标为(0,6).
因为点A(-5,6)在双曲线上,所以根据双曲线定义可得:
2a | (5)2 (6 6)2 (5)2 (6 6)2 ||13 5 | 8,
2.类比椭圆标准方程的推导方法,建立适当坐标系,推导出双曲线的标 准方程,但要注意在椭圆标准方程中是令b2 a2 c2 ,而在双曲线中是 令 b2 c2 a2 .
高中数学人教A版选修1-1课件：2.2.1 双曲线及其标准方程
2-������ < 0, 或 ② |������|-3 > 0, 由①,解得-3<m<2;由②,解得 m>3. 故实数 m 的取值范围为(-3,2)∪(3,+∞).
-14-
目标导航
题型一 题型二 题型三 题型四
知识梳理
重难聚焦
典例透析
反思由方程判断曲线类型,先看其分母,再结合双曲线、椭圆的不 同要求,构造关于分母中参数的方程(组)或不等式(组)即可求得.
联立上面两式,解得 a2=20-2 10, ������2 = 2 10,
������2 ������2 ∴所求双曲线的标准方程为 − 20-2 10 2 10
= 1. −
(2)∵双曲线的焦点在
������2 ������
2
������2 y 轴上,∴设双曲线的标准方程为 ������2
= 1(������ > 0, ������ > 0). ①
������2 轴上,可设标准方程为 ������2
−
������2 ������
2
= 1(������ > 0, ������ > 0).
由双曲线的定义,得 ||MF1|-|MF2|| =| 72 + ( 15)2 − (-1)2 + ( 15)2 | =|8-4|=4=2a, 则 a=2. 又 c=4,则 b2=c2-a2=12.
������2 ������
2
= 1(������ > 0, ������ > 0), 用待定系数法求得a,b;第(2)题可
先设出标准方程,然后把点 P1,P2 的坐标代入方程,联立方程组,求出 a2,b2 的值.
-17-
人教版高中数学选修1-1课件：2.2.1 双曲线及其标准方程
解： 由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=6, ∴(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2| =36,又|PF1|·|PF2|=32,
∴|PF1|2+|PF2|2=36+2×32=100.
又|F1F2|=2c=10, ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴∠F1PF2=90°.
考点类析
[答案] B [解析] ∵点A,B在双曲线的右支上, ∴|BF1|-|BF2|=2a,|AF1|-|AF2|=2a, ∴|BF1|+|AF1|-(|BF2|+|AF2|)=4a, ∴|BF1|+|AF1|=4a+m, ∴ △ABF1的周长为4a+m+m=4a+2m.
考点类析
【变式】已知双曲线16x2-9y2=144, F1,F2是其左、右焦点,点P在双曲线 上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2.
预习探究
[探究] 在双曲线的定义中,要求0<2a<|F1F2|,那么当2a和|F1F2|满足下列关系时, 动点的轨迹又是什么? (1)2a=0;(2)2a=|F1F2|;(3)2a>|F1F2|.
解:(1)若2a=0,则动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线; (2)若2a=|F1F2|,则动点的轨迹是两条射线; (3)若2a>|F1F2|,则动点的轨迹不存在.
重点难点
[重点] 双曲线的定义及其标准方程． [难点] 双曲线标准方程的推导．
教学建议
引导 教学中
学生从复习回顾“椭圆及其标准方程”通过类比引出双曲线的定义，在概念的理解上，用步步设问来加深理解．在概念的建立上，借助几何画板演示轨迹变化的动画过程，从而使
【数学】2.2.1 双曲线及其标准方程 课件1(人教A版选修1-1)
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
( x c)
2
2Hale Waihona Puke 2y2 2a
2
( x c) y
2
2
2
cx a a ( x c) y
2
2 2 2 2 2 2
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2
(4) 4 x 3 y 1
2 2
x2 y2 1 9 16
x y (5) 2 2 1(m 0) m m 1
2
2
请求出下列双曲线的 a、b、c和它们的焦点坐标。
x2 y 2 (1) 1 3 2
a 3, b 2, c 5 F1 ( 5, 0), F2 ( 5, 0)
（1）a=3,b=4，焦点在x轴上；
解： 焦点在x轴上.
x2 y 2 可设所求双曲线方程为 2 2 1 a b
由题意得
a=3,b=4
x2 y 2 所求双曲线方程为 1 9 16
(2)求适合下列条件的双曲线的标准方程： a 2 5, 经过点A(2, 5), 焦点在y轴上；
解： 焦点在y轴上.
可设所求双曲线方程为
a 2 5 由题意得： 25 4 2 2 1 b a
所求双曲线方程为
2
y2 x2 2 1 2 a b
解得 b 2 16
y x 1 20 16
2
（3）若a=6，c=10，焦点在坐标轴上。
解：
a 6, c 10 b c a 64
第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程
人教版高中数学选修1-1-2.2 双 曲 线 2.2.1 (2)ppt课件
所以可设双曲线的方程为 y 2 =x 21(a>0,b>0), 又双曲线经过点(0,2)与( a 2 ),b 2
5,2 2
22
所以a2
b022
2
1,
2
所以双2曲a22线方 程b52为
，所以ab22 1 y 2 x 2 1.
4, 5，
45
(2)因为焦点在x轴上,c= 6 ,
4y24x2 1(y1).
3
2
(变换条件)本典例(2)中条件改为动圆M与☉C1: (x+3)2+y2=9外切,且与☉C2:(x-3)2+y2=1内切,求圆心M 的轨迹方程.
【解析】因为☉M与☉C1外切,且☉M与☉C2内切,所以
|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,因此|MC1|-|MC2|=4,所以点M的
a2 b2 6， 2 2
答案:
( 6 ,0 ). 2
( 6 ,0) 2
4.已知双曲线 x 2 y 2 =1上一点P到双曲线的一个焦点 9 16
的距离为3,则P到另一个焦点的距离为________.
【解析】设双曲线的两个焦点为F1,F2, |PF1|=3,所以P在靠近F1的一支上. 因为|PF2|=|PF1|+2a=3+6=9. 所以P到另一个焦点的距离为9. 答案:9
2.在画出双支曲线(双曲线)的过程中有哪些不变的量?
用文字语言描述:两边的长度差不变,即动点到两定点
的距离差不变.
⇓
用符号语言描述:________________(其中__为动点,
_____为定点,___为||定MF长1|-)|MF2||=2a
M
F1,F2
2a
【数学】2.2.1 双曲线及其标准方程 课件2(人教A版选修1-1)
∴ b2 = 52-42 =9 x2 y2 1 所以所求双曲线的标准方程为：
2
2
16
9
1、双曲线的定义
小 结
2、双曲线的标准方程及应用 3、求解双曲线的方程
第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程
一 、 复 习 与 回 顾
1、椭圆的定义
F 平面内与两个定点 F1， 2 的距离之和等 | 于常数（大于| F1 F2 ）的点轨迹叫做椭 圆
2、椭圆的标准方程
x y 2 1 2 a b
2
2
或
y x 2 1 2 a b
2
2
二 平面内与两个定点F1，F2的距离的差 、 的绝对值 等于常数 2a （小于︱F1F2︱）的 双 点的轨迹叫做双曲线. 曲 M 线 ① 两个定点F1、F2—— 的 双曲线的焦点; o F F 定 1 2 义 ② |F1F2|=2c ——焦距.
例、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距 五 离的差的绝对值等于8，求双曲线的 、 标准方程. 解:根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为 典
型 例 题
x y 2 1 (a 0, b 0) 2 a b
∵ 2a = 8, c=5 ∴ a = 4, c = 5
y
P
1
o
F2
x
三 、 双 y 3.列式． 曲 线 o F |PF1 - PF2|= 2a 的 标 准 即 | (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 | = 2a 方 程 4.代点化简.
1
P
F2
x
三 、 双 曲 线 的 标 准 方 程
移项两边平方后整理得：
2
2
16
9
1、双曲线的定义
小 结
2、双曲线的标准方程及应用 3、求解双曲线的方程
第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程
一 、 复 习 与 回 顾
1、椭圆的定义
F 平面内与两个定点 F1， 2 的距离之和等 | 于常数（大于| F1 F2 ）的点轨迹叫做椭 圆
2、椭圆的标准方程
x y 2 1 2 a b
2
2
或
y x 2 1 2 a b
2
2
二 平面内与两个定点F1，F2的距离的差 、 的绝对值 等于常数 2a （小于︱F1F2︱）的 双 点的轨迹叫做双曲线. 曲 M 线 ① 两个定点F1、F2—— 的 双曲线的焦点; o F F 定 1 2 义 ② |F1F2|=2c ——焦距.
例、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距 五 离的差的绝对值等于8，求双曲线的 、 标准方程. 解:根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为 典
型 例 题
x y 2 1 (a 0, b 0) 2 a b
∵ 2a = 8, c=5 ∴ a = 4, c = 5
y
P
1
o
F2
x
三 、 双 y 3.列式． 曲 线 o F |PF1 - PF2|= 2a 的 标 准 即 | (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 | = 2a 方 程 4.代点化简.
1
P
F2
x
三 、 双 曲 线 的 标 准 方 程
移项两边平方后整理得：
2017版高中数学选修1-1(课件)：2.2 双 曲 线 2.2.1 双曲线及其标准方程
准方程.它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1(c,0),F2(c,0)的双曲线，这里c2=a2+b2.
第十一页，编辑于星期六：三点 二十五分。
想一想：焦点在y轴上的双曲线的标准方程应该是什么？ 我们应该如何求解？
y2 a2
x2 b2
（1 a
0,b
0).
第十二页，编辑于星期六：三点 二十五分。
【总结提升】
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
PA PB 340 2 680， 即 2a=680，a=340.
又 AB 800， 所以 2c=800,c=400,
b2 c2 a2 44 400，
y P
A o Bx
第十七页，编辑于星期六：三点 二十五分。
因 为 PA PB 340 2 680 0,所 以 x 0.
解:再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得
的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这 两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这 是双曲线的一个重要应用.
第十九页，编辑于星期六：三点 二十五分。
1．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足 |PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹
两 边 同 除 以 a 2(c 2 a 2 ),得
x2 a2
y2 c2 a2
1.
第十页，编辑于星期六：三点 二十五分。
由双曲线的定义知，2c>2a>0,即c>a,故c2-a2>0, 令c2-a2=b2,其中b>0,代入上式，得：
x2 y2 a 2 b 2 1(a 0, b 0).
上面方程是双曲线的方程,我们把它叫做双曲线的标
因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为
第十一页，编辑于星期六：三点 二十五分。
想一想：焦点在y轴上的双曲线的标准方程应该是什么？ 我们应该如何求解？
y2 a2
x2 b2
（1 a
0,b
0).
第十二页，编辑于星期六：三点 二十五分。
【总结提升】
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
PA PB 340 2 680， 即 2a=680，a=340.
又 AB 800， 所以 2c=800,c=400,
b2 c2 a2 44 400，
y P
A o Bx
第十七页，编辑于星期六：三点 二十五分。
因 为 PA PB 340 2 680 0,所 以 x 0.
解:再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得
的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这 两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这 是双曲线的一个重要应用.
第十九页，编辑于星期六：三点 二十五分。
1．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足 |PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹
两 边 同 除 以 a 2(c 2 a 2 ),得
x2 a2
y2 c2 a2
1.
第十页，编辑于星期六：三点 二十五分。
由双曲线的定义知，2c>2a>0,即c>a,故c2-a2>0, 令c2-a2=b2,其中b>0,代入上式，得：
x2 y2 a 2 b 2 1(a 0, b 0).
上面方程是双曲线的方程,我们把它叫做双曲线的标
因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为