高等结构动力学讲义

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rk rk q1, q2 ,..., qn
（质点 k 的矢径）
稳定约束。所以有
n n drk rk dqi r i Vk k q dt dt i 1 qi i 1 qi
系统动能等于各质点动能之和
显然 mij m ji 是对称的。则T是关于广义速度的二次型，由于T>0，是正定二次型，则M正定对称的。
m
cij c ji 是对称的， 0
rk rk 1 n n m i q j k q 2 i 1 j 1 qi q j k 1 1 n n 1 T i q j q Cq cij q 2 i 1 j 1 2
iT M j 0
代入（3）式有
iT K j 0
当i j 时令其为
（4）式恒成立，通常
iT Mi 0
Mi iT Mi ，
称为第 i 阶模态质量，同理
ki iT Ki ，
称为第 i 阶模态刚度，且有（由（3）式）：
Ki Mi
T i 2 T i i
7 l 13 31 12 EI
作用单位力后在 mi 上产生的位移，用 ij 表示。
.. .. .. y1 F1 m1 y1 11 F2 m2 y 2 12 F3 m3 y3 13
.. .. .. y2 F1 m1 y1 21 F2 m2 y 2 22 F3 m3 y3 23
对于 m 个质点的质点系，共约束是 r 个，那么广义坐标系 n＝3m－r 个，也就是有 n 个自由度数。
刚体在空间运动有六个 DOF
有限单元法将连续体离散成若干有限单元构成

高等结构动力学2

exp(ξωτ ) cos ω Dτdτ mω D ∫0 exp(ξωt ) 1 t exp(ξωτ ) ( ) B(t ) = p τ sin ω Dτdτ ∫ 0 mω D exp(ξωt ) 1
t
p (τ )
数值积分递推计算公式：v N = AN sin ω D t N − B N cos ω D t N 矩形公式：曲边梯形：
AN = AN −1 exp( −ξω∆τ ) +
二次曲线： AN = AN −2 exp(−ξω∆τ )
+ ∆τ 3mω
∆τ y N −1 exp(−ξω∆τ ) mω D ∆τ [ y N −1 exp(−ξω∆τ ) + y N ] AN = AN −1 exp( −ξω∆τ ) + 2 mω D
FFT计算法则(续) ③ WNnm计算方法
(2 nm WN = WN
γ −1
nr −1 + 2γ − 2 nr − 2 +L+ n0 )( 2γ −1 mr −1 + 2γ − 2 mr − 2 +L+ m0 )
∵
a +b a b WN = WN WN
∴ W
nm N
=W
( 2γ −1 nr −1 + 2γ − 2 nr − 2 +L+ n0 )( 2γ −1 mr −1 ) N
1.1 无阻尼精确解(续)
广义卷积(General Convolution Integral)：
v(t ) = p(τ )h(t − τ )dτ
0
∫
t
(t ≥ 0)
单位脉冲响应函数(Unit-Impulse Response Function)：

高等结构动力学

ED、FD和M — 地震谱密度水平，通常可以忽略
SC — 地基土对地震谱影响
ξ — 阻尼比
T — 周期
同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系
3.1确定合适的地震输入(续) ¾响应谱简化 S = S (SC ,ξ , T )
结论：地震土越硬，卓越周期越小，带宽越小
同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系
&& }+ [C ]{∆δ & }+ [K ]{∆δ } = {∆p(t )}+ {p T (t )} [M ss ]{∆δ vs ss vs ss vs
&& }− ([C ]{∆δ& }+ [C ]{∆δ& }) {∆p(t )} = −[M ss ]{∆δ ps ss ps sg g
&& (t )}− [C ]{∆δ& (t )}− {F (t )} {p (t )} = {p(t )}− [M ]{∆δ
概率性线性地震反应分析各态平稳随机过程自相关函数、功率谱密度、概率分布概率性非线性地震反应分析
同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系
小结
桥梁地震反应分析
实际地震波输入确定合适的地震输入模拟地震波输入分步计算增量方程建立系统的数学模型静力平衡解耦方程非线性地震时程分析选择有效的求解方法逐步积分法求解
同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系
1. 桥梁抗震设计现状(续)
1.3 引起震害原因
¾地震问题砂土液化、地基下沉、岸坡滑移或开裂 ¾结构问题形式、构造或连接措施不当引起的落梁 ¾地震力分布问题桥梁各支承点的地面运动不一致 ¾设计问题墩柱本身抗震能力不足造成的破坏

高等结构动力学

1
Input Loads System
output Response
3、结构系统的辨识和参数估计动力学的拟问题
Input Loads
？
output Response
（1）已知input 和output，识别结构参数（2）已知input满足一定假设，output可测，识别结构参数（3）Health mornitoring:a、有无结构失效 b、损伤位置 c、损伤程度
3
Special topic I:Dynamic response 动态响应
4
5
6
7
不同方法计算whipping响应的比较
8
Springing analysis
激励频率
固有频率
9
In whipping and springing there are
10
11
12
通过分析结构能量传递途径，采用改变结构参数实现抑制振动向目标区域传递
IMPULSIVE PRESSURE LOADING 26 AND RESPONSE ASSESSMENT(V.7)
Damaged structure due to Sloshing晃荡引起的结构损伤
Damaged corrugation
Impacted Area
27
IMPULSIVE PRESSURE LOADING 27 AND RESPONSE ASSESSMENT(V.7)
受脉冲压力载荷（砰击、晃荡、上浪等）作用的船体结构的设计总是一件棘手的事情。到目前为止，脉冲载荷引起的结构损坏还是时有发生，表明船级社现行的相关规范需要进一步改进。

When the duration of an impulsive pressure loading is much shorter than the natural period of the impacted structure, the impulse may represent the loading. However, if the duration is long enough as compared to the natural period, the amplitude of pressure may play an important role.

结构动力学课件PPT

地震作用
200 0 -200
t(sec)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
结构在确定性荷载作用下的响应分析通常称为结构振动分析。结构在随机荷载作用下的响应分析，被称为结构的随机振动分析。本课程主要学习确定性荷载作用下的结构振动分析。
§1-3 动力问题的基本特性
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性
元件中）分布弹性（弹性变形在整个结构或某些元件上连续形成）只要可假定只有单一形式的位移，使得结构按照单自由度体系运动，就可以按照单自由度体系进行分析。
E2-1
A
x
x p( x,t ) = p a ( t )
1
令：
5l FE (t ) q(t ) 8

y FE (t )
FE(t) 定义为体系的等效动荷载或等效干扰力。其通用表达式
P FE (t )
含义：等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与
实际动荷载产生的位移相等！
已经知道柔度和刚度k 之间的关系为： k 表达式成为：
简支梁：比较：刚架：基本质量弹簧体系：
大型桥梁结构的有限元模型
§1-5 运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移随时间变化的规律。建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
（2-3）
刚度法: 取每一运动质量为隔离体，通过分析所受的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方程，得到体系的运动方程。

高等结构动力学【教程】pdf格式

θx ,θy ,θz λ
u 位移向量
Λ
µ
υ ζ, ζ s , ζ a ρ
σ x ,σ y ,σ z , σ
2 2 σ2 x , σ B ( E ), σ D ( E )
V , Vx , V y , Vz
&, w && w, w We , Wi
τ τ xy
φ
& ,Y && , Y Ym , Y m m
D EI f gB , gD G h H ( n)
i I
薄板的弯曲刚度梁的弯曲刚度频率非共振峰因子，共振峰值因子地震风险分析中的几何系数；Lame 常数震源深度接受率
−1 修正的 Mercalli 烈度；冲量 P(t )dt ；重要度系数（地震设计）刚度，刚度矩阵，广义坐标下的刚度
8．移动荷载
1
1.2 振动的物理特性
发生在特定的频率范围。运动的车辆可以按照在其静止的重量上增加一个冲压作用，实践表明这种做法对于一般高速公路和铁路桥设计是可行的，但是在超高速移动的荷载作用下不一定行得通。机器设备的振动、爆炸和打桩引起的振动必须借助于动力分析和实验解决。
在很多设计规范中找到，其他类型的荷载不那么常见，有关数据需要查阅相关的研究文献。本课程的其中一个目标是讨论最重要的几种荷载的动力特性，为进行相关的动力学分析和研究打下基础。
2．单自由度系统的振动
2．1 引言 2．2 运动方程 2．3 自由振动 2．4 阻尼 2．5 周期激励下的结构响应 2．6 任意激励下的结构响应 2．7 Duhamel 积分 2．8 支座运动 2．9 运动方程的直接积分法
5．地震作用及分析
5．1 引言 5．2 地震的特性 5．3 地震危险性 5．4 反应谱 5．5 地震作用的计算分析

同济大学高等结构动力学课件(全)

车辆振动作用地震振动作用风致振动作用
同济大学土木工程防灾国家重点实验室、同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系
主要内容
第一讲单自由度系统自由振动第二讲单自由度系统强迫振动第三讲广义单自由度叠加方法第四讲广义单自由度分步方法第五讲多自由度系统动力问题第六讲特征值问题求解方法第七讲随机振动基础第八讲结构随机振动分析第九讲结构动力可靠性分析第十讲桥梁车辆振动作用第十一讲桥梁地震振动作用第十二讲桥梁风致振动作用
阻尼比计算：
2πξω vn = exp vn +1 ωD
Hale Waihona Puke 两边取对数： δ ≡ ln vn = 2πξ ≈ 2πξ = c
ξ≈
vn +1 1−ξ v n − v n +1
2mf
2πv n +1
ξ≈
vn − vn+m 2mπv n + m
振幅衰减值：振幅减小50％的振动次数
1. 1结构重力影响(续)
&&(t ) + cv &(t ) + k∆ st + kv (t ) = p (t ) + W mv
∵ k∆ st = W ∴ ∵ ∴
&&(t ) + cv &(t ) + kv (t ) = p (t ) mv
&&(t ) , v & (t ) &&(t ) = v ν &(t ) = v
A = 0，
B=− p0 β k 1 1 − β 2
无阻尼系统通解：
p v(t ) = 0 k 1 1 − β 2 (sin ω t − β sin ωt )

东南大学结构动力学课件

第十章结构动力学
(Dynamics)
§10-1 绪论 § 10-1 绪论一.动荷载的定义
大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力与外荷载相比不可忽视的荷载。自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷载相比很小，分析时仍视作静荷载。静荷载只与作用位置有关，而动荷载是坐标和时间的函数。
第二类问题：参数（或称系统）识别输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）
第三类问题：荷载识别。输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）
第四类问题：控制问题输入（动力荷载）结构（系统）控制系统（装置、能量）输出（动力反应）
（二）. 结构动力学的任务讨论结构在动力荷载作用下反应的分析方法。寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。 §10-2 结构动力分析中的动力自由度一. 动力自由度的定义确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度。
q = qo = sin θt
∑M
&& mθ
B l
2
B
=0
2 3 2
3l
m A
B
m/3 C D
2 & & 4 + kθ B ⋅ l + 4 m ⋅ θ B l = ∫ x ⋅q0 ⋅ sin θt ⋅ dt
kyC
0
m
3
& &D y
其中 q0 sin θt ∫0
3l
2
2 3 l 9 q l x ⋅ dx = q0 2 sin θt ( ) 2 = 0 sin θt 2 8

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4 mm/s
2 mm/s
6 mm/s
3 mm/s
8 mm/s
4 mm/s
Note: The zone between upper and lower values reflects the shipboard vibration environment commonly experienced and accepted. Three different classification areas are presented: Classification A; Classification B; Classification C. For guidance, Classification A can be passenger cabins, Classification B crew accommodation areas, and Classification C working areas. 6
虚位移原理
11
第1章
单自由度系统
第 1-1 节运动方程建立
哈密顿原理
12
第 1 章单自由度系统 1-2 无阻尼系统自由振动
13
第 1 章单自由度系统 1-2 无阻尼系统自由振动
固有频率计算——直接法
14
第 1 章单自由度系统 1-2 无阻尼系统自由振动
固有频率计算——静伸长法
15
第 1 章单自由度系统 1-2 无阻尼系统自由振动
第0章
绪论
结构系统的控制
主动控制
控制方法被动控制振源控制控制方法传播控制
7
第0章
绪论
结构动力优化设计
灵敏度分析
内容
8
第 1 章单自由度系统 1-1 运动方程建立
系统振动时，确定任意时刻全部质量位移所需要的独立的几何参变量的数目—结构系统的动力自由度。
描述结构系统动力位移的数学表达式—结构的运动方程。运动方程的解—振动的位移历程。
34
第 3 章有限元法 3-8 杆纵向振动
35
第 3 章有限元法 3-8 杆纵向振动
36
第 3 章有限元法 3-9 杆横向振动
37
第 3 章有限元法 3-9 杆横向振动
38
第 3 章有限元法 3-9 杆横向振动
39
第 3 章有限元法 3-9 杆横向振动
40
第 3 章有限元法 3-10 平面刚架振动
58
第 4 章结构特征问题求解 4-6 矢量逆迭代法
作业2
用矢量逆迭代法求前三阶特征对
59
第 4 章结构特征问题求解 4-7 结构特征问题求解 4-7 子空间迭代法
61
第 4 章结构特征问题求解 4-7 子空间迭代法
62
第 5 章结构动态响应分析 5-1 概述
69
第 5 章结构动态响应分析 5-4 Houbolt法
70
第 5 章结构动态响应分析 5-5 线加速度法
71
第 5 章结构动态响应分析 5-6 Wilson-θ法
72
第 5 章结构动态响应分析 5-6 Wilson-θ法
作业3 确定系统响应历程
x 2 0 1 6 2 x1 0 0 1 2 4 x 10 x2 2
27
第 2 章离散体动力方程 2-2 瞬时最小势能原理
28
第 2 章离散体动力方程 2-2 瞬时最小势能原理
29
第 2 章离散体动力方程 2-2 瞬时最小势能原理
30
第 2 章离散体动力方程 2-3 Hamilton原理
31
第 2 章离散体动力方程 2-4 质量矩阵、阻尼矩阵
32
1
第0章
绪论
周期载荷
外载荷分析

随机性载荷确定性载荷
瞬态载荷
低阶激励（周期载荷）高阶激励（周期载荷）轴频激励（周期载荷）
主机激励
螺旋桨激励
叶频激励（周期载荷）倍叶频激励（周期载荷）波击（周期载荷）
波浪激励
砰击（瞬态载荷）拍击（瞬态载荷）
流体激励
涡击（周期载荷）地震（瞬态载荷）
2
其他激励
加权残值法——配点法、子域法、最小二乘法、加辽金法
25
第 2 章离散体动力方程 2-1 动力分析中离散方法
26
第 2 章离散体动力方程 2-1 动力分析中离散方法
变分法
是研究泛函取极值的方法。从能量的观点出发，考察结构的变形和内力，应用变分方法，得到所谓的能量变分原理。主要有瞬时最小势能原理和 Hamilton原理。 *有限元法有限元法的基础：变分原理与计算机技术；它不同于加权残值法、李茨法等，它不是在整个域内取试函数，而是在有限域内取试函数。 *关于P法、H法、P-H法
第0章
绪论
结构系统的动力响应

对给定的结构系统，求响应与激励的关系
线性系统（应力—应变关系服从胡克定律，可用叠加原理）非线性系统（应力—应变关系不服从胡克定律，不可用叠加原理）
结构系统
包括：几何非线性、状态非线性、材料非线性
结构系统
无反馈系统（开环系统）
有反馈系统（闭环系统）如：流固耦合系统时变系统（与时间有关）如：动态有限元时不变系统（与时间无关）保守系统（不考虑阻尼）非保守系统（考虑阻尼）
80
第 6 章动态子结构法 6-2 固定界面法
81
第 6 章动态子结构法 6-2 固定界面法
82
第 6 章动态子结构法 6-3 自由界面法
83
第 6 章动态子结构法 6-3 自由界面法
84
第 6 章动态子结构法 6-3 自由界面法
85
3
结构系统
结构系统
第0章
绪论
方法
有限单元方法 SAP ADINA NASTRAN MARC ANSYS ABAQUS SACS NAUTICUS 固有特性计算（包括固有频率和振型）响应计算
内容
4
第0章
绪论
系统辩识与参数识别

结构动力学的逆问题（反问题）
故障诊断
依靠现代实验手段，海底石油管道、平台桩腿等
63
第 5 章结构动态响应分析 5-2 模态迭加法
64
第 5 章结构动态响应分析 5-2 模态迭加法
65
第 5 章结构动态响应分析 5-2 模态迭加法
66
第 5 章结构动态响应分析 5-3 中心差分法
67
第 5 章结构动态响应分析 5-3 中心差分法
68
第 5 章结构动态响应分析 5-4 Houbolt法
第 3 章有限元法 3-1 杆纵向振动质量矩阵
33
第 3 章有限元法 3-1 杆纵向振动质量矩阵
3-2 梁单元的质量矩阵（《船体振动学》P171） 3-3 平面问题中的三角形板单元质量矩阵（《机床结构计算的有限元法》P152） 3-4 平面问题中的矩形板单元质量矩阵（《机床结构计算的有限元法》P152） 3-5 板弯曲问题中的矩形板单元质量矩阵（《机床结构计算的有限元法》P152） 3-6 板弯曲问题中的三角形板单元质量矩阵（《机床结构计算的有限元法》P152） 3-7 平面问题和弯曲问题组合时矩形板单元质量矩阵（《机床结构计算的有限元法》P152）
20
第 2 章离散体动力方程 2-1 动力分析中离散方法
直接法
21
第 2 章离散体动力方程 2-1 动力分析中离散方法
差分法
22
第 2 章离散体动力方程 2-1 动力分析中离散方法
加权残值法
23
第 2 章离散体动力方程 2-1 动力分析中离散方法
24
第 2 章离散体动力方程 2-1 动力分析中离散方法
41
第 3 章有限元法 3-10 平面刚架振动
42
第 3 章有限元法 3-10 平面刚架振动
43
第 3 章有限元法 3-10 船舶板架振动
44
第 3 章有限元法 3-10 船舶板架振动
45
第 3 章有限元法 3-11 船体总振动
船体总振动

一维模型二维模型三维模型
46
直接平衡法
运动方程建立虚位移原理——作用在系统上的所有力在发生虚位移时所做的总功等于零哈密顿原理——在任何时间区段t1-t2内，动能和位能的变分加上所考虑的非保守力所做功的变分必然等于零
9
第1章
单自由度系统
第 1-1 节运动方程建立
直接平衡法
10
第1章
单自由度系统
第 1-1 节运动方程建立
固有频率计算——能量法
16
第 1 章单自由度系统 1-3 有阻尼系统自由振动
17
第 1 章单自由度系统 1-4 简谐载荷作用动力响应
18
第 1 章单自由度系统 1-5 基础简谐运动作用响应
19
第 2 章离散体动力方程 2-1 动力分析中离散方法
离散方法

直接法差分法加权残值法变分法
第 3 章有限元法 3-11 船体总振动
作业1
设计一梁，求其固有频率和振型。
47
第 4 章结构特征问题求解 4-1 概述
48
第 4 章结构特征问题求解 4-1 概述
49
第 4 章结构特征问题求解 4-1 概述
50
第 4 章结构特征问题求解 4-2 多项式迭代法
51
第 4 章结构特征问题求解 4-3 Sturm序列法
73
第 5 章结构动态响应分析 5-7 Newmark法