等式与方程
《等式与方程》 知识清单
《等式与方程》知识清单一、等式的定义和性质1、等式的定义等式是表示两个数、表达式或算式之间相等关系的数学语句。
例如：3 ＋ 5 ＝ 8，a ＝ b 等。
2、等式的基本性质（1）等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。
比如：若 a ＝ b，则 a ＋ c ＝ b ＋ c，a c ＝ b c。
（2）等式两边同时乘（或除以）同一个不为 0 的整式，等式仍然成立。
假设 a ＝ b，当c ≠ 0 时，ac ＝ bc，a÷c ＝ b÷c。
（3）对称性：若 a ＝ b，则 b ＝ a。
（4）传递性：若 a ＝ b，b ＝ c，则 a ＝ c。
二、方程的定义方程是含有未知数的等式。
方程必须具备两个条件：一是等式，二是含有未知数。
例如：2x ＋ 3 ＝ 7 是方程，而 2 ＋ 3 ＝ 5 不是方程，因为它不含有未知数。
方程中的未知数通常用字母表示，如 x、y、z 等。
三、方程的分类1、按照未知数的个数分类（1）一元方程：只含有一个未知数的方程，如 x ＋ 5 ＝ 9。
（2）二元方程：含有两个未知数的方程，如 x ＋ y ＝ 10。
（3）多元方程：含有三个或三个以上未知数的方程。
2、按照未知数的次数分类（1）一次方程：未知数的最高次数是 1 的方程，形如 ax ＋ b ＝ 0（a ≠ 0）。
（2）二次方程：未知数的最高次数是 2 的方程，如 ax²＋ bx ＋ c＝ 0（a ≠ 0）。
（3）高次方程：未知数的最高次数高于 2 的方程。
四、解方程的步骤1、去分母（如果方程中有分母）在方程两边同时乘以分母的最小公倍数，将分式方程化为整式方程。
2、去括号（如果方程中有括号）使用乘法分配律去掉括号，注意符号的变化。
3、移项将含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，移项时要变号。
4、合并同类项将方程中的同类项合并，简化方程。
5、系数化为 1方程两边同时除以未知数的系数，求出未知数的值。
方程和等式之间的关系
方程和等式之间的关系方程和等式是数学中的重要概念，它们在解决实际问题和描述数学关系中起着关键作用。
方程和等式之间存在紧密的联系，它们既是数学语言中的重要组成部分，又具有深刻的数学内涵。
在本文中，我们将探讨方程和等式之间的关系，并通过具体例子来说明它们在数学中的应用。
让我们来了解方程和等式的定义。
方程是指包含未知数的数学表达式，其形式为“等号两边有表达式”的形式。
等式是方程的一种特殊形式，它要求等号两边的表达式的值相等。
可以说，等式是方程的一种特殊情况。
例如，2x + 3 = 7就是一个方程，而2x + 3 = 5就是一个等式。
方程和等式在数学中有着广泛的应用。
它们是解决实际问题的有力工具，可以用来描述各种数学关系。
例如，在代数中，我们可以通过方程和等式来解决未知数的问题。
通过建立方程和等式，我们可以求解未知数的值，从而解决各种实际问题。
这些问题可以涉及到各个领域，如物理、化学、经济等。
通过方程和等式，我们可以建立数学模型，对实际问题进行分析和求解。
在数学中，方程和等式的解是非常重要的。
解是指使方程或等式成立的未知数的值。
通过解方程和等式，我们可以求解未知数的值，并得到准确的结果。
解方程和等式的方法有很多种，如代入法、消元法、配方法等。
每种方法都有其适用的情况和使用的技巧。
通过灵活运用这些方法，我们可以解决各种复杂的数学问题。
方程和等式还可以用来描述数学关系。
数学关系是指数学中的各种关系，如等差数列、等比数列、函数关系等。
通过建立方程和等式，我们可以准确地描述数学关系，并分析其性质和规律。
例如，在等差数列中，通过建立等式，我们可以求解出数列中的任意一项的值。
在函数关系中，通过建立方程，我们可以求解函数的零点和极值，进而分析函数的图像和性质。
方程和等式的应用还可以延伸到其他数学领域，如几何、概率等。
在几何中，方程和等式可以用来求解各种几何问题，如求解直线与平面的交点、求解圆与直线的交点等。
在概率中，方程和等式可以用来描述事件的概率，通过求解方程和等式，我们可以计算出事件发生的概率，并进行概率的推导和分析。
等式和方程的解法
等式和方程的解法等式和方程是数学中常见的概念，它们在解决各种实际问题和理论推导中起着重要的作用。
在本文中，我们将探讨等式和方程的不同解法以及它们在数学中的应用。
一、等式的解法等式是指两个表达式的值相等。
解一个等式就是找到使等式成立的未知数的值。
在解等式时，我们可以使用逆运算、等式性质和等价变形等方法。
1.1 逆运算逆运算是指将等式两边同时进行相反的运算，从而保持等式的平衡。
常见的逆运算有加法的逆运算减法、乘法的逆运算除法等。
例如，对于等式2x + 5 = 15，我们可以通过逆运算的方式解出未知数x的值。
1.2 等式性质等式性质是指等式成立的基本性质。
根据等式性质，我们可以进行等式的变形，以便更容易解出未知数的值。
常见的等式性质包括交换律、结合律和分配律等。
例如，对于等式3x + 4 = 7 + x，我们可以利用结合律将等式变形为2x = 3，进而解出未知数x的值。
1.3 等价变形等式的等价变形是指通过一系列等式的变换，将原等式转化成一个与之等价的新等式，从而解出未知数的值。
等价变形的常见方法有合并同类项、消去离去项等。
例如，对于等式2(x + 1) = 3(x - 2)，我们可以通过合并同类项和消去离去项的变形，得到2x + 2 = 3x - 6，然后再用其他方法解出未知数x的值。
二、方程的解法方程是指等号连接的含有未知数的代数式。
解一个方程就是找到使方程成立的未知数的值。
在解方程时，我们可以使用逆运算、代入法和配方法等方法。
2.1 逆运算与解等式时的逆运算类似，我们可以对方程两边同时进行逆运算，从而解出未知数的值。
例如，对于方程3x - 5 = 7，我们可以通过加上5再除以3的逆运算，解出未知数x的值。
2.2 代入法代入法是指将一个已知的值代入方程中，检验方程是否成立，进而解出未知数的值。
代入法适用于一元一次方程组等情况。
例如，对于方程4x + 3y = 10和2x - y = 5，我们可以通过代入已知的x和y的值，来解出未知数x和y的值。
等式与方程（精品教案）[大全5篇]
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等式与方程（精品教案）[大全5篇]第一篇：等式与方程(精品教案)等式与方程（精品教案）教学内容：教科书第1-2页的例1、例2，试一试和练一练及练习一的1～3题。
教学目标：1．理解并掌握等式和方程的意义，体会方程与等式间的关系。
会列方程表示事物之间简单的数量关系。
2．在观察、分析、比较、抽象、概括和操作交流中，经历将现实问题抽象成等式与方程的过程，积累将现实问题数学化的活动经验。
3．有机结合地方教育资源、我国在方程史上的贡献等内容渗透健康生活方式，爱家乡、爱祖国的数学文化等积极情感，增强民族认同感。
教学重点经历从现实问题情境中抽象出方程的过程，理解方程的本质。
教学难点会用方程表示事物之间简单的数量关系。
教学准备：例1、例2挂图，实物投影仪教学过程一、认识等式1．谈话：同学们，今天老师给大家带来了一位朋友，它叫（天平）。
（结合课件演示）小明在天平的两边放上砝码，天平（平衡了）。
你能用式子表示天平左右两边物体的质量关系吗？（50＋50＝100）还可以怎样表示？（50×2＝100）2．揭示：像这样左右两边相等的式子，我们把它叫做等式。
提问：这两个等式左边表示的是什么？右边呢？它们之间是（相等的）关系。
3．提问：小明从天平的左边拿走了一只砝码，这时候还能用等式表示两边物体的质量关系吗？那该怎样表示左右两边物体的质量关系呢？（50＜100，100＞50）【设计意图：从学生熟悉的天平平衡的直观情境出发，经历从自然语言描述事件到数学语言描述的过程，体会等号左边的算式和右边的数表示两个相等的量，它们的地位是均等的，突破原有等号作为表示运算结果时出现的符号的认识。
又通过对不平衡的情境的数学化表达，丰富对数量之间关系的认识。
】二、认识方程1．用含用未知数的式子表示质量关系猜想：为了让天平达到平衡，小芳准备在天平的左边放一个物体。
如果把把这个物体放下来，可能会出现哪些情况呢？怎样用式子表示这里（指其中平衡的情况）左右两边物体的质量关系呢？学生尝试用含有字母的式子表示。
等式与方程的区别与联系_概述说明以及概述
等式与方程的区别与联系概述说明以及概述1. 引言：1.1 概述：等式和方程是数学中非常重要的概念，它们在解决数学问题和现实生活中的各种问题时发挥着关键作用。
尽管等式和方程有一些共同之处，但它们也有一些区别。
本文旨在比较和说明等式与方程的区别与联系，并探讨它们在数学领域和实际应用中的差异。
1.2 文章结构：本文将按照以下结构来论述等式与方程的区别与联系：- 第二部分将对等式与方程的定义、特点以及解的概念和存在性进行详细说明。
- 第三部分将重点讨论等式与方程之间的区别，包括形式上的区别、意义上的区别以及在数学领域中应用上的差异。
- 第四部分将探讨等式与方程之间的联系，包括等式可以看作一种简单类型的方程、方程可以看作一种广义形式的等式，以及复杂问题中同时存在等式和方程。
- 最后一部分将总结等式与方程之间的关系，并强调它们在数学和现实中的重要性，并提出进一步研究等式和方程相关问题的建议。
1.3 目的：本文旨在帮助读者更好地理解等式与方程的概念、区别与联系，并认识到它们在数学领域和实际应用中的作用和重要性。
通过深入分析等式与方程的特点，我们可以为解决各种数学问题提供更有效的方法和思路，并将这些概念应用到实际生活中，解决现实中遇到的各种问题。
2. 等式与方程的区别与联系2.1 定义和特点等式和方程都是数学中常见的概念，它们之间存在着一定的区别和联系。
首先，我们来看它们的定义和特点。
等式是指两个表达式相等的关系，通常用“=”符号连接两个表达式。
在一个等式中，左边的表达式和右边的表达式具有相同的值。
方程是指包含未知数的等式。
在一个方程中，除了含有已知数或已知量外，还包含一个或多个未知数，并且方程中至少存在一个未知数。
通过解方程可以求得未知数的值。
2.2 解的概念和解的存在性等式和方程都涉及到解的概念。
对于一个等式，当找到满足等号两侧表达式相等的值时，这个值就叫做该等式的解。
例如，在等式3x + 5 = 14中，当x取值为3时，就满足了等号两侧相等。
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等式与方程
知识点总结
一、方程的有关概念：
1.含有未知数的等式叫做方程。
要判断某式是否是方程，要抓住两点：（1）是否是等式；（2）是否含有未知数。
2.使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解（根）。
即方程的解就是代入方程可以使等式成立未知数的值。
3.求方程解的过程叫做解方程。
解方程的依据—等式性质
4.只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，系数不为0，这样的整式方程叫做一元一次方程。
常见考法
利用等式的性质变形。
误区提醒
（1）方程与等式的概念理解不透彻；（2）等式的性质应用错误。
【典型例题】若-m=4，则m=
【解析】根据等式性质2，等式两边同乘-1，得m=-4。
知识点精练
练习题一难易度：易
练习题二难易度：中
答案
1. 解析过程
在等式的两边都加、减、乘、除（0除外）的同一个数，结果还是等式，所以A、B、C都正确，故选D.
规律方法
在利用等式的基本性质给等式进行变形时，当等式的两边都除以一个单项式，一定要对单项式是不是零进行讨论，如果是零时，方程的两边不能除以这个单项式．
2. 解析过程
规律方法
利用等式的基本性质给方程进行变形时，一定要注意等式基本性质中所提到的注意点．。
等式和方程的应用
等式和方程的应用一、等式的概念与性质1.等式的定义：表示两个数或表达式相等的式子，用等号“=”连接。
2.等式的性质：a.两边同时加减同一个数，等式仍成立；b.两边同时乘除同一个非零数，等式仍成立；c.等式两边交换位置，等式仍成立；d.等式两边同时乘以或除以同一个数（0除外），等式仍成立。
二、方程的概念与解法1.方程的定义：含有未知数的等式，简称方程。
2.方程的解法：a.代入法：将方程中的未知数替换为具体的数值，求出方程的解；b.移项法：将方程中的未知数移到等式的一边，常数移到另一边，使未知数系数化为1；c.合并同类项法：将方程中的同类项合并，简化方程；d.因式分解法：将方程进行因式分解，求出方程的解；e.求根公式法：对于一元二次方程，利用求根公式求解。
三、方程的应用1.实际问题中的应用：a.行程问题：速度、时间和路程的关系；b.利润问题：售价、成本和利润的关系；c.浓度问题：溶质、溶剂和溶液的关系；d.比例问题：比例、外项和内项的关系。
2.方程在科学计算中的应用：a.物理中的力学问题：力、质量、加速度的关系；b.化学中的反应问题：反应物、生成物和反应速率的关系；c.生物学中的种群问题：种群数量、增长率的关系。
四、等式和方程在生活中的应用1.购物问题：计算商品总价、找零等；2.Time 问题：计算时间差、周期等；3.测量问题：计算长度、面积、体积等；4.分配问题：计算分配比例、分配数量等。
五、等式和方程的拓展应用1.函数关系式：用等式表示两个变量之间的关系；2.不等式：表示两个数或表达式的大小关系；3.系统方程：多个方程组成的求解体系。
习题及方法：1.等式性质习题：已知等式 2x + 3 = 13，求 x 的值。
答案：将等式两边同时减去3，得到 2x = 10，再将等式两边同时除以2，得到 x = 5。
解题思路：利用等式的性质，将常数项移到等式右边，未知数系数化为1。
2.方程解法习题：已知方程 5x - 8 = 2x + 1，求 x 的值。
等式方程知识点总结
等式方程知识点总结一、等式方程的基本概念1.1 等式与方程首先，我们需要明确等式与方程的概念。
等式是指两个表达式之间用等号连接起来的数学式子，例如：2x + 3 = 7就是一个等式。
而方程则是含有未知数的等式，例如：2x + 3 = 7就可以看作是一个包含未知数x的方程。
因此，方程是等式的一种特殊形式，它描述了未知数与已知数之间的关系。
1.2 等式方程的种类根据等式方程所含未知数的次数和方程的次数，等式方程可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程等多种类型。
其中，一元一次方程最为常见，它的一般形式可以表示为ax + b = c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
一元二次方程的一般形式则是ax^2 + bx + c = 0，其中a≠0。
1.3 等式方程的解解是指使得方程成立的未知数的取值，对一元一次方程来说，它的解就是使得等式两边相等的x的值。
对于一元一次方程ax + b = c，它的解可以表示为x = (c - b)/a。
而一元二次方程的解则需要用到求根公式。
二、等式方程的解法2.1 方程的移项变元法移项变元法是解一元一次方程最常用的方法之一。
其步骤是将方程两边的式子进行移项，使得方程的未知数x单独出现在一边，然后根据移项后等式仍然成立的原则，得出方程的解。
例如，对于方程2x + 3 = 7，首先将等式两边的常数项3移动到方程的右侧，得到2x = 7 - 3，然后再将系数2移到右侧，得到x = (7 - 3)/2，最终得到x = 2，这就是方程的解。
2.2 方程的加减法对于包含两个未知数的二元一次方程，可以利用方程的加减法来求解。
其基本思路是通过加减法使得两个方程的某一项消失，从而得到一个只含有一个未知数的方程，再利用移项变元法求解即可。
例如，对于方程2x + 3y = 7和3x - 2y = 1，可以通过将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数的系数，得到一个只含有一个未知数的方程，然后再利用移项变元法求解。
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等式与方程
教学内容：教材第1—2页的例1、例2以及相应的“试一试”“练一练”，练习一第1—3题。
教学目标：
1．让学生理解并掌握等式和方程的意义，体会方程与等式间的关系。
对于等式和方程能做出正确的判断，会列方程表示事物之间简单的数量关系。
2．让学生在观察、分析、比较、抽象、概括和操作交流中，经历将现实问题抽象成等式与方程的过程，积累将现实问题数学化的体验。
3．在活动中，培养学生良好的习惯，让学生获得成功的体验，进一步树立学好数学的信心，激发学习数学的兴趣。
教学重点：
理解并掌握方程的意义，并会列方程表示数量关系。
教学难点：
经历将现实问题抽象成等式与方程的过程。
教学准备：挂图。
教学过程：
一、复习引入。
1．提问：小明在天平的两边放上砝码，你能用式子表示天平左右两边物体的质量关系吗？50+50=100
2.指出：含有等号的式子叫做等式，它表示等号两边的数值是相等的。
3．提问：小明从天平的左边拿走了一直砝码，这时候还能用等式表示两边物体的质量关系吗？那该怎样表示左右两边物体的质量关系呢？
二、认识方程
1．用含有未知数的式子表示质量关系
（1）提问：小明准备在天平的左边放一个物体。
如果把这个物体放下来，可能会出现哪些情况呢？怎样用式子表示这里左右两边物体的质量关系呢?
(2)感悟：人类能够将未知数用一定的字母表示，并且让未知数；平等地参与运算经历了漫长的方程。
（700多年前，我国数学家李冶发明了“天元术”，他用“天元”表示未知数。
后来数学家们又用各种符号表示未知数。
1637年，法国数学家笛卡尔最早用X表示未知数。
这种表示方法逐渐成为人们的习惯。
（3）三幅图中，天平两边物体的质量关系就可以怎样表示？
（4）表达：（放下物体后）为了使天平达到平衡，小明利用砝码进行了各种调整，请你也用关系式表示天平两边物体的质量关系。
让学生看课本例2。
学生在书上独立填写，用式子表示天平两边的质量关系。
2.分类、比较，揭示方程的意义
（1）讨论分类依据
现在黑板上8个式子，你能将这些式子分分类吗？先自己想一想，再和同桌再讨论一下。
（2）动手操作
讨论结束后，按照你们的想法分一分。
（3）交流反馈
展示学生的各种分类的情况
根据分类的标准咱们来看一看每一组式子有什么特征？
A没有未知数也不是等式
B有未知数但不是等式
C没有未知数但是等式
D含有未知数而且是等式
（4）揭示概念
指出：像X+50=150、2X=200 这样含有未知数的等式叫做方程。
提问：为什么黑板上另外三类都不叫方程？
讨论：等式和方程有什么关系呢？你能不能用个比喻或画张图来表示它们的关系？（先给予学生思考的时间，再组织讨论。
）
说明：等式包含方程，方程一定是等式，但等式不一定是方程。
（教者板书集合图。
）
3．判断深化理解
哪些是等式，哪些是方程？
6+X=14 36-7=29 60+23＞70 8+X
50÷2=25 X+4＜14 Y-28=35 5Y=40
4.描述生活
（1）看图列方程
（2）用方程表示下面的数量关系。
三、巩固应用。
1．完成“试一试”。
学生独立完成。
提问：你们是如何列的？如何想的？
2.完成“练一练”。
第一题：指名回答。
提问：其他的式子为什么不是方程？
第二题：先让学生写方程，再在小组里交流。
第三题：学生独立做题。
提问：下面两题列方程时你是怎么想的？
四、课堂作业。
学生各自独立完成练习一第1—3题。
教者巡视，关注学困生，注重个别辅导。
五、全课总结。
今天这节课我们学习了什么内容？你有哪些收获？还有什么不懂的问题？。