33 三角恒等变换-艺考生文化课百日冲刺
最新艺体生高考冲刺第16讲 三角恒等变换学生
第16讲 三角恒等变换[玩前必备]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S (α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S (α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C (α＋β)) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T (α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T (α－β))2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α (S 2α)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α (C 2α) tan 2α＝2tan α1－tan 2α (T 2α)3．公式的变形和逆用在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．常见变形如下： 降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.正切和差公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.配方变形：1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2，1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.4．辅助角公式a sin α＋b cos α ＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中tan φ＝ba.[玩转典例]题型一 两角和与差公式例1 (1) 计算cos 42° cos 18°－cos 48° cos 72°的值为________． (2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.例2 (2018·青岛调研)已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B. 1322 C. 322 D. 16例3 设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . [玩转跟踪]1．（2017北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________．2.已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( ) A ．－12 B. 12 C ．－13 D. 23273.（2015江苏）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______．题型二 二倍角公式例4 已知sin 2α＝513，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值.例5 (2013新课标Ⅱ)已知，则（ ） A ． B ． C ． D ．[玩转跟踪]1.（2019全国Ⅱ）已知α∈(0，)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=2sin 23α=2cos ()4πα+=161312232πA ．BC ．D ．2.[2016高考新课标Ⅲ]若tan 13θ=，则cos2θ=（ ） （A ）45-（B ）15-（C ）15（D ）45题型三 化简公式综合应用例6 (2014江苏)已知，．(1)求的值；(2)求的值．[玩转跟踪]1.（2013广东）已知函数．(1) 求的值； (2) 若，求．[玩转练习]1．(2018全国卷Ⅲ)若1sin 3α=，则cos 2α= 15535),2(ππα∈55sin =α)4sin(απ+)265cos(απ-(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭3f π⎛⎫⎪⎝⎭33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．89B ．79C ．79-D ．89-2．（2016年全国III ）若 ，则 A ．B ．C ．1D ． 3．（2016年全国II ）若，则（ ） A ．B ．C ．D ． 4．(2015·重庆，6)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( ) A.17B.16C.57D.565.(2018全国卷Ⅱ)已知sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，则sin()+=αβ___．6.（2017江苏）若1tan()46πα-=，则tan α= ． 7．（2015四川）=+οο75sin 15sin ．8.（2019江苏13）已知，则的值是_________. 9．(2015·广东，16)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．10．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．(1)求cos2α的值；3tan 4α=2cos 2sin 2αα+=6425482516253cos()45πα-=sin 2α=7251515-725-tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)求tan()αβ-的值．11．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --． (1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．。
艺术生高考数学专题讲义：考点17 三角恒等变换
·4·
艺体生文化课百日突围
21. (2013 广东 ) 已知函数 f(x) =
2cosx
-
π 12
,x ∈ R.
(1)
求
f
π 3
的值；
(2)
若 cosθ =
3 5
,θ ∈
3π 2
,2π
,求
fθ -
π 6
.
22.
(2018
浙江
)
已知角
α
的顶点与原点
O
重合,始边与
x
轴的非负半轴重合,它的终边过点
P(
；tanθ
-
π 4
=
.
【题型练5-7】(2012 山东
)
若
θ∈
π 4
,
π 2
,sin2θ
=
37 8
,,则
sinθ
=
A.
3 5
B.
4 5
C.
7 4
D.
3 4
【题型练5-8】(2021
全国乙文
6)cos2
π 12
- cos2
5π 12
=
A.
1 2
B.
3 3
C.
2 2
D.
3 2
真题突围
问渠那得清如许？为有源头活水来
9) 已知
2tanθ
-
tanθ
+
π 4
= 7,则 tanθ =
A. - 2
B. - 1
C. 1
D. 2
（
）
（
）
6.
(2015 江苏 ) 已知 tanα =-2, tanα + β
=
2020届高三数学文科三轮冲刺基础练：三角恒等变换与三角函数图像变换
《三角函数图像变换与三角恒等变换》基础练1．将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A ．cos(2)3y x π=+ B ．cos(2)6y x π=+ C ．cos(2)3y x π=-D ．cos(2)6y x π=-2．要得到函数4y sinx =-（3π）的图像，只需要将函数4y sin x =的图像（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位3．要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数2cos2y x =的图像（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度4．若将函数()sin 2f x x x =图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ） A ．6πB ．3π C ．512π D ．56π 5．要得到2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，可由sin y x =经过（ ）的变换得到. A ．向左平移6π个单位，横坐标缩为原来的12，纵坐标扩大为原来的2倍， B ．向左平移6π个单位，横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标缩为原来的12， C ．向左平移12π个单位，横坐标缩为原来的12，纵坐标扩大为原来的2倍，D ．向左平移12π个单位，横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标缩为原来的12，6．把函数()sin f x x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6π个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=D ．712x π=7．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0,0,2A ωϕπ>><）的图像如图所示，为了得到函数()sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像上所有点（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度 8．如图是函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭在一个周期内的图像，则其解析式是（ ）A ．()3sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()3sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭9．若1sin 3α=-，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．9-B ．9C ．89D ．89-10．已知1sin 44πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C ． D11．已知sin 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A ．45 B ．45- C ．35D ．35-12．tan 20tan 251tan 20tan 25︒+︒=-︒⋅︒（ ）A B C ．-1 D ．113．已知sin cos αα-=，则sin 2α的值为( )A ．13B ．23-C ．23D ．13-14．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π1cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ）A ．6 B C ．16D ．15．若tan 2,tan()3ααβ=+=，则tan β=（ ） A ．17B ．1-C ．57D ．15-16．cos50cos20sin50sin 20︒︒+︒︒的值为（ ）A ．12B ．13C D 17．已知,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且7cos 225x =，则cos x 的值是（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．4518．已知角θ的终边经过点5,62P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．76-B ．177-C ．2-D ．219．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）A ．34-B ．34C ．43-D ．4320．函数cos sin 24πy x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（ ） A ．98 B ．0C ．78D ．171621．已知2cos()63πα-=，则5cos(2)3πα+的值为（ ） A ．59B ．19C ．19-D ．59-22．若51sin 86πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3cos 24πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1718 B ．1718-C ．1819D ．1819-23．已知()3sin 5πα+=，且2sin 20α<，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为____________．24．已知α，β为锐角，且(1tan )(1tan )2αβ--=，则αβ+=__________． 25．若tan α，tan β是方程2670x x -+=的两个根，则αβ+=__________. 26．tan 80tan 201tan 80tan 20︒-︒=+︒︒__________．27．已知1sin()33x π+=，则cos cos()3x x π+-=________28．向量()1,2sin a θ=r ，(sin ,1)3b πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭r ，R θ∈，若a b ⊥r r ，则tan θ=______29．已知函数π()sin()(0,0)6f x A x A ωω=+>>图像的一部分如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设π105π6,[,0],(3π),(3)21325f f αβαβ∈-+=+=，求sin()αβ-的值.30．已知1tan()42πθ+=． （1）求tan θ的值；（2）求22cos sin cos 1222)4θθθπθ--+的值．1、只要朝着一个方向努力，一切都会变得得心应手。
高中学业水平测试(合格性)数学第33讲简单的三角恒等变换课件
答案：B
4．函数y＝2cos2x－π4－1是(
)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为π2的奇函数
D．最小正周期为π2的偶函数
解析：y＝2cos2
x－π4
－1＝cos(2x－
π 2
)＝sin
2x，奇
函数，T＝π.
答案：A
5．在锐角△ABC中，设x＝sin Asin B，y＝cos
(2)化简：11－＋ccooss
θ－sin θ－sin
θθ＋11＋－ccooss
θ－sin θ－sin
θ θ.
(1)解析：①原式＝sin
π 24
·cos
π＋2π4
·cos
π－1π2
＝sin
π 24·cos
π 24·cos
1π2＝122sin
2π4cos
π 24·cos
1π2＝12sin
π 12·cos
10．在△ABC中，已知cos A＝17，cos(A－B)＝1134，
0＜B＜A＜π2.
(1)求tan 2A的值；
(2)求角B.
解：(1)因为cos
A＝
1 7
且A∈
0，π2
，所以sin
A＝
473，所以tan A＝4 3，
故tan 2A＝1－2tatannA2A＝－8473.
(2)因为A∈0，π2，cos A＝17， 所以sin A＝473，又B＜A＜π2， 所以0＜A－B＜π2 ，因为cos(A－B)＝1134，所以sin(A－ B)＝3143. 所以cos B＝cos[A－(A－B)]＝cos Acos(A－B)＋sin Asin(A－B)＝12， 因为B∈0，π2，所以B＝π3.
2021新高考数学二轮复习技巧大全 百天冲刺专题练习19 三角恒等变换(解析版)
1.例题
【例 1】计算：
(1)cos(－15°)；
(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.
【解析】(1)方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝ 3× 2＋1× 2＝ 6＋ 2.
2 222
4
方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝ 2× 3＋ 2×1＝ 6＋ 2. 2 2 22 4
满足 sin(α＋β)＝ 5 ，则 cos β的值为________． 13
【答案】 －56或16 65 65
【解析】 由角α的终边过点 P 3 , 4 ，得 sin α＝－4，cos α＝－3.
5 5
5
5
由 sin(α＋β)＝ 5 ，得 cos(α＋β)＝±12.
13
13
由β＝(α＋β)－α，得 cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
80°cos
80°＝23sin1
·sin 20°
160°＝2s3isnin2200°°＝18.
【例 3】(1)1＋tan 15°＝________. 1－tan 15°
【解析】 3
原式＝ tan 45°＋tan 15° ＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3. 1－tan 45°tan 15°
(2)化简：tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°.
【解析】
方法一 tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°
＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋ 3tan 23°tan 37°
2020届新高考艺术生数学复习冲关训练：第三章 第5节三角恒等变换
第三章 第5节1．(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝，则cos 2α＝( )13A. B. C ．－ D ．－89797989解析：B [cos 2α＝1－2sin 2α＝1－＝.]29792．已知α，β都是锐角，若sin α＝，sin β＝， 则α＋β等于( )551010 A. B.π43π4C.和D ．－和－π43π4π43π4解析：A [由于α，β都为锐角，所以cos α＝＝，cos β＝＝1－sin2α2551－sin2β.31010所以cos (α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝，22所以α＋β＝.]π43．(2019·新乡市一模)已知<α<π且sin ＝，则cos 等于( )π2(α＋π6)35(α－π6)A. B.－4－33104＋3310C.D.4－331033－410解析：D [∵<α<π，sin＝，π2(α＋π6)35∴＜α＋＜，可得cos＝2π3π67π6(α＋π6)－＝－，1－sin2(α＋π6)45∴cos ＝cos＝(α－π6)[(α＋π6)－π3]cos cos ＋sin sin ＝×＋×＝.](α＋π6)π3(α＋π6)π3(－45)12353233－4104．(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝sin ＋cos 的最大值为( )15(x ＋π3)(x －π6)A.B ．1C.D.653515解析：A [由两角和差公式得f (x )＝＋cos x ＋sin x15(12sin x ＋32cos x )3212＝sin x ＋cos x ＝sin，3533565(x ＋π3)因为－1≤sin≤1，故函数f (x )的最大值为.](x ＋π3)655．(2019·洛阳市一模)若锐角φ满足sin φ－cos φ＝，则函数f (x )＝cos 2(x ＋φ)的单调22增区间为( )A.(k ∈Z )[2k π－5π12，2k π＋π12]B.(k ∈Z )[k π－5π12，k π＋π12]C.(k ∈Z )[2k π＋π12，2k π＋7π12]D.(k ∈Z )[k π＋π12，k π＋7π12]解析：D [锐角φ满足sin φ－cos φ＝，22∴1－2sin φcos φ＝，∴sin 2φ＝；1212又sin φ＞，∴2φ＝，解得φ＝；225π65π12∴函数f (x )＝cos 2(x ＋φ)＝＝＋cos1＋cos (2x ＋2φ)21212，∴2k π－π≤2x ＋≤2k π，(k ∈Z )，解得k π－≤x ≤k π－(k ∈Z )；(2x ＋5π6)5π611π125π12∴f (x )的单调增区间为(k ∈Z )，即(k ∈Z )．][k π－11π12，k π－5π12][k π＋π12，k π＋7π12]6．已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan ＝________.(θ＋π4)35(θ－π4)解析：∵θ是第四象限角，∴－＋2k π<θ<2k π，π2则－＋2k π<θ＋<＋2k π，k ∈Z .π4π4π4又sin＝，(θ＋π4)35∴cos＝＝＝，∴cos ＝sin ＝，sin ＝(θ＋π4)1－sin2(θ＋π4)1－(35)245(π4－θ)(θ＋π4)35(π4－θ)cos ＝，∴tan ＝－tan ＝(θ＋π4)45(θ－π4)(π4－θ)－＝－＝－.sin (π4－θ)cos (π4－θ)453543答案：－437．(2018·贵阳市一模)已知tan(π＋α)＝2，则cos 2α＋sin 2α＝________.解析：∵tan (π＋α)＝tan α＝2，∴sin 2α＋cos 2α＝＝＝＝.2sin αcos α＋cos2 α－sin2αsin2α＋cos2α2tan α＋1－tan2αtan2α＋12×2＋1－2222＋115答案：158．(2019·浙江省重点中学高三月考)请利用图1、图2中大矩形内部阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：______________________________________.解析：两个图的阴影部分面积相等，题图1中大矩形面积为：S ＝(cos α＋cos β)(sin α＋sin β)＝sin(α＋β)＋sin α cos α＋sin β cos β，减去四个小直角三角形的面积得S 1＝S －sin α cos α－sin β cos β＝sin(α＋β)，题图2中阴影部分面积为S 2＝sin α cos β＋cos α sin β.答案：sin(α＋β)＝sin α cos β＋cos α sin β9．(2019·泉州市模拟)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，)．3(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝f －2f 2(x )在区间3(π2－2x )上的值域．[0，2π3]解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，)，3∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.123233∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.323336(2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴g (x )＝cos －2cos 2x3(π2－2x )＝sin 2x －1－cos 2x ＝2sin－1，3(2x －π6)∵0≤x ≤，∴－≤2x －≤.2π3π6π67π6∴－≤sin≤1，12(2x －π6)∴－2≤2sin－1≤1，(2x －π6)故函数g (x )＝f －2f 2(x )在区间上的值域是[－2,1]．3(π2－2x )[0，2π3]10．已知α∈，且sin ＋cos ＝.(π2，π)α2α262(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．35(π2，π)解：(1)因为sin ＋cos ＝，两边同时平方，得α2α262sin α＝.12又＜α＜π，所以cos α＝－＝－.π21－sin2α32(2)因为＜α＜π，＜β＜π，所以－＜α－β＜.π2π2π2π2又由sin(α－β)＝－，35得cos(α－β)＝.所以cos β＝cos[α－(α－β)]45＝cos α cos(α－β)＋sin α sin(α－β)＝－×＋×＝－.324512(－35)43＋310。
高考数学课程一轮复习 第33课时 简单的三角恒等变换
第33课时 简单的三角恒等变换【考点点知】知己知彼，百战不殆新课标高考对三角恒等变换的要求有所降低，但三角函数求值、化简及恒等式证明仍是高考的热点．需要掌握的公式有两角和差、倍角的三角函数公式.新课标主要要求“能用上述公式进行简单的三角函数恒等变换”，这说明备考重点是掌握变换的基本思想方法.而不是盲目地训练繁难的偏题、怪题，应重视通性、通法的运用．考点一: 简单的三角恒等变换1.巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，2αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）.2.三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=).利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理 ( 1±sin α 可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式) ；22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ααα，22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ααα等．从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化．3.辅助角公式中辅助角的确定：()，ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a )sin ,(cos 2222ba b ba a s +=+=ϕϕ在求最值、化简时起着重要作用.【小题热身】明确考点，自省反思1.若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为 . 2. 若2213cos 20sin 10cos 10a -=︒︒︒,则a = .3. (上海春季卷)已知tan ,(1)a a θ=>，求sin 4tan 2sin 2πθθπθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭= .【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.设3sin β=sin(2α+β),α≠k π+2π,α+β≠k π+2π.(k ∈Z )求证：tan(α+β)=2tan α.思路透析:证明: 由3sin β=sin(2α+β），得3sin ［(α+β)－α］=sin ［(α+β)+α］, 即3sin(α+β)cos α－3cos(α+β)sin α=sin （α+β)cos α+cos(α+β)·sin α. 整理得sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α. 因为α≠k π+2π,α+β≠k π+2π(k ∈Z ).将上式两边同除以cos αcos(α+β). 得tan(α+β)=2tan α.点评:要注意观察条件和结论之间的差异.主要是看角，看函数的名称、次数、式子的结构特征.如从角的差异入手，将角变形为2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)－α.从已知条件变形入手，可证得结论.例2.已知7sin α=3sin （α+β）,求证：2tan22βα+=5tan 2β. 思路透析:证明：由已知7sin α=3sin （α+β），即7sin （22βα+－2β）=3sin （22βα++2β）.∴7sin 22βα+cos 2β－7cos 22βα+sin 2β=3sin 22βα+cos 2β+3cos 22βα+sin 2β,即2sin 22βα+cos 2β=5cos 22βα+sin 2β.两边同除以cos 22βα+cos 2β,即得2tan 22βα+=5tan 2β.点评:盯住欲证等式的左、右两边，根据它们的状况（一般要看角、函数名称、结构特征），采取恰当的措施来对条件等式进行变形，直到目标.例3.求证：αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=αβsin sin .思路透析:证明：sin （2α+β）－2cos （α+β）sin α =sin ［（α+β）+α］－2cos （α+β）sin α=sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α－2cos （α+β）sin α =sin （α+β）cos α－cos （α+β）sin α=sin ［（α+β）－α］=sin β. 两边同除以sin α得 αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=αβsin sin .点评:证明三角恒等式，可先从两边的角入手——变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.例4. P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，且∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=2α，求证：椭圆的离心率为e =2cos α－1.思路透析:证明：在△PF 1F 2中，由正弦定理知α2sin ||1PF =αsin ||2PF =）（α3πsin||21-F F .由比例的性质得α3sin ||21F F =ααsin 2sin ||||21++PF PF⇒e =||||||2121PF PF F F +=αααsin 2sin 3sin +=ααααααα2cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin ++ =）（）（αααααcos 21sin cos sin 2cos 2sin 22+⋅+1-=1+-ααcos 21cos 42=2cos α－1. 点评:依据椭圆的定义2a =|PF 1|+|PF 2|，2c =|F 1F 2|，∴e =ac22.在△PF 1F 2中解此三角即可得证.恰当地利用比例的性质有事半功倍之效. 【即时测评】学以致用，小试牛刀1. 如果tan312=α，那么cos α=( ) A. 12 B. 34 C. 54 D. 352. 若2π<α<π，且cos α＝a ,则sin 2α=( )A.B.C.D. 21a-3. 化简x x x x 2cos cos sin 2cos 44-++的结果是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. -14. 给出下列三角函数式：①)4sin(2x +π;),4x π+③2212tan tan 221tan 2x x x --+ ③22cos 122cos 1xx --+, 当x ∈R 时与cos x －sin x 恒等的是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1. 化简cos2α+6sin 22α－8sin 42α=________. 2. 若sin α＝135，α在第二象限，则tan 2α= . 3. 若tan θ＋cot θ＝ｍ，则sin2θ= .4. 若－2π<α<－23π,则2)cos(1πα--= .5. 已知tan α和tan （4π－α）是方程ax 2+bx +c =0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 .6. 周长为定值L （L ＞0）的直角三角形的面积的最大值为 . 二、解答题:7.求证：.2tan 2sin )1cos )(sin 1cos (sin xx x x x x =+--+8.在△ABC 中，求证：sin 2.2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 222C B A C B A -=++第33课时 简单的三角恒等变换参考答案【小题热身】 1. 12 2. 32 3.【即时测评】1. C2. D3. B4. B【课后作业】一、填空题:1. cos α2. 53. m 24. －cos 2α 5. c =b +a 6. 4223-L 2二、解答题:7.证明：左边=x x xx x x x x cos sin 2)2sin 22cos 2sin 2)(2sin 22cos 2sin 2(22+- xx x x x x x cos sin 2)2sin 2)(cos 2sin 2(cos 2sin 42+-=2222sin (cos sin )sin cos 2222tan 22sin cos cos cos cos 222x x x xxx x x x x x -⋅====⋅右边.8.证明：左边=2cos 12cos 12cos 1CB A -+-+- 31(cos cos cos )22A B C =-++ 31[cos()cos()cos ]222222A B A B A B A B C +-+-=-++-+ 231(2cos cos 12sin )22222A B A B C +-=-+- 211(2sin cos 2sin )2222C A B C -=--1sin (cos cos )1sin 2sin sin 222222C A B A B C A B-+=--=-⋅12sinsin sin .222A B C =-。
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第五章三角函数第四节三角恒等变换pptx课件北师大版
+ -
α= 2 + 2 ,β= 2 − 2 等.
(2)两角互余与互补关系
π
π
π π
3π
例如:(3+α)+(6-α)=2,(4+α)+( 4 -α)=π 等.
(3)非特殊角转化为特殊角
30°
例如:15°=60°-45°=45°-30°=
,
2
150°
70°=45°+30°=
,105°=60°+45°等.
即从复杂的一端证到简单的一端,另外还要注意强化“目标意识”和“化异为
同”的意识.“目标意识”就是在证明过程中,时刻紧盯目标,逐步向目标靠
拢;“化异为同”意识,就是指化异角为同角、化异名为同名、化异次为同次.
3π)cos(+π)-1
2sin(sin+cos
2
2 .
对点训练 2(2021 山西太原高三月考)求证:
− 1 sin
π
+6
+ 2 =0.
π
+6
A.
∵sin
π
+6
∴cos
π
−
3
∈[-1,1],∴sin
=cos
π
+
6
π
+6
π
−
2
1
=4,
=sin
π
+
6
1
= .故选
4
B.
考向3.给值求角问题
典例突破
1
3 3
π
π
例 5.(1)(2021 湖南岳阳高三期中)若 sin α=-7,cos β= 14 ,且 α∈(-2,0),β∈(0,2),