基本不等式与不等式证明(题目)

第四讲：基本不等式与不等式证明

一、常用的基本不等式有以下这些：

（1 a、b E R,a2+b2启2ab，当且仅当a = b时,取号；

⑵a、b R，_ *$ab,当且仅当a =b时，取"号；

2

2

⑶a、b R, a2 b2——，当且仅当a=b时，取“=”号；

2

⑷ a、b、c R，a3 b3 c3亠3abc，当且仅当a = b = c时，取“=”号；

（5）a、b、c^R戈一b_ >3abc，当且仅当a=b = c时取“=”号。

3

推广到n:

山-厂+印+a?十j|| +a^ 訂--- ---

a i, a2^l,a^ R，------ 一一n a^?|）1 a.,

n

当且仅当耳虫厂川二a n时取“号。

二、证明不等式常用的方法有比较法、公式法、综合法、分析法、放缩法、反证法、数形结合

法以及数学归纳法等。

a~b

例题仁若0 £ a £ b ci,贝Ua a,a b, a ab, a 2中最小的数是______ .

例题2、如果正数a, b, c, d满足a - b =cd =4，那么（）

A. ab< c d，且等号成立时a, b, c, d的取值唯一

B. ab > c d，且等号成立时a, b, c, d的取值唯一

c. ab < c d，且等号成立时a, b, c, d的取值不唯一

D. ab > c d，且等号成立时a, b, c, d的取值不唯一

例题3、

（i）已知求x j：的最小值。

（2）函数y 二a 1公（a 0, a =1）的图象恒过定点 A ，若点A 在直线mx • ny -1 =0（mn • 0）

1 1

上，则 的最小值为.

m n

a b 例题4、已知a 、b 为两个正常数，x>0,y>0,且 1 ,求x+y 的最小值.

x y

例题5、某种汽车，（1）购买时费用为10万元，（2）每年交保险费、养路费、汽油费合计 9 千元；（3）汽车的维修费平均为第一年 2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差

数列，逐年递增，求这种汽车使用多少年报废最合算？

1 1 n

例题6、若对一切a>b>c,不等式 _ 恒成立，求n 的最大值.

a —

b b —

c a — c (3) （09全国高考题） 3

y = tan2xtan x 的最大值

例题7、求证：sin $二亠si n ?，U _s in .^ ^sin ■' i si n 「si n 一：，并指出等号成立的条件。 例题8已知： a 1> a 2、a 3、bp b 2、d 均为正数，且 色—邑一空，求证:

b 1 b 2 b 3

1

例题 9、设 0

4

10、设 a>0,b>0,且 a+b=1,求证：J a +1

\ 2

A A

例题11、已知命题：如果 a 、b R ,且a b -1，那么 4 .

a b

(1) 证明这个命题是真命题。

(2) 根据已知条件还能得到什么新的不等式 ，试写出其中两个，并加以证明。

a a 2 bi

b ?

a i ■ a ? ■ 83

b i b 2 b 3

例题

⑶如果a、b、c・R ,且a+b+c=1,推广上述已知命题能得到什么不等式，并加以证明

例12、（ 1 ）三个同学对问题“关于X的不等式x2+ 25+ |x3- 5x2|> ax在［1 ,12］上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.

乙说：“把不等式变形为左边含变量X的函数，右边仅含常数，求函数的最值”.

丙说：“把不等式两边看成关于X的函数，作出函数图像”.

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是.

自测练习题：

… ” - 2

1、右不等式x + ax + 1-0对于-切X -(0, 1〕

2

1成立，则a的最小值是

（）

A. 0

B.

—2 C.-

5

D.-3

2、若关于x的不等式(1 k2)x < k4+ 4的解集是M,则对任意实常数k ,总有()

(A) 2€ M , 0 € M ; ( B) 2 ' M , 0 ' M ; ( C) 2 € M , O'M ; ( D) 2'M , 0€ M .

x 2

3、在y = 2 , y = I o g x, y = x , y = c o 2x 这四个函数中，当0 ：：： X j ：：：x? ：：： 1 时，使

空x2) 恒成立的函数的个数是()

2 2

A . 0

B . 1 C. 2 D. 3

2 5

4、已知lg X lg ，则U 的最小值为( )。

x y

A.1

B.2

C. 10 D2、10

5、已知x,y・R •，且x ^3,则u =2― 2y的最小值为( )。

A.2

B.8

C.2&

D.4&