数学建模方法之数理统计分析与回归
数学建模教案数学建模方法与应用
数学建模教案数学建模方法与应用教案主题：数学建模方法与应用引言：数学建模是一种将现实问题进行数学描述、求解和分析的方法，它在各个领域具有广泛应用。
本教案将从数学建模的基本概念入手，介绍常用的数学建模方法和其在实际问题中的应用。
一、数学建模的基本概念（500字左右）1.1 数学建模的定义及意义- 数学建模是指使用数学方法和技巧，把实际问题转化为数学问题，并进行求解、验证和分析的过程。
- 数学建模能够帮助我们理解和解决各类实际问题，提高问题解决的效率和精度。
1.2 数学建模的基本步骤- 审题与问题转化：对实际问题进行细致分析和抽象，将问题转化为数学形式。
- 建立数学模型：选择适当的数学工具和方法，建立与实际问题相对应的数学模型。
- 求解和分析：运用数学知识和技巧，对建立的数学模型进行求解和分析。
- 结果验证与优化：对求解结果进行合理性验证，并对模型进行不断优化和完善。
二、数学建模方法（600字左右）2.1 数理统计与回归分析- 数理统计：通过搜集和分析大量数据，总结数据的特征和规律，为实际问题提供客观的数据依据。
- 回归分析：通过建立变量间的统计关系，预测和估计变量的变化趋势，为决策提供参考。
2.2 图论与网络分析- 图论：将实际问题抽象为图，通过研究图的性质和算法，解决与网络、路径和最优化等相关的问题。
- 网络分析：对于复杂的网络结构，应用网络分析方法，揭示网络中节点之间的关系、特性和演化规律。
2.3 随机模型与蒙特卡洛方法- 随机模型：通过引入随机因素，建立描述系统随机行为的数学模型，对系统进行分析和预测。
- 蒙特卡洛方法：利用随机数和概率统计的原理，通过大量的随机实验，近似求解数学问题。
三、数学建模的应用领域（500字左右）3.1 经济与金融领域- 风险评估与资产定价：运用数学建模方法对金融市场中的风险和报酬进行评估和分析，为投资决策提供依据。
- 生产与供应链管理：利用数学模型对生产流程和供应链中的物流、订单等进行优化，提高效率和降低成本。
数学建模的主要建模方法
数学建模的主要建模方法数学建模是指运用数学方法和技巧对复杂的实际问题进行抽象、建模、分析和求解的过程。
它是解决实际问题的一个重要工具，在科学研究、工程技术和决策管理等领域都有广泛的应用。
数学建模的主要建模方法包括数理统计法、最优化方法、方程模型法、概率论方法、图论方法等。
下面将分别介绍这些主要建模方法。
1.数理统计法：数理统计法是基于现有的数据进行概率分布的估计和参数的推断，以及对未知数据的预测。
它适用于对大量数据进行分析和归纳，提取有用的信息。
数理统计法可以通过描述统计和推断统计两种方式实现。
描述统计主要是对数据进行可视化和总结，如通过绘制直方图、散点图等图形来展示数据的分布特征；推断统计则采用统计模型对数据进行拟合，进行参数估计和假设检验等。
2.最优化方法：最优化方法是研究如何在给定的约束条件下找到一个最优解或近似最优解的方法。
它可以用来寻找最大值、最小值、使一些目标函数最优等问题。
最优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等方法。
这些方法可以通过建立数学模型来描述问题，并通过优化算法进行求解。
3.方程模型法：方程模型法是通过建立数学方程或函数来描述问题，并利用方程求解的方法进行求解。
这种方法适用于可以用一些基本的方程来描述的问题。
方程模型法可以采用微分方程、代数方程、差分方程等不同类型的方程进行建模。
通过求解这些方程，可以得到问题的解析解或数值解。
4.概率论方法：概率论方法是通过概率模型来描述和分析不确定性问题。
它可以用来处理随机变量、随机过程和随机事件等问题。
概率论方法主要包括概率分布、随机变量、概率计算、条件概率和贝叶斯推理等内容。
利用概率论的方法，可以对问题进行建模和分析，从而得到相应的结论和决策。
5.图论方法：图论方法是研究图结构的数学理论和应用方法。
它通过把问题抽象成图，利用图的性质和算法来分析和求解问题。
图论方法主要包括图的遍历、最短路径、最小生成树、网络流等内容。
回归分析在数学建模中的应用
Keywords: Multiple linear regression analysis; parameter estimation;inspection
II
咸阳师范学院 2013 届本科毕业论文
目 录
摘 要.............................................................................................................................. I Abstract...................................................................................................................... II 目 录.......................................................................................................................... III 引言................................................................................................................................ 1 1 回归分析的背景来源及其概念................................................................................ 1 1.1 回归分析的背景............................................................................................. 1 1.2 回归分析的基本概念..................................................................................... 1 2 线性回归分析模型.................................................................................................... 2 2.1 一元线性回归的模型..................................................................................... 2 2.1.1 回归参数 0 , 1 和 2 的估计.............................................................. 3 2.1.2 一元线性回归方程的显著性检验.................................................... 3
数学建模方法分类
数学建模方法分类数据分析法：通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型1、回归分析法：用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
2、时序分析法：处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
3、回归分析法：用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。
4、时序分析法：处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。
2数学建模方法一层次分析法比较合适于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。
其用法是构造推断矩阵，求出其最大特征值。
及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标关于上一层次某相关指标的相对重要性权值。
层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解推断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。
3数学建模方法二回归分析：对具有相关关系的现象，依据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法(一元线性回归、多元线性回归、非线性回归)，回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型(经验公式);对回归模型的可信度进行检验;推断每个自变量对因变量的影响是否显著;推断回归模型是否合适这组数据;利用回归模型对进行预报或控制。
相对应的有线性回归、多元二项式回归、非线性回归。
逐步回归分析：从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉;引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步;关于每一步都要进行值检验，以保证每次引入新的显著性变量前回归方程中只包涵对作用显著的变量;这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。
数学建模方法和步骤
数学建模的主要步骤:第一、模型准备首先要了解问题的实际背景,明确建模目的,搜集必需的各种信息,尽量弄清对象的特征. 第二、模型假设根据对象的特征和建模目的,对问题进行必要的、合理的简化,用精确的语言作出假设,是建模至关重要的一步.如果对问题的所有因素一概考虑,无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为,所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力,善于辨别主次,而且为了使处理方法简单,应尽量使问题线性化、均匀化.第三、模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系,利用对象的内在规律和适当的数学工具,构造各个量间的等式关系或其它数学结构.这时,我们便会进入一个广阔的应用数学天地,这里在高数、概率老人的膝下,有许多可爱的孩子们,他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多,真是泱泱大国,别有洞天.不过我们应当牢记,建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用,因此工具愈简单愈有价值.第四、模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法,特别是计算机技术.一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算,许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来,因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重.第五、模型分析对模型解答进行数学上的分析."横看成岭侧成峰,远近高低各不?quot;,能否对模型结果作出细致精当的分析,决定了你的模型能否达到更高的档次.还要记住,不论那种情况都需进行误差分析,数据稳定性分析.数学建模采用的主要方法有：（一）、机理分析法：根据对客观事物特性的认识从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型.1、比例分析法：建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法.2、代数方法：求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法.3、逻辑方法：是数学理论研究的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用.4、常微分方程：解决两个变量之间的变化规律,关键是建立“瞬时变化率”的表达式.5、偏微分方程：解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律.（二）、数据分析法：通过对量测数据的统计分析,找出与数据拟合最好的模型1、回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法.2、时序分析法：处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法.3、回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法.4、时序分析法：处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法.（三）、仿真和其他方法1、计算机仿真（模拟）：实质上是统计估计方法,等效于抽样试验.①离散系统仿真,有一组状态变量.②连续系统仿真,有解析表达式或系统结构图.2、因子试验法：在系统上作局部试验,再根据试验结果进行不断分析修改,求得所需的模型结构.3、人工现实法：基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标,并考虑到系统有关因素的可能变化,人为地组成一个系统.。
数学建模方法大汇总
数学建模方法大汇总数学建模是数学与实际问题相结合，通过建立数学模型来解决实际问题的一种方法。
在数学建模中，常用的方法有很多种，下面将对常见的数学建模方法进行大汇总。
1.描述性统计法：通过总结、归纳和分析数据来描述现象和问题，常用的统计学方法有平均值、标准差、频率分布等。
2.数据拟合法：通过寻找最佳拟合曲线或函数来描述和预测数据的规律，常用的方法有最小二乘法、非线性优化等。
3.数理统计法：通过样本数据对总体参数进行估计和推断，常用的方法有参数估计、假设检验、方差分析等。
4.线性规划法：建立线性模型，通过线性规划方法求解最优解，常用的方法有单纯形法、对偶理论等。
5.整数规划法：在线性规划的基础上考虑决策变量为整数或约束条件为整数的情况，常用的方法有分支定界法、割平面法等。
6.动态规划法：通过递推关系和最优子结构性质建立动态规划模型，通过计算子问题的最优解来求解原问题的最优解，常用的方法有最短路径算法、最优二叉查找树等。
7.图论方法：通过图的模型来描述和求解问题，常用的方法有最小生成树、最短路径、网络流等。
8.模糊数学法：通过模糊集合和隶属函数来描述问题，常用的方法有模糊综合评价、模糊决策等。
9.随机过程法：通过概率论和随机过程来描述和求解问题，常用的方法有马尔可夫过程、排队论等。
10.模拟仿真法：通过构建系统的数学模型，并使用计算机进行模拟和仿真来分析问题，常用的方法有蒙特卡洛方法、事件驱动仿真等。
11.统计回归分析法：通过建立自变量与因变量之间的关系来分析问题，常用的方法有线性回归、非线性回归等。
12.优化方法：通过求解函数的最大值或最小值来求解问题，常用的方法有迭代法、梯度下降法、遗传算法等。
13.系统动力学方法：通过建立动力学模型来分析系统的演化过程，常用的方法有积分方程、差分方程等。
14.图像处理方法：通过数学模型和算法来处理和分析图像，常用的方法有小波变换、边缘检测等。
15.知识图谱方法：通过构建知识图谱来描述和分析知识之间的关系，常用的方法有图论、语义分析等。
数学建模常用统计方法介绍
stepwise(x,y,inmodel,alpha) SPSS,SAS
统计方法（聚类分析）
聚类分析—所研究的样本或者变量之间存
在程度不同的相似性，要求设法找出一些 能够度量它们之间相似程度的统计量作为 分类的依据，再利用这些量将样本或者变 量进行分类 系统聚类分析—将n个样本或者n个指标看 成n类，一类包括一个样本或者指标，然 后将性质最接近的两类合并成为一个新类， 依此类推。最终可以按照需要来决定分多 少类，每类有多少样本（指标）
统计方法（逐步回归分析）
逐步回归分析—从一个自变量开始，视自变量 作用的显著程度，从大到小依次逐个引入回归 方程
当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著
时，要将其剔除掉 引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量， 为逐步回归的一步 对于每一步都要进行检验，以确保每次引入新的显 著性变量前回归方程中只包含作用显著的变量 这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归 方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止
函 数 pdist squareform 功 能 计算观测量两两之间的距离 将距离矩阵从上三角形式转换为方形 形式，或从方形形式转换为上三角形 式 创建系统聚类树
linkage
dendrogram cophenet cluster clusterdata inconsistent
输出冰柱图 计算Cophenetic相关系数 根据linkage函数的输出创建分类 根据数据创建分类 计算聚类树的不连续系数
判别分析
判别分析是利用原有的分类信息，得到体 现这种分类的函数关系式（称之为判别 函数，一般是与分类相关的若干个指标 的线性关系式），然后利用该函数去判 断未知样品属于哪一类。 对于给定的数据，用classify函数进行线性 判别分析，用mahal函数计算马氏距离。
数学建模入门
数学建模入门数学建模是运用数学方法和技巧解决实际问题的过程，是一种既有理论又有实践的学科。
随着科技的不断发展，数学建模在工业、农业、医学、金融等各领域都发挥着重要作用。
本文将介绍数学建模的基本步骤和常用方法，帮助读者初步了解数学建模的入门知识。
一、数学建模的基本步骤1. 定义问题：数学建模的第一步是明确问题的定义，包括问题的背景、目标和限制条件。
只有准确定义问题，才能制定合理的建模方法。
2. 收集信息：在开始建模之前，需要收集相关的信息和数据。
这些信息可以从文献、实验、观测等渠道获取，有助于对问题的深入理解和分析。
3. 建立模型：建立模型是数学建模的核心步骤。
根据问题的特点和要求，选择合适的数学模型和方法，建立起描述问题的数学表达式。
4. 模型求解：利用数学工具和计算机软件，对所建立的模型进行求解。
通过数值计算、优化算法等方法，得到问题的解析结果或近似解。
5. 模型验证：对模型的结果进行验证和评估，检查模型的准确性和可行性。
如果模型与实际情况有出入，需要对模型进行修正和完善。
6. 结果分析：分析模型的结果，得出对问题的解释和结论。
根据结果进行决策，提出相应的对策和建议。
二、数学建模的常用方法1. 数理统计：数理统计是数学建模中常用的方法之一，用于分析和处理统计数据，探索数据的规律和趋势。
包括概率分布、假设检验、回归分析等技术。
2. 最优化方法：最优化方法用于求解最大化或最小化问题，寻找最优解。
常见的最优化算法包括线性规划、整数规划、动态规划等。
3. 微分方程模型：微分方程模型用于描述动态系统的行为和演化过程。
通过建立微分方程模型，可以预测系统的未来发展趋势。
4. 离散事件模型：离散事件模型用于描述存在离散事件和状态转换的系统。
通过离散事件模拟，可以模拟系统的运行过程，探索不同策略对系统性能的影响。
5. 图论与网络模型：图论与网络模型用于描述事物之间的关系和连接方式。
通过图论和网络模型，可以分析复杂系统的结构和性质。
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11:17 AM
统计回归分析方法
用MATLAB处理，容易对数据进行一定的处理，能根据自己的想法 画图，比较直观，就是需要编一些程序。
用spss处理，操作简单，初学者能很快学会。但是难点在于对 结果的分析，很多参数值，都需要查阅相关的资料。
我的定义 统计回归模型：搜集数据得到想要的自变量和因变量， 然后进行分析得到它们之间的关系
11:17 AM
数学建模中统计回归的基本方法
数据之间的机理分析 通过分析自变量增加若干个解释变量建立回归模型。 增加交互项或二次项使模型更加具有可预测性。
11:17 AM
最小二乘法
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学 优化技术。它通过误差的平方和寻找数据的 最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地 求得未知的数据，并使得这些求得的数据与 实际数据之间误差的平方和为最小。
资历~ 从事专业工作的年数； 管理~ 1=管理人员，0=非管理人员； 教育~ 1=中学，2=大学，3=研究生
11:17 AM
要求
建立模型研究薪金与工作经验、管理 能力、教育程度的关系
实际 应用
分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考
11:17 AM
分析与假设 Y~薪金，x1 ~资历（年）
x2 = 1~ 管理人员，x2 = 0~ 非管理人员
11:17 AM
模型求解
参数 a0 a1 a2
a3
参数估计值 置信区间
11046
[1ห้องสมุดไป่ตู้258 11834]
546
[483 609]
6861
[ 6215 7506 ]
-3026
[ -3872 -2180 ]
a4
142
[ -655 939 ]
R2=0.955 F=218 p=0.000
结果分析 资历增加1年薪金增长546 管理人员薪金多6861 中学程度薪金比更高的少3026 大学程度薪金比更高的多142 a4置信区间包含零点，解释 不可靠!
11:17 AM
参数说明
若ai的置信区间包含零点，则解释不 可。
若残差r的置信区间不包含零点，此点 可视为异常点,可剔除后重新计算。
R2 是衡量y与x的相关程度的指标,称 为相关系数.R2越大,x与y 关系越密切. 通常R2大于0.9才认为相关关系成立.
F是统计指标,p是与F对应的概率,当 p<0.05时,回归模型成立.
-1000 -2000
0
5
10
15
20
e与管理—教育组合的关系
2000
残差大概分成3个水平，没有均匀的分布 在0的两侧。
1000 0
-1000
-2000
1
2
3
4
5
6
应在模型中增加管理x2与教育 x3, x4的交互项
残差全为正，或全为负，管 理—教育组合处理不当
11:17 AM
进一步的模型 增加管理x2与教育x3, x4的交互项
11:17 AM
Thanks
11:17 AM
11:17 AM
回归模型示例
公司人员工资问题
11:17 AM
公司人员薪金发放
46名公司职员的档案资料
编 薪金 资 管 教 编 薪金 资 管 教
号
历理育 号
历理育
01 13876 1 1 1 42 27837 16 1 2 02 11608 1 0 3 43 18838 16 0 2 03 18701 1 1 3 44 17483 16 0 1 04 11283 1 0 2 45 19207 17 0 2 46 19346 20 0 1
身高与腿长存在什么关系呢？
165
160
155
150
145
140
85
90
95
100
11:17 AM
统计回归模型
统计回归模型（regression model）：对统计关系 进行定量描述的一种数学模型。用来进行回归分析的数 学模型（含相关假设）称为回归模型，只含有一个回归 变量的回归模型称为一元回归模型，否则称为多元回归 模型。
y~被解释变量（因变量） x1, x2 , x3 , x4~解释变量(回归变量, 自变量)
0, 1 , 2 , 3 ~回归系数 ~随机误差（均值为零的正态分布随机变量）
11:17 AM
方法一：运用MATLAB求解系数
y a0 a1x1 a2 x2 a3x3 a4x4 由数据y，x估算a
200 100
0 -100 -200
0
200 100
0 -100 -200
1
e ~ x1
5
10
15
20
e ~组合
2
3
4
5
6
R2： 0.957 0.999 0.9998 F： 226 554 36701
残差图十分正常
置信区间长度更短，更有可信 度
最终模型的结果可以应用
11:17 AM
模型应用 yˆ aˆ0 aˆ1x1 aˆ2x2 aˆ3x3 aˆ4x4 aˆ5x2 x3 aˆ6x2x4
11:17 AM
对于系数之间的相关性， 我们一般都看sig值： 当|r|>0.8，视为高度相关 当0.5<|r|<0.8时，视为中度相关 当0.3<|r|<0.5时，视为低度相关 当r|<0.3时，表明两个变量相关 程度 极弱，在实际运用中视为不相关
11:17 AM
练习 某种水泥在凝固时放出的热量（单位：cal/g）与水泥中下列 4种化学成分y有关，测试数据见下表
原理：使各个离差的平方和最小
即min（
n
^2
(y- y)
）
1
11:17 AM
回归分析的主要步骤
收集一组包含因变量和自变量的数据； 选定因变量与自变量之间的模型，利用
数据按照最小二乘准则计算模型中的系 数； 利用统计分析方法对不同的模型进行比 较，找出与数据拟合的最好的模型； 判断得到的模型是否适合于这组数据， 诊断有无不适合回归模型的异常数据； 利用模型对因变量作出预测或解释。
a5
-3155
[-3472 -2839]
a6
1831
[1553 2109]
R2=0.9987 F=5016 p=0.000
R2,F有改进，所有回归系数置信
区间都不含零点。
11:17 AM
0
-500 e ~ x1
-1000 0
5
10
15
20
500
0
-500 e ~组合
-1000
1
2
3
4
5
6
剔除第33行异常数据
10844
4
1
2
a0+a2+a4+a6
19882
5
0
3
a0
11200
6
1
3
a0+a2
18241
大学程度管理人员比更高程度管理人员的薪金高
大学程度非管理人员比更高程度非管理人员的薪金略低
11:17 AM
方法二：用spss解决问题
Spss处理数据优点 SPSS 易于操作、结果易于阅读，这样我们同学就可以将精力集中在问 题研究方法，而不是忙于编程和统计。一般稍有统计基础的人经过几天的 培训即可用SPSS 做简单的数据分析，包括绘制图表、简单回归、相关分 析等等。
去掉异常数据后的结果
参数 参数估计值
置信区间
a0
11200
[11139 11261]
a1
498
[494 503]
a2
7041
[6962 7120]
a3
-1737
[-1818 -1656]
a4
-356
[-431 –281]
a5
-3056
[-3171 –2942]
a6
1997
[1894 2100]
R2= 0.9998 F=36701 p=0.0000
教 育
1=中学 2=大学
1, 中学
x3
0,
其它
3=更高
1, 大学 x4 0, 其它
中学：x3=1, x4=0 ； 大学：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0
假设:资历每加一年薪金的增长是常数；管理、教育、资 历之间无交互作用 。
11:17 AM
线性回归模型 y a0 a1x1 a2 x2 a3x3 a4 x4
制订6种管理—教育组合人员的“基础”薪金(资历为0）
x1= 0； x2 = 1~ 管理，x2 = 0~ 非管理
中学：x3=1, x4=0 ；大学：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0
组合 管理 教育
系数
“基础”薪金
1
0
1
a0+a3
9463
2
1
1
a0+a2+a3+a5
13448
3
0
2
a0+a4
y a0 a1x1 a2 x2 a3x3 a4 x4 a5x2 x3 a6 x2 x4
参数 参数估计值 置信区间
500
a0
11207
[11039 11375]
a1
496
[484 507]
a2
7054
[6836 7271]
a3
-1718
[-1941 -1494]
a4
-342
[-549 –135]
11:17 AM
第 导入数据 一 步