自动控制作业习题答案

1-6 下图是水位控制系统的示意图，图中1Q ,2Q 分别为进水流量和出水流量。

控制的目的是保持水位为一定的高度。

试说明该系统的工作原理并画出其方框图。

【解】：当输入流量与输出流量相等时，水位的测量值和给定值相等，系统处于相对平衡状态，电动机无输出，阀门位置不变。

当输出流量增加时，系统水位下降，通过浮子检测后带动电位器抽头移动，电动机获得一个正电压，通过齿轮减速器传递，使阀门打开，从而增加入水流量使水位上升，当水位回到给定值时，电动机的输入电压又会回到零，系统重新达到平衡状态。

反之易然。

水位给定值电位计电动机、齿轮阀门水箱浮子2Q 1Q 水位hh2-1试建立下图所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。

【解】：)(a 方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u c c r 1 削去中间变量，整理得：dtduRC u dt du RCr c c =+（a ）方法二：r c c r c u RC u u RC RCs RCsCsR R s U s U &&=+⇒+=+=11)()()(b 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ， 则有：cc r kx x x f =-)(&&r c c x kf x x k f &&=+⇒)(c ()rr c c r c u u C R u u C R R Cs R R Cs R CsR R Cs R s U s U +=++⇒+++=+++=&&221212212)(1111)()()(d 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程rr c c a a ca r c r x x k fx x f k k k k x f x x k x x k x x k +=++⇒⎩⎨⎧=--=-&&&22121221)()()(结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。

四个系统均为一阶系统。

2-2 试求题2-2图所示各电路的传递函数。

h +-+-电位计阀门减速器电动机水箱浮子1Q 2Q2-4 系统的微分方程组为： )()()()()()()()()()()()(322323211211t x k t c dtt dc T t c k t x t x t x t x k dtt dx T t c t r t x =+-=-=-=式中32121,,,,k k k T T 均为正的常数，系统的输入为)(t r ，输出为)(t c ，试画出动态结构图，并求出传递函数)()()(s R s C s G =。

【解】：对微分方程组进行零初始条件下的Laplace 变换得：)()()()()()()()()()()()(322323211211s X k s C s sC T s C k s X s X s X s X k s sX T s C s R s X =+-=-=-=绘制方框图122+s T k 111+s T 1k 3k )(s R )(1s X )(2s X )(3s X )(s C 题2-2-4图传递函数为)1()()()(23211231221221++++++=k k k k s T k k T T s T T k k s R s C 2-7 系统方框图如题2-7图所示，试简化方框图，并求出它们的传递函数)()(s R s C 1G 2G 3G 4G 1H 2H )(s C )(s R1G 2G 3G 4G 1H 2H )(s C )(s R (a ) (b )2G 3G 4G 2H )(s C )(s R 1G 1H 3H 4H 1G 2G 3G 4G )(s C )(s R 2H 1H(c) (d)【解】：)(a(1) (2)(3) (4) （b）(1)(2)(3) (4) （c）(1)(2)(3) (4)(d)(1)(2)(4)2-8【解】：（a）：（1）该图有一个回路)1(301)1(301+-=∆⇒+=ssssl（2）该图有三条前向通路)1(301101)1(104321+=+==+=ssPsPsPssP所有前向通路均与1l回路相接触，故14321=∆=∆=∆=∆。

（3）系统的传递函数为304111)(1)()()(244332211-++=∆+∆+∆+∆∆==sssPPPPsRsCsG（b）：（1）为简化计算，先求局部传递函数)()()(sEsCsG='。

该局部没有回路，即1=∆，有四条前向通路：43444321332221111GGPGGGGPPGGP=∆-=∆-=∆=∆所以1)(43214321--+='GGGGGGGGsG（2）4321432143211)(1)()()()(GGGGGGGGGGGGGGGGsGsGsRsCsG-+--+='+'==（2）峰值时间pt、调节时间s t和超调量%σ。

【解】：（1）⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==5.022242ξωωξωnnn典型二阶系统欠阻尼情况，可以利用公式直接计算。

单位阶跃响应为：)0()603sin(3321)5.0cos5.012sin(5.011)1sin(11)(12222≥︒+-=+---=+---=----ttetetet httnt nβωξξξω单位斜坡响应为：)(b)(a题2-8图)0()1203sin(335.0)21sin(12)(22≥︒++-=+--+-=--t t e t t e t t c tn ntn n βωξξωωξξω（2）系统性能指标为：s t np 81.112=-=ωξπ%)2(44%)5(33=∆=≈=∆=≈s t s t ns ns ξωξω%3.16%100%21=⨯=--ξπξσe3-7 系统方框图如题3-7图所示，若系统的%,15%=σs t p 8.0=。

试求：（1）1K 、2K 值；（2）)(1)(t t r =时：调节时间s t 、上升时间r t 。

【解】：（1）利用方框图等效变换化系统为单位反馈 的典型结构形式后得开环传递函数为)]1([)1(1)1()(211211k k s s k s k s s k s s k s G k ++=+++= ⎪⎩⎪⎨⎧+==⇒211212k k k n n ξωω根据题意： ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==⨯=--18.021588.4517.08.01%15%100%21212k k st e n n p ωξωξπσξξπ （2）st s t s t n r n s n s 54.01%)2(69.14%)5(27.132=--==∆=≈=∆=≈ξωβπξωξω3-8 已知闭环系统特征方程式如下，试用劳斯判据判定系统的稳定性及根的分布情况。

（1）010092023=+++s s s （2）020092023=+++s s s（3）03482234=++++s s s s （4）0154844122345=+++++s s s s s【解】：（1）劳斯表为 100410020910123s ss s 劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统三个特征根均位于s 的左半平面。

（2）劳斯表为200120020910123s s s s -劳斯表第一列符号改变二次，该系统特征方程二个根位于右半平面，一个根位于左半平面，系统不稳定。

（3）劳斯表为33364238101234s s s s s劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统四个特征根均位于s 的左半平面。

（4）劳斯表为106.41401861125940148125441012345s s ss s s劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统五个特征根均位于s 的左半平面。

3-9 已知闭环系统特征方程式如下（1）021520234=++++K s s s s （2）050)1(23=++++Ks s K s 试确定参数K 的取值范围确保闭环系统稳定。

【解】：（1）根据特征方程列写出劳斯表为： Ks K s Kss Ks 012349.142029.14220151-系统稳定的充分必要条件为： 49.1009.142020<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->K KK （2）由三阶系统稳定的充分必要条件得： 59.650)1(0>⇒⎨⎧>⋅+>K K K K【解】：系统的开环传递函数为,1)110012.0(1100512.0100112.0100201)(==⇒+++=+++⋅⋅=K tt t k K v s K s K K s K s sK s G K K 为开环增益。

在系统稳定的前提条件下有0,11005,=+=∞=a t v p k K Kk k（1）011)(1)(=+=⇒=p ss k e t t r ； （2）KK k e t t t r t v ss 511001)(1)(+==⇒⋅= ； （3） ∞=⇒⋅=ss e t t t r )(121)(2。

3-14 具有扰动输入的控制系统如图所示，求：当)(1)()()(21t t n t n t r ===时系的稳态误差。

【解】：系统特征方程为0201.11.00)1)(11.0(20123=+++⇒=+++s s s s s s201.01.1⨯<4-4 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 ：22)4()1()(++=s s K s G 试绘制K 由+∞→0变化的闭环根轨迹图，并求出使系统闭环稳定的K 值范围。

【解】：系统有两对重极点 4,14,32,1-=--=-p p 。

① 渐近线： 5.244411-=----=-σ )3,2,1,0(315,225,135,454180)12(=︒︒︒︒=︒⋅+=k k θ ② 实轴上的根轨迹为两点 51-=-=s s ，也为分离点。

分离角均为︒=︒=902180θ。

③ 根轨迹与虚轴的交点坐标系统特征方程0)2()1(22=+++K s s即 0412136234=+++++K s s s s 令ωj s =代入特征方程，得0412136234=+++--K j j ωωωω令上式实部虚部分别等于0，则有⎪⎩⎪⎨⎧=±=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-1821260413224K K ωωωωω ④ 该系统根轨迹如题4-4解图所示。