自动控制作业习题答案
1-6 下图是水位控制系统的示意图，图中1Q ,2Q 分别为进水流量和出水流量。控制的目的是保持水位为一定的高度。试说明该系统的工作原理并画出其方框图。
【解】：当输入流量与输出流量相等时，水位的测量值和给定值相等，系统处于相对平衡状态，电动机无输出，阀门位置不变。当输出流量增加时，系统水位下降，通过浮子检测后带动电位器抽头移动，电动机获得一个正电压，通过齿轮减速器传递，使阀门打开，从而增加入水流量使水位上升，当水位回到给定值时，电动机的输入电压又会回到零，系统重新达到平衡状态。反之易然。
水位给定值电位计电动机、齿轮阀门
水箱
浮子
2
Q 1
Q 水位h
h
2-1试建立下图所示各系统的微分方程并说明这些微
分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。
【解】：)(a 方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：
??
??
?
=+=
?
i R u u dt i C u c c r 1 削去中间变量，整理得：
dt
du
RC u dt du RC
r c c =+
（a ）方法二：
r c c r c u RC u u RC RCs RCs
Cs
R R s U s U &&=+?
+=
+
=1
1)
()
()(b 由于
无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ， 则有：
c
c r kx x x f =-)(&&r c c x k
f x x k f &&=+?
)
(c ()r
r c c r c u u C R u u C R R Cs R R Cs R Cs
R R Cs R s U s U +=++?+++=
+
++
=&&221212212)(1
1
11
)
()
()(d 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写
出该系统运动方程
r
r c c a a c
a r c r x x k f
x x f k k k k x f x x k x x k x x k +=++???
?=--=-&&&2
2121221)()
()(结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。
四个系统均为一阶系统。
2-2 试求题2-2图所示各电路的传递函数。
h +-
+
-
电位计
阀门
减速器
电动机
水箱浮子
1
Q 2
Q
2-4 系统的微分方程组为： )()()
()
()()()()()
()
()()(322
323211211t x k t c dt
t dc T t c k t x t x t x t x k dt
t dx T t c t r t x =+-=-=-=
式中32121,,,,k k k T T 均为正的常数，系统的输入为)(t r ，输出为)(t c ，试画出动态结构图，并求出传递函数
)
()
()(s R s C s G =
。 【解】：对微分方程组进行零初始条件下的Laplace 变换得：
)
()()()()()()()()()
()()(322323211211s X k s C s sC T s C k s X s X s X s X k s sX T s C s R s X =+-=-=-=
绘制方框图
122+s T k 1
1
1+s T 1
k 3
k )
(s R )
(1s X )
(2s X )
(3s X )
(s C 题2-2-4图
传递函数为
)
1()()()(2321123122122
1++++++=k k k k s T k k T T s T T k k s R s C 2-7 系统方框图如题2-7图所示，试简化方框图，并求出它们的传递函数
)
()
(s R s C 1
G 2G 3
G 4
G 1H 2
H )
(s C )
(s R
1
G 2G 3
G 4
G 1
H 2
H )
(s C )
(s R (a ) (b )
2
G 3
G 4
G 2H )
(s C )
(s R 1
G 1
H 3
H 4
H 1
G 2
G 3
G 4G )
(s C )
(s R 2
H 1
H
(c) (d)
【解】：)
(a
(1) (2)
(3) (4) （b）
(1)
(2)
(3) (4) （c）
(1)
(2)
(3) (4)
(d)
(1)
(2)
(4)
2-8
【解】：（a）：（1）该图有一个回路
)1
(
30
1
)1
(
30
1+
-
=
?
?
+
=
s
s
s
s
l
（2）该图有三条前向通路
)1
(
30
1
10
1
)1
(
10
4
3
2
1+
=
+
=
=
+
=
s
s
P
s
P
s
P
s
s
P
所有前向通路均与
1
l回路相接触，故1
4
3
2
1
=
?
=
?
=
?
=
?。
（3）系统的传递函数为
30
41
11
)
(
1
)
(
)
(
)
(
2
4
4
3
3
2
2
1
1
-
+
+
=
?
+
?
+
?
+
?
?
=
=
s
s
s
P
P
P
P
s
R
s
C
s
G
（b）：（1）为简化计算，先求局部传递函数
)
(
)
(
)
(
s
E
s
C
s
G=
'。该局部没有回路，即1
=
?，
有四条前向通路：
4
3
4
4
4
3
2
1
3
3
2
2
2
1
1
1
1G
G
P
G
G
G
G
P
P
G
G
P=
?
-
=
?
-
=
?
=
?
所以1
)
(
4
3
2
1
4
3
2
1
-
-
+
=
'G
G
G
G
G
G
G
G
s
G
（2）
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
s
G
s
G
s
R
s
C
s
G
-
+
-
-
+
=
'
+
'
=
=
（2）峰值时间
p
t、调节时间s t和超调量%
σ。
【解】：（1）
?
?
?
=
=
?
??
?
?
?
=
=
5.0
2
2
2
4
2
ξ
ω
ω
ξ
ωn
n
n
典型二阶系统欠阻尼情况，可以利用公式直
接计算。
单位阶跃响应为：
)0
(
)
60
3
sin(
3
3
2
1
)5.0
cos
5.0
1
2
sin(
5.0
1
1
)
1
sin(
1
1
)(
1
2
2
2
2
≥
?
+
-
=
+
-
-
-
=
+
-
-
-
=
-
-
-
-
t
t
e
t
e
t
e
t h
t
t
n
t n
β
ω
ξ
ξ
ξω
单位斜坡响应为：
)
(b
)
(a
题2-8图
)0()1203sin(3
35.0)
21sin(12)(22
≥?++
-=+--+-=--t t e t t e t t c t
n n
t
n n βωξξωωξξω
（2）系统性能指标为：
s t n
p 81.112
=-=
ωξπ
%)
2(44
%)
5(33
=?=≈
=?=≈
s t s t n
s n
s ξωξω
%3.16%100%2
1=?=--
ξπ
ξσe
3-7 系统方框图如题3-7图所示，若系统的
%,15%=σs t p 8.0=。试求：
（1）1K 、2K 值；
（2）)(1)(t t r =时：调节时间s t 、上升时间r t 。
【解】：（1）利用方框图等效变换化系统为单位反馈 的典型结构形式后得开环传递函数为
)]1([)
1(1)1()(211211
k k s s k s k s s k s s k s G k ++=
+++= ?????+==?211
212k k k n n ξωω
根据题意： ???==????==????
?
??
?=-==?=--
18.021588.4517
.08.01%15%100%2
1
212k k s
t e n n p ωξωξπ
σξξπ （2）
s
t s t s t n r n s n s 54.01%)
2(69.14
%)
5(27.13
2
=--=
=?=≈
=?=≈
ξ
ωβ
πξ
ωξ
ω
3-8 已知闭环系统特征方程式如下，试用劳斯判据判定系统的稳定性及根的分布情况。
（1）010092023=+++s s s （2）020092023=+++s s s
（3）03482234=++++s s s s （4）0154844122345=+++++s s s s s
【解】：（1）劳斯表为 100
4100
209
10
123s s
s s 劳斯表第一列符号没有改变，且特征方程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统三个特征根均位于s 的左半平面。
（2）劳斯表为200
1200
20910
1
2
3s s s s -
劳斯表第一列符号改变二次，该系统特征方程二个根位于右半平面，一个根位于左半平面，系统不稳
定。
（3）劳斯表为3
33
6423
810
12
3
4s s s s s
劳斯表第一列符号没有改变，且特征方
程各项系数均大于0，因此系统稳定，该系统四个特征根均位于
s 的左半平面。