专题07 三角函数的图像与性质-2020年高考数(文)题根探源(全国Ⅰ卷)

专题07 三角函数的图像与性质

【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设函数()cos π

()6

f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为

A. 10π

9 B.

7π6 C. 4π3

D. 3π2

【答案】C

【解析】由图可得：函数图象过点4,09π??- ???，将它代入函数()f x 可得：4cos 09

6π

πω??-?+= ???

又4,09π??

-

???

是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-?+=-，解得：32ω= 所以函数()

f x 最小正周期为

224332

T π

ππ

ω

=

=

=，故选：C 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 【母题来源二】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π

()sin(2)3cos 2

f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-

【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+

-=--=--+2317

2(cos )48

x =-++， 1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．

【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于

cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用

二次函数的性质，出现运算错误．

的

【母题来源三】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()2

2

2cos sin 2f x x x =-+，则

A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3

B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4

C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3

D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B

【解析】根据题意有()135

cos 21(1cos 2)2cos 2222

f x x x x =+--+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为2π

π2

T =

=，且最大值为()max 35422f x =+=.故选B.

【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 【命题意图】

（1）能画出y =sin x ，y =cos x ，y = tan x 的图象，了解三角函数的周期性.

（2）理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值以及与x 轴的交点等）. （3）能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解参数,,A ω?对函数图象变化的影响.

（4）理解同角三角函数的基本关系式、诱导公式，能运用和与差的三角函数公式、二倍角公式等进行简单的恒等变换. 【命题规律】

三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下. 常见的命题角度有： （1）三角函数的图象变换； （2）三角函数解析式的确定；

（3）三角函数的性质（单调性、值域与最值、奇偶性、周期性、对称性等）； （4）函数sin()y A x ω?=+的性质与其他知识的综合应用． 【方法总结】

（一）函数图象的平移变换解题策略

（1）对函数y =sin x ，y =A sin(ωx ＋φ)或y =A cos(ωx ＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x 变为x ±|φ|，而不是ωx 变为ωx ±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. （二）结合图象及性质求解析式y =A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的方法

（1）求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则,22

M m M m

A B -+==

. （2）求ω，已知函数的周期T ，则2π

T

ω=. （3）求φ，常用方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(,0)?

ω

-

作为突破口，具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ=

π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ=3π

2

；“第五点”为ωx ＋φ=2π.

（三）求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法

（1）形如y =a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y =A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； （2）形如y =a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x =t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； （3）形如y =a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t =sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．

（四）三角函数单调性问题的常见类型及解题策略

（1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y =A sin （ωx ＋φ）或y =A cos （ωx ＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． （3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y =A sin （ωx ＋φ）＋b 或可化为y =A sin （ωx ＋φ）＋b 的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决. （五）三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法

（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y =A sin(ωx ＋φ)，y =A cos(ωx ＋φ)，y =A tan(ωx

＋φ)的形式，再分别应用公式T =

2||ωπ，T =2||ωπ，T =||

ωπ求解． （2）对于函数y =A sin （ωx ＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x =x 0或点（x 0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f （x 0）的值进行判断．

（3）若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为偶函数，则φ=k π＋

2

π

（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）取得最大或最小值．若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为奇函数，则φ=k π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）=0. （六）三角函数的图象及性质与三角恒等变换相结合的综合问题

（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式．

（2）利用公式2π

(0)T ωω

=

>求周期．

（3）根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．

（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y =A sin(ωx ＋φ)＋t 或y =A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间． 【好题训练】

1．【2020广西南宁高三调研】如图，

直线 2230x y +-=经过函数() sin()f x x ω?=+（0>ω，||?π<） 图象的最高点 M 和最低点 N ，则

A ．2

π

ω=，4π

ω=

B ．ωπ=， 0?=

C ．2

π

ω=

，4

π

?=-

D ．ωπ=， 2

?π=

【答案】A

【解析】由M ，N 分别是图象的最高点和最低点得其纵坐标为1和1-，代入直线2230x y +-=得其横坐标分别为

12和52，故1,12M ?? ???，5,12N ??- ???

，得51 2222T =-=，故24T πω==，故2πω=，

M

代入()f x 得11sin 22π???

=?+

???

，故12222k ππ?π?+=+，所以24k k Z π?π=+∈，

因为||?π<，所以4

π

?=

，故选A ．

【名师点睛】本题主要考查利用()sin y A x ωφ=+的图象特征，由函数()sin y A x ωφ=+的部分图象求解析式，理解解析式中,,A ωφ的意义是正确解题的关键，属于中档题．A 为振幅，有其控制最大、最小值，ω控制周期，即2T π

ω

=

，通常通过图象我们可得

2T 和4

T

,φ称为初象，通常解出A ，ω之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.

2．【2020福建三明高三三模】函数()|sin |cos 2f x x x =+的值域为 A ．91,

8??

????

B ．1,12??

????

C ．[]0,1

D ．90,8

??????

【答案】D

【解析】由题意得22

()|sin |12sin 2|sin ||sin |1f x x x x x =+-=-++2

1992sin 0,488x ????=--+∈ ????

???

，

故选D.

【名师点睛】本题考查三角函数的恒等变换及性质，考查二次函数值域，考查运算求解能力，是中档题.

3．【2020安徽阜阳高三模拟】已知函数()()2sin 0,0y x ωθωθπ=+><<为偶函数，其图象与直线2y =的交点的横坐标为12,x x ，若12x x -的最小值为π，则 A ．=2=

2

π

ωθ， B ．1

==2

2π

ωθ， C ．1==2

4

π

ωθ，

D ．=2=

4

π

ωθ，

【答案】A

【解析】因为函数与直线2y =的交点的横坐标为12,x x ，且12x x -的最小值为π，所以周期T π=，,所以2=

=2π

ωπ

，又函数为偶函数且0θπ<<，所以=

2

π

θ，故选A. 【名师点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，涉及周期性和奇偶性，属于中档题.

4．【2020河南洛阳高三联考】将函数π()2sin 26f x x ?

?=+

??

?的图象向右平移π

6

个单位长度，再把图象上所 有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是

A ．函数()g x 1

B ．函数()g x 的最小正周期为π

C ．函数()g x 的图象关于直线π

3

x =对称 D ．函数()g x 在区间π2,

6π3??

????

上单调递增 【答案】D

【解析】将函数()f x 的图象向右平移

π6个单位长度得：πππ()2sin 22sin 2666h x x x ?????

?=-+=- ? ????

?????的

图象，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得：()π2sin 6g x x ??

=- ??

?

，()g x 的最大值为2，可知A 错误；()g x 的最小正周期为2π，可知B 错误；π3x =时，ππ66x -=，则π

3

x =不是()g x 的图象的对称轴，可知C 错误；当2,

63ππx ??

∈????

时，ππ0,62x ??-∈????，此时()g x 单调递增，可知D 正确. 【名师点睛】本题考查三角函数图象平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.求解时，根据平移变换和伸缩变换的原则可求得()g x 的解析式，依次判断()g x 的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.

5．【2020湖南邵阳高三质检】已知函数()sin()(0)f x x ω?ω=+>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于

4

π，若()6，x R f x f π??

?∈≤ ???，则正数?的最小值为

A ．6

π

B ．

56

π C ．

3

π D ．

4

π 【答案】B

【解析】∵函数()sin()(0)f x x ω?ω=+>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于4

π， ∴1224

ππ

ω?

=，∴4ω=，∴()sin(4)f x x ?=+， 又∵()6，x R f x f π??

?∈≤ ???，∴6

x π=是()f x 的一条对称轴，

∴46

2

k ππ?π?

+=

+，k Z ∈ ，∴6

，k k Z π?π=-

∈.

∵0?>，故令1k =，得56

π

?=

为最小值.故选：B. 【名师点睛】本题为考查“()sin()f x A x b ω?=++的图像和性质”的基本题型，考查学生对三角函数相关

性质的理解记忆，以及运用，为中等偏下难度题型. 6．【2020广东省韶高三调研】已知函数ππ()sin cos 44f x x x ?

???=-- ? ??

??

?，则下列说法错误的是 A ．()f x 的图象关于π

=

4

x 对称 B ．()f x 的最小正周期为

π

2

C ．()f x 在区间π0,4??????

上是减函数

D ．()f x 的一个对称中心是(π,0)

【答案】D

【解析】ππ1π1()sin cos sin 2|cos2|44222

f x x x x x ?

?????=-

-=-= ? ? ??

?????， 由()f x 的图象知，()f x 的图象关于π

4x =

对称，故A 正确；()f x 的最小正周期为π2

，故B 正确； ()f x 在区间π0,4

??????

上是减函数，故C 正确；点(π,0)不是()f x 的一个对称中心，故D 错误.选：D

【名师点睛】本小题考查三角函数的图象，考查余弦函数的最小正周期、对称轴、对称中心、单调区间等基本知识，考查了运算能力，逻辑推理能力，函数与方程思想，属于中档题.

7．【2020江西赣州高三诊断】已知函数()cos()(0)f x x ω?ω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，

()3f x f π??

???

恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是

A ．

π6

B ．

π3

C ．

2π3

D ．

5π6

【答案】B

【解析】因为函数()()cos f x x ω?=+的最小正周期为π，所以22π

ωπ

=

=，又对任意的x ，都使得

()3f x f π??

≥ ???

，所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k π?ππ+=+，k Z ∈，

即2,3k k Z π

?π=

+∈，所以()cos 23f x x π?

?=+ ??

?，

令222,3

k x k k Z π

πππ≤+

≤+∈，解得,6

3

k x k k Z ππ

ππ-+≤≤

+∈ ，

则函数()y f x =在0,

3π??????

上单调递减，故a 的最大值是3π.故选B 【名师点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.

8．【2020广东佛山高三模拟】已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且()()11f x f x =+-，当[]0,1x ∈时，()3

f x x =，则关于x 的方程()cos f x x π=在15,22??

-????

上所有实数解之和为

A ．1

B ．3

C ．6

D ．7

【答案】D

【解析】因为()()11f x f x =+-，则()()2f x f x =-，所以()f x 的最小正周期为2，又由

()()()111f x f x f x +=-=-得()f x 的图像关于直线1x =对称.令()cos g x x π=，则()g x 的图像如

图所示，由图像可得，()y f x =与()cos g x x π=的图像在15,22??

-????

有7个交点且实数解的和为

2317?+=,故选D.

【名师点睛】一般地，方程()()f x g x =的解的性质的讨论，可以通过构建新函数()()()F x f x g x =-来讨论，也可以通过考虑()y f x =和()y g x =的图像的交点性质来讨论. 9．【2020湖北襄阳高三模拟】关于函数f （x ）=1

sin sin x x

+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称．

②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2

π

对称． ④f （x ）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③

【解析】对于命题①，152622f π??=+=

???，152622f π??

-=--=- ???，则66f f ππ????

-≠ ? ?????

， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数()f x 的定义域为{}

,x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，

()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ?

?-=-+

=--=-+=- ?-?

?，

所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；

对于命题③，

11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ????-=-+=+

? ???

????- ???

， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ????

+=++=+

? ???

????+ ???

，则22f x f x ππ????

-=+ ? ?????

， 所以，函数()f x 的图象关于直线2

x π

=

对称，命题③正确；

对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1

sin 02sin f x x x

=+<<， 命题④错误.故答案为：②③.

【名师点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

10．【2020河南郑州高三质检】已知函数()1

cos 2c 4

os f x x b x c =

++，若对任意1x ，2x R ∈，都有12()()4f x f x -≤，则b 的最大值为 . 【答案】2 【解析】2111()cos 2cos cos cos 424

f x x b x c x b x c =

++=++-，

令[]cos 1,1t x =∈-，问题等价于211()24

g t t bt c =

++-， 对任意1t ?，[]21,1t ∈-，都有()()124g t g t -≤，即max min ()()4g t g t -≤， 欲使满足题意的b 最大，所以考虑0b >，

21

()2

g t t bt c =++对称轴为x b =-，

当01b <<时，2

max min 11()(1),()()22

g t g b c g t g b b c ==++=-=-+

m max 22in ()()4111

(1)2222

g t g t b b b =-=++<≤+，01b ∴<<；

当1b ≥时，max min ()()(1)(1)24g t g t g g b -=--=≤，

2b ≤，12b <≤，综上，02b <≤,b 的最大值为2，故选：C.

【名师点睛】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了二次函数的性质应用问题，属于较难题．