恒成立问题常见类型及解法
不等式恒成立问题的基本类型及常用解法 - 副本
不等式恒成立问题基本类型及常用解法类型1：设f(x)=ax+bf(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔ ⎩⎨⎧0)(0)( n f m ff(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎩⎨⎧0)(0)( n f m f . 例1. 设y=(log 2x)2+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化，y 恒取正值，求实数x 的取值范围。
例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(21)12-+a x 恒成立的x 的取值范围。
类型2：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)f(x) ＞0在x ∈R 上恒成立⇔a ＞0 且△＜0;f(x) ＜0在x ∈R 上恒成立⇔a ＜0 且△＜0.说明：①.只适用于一元二次不等式②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论.例3.不等式3642222++++x x m mx x ＜1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。
类型3：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)（1） 当a ＞0时① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立 ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m a b 或⎪⎩⎪⎨⎧∆-o n a b m 2或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0)(2 n f n a b ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0)(2 n f n a b . ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎩⎨⎧0)(0)( n f m f . （2） 当a ＜0时① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔ ⎩⎨⎧0)(0)( n f m f ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立 ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m a b 或⎪⎩⎪⎨⎧∆-o n a b m 2或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0)(2 n f n a b ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或⎪⎩⎪⎨⎧≥-0)(2 n f n a b . 说明：只适用于一元二次不等式.类型4：a ＞f(x) 恒成立对x ∈D 恒成立⇔a ＞f(x)m ax ，a ＜f(x)对x ∈D 恒成立⇔ a ＜f(x)m in .说明：①. f(x) 可以是任意函数②.这种思路是：首先是---分离变量，其次用---极端值原理。
不等式恒成立问题的基本类型及常用解法
不等式恒成立问题基本类型及常用解法类型1：设f(x)=ax+bf(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔ ⎩⎨⎧0)(0)( n f m ff(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立⇔⎩⎨⎧0)(0)( n f m f .例1. 设y=(log 2x)2+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化，y 恒取正值，求实数x 的取值范围。
解：设f(t)=y=(log 2x-1)t+(log 2x)2-2log 2x+1， t ∈[-2,2] 问题转化为：f(t)＞0对t ∈[-2,2]恒成立 ⇔⎩⎨⎧-0)2(0)2( f f⇔⎪⎩⎪⎨⎧-=-01)(log 03log 4)(log 22222 x x x ⇒0＜x ＜21或x ＞8。
故实数x 的取值范围是（0，21）∪（8，+∞）。
例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(21)12-+a x 恒成立的x 的取值范围。
解：原不等式等价于x 2+ax<2x+a-1在a ∈[-1,1]上恒成立.设f(a)=(x-1)a+x 2-2x+1,则f(a)是a 的一次函数或常数函数， 要使f(a)>0在a ∈[-1,1]上恒成立,则须满足⎩⎨⎧-0)1(0)1( f f ⇔⎪⎩⎪⎨⎧+--023022 x x x x ⇒x>2或x<0 故实数的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞). 类型2：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)f(x) ＞0在x ∈R 上恒成立⇔a ＞0 且△＜0;f(x) ＜0在x ∈R 上恒成立⇔a ＜0 且△＜0. 说明：①.只适用于一元二次不等式②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论.例3.不等式3642222++++x x mmx x ＜1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。
解：由4x 2+6x+3=(2x+23)2+43＞0,对一切实数x 恒成立，从而，原不等式等价于 2x 2+2mx+m ＜4x 2+6x+3, (x ∈R)即：2x 2+(6-2m)x+(3-m)＞0对一切实数x 恒成立。
恒成立问题常见求解技巧
恒成立问题常见求解技巧“恒成立”问题是数学中常见的问题，涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、图象,渗透着换主元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中解法通常有:①变量分离法；②构造函数法；③变换主元法；④数形结合法（图像法）.一、构造函数法：（一）一次函数法给定一次函数()(0)f x kx b k =+≠，若在在区间[],m n 上恒有()0f x >，则()0()0f m f n >⎧⎨>⎩； 若在在区间[],m n 上恒有()0f x <，则()0()0f m f n <⎧⎨<⎩. 例. 若不等式221(1)x m x ->-对[]2,2m ∈-恒成立，求实数x 的取值范围。
（二）二次函数法1. 20(0)ax bx c a ++>≠对x R ∈恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩；20(0)ax bx c a ++<≠对x R ∈恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩； 2. 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用二次函数的图像求解。
例. 已知函数y =R ，求实数m 的取值范围.例. 不等式212x px p x ++>-对(1,)x ∈+∞恒成立，求实数p 的取值范围。
二．变量分离法若在等式或者不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，切容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或者不等号两边，则可将恒成立问题转化为函数的最值问题求解。
理论依据是：()a f x >恒成立max ()a f x ⇔>；()a f x <恒成立min ()a f x ⇔<.例. 当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，求实数m 的取值范围。
“恒成立”问题的解法 通用精品课件
（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型2：设 f (x) ax2 bx c(a 0) ，f (x) 0
2. 变量分离法：
【例4】 当 x (1, 2) 时，不等式 x2 mx 4 0
恒成立，则 m 的取值范围是
.
解：当 x (1, 2) 时，由 x2 mx 4 0
得 m x2 4 .令 f (x) x2 4 x 4
x
x
x
则易知 f (x) 在 (1, 2) 上是减函数，
在区间 [, ] 上恒成立问题：
（1）当 a 0 时，f (x) 0在x [, ] 上恒成立
b 2a
或
b 2a
或
b 2a
，
f ( ) 0 0
f ( ) 0
f
(x)
0在x
[,
]
上恒成立
4.数数形形结结合合法
数形结合思想在高考中占有非常重要的地位， 其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的 精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数 问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思 维有机结合.应用数形结合思想，要熟练掌握一些 概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.
4. 数形结合法：
物质缺乏的年代，大家过得都是差不多的日子，这四家就属老干部老李条件最好，一般买东西都是要用粮票、布票、肉票。要是没有这些票证的话，就算你有钱出去也会饿死的。老干部的待遇好一点，经常用不了那些票证，于是老李就常常把用不完的票证分给了这些邻居。 那个年代的钱特别的顶用，一斤大米一毛三分八；一斤鱼两角钱；一斤牛肉熟的才五角钱；一个大肉包子五分钱；一只烧鸡两元钱；小米一斤一角钱；一个卤猪蹄子两毛钱一个；一盒火柴两分钱；一斤面粉两毛五。全国啥地方都是统一的价格，住的房子都是单位给分的，房子也都不交水电费的。一点也不像现在一会一个价钱。那个时候老干部一般一个月一百多元钱，一般的干部工人多数就是一个月五六十元到七八十元不等。这几家人特别的和睦，就像一家人一样，谁家有事大家都会过去帮忙。
解题-恒成立问题的常见类型及一般解法-靳小平
“恒成立”问题的常见类型及一般解法陕西蓝田县城关中学 靳小平恒成立问题包容性强，涵盖初等数学的许多方面，渗透着换元、化归、构造函数，分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，体现着在变化中把握不变量的数学特征，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，故而在考试中被广泛采用．本文试图列举、归纳恒成立的常见基本类型并探索相应类型的解决办法．1．恒成立的常见表述形式：对于任意实数x D ∈,()0f x >恒成立； 对于任意实数x D ∈，都有()0f x >； 对于任意实数x D ∈，总有()0f x >；对于一切满足条件……的实数x ,都有()0f x >； 比较隐蔽的形式是可转化为恒成立的问题，例如已知函数2()3(6)f x x a a x b =-+-+，若()f x =0有一根小于1，另一根大于1，且6b >-，求实数a 的值；本例可转化为“对于任意实数6b >-，都有(1)0f >，求实数a 的值”而与此相对的是若()f x =0有一根小于1，另一根大于1，当6b >-，且b 为常数时，求实数a 的取值范围。
如此则不是恒成立问题，相当于对于满足条件(1)0f >，且常数6b >-时，求（与b 相依的）实数a 的取值范围．2．含单参数的恒成立问题的基本类型和一般解法2.1与函数定义域有关的简单恒成立问题与函数定义域有关的恒成立问题较为普遍，解题通法当是直接法解决，至关重要的是把握等价关系即充分必要条件．例1．（2007年高考重庆卷理科第13题)若函数()f x =R ，则a 的取值范围为 ．解析：依题意，222222022210,21,22,20,44010xax axax axax ax R x R x R x ax a x R a a a -------≥∈⇔≥∈⇔≥∈⇔--≥∈⇔∆=+≤⇔-≤≤故[]1,0a ∈-的取值范围是a例2．设函数22()c f x x ax a=++，其中a 为实数．(Ⅰ)若()f x 的定义域为R ,求a 的取值范围； (Ⅱ)当()f x 的定义域为R 时，求()f x 的单减区间． 解析：(Ⅰ)依题意220,4004x ax a x R a a a ++≠∈⇔∆=-<⇔<< 故(0,4)a a ∈的取值范围是 (Ⅱ)(略)例3．已知函数2lg(2)y ax ax =++（Ⅰ）若其定义域为R,则a 的取值范围是？（Ⅱ）若其值域为R,则a 的取值范围是？解析：（Ⅰ）函数定义域为R220020,00080000808a a ax ax x R a a a a a a a a >>⎧⎧⇔++>∈⇔=⇔=⇔⎨⎨∆<-<⎩⎩>⎧=⇔≤<⎨<<⎩或或或（Ⅱ）2200R 208080a a ax ax a a a >>⎧⎧⇔++>⇔⇔⇔≥⎨⎨∆≥-≥⎩⎩函数值域为在例3（Ⅱ）中函数值域为R ，即对任何有意义的x ，函数值恒为实数，其充要条件是220ax ax ++>（而不是大于某正数），即00a >⎧⎨∆≥⎩．2.2．与函数值域有关的较为复杂的恒成立问题这类恒成立问题的一般分为两类：可直接分离参数的：解法可概括为四步：第一步，分离参数；第二步，不等式一边函数化；第三步，求函数值域；第四步，确定参数范围，恒大取大，恒小取小（形象地说是“擒贼先擒王”）．第二类：不便于直接分离参数的，解法是：第一步，分离常数项；第二步，代数式一边函数化（构造函数）；第三步，求函数值域；第四步，确定参数范围，恒大取大，恒小取小.例4．设3()3x f x =，对任意实数t ，记232()3t g x t x t =-．（Ⅰ）求函数8()()y f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）求证：①当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立；②有且仅有一个正实数0x ，使得800()()t g x g x ≥对任意正实数t 成立． 解析：（Ⅰ）略（Ⅱ）证明：①2332332'2311'3311''33min 20()()00330()02(),33(),()0-(0,)()0,();(,)()0()()(t x x f x g x t x t x t t x k x t x k x t x t k x x t k x x t x t x t k x k x x t k x k x k x k t >≥⇔>-+≥⇔>≥=-+=-===∈<∈+∞>∴=当时，对任意正实数成立，对任意正实数恒成立时，对任意正实数恒成立而令解得或（舍去）时为减函数时，为增函数132)033t t t =-+=证明：②2380023162()()4332164+033t g x g x t x t x t t t x x t t ≥⇔-≥-⇔--≤对任意正实数恒成立对任意正实数恒成立对任意正实数恒成立23216()=4+33h t t x x t --令3113333233333max 2333222()=(1),()=0333(0,)()0,()(,+)()0,()216116()()()4+4.33332161164+0403333116()433x xh t h t t x t tx x h t h t x x h t h t h t h x x x x x x x t x x t t x x x x x ϕ''-=-=''∈>∈∞<∴==--=-+∴--≤⇔-+≤=-+'解得时为增函数；时为减函数对任意正实数恒成立再令2min 3000023()4()=2-2(0,2)()0,()(2,+)()0,()()(2)116=2()4=0332164+033x x x x x x x x x x x x x x x x t x x t t ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-'==''∈<∈∞>∴=∴=-+--≤=解0得或（舍去）时为减函数；时为增函数=0存在唯一正实数使从而使对任意正实数恒成立小结：例4中反复用了构造函数解决问题的方法． 2.3.与自然数命题有关的恒成立问题这种类型的恒成立问题，往往是对任意自然数，或某个范围内的自然数，某种命题恒成立．由于自然数不满足实数的连续性，所以在解决问题的过程中还需谨慎对待．22722.09(21)9n n x x n x ≤+-≤+例5不等式对任意自然数均成立，解关于实数的不等式2222222272209(21)92722+(21)99(21)1721+11992+22+222272722+0=1999999n n n n n n n nn n x x n x x n x x n x x x x x x ≤+-≤⇔+≤+≤⇔++≤+≤⇔++≤+≤⇔+⇔==-解析：对任意自然数均成立对任意自然数均成立对任意自然数均成立或 小结：例5中21721+11992+22+222n n n nx x ≤+≤++恒成立需要求左式112+22n n +的最大值，求右式21+192+22n n+的最小值，而求这两个最值关系到122n n+的最值． 2.4.与函数图像有关的恒成立问题这种类型的恒成立问题，其基本特点是数形的深刻结合，离开函数图像的“形”的特征，运算会变得复杂而困难．相反地，利用数形结合的原理则可简单直观的解决问题．1201,(),(1,1)(),2x a a f x x a x f x a >≠=-∈-<例6：已知且当时，均有则实数的取值范围是1111.0,[2,),.[,1)(1,4],.[,1)(1,2],.(0,][4,2422A B C D ⎛⎤+∞+∞ ⎥⎝⎦解析：()()()()()2,,f xg x x g x x x ϕϕ=-=令其图像如图1所示， 由指数函数的性质可得2(1)2110110112,(1,1)11112(1)(1)(1)(1)(1)1222211212a a a a x x a x g g a a a a ϕϕ-><<><<⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪-<∈-⇔⇔⎨⎨⎨⎨---<-<--<-<⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩⇔<<<<或或或 小结：借助函数图像，通过数形结合把问题转化为对区间一端函数值的比较，从而达到简化问题的目的．2.5. 与几何（立体几何或解析几何）图形有关的恒成立问题这类问题主要体现在对于一个（或若干个）参量在其取值范围内的任意值，某些几何图形要素例如点、线或面具备某种确定不变的几何性质或数量特征．解决问题的关键是寻找满足题意的充分必要条件．例7：如图2，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD,SD=2a ．点E 是SD 上的点，且DE=a λ，（0<λ<2）(I)求证：对任意的(0,2],AC BE λ∈⊥都有图1(II)设二面角C-AE-D 的大小为θ，直线BE 与平面ABCD 所成的角为ϕ，若t a n t a n 1,θϕ⋅=求λ的值．解析：(I)证明：对任意的(0,2],AC BE λ∈⊥都有⇔ 对任意(0,2],0AC BE λ∈⋅= )(+DE =AB BC BD λ⇔∈+⋅对任意（0,2],()0C (+D S =C +CD S =C +CD S =A B D A B D A A B D A λλλλλλ⇔∈⋅⇔∈⋅⋅∈⋅⋅对任意（0,2],)0对任意（0,2]，0而依题意，对任意（0,2]，0显然成立. (II)（解略）3. 其他类型的恒成立问题及特殊解法3.1利用不等式性质解决恒成立问题利用基本不等式可以很简洁明快的解决某些恒成立问题． 例8．设22110,2()x a a x a x <<+≥-恒成立，求的取值范围 22min 222222211.()110,22()1112802()()2()282,0 2.x x a x x a x x a x ax a x x a x x a x x a x a a a +-<<+≥⇔≥-<<+≥≥==+---∴≥<≤解析：令f()=恒成立f()而时，.（时等号成立）解得1()()9,ax y x y a x y++≥例9：已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ）S ABCD图2A ．2B ．4C ．6D ．8min 2211()()(),()()9,()91()()1()()993244a af x x y x y x y x y x yf x a x y x y a x y a x y a =++++≥⇔≥++≥∴++≥⇔≥⇔≥⇔⇔≥∴解析：令对任意正实数恒成立而（1（1（1的最小值为小结：利用基本不等式，解决恒成立问题可以化解分离参数的麻烦，但关键是把握恒成立的本质——寻求充分必要条件． 3.2. 利用主、辅元转换法解决恒成立问题．这种方法尤其适合参变量次数为一次的恒成立问题，通过将表达式中主、辅元转换，可以达到把复杂紊乱的问题简化为简单直观问题的效果． 例10：若不等式221(3)x m x ->-对满足11m -≤≤的所有m 都成立，求x 的范围．解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将原不等式化为：2(3)(21)0m x x ---<，； 令2()(3)(21)f m m x x =---，则11m -≤≤时，0)(<m f 恒成立⇔(1)0(1)0f f -<⎧⎨<⎩⇔221(3)(21)01(3)(21)0x x x x ⎧-⋅---<⎪⎨⋅---<⎪⎩， 所以x的范围是11)x ∈．小结：主副元互换可以实现对问题的有效转化，应用这种方法的过程中关键还是把握恒成立的本质．4. 含双参数的恒成立问题4.1. 有相关联系的双参数问题22().(,),.()()()0()()f x x bx c b c R x R f x f x x f x x c '=++∈∈≤I ≥≤+例11.已知函数对任意的恒有证明：当时，（II ）22,()()()b c f c f b M c b -≤-若对满足题设条件的任意，不等式M 恒成立，求的最小值.解析：（I ）略（II ）.b I ≥由（）得，c2222222()()2.f c f b c b b c b c bc b M c b c b b c --+-+>≥==--+当时，有 21,11,2.11()2(11)1b c b t t c b c tg x t t+=<<=-++=--<<+令则-令函数223()(,),23()()()[,)2g x c b f c f b M c b M ∈-∞>-≤-⇔∈+∞因此当时，恒成立22.()()().c b f c f b M c b M R =I ±-≤-⇔∈当时，由（）得，b=2,c=2此时恒成立22,3()()()[,).2b c f c f b M c b M -≤-⇔∈+∞综合以上两种情况，对满足题设条件的任意，不等式恒成立 即M 最小值为32． 小结：例11是含双参数的恒成立问题，在解题过程中，.b I ≥由（）得，c 所以所含双参数之间存在相关联系，故而后续的步骤中,bt c=令并借助,b c 的关系，推得11t -<<,继而构造新函数1()21g x t=-+(11)t -<<以解决问题．4.2. 两参数之间没有相关联系的恒成立问题例12．已知函数432()2f x x ax x b =+++（x R ∈），其中R b a ∈,． （Ⅰ）当103a =-时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，求b 的取值范围．解析：（Ⅰ）（略） （Ⅱ）（略）（Ⅲ）解：由条件[2,2]a ∈-，可知29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒成立． 当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．因此函数()f x 在[1,1]-上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者．为使对任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立⇔111))1((f f ≤-≤⎧⎨⎩，即22b a b a ≤--≤-+⎧⎨⎩，在[2,2]a ∈-上恒成立．所以4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是(,4]-∞-．小结：例12中两个参数,a b 一开始没有相互的联系，按照题意获得22b a b a≤--≤-+⎧⎨⎩这组关系，基于此关系最终解决恒成立问题． 5. 含双变量的恒成立问题此类问题一般解法应该是先将一变量“固定”看成常数，对另一变量进行恒成立的讨论，结果是关于前一变量的关系式，然后再对这一关系式进行恒成立的讨论，即可获得此类恒成立问题的解．特殊的解法是运用数形结合处理双变量的关系．2281,R 20.x y x xy a x a ∈+-+≥例13.已知对一切，不等式恒成立.求实数的取值范围222222max8120,R 812812x xy a x y x a x xy x a x xy x +-+≥∈⇔≤+-+⎧⇔≤+-⎨⎩解：不等式对一切恒成立.222222221222818122229()(29,(,),(,:9:2(0) 6.x xy x xy y y x x x y xM x N y M C xy xN C x y y MN a +--++--=-+-=+=≤≤而采用数形结合如图3所示，设则点在曲线上，点在曲线显然以上所述的恒成立问题仅是笔者在教学过程中积累的一些常见类型。
微专题不等式恒成立问题常见类型及解法
恒成立问题常见类型及解法恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：（1）一次函数型；（2）二次函数型；（3）变量分离型；（4）利用函数的性质求解；（5）直接根据函数的图象求解；（6）反证法求解。
一、一次函数型给定一次函数()==+y f x kx b (k ≠0),若()=y f x 在[m,n]内恒有()f x >0，则根据函数的图象（线段）可得①0()0>⎧⎨>⎩k f m 或②0()0<⎧⎨>⎩k f n ，也可合并成f (m)0f (n)0>⎧⎨>⎩，同理，若在[,]m n 内恒有()0<f x ，则有f (m)0f (n)0<⎧⎨<⎩.典例1.若不等式2x -1>()21-m x 对一切[]2,2∈-m 都成立，求实数x 的取值范围。
【解析】令f (m)＝（21-x ）m －2x ＋1，则上述问题即可转化为关于m 的一次函数=y ()f m 在区间[-2，2]内函数值小于0恒成立的问题。
考察区间端点，只要(2)(2)-⎧⎨⎩＜0，＜0f x f 即x的取值范围是（12，12）. 二、二次函数型若二次函数2(0,)=++≠∈y ax bx ca x R 的函数值大于（或小于）0恒成立，则有a 00>⎧⎨∆<⎩（或00a ì<ïïíïD <ïî），若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及二次函数的图象求解。
典例2关于x 的方程9x +(4+a )3x +4=0恒有解，求a 的取值范围。
【解析】方法1（利用韦达定理）设3x=t,则t>0.那么原方程有解即方程t 2+(4+a )t+4=0有正根。
1212Δ0(4)040≥⎧⎪∴+=-+>⎨⎪=>⎩g x x a x x ，即2(4a)160a 4⎧+-≥⎨<-⎩，a 0a 8a 4≥≤-⎧∴⎨<-⎩或，解得a ≤-8.方法2（利用根与系数的分布知识）即要求t 2+(4+a )t+4=0有正根。
恒成立问题常见类型及解法
恒成立问题常见类型及解法重庆清华中学 张忠在近年高考试题中，常见条件中出现“恒”、“都”、“总”、“永远”、“一切”等关键词的试题，我们习惯上称之为恒成立问题。
对此类题，许多学生常常一筹莫展，但如果了解它的题型，选择合适的对策，解决问题就会游刃有余。
高中数学中的恒成立问题，总体上分为两种典型类型：等式的恒成立和不等式的恒成立。
一、等式的恒成立问题（恒等问题）【例】 是否存在常数a 、b 、c 使得等式：122311122222··…++++=+++n n n n an bn c ()()()对一切自然数n 都成立？证明你的结论。
(一). 利用多项式恒等定理，建立方程组求参数多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于a 的任意一个取值，都有f (a )g (a )；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
解法一：因为3222)1(n n n n n ++=+所以12231222··…++++n n ()=++++++++++++=++++++=+++()()()()()()()()()1232121212131211411231110222333222………n n n n n n n n n n n n n n显然当a b c ===31110，，时等式对一切自然数n 都成立。
(二). 待定系数法和数学归纳法对策：先用待定系数法探求a 、b 、c 的值，再利用数学归纳法证明等式对一切自然数n 都成立。
解法二：令n=1，n=2，n=3可得，解得。
以下用数学归纳法证明：等式1·22+2·32+…+n(n+1)=(3n 2+11n+10)对一切自然数n 都成立(证略)。
(三)、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)((f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。
恒成立问题题型大全（详解详析）
不等式中恒成立问题在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
恒成立问题的基本类型：2f(x) 0在x Rf(x) ax bx c(a 0)类型1：设，（1）且 0f(x) 0在x R；上恒成立 a 0且 0 a 0（2）上恒成立。
2f(x) ax bx c(a 0)类型2：设f(x) 0在x *,+a 0（1）当时，上恒成立或或bbb2a2a2a，() 0 f() 0 f() 0 0ff(x) 0在x *,+ 上恒成立f() 0 f() 0 f(x) 0在x *,+a 0 （2）当时，上恒成立f() 0 bbbf(x) 0在x *,+ 或或2a2a2a 上恒成立类型3：f() 0 0f() 0f(x) 对一切x I恒成立 f(x) min f(x) 对一切x I恒成立 f(x) 。
max类型4： f(x) g(x)对一切x I恒成立 f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x) g(x)minmax(x I) 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。
一、用一次函数的性质f(x) kx b,x *m,n+ 对于一次函数有：恒成立 ,f(x) 0恒成立 f(m) 0f(m) 0 f(x) 0f(n) 0f(n) 0 12m2 m 22x1 m(x1)例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。
解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：222 m 2m(x1)(2x1) 0f(m) m(x1)(2x 1)，；令，则时，恒成2 f(2) 02(x1)(2x1) 0 f(m) 0立，所以只需即，所以x的范围 f(2) 02 2(x1)(2x1) 01713x (,)是。
22二、利用一元二次函数的判别式2f(x) ax bx c 0(a 0,x R) 对于一元二在x R（1）上恒次函数有： a 0且 0f(x) 0成立； a 0且 0f(x) 0在x R（2）上恒成立2(m1)x(m1)x2 0例2：若不等式的解集是R，求m的范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f (2)＜0 7 1 3 1 ，解得 ＜x＜ , 2 2 f (2)＜0
即 x 的取值范围是（
7 1 3 1 ， ）. 2 2
自己不勇敢，没人替你坚强
版权：余干二中数学教研组
二、二次函数型
ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是： a >0 a=b=0 或
C>0 Δ=b2-4ac<0
版权：余干二中数学教研组
四、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题
【理论阐释】
若把不等式进行合理的变形后，能非常容
易地画出不等号两边对应函数的图象，这样就把 一个很难解决的不等式的问题转化为利用函数图
象解决的问题，然后从图象中寻找条件，就能解
决问题。
自己不勇敢，没人替你坚强
版权：余干二中数学教研组
版权：余干二中数学教研组
浅谈“恒成立”问题
主讲人：江万鹏
自己不勇敢，没人替你坚强
版权：余干二中数学教研组
高考探究
“恒成立”问题是数学中常见的问题，涉 及到一次函数、二次函数、指数函数、对 数函数的性质、图象,渗透着换元、化归、 数形结合、函数与方程等思想方法,在培养 思维的灵活性、创造性等方面起到了积极 的作用. 因此也成为历年高考的一个热点。
2
，
x2 【解析】 依据题意得 2 1 4m2 ( x2 1) ( x 1)2 1 4(m2 1) 在 m
3 x [ , ) 上恒定成立， 2 1 3 2 3 2 即 2 4m 2 1 在 x [ , ) 上恒成立。 m x x 2
自己不勇敢，没人替你坚强
典例导悟
若不等式 log a x sin 2 x (a 0且a 1) 对于任意 x ∈ (0, ] 都 4
成立，求 a 的取值范围.
自己不勇敢，没人替你坚强
版权：余干二中数学教研组
【解析】作出函数 y sin 2 x 的图
象，由题意知 在 x ∈(0, ］上， 4
函 数 y loga x 的 图 象 总 在 函 数
当 x = 时 ， log 4
< a <1。 4
a
sin(2 ) 1 log a a , 又 0 a 1 ， 得 4 4
自己不勇敢，没人替你坚强
版权：余干二中数学教研组
自己不勇敢，没人替你坚强
版权：余干二中数学教研组
以下是 常规题型讲解
自己不勇敢，没人替你坚强
版权：余干二中数学教研组
一、一次函数型
f(x)=ax+b,x [α,β]，则： f(x)>0恒成立＜ ＞
f()>0 f()>0 f()<0 f()<0
f(x)<0恒成立＜
＞
y 只要该函数是一次函数，那么它一定是单调函数， 不管它在给定的区间是增函数还是减函数， 只要满足两端点所对应的函数值同时大于或小于零就足够了
______________________。
ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是： a<0 a=b=0 或
2-4ac<0 C <0 Δ = b ______________________。
如果把“＞（或＜）”变成“≥ （或≤）”，充要条件还一样吗？ 自己不勇敢，没人替你坚强
版权：余干二中数学教研组
版权：余干二中数学教研组
3 3 2 5 当 x 时函数 y 2 1 取得最小值 ， 2 x x 3 1 5 2 2 2 所以 2 4m ，即 (3m 1)(4m 3) 0 ， m 3
3 3 解得 m 或m 。 2 2
自己不勇敢，没人替你坚强
α
o
β
x 自己不勇敢，没人替你坚强
版权：余干二中数学教研组
典例导悟
若不等式 2 x 1> m x 2 1 对一切 m 2,2 都成立，求实数 x 的取值范围。
【解析】令 f (m) ＝（ x 2 1）m －2 x ＋1，则上述问题即可转化为关于 m 的 一次函数 y f ( m) 在区间[-2，2]内函数值小于 0 恒成立的问题。考察区 间端点，只要
f ( x)在x D上恒成立 m [ f ( x)]max
m f ( x)在x D上恒成立 m [ f ( x)]min
说明： f ( x)
指该函数值域的边界 Max或min
自己不勇敢，没人替你坚强
版权：余干二中数学教研组
典例导悟
3 f x 4m2 f ( x) f ( x 1) 4 f (m) , 设函数 f ( x) x 1，对任意 x 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。
m [1,9)
自己不勇敢，没人替你坚强
版权：余干二中数学教研组
三、变量分离型
【理论阐释】
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变 量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易 通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的 两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求 解。
思路1： m
思路2：
自己不勇敢，没人替你坚强
版权：余干二中数学教研组
一、恒成立问题常见的题型
1. 函数、数列的恒成立问题
2. 由等式或不等式恒成立求参数的值或取值范围
3. 证明不等式恒成立
自己不勇敢，没人替你坚强
版权：余干二中数学教研组
二、解决恒成立问题常用的方法
1
函数性质法
常用 方法
4
2
变量分离法
3
数形结合法
换元法
y sin 2 x 的图象的上方.
0 a 1。
作 直 线 x = ， 与 y loga x 和 4
y sin 2 x 的图象分别交于 A、B 两
点，为保证 y loga x 在区间
自己不勇敢，没人替你坚强
版权：余干二中数学教研组
（0， ］上的图象在 y sin 2 x 图象的上方，不难从图中得到其条件 4 是点 A 在点 B 的上方。
典例导悟
若关于X的不等式(m 1)x 2 (m 1)x 2 0解集为R，求m的范围。 解析：（1）当m-1=0时，原不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）当 m 1 0 所以
m 1 0 时，只需 2 ( m 1 ) 8(m 1) 0