变系数常微分方程的解法探讨
变系数高阶非线性常微分方程组的求解
变系数高阶非线性常微分方程组的求解高阶非线性常微分方程组是一类常见的数学问题，其求解相对复杂且困难。
在本文中，将介绍高阶非线性常微分方程组的求解方法，包括常微分方程组的基本概念、求解思路和常用的数值解法。
一、常微分方程组的基本概念常微分方程组是由多个未知函数及其导数构成的方程组。
一般形式如下：'''F(x, y, y', ..., y^(n)) = 0,'''其中 x 是自变量，y 是一维或多维向量函数，y' 是 y 对 x 的一阶导数，y^(n) 是y 对 x 的 n 阶导数。
二、求解思路对于高阶非线性常微分方程组的求解，可以采取以下基本思路：1. 将高阶微分方程组转化为一阶微分方程组，常用方法是引入新的变量，将高阶导数转化为一阶导数的形式。
2. 采用数值方法求解一阶微分方程组。
常用的数值方法如欧拉法、龙格-库塔法等。
3. 可以通过变换将非线性常微分方程组线性化，进而求解出线性常微分方程组。
常用的方法有变换解法和相似变换法。
4. 使用符号计算工具进行求解。
现在有很多符号计算软件，如Mathematica、Maple 等，可以通过输入方程组的符号形式，求解出方程的解析解。
三、数值解法对于高阶非线性常微分方程组，数值解法是仅仅通过计算机运算来近似求解方程的解。
以下介绍常用的数值解法：1. 欧拉法：欧拉法是最简单的一种数值解法。
它利用一阶导数的定义，将微分方程离散化为有限步长的近似计算。
2. 龙格-库塔法：龙格-库塔法是一种常用的数值解法，通过递推计算，可以获得比欧拉法更高阶的数值解。
常用的有二阶和四阶的龙格-库塔法。
3. 改进的欧拉法：改进的欧拉法在欧拉法的基础上进行了改进，提高了数值解的精度。
常用的有改进的欧拉法和龙格-库塔法。
四、符号计算解法符号计算软件可以通过输入方程组的符号形式，求解出方程组的解析解。
以下介绍常用的符号计算解法：2. 手工计算：对于简单的方程组，可以通过代数运算和微积分知识进行手工计算，推导方程组的解析解。
§5.1变系数二阶线性齐次常微分方程的特殊解法
"
1.通过自变量的变换使方程的系
数化为常数
如
p1 p c1 , q1 q 2 c2 ,
則1 t c2 q' (p ) c1 , q 2q
q 1 dx ( x), c2
y c1 y c2 y 0。
2.通过未知函数的齐次线性变换使 方程的系数化为常数
四. 降阶法
• 1.d’Alembert 降阶法 设已知一个特解（用观察法）y1,用变换 y=uy1 可以把原方程化为关于 u 的一阶线 性方程。 • 2.利用算子因式分解降阶
END
1. 求解二阶线性常微分方程 的 重要性
这些方程 是物理学与科学技术最常见的，有直接应 用； 是解高阶线性常微分方程的基础； 是解数学物理方程和学习后继课程的基础。
1. 方程（5。1——1）对自变 量的任意变换的保线性性
x (t ),
方程（5。1——1）化为
y p1 (t ) y q （t ) y 0, 1
" '
2 p1 p , q1 q ,
2. 方程（5。1——1）对未知函数 的线性变换的保线性性
y ( x) ( x)u ( x) ( x),
y p( x) y q( x) y 0
（5。1——1）
• 1. 方程（5。1——1）对自变量的任意变换 的保线性性 • 2. 方程（5。1——1）对未知函数的线性变 换的保线性性
三.常系数化法
1.通过自变量的变换使方程的系数化 为常数 2.通过未知函数的齐次线性变换使方 程的系数化为常数
2
q2 q p d2 ,
p2 p
d1 ,
常微分方程的特解法
常微分方程的特解法在数学中，常微分方程是研究变量是一个实数的函数的方程。
它在自然科学、工程学、经济学和金融学等各个领域都有广泛的应用。
通常我们研究的是方程的一般解。
但在实际问题中，我们有时需要求解一些特殊情况下的特解，以满足具体问题的需要。
常微分方程的特解法就是为了让我们能够快速有效地求解这些特殊情况下的解。
一、常变系数一阶线性微分方程在常变系数一阶线性微分方程中，我们通常使用变量分离法解方程。
通常情况下，常微分方程的一般形式为：$$y'(x)+p(x)y(x)=q(x)$$其中p(x) 和q(x)都是已知函数。
我们可以将这个方程变形为：$$\frac{dy(x)}{dx}+p(x)y(x)=q(x)$$我们将y(x)单独放在等式左边，将x 和y(x)的导数单独放在右边，即：$$\frac{dy(x)}{y(x)}=q(x)-p(x)dx$$对于等式右边的积分：$$\int q(x)-p(x)dx$$我们可以得到：$$y(x)=Ce^{-\int p(x)dx}+\int q(x)e^{-\int p(x)dx}dx$$其中C是我们特殊情况下的常数。
二、常变系数二阶线性微分方程对于常变系数二阶线性微分方程的求解，我们通常使用特征方程法、变换法和特殊函数法。
这里我们介绍一下特征方程法。
对于形如下面这个方程的常变系数二阶线性微分方程：$$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)$$我们先将这个方程变形，得到：$$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0$$然后我们构建特征方程：$$r^2+p(x)r+q(x)=0$$通过求解这个方程的解r，我们可以得到y(x)的一个通解：$$y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$$其中$y_1(x)$和$y_2(x)$是方程$r^2+p(x)r+q(x)=0$ 的两个线性无关解。
常微分方程论文_高阶变系数微分方程的求解
高阶变系数微分方程的求解探讨摘要：本文探讨了高阶变系数微分方程的求解方法，通过对系数的变化和一些巧妙方法的运用，使得变系数方程也能求得通解，补充了我们所学的空白之处。
关键词：常微分方程；通解；变系数方程；高阶方程； 前言：我们已经学习了二阶及高阶常微分方程的求解，其中包含了可降阶的微分方程求解，线性微分方程的通解结构和求通解的方法，不过在实际应用的时候，我们会发现大多数要求解通解的方程都是变系数的，这个带给我们新的思考，如何才能求解高阶变系数微分方程。
本文从二阶线性变系数微分方程说起，通过一定的变量代换将二阶变系数微分方程的通解求出，然后扩展到三阶，四阶以及更高阶的变系数微分方程求解，文章的最后还给出了一种在解题过程中的小窍门供各位参考一用。
一 二阶变系数线性微分方程的探讨首先，我们知道二阶非变系数齐次线性微分方程的基本形式形如012'''0a x a x a x ++=,所以我们可以将变系数的二阶线性微分方程的表达式先粗略地归类为012()''()'()0a t x a t x a t x ++=。
我们自然而然地会去想如何才能将()a t 这些变系数化为常系数，这样方程就能解出来了。
这里采用的方法的是变量代换的方法，将()a t 通过变量代换转化到x 中去，从而得到一个新的变量z 。
下面给出具体的代换方法：首先，我们给出这样的变换：()x z t ϕ=。
而我们之前想要的式子形式是012'''0a z a z a z ++=，所以我们将()x z t ϕ=代入原方程中。
得到00()''()(())''a t x a t z t ϕ=00()((())')'()('()'())'a t z t a t z t z t ϕϕϕ==+0()(''()2''()''())a t z t z t z t ϕϕϕ=++同理可得11()'()(())'a t x a t z t ϕ=1()('()'())a t z t zt ϕϕ=+22()()()a t x a t z t ϕ=分别关于/'/''z z z 进行整理可得00()()''''a t t z a z ϕ=011[2()'()()()]''a t t a t t z a z ϕϕ+=0122[()''()()'()()()]a t t a t t a t t z a z ϕϕϕ++=由上面三个式子左右两侧同时约去z 我们可以得出00()()a t t a ϕ=011[2()'()()()]a t t a t t a ϕϕ+=0122[()''()()'()()()]a t t a t t a t t a ϕϕϕ++=所以只要通过上述的变化，将变量换成z ，并得到三个系数，便可以将原来的那个方程化为我们所熟悉的线性非变系数微分方程012'''0a z a z a z ++=，然后通过这个式子解出来关于z 的通解，之后再讲x 代入式子中，便能得到关于x 的通解，至此问题就被解决了，而对于二阶变系数非齐次线性微分方程而言，只要先利用上述方法求出对应的齐次方程的通解，然后按照我们之前所学利用常数变易法得出方程的解即可。
各类变系数微分方程的解法
各类变系数微分方程的解法在数学中，微分方程是一类重要的方程，用于描述某一未知函数与它的导数之间的关系。
变系数微分方程是一类特殊的微分方程，其系数在方程中是变量，随着自变量的变化而变化。
本文将介绍几种常见的变系数微分方程的解法。
1. 变量可分离的变系数微分方程的解法变量可分离的变系数微分方程是指方程中的未知函数和自变量可以分开计算导数的方程。
其解法步骤如下：1. 将方程化为标准形式，即将未知函数和自变量分开；2. 对方程两边分别积分，得到两个方程；3. 求解得到的两个方程。
2. 全微分的变系数微分方程的解法全微分的变系数微分方程是指方程可以表示为一个函数的全微分形式的方程。
其解法步骤如下：1. 将方程化为全微分形式，即将方程两边进行整理得到全微分的形式；2. 求解全微分得到的方程。
3. 齐次的变系数微分方程的解法齐次的变系数微分方程是指方程中的函数和其各阶导数的次数相同。
其解法步骤如下：1. 将方程化为齐次形式，即将方程两边进行整理得到齐次的形式；2. 进行变量代换，令齐次形式中的未知函数为新的变量；3. 求解代换后的方程。
4. 可降阶的常系数线性微分方程的解法可降阶的常系数线性微分方程是指方程中的未知函数的导数可通过多次积分得到的方程。
其解法步骤如下：1. 通过多次积分，将方程中的未知函数的导数降阶，得到最低阶数的方程；2. 求解降阶后的方程。
需要注意的是，不同类型的变系数微分方程可能需要不同的解法。
以上仅是几种常见的解法，实际问题中可能还有其他解法。
希望本文对变系数微分方程的解法有所帮助。
参考文献：1. 张全董，高等微积分学教程，北京：高等教育出版社，2005.2. 侯世和，数学分析，北京：高等教育出版社，2004.。
几类变系数常微分方程通解的求法
淮阴师范学院学报( 自 然科学) JOURNAL OF HUAIY IN TEACHERS COLLEGE ( Natural Science)
Vol110 No1 6 Dec. 2011
几类变系数常微分方程通解的求法
王小才, 吴延东
( 淮阴工学院 数理学院, 江苏 淮安 223003)
d2 x dy2
+
c2
dx dy
-
c1 x =
<( y )
( 3)
式( 3) 是二阶常系数线性微分方程, 它一定可解, 所以原方程一定可解.
应用举例:
例 1 求 yd+ ( 2e2y - 4x ) yc3 = - 4yc2 , 的通解.
解:
把dy dx
=
1 xcy
和
d2 y dx 2
=
-
xcyc ( xcy ) 3
0 引言
早在 1841 年法国数学家刘维尔( Liouville) 指出: 绝大多数微分方程不能用初等积分求解. 人们能够 用初等积分法求解的微分方程很有限. 目前, 人们已经彻底解决了常系数线性微分方程的求解问题. 但 是, 对于变系数常微分方程, 至今没有找到求其通解的一般方法.
近年来, 关于变系数微分方程解法的相关研究, 已经有了一些结果[ 3-8] . 这些结果提供了求解变系数 微分方程问题一些新的途径. 方辉平[ 3] 等人将二阶的变系数齐次微分方程转化成 Riccat i 方程, 并且研 究了 Riccat i 方程求近似解的方法, 从而给出了求二阶的变系数齐次微分方程初值问题近似解的一种方 法. 方书盛[4] 运用微分算子运算的基本原理, 给出了求解变系数微分方法的算子求法. 文[ 4] 的解法具 有一定的应 用价值, 但解 法的计算 公式较复 杂, 使用不够 方便. 杜庆[7] 研 究了形 如 yd + p ( x ) y + q ( x ) = 0 的二阶变系数微分方程, 在已知一个特解 y 1( x ) 的情况下, 通过线性变换, 找到了一个既与
变系数常微分方程 有限差分
变系数常微分方程有限差分
变系数常微分方程是指微分方程中的系数是关于自变量的函数。
有限差分是一种数值方法，用于求解微分方程的近似解。
结合这两
个概念，我们可以讨论如何利用有限差分方法来解变系数常微分方程。
首先，我们可以考虑将变系数常微分方程离散化为差分方程。
通过有限差分的方法，我们可以将微分方程中的导数用差分近似来
表示，从而得到一个差分方程。
这个差分方程可以用于计算微分方
程的近似解。
其次，有限差分方法可以用来解决一维、二维甚至三维的偏微
分方程。
针对变系数常微分方程，我们可以考虑将其离散化为差分
方程，然后利用有限差分方法进行数值求解。
这种方法在工程、物理、生物等领域都有广泛的应用。
另外，有限差分方法还可以用于处理边值问题和初值问题。
对
于变系数常微分方程，我们可以通过有限差分方法来处理不同的边
值条件和初值条件，从而得到微分方程的数值解。
总之，有限差分方法是一种常见的数值方法，可以用于求解各种类型的微分方程，包括变系数常微分方程。
通过将微分方程离散化为差分方程，然后利用有限差分方法进行数值求解，我们可以得到微分方程的近似解。
这种方法在实际工程和科学计算中具有重要的应用意义。
常微分方程的变系数线性方程
常微分方程的变系数线性方程常微分方程是数学中非常重要的一个分支，它是研究描述自然现象的数学模型的一个基础。
在数学的实用领域中，常微分方程广泛应用于物理学、化学、生物学等各个领域。
而变系数线性方程也是常见的一个类型，本文将会从这个角度来谈论常微分方程的变系数线性方程。
一、变系数线性方程概述变系数线性方程是指常微分方程中的一类，它的形式如下：$$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)$$其中$p(x)$和$q(x)$为$x$的函数，$f(x)$为已知函数。
我们可以发现这是关于$y$的二阶线性常微分方程，但是其系数$p(x)$和$q(x)$是关于$x$的函数，所以它被称为变系数线性方程，相对于其它常微分方程，它的求解难度稍微高一些。
变系数线性方程是许多自然现象的数学模型，比如振动系统和电路等。
其中的$p(x)$和$q(x)$是描述系统中物理特性的函数，它们的变化对系统的动态行为产生了重要影响。
因此，对变系数线性方程的求解是建模和分析这些系统的重要步骤。
二、变系数线性方程常见求解方法1.求解齐次方程我们考虑$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0$的齐次方程，它可以写成标准的形式：$$\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0$$当$p(x)$和$q(x)$为常数时，我们可以采用标准方法来求解它的通解。
在变系数线性方程中，我们也可以采用类似的方法，设$y=e^{mx}$，代入方程，可以得到特征方程：$$m^2+p(x)m+q(x)=0$$解出特征方程的根$m_1(x)$和$m_2(x)$，则原方程的通解为：$$y(x)=c_1e^{m_1(x)}+c_2e^{m_2(x)}$$其中$c_1$和$c_2$为待定系数。
2.求解非齐次方程我们前面已经知道了对于齐次方程的求解方法，针对非齐次方程，我们可以利用它与齐次方程的联系来求解。
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目录1 引言 (1)2 一阶变系数常微分方程的解法探讨 (1)2.1 变系数一阶微分方程的几个可积类型 (1)2.2 应用举例 (4)3二阶变系数线性微分方程的解法探讨 (5)3.1用求特解的方法求二阶变系数线性微分方程的解 (6)3.1.1对变系数线性二阶微分方程特解的探索 (6)3.1.2 确定的通解 (7)3.1.3用常数变易法确定的特解 (8)3.1.4应用举例 (8)3.2二阶变系数线性微分方程的积分因子解法 (9)3.2.1关于二阶变系数线性微分方程的积分因子的一些结论 (9)3.2.2讨论如何求出， (10)3.2.3应用举例 (10)3.3二阶线性变系数常微分方程的常系数化解法 (11)3.3.1利用自变量的变换实现常系数化 (11)3.3.2利用未知函数的齐次线性变换实现常系数化 (12)3.3.3 应用举例 (13)4 三阶变系数线性微分方程的解法探讨 (14)4.1 方程（4.1）化为常系数方程的一种充要条件 (14)4.2 应用举例 (16)结束语 (17)参考文献 (17)致谢 (17)数学计算机学院数学与应用数学专业2013届余小艳摘要：求变系数常微分方程的解，迄今为止没有一种确定的方法. 本文通过寻找特解和变量代换等方法得到了一些新的求解一类二阶变系数线性微分方程通解的方法，并讨论了一阶变系数线性微分方程和三阶变系数线性微分方程化为常系数方程的几个充要条件. 又举例说明了这些方法的可行性，有效扩充了变系数微分方程可解范围.关键词：变系数常微分方程；二阶变系数微分方程；通解；变量变换中图分类号：O175.1Discussion on the Solution of Ordinary Differential Equationwith Variable CoefficientAbstract: So far, there hasn’t been an established method on how to solve Ordinary Differential Equation (ODE) with Variable Coefficients. This paper presents some methods of solving the second order linear ODE with variable coefficients by means of searching special solution and variable transformation, etc. This paper also gives an introduction to the necessary and sufficient conditions of first order linear ODE and 3 rd order linear ODE with variable coefficient that can be translated into constant coefficients. Moreover, we give some examples to illustrate the feasibility of these methods. Hence, the results effectively extend the solvable for the variable coefficient differential equations.Key words: variable coefficients ordinary differential equations；second order differential equations with variable coefficients；general solutions；variable transformation1 引言常微分方程已经成为数学领域中一项十分重要的学科,并且在求解问题,模型,指导实践中有着极为广泛的应用.二阶变系数线性常微分方程是常微分方程中一类常见的方程，但迄今为止，二阶变系数常微分方程的通解问题在数学领域内并没有解决.变系数线性微分方程在自然科学与工程技术中有着广泛的应用，因此，研究变系数线性微分方程的求解方法，具有重要的理论意义和应用价值.众所周知，变系数一阶微分方程具有一般的解法，由于在理论研究和实际应用中出现有大量的二阶及三阶以上的高阶变系数线性微分方程，因此，近年来数学领域内对高阶变系数线性微分方程求解方程的研究，并取得了一些成果.本文在总结变系数一阶常微分方程解法的同时，着重就二阶及三阶变系数线性微分方程的求法进行了探讨，最后又给出了这些解法的应用及推广.2一阶变系数常微分方程的解法探讨2.1变系数一阶微分方程的几个可积类型对于一阶常微分方程我们常用解法有：分离变量法，变量替换法，积分因子法，常数变易法等.在此，主要讨论变系数一阶微分方程的几个可积类型.为确定起见，在以下讨论中规定一般的变系数一阶微分方程的标准形式为：(2.1)定理2.1[2]设 , , ∈ , , ∈ , , 为常数.如果等式(2.2)在I上成立（k为常数），则方程(2.3)是可积的.证明令,则(2.4)将（2.2），（2.4）代入（2.3），得,.属于可分离变量型，而V可由（2.4）解出，所以方程（2.2）是可积的.推论2.1 设为常数（），则方程(2.5) 是可积的.在定理2.1中，令,则,即得推论2.1.利用推论 2.1，可以用化归为可分离变量型的求解方法，统一处理有关类型的一阶方程.(1)奇次方程(2.6)是（2.5）式，当时的特例.由定理2.1知，可令,将（2.6）式化归为可分离变量型来求解.(2)线性一阶方程(2.7)是(2.5)式，当时的特例.由定理2.1，可令,将（2.7）化归为来求解，其中.(3) Bernoulli方程，.(2.8)这是（2.5）式，在时的特例.由定理2.1知，可令,将（2.8）化归为可分离变量型来求解.推论2.2 设如果存在常数,使得(2.9)成立，则Riccati方程(2.10)是可积的.证明将（2.9）式变形为令它是Brinoulli方程的通解.显然，.在定理2.1中，令,应用定理2.1（此时定理中的，，），知方程即（2.10）是可积的.推论2.3 为常数，则一阶微分方程是可积的，其中为常数.在定理2.1中，令即可得推论2.3.定理2.2设，，，，，为常数，则方程（2.11）是可积的.证明令，则（2.11）可变形为.由定理2.1推论2.1，知（2.11）是可积的.推论2.4 设，，，，为常数，，则下列方程都是可积的.；；.在（2.11）中，令分别等于，，即得结论.2.2 应用举例例2.1解方程(2.12)解将（2.11）变形为,.由定理2.1，推论2.1知，可令(2.12)可化为，两边积分，得(2.12)的通解为例2.2解方程(2.13)解取，容易验证条件（2.9）是满足的.由定理2.1，推论2.2知，故（2.13）可积.令，，（2.13）变形为，两边积分，得，为任意常数.，令，，则，，为任意常数为（2.13）的通解.3 二阶变系数线性微分方程的解法探讨3.1 用求特解的方法求二阶变系数线性微分方程的解众所周知，的通解为其中，,且，线性独立.引理 3.1[3]若，为之解，则仍为之解，且时，为的通解.引理3.2若为之一特解，则为之通解.关键性的问题是如何找的两线性无关的解，和的特解.3.1.1对变系数线性二阶微分方程特解的探索关于变系数线性二阶微分方程如何视查其特解，有如下的探索.（1）若，则为其特解.特殊地：当，即时，为其特解.当，即时，为其特解.例：①,为其特解；②,为其特解；③,为其特解；（2）若,则为其特解；（3）科西-尤拉方程，(为常数)令去试探例：解方程令,a得=0，，故有通解.3.1.2确定的通解定理3.1 若方程，已知一个特解，则可用公式确立其另一个特解：,且，线性独立.证明令, 则，带入方程整理：由有积分从而只要不是常数。
则，线性独立.3.1.3用常数变易法确定的特解定理3.2设的特解为其中，，为对应奇次方程之特解，且线性独立，当，，为常系数仍可用此法求解.3.1.4应用举例例3.1 求的通解解，，∵∴是其特解，由公式有∴的通解为设的特解为由，解出，∴∴的通解为3.2二阶变系数线性微分方程的积分因子解法[4]3.2.1关于二阶变系数线性微分方程的积分因子的一些结论定义3.1对于一阶线性微分方程(3.1)若存在非零可微函数,使得方程（3.1）两端同乘后可化为(3.2) 则称为方程（3.1）的积分因子.引理3.3非零可微函数是方程（3.1）的积分因子的充分必要条件是，此时，方程（3.1）的通解为定义3.2对于二阶线性微分方程(3.3)若存在二阶非零可微函数，方程（3.3）两端同乘后可化为(3.4)则称为方程（3.3）的积分因子.定理3.3 二阶非零可微函数是方程（3.3）的积分因子的充分必要条件是，(3.5) 此时可取，方程（3.3）的通解为.证明必要性若方程（3.3）存在积分因子，则有.即,因而，必满足（3.5）.充分性由式（3.5），,,带入方程(3.3)，得，所以有，即，故为方程（3.3）的积分因子.定义3.3 若存在二阶非零可微函数，,方程（3.3）两端同乘后可化为(3.6)称为方程（3.3）的第一积分因子，为方程（3.4）的第二积分因子.类似引理，定理3.2的讨论可得出定理3.3.定理3.4若存在二阶非零可微函数，满足，（3.7）则为方程（3.3）的积分因子.此时方程（3.3）的通解为.3.2.2讨论如何求出，记，，则，于是，带入（3.7）式，，于是（3.8）（3.9）若能从方程（3.9）中解出，带入式（3.8）得到，则，.3.2.3 应用举例例3.2 解方程解，，取，因为，,所以是原方程的积分因子，由定理3.2可知，方程的解为.3.3 二阶线性变系数常微分方程的常系数化解法为确定起见，在以下讨论中规定一般的二阶线性齐次常微分方程的标准形式为(3.10)3.3.1利用自变量的变换实现常系数化令，方程（3.10）化为，，，(3.11)可见方程（3.10）关于自变量代换保线性齐次性.若变换能使方程（3.10）常系数化，则在式（3.11）中同时有（常数）(3.12)(常数) (2.13) 从式（3.13）解得并代入（3.12）可得出.结论1：若方程（3.10）的系数满足判别式（常数），(3.14) 则作变换(3.15) 方程（3.10）可常系数化为(3.16)注意：(1) 常数，方程（3.10）可常系数化，变换系数仅通过式（3.15）由Q 确定.若常数，方程虽不能经自变量代换常系数化，但变换式（3.15）可使化为常数.(2) 若Q已为常数，从式（3.14）可知，由于常数（若P也是常数，则式（3.10）已为常系数方程），常数，即经自变量的代换不能使式（3.10）常系数化.(3) 通常选取使式（3.15）最简单.3.3.2利用未知函数的齐次线性变换实现常系数化[5]令(3.17) 其中为x的已知函数，为新的未知函数，方程（3.10）可化为(3.18)，，可见方程（3.10）可变换为式（3.16）保线性齐次性.若变换式（3.16）能使方程（3.10）常系数化，则在式（3.17）中同时有(常数) (3.19)(常数) (2.20) 从式（3.19）解得(3.21)代入式（3.20）可得出结论2:若方程（3.10）的系数满足判别式(常数) (3.22)则经变换式（3.17），（3.11），方程（3.10）可常系数化为(3.23)(3.24)注意：(1) 常数，方程（3.10）可经未知函数的线性变换常系数化，从式（3.21）可知，仅由确定.若常数，方程（3.10）虽不能经未知函数的变换常系数化，但总可根据式（3.21）选择，通过变换使式（3.18）的系数为常数.(2)若原方程中已为常数，从式（3.22）可知一定不是常数，（若为常数，则也是常数，原方程已是常系数方程）；即通过未知函数的线性变换不能使方程（3.10）常系数化.(3) 通过选取使得表达式（3.22）最简单（详见例题），由式（3.22）（3.24）确定.3.3.3应用举例例3.3 将Euler型方程常系数化为常数解将方程化为标准形式（3.10），，,利用判别式（3.14）常数可以经自变量的代换常系数化，根据式（3.15）需作变换(取)当，,因此，原Euler方程常系数化为例3.4解解方程化为标准形式后，根据式（3.14）检验判别式，即，方程可以常系数化，根据式（3.15）作变换或上列运算中已取.因此，方程常系数化为解之得为任意常数.回到原来的变量4 三阶变系数线性微分方程的解法探讨为确定起见，在以下讨论中规定一般的变系数三阶微分方程的标准形式为：(4.1)下面将给出方程（4.1）经自变量代换化为三阶常系数方程的充要条件.为行文方便，先给出一个引理.引理3.1 三阶线性方程（4.1）经自变量代换(4.2) 这里函数在所论区间上具有三阶连续导函数，且可化为方程(4.3) 其中’，（4.4）’(4.5)而以在所论区间上的反函数代人.4.1方程（4.1）化为常系数方程的一种充要条件设在所论区间上，.由引理4.1立即可得下述引理4.2.引理4.2 自变量代换（4.2）将方程（4.1）化为三阶常系数线性方程的必要条件是(4.6) (这里C为适当选取的非零函数，以使代换最简单).在此带换下，方程（4.1）化为, (4.7) 其中，（4.8）(4.9)而以（4.6）之反函数代人.定理4.1[6]三级线性方程（4.1）经自变量代换（4.6）化为三阶常系数方程(4.10)的充分必要条件是连续可微且(4.11)(4.12)同时成立，其中是任意给定的常数.证明必要性设在方程（4.7）中有，，则由（4.8）（4.9）两式分别得(4.13)(4.14) (4.13)是关于的贝努利（Bernoulli）方程，由此即知（4.11）式成立，再由（4.14）式解出，并注意到可由（4.13）式得到及则又有充分性证明从略，定理4.1证毕.推论4.1方程（4.1）经代换（4.6）化为常系数方程的充分必要条件是，此时，若取,则所用代换（4.6）也可表为(4.15)推论4.2 方程（4.1）经代换（4.15）化为常系数方程的充分必要条件是，4.2 应用举例例4.1求解解本题满足推论4.1的条件，经代换可化为常系数方程，最后可求得原方程的通解为(此处及以下文中，，均为任意常数. )例4.2求解解本题满足推论4.2的条件（对应于，），该方程经代换，可化为常系数方程. 最后可求得原方程的通解为.结束语由于求变系数常微分方程的通解迄今为止还没有一般的解法，本文在总结变系数一阶微分方程解法的基础上，着重对变系数二阶线性微分方程的解法进行了探讨.通过求特解，积分因子，将变系数常系数化三种方法给出了一些特殊形式的二阶变系数线性微分方程通解的求法，并且应用实例说明了这些求解方法的可行性.最后又讨论了变系数三阶微分方程化为常系数方程的一些充要条件，对研究变系数微分方程的求解问题有一定参考价值.参考文献[1] 朱思铭，王寿松.常微分方程[M].（第3版）.北京：高等教育出版社，2006.[2]郑隆炘.关于变系数一阶微分方程的几个可积类型[J].武汉教育学院.[3]游潘丽.简议二阶变系数线性微分方程的解法[J].西昌师范高等专科学校学报.2003，15（2）：97-99.[4]张凤然，马金江.二阶变系数线性常微分方程的积分因子解法[J].高等理科学刊.2008,28（6）：13-14.[5] 朱仁贵，宋蔚.一类二阶线性变系数常微分方程的常系数化解法[J].大学物理.1997,16（9）：6-7.[6] 吴檀，车克键.关于三阶线性微分方程的可积新类型[J].1995,4:77-79.致谢本文是在贾保华老师的精心指导下完成的，老师在撰写过程中给予点拨、开启、指导并提出了诚恳的建议．从论文的选题、写作、修改、直至最后定稿，无不倾注着老师大量的心血．老师严谨求实的治学态度、兢兢业业的工作作风，是我学习的榜样，在此致以诚挚的谢意！我还要感谢数学计算机学院的全体老师，是他们一直以来的关怀和帮助，使我在大学四年有了非常大的进步！。