2.2辐射传输方程

1 2π
2π
∫ g l (Ω l ) Ω l ⋅ Ω' f (Ω' → Ω, Ω l )dΩ l
−
−
如果再假定 g l (Ω l ) = 1 （取球面型）
58
则 Γ ( Ω' → Ω ) =
t ω [sin β − β cos β ] + l cos β 3π π
其中
β = cos −1 (Ω, Ω' ) ω = rl + t l
其中 θ s = sin
−1
sin θ ' n
尔镜面反射公式
n 为叶子的光学折射系数，F 为菲
∫ f (Ω φπ
'
→ Ω , Ω l )dΩ = rl+ + rl− + t l+ + t l− + K ( k , µ ' ) F ( n, µ ' )
2.2.4．连续植被的辐射传输方程 一般水平均匀，垂直分层介质中的辐射传输方程可表达为
其中 τ = u l ( z ) dz ，即 dτ ( z ) = ul ( z )dz
∂
∫
z
如果单片叶子的单次散射反照率是一个常数，那么辐射传输方程可变换为另一种形式。
Q
1
π
1
Γ ( Ω' → Ω ) =
1 2π
2π
∫ g l (Ω l ) | Ω l ⋅ Ω' | f (Ω' → Ω, Ω l )dΩ l
与一般辐射传输方程等式右边项相比，则
σ s ( z , Ω' → Ω ) =
− − ul ( z ) g l ( z, Ω l ) | Ω l ⋅ Ω | f (Ω' → Ω, Ω l )dΩ l ∫ 2π 2π
如果假定 g l ( z, Ω l ) 不随高度而变，并令
1
π
Γ( Ω' → Ω ) =
l l l l
−
−
l
考虑到 Ω' 来自 4π 空间，它对 Ω 方向的辐射亮度增量均有贡献，则
1 u l ( z ) ∫ L ( z , Ω' ) 4π 2π
− − g ( z , ) | ' | f (Ω' → Ω, Ω l )dΩ l dΩ' Ω Ω ⋅ Ω l l l ∫ 2π
) 为单次散射反照率
如果 ω (Ω' , Ω l ) = ω 则
1
π
4π
∫ Γ(Ω' → Ω, Ω
l
) dΩ = ω G ( Ω ' )
定义 p (Ω' → Ω) =
4 Γ( Ω' → Ω ) ωG ( Ω ' )
则
1 4π
4π
∫ p(Ω' → Ω)dΩ = 1 ∫ p(Ω' → Ω)G(Ω' ) L( z, Ω' )dΩ'
则辐射传输方程取如下形式
−µ
∂L( z, Ω) ω + G (τ , Ω) L( z , Ω) = ∂τ 4π
4π
我们称 p (Ω' → Ω) 为连续植被层的相位函数 ③辐射传输方程是一个微分——积分方程，要求解，必须确定边界条件，对连续植被冠 层来说上边界条件应包括太阳入射和天空散射辐射两部分， 下边界条件主要决定于土壤的非 朗伯体反射特性，可以形式地表达为
f s = K ( k , µ ' ) F ( n, µ ' )δ ( µ − µ ' )
其中 K ( k , µ ) = exp −
'
2 kt gθ ' π
K 为描述叶子表面粗糙程度而引入的修正系数（0<K<1） ，其中 k 称为叶毛系数，取值 范围为 0.1～0.3。
1 sin 2 (θ '−θ s ) t g (θ '−θ s ) F ( n, µ ' ) = 2 + 2 sin (θ '+θ s ) t g (θ '+θ s )
考虑到叶子在单位体积内取向具有 g l ( z , Ω l ) 的概率分布，不同的 Ω l 对 Ω 方向的辐射 亮度增量均有贡献，故需对 Ω l 实施 2π 空间积分。
u l ( z ) L( z , Ω ' )
1 2π
2
∫π g ( z, Ω ) | Ω ⋅ Ω' | f (Ω' → Ω, Ω )dΩ
µ
ds = dz
②
散射削弱系数， σ s 不具有轴对称性质。
− −
单位体积内，取向为 Ω l 的叶子对光亮度的拦截量应为 ul ( z ) | Ω l , Ω' | L( Z , Ω' ) ，被散 射进以 Ω 为中心的立体角元 dΩ 内的辐射亮度值应为
− −
u l ( z ) | Ω l , Ω ' | L ( z , Ω ' ) f ( Ω ' → Ω, Ω l )
− + −
① 通过 dτ 时吸收和散射构成的减少量； ② 由 E 的反向散射而获得增量； ③ 由直射辐向散射辐射的转化而增加的量（包括面向与背向） ； ④ 方程（3） （4）表明准直辐射自身在传输过程中永远是“减少项” ，这从另一个侧面 表明了直射向漫射的转变是不可透的。 K—M 方程有两个主要问题，由于这一过程是不可通过程，所以永远是增量。其一是 K —M 方程中在参数 α , γ , S1 , S 2与K 如何确定，也就是如何把它们与描写连续植被的几何参 数、光学士参数以及 RS , Ω, Ω 0 建立函数关系。其次在确定参数之后，要寻求满足一定边界 条件的“解” ，K—M 本人并没有就 K—M 方程在植被冠层辐射问题上提出过具体解法，但 在 K—M 之后，不同作者由于在方程确定参数的方式上与确定具体边界条件上的差别，便 构成了以 K—M 方程为基础的不同模式，其中有代表性的工作我们在此只列举 suit 模型与 SAIL 模型为例。 *.Suit 模型 Ssuit 模型的基本特点是把冠层元素（叶子、树干、花、穗等）均投影到水平面与垂直 面上，用它们的投影面积去替代任意取向的叶子对光的散射、吸收与透射作用，并确定叶子 的反射、散射具有漫反射性质，并采用下列符号与关系式
+
σ H ：叶子素在水平面上的平均投影面积； σ V ：叶子素在垂直面上的平均投影面积；
n H ：单位体积内叶子等水平投影的个体数； nV ：单位体积内叶子等垂直投影的个体数；
ρ ：叶子的半球反射率；
t ：叶子的半球透过率；
θ S ：太阳天顶角。
1 H LAI = (H ' 2 + V ' 2 )2 S
1 2π
− − g ( Ω ) | Ω f ( Ω ' → Ω , Ω ) d Ω l ⋅ Ω' | dΩ l l l l ∫ ∫ 2π 4π l l
−
−
对上式两边进行 4π 空间的 dΩ 积分
Q
π
φπ
∫ Γ ( Ω ' → Ω ) dΩ =
l
其中
4π
∫ f (Ω' → Ω, Ω )dΩ = ω (Ω' , Ω ) 我们称 ω (Ω' , Ω
此时 Γ 值只决定方向 Ω 与 Ω' 之间的相对角差值， 而与 Ω, Ω' 的绝对取向无关， 换言之， 此时的 Γ 具有轴对称性，则适合于连续植被的辐射传输方程应取如下形式
−M
1 ∂L(τ , Ω) + G (τ , Ω) L(τ , Ω) = ∂τ π
4π
∫ Γ(Ω'−Ω) L(τ , Ω' )dΩ'
dF − = ( K + S1 + S 2 ) F − dτ dF + = −( K + S1 + S 2 ) F + dτ
2π
（3）
（4）
π
2
其中 E =
+
∫ dφ ∫ L(τ ,+ µ , φ )µ sin θdθ
0 0 2π
π
2
E− =
∫ dφ ∫ L(τ . − µ , φ )µ sin θdθ
− +
↓
−
−
F + 与F − ，这样微分——积分辐射传输方程便可简化为一组线性微分方程。
−
dE − = −(α + γ ) E − + γE + + S1 F − + S 2 F + dτ dE + = −(α + γ ) E + + γE − + S1 F + + S 2 F − dτ
（1）
−
（2）
−
= KE S = aE − − bE − − c' E S = bE − − aE + + cE S = uE + + vE − + wF + − kEV
(1) ( 2) (3) ( 4)
此处，K 为直射辐射的削弱系数；ES 为由上而下传输的直射辐射；相当于 K—M 方程 中的 F ， a 为消光系数，相当于 K—M 方程中的 α + γ ，b 为背散射系数，C’为同向直射 辐射的散射系数， 相当于 K—M 方方程中的 S1， C 为背向直射辐射的散射系数， 相当于 K—M 方程中的 S2。 E0 为观测方向上的辐射通量密度（ E 0 = πL0 ） ，F+代表由植被加土壤系统构成的由下向 上传输的镜面反射辐射与 K—M 方程的 F+相当。U、V、W’分别代表由 E+，E 与 F+向观测 方向上传输的辐射亮度的转化系数，公式（4）表明观测方向上的辐照度的变化率是由 E+与 — E 转化而来，及从地表系统的镜面反射中转化而来，在向上传输过程中又将经历吸收与散 — 射削弱，削弱系数为 k，亦可把（U E++V E +W F+）视为辐射传输方程中的原函数。Snit 方程中各系数与几何参数、光学参数的联系，以及它们与 K—M 方程中系数间的对照关系。 见表*