“abc猜想”讲义(15)
们总可以令
rad（
p x1 11
·
p x2 12
·
p x3 13
·…·
p xr 1r
+
q y1 11
·
q y2 12
·
q y3 13
·…·
q1s
ys
）
=bz′+s（s＜b），其中 b 和 s 均为恒定的正实数。因为对于任一一组正实数（x1，
x2 ， x3 ， … ， xr ， y1 ， y2 ， y3 ， … ， ys ） ， 总 有 一 个 正 实 数 z1 ′ ， 使 得 rad
=
p x1 11
·
p x2 12
·
p x3 13
·…·
p xr 1r
+
q y1 11
·
q12
y2
·
q y3 13
·…·
q1s
ys
的值与之对应。又
由 第 六 讲 中 的 定 义 3.2 可 知 ， 任 一 函 数 ψ （ xi ， yj ） 的 值 有 唯 一 rad
（
p x1 11
·
p x2 12
·
“abc 猜想”讲义（15）
第十五讲
证明“abc 猜想”
主讲 王若仲
因为第（iv）中①的情形又分成了四种情形来讲解，而在第十四讲中我们分 析讲解了第（1）的情形。本讲就分析第（2）的情形。
（2）令
p k1 11
·
p k2 12
·
p k3 13
·…·
p kr 1r
+
q h1 11
·
q h2 12
·
q h3 13
·
p k2 12
·
p k3 13
·…·
p kr 1r
＞
q h1 11
·
q h2 12
·
q h3 13
·…·
q hs 1s
，且
p k1 11
·
p k2 12
·
p k3 13
·…·
p kr 1r
和
q h1 11
·
q h2 12
·
q h3 13
·…·
q hs 1s
互质。我们转换到连续函数上去，设函数ψ（xi，
j=1，2，3，…，r；q1w ≠ q1u （w≠u）；w，u=1，2，3，…，s。k1 ，k2 ，k3 ，…，
kr ， h1 ， h2 ， h3 ，…， hs 均为不小于 1 的整数。由第六讲中的引理 3.3 可知，
n=rad（n）·H，H∈N。当正整数 n 不断增大时，那么根数 rad（n）总趋势也是 随着正整数 n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数 n 趋向于正无 穷大时，根数 rad（n）也趋向于正无穷大。
yj）=
p x1 11
·
p x2 12
·
p x3 13
·…·
p xr 1r
+
q y1 11
·
q y2 12
·
q y3 13
·…·
q1s
ys
，i=1，2，3，…，
r；j=1，2，3，…，s； x1 ， x2 ， x3 ，…， xr ， y1 ， y2 ， y3 ，…， ys 中任一组（xi，yj） 的值均有唯一函数ψ（xi，yj）
· q y22 12
· q y23 13
·…· q1s y2s
-r）
÷z12。
那么任一（
p x1 11
·
p x2 12
·
p x3 13
·…·
p xr 1r
+
q y1 11
·
q y2 12
·
q y3 13
·…·
q1s
ys
）均可
表为 az+r（r＜a）的形式，其中 a 和 r 均为恒定的正实数。然而这种情形下，我
+
q h11 11
·
q h12 12
·
q h13 13
·…·
q h1s 1s
，k1≠k11 或
k2
≠k12 或 k3≠k13 或…或 kr≠k1r 或 h1≠h11 或 h2≠h12 或 h3≠h13 或…或 hs≠h1s，使得 rad
（ d ） =rad （ e ） 。 这 是 因 为
p k1 11
·…·
q hs 1s
=n，其
中
p k1 11
·
p k2 12
·
p k3 13
·…·
p kr 1r
＞
q h1 11
·
q h2 12
·
q h3 13
·…·
q hs 1s
，
p11 ，
p12
，
p13 ，…， p1r ， q11 ， q12 ， q13 ，…， q1s 均为恒定的素数， p1i ≠ p1 j （i≠j）；i，
，
g13
，…，
g1e
恒定不
变。那么这种情形下，我们总可以令
p x1 11
·
p x2 12
·
p x3 13
·…·
p1r
xr
+
q y1 11
·
q12
y2
·
q y3 13
·…·
q1s
ys
=az+r（r＜a），其
中 a 和 r 均为恒定的正实数。因为对于任一一组正实数（x1，x2，x3，…，xr，y1，
y2 ， y3 ， … ， ys ） ， 那 么 总 有 一 个 正 实 数 z1 ， 使 得
的
情形下，由第七讲中的定理 4.1 以及推论 4.1 可知，这种情形下，不可能存在这
样的情形：即
d=
p k1 11
·
p k2 12
·
p k3 13
·…·
p kr 1r
+
q h1 11
·
q h2 12
·
q h3 13
·…·
q hs 1s
，
e=
p k11 11
·
p k12 12
·
p k13 13
·…·
p k1r 1r
z11
和
z12
（
z11
≠
z12
）
，
使
得
（
p x11 11
·
p x12 12
·
p x13 13
·…·
p x1r 1r
+ q y11 11
·
q y12 12
·
q y13 13
·…·
q y1s 1s
-r）÷z11
=（
p x21 11
·
p x22 12
·
p x23 13
·…·
p x2r 1r
+
q y21 11
p x1 11
·
p x2 12
·
p x3 13
·…·
p xr 1r
+
q y1 11
·
q y2 12
·
q y3 13
·…·
q ys 1s
=az1+r
成立。那么
对于任意两组不全相同的正实数（x11，x12，x13，…，x1r，y11，y12，y13，…，y1s）
和（x21，x22，x23，…，x2r，y21，y22，y23，…，y2s）。那么必然存在两个正实数
（
p x1 11
p x3 13
·…·
p xr 1r
+
q y1 11
·
q y2 12
·
q y3 13
·…·
q1s
ys
）的值与之对应。
由第七讲中的定理 4.1 以及推论 4.1 可知，函数ψ（xi，yj）不可能恒为 pz 或者
g z1 11
·
g z2 12
·
g z3 13
·…·
g ze 1e
的形式，其中
p
或
g11
，
g12
对于
n
和
rad（n），因为
n=
p k1 11
·
p k2 12
·
p k3 13
·…·
p kr 1r
+
q h1 11
·
q h2 12
·
q h3 13
·…·
q hs 1s
，在
p k1 11
·
p k2 12
·
p k3 13
·…·
p kr 1r
＞
q h1 11
·
q h2 12
·
q h3 13
·…·
q hs 1s
“abc猜想”讲义(十三)
“abc猜想”讲义（十三）第十三讲证明“abc猜想”主讲王若仲在第九讲中，（iv）对于等式m+g＝n，m和g以及n均不为恒定的值。
我们现在就分析第（iv）的情形。
（iv）对于m+g＝n，当m，g，n均不为恒定的值时，由第七讲中的定理4.1和推论4.1可知，随着m和g以及n的变化，rad（m）和rad（g）以及rad（n）必为下列情形之一：①rad（m）和rad（g）均为恒定的值，rad（n）不可能为恒定的值。
②rad（n）和rad（g）均为恒定的值，rad（m）不可能为恒定的值。
③rad（n）和rad（m）均为恒定的值，rad（g）不可能为恒定的值。
④rad（n）为恒定的值，rad（m）和rad（g）均不为恒定的值。
⑤rad（m）为恒定的值，rad（n）和rad（g）均不为恒定的值。
⑥rad（g）为恒定的值，rad（m）和rad（n）均不为恒定的值。
⑦rad（n）和rad（m）以rad（g）均不为恒定的值。
我们注意观察，从第（iv）中的①，②，③，④，⑤，⑥，⑦等情形来看，我们不难发现：①和⑤以及⑥和⑦的情形中，rad（n）均不为恒定的值。
那么①和⑤以及⑥和⑦这几种情形就与（ii）中（三）的情形同理可得出同样的结论。
②和③的情形可互换，即②和③为同类型的情形。
⑤和⑥的情形可互换，即⑤和⑥为同类型的情形。
我们下面逐步分析研究：（一）对于①，rad（m）和rad（g）均为恒定的值，由第七讲中的不定方lim 程定理4.1和推论4.1可知，rad（n）不可能为恒定的值。
因n÷n=1，那么+∞→n lim（n）=1。
（n）÷n→+∞又因n=[rad（n）]·H；当正整数n不断增大时，那么根数rad（n）总趋势也是随着正整数n的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n趋向于正无穷大时，根数rad（n）也趋向于正无穷大；而n÷{[rad（n）]·H}=1恒成立。
数论中的费马大定理和ABC猜想
数论是研究整数性质和整数关系的数学分支。
它是数学中最古老和最基本的学科之一，也是现代密码学和计算机科学的基础。
数论中有两个重要的猜想，分别是费马大定理和ABC猜想。
本文将介绍这两个猜想的相关概念和研究进展。
费马大定理是以法国数学家费马命名的。
它提出了一个有关整数解的问题。
具体来说，费马大定理指出没有大于2的正整数 n 可以使得 a^n + b^n = c^n 成立。
这个定理最早是在1637年由费马提出的，但他只在他的笔记中给出了一个简短的注释，没有给出具体的证明。
这个问题在接下来的几个世纪中引起了数学家们的强烈兴趣，直到1995年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯给出了完整的证明。
费马大定理的证明过程非常复杂，涉及到多个数学领域，包括代数学，几何学和数理逻辑等。
怀尔斯的证明使用了模形式理论和黎曼尤尔查德假设，这使得证明变得非常复杂和抽象。
费马大定理的证明是数论史上的一个重要里程碑，它的证明方法对于其他问题的解决也具有重要的启示作用。
ABC猜想是由日本数学家筒井康隆于1985年提出的。
它是一个与素数有关的猜想。
ABC猜想涉及到三个正整数 a，b，c，使得 a + b = c。
其中 a，b，c 互质（即它们没有公因子），且 c 的质因子不超过 a + b 的质因子个数的某个固定常数 K。
ABC猜想表述了对于任意小于1的正实数ε，存在一个正常数常数Cε，使得abc > Cε (a + b)^(1 + ε) 对所有符合 a+b=c 条件的 a、b 和 c 都成立。
简单来说，这个猜想指出对于一个满足 a + b = c 的三个数，如何确定它们之间的质因子分布。
ABC猜想的证明至今未能得到，但已有一些部分性质被证明。
例如，2012年，法国数学家尼科勒纳广义了ABC猜想，提出了Mochizuki的证明方法，陈述为IUT理论。
但这个证明方法现在仍然争议纷纭并存在争议，尚未达成共识。
尽管如此，ABC猜想仍然被广泛研究，并且在数论领域中具有重要的地位。
三角形(考点猜想,4种常考题型)解析版—2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲(人教版
三角形（考点猜想，4种常考题型）三角板问题 折叠问题角平分线问题 动点问题一．三角板问题（共7小题）1．（21-22八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，用三角板作ABCV的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查的是作图-基本作图，根据高线的定义即可得出结论，熟知三角形高线的定义是解题的关键．V的边AB上的高，【详解】解：A，C，D都不是ABC故选：B．P，2.（22-23八年级上·浙江温州·期中）一副三角板，按如图所示放置，B、C、D在同一直线上，若AE BDÐ的度数为（）则CADA ．10°B ．15°C ．20°D ．25°【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，平行线的性质得到30BDA EAD Ð=Ð=°，再利用三角形的外角进行求解即可．【详解】解：由图可知：30,45DAE ACB ABC Ð=°Ð=Ð=°∵AE BD P ，∴30BDA EAD Ð=Ð=°，∵Ð=Ð+ÐACB ADB CAD ，∴15CAD Ð=°；故选：B ．2．（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中90C F Ð=Ð=°，30D Ð=°，则a b Ð+Ð等于（ ）A ．180°B ．210°C ．360°D ．270°【答案】B 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，三角形内角和定理，对顶角，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形的外角的性质分别表示出a Ð和Ðb ，计算即可．【详解】解：如图，∵1D a Ð=Ð+Ð，4F b Ð=Ð+Ð，1234Ð=ÐÐ=Ð，14D Fa b \Ð+Ð=Ð+Ð+Ð+Ð23D F=Ð+Ð+Ð+Ð∵90C Ð=°，∴2390+=°∠∠，∵90F Ð=°903090a b \Ð+Ð=°+°+°210=°，故选：B ．4．（22-23八年级上·福建莆田·期中）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的直角边垂直，则1Ð的度数为 ．【答案】75°#75度【分析】本题主要考查三角形外角的性质，由三角板的特征可得45B Ð=°，30E Ð=°，90EFD Ð=°，利用三角形的外角的性质及对顶角的性质可求解AGE Ð的度数，再利用三角形外角的性质可求解1Ð的度数．【详解】解：由题意得ABC V ，DEF V 为直角三角形，45B Ð=°，30E Ð=°，90EFD Ð=°，45AGE BGF \Ð=Ð=°，1E AGE Ð=Ð+ÐQ ，1304575\Ð=°+°=°，故答案为：75°．5．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，则图中角a 的度数为 ．Q 30B Ð=°，65DCB Ð=°\30DFB B DCB Ð=Ð+Ð=+°Q 45D Ð=°\4595D DFB a Ð=Ð+Ð=°+故答案为：140°．6．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）将一副直角三角板如图放置，=60B а，45E Ð=°，AC 与DE 交于点F ，75AFD Ð=°，证明：AE BC ∥．【答案】见解析【分析】根据三角形的外角的性质得出45EDC Ð=°，根据E EDC Ð=Ð，即可得证．【详解】解：∵=60B а，45E Ð=°，∴30C Ð=°，∵75EDC AFD C Ð+Ð=°Ð=，45EDC \Ð=°，∴E EDC Ð=Ð，∴AE BC ∥．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的判定，三角尺的交点计算，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．7．（23-24八年级上·河南许昌·期中）（1）如图1，有一块直角三角板XYZ 放置在ABC V 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY ，XZ 分别经过点B 、C ．若40A Ð=°，ABX ACX Ð+Ð= 度；（2）如图2，改变（1）中直角三角板XYZ 的位置，使三角尺XYZ 的两条直角边XY ，XZ 仍然分别经过点B ．C ．40A Ð=°，那么ABX ACX Ð+Ð的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出ABX ACX Ð+Ð的大小；（3）如果（1）中的其它条件不变，把“40A Ð=°”改成“A n Ð=°”，则ABX ACX Ð+Ð＝ .【答案】（1）50；（2）不变化，50°；（3）()90n -°【分析】本题主要考查了三角形内角和定理：（1）根据三角形内角和为180°先求出180140ABC ACB A ÐÐ=°-Ð=°+，再求出90XBC XCB ÐÐ=°+，则二．折叠问题（共7小题）8．（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图，将纸片ABC V 沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 的外部点A ¢的位置，如果A n Ð=°，则12Ð-Ð的度数是（ ）A ．60°B ．2n °C ．12n °D ．无法确定∵13A Ð=Ð+Ð，32Ð=Ð+∴12A A ¢Ð=Ð+Ð+Ð，∵折叠，∴A A Т=Ð，9．（23-24八年级上·山西朔州·期中）如图，在ABC V 中，30C Ð=°，将ABC V 沿直线l 折叠，使点C 落在点D 的位置，则12Ð-Ð的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°Q 将ABC V 沿直线l 折叠，使点30D C \Ð=Ð=°14C Ð=Ð+ÐQ ，4D Ð=Ð+Ð12C D \Ð=Ð+Ð+Ð12C D\Ð-Ð=Ð+Ð12303060\Ð-Ð=°+°=°ABC Ð，CA ¢平分ACB Ð，若114BA C Ð=¢°，则12Ð+Ð的大小为（ ）A ．66°B ．48°C ．96°D ．132°【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质和三角形的内角和定理，连接AA ¢，首先求出48BAC Ð=°，再证明12DAE DA E ¢Ð+Ð=Ð+Ð即可解决问题．【详解】解：连接AA ¢，∵114BA C Ð=¢°∴18066A BC A CB BA C Т¢=Т+Ð-=o o∵BA ¢平分ABC Ð，CA ¢平分ACBÐ∴132ABC ACB Ð+Ð=o∴48BAC Ð=°由题意得：ADE A DED @D ¢∴48DAE DA E ¢°Ð=Ð=∴1DAA AA D ¢¢Ð=Ð+Ð，2EAA AA E¢¢Ð=Ð+Ð∴1296DAE DA E Ð+Ð=Ð+=¢Ðo .故选：C .11．（22-23八年级上·广西柳州·期中）如图，将ABC V 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A ¢处，且A B ¢平分ABC Ð，A C ¢平分ACB Ð，若142,246Ð=°Ð=°，则BA C ¢Ð的度数为 ．【答案】112°/112度【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线是解答本题的关键，属于中考常考题型．连接AA ¢，根据折叠的性质及三角形外角的性质求出44BAC Ð=°，再由角平分线及三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：如图，连接AA ¢，Q 沿DE 折叠，DAA DA A \Ð=¢Ð¢，EAA EA A ¢¢Ð=Ð，Q 12A BC ABC ¢\Ð=Ð，A CB ¢Ð11362A BC A CB \Ð+Ð=´¢¢18068112BA C ¢\Ð=°-°=故答案为：112°．12．（22-23八年级上·辽宁营口·期中）如图，ABC V 中，4030B C Ð=°Ð=°，，点D 为边BC 上一点，将ADC△沿直线AD 折叠后，若DE AB ∥，则ADE Ð的度数为 ．【答案】110°/110度【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理等知识，根据三角形内角和定理求出=110BAC а，由折叠得到30E C ADE ADC Ð=Ð=°Ð=Ð，，CAD EAD Ð=Ð，再根据平行线的性质得到30BAE E Ð=Ð=°，求出40CAD EAD Ð=Ð=°，根据三角形内角和定理即可得到答案．【详解】解：∵4030B C Ð=°Ð=°，，∴=110BAC а，由折叠的性质得，30E C ADE ADC Ð=Ð=°Ð=Ð，，CAD EAD Ð=Ð13．（23-24八年级上·甘肃平凉·期中）问题1如图①，一张三角形纸片ABC ，点D E 、分别是ABC V 边上两点．研究（1）：如果沿直线DE 折叠，使A 点落在CE 上的A ¢点，则BDA ¢Ð与A Ð的数量关系是________；研究（2）：如果折成图②的形状，猜想BDA CEA ¢¢ÐÐ、和A Ð数量关系是________；研究（3）：如果折成图③的形状，猜想BDA CEA ¢¢ÐÐ、和A Ð数量关系，并说明理由；猜想：________；理由：研究（4）：将问题1推广，如图④所示，将四边形ABCD 沿EF 折叠，使点A B 、落在四边形EFCD 的内部，12Ð+Ð与A B ÐÐ+之间的数量关系是________．【答案】（1）2BDA A ¢Ð=Ð；（2）2BDA CEA A ¢¢Ð-Ð=Ð；（3）2BDA CEA A ¢¢Ð+Ð=Ð，见解析；（4）()122360A B Ð+Ð=Ð+Ð-°【分析】（1）根据三角形的外角的性质以及折叠的特点即可得到结论；（2）连接AA ¢，根据三角形的外角的性质与轴对称的性质即可得到结论；（3）根据三角形的外角的性质与轴对称的性质即可得到结论；（4）根据平角的定义以及四边形的内角和定理进行探讨即可得到答案；本题考查了轴对称的性质，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，熟记三角形的外角的性质与四边形的内角和定理是解题的关键．【详解】研究（1）：根据折叠的性质可知DA E A ¢Ð=Ð，¢¢Ð+Ð=ÐDA E A BDA则2¢¢Ð=ÐBDA DA A ，CEA Ð∴2¢¢Ð-Ð=ÐBDA CEA BAC ；故答案为：BDA CEA ¢¢Ð-Ð=研究（3）：猜想：BDA ¢Ð+理由：由图形的折叠性质可知14．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，ABC V 是一个三角形的纸片，点D ，E 分别是ABC V 边AB ，AC上的两点．(1)如图（1），如果沿直线DE 折叠，且DE AC ^，则BDA ¢Ð与A Ð的关系是 ．(2)如图（2），如果沿直线DE 折叠后A 落在四边形BCED 内部，探究BDA ¢Ð，CEA ¢Ð和A Ð的关系，并说明理由．(3)如果折成图（3）的形状，探究BDA ¢Ð，CEA ¢Ð和A Ð的关系，并说明理由．∵12BDA ¢Ð=Ð+Ð，34CEA ¢Ð=Ð+Ð，∴1324BDA CEA DAE EA D ¢¢¢Ð+Ð=Ð+Ð+Ð+Ð=Ð+Ð，又∵DAE EA D ¢Ð=Ð，∴2BDA CEA DAE ¢¢Ð+Ð=Ð；（3）解：2BDA CEA A ¢¢Ð-Ð=Ð．理由：如图（3），由翻折可得：A A Т=Ð，DEA DEA ¢Ð=Ð，A DE ADE ¢Ð=Ð，∵()()180180A A DE A ED A ADE AED ¢¢¢Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°+°，()()()360A A DEA DEA A DE ADE ¢¢¢Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴()()2180180360A CEA BDA ¢¢Ð+°+Ð+°-Ð=°，∴20A CEA BDA ¢¢Ð+Ð-Ð=，∴2BDA CEA A ¢¢Ð-Ð=Ð．三．角平分线问题（共8小题）15.（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，在ABC V 中，BD 是ABC V 的高，BE 是ABC V 的角平分线，80ABC Ð=°，12DBE Ð=°，则A Ð的度数是（ ）A ．60°B ．62°C ．65°D ．68°∵BD 是ABC V 的高，∴90ABD A Ð+Ð=°，∴6029A ABD а=°-Ð=，故选：B ．16．（22-23八年级上·甘肃平凉·期中）如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，ABC Ð和BAC Ð的平分线交于一点O ，30ABO Ð=°，则AOB Ð的度数是（ ）A ．120°B ．150°C ．135°D ．140°17．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，BD 平分ABC Ð，DA AB ^，垂足是A 点，若160Ð=°，80BDC Ð=°，则C Ð的度数是（ ）A ．30°B ．60°C ．70°D ．90°【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，三角形内角和．先由先由角平分线的定义和直角三角形两锐角互余求出ABD Ð的度数，再根据三角形内角和即可求出C Ð的度数．【详解】解：∵DA AB ^，∴90A Ð=°．∵BD 平分ABC Ð，∴901906030ABD CBD Ð=Ð=°-Ð=°-°=°．∵80BDC Ð=°，∴180180308070C CBD BDC Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．故选：C ．18．（22-23八年级上·湖南娄底·期中）如图，在ABC V 中，BD 、CD 分别为ABC Ð、ACB Ð的角平分线，两线交于点D ，40A Ð=°．则D Ð= ．【答案】110°/110度【分析】本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求得140ABC ACB Ð+Ð=°，再根据角平分线的定义可得2ABC DBC Ð=Ð，2ACB DCB Ð=Ð，进而可得=70DBC DCB Ð+а，再利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵40A Ð=°，∴18040140ABC ACB Ð+Ð=°-°=°，∵BD 、CD 分别为ABC Ð、ACB Ð的角平分线，∴2ABC DBC Ð=Ð，2ACB DCB Ð=Ð，∴22=140DBC DCB Ð+а，即=70DBC DCB Ð+а，∴()180********BDC DBC DCB Ð=°-Ð+Ð=°-°=°，故答案为：110°．19．（22-23八年级上·甘肃平凉·期中）如图，AB CD ∥，BP 和CP 分别平分ABC Ð和BCD Ð，AD 过点P ，且与AB 垂直，则BPC Ð= ．20．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点D 是ABC V 两条角平分线,AP CE 的交点，如果130BAC BCA Ð+Ð=°，那么ADC Ð= ．21.（22-23八年级上·四川泸州·期中）如图所示，在ABC V 中，AD 是高，AE BF 、是角平分线，它们相交于点O ，5070BAC C Ð=°Ð=°，，求DAC BOA ÐÐ、的度数．22．（23-24八年级上·广东惠州·期中）解答下列各题(1)如图1，E 点在BC 上，A D Ð=Ð，180ACB BED Ð+Ð=°，求证：AB CD ∥；(2)如图2，AB CD ∥，BG 平分ABE Ð，与EDF Ð的平分线交于H 点，若DEB Ð比DHB Ð大60°，求DEB Ð的度数；(3)如图3，若DEB a Ð=，AB CD ∥，BM 平分EBK Ð，DN 平分CDE Ð，作BP DN ∥，直接写出PBM Ð的大小（用a 的代数式表示）．∵180ACB BED Ð+Ð=°∴ACB CED Ð=Ð，∴AC DF ∥，∵AB CD ∥，∴AB EM HN CD ∥∥∥，∴1180EDF MEB Ð+Ð=°Ð，∵BG 平分ABE Ð，∴1A G AB B E Ð=Ð，∵BM 平分EBK Ð，DN 平分CDE Ð∴12EBM MBK EBK Ð=Ð=Ð，CDN Ð∵ES CD AB CD ∥，∥，∴ES AB CD ∥∥，【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、平角的定义、平行线的判定和性质等知识点，正确地作出辅助线、构造平行线是解题的关键四．动点问题（共8小题）23.（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在Rt ABC △中，已知90ACB Ð=°，边8AC =，10BC =，点P 为AB 边上一动点，点P 从点B 向点A 运动，当点P 运动到AB 中点时，APC △的面积是（ ）．A ．5B ．10C ．20D ．4024．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图1，ADC △中，点E 和点F 分别为AD 、AC 上的动点，把ADC △纸片沿EF 折叠，使得点A 落在ADC △的外部A ¢处，如图2所示．若1242Ð-Ð=°，则A Ð的度数为（ ）A ．15°B ．20°C ．21°D ．25°【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，根据三角形外角和折叠的性质可得11802AEF Ð=°-Ð，2AFE A AEF Ð=Ð+Ð+Ð，进而即可得到218022A AEF Ð=°-Ð-Ð，结合2142Ð-Ð=°即可求解，熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：根据折叠的性质得A A ¢Ð=Ð，AEF A EF ¢Ð=Ð，AFE A FE ¢Ð=Ð，∵1180AEA ¢Ð=°-Ð，2A FE CFE ¢Ð=Ð+Ð，CFE A AEF Ð=Ð+Ð，∴11802AEF Ð=°-Ð，2AFE A AEF Ð=Ð+Ð+Ð，∵180AFE A AEF Ð=°-Ð-Ð，∴218018022A AEF A AEF A AEF Ð=°-Ð-Ð-Ð-Ð=°-Ð-Ð，∴()12180180222AEF F A AE а-Ð-а-=Ð-Ð-，∴122A Ð-Ð=Ð，∵1242Ð-Ð=°，∴21A Ð=°，故选：C ．25．（22-23八年级上·北京西城·期中）如图1，ADC △中，点E 和点F 分别为AD ，AC 上的动点，把ADC △纸片沿EF 折叠，使得点A 落在ADC △的外部A ¢处，如图2所示．设12a Ð-Ð=，则下列等式成立的是（ ）A ．A aÐ=B ．2A a Ð=C ．2A a Ð=D ．32A aÐ=【答案】C 【分析】根据三角形外角和折叠的性质可得11802AEF Ð=°-Ð，2AFE A AEF Ð=Ð+Ð+Ð，进而即可得到2Ð18022A AEF =°-Ð-Ð，结合12a Ð-Ð=即可求解．【详解】解：根据折叠的性质得A A ¢Ð=Ð，AEF A EF AFE A FE ¢¢Ð=ÐÐ=Ð，，∵1180AEA ¢Ð=°-Ð，2A FE CFE ¢Ð=Ð+Ð，CFE A AEF Ð=Ð+Ð，∴11802AEF Ð=°-Ð，2AFE A AEF Ð=Ð+Ð+Ð，∵180AFE A AEF Ð=°-Ð-Ð，∴2180A AEF A AEFÐ=°-Ð-Ð-Ð-Ð18022A AEF =°-Ð-Ð，∴()12180180222AEF F A AE а-Ð-а-=Ð-Ð-，∴122A Ð-Ð=Ð，∵12a Ð-Ð=，∴2A a Ð=，故选C ．【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形外角的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握折叠的性质．26．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在ABC V 中，9068C ABC Ð=°Ð=°，，D 是AB 的中点，点E 在边AC 上一动点，将ABE V 沿DE 翻折，使点A 落在点A ¢处，当A E BC ¢∥时，则ADE Ð= ．∴90A EA C ¢Ð=Ð=°，∵68ABC Ð=°，∴906822A Ð=°-°=°，故答案为：113°或23°．27．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，12AC =，9BC =，P 是AB 上的一个动点（不与点B 重合）.点B 与点B ¢关于直线PC 对称，连接CB ¢，AB ¢，PB ¢，则线段AB ¢的最小值是 .【答案】3【分析】根据题意，得9CB CB ¢==，结合CB AB AC +³¢¢，判定当,,A B C ¢三点共线时，线段AB ¢取得最小值，解答即可.本题考查了三角形不等式求最值，构造正确的三角形不等式存在的基础三角形是解题的关键.【详解】解：根据题意，得9CB CB ¢==，∵CB AB AC +³¢¢，∴当,,A B C ¢三点共线时，线段AB ¢取得最小值∵12AC =，∴3AB AC BC ¢=-=，故答案为：3.28．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）在一节数学习题课后，同学们知道了：三角形的三条中线把三角形的面积分成6个面积相等的小三角形，如下图1所示，随后宋老师对其进行变式：在ABC V 中，12ABC S =△，E 是BC 上的动点，点D 是AC 的中点，AE 、BD 相交于点F ．①若E 为BC 的中点，如图2所示，则四边形CDFE 的面积是 ；②若:1:4BE EC =，如图3所示，则四边形CDFE 的面积是 ．则CG 是AB 边上的中线，∵1,2BEF CEF S BE FH S =´V V ∴14BEF CEF S S =V V ，设BEF S S =△，则CEF S V ∴5BFC S S =V ，∵BD 是中线，∴ABD BCD S S =△△，线BD 上（不与点D 重合），过点E 作EF BC ∥交线段AC 于点F （不与点A ，C 重合），AFE Ð的平分线所在的直线与射线BD 交于点G ．(1)当点E 在线段BD 上时．①若40ABC Ð=°，60C Ð=°，FED Ð的度数为______；FGD Ð的度数为______；②求证1902FGD A Ð=°-Ð；(2)当点E 在线段BD 的延长线上时，直接写出FGD Ð与A Ð之间的数量关系．∵BD 平分ABC Ð，∴12CBD ABC Ð=Ð．∵EF BC ∥，130．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）在ABC V 中，AE 平分BAC Ð，C B Ð>Ð．(1)如图1，若AD BC ^于点D ，60C Ð=°，40B Ð=°，则DAE Ð=______；(2)如图2，若点P 是线段AE 上一动点，过点P 作PG BC ^于点G ，则EPG Ð与C Ð，B Ð之间的数量关系是______；(3)如图3，若点P 是AE 延长线上一点，过点P 作PG BC ^于点G ，则EPG Ð与C Ð，B Ð之间有何数量关系？画出图形并证明你的结论．PG BCQ，^\∥，AD PG\Ð=Ð，DAE GPEQÐ=°-Ð+ÐCAB B C180() Q，PG BC^。
12.4专题(15)—三角 猜想证明
12.4专题训练（15）—探究与证明如图，有一个Rt △ABC ，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB ，P 、Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AM 上运动，当P 运动到什么位置时，才能使△ABC 和△APQ 全等．（1）已知：如图①，在△AOB 和△COD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD ；②∠APB=60度；（2）如图②，在△AOB 和△COD 中，若OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=α，则AC 与BD 间的等量关系式为；∠APB 的大小为 ；（3）如图③，在△AOB 和△COD 中，若OA=k •OB ，OC=k •OD （k ＞1），∠AOB=∠COD=α，则AC 与BD 间的等量关系式为；∠APB 的大小为 ．如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，如图①，然后将△ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM= 1 2BD ，EN= 12CE ，得到图③，请解答下列问题：P BM（1）若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；（2）若AB=k•AC（k＞1），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．形都成立的问题．（画出图形，写出已知和结论，不用证明）（2012•阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．（2012•镇江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且GD=GF．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．（2013•张湾区模拟）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．求证：AE=BD．（2013•保定一模）阅读：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，AC，如图1求证：AE=CD，AE⊥CD．（2）类比：若关系和位置关系还成立吗？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由．将（1）中的Rt△DBE绕点逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问（1）中线段AE，CD间的数量；（3）拓展：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改成“BC=kAB，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3所示，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．已知如图，AB=AC，∠BAC=90°，AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．（1）△ABD与△CAE全等吗？请说明理由；（2）判断BD与DE+CE关系，并请说明理由．将两个用钢丝设计成的能够完全重合的直角三角形模型ABC和直角三角形DEF按如图所示的位置摆放，使点B、F、C、D在同一条直线上，且AB和DE、EF分别相交于点P、M，AC和DE相交于点N．（1）试判断线段AB和DE的位置关系，并说明理由；（2）若PD=AC，线段PE和BF有什么数量关系，请说明你的理由．如图，把一个三角板（AB=BC，∠ABC=90°）放入一个“U”形槽中，使三角板的三个顶点A、B、C分别槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90°，在滑动过程中你发现线段AD与BE有什么关系？试说明你的结论已知AB=AC，AD=AE，AB⊥AC，AD⊥AE．求证：（1）∠B=∠C；（2）BD=CE．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．猜想BF，CE的关系，并证明。
“abc猜想”讲义(17)
相同的正实数（z11，z12，z13，…，z1e，y11）和（z21，z22，z23，…，z2e，y12）， 即至少有一个 z1i≠z2i（i＝１，２，３，…，e）或者 y11≠y12，那么必然存在两
2
个正实数
x11
和
x12（x11≠x12），使得（
g z11 11
·
g z12 12
·
g z13 13
函数ψ（zi，y）=
g z1 11
·
g z2 12
·
g z3 13
·…·
g ze 1e
-
d
y
，由第六讲中的定义
3.2
可
知，定义域中任一一组 zi 和 y 的确定值有唯一函数ψ（zi，y）的值与之对应，
同时任一函数ψ（zi，y）的值有唯一
rad（
g z1 11
·
g z2 12
·
g z3 13
·…·
g ze 1e
·
g v2 11
·
g v3 11
·…·
g ve 1e
）÷m}存在正实数极限。令
x+
d
y
=
g z1 11
·
g z2 12
·
g z3 13
·…·
g ze 1e
，x
和
y
以及
zi
均为不小于
1
的正实数。设
函数
f （ zi ， y ） = （
g z1 11
·
g z2 12
·
g z3 13
·…·
g ze 1e
）÷
g ve 1e
） ÷m ， 不 管
m
和
1
“abc猜想”讲义(十二)
“abc 猜想”讲义（十二）第十二讲证明“abc 猜想”主讲王若仲在第九讲中，对于②如果rad（g ）为恒定的值，则rad（n ）不可能为恒定的值。
对于③，rad（g ）和rad（n ）均不为恒定的值。
这一讲中我们就具体分析这两种情形：（二）对于②，rad（g ）为恒定的值，由第七讲中的定理4.1以及推论4.1可知，则rad（n ）不可能为恒定的值。
因n ÷n=1，那么+∞→n lim （n ）÷+∞→n lim （n ）=1。
又因n=[rad（n ）]·H；当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大；而n÷{[rad（n ）]·H }=1恒成立。
（1）因为R+h d =n ，d 为大于1的恒定正整数，h 为不小于1的整数；由第六讲中的引理3.3可知，n=rad（n ）·H，H∈N 。
当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大。
对于n 和rad（n ），因为n=h d +R ，设函数ψ（x）=)(x rad x ，x 为不小于1的实数，函数ψ（x）=)(x rad x 的情形包含了)(n rad n 的情形，同时也包含了)(R d rad R d h h++的情形。
由第六讲中的定义3.2可知，函数ψ（x）=)(x rad x 是连续函数，那么由前面第十讲和第十一讲中的证明可知，函数ψ（x）=)(x rad x 为x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]上的有界函数。
即存在恒定的正实数F （0＜F ＜1），存在恒定的正实数G （1＜G ＜+∞），使得x 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中的元素时，不等式F ≤ψ（x）≤G 恒成立。
“abc猜想”讲义(14)
“abc 猜想”讲义（14）第十四讲证明“abc 猜想”主讲王若仲第九讲中，（iv ）对于等式m +g ＝n ，m 和g 以及n 均不为恒定的值。
我们现在就分析第（iv ）的情形。
（iv ）对于m +g ＝n ，当m ，g ，n 均不为恒定的值时，由前面第七讲中的不定方程定理4.1和推论4.1可知，随着m 和g 以及n 的变化，rad（m ）和rad （g ）以及rad（n ）必为下列情形之一：①rad（m ）和rad（g ）均为恒定的值，rad（n ）不可能为恒定的值。
②rad（n ）和rad（g ）均为恒定的值，rad（m ）不可能为恒定的值。
③rad（n ）和rad（m ）均为恒定的值，rad（g ）不可能为恒定的值。
④rad（n ）为恒定的值，rad（m ）和rad（g ）均不为恒定的值。
⑤rad（m ）为恒定的值，rad（n ）和rad（g ）均不为恒定的值。
⑥rad（g ）为恒定的值，rad（m ）和rad（n ）均不为恒定的值。
⑦rad（n ）和rad（m ）以rad（g ）均不为恒定的值。
我们注意观察第（iv ）中①，②，③，④，⑤，⑥，⑦的情形，可得出这样的结论；①和⑤以及⑥和⑦中，rad（n ）均不为恒定的值，那么①和⑤以及⑥和⑦这几种情形与第（ii ）中（三）的情形同理可得出同样的结论。
②和③的情形可互换，只分析其中的一种情形即可。
⑤和⑥的情形可互换，只分析其中的一种情形即可。
（一）对于第（iv ）中①的情形，rad（m ）和rad（g ）均为恒定的值，由前面第七讲中的不定方程定理4.1和推论4.1可知，rad （n ）不可能为恒定的值。
因n ÷n=1，那么+∞→n lim （n ）÷+∞→n lim （n ）=1。
又因n=[rad（n ）]·H；当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大；而n÷{[rad（n ）]·H }=1恒成立。
人教版八年级下册数学 第17章《勾股定理》讲义 第6讲 勾股定理-逆定理(有答案)
人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》讲义第6讲勾股定理－逆定理（有答案）第6讲 勾股定理－逆定理 第一部分 知识梳理知识点一：勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 .①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点二：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）知识点三：勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整例4、已知:△ABC 的三边分别为m 2－n 2,2mn,m 2+n 2(m,n 为正整数,且m ＞n),判断△ABC 是否为直角三角形.例5、三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？ 举一反三：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A 、8，15，17B 、4，5，6C 、5，8，10D 、8，39，402、下列各组线段中的三个长度：①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（ ）A 、5组B 、4组C 、3组D 、2组3、现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（ ）A 、30厘米B 、40厘米C 、50厘米D 、以上都不对4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
“abc猜想”讲义(十四)
“abc 猜想”讲义（十四）第十四讲证明“abc 猜想”主讲王若仲对于第（iv ）中②的情形我们仍然是分成四种情形来讲解，这四种情形分别如下：（1）b=g=h d ，c=n=v p ，其中d 和p 均为大于1的恒定的正整数，h ，v 均为不小于1的整数；（2）b=g=h d ，c=n=111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1，其中11g ，12g ，13g ，…，e g 1均为恒定的素数，d 为大于1的恒定的正整数，s g 1≠t g 1（s≠t）；s，t =1，2，3，…，e 。
h ，v ，1v ，2v ，3v ，…，e v 均为不小于1的整数；（3）b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=v p ，其中11q ，12q ，13q ，…，s q 1均为恒定的素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。
p 均为大于1的恒定的正整数；（4）b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=111v g ·212v g ·313v g ·…·e v e g 1，其中11q ，12q ，13q ，…，s q 1，11g ，12g ，13g ，…，e g 1均为恒定的素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。
s g 1≠t g 1（s≠t）；s，t =1，2，3，…，e 。
1h ，2h ，3h ，…，s h ，1v ，2v ，3v ，…，e v 均为不小于1的整数。
这一讲我们就只分析第（1）和第（2）的情形：（二）对于②，rad（n ）和rad（g ）均为恒定的值，由第七讲中的不定方程定理4.1和推论4.1可知，那么rad（m ）不可能为恒定的值。
“abc猜想”讲义(十五)
“abc 猜想”讲义（十五）第十五讲证明“abc 猜想”主讲王若仲对于第（iv ）中②的情形我们分成四种情形,第十四讲我们讲解了（1）和（2）的情形，这一讲我们讲解（3）和（4）的情形。
（3）b=g=111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，c=n=v p ，因为m+111h q ·212h q ·313hq ·…·s h s q 1=v p ，m=[rad（m ）]t ·H；其中t 为正整数，rad（m ）＞rad（H）。
当正整数n 和g 不断增大时，由第七讲中的定理4.2和定理4.3可知，幂差极值n-max (g )总趋势是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么正整数m 总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，当正整数n 不断增大，而正整数g 不断减小时，那么正整数m 也是不断增大。
那么根数rad（m ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（m ）也趋向于正无穷大。
这种情形下，因为v p ÷（v p -111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1）=1÷[1-（111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1）÷v p ]，设函数f（x ）=x 1，x 为不小于1的实数。
函数f（x ）=x 1的情形包含了（111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1）÷v p 的情形。
函数f（x ）=x 1是连续函数，因为-+∞→x lim f（x ）=-+∞→x lim x 1=0，+→1lim x f（x ）=+→1lim x x 1=1，那么函数f （x ）在xϵ[1+ε，+∞-ε]中有界，即存在恒定的正实数E （0＜E ＜1），存在恒定的正实数L （0＜L ＜1），E ＜L 。