投影的基本知识

投影的基本知识在绪论中我们已经讲了，工程图样是根据投影理论绘制出来的。

那么，什么是投影呢？物体在灯光或日光的照射下产生影子，这是生活中常见的现象，请大家看图。

一、投影的概念如图a，三角板在灯光的照射下在桌面上产生影子，可以看出，影子与物体本身的形状有一定的几何关系，人们将这种自然现象加以科学的抽象得出投影法。

如图b,将光源抽象为一点S，称为投影中心，投影中心与物体上各点（A、B、C）的投影连线（SAa、SBb、SCc）称为投影线，接受投影的面,称为投影面。

过物体上各点（A、B、C）的投影线与投影面的交点称为这些点的投影。

投影分为中心投影和平行投影两大类。

对于这个图，所有投射线都交于投影中心点S，这样的投影称为中心投影。

当把投影中心移到无穷远处时，所有的投影线都互相平行，请大家看图，这样的投影称为平行投影。

根据投影线与投影面是否垂直，平行投影又分为斜投影和正投影两种。

当投影线倾斜与投影面时，称斜投影；投影线垂直与投影面时，称正投影。

工程图样一般都是采用正投影法绘制的，正投影法是本课程的研究重点。

今后若不特殊说明，都是指正投影。

请大家看图：这是空间点A，与投影面H，要作出空间点A在H面上的正投影，就要过空间点A作H面的垂线，垂线与H面的交点就是空间点A在H面上的投影。

要作直线在H面上的投影，只要分别作出直线两端点在H面上的投影，连线即可。

同理可作出平面图形的投影。

二、正投影的基本性质1．真实性当直线段平行于投影面时，直线段与它的投影及过两端点的投影线组成一矩形，因此，直线的投影反映直线的实长。

当平面图形平行与投影面时，不难得出，平面图形与它的投影为全等图形，即反映平面图形的实形。

由此我们可得出：平行与投影面的直线或平面图形，在该投影面上的投影反映线段的实长或平面图形的实形，这种投影特性称为真实性。

2．积聚性当直线垂直于投影面时，过直线上所有点的投影线都与直线本身重合，因此与投影面只有一个交点，即直线的投影积聚成一点。

当平面图形垂直于投影面时，过平面上所有点的投影线均与平面本身重合，与投影面交于一条直线，即投影为直线。

由此可得出：当直线或平面图形垂直于投影面时，它们在该投影面上的投影积聚成一点或一直线，这种投影特性称为积聚性。

3．类似性当直线倾斜于投影面时，直线的投影仍为直线，不反映实长；当平面图形倾斜于投影面时，在该投影面上的投影为原图形的类似形。

注意：类似形并不是相似形，它和原图形只是边数相同、形状类似，圆的投影为椭圆。

方才，我们讨论了正投影的三个性质：真实性、积聚性、类似性，这三个性质非常重要，是以后学习直线、平面、形体等投影的基础，希望同学们熟练掌握。

三、物体的三视图我们将两个物体向投影面作正投影，所得到的投影完全相同。

如果单纯由这个投影图来想象物体的话，既可想象为物体Ⅰ，也可想象为物体Ⅱ，还可以想象为其它物体。

这说明什么呢？说明仅有物体的一个投影不能确定物体的形状。

为什么呢？这是因为物体有长、宽、高三个方向的尺寸，而一个投影仅反映两个向度，对于方才这个投影，就只反映长和宽，而不反映物体的高度。

由此可见，仅凭物体的一个投影不能确切、完整地表达物体的形状。

而在工程设计时，使用的投影图必须能够确切地表达物体的形状，为此，必须采用增加投影面的数量得到一组投影图，来完全确定物体的形状。

确定物体的空间形状，常常需要三个投影，因此我们采用三个投影面，为便于使用，采用三个互相垂直的投影面。

请大家看图。

1．三投影面体系这三个互相垂直的投影面，称为三面投影体系，其中：正立投影面，简称正立面，用"V"标记；侧立投影面，简称侧立面，用"W"标记；水平投影面，简称水平面，用"H"标记；三投影面之间两两的交线，称为投影轴，分别用OX、OY、OZ表示，三根轴的交点O 称为原点。

2．三视图的形成：现将物体放在三面投影体系中，并尽可能使物体的各主要表面平行或垂直与其中的一个投影面，保持物体不动，将物体分别向三个投影面作投影，就得到物体的三视图。

注意：三视图是以正投影法为依据的，但具体绘制时，是用人的视线代替投影线的，将物体向三个投影面作投影，即从三个方向去观看。

从前向后看，即得V面上的投影，称为正视图；从左向右看，即得在W面上的投影，称为侧视图或左视图；从上向下看，即得在H面上的投影，称为俯视图。

为使三视图位于同一平面内，需将三个互相垂直的投影面摊平。

方法是：V面不动，将H面绕OX 轴向下旋转90，W面绕OZ轴向右旋转90。

由于投影面的边框及投影轴与表示物体的形状无关，所以不必画出。

虽然用这种方法绘制的工程图样直观性差，但作图方便且便于度量，因此它是工程中应用最广的一种图示方法，也是本课程的研究重点。

3．三视图的投影关系：由三视图可以看出，俯视图反映物体的长和宽，正视图反映它的长和高，左视图反映它的宽和高。

因此，物体的三视图之间具有如下的对应关系：3．俯视图与左视图的宽度相等，即"宽相等"；在三视图中，无论是物体的总长、总宽、总高，还是局部的长、宽、高（如上面的棱柱）都必须符合"长对正"、 "高平齐"、宽相等"的对应关系。

因此，这"九字令"是绘制和阅读三视图必须遵循的对应关系。

物体的三视图与六个方向的关系：当物体与投影面的相对位置确定之后，就有上下、左右和前后六个确定的方向，由图可看出：正视图反映物体的左右、上下关系；俯视图反映物体的左右、前后关系；左视图反映物体的上下、前后关系；这里，提醒同学们注意前后位置关系，这是同学们容易出错的地方。

在俯视图和左视图中，远离正视图的一边是物体的前面，靠近正视图的一边是物体的后边；初学者应特别注意对照直观图和平面图，熟悉展开和还原过程，以便在平面图上准确判断物体的前后方位。

方才我们讨论了物体的多面投影，无论物体具有怎样的特定构形，从几何观点看，它总是由基本的几何元素点、线、面，依据一定的几何关系组合而成的。

为了提高对物体视图的分析和表达能力，我们从构成物体表面的最基本要素点、直线、平面来研究，四、点的投影。

将空间点A置于三投影面体系中，由A分别向V、H、W三个投影面作正投影，即分别过点A作三个投影面的垂线，与三个投影面的交点为A点的三个投影，请大家注意点的标注规则，在水平投影面（H面）上的投影用相应的小写字母标注；在正投影面上（V 面）上的投影用相应的小写字母加一撇标记；在侧立投影面（W面）上的投影用相应的小写字母加两撇标记。

如果把三个投影面视为三个坐标面，那么三个投影轴OX、OY、OZ即为三个坐标轴，由图可以看出，点的x坐标反映点到W面的距离，反映点的左右位置；点的z坐标反映点到H面的距离，反映点的上下位置；点的y坐标反映点到V面的距离，反映点的前后位置。

点的正面投影由点的x坐标和z坐标确定；点的水平投影由点的x坐标和y坐标确定；点的侧面投影由点的y坐标和z坐标确定；由此，我们可看出：点的一个投影由两个坐标决定，点的两个投影包含三个坐标，即点的两个投影可确定点的空间位置。

如果给出某点的两个投影，应该能够求出第三个投影。

现在将三投影面展开。

注意：三投影面展开后，OY轴分为三条线，随H面转至下方的记为OYH ，随W面转至后方的记为OYW，下面我们研究一下点的投影规律：由于正面投影和水平投影都反映点的x坐标，所以点的正面投影和水平投影的连线应垂直与OX轴；由于正面投影和侧面投影都反映点的z 坐标，所以点的正面投影和侧面投影的连线应垂直与OZ轴；由于水平投影和侧面投影都反映点的y坐标，所以点的水平投影到OX轴的距离应等于该点侧面投影到OZ轴的距离；这就是点的投影规律。

点的投影规律：1．正面投影和侧面投影的连线垂直于OX轴；2．正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴；3．水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离；这个投影规律在点的直观图上用几何方法也可以证出，请同学们下去证一下。

下面我们根据点的投影规律由点的二面投影求第三面投影。

[例题1]已知A点的两个投影 a和a′，求a″。

由前面的讨论可知，点的二个投影反映该点的三个坐标，以确定该点的空间位置。

根据点的投影规律：正面投影与侧面投影连线垂直于OZ轴，因此过a′作直线⊥OZ，侧面投影一定在这条线上。

再根据点的水平投影到OX轴的距离等于该点的侧面投影到OZ 轴的距离，即可得出点的侧面投影。

为保证这种相等关系，过O作45ο斜线，过a作直线⊥OYH与45ο斜线相交，并由交点向上引直线⊥OYW，与过a′作OZ的垂线交点即为a″。

方才讨论了一般位置的点的三面投影，请同学们下课后考虑一下特殊位置点的投影.比如，投影面上的点，投影轴上的点。

下面介绍一个新概念--重影点。

如图，空间A、B两点在H面的同一条投影线上，它们的水平投影重合， A、B两点称为对H面的重影点，C、D两点位于V面的同一投影线上，它们的正面投影重合，称为对V面的重影点。

同理，如果两点在W面上的投影重合，称为对W面的重影点。

当空间两点为同一投影面的重影点时，必有一点遮住另一点，即一个可见，一个不可见，离观察者近的，离投影面远的可见，相反则不可见。

如何在投影图上判别可见性呢？既然重影点在某一投影面上的投影重合，那么三个坐标中必有两个坐标值相等，第三个坐标不等，比较不相等的第三个坐标，坐标大的可见，小的不可见，如图，A、B两点的X、Y坐标相等，Z坐标不等，A的Z坐标大于B的Z坐标，所以a可见，b不可见，不可见的点加括号表示。