2014北京高考数学(理科)含答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

房山区良乡中学 任宝泉录入整理

一、选择题（共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1.已知集合{}

2

|20A x x x =-=，{}0,1,2B =，则A

B =（ ）

A ．{}0 B.{}0,1 C.{}0,2 D.{}0,1,2 2.下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ） A

．y =

B.2(1)y x =-

C.2x y -=

D.0.5log (1)y x =+

3.曲线1cos 2sin x y θθ

=-+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）

A ．在直线2y x =上 B.在直线2y x =-上 C.在直线1y x =-上 D.在直线1y x =+上

4．当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）

5．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ）

A ．充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪

-+≥⎨⎪≥⎩

且z y x =-的最小值为4-，则k 的值

为（ ）

A ．2 B.2- C.

12 D.12

- 7.在空间直角坐标系O x y z 中，已知(2,0,0)A ，

(2,2,0)B ，(0,2,0)C

，(1,1D ，若123,,S S S 分别表示三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图

形的面积，则（ ）

A ．123S S S == B. 12S S =且31S S ≠ C. 13S S =且32S S ≠ D. 23S S =且13S S ≠ 8．有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”、“合格”、“不合格”三种。若A 同学每科成绩不低于

B 同

学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好”。现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。问满足条件的最多有多少学生（ ） A ．2 B.3 C.4 D.5

9．复数2

11i i +⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

。

10．已知向量a 、b 满足||1a =，(2,1)b =，且0a b λ+=（R λ∈），则||λ= 。

11．设双曲线C 经过点(2,2)，且与2

214

y x -=具有相同的渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 。

12．若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大。 13．把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有 种。 14．设函数()sin()f x A x ωϕ=+，（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）。若()f x 在区间,62ππ⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

上具有单调性，且2236f f f ππ

π⎛⎫⎛⎫⎛⎫

==-

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，则()f x 的最小正周期为 。

三、解答题（共6题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）。 15．（本小题共13分） 如图，在ABC ∆中，3

B π

∠=

，8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1

cos 7

ADC ∠=

。 （1）求sin BAD ∠； （2）求BD ，AC 的长。

16．（本小题13分）

李明在

（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；

（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；

x X

数，比较()E X 与x 的大小（只需写出结论）

17．（本小题14分）

如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM 、MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G 、H 。 （1）求证：//AB FG

（2）若PA ⊥平面ABCDE ，且？？？。求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长。

18．（本小题13分） 已知函数()cos sin ,0,2f x x x x x π⎡⎤

=-∈⎢⎥⎣⎦

， （1）求证：()0f x ≤；

（2）若sin x a b x <

<在0,2π⎛⎫

⎪⎝⎭

上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值。

19．（本小题14分） 已知椭圆22:24C x y +=， （1）求椭圆C 的离心率

（2）设O 为坐标原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆

222x y +=的位置关系，并证明你的结论。

20．（本小题13分）

对于数对序列1122(,),(,),

,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，

{}112()max (),,(2)n k k k T P b T P a a a k n -=+++

+≤≤

（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P ，求1()T P ，2()T P 的值；

（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和

'(,),(,)P c d a b ，试分别对m a =和m d =时两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小。

（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值。（只需写出结论）。

2014年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）部分解析

一选择题

1.【答案】C

【解析】解：集合{}

{}2200,2A x x =-==.故{}0,2A B ⋂=，选C ． 2．【答案】A

【解析】解：A.y [)1,-+∞上为增函数，符合题意. B.()2

1y x =-在()0,1上为减函数，不合题意. C.2x y -=为(),-∞+∞上

的减函数，不合题意. D.()0.5log 1y x =+为()1,-+∞上的减函数，不合题意. 故选A

3.【答案】B 【解析】 解：参数方程1cos 2+sin x y θ

θ

=-+⎧⎨

=⎩所表示的曲线为圆心在()1,2-，半径为1的圆.其对称中心为圆心()1,2-.逐个带入选项可知，()1,2-在直线

2y x =-上，即选项B . 4.【答案】C

【解析】

解：当m 输入的7,3m n ==时，判断框内的判断条件为5k ＜.故能进入循环的k 依次为7，6，5，顺次执行S S k =⋅，则有

765210S =⋅⋅=，故选C.

解：对于等比数列{}n a ，若1q ＞，则当10a ＜时有{}n a 为递减数列.故1q ＞不能推出“{}n a 为递增数列”. 若{}n a 为递增数列，则{}n a 有

可能满足10a ＜且01q ＜＜，推不出1q ＞. 综上，“1q ＞”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D. 6.【答案】D

【解析】解：若0,k z y x =-≥没有最小值，不合题意.

若0k ＜，则不等式组所表示的平面区域如图所示.

由图可知，z y x =-在点2

,0k ⎛⎫- ⎪⎝⎭

处

取最小值. 故204k ⎛⎫

--=- ⎪⎝⎭

，

解得12

k =-，即选项D 正确

7.【答案】D 【解析】

解：D ABC -在平面上的投影为ABC ∆，故12S =. 设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，

则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD ∆和3OAD ∆.

∵(2D

，(3D .

故23S S =综

上，选项D 正确.

解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格.显然语文成绩得A的学生最多只有1个.语文成绩得B的也最多只有一个.得C的也最多只有一个，因此学生最多只有3个. 显然，（AC）（BB）（CA）满足条件，故学生最多3个.

二、填空题 9.【答案】1-

【解析】解：复数()()()2

1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2++===--+，故2

2

1i i 11i +⎛⎫==- ⎪-⎝⎭

．

10.

【解析】解：由λ+=0r r a b ，有λ=-r r

b a ，于是λ=⋅u u r r b a ，

由()2,1=r

b ，可得=r b 1=r a ，故λ=

11.【答案】22

1312

x y -=；2y x =±

【解析】解：双曲线2

214

y x -=的渐近线为2y x =±，故C 的渐近线为2y x =±；

设C ：2

24

y x m -=，因为C 过()2,2，所以代入并解得3m =-，

故C 的方程为22

1312

x y -=，渐近线方程为2y x =±．

12.【答案】8

【解析】解：根据等差数列的性质，78983a a a a ++=，71089a a a a +=+，于是8890,0a a a >+<， 即890,0a a ><，所以8798,S S S S ><，故8S 为{}n a 的前n 项和中最大值．

13.【答案】36

【解析】解：因为A 与B 相邻，所以应用捆绑法，将A 和B 当成一个整体捆绑成一个元素， 又因为A 与C 不相邻，所以分两种情况；

（1）C 与A 和B 这个整体相邻，这时应采用插空法，摆法有223

223A A A 24⋅⋅=种；

（2）B 正好在A 与C 之间，这是将A 、B 、C 当成一个元素，摆法有2323A A 12⋅=种；

故不同的摆法有122436+=种 14.【答案】π

【解析】解：由()f x 在区间ππ,

6

2⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上具有单调性，π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫

⎛⎫

==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

可知， ()f x 有对称中心1πππ,0,02263

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对称轴1π2π7π22312x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；

故()f x 的周期为7ππ4π123⎛⎫

-=

⎪⎝⎭

．

15．（共13分） 【解析】 （1

）

sin ADC ∠==

sin sin()sin cos cos sin 1127BAD ADC B ADC B ADC B

∴∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠=

-=

（2）在ABD ∆中，

sin sin sin AB AD BD ADB B BAD ==∠∠∠

==

解得：3,7BD AD == 在ACD ∆中，

222222cos 1

7227249

7

AC AD DC AD DC ADC

=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=

7AC ∴=

16．（共13分）

解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率为事件A ， 由题可知，李明在该场比赛中命中率超过0.6的场次有： 主场2、主场3、主场5、客场2、客场4，共计5场 所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率()51102

P A =

=． （2）设李明一场投篮命中率超过0.6，一场命中率不超过0.6的概率为事件B ，

同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率135P =，客场命中率超过0.6的概率2

2

5P = 故()()()1221

332213

11=+=555525

P B P P P P =⨯-+⨯-⨯⨯． （3）()E X x =．

17．（共14分） 【解析】

(1)证明：

//,,ED AM ED AM PED PED ⊄⊂面面

//AM PED ∴面

,AM ABF AB ABF ⊂⊂面即面

ABF PED FG =面面Ç

//AB FG ∴

(2)如图建立空间坐标系A xyz -，各点坐标如下：

(0,0,0),E(0,2,0),B(1,0,0),C(2,1,0),F(0,1,1),P(0,0,2)A

设ABF 面的法向量为000(,,z )n x y =，(1,0,0)AB =,(0,1,1),AF =

n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨

+=⎩，令1y =得：(0,1,1)n =- 又

(1,1,0)BC =

，1

sin ,2

BC n ∴<>=

=

直线BC 与平面ABF 所成角为

6

π 设111(,,z )H x y ,由,PH tPC =则111(,,z 2)t(2,1,2)x y -=-

(21,,22)H t t t ∴--

又

,(21,,22)H ABF BH t t t ∈=--面

0n BH ∴⋅=,2220,3t t t ∴+-=∴=

，422(,,)333H ∴，424,,333PH ⎛⎫= ⎪⎝⎭

|PH|=2∴

18．（共13分）

解：（1）证明：()()'cos sin cos sin ,f x x x x x x x =+--=- ∵π0,2x ⎡

⎤∈⎢⎥⎣

⎦，

∴()'0f x …，即()f x 在π0,2⎡

⎤⎢⎥⎣

⎦上单调递增，

∴()f x 在π0,2⎡

⎤⎢⎥⎣

⎦上的最大值为()00f =，

所以()0f x …． （2）一方面令()sin x g x x =

，π0,2x ⎛

⎫∈ ⎪⎝

⎭，

则()2cos sin 'x x x

g x x ⋅-=

，由（1）可知，()'0g x <，

故()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()π2

2π

g x g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，

故2πa …

，所以m a x 2

π

a =． 令()sin h x x bx =-，π0,2x ⎛

⎫∈ ⎪⎝

⎭，则()'cos h x x b =-，

当1b …

时，()'0h x <，故()h x 在π0,2x ⎛

⎫∈ ⎪⎝

⎭上单调递减，从而()()00h x h <=， 所以()s i n 0h x x bx =-<恒成立．

当1b <时，()'cos 0h x x b =-=在π0,2⎛

⎫ ⎪⎝

⎭有唯一解0x ，且()00,x x ∈，()'0h x >，

故()h x 在()00,x 上单调递增，从而()()00h x h >=， 即sin sin 0sin x x bx x bx b x ->⇒>⇒

>与sin x b x

<恒成立矛盾， 综上，1b …

，故min 1b =．

19．（共14分）

（1）椭圆的标准方程为：22

142

x y +=，

故2,a b =，

则c =故离心

率e c a ==

； （2）由题可得，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y k x =，OA OB ⊥,

○1当0k =时，()2,0A ±，已知()0,2B ，此时直线AB 方程为20x y +-=或+2=0x y -，

原点到直线AB 的距离均

为故满足直线AB 与圆222x y +=相切；

○

2当0k ≠时，直线OB 方程为1

y x k

=-， 联立22142

y kx

x y =⎧⎪

⎨+=⎪⎩得，()

221+24k x =，

故,A ⎛⎫

或,⎛⎫， 联立12

y x k y ⎧

=-⎪⎨⎪=⎩得，()2,2B k -，

由A 的对称性，那么不妨去

点A ⎛⎫

进行计算，于是直线AB 方程

为

))2222y x k x k k

-=

+=

++

，(

(21+220k x y k --++=

原点到直线AB 的距离

d =

，此时与圆222x y +=相切；

综上所述，直线AB 与圆222x y +=相切．

20．（共13分）

解：（1）()1257T P =+=，()(){}{}211max ,241max 7,6178T P T P =++=+=+=； （2）当m a =时，

()1T P a b =+，(){}{}2,+max +max ,a c T P d a b a d b c =++=+；

()1'+T P c d =，(){}{}2'max ,max ,T P b c d c a b c a d b c d =+++=++=++；

因为a 是a b c d 、、、中最小的数，所以{}max ,a b c b c ++…，从而()()22'T P T P …； 当m d =时，

()1T P a b =+，(){}{}2,+max +max ,a c T P d a b a d b c =++=+； (){}{}2'max ,max ,T P b c d c a b c a d a b c =+++=++=++；

因为d 是a b c d 、、、中最小的数，所以{}max ,d b c b c ++…，从而()()22'T P T P …； 综上，这两种情况下都有()()22'T P T P …．

（3）52．分布为：(4,6)(16,11)(11,11)(11,8)(5,2)。