北京市高考数学考试(理科)(附详细答案)
2022年北京市高考数学试题(含答案解析)
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出以 为球心，5为半径的球与底面 的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】
设顶点 在底面上的投影为 ，连接 ，则 为三角形 的中心，
且 ，故 .
因为 ，故 ，
故 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
而三角形 内切圆的圆心为 ，半径为 ，
故 的轨迹圆在三角形 内部，故其面积为
当 ， 时，因 ,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
8.若 ，则 （）
A. 40B. 41C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用赋值法可求 的值.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选：B.
9.已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集合．设集合 ，则T表示的区域的面积为（）
C.当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D.当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】
【分析】根据 与 的关系图可得正确的选项.
【详解】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
2024年北京高考数学试题+答案详解
2024年北京高考数学试题+答案详解（试题部分）一、单选题1．已知集合{|31}M x x =−<<，{|14}N x x =−≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x −≤< B ．{}3x x >− C ．{}|34x x −<< D ．{}4x x <2．已知1i iz=−−，则z =（ ）． A ．1i −−B ．1i −+C ．1i −D ．1i +3．圆22260x y x y +−+=的圆心到直线20x y −+=的距离为（ ）AB ．2C ．3D ．4．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．6B ．6−C ．12D ．12−5．设 a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +−=”是“a b =−或a b =”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =−，()21f x =，且12x x −的最小值为π2，则ω=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．生物丰富度指数 1ln S d N−=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ） A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N = D ．3221N N =8．如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB ==，PC PD ==为（ ）.A ．1B ．2 CD9．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 10．已知()(){}2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+−≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（ ）A ．3d =，1S <B ．3d =，1S >C ．d 1S <D ．d =1S >二、填空题11．抛物线216y x =的焦点坐标为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称.若ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos β的最大值为 ．13．若直线()3y k x =−与双曲线2214xy −=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．14．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 65mm,325mm,325mm ，且斛量器的高为230mm ，则斗量器的高为 mm ，升量器的高为 mm ．15．设{}n a 与{}n b 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}*|,N k k M k a b k ==∈，给出下列4个结论：①若{}n a 与{}n b 均为等差数列，则M 中最多有1个元素； ②若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则M 中最多有2个元素； ③若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则M 中最多有3个元素； ④若{}n a 为递增数列，{}n b 为递减数列，则M 中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 三、解答题16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =． (1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．如图，在四棱锥P ABCD −中，//BC AD ，1AB BC ==，3AD =,点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2PE DE ==．(1)若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．(2)若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i ）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望()E X ；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i ）中()E X 估计值的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．20．设函数()()()ln 10f x x k x k =++≠，直线l 是曲线()y f x =在点()()(),0t f t t >处的切线． (1)当1k =−时，求()f x 的单调区间. (2)求证：l 不经过点()0,0.(3)当1k =时，设点()()(),0A t f t t >，()()0,C f t ，()0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACOS与ABOS分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S =△△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）21．已知集合(){}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈=，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21sT T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．2024年北京高考数学试题+答案详解（答案详解）一、单选题1．已知集合{|31}M x x =−<<，{|14}N x x =−≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x −≤< B ．{}3x x >− C ．{}|34x x −<< D ．{}4x x <【答案】C【详解】根据题意得{}|34M x x N ⋃=−<<. 故选C. 2．已知1i iz=−−，则z =（ ）． A ．1i −− B ．1i −+C ．1i −D ．1i +【答案】C【详解】根据题意得()i 1i i 1z =−−=−. 故选C.3．圆22260x y x y +−+=的圆心到直线20x y −+=的距离为（ ） AB ．2C ．3D．【答案】D【详解】根据题意得22260x y x y +−+=，即()()221310x y −++=， 则其圆心坐标为()1,3−，则圆心到直线20x y −+==故选D.4．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．6 B ．6− C ．12 D ．12−【答案】A【分析】写出二项展开式，令432r−=，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】(4x 的二项展开式为(()()442144C C 1,0,1,2,3,4r rrr r rr T x xr −−+==−=，令432r −=，解得2r =，即()224C 16−=. 故选A.5．设 a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +−=”是“a b =−或a b =”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】因为()()220a b a b a b +⋅−=−=，可得22a b =，即a b =，可知()()0a b a b +⋅−=等价于a b =，若a b =或a b =−，可得a b =，即()()0a b a b +⋅−=，可知必要性成立； 若()()0a b a b +⋅−=，即a b =，无法得出a b =或a b =−，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b =，但a b ≠且a b ≠−，可知充分性不成立； “()()0a b a b +⋅−=”是“a b ≠且a b ≠−”的必要不充分条件. 故选B.6．设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =−，()21f x =，且12x x −的最小值为π2，则ω=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【详解】根据题意可知：1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点， 则12min π22T x x −==，即πT =，且0ω>，所以2π2Tω==. 故选B.7．生物丰富度指数 1ln S d N−=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ） A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N = D ．3221N N = 【答案】D【分析】根据题意分析可得12112.1,3.15ln ln S S N N −−==，消去S 即可求解. 【详解】根据题意得12112.1, 3.15ln ln S S N N −−==，则122.1ln 3.15ln N N =，即122ln 3ln N N =，所以3221N N =. 故选D.8．如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB==，PC PD ==为（ ）.A ．1B ．2 CD 【答案】D【详解】底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设4,PA PB AB PC PD =====分别取,AB CD 的中点,E F ，连接,,PE PF EF ，则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ， 可知AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ， 所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥， 由平面PEF 平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ， 所以PO ⊥平面ABCD ，根据题意可得：2,4PE PF EF ===，则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥，则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，可得PE PFPO EF⋅==当相对的棱长相等时，不妨设4PA PC ==，PB PD ==因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，这样情况不存在. 故选D.9．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详解】根据题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，AB.可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，A 正确，B 错误；C.例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，C 错误；D.例如121,2x x =−=−，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==−∈−−，即12212log 32y y x x +>−=+，D 错误， 故选B. 10．已知()(){}2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+−≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（ ）A ．3d =，1S <B ．3d =，1S > C．d 1S < D．d =1S >【答案】C【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域212y x y x x ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩。
2019年普通高等学校招生全国统考北京理科数学卷附答案解析
2019年普通高等学校招生全国统考北京理科数学卷本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（A ）3 （B ）5（C ）3 （D ）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（3）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t=+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（A ）15（B ）25（C ）45（D ）65（4）已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则 （A ）a 2=2b 2（B ）3a 2=4b 2（C ）a =2b（D ）3a =4b（5）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（A ）−7（B ）1（C ）5（D ）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10−10.1（7）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y+=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①（B ）②（C ）①②（D ）①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年高考理科数学北京卷理数(附参考答案和详解)
绝密★启用前 6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2019北京卷·理）已知复数2iz=+，则z z⋅=（）A.3B.5C.3D.5【解析】因为2iz z⋅=+⋅-=.故选D.z=+，所以2iz=-，所以(2i)(2i)5【答案】D2.（2019北京卷·理）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A.1B.2C.3D.4【解析】1,1k s ==；第一次循环：2s =，判断3,2k k <=；第二次循环：2s =，判断3,3k k <=；第三次循环：2s =，判断3k =.故输出2，故选B. 【答案】B3.（2019北京卷·理）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是（ ）A.15B.25C.45D.65【解析】由题意可知直线l 的普通方程为4320x y -+=，由点到直线的距离公式可得点(1,0)到直线l的距离65d ==.故选D. 【答案】D4.（2019北京卷·理）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，则（ ）A.222a b =B.2234a b =C.2a b =D.34a b =【解析】因为椭圆的离心率为12c e a ==，所以224a c =.又222a b c =+，所以2234a b =.故选B. 【答案】B5.（2019北京卷·理）若x ，y 满足||1x y ≤-，且1y ≥-，则3x y +的最大值为（ ）A.7-B.1C.5D.7【解析】由||1x y ≤-，且1y ≥-，得10,10,1.x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3z x y =+，则3y x z =-+，作直线0:3l y x =-，并进行平移.显然当0l 经过点(2,1)A -时，z 取得最大值，max 3215z =⨯-=.故选C. 【答案】C6.（2019北京卷·理）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足12125lg2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A.10.110B.10.1C.lg10.1D.10.110-【解析】由题意知，126.7m =-，2 1.45m =-，代入所给公式得1251.45(26.7)lg 2EE ---=，所以12lg10.1E E =，所以10.11210EE =.故选A. 【答案】A7.（2019北京卷·理）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】因为设点A ，B ，C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC AC AB =-，所以||||AB AC BC +>等价于||||AB AC AC AB +>-，因模为正，故不等号两边平方得22222||||cos 2||||cos AB AC AB AC AC AB AC AB θθ++⋅⋅>+-⋅⋅（θ为AB 与AC 的夹角），整理得4||||cos 0AB AC θ⋅⋅>，故cos 0θ>，即θ为锐角.又以上推理过程可逆，所以“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的充分必要条件.故选C. 【答案】C8.（2019北京卷·理）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（ ）A.①B.②C.①②D.①②③【解析】由221||x y x y +=+，当0x =时，1y =±；当0y =时，1x =±；当1y =时，01x =±，.故曲线C 恰好经过6个整点：(0,1)A ，(0,1)B -，(1,0)C ，(1,1)D ，(1,0)E -，(1,1)F -，所以①正确.由基本不等式，当0y >时，22221||1||12x y x y x y xy ++=+=+≤+，所以222x y +≤222x y +≤②正确.如图，由①知矩形CDFE 的面积为2，△BCE 的面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误.故选C. 【答案】C第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题5分。
2021年北京高考理科数学真题及答案
2021年北京高考理科数学真题及答案本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试完毕后，将本市卷和答题卡一并交回。
第一局部〔选择题共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
〔1〕假设集合{}21A x x =-<<，{}13B x x x =<->或，那么AB =〔 〕。
〔A 〕{}21x x -<<- 〔B 〕{}23x x -<< 〔C 〕{}11x x -<< 〔D 〕{}13x x <<【答案】A【难度】容易【点评】此题在高考数学〔理〕进步班讲座 第一章?集合?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
〔2〕假设复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，那么实数a 的取值范围是〔 〕。
〔A 〕(),1-∞i 〔B 〕(),1-∞-〔C 〕()1,+∞〔D 〕(1,)-+∞【答案】B 【难度】容易【点评】此题在高二数学〔理〕下学期课程讲座 第四章?复数?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
〔3〕执行如下图的程序框图，输出的s 值为〔 〕。
〔A〕2〔B〕3 2〔C〕5 3〔D〕8 5【答案】C【难度】容易【点评】此题在高考数学〔理〕进步班讲座第十三章?算法与统计?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
〔4〕假设,x y满足3,2,,xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩那么2x y+的最大值为〔〕。
〔A〕1〔B〕3〔C〕5〔D〕9 【答案】D【难度】容易【点评】此题在高考数学〔理〕进步班讲座 第二章?函数?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
〔5〕函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，那么()f x 〔 〕。
〔A 〕是奇函数，且在R 上是增函数 〔B 〕是偶函数，且在R 上是增函数 〔C 〕是奇函数，且在R 上是减函数 〔D 〕是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【难度】中等【点评】此题在高考数学〔理〕进步班讲座 第三章?函数的性质及其应用?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
高考数学试卷(理科)
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（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为 ，长度为q的递增子列的末项的最小值为 .若p<q，求证： < ；
（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式．
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A ①B. ②C. ①②D. ①②③
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．
普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知复数z=2+i，则
普通高等学校招生全国统一考试理科数学(北京卷)精校版(含答案)
号位封座密号场不考订装号证考准只卷名姓此级班2021 年普通高等学校招生全国统一考试( 北京卷 )理科数学考前须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2 ．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第 I卷一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，每题 5 分，共 40 分．1．集合 A x x2， B–2,0,1,2 ，那么A IB 〔〕A ． 0,1B ．–1,0,1C．–2,0,1,2 D ．–1,0,1,22．在复平面内，复数1的共轭复数对应的点位于〔〕1iA ．第一象限B ．第二象限C．第三象限 D ．第四象限3．执行如下图的程序框图，输出的s 值为〔〕A ．1B ．5C．7D ．7266124．“十二平均律〞是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要奉献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2 ．假八个单音频率为〔〕A ．3 2 f312B． 22 f C． 25 f D5．某四棱锥的三视图如下图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为〔A ． 1B． 2C．3D6．设a，b均为单位向量，那么“a3b 3a b 〞是“〞的〔〕a bA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．在平面直角坐标系中，记 d 为点 P cos,sin到直线 x my 20的最大值为〔〕A ． 1B． 2C．3D8．设集合 A x, y x y 1,ax y4, x ay2，那么〔〕A ．对任意实数 a ，2,1AB ．对任意实数a， 2,1AC．当且仅当 a 0 时， 2,1AD．当且仅当 a3 时，2,1A2第II 卷二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．设 a n是等差数列，且 a1 3 ， a2a536，那么a n的通项公式为 _10．在极坐标系中，直线cos sin a a0与圆2cos 相切，11．设函数 f x cos xπ0，假设f x fπ对任意的实数64_________．12．假设x， y 满足 x1y 2 x ，那么 2y x 的最小值是 __________ ．13．能说明“假设 f x f0对任意的 x0,2 都成立，那么 f x在 0,2 上是增函数〞为假命题的一个函数是 __________．2222x y x y1 ．假设双曲线 N 的两条渐近线与椭圆M14．椭圆 M ：a2b2 1 a b 0 ，双曲线 N：m2n2的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，那么椭圆M 的离心率为__________；双曲线 N 的离心率为 __________．三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．〔本小题 13 分〕在△ ABC 中， a7 ， b8 ， cosB 1 ．7〔 1〕求 A ；〔 2〕求AC 边上的高．16．〔本小题 14 分〕如图，在三棱柱ABC A1B1C1中， CC1平面 ABC ， D ，E ，F ，AC BB的中点，AB BC5，AC AA2．AC ， 1 1，11〔 1〕求证： AC平面 BEF ；（2〕求二面角 B CD C1的余弦值；（3〕证明：直线 FG 与平面 BCD 相交．17．〔本小题12 分〕电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0．40．2015．0．250．201．好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．〔 1〕从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；〔 2〕从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；18．〔本小题 13 分〕设函数f x ax24a 1 x 4a 3 e x．〔 1〕假设曲线 y f x 在点 1, f 1处的切线与 x 轴平行，求 a ；〔 2〕假设 f x 在 x 2 处取得极小值，求a的取值范围．〔 3〕假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ k 1 〞表示第 k 类电影得到人们喜欢，“k0 〞表示第 k 类电影没有得到人们喜欢〔k1， 2， 3， 4， 5， 6〕．写出方差D 1， D 2， D 3， D 4， D 5， D 6的大小关系．19．〔本小题 14 分〕抛物线 C : y 22 px 经过点 P 1,2 ．过点 Q 0,1 的直线 l 与抛物线 C 有两个 不同的交点 A ， B ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y 轴于 N ．〔 1〕求直线 l 的斜率的取值范围；uuuruuur uuur uuur1为定值．〔 2〕设 O 为原点， QMQO ， QNQO ，求证：120．〔本小题 14分〕设 n 为正整数，集合 A=t 1，t 2，L ， t n ， t n 0,1 , k 1,2,对于集合 A 中的任意元素x 1 , x 2 ,L , x n 和y 1 , y 2 ,L , y n ，记 M, 1 x 1 y 1x 2y 2x 2y 2Lx n y nx n y n．x 1 y 12〔 1〕当 n 3 时，假设 1,1,0 ， 0,1,1 ，求 M , 和 M, 的值；〔 2〕当 n 4 时，设 B 是 A 的子集， 且满足： 对于 B 中的任意元素 , ，当 ,相同奇数；当,不同时， M,是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；〔 3〕给定不小于 2 的 n ，设 B 是 A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元M, 0 ．写出一个集合 B ，使其元素个数最多，并说明理由．2021 年普通高等学校招生全国统一考试( 北京卷 )理 科 数学 答 案第 I卷一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，每题5 分，共 40 分． 题号 1 2 3 4 5678 答案ADBDCCCD第 II 卷二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分．9． 【答案】 a n 6n 3 10． 【答案】 1211． 【答案】2312． 【答案】 313． 【答案】 y sin x 〔答案不唯一〕 14． 【答案】 3 1 ； 2三、解答题共 6 小题，共 80 分。
2024年北京市高考数学卷含答案 .
2024年北京市高考数学卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M ={x|−4<x ≤1} N ={x|−1<x <3} 则M ∪N =（ ）。
A ．{x|−4<x <3}B ．{x|−1<x ≤1}C ．{0,1,2}D ．{x|−1<x <4}2．已知zi =i −1，则z =（ ）。
A ．1−iB ．−iC ．−1−iD ．13．求圆x 2+y 2−2x +6y =0的圆心到x −y +2=0的距离（ ）。
A ．2√3B ．2C ．3√2D ．√64．(x −√x)4的二项展开式中x 3的系数为（ ）。
A ．15B ．6C ．−4D ．−13 5．已知向量a ⃗ 和b ⃗ ，则(a +b ⃗ )·(a −b⃗ )=0是a ⃗ =b ⃗ 或a ⃗ =−b ⃗ 的（ ）条件。
A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知f(x)=sinωx(ω>0) f(x 1)=−1 f(x 2)=1 |x 1−x 2|min =π2则ω=（ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．记水的质量为d =S−1lnn并且d 越大水质量越好。
若S 不变 且d 1=2.1 d 2=2.2 则n 1与n 2的关系为（ ）。
A ．n 1<n 2 B ．n 1>n 2C ．若S <1，则n 1<n 2；若S >1，则n 1>n 2；D ．若S <1，则n 1>n 2；若S >1，则n 1<n 2；8．已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥。
四条侧棱分别为4 4 2√2 2√2。
则该四棱锥的高为（ ）。
A ．√22B ．√32C ．2√3D ．√39．已知(x 1,y 1)，(x 2,y 2)是函数y =2x 图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）。
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C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.(５分)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )
Ａ.3 ﻩB.２ ﻩC．2 ﻩD.2
８.(5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3３６1，而可观测宇宙中普通物质的原子总数Ｎ约为10８0，则下列各数中与 最接近的是(）
(1)从服药的５0名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于6０的概率;
（2)从图中A，Ｂ，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1．7的人数,求ξ的分布列和数学期望E（ξ）;
（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)
18．(１4分）已知抛物线Ｃ：ｙ2＝2ｐx过点P（1,１).过点(0, ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点Ａ,B,其中O为原点．
Ａ.{ｘ|﹣2＜x＜﹣１}B.{x|﹣2<ｘ＜3}C.{x|﹣１＜x＜１}D．{x|1<ｘ＜３｝
【分析】根据已知中集合Ａ和Ｂ，结合集合交集的定义,可得答案．
【解答】解：∵集合A={ｘ|﹣２＜x<1}，B=｛x|x＜﹣1或x>3},
∴A∩B={x|﹣2<x＜﹣1}
故选：A．
【点评】本题考查的知识点集合的交集运算,难度不大，属于基础题.
（1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程;
(2）求证:Ａ为线段BM的中点.
19.（1３分）已知函数ｆ（ｘ）=excｏsx﹣x.
(1）求曲线y=f(x）在点（0,f(０））处的切线方程;
（2）求函数f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值.
２0.（１3分）设｛ａn}和{bn}是两个等差数列，记cｎ=max{ｂ１﹣a1ｎ,b2﹣a2n，…，bn﹣ａｎｎ}（n=1，2，3,…),其中mａx{x1,x2，…,xs}表示ｘ１，x2，…,xs这s个数中最大的数．
∴ ,解得ａ<﹣1．
则实数a的取值范是（﹣∞,﹣１）．
A.２ﻩB． C. D.
4．(5分)若x，ｙ满足 ,则x+2ｙ的最大值为(）
A.1B．３ﻩＣ．5D．９
５．(5分)已知函数ｆ（x)＝3x﹣（ ）ｘ，则f（x）()
A．是奇函数，且在R上是增函数ﻩB.是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数,且在R上是减函数
6.(5分）设 , 为非零向量，则“存在负数λ,使得 =λ ”是“ • ＜０”的（)
(1）若aｎ＝n，bn=2n﹣1,求ｃ1，c2，ｃ3的值，并证明｛cｎ}是等差数列；
（2)证明:或者对任意正数M，存在正整数m，当ｎ≥ｍ时， ＞Ｍ；或者存在正整数m，使得cm,cm＋1,cｍ+２，…是等差数列．
ﻬ
2017年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题.(每小题5分)
1．(5分)若集合Ａ={x|﹣2<ｘ<１}，B＝{ｘ｜x<﹣1或x>３},则A∩B=(）
（参考数据:lｇ3≈0.48)
A.10３３B．１05３ﻩＣ.１07３ﻩD.１093
二、填空题(每小题5分)
9.（５分)若双曲线x２﹣ =1的离心率为 ，则实数m=.
10.(5分)若等差数列｛an}和等比数列{bn}满足ａ1＝b1=﹣１,a4=b４=8，则 =.
１1.(5分)在极坐标系中,点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρｓinθ+４＝0上,点Ｐ的坐标为（１,0），则|AP|的最小值为．
北京市高考数学考试(理科)(附详细答案)
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２０17年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题.(每小题５分）
１.(５分)若集合A＝{x|﹣2<ｘ＜１}，Ｂ={x｜ｘ＜﹣1或x>3}，则A∩Ｂ=()
A．｛x|﹣２＜x<﹣1}ﻩB.｛x｜﹣２<x＜3}ﻩC.{ｘ|﹣1<x＜1}ﻩD．{x|1<x<3｝
2．（5分）若复数（1﹣ｉ)(a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数ａ的取值范围是（)
Ａ．(﹣∞,1）Ｂ.(﹣∞，﹣1）ﻩＣ.(1，＋∞）D.（﹣1,+∞）
3．(5分）执行如图所示的程序框图,输出的S值为(）
(1）求证：M为PＢ的中点；
(2）求二面角Ｂ﹣PD﹣A的大小；
(３）求直线ＭC与平面BＤＰ所成角的正弦值．
１７．（13分)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各５0名,一组服药，另一组不服药．一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成如图，其中“*”表示服药者,“＋”表示未服药者．
2.(5分)若复数(1﹣i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(）
Ａ．（﹣∞，1）ﻩB.（﹣∞，﹣１）Ｃ．(1，+∞)D．(﹣1，+∞）
【分析】复数(1﹣ｉ）(ａ+ｉ)=a+1＋（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限,可得 ,解得a范围.
【解答】解：复数(1﹣ｉ)（a＋i)=a＋1+(1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，
12.(５分)在平面直角坐标系ｘOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于ｙ轴对称，若sinα= ，则cｏs（α﹣β)=.
1３.（5分)能够说明“设a,b，ｃ是任意实数.若ａ＞ｂ＞c，则ａ+b＞ｃ”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.
1４．(5分)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示,其中Aｉ的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bｉ的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1，2，３.
(1)记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Ｑ１,Ｑ2,Ｑ3中最大的是.
(2)记ｐi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1,p2，p３中最大的是．
三、解答题
15．(13分）在△ABC中,∠A=60°，c= a.
（1）求sinC的值；
（2）若ａ=７，求△ABC的面积．
1６.（14分)如图,在四棱锥P﹣AＢCＤ中，底面ＡBCD为正方形,平面PＡＤ⊥平面AＢCD,点M在线段PB上，PD∥平面MＡＣ,PA=PD= ，AB=4.