高数课件10洛必达法则
合集下载
高等数学课件同济版第二节洛必达法则
,
汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
单击此处添加标题
洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
单击此处添加标题
法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
添加 标题
汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
单击此处添加标题
洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
单击此处添加标题
法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
添加 标题
高数第三章第二节洛必达法则31页PPT
0
例8. 求 limxnlnx(n0).
x 0
解: 原式
lim
x0
ln x xn
1
lim
x0
n
x
xn1
lim ( xn) 0 x0 n
0型
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0
00
通分
0
取倒数
取对数
0
转化
转化
转化
1
0
例9. 求 lim (sexctaxn).
原式
lim
x
nxn1
ex
xlimn(n21e)xxn2
xl imnne!x 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 求xl im exnx (n0,0).
(2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
xk x n xk1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
习题解答 P139 1题(7)、（6）
2 用洛必达法则求下列极限 :
lntan7x (1) lim
x0 lntan2x
(2) lx iamxxmnaam(a0)
解 (1)式 x l i0m 7tsae2 77 x n cx2tsae2 22 x n cx
0型 0
解 原式 lx i0m taxxn3xlxim0se3c2xx21 xlimlx0i tm 0a32nxs22ex2c6xxtanxse213xc lxi m01t axtnxa2n x13 .
1 3
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时 ,
ln x,
新人教版高中数学《洛必达法则在高考中的应用》精品PPT课件
注意：lim6x 2 为已定式，不能再用洛必达法则。
x1 6 x
例5.若f(x0 )
2
，求lim h0
f(x0
2h) 5h
f(x0
h)
解析：l i m h0
f(
x0
2 h ) 5h
f
( x0
h)
lim 2f(x0
h0
2
h ) 5
f( x0
h)
3 5
f( x0
2a
g(3) 9a 1 0
①若g(1) a 1 0 a 1 时，
g(t)
则 g(t) 在 [1,3]必有唯一零点t0
所以 y(t) 在[1, t0 ] 减，[t0 ,3]增
1 t0 3
又y(1) 0 ，所以 y(t0 ) 0不适合。
②若g(1) a 1 0 a 1时，
若 x (0,)，则
ax 1 0 ax 1 x f (x)
a
1 1 ex
1 x
xex ex 1 x(ex 1)
h(x)恒成立。
下面求 h(x),x (0,) 的最小值或最小极限值。
用导数法判断单调性难以解决，所以猜测最小
极限值点在0或 位置，由洛必达法则：
g(x) xe x 2e x x 2 0(x 0)
因为 g(x) xex ex 1 ，g (x) xe x 0
所以 g(x) 在(0,) 增
g(x) g(0) 0 所以 g(x) 在(0,)增
g(x) g(0) 0 h(x) 1
洛必达法则课件-2025届高三数学一轮复习
2e xe
2
1
1
即当x→0时，g(x)→ ，即有g(x)> ，所以
2
2
0 ≤a ≤
1
.
2
跟踪训练 已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a，求
a的取值范围.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)>x3－a恒成立，
即2ax3＋x>x3－a恒成立，
即a(2x3＋1)>x3－x恒成立，
综上，实数a的取值范围是(－∞，0].
3 设函数 ( ) = 1 −
−
,设当x ≥ 0时， ( )≤
，则a的取值范围为
+1
【分析】当a<0时显然不成立；当a≥0时，若x=0，则a∈R，
若x>0，原不等式等价于
，利用导数可得
xe x e x 1
a
xe x x
xe x e x 1
0
x
0
x
x
1
e x e x 2
则 lim
x 0 1 cos x
2
注意：
1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，
洛必达法则也成立.
0 ∞
∞
2.洛必达法则可处理0， ，0·∞，1 ，∞0,00，∞－∞型求极限问题.
∞
0 ∞
∞
3.在着手求极限前，首先要检查是否满足0， ，0·∞，1 ，∞0,00，∞－∞
从而 g(x)＝ x 在(0，＋∞)上单调递增，
ex－1
所以 a≤lim x .
x→0
ex－1
ex
由洛必达法则得lim g(x)＝lim x ＝lim 1 ＝1，
2
1
1
即当x→0时，g(x)→ ，即有g(x)> ，所以
2
2
0 ≤a ≤
1
.
2
跟踪训练 已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a，求
a的取值范围.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)>x3－a恒成立，
即2ax3＋x>x3－a恒成立，
即a(2x3＋1)>x3－x恒成立，
综上，实数a的取值范围是(－∞，0].
3 设函数 ( ) = 1 −
−
,设当x ≥ 0时， ( )≤
，则a的取值范围为
+1
【分析】当a<0时显然不成立；当a≥0时，若x=0，则a∈R，
若x>0，原不等式等价于
，利用导数可得
xe x e x 1
a
xe x x
xe x e x 1
0
x
0
x
x
1
e x e x 2
则 lim
x 0 1 cos x
2
注意：
1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，
洛必达法则也成立.
0 ∞
∞
2.洛必达法则可处理0， ，0·∞，1 ，∞0,00，∞－∞型求极限问题.
∞
0 ∞
∞
3.在着手求极限前，首先要检查是否满足0， ，0·∞，1 ，∞0,00，∞－∞
从而 g(x)＝ x 在(0，＋∞)上单调递增，
ex－1
所以 a≤lim x .
x→0
ex－1
ex
由洛必达法则得lim g(x)＝lim x ＝lim 1 ＝1，
4.2 洛必达法则 课件 《高等数学》(高教版)
(2)在点的某(去心)邻域内可导，且
；
(3)
存在（或无穷大）.
则
例2 求下列函数的极限. 解：
随堂练习
计算下列函数的极限.
4.2 洛必达法则 二、其它未定式的极限
除了上述“ ”和“ ”型未定式外，还有“ ”，“ ”,“ ”,“ ”,“ ”等五种未定式型．一般总可将其化 为“ ”型或“ ”型未定式，然后再应用洛必达法则．
例1 求下列函数的极限. 解：
解：
解：(5)对
两边同时取对数，得
4.2 洛必达法则 一、“ ”型与“ ”型未定式的极限
定理1 如果函数 与 满足条件：
(2)在点的某(去心)邻域内可导，且
；
(3)
存在（或无穷大）.
则
例1 求下列函数的极限. 解：
随堂练习
计算下列函数的极限.
4.2 洛必达法则 一、“ ”型与“ ”型未定式的极限
定理2 如果函数 与 满足条件：
4.2 洛必达法则
4.2 洛必达法则
在学习无穷小量阶的比较时，我们已经遇到过两个无穷小 量之比的极限，这种极限可能存在，也可能不存在，通常把两 个无穷小量之比或两个无穷大量之比统称为未定式，分别简记 为“ ”型或“ ”型.未定式的极限不能直接利用“商的极限 等于极限的商”这一运算法则来求.洛必达(L' Hospital)法则 是以导数为工具来研究未定式极限的重要方法.
经典洛必达法则-PPT课件
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
k k e f ( ) e kf ( ) 0
cos x 0 .( ) 例 求 lim 0 x 2 x 2 sin x (cosx) 解 原式 lim lim sin 1. 1 x 2 x 2 ) 2 (x 2
cos x 1 x 0 例求 lim .( ) 3 x 0 0 x 1 s in x 21 x 解 原式 lim . 2 x 0 3 x
例
3 x 3 x 2 求 lim . 3 2 x 1x x x 1
0 ( ) 0
解：
正解：
×
注意: 不是未定式不能用L’Hospital法则 !
2、 型未定式解法：
定理3：设
(1) 定理 3 对其他极限过程也是成 立的。
f ( x ) ( 2 ) 当 lim 不存在也不为 时，应改用他 F ( x )
f( x x ) sin x 0
F ( x ) f ( x ) sin x
验证 F ( x ) 在 [0,] 上满足Rolle定理条件.
3.
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
f ( x ) f ( x ) ( 或 f ( x ) f ( x )), 0 0 ( x ) 0 . 那么 f 0
同济大学《高等数学》(第四版)32节洛必达法则省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
cos bx
lim
1.
x0 cos ax
上页 下页 返回
例5 求 lim tan x . x tan 3 x
2
()
解
原式
lim
x
sec2 3 sec2
x 3x
1 3
lim
x
cos2 3 x cos2 x
2
2
1 lim 6cos 3x sin 3x lim sin 6x
3 x 2cos x sin x 2
x
(
ln sin x 2x)2
；
2
ln(1 1 )
2、 lim
x；
x arctan x
3、lim x cot 2x ； x0
4、lim( x1
2 x2
1
x
1
)； 1
5、 lim x sin x ； x0
6、 lim ( 1 )tan x ； x x0
7、 lim ( 2 arctan x)x . x
5、1；
三、连续.
上页 下页 返回
x sin 2 x 2
lim 6cos6x 3. x 2cos 2 x
2
上页 下页 返回
注意：洛必达法则是求未定式旳一种有效措施， 但与其他求极限措施结合使用，效果更加好.
例6
求
lim
x0
tan x x2 tan
x x
.
解
原式
lim
x0
tan x x3
x
lim
x0
sec2 3
x x2
1
lim
x0
tan 2 3x2
x
lim
x0
x2 3x2
高数课件10洛必达法则
,
01 洛 必 达 法 则 的 定 义 02 洛 必 达 法 则 的 应 用 03 洛 必 达 法 则 的 注 意 事 项
添加 标题
洛必达法则是微积分中的一种重要法则，用 于解决极限问题
添加 标题
洛必达法则分为上下两个部分，分别用于解 决不同类型的极限问题
添加 标题
洛必达法则的上部分用于解决0/0型极限问 题，即当分子和分母都趋于0时，可以通过 洛必达法则转化为其他形式进行求解
洛必达法则可以将复杂不定积 分转化为简单不定积分
洛必达法则可以解决一些无法 直接求解的不定积分问题
洛必达法则在求解不定积分时， 需要注意函数的连续性和可导 性
洛必达法则是解决定积分问题的重要工具 洛必达法则可以将定积分转化为无穷小量 洛必达法则可以简化定积分的计算过程 洛必达法则在求解定积分中的应用广泛，如求解极限、求导数等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ极限时，必须先求导数 函数在所求极限处必须连续
求导数后，必须满足洛必达 法则的条件
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求导数
洛必达法则只能用于求可导 函数的极限，不能用于求不 可导函数的极限
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求导数
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求极限值
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求极限值
添加标题
洛必达法则的定义：如果函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可导，且g'(x)≠0，那么f(x)/g(x)在区间[a, b] 上可导，且其导数为f'(x)/g'(x) f(x)g'(x)/g'(x)^2
添加标题
其次，假设f(x)和g(x)在区间[a, b]上可导，且 g'(x)≠0，那么f(x)/g(x)在区间[a, b]上可导，且其导 数为f'(x)/g'(x) - f(x)g'(x)/g'(x)^2
01 洛 必 达 法 则 的 定 义 02 洛 必 达 法 则 的 应 用 03 洛 必 达 法 则 的 注 意 事 项
添加 标题
洛必达法则是微积分中的一种重要法则，用 于解决极限问题
添加 标题
洛必达法则分为上下两个部分，分别用于解 决不同类型的极限问题
添加 标题
洛必达法则的上部分用于解决0/0型极限问 题，即当分子和分母都趋于0时，可以通过 洛必达法则转化为其他形式进行求解
洛必达法则可以将复杂不定积 分转化为简单不定积分
洛必达法则可以解决一些无法 直接求解的不定积分问题
洛必达法则在求解不定积分时， 需要注意函数的连续性和可导 性
洛必达法则是解决定积分问题的重要工具 洛必达法则可以将定积分转化为无穷小量 洛必达法则可以简化定积分的计算过程 洛必达法则在求解定积分中的应用广泛，如求解极限、求导数等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ极限时，必须先求导数 函数在所求极限处必须连续
求导数后，必须满足洛必达 法则的条件
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求导数
洛必达法则只能用于求可导 函数的极限，不能用于求不 可导函数的极限
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求导数
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求极限值
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求极限值
添加标题
洛必达法则的定义：如果函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可导，且g'(x)≠0，那么f(x)/g(x)在区间[a, b] 上可导，且其导数为f'(x)/g'(x) f(x)g'(x)/g'(x)^2
添加标题
其次，假设f(x)和g(x)在区间[a, b]上可导，且 g'(x)≠0，那么f(x)/g(x)在区间[a, b]上可导，且其导 数为f'(x)/g'(x) - f(x)g'(x)/g'(x)^2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
tan x sin x cos 3 x lim = lim ⋅ π π x → tan 3 x x → sin 3 x cos x
2 2
0 ( ) 0
sin x cos 3 x cos 3 x = lim ⋅ lim = − lim π sin 3 x π cos x π x→ x→ x → cos x
营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
0 二、 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ ,0 ,1 , ∞ 型未定式解法
0 0
∞
关键:通过适当的恒等变形将其它类型未定式化 关键:通过适当的恒等变形将其它类型未定式化 为洛必达法则可解决的类型 ( 0 ), ( ∞ ) . 仍可使用L.Hospital法则来求极限 法则来求极限 仍可使用
0
∞
1. 0 ⋅ ∞ 型
1 ∞ 1 0 步骤: 步骤 0⋅ ∞ ⇒ ⋅ ∞ ⇒ , 或0⋅ ∞ ⇒ 0⋅ ⇒ . ∞ ∞ 0 0
即将其中之一个因子下放至分母就可转化为 0 ∞ 或 型 营口地区成人高等教育 QQ群 0 ∞
54356621
例9 lim x ln x +
x→0
ln x = lim+ 1 x →0 x
2 2
− 3 sin 3 x =3 = − lim π − sin x x→
2
营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
2
1 x sin 例7 lim x x x→0 e − 1
2
0 ( ) 0
1 1 2 x sin − cos x x = lim x →0 ex 分母→1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则 失效” 法则“ 分母→1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则“失效” 1 2 x sin x = lim x ⋅ x sin 1 = 1× 0 = 0 但 lim x × x x →0 e − 1 x →0 e − 1 x
a cos ax ⋅ sin bx cos bx 解 原式 = lim = lim = 1. x → 0 b cos bx ⋅ sin ax x → 0 cos ax
营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
xµ 证明 lim ln βx = 0 lim λx = 0 (β , λ, µ > 0) 例5 x→+∞ e x→+∞ xµ 证 分两种情况
由慢到快依次是： 由慢到快依次是： 对数函数、幂函数、 对数函数、幂函数、 指数函数 这一点从图上即可看出 o
y= x
µ
y = ln βx
x
营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
tan x . 例6 求lim π x→ tan3x
2
∞ ( ) ∞
直接应用法则比较麻烦，先变形， 解 直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则
营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
0 ∞ 一、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0 ∞
定义 如果当 → a(或x → ∞)时,两个函数f ( x) x
与F( x)都趋于零或都趋于无穷 ,那末极限 大 f ( x) 0 ∞ lim 称为 或 型未定式. x→a F( x) 0 ∞ ( x→∞)
当x → ∞时,以及x → a, x → ∞时,该法则仍然成立.
营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
证 定义辅助函数
f ( x ), f1 ( x ) = 0, x≠a x=a , F ( x ), F1 ( x ) = 0, x≠a x=a ,
在 U 0 (a , δ ) 内任取一点 x , 在以 a 与 x 为端点的区间上 ,
f1 ( x ), F1 ( x )满足柯西中值定理的条 件,
则有
f ( x ) f ( x ) − f (a ) f ′(ξ ) = = F ( x ) F ( x ) − F (a ) F ′(ξ ) (ξ在x与a之间) f ′(ξ ) f ′( x ) = A, = A, ∴ lim 当x → a时,ξ → a , ∵ lim ξ → a F ′(ξ ) x → a F ′( x ) f ( x) f ′(ξ ) ∴ lim = lim = A. x→a F ( x ) ξ → a F ′(ξ )
注
在反复使用法则时， 在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为 未定式，若不是未定式，不可使用法则。 未定式，若不是未定式，不可使用法则。
营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
π
例3 求 lim 2
x→+∞
− arctan x 1 x .
0 ( ) 0
1 − 2 x2 解 原式 = lim 1 + x = lim = 1. 2 x → +∞ 1 x → +∞ 1 + x − 2 x lnsinax ∞ ( ) . 例4 求 lim ∞ x→0 lnsin bx →
及 F′( x) 都存在且F′( x) ≠ 0; f ′( x) (3) lim ( ); 存在 或为无穷大 x→a F′( x) f ( x) f ′( x) . 那末lim = lim x→a F( x) x→a F′( x)
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
2 sec2 x tan x 1 tan x 1 = lim = lim = . x →0 6x 3 x →0 x 3 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法——尤其是等价无穷小的代 但与其它求极限方法 尤其是等价无穷小的代 结合使用， 换——结合使用，可以简化运算过程，效果会更 结合使用 可以简化运算过程， 使用起来也更有效。 好，使用起来也更有效。
1 = − lim+ x = 0 = lim+ x 1 x →0 x →0 − 2 x
注意：对数因子不下放，要放在分子上 注意：对数因子不下放，
营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
④ 将x → x0换成x → x , x → x , x → +∞ , x → −∞ , x → ∞ 仍有类似的结论
+ 0ຫໍສະໝຸດ − 00 如： → ∞时 型的极限 x 0 定理 设f ( x ), g ( x )在 | x |> N上有定义，且 上有定义， (1) lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0
+ − 将x → x0换成x → x0 , x → x0 , x → +∞ , x → −∞ , x → ∞ 结论仍成立 营口地区成人高等教育 QQ群
54356621
x3 − 3x + 2 0 求 lim 3 . 例1 ( ) 2 x→1 x − x − x + 1 0 3 x2 − 3 0 解 原式 = lim 2 ( ) x →1 3 x − 2 x − 1 0 6x 3 = lim = . x →1 6 x − 2 20 x −x e − e − 2x ( ) e x + e− x − 2 ( 0 ) 0= lim 例2 lim x→0 x − sin x x → 0 1 − cos x 0 0 ( ) x −x 0 e −e e x + e− x = 2 = lim = lim x → 0 sin x x → 0 cos x
所要求的条件， 定理中对 f ( x ), g ( x )所要求的条件，则可继 续 使用法则， 使用法则，直到不再是 未定式为止
f ( x) f ′( x ) f ′′( x ) lim = lim = lim =⋯ x → x0 g ( x ) x → x 0 g ′( x ) x → x0 g ′′( x )
54356621
∞ 型的极限， 关于 型的极限，有下述定理 ∞
定理
的某邻域内有定义， 设f ( x ), g ( x )在x0的某邻域内有定义，且 (1) lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞
x → x0 x → x0
( 2) f ( x ), g ( x )可导，且 g′( x ) ≠ 0 可导， f ′( x ) ( 3) lim = A(或∞ ) x → x 0 g ′( x ) f ( x) f ′( x ) 则 lim = lim = A(或∞ ) x → x0 g ( x ) x → x0 g ′( x )
注
分子分母中出现 1 1 x → 0时, sin x , cos x或x → ∞时, sin , cos x x 不可使用L.Hospital法则 不可使用 营口地区成人高等教育 QQ群 法则
54356621
例8 解
tan x − x 求 lim 2 . x→0 x tan x
sec2 x − 1 tan x − x = lim 原式 = lim 3 x →0 x →0 3 x2 x
洛必达法则
在第一章中我们已经知道， 在第一章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小 或都是无穷大时， 或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可 能不存在，即使极限存在也不能用“ 能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极 限的商”这一运算法则。 限的商”这一运算法则。这种极限称为未定式 0, ∞ 0∞ 本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式 本节我们就利用 中值定理来建立求未定式 极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求 法则， 极限的 法则 利用这一法则， 0 ∞ 和 这两种基本未定式的极限， 这两种基本未定式的极限，也可间接求出 0 ∞ 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ ,00 , ∞ 0 ,1∞ 等其它类型的未定式的极限
x →∞ x →∞
( 2) f ( x ), g ( x )在 | x |> N时可导，且 g′( x ) ≠ 0 时可导， f ′( x ) ( 3) lim = A(或∞ ) x → ∞ g ′( x ) f ( x) f ′( x ) 则 lim = lim = A(或∞ ) x →∞ g ( x ) x → ∞ g ′( x ) 营口地区成人高等教育 QQ群