线性代数二次型讲义PPT课件
0 1
(0,
1 , 1)T, 22
0 2
(1, 0, 0)T,30
(0,
1 , 1)T. 22
故所求的正交变换矩阵为
.
27
第七章 二次型与二次曲面
上一页
01 0
Q=
1
1
20 2
上一页
例2
若二次型 f 的矩阵为
1
1
A 1 0
2 1
2
试写出 f .
2
1 2
2
例解2
1
f (x, y, z) 1
2
1 0 1
2 1
2
2
x y z
2
x22y22x y4x zy.z
.
第七章 二次型与二次10曲面
上一页
练习 写 出 f x23y24z22xy3y的 z 矩 A. 阵
.
第七章 二次型与二次1曲8 面
正交矩阵
定义
正交变换在标准正交基下所对应的矩阵 称为正交矩阵.
正交矩阵有如下性质：
定理
A 是正交矩阵 ATA=E ( 或AAT = E ) .
定理
设 A 是正交矩阵 ，则 (1) | A | = 1 . (2) A 1 =AT .
定理
设 A 是正交矩阵 A 的列(行)向量组
令Q(1,2,,n),则Q为正交矩阵，即
QT Q1.
.
23
记
1
2
n
A Q (A 1 ,A 2 , ,A n)(1 1,2 2, ,n n)
1
(1,2, ,n)
2
QA.
n
从而，
QTAQ为对角阵，且为 对 A的 角 n个元特恰征 . 值
.
24
定理 5 任意一个 n 元实二次型
nn
f(x1,x2, ,xn)XTAX aijxi xj , i1 j1
通识教育平台数学课程系列教材
.
1
第一节 二次型及其标准形 第二节 正交变换法化二次型为标准形 第三节 化二次型为标准形的其他方法 第四节 二次型的分类 第五节 二次型在直角坐标系下的分类
.
2
本章学习要求：
• 1．了解二次型及其矩阵表示。 • 2．会用正交变换法化二次型为标准形。知道化
二次型为标准形的配方法。 • 3．知道惯性定律、二次型的秩、二次型的正定
.
第七章 二次型与二次7曲面
§1、二次型及其标准形
a11xa12ya13z
a11 a12 a13 x
(x,y,z)a21xa22ya23z(x,y,z)a21 a22 a23 y
a31xa32ya33z
a31 a32 a33 z
= XT AX .
A
X
称 A 为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵.
定理 设 是欧氏空间 Rn 上的线性变换，则下列四
个条件等价(互为充分必要条件) .
(1) 为正交变换 . (2) 把 Rn 的标准正交基变为标准正交基 .
(3) || ()|| = ||||, Rn ( 保持向量长度不变 ) . (4) ( (X ), (Y )) = ( X, Y ) ( 保内积不变 ) .
为 n 元实二次型.
nn
n
记 aij = aji, 则 f(x1,x2,,xn)
aijxixj (或 aijxi xj )
i1 j1
i, j1
记 X = ( x1, x2, …, xn)T, A =( aij )nn , 则
f ( x1, x2, …, xn) = X TAX ,
其中 A 称为二次型的矩阵，A 的秩称为二次型的秩.
ax2+2bxy+cy2=f
(1)
方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式. 为了便于 研究这个二次曲线的几何性质, 通过基变换(坐标变换), 把 方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程
a'x'2+c'y'2=f
(2)
在二次曲面的研究中也有类似的问题.
.
4
考察：方程
13x210xy13y21 72 72 72
并 用 矩 阵f形 . 式 表 示
解
11 0
例2 A 1 3
3 2
,
0
3 2
4
11 0
f (x, y, z) 1 3 3 2
034 2
.
x y. z
第七章 二次型与二次11曲面
上一页
练习
若二次型 f 的矩阵为 1 1 2
A 1 2 0
试写出 f .
2
0
3
例解2
1 1 2x
f (x,y,z)1 2 0 y
都存在正交变换 X = QY 使得
f X T A X 1 y 1 2 2 y 2 2 n y n 2 ,
其中 1, 2, …, n 就是 A 的全部特征值, Q 的 n 个列向量是 A 的对应于特征值1 , 2, …, n 的标准正交特征向量.
.
25
上一页
例1 求正交矩阵 Q 使 QTAQ 成对角形矩阵，并求此
.
6
§1、二次型及其标准形 一、二次型的矩阵表示
定义 二次齐次多项式
f (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz 称为实二次型. 其中aij 为实常数.
取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 , 从而, 2a12xy = a12xy + a21yx , 2a13xz = a13xz + a31zx ,
2 0 0
对角形矩阵.
其中
A
0
3
2
.
0 2 3
λ2 0 0
解 |λEA| 0 λ3 2
0 2 λ3
= ( 2)(2 6 + 5 ) = 0 ,
A 的特征值为 1 = 1, 2 = 2, 3 = 5.
1 0 0 x1
1 = 1 时, 由 (EA)X = 0, 即
0
2
2
x2
0,
0 2 2 x3
为相互正交的单位.向量组.
19
第七章 二次型与二次曲面
§2. 正交变换法化二次型为标准形 一、实对称方阵的对角化
定理 1
实对称方阵的特征值都是实数 .
证 设 λ 是实对称方阵 A 的特征值，X 是对应的特征 向量，即
A XX, X0.
用X表示将向X的 量所有分量换成数 共后 轭复
得到的向量，将边 方同 程时 两取共轭，则
而
(C TAC )T = C TAT(C T )T = C TAC ,
所以 f = Y T(C TAC ) Y 仍是关于新变量 Y 的二次型,
且二次型的矩阵为对称矩阵 B=C TAC .
满秩变换 X = CY
f = X TAX
F = Y TBY B = C TAC
.
第七章 二次型与二次15曲面
上一页
XTAX
YTBY
左乘以PT且右乘以P
A
B
.
第七章 二次型与二次16曲面
上一§页 1、二次型及其标准形 三、二次型的标准形
定义
如果满秩变换 X = CY 将二次型 f = X TAX
化成了标准二次型
n
n
i
y
2 i
,
则称
i yi2
i 1
i1
为 f = X TAX 的一个标准形.
这样的矩阵 C 是否存在？
三元实二 次型 f
一一对应 三阶实对称矩阵 A
.
第七章 二次型与二次8曲面
上一页
例 1写f出 x22y25z22xy 6y z2x的 z 矩 A. 阵
并用矩阵f.形式表示
解
11 1
例 2 A 1 2 3 ,
1 3 5
1 1 1 x f (x,y,z) 1 2 3 y.
1 3 5 z
.
第七章 二次型与二次9曲面
AXX, X0.
将上式两边同时转置，由 A 的对称性，得
XTAXT.
而 XTA XXT(X)XTX,
因此，()XTX0.,即 .为实 . 数20
定理 2
实对称方阵的不同的特征值对应的特征向量
必正交.
证 设 λ1,λ2 是实对称方阵 A 的两个不同的特征值， X1, X2 是对应的特征向量，即
A1 X 1 X 1 ,A2 X 2 X 2 .
2
0
3 z
x22 y23 z22 x y22 x.z
.
第七章 二次型与二次12曲面
§1、二次型及其标准形 n 元二次型及其矩阵表示
定义1
称 n 元实二次齐次式
f( x 1 ,x 2 , ,x n ) a 1 x 1 2 1 2 a 1 x 1 x 2 2 2 a 1 n x 1 x n a2x 22 22a2nx2xn ann xn2
定理1 对任意的实二次型 f =XTAX, 一定存在满秩 线性变换 X=CY, 使二次型化为标准形.
推论 1
任意给定一个实对称矩阵A, 一定存在可逆矩阵
C, 使得 CTAC 为对.角矩阵.
17
§2. 正交变换法化二次型为标准形 回顾：正交变换的概念
定义 设 是 n 维欧氏空间 Rn 上的线性变换，若对 任意的 X, YRn, 有 || (X) (Y ) || = || XY || , 则称 为 Rn 上的正交变换.
性及其判别法。
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线性代数二次型讲义85页PPT
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85
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨—罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
▪
线性代数二次型讲义
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
线性代数ppt 第五章 二次型
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a2n , a nn
x =
x1 x2 , xn
则 二 次 型 可 记 作 f = xT Ax, 其 中 A为 对 称 矩 阵 .
(3)
此时A 此时A称为二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵A 的矩阵, 称为对称矩阵A 对应的二次型. 对应的二次型. 对矩阵A的秩叫做二次型 的秩 二次型f的秩 二次型 的秩. f(x1,x2)=3x12+3x22+2x1x2 )=3x +3x +2x
k1 0 TAP = P … 0
0 k2 … 0
… … … …
0 0 … kn
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
三. 矩阵的合同 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 记为: A B. 可逆矩阵 使得P 矩阵P 记为: 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. An与Bn合同(congruent): 合同(congruent):
(1) 反身性: A A; 反身性: A; (2) 对称性: A B B A; 对称性: (3) 传递性: A B, B C A C. 传递性:
定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同. 定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
作业 P151 1. (B) 1(1), (3); 2
本章主要内容 (1) 二次型矩阵表示 (2) 标准二次型,规范二次型 标准二次型, 二次型 (3) 将二次型化为标准形 (4)二次型的正定型的判定—主要是利用顺序 (4)二次型的正定型的判定 主要是利用顺序 二次型的正定型的判定— 主子式判定 主子式判定 作业: 作业: P152 7(1); 20(1)
东北农业大学《线性代数》课件-第6章二次型
(
x1 ,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n a2n
xn xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
(
x1 ,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n a2n
xn xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
c11x c21x
c12 y c22 y
可以化其为标准形式：
Ax2 By2 d
由此可方便地得到其几何特征。 化标准型的实质是对方程（1）左边的二次齐
次多项式
ax2 bxy cy2
实施合适的线性变换，使其化为只含有平方项的 标准形
Ax2 By2
在高维空间也有类似问题。如何处理，是这 一章要讨论的问题。
再配方，得
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32 .
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
即
y1 y2
1 0
0 1
1 z1 2 z2
y3 z3
y3
0
0
1
z
3
得 f 2z12 2z22 6z32 .
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形．
二、二次型的矩阵表示方法
对于二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
线性代数居余马第6章二次型.ppt
f (α ) x T Ax 可以看成向量 α 的坐标 x1 , x2 ,, xn 的二次齐次函数。
如果n维向量在两组基B1={1,2,,n}和 B2 ={1,2,,n} 下的坐标向量分别 x=(x1, x2,, xn)T 和 y=(y1, y2,, yn)T 又 (1, 2,, n)=(1, 2,, n) C 则 x=C y f() = x TA x = yT(C TA C)y , B = C TA C 故 f() 在基B1和B2 下对应的矩阵分别是A和 B = C TA C 。 yT(CTA C)y 是 y1,y2,,yn 的一个二次型。
1
1
1,
1
2
1,
1
1 3 10
三个特征值决定二次曲面的类型。
*例 2
将一般二次曲面方程
(1)
x2 2 y 2 10z 2 28xy 8 yz 20xz 26x 32y 28z 38 0
化为标准方程（只含平方项和常数项）。
解 将(1)式中二次项部分
1=1时，有线性无关的特征向量x1 =(2, 1, 0)T, x2 =(2, 0, 1)T。
用Schmidt正交化方法(正交化，单位化) 得
γ1
5 5
2,
1, 0 , γ 2
T
5 15
2,
4, 5
T
2=10 时，得
取正交矩阵
2 5 5 T 1 γ 3 3 1, 2, 2 T γ1 , γ 2 , γ 3 5 5 0 则T1AT = diag(1, 1, 10) x TA x = yT(CTAC)y = y12+ y22 +10y32
x T Ax x 2 2 y 2 10z 2 28xy 8 yz 20xz
《线性代数》课件-第5章二次型
1
得
:
1
11,
单位化得: P1
1 3
111.
101 ,
1 1 1
1 0 1
对
2 =
0,
由A
1 1
3 1
1 1
r
0 0
1 0
0 0
,
得
:
2
101,
单位化得:
P2
1 2
101.
对
3
=
4, 由A
4E
3 1 1
1 1 1
113
1
r
0 0
0 1 0
012 ,
得
:3
1 2 1
,
单位化得
3. 定理5.1 可逆线性变换不改变二次型的秩.
说明: 二次型 f =xTAx 经可逆变换 x=Cy 后, 其秩不变, 但 f 的矩阵由 A 变为 B = CTAC.
§5.2 化二次型为标准形
一、用正交变换化二次型为标准形 二、拉格朗日配方法
一、用正交变换化二次型为标准形
对于二次型, 我们讨论的主要问题是: 寻求可逆的线性变换, 将二次型化为标准形.
4 2 1
A的特征值为: 1 4, 2 3 5.
对 1= 4,
由A
4E
5 2 4
2 8 2
4 2 5
1 r 0
0
0 1 0
1 1
,
2 0
2
得
: 1
1 ,
2
单位化得:
P1
1
3
2 1
.
2
对 2 = 3= 5,
由A
5E
4 2
2 1
4 2
1
线性代数 二次型 课件
二次型
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的求法 三、特征值与特征向量的性质
四、小结、思考题
特征值问题与二次型
第六章 二次型及其标准形
一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形的正交变换法
五、小结、思考题
一、二次型及其标准形的概念
[ x1 ,
x2 ,
x ]T
,
则
由
T 3
x
0知
x1 x2 x3 0
由此可得A的对应于特征值 1的线性无关特征向量
1 [1, 1, 0]T , 2 [1, 0, 1]T 0]T , 2
2
1 [1, 1, 2]T 6
因此，正交变换 x Qy为
x1
a1n x1 a2n x2 ann xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为实对称矩阵.
三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
17 2 2 A 2 14 4
2 4 14
17 2
2
A I 2 14 4 182 9
2
4 14
从而得特征值
1 9, 2 3 18.
2．求特征向量
将 9代入 A I x 0,得基础解系 1 (1 2, 1, 1)T 1
将2 3 18代入 A I x 0,得基础解系
化为标准形.
解
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的求法 三、特征值与特征向量的性质
四、小结、思考题
特征值问题与二次型
第六章 二次型及其标准形
一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形的正交变换法
五、小结、思考题
一、二次型及其标准形的概念
[ x1 ,
x2 ,
x ]T
,
则
由
T 3
x
0知
x1 x2 x3 0
由此可得A的对应于特征值 1的线性无关特征向量
1 [1, 1, 0]T , 2 [1, 0, 1]T 0]T , 2
2
1 [1, 1, 2]T 6
因此，正交变换 x Qy为
x1
a1n x1 a2n x2 ann xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为实对称矩阵.
三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
17 2 2 A 2 14 4
2 4 14
17 2
2
A I 2 14 4 182 9
2
4 14
从而得特征值
1 9, 2 3 18.
2．求特征向量
将 9代入 A I x 0,得基础解系 1 (1 2, 1, 1)T 1
将2 3 18代入 A I x 0,得基础解系
化为标准形.
解
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
线性代数二次型及其标准形PPT课件
第19页/共50页
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2
P1
1 3
1 2
2
P2
1 3
2 1
1
P3
1 3
2 2
(3) 写出正交变换
2 2 1
取正交矩阵
P P1
则得所欲求的正交变换
P2
P3
1 3
1 2
2 1
2 2
即
x1 x2 x3
1 3
2 1 2
2 2 1
第3页/共50页
例如： f ( x, y) x2 4xy 5 y2
f ( x, y, z) 2x2 y2 xz yz
都是二次型。
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x1x2 x2 x3 x2 x4
f (x, y) x2 y2 5 不是二次型。
f (x, y) 2x2 y2 2x
第4页/共50页
取 aij a ji 则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
则（1）式可以表示为
f a11 x12 a12 x1 x2 a21 x2 x1 a22 x22
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在
中取1,值的1,标0准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
称为二次型的规范形。
(注：这里规范形要求系数为1的项
排
在前面，其次排系数为-1的第项10。页/)共50页
目的： 对给定的二次型
n
f x1, x2 ,, xn aij xi x j (1)
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2
P1
1 3
1 2
2
P2
1 3
2 1
1
P3
1 3
2 2
(3) 写出正交变换
2 2 1
取正交矩阵
P P1
则得所欲求的正交变换
P2
P3
1 3
1 2
2 1
2 2
即
x1 x2 x3
1 3
2 1 2
2 2 1
第3页/共50页
例如： f ( x, y) x2 4xy 5 y2
f ( x, y, z) 2x2 y2 xz yz
都是二次型。
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x1x2 x2 x3 x2 x4
f (x, y) x2 y2 5 不是二次型。
f (x, y) 2x2 y2 2x
第4页/共50页
取 aij a ji 则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
则（1）式可以表示为
f a11 x12 a12 x1 x2 a21 x2 x1 a22 x22
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在
中取1,值的1,标0准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
称为二次型的规范形。
(注：这里规范形要求系数为1的项
排
在前面，其次排系数为-1的第项10。页/)共50页
目的： 对给定的二次型
n
f x1, x2 ,, xn aij xi x j (1)
线性代数 第五章二次型PPT课件
an1
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
线性代数课件456二次型与标准形xg
2
解之 x1 2x2 2x3 其基础解系 1 1
0
先将1,2 正交化。
2
2 0
1
1 1,
2
2
2 , 1,
1 1
1
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
1 5
2
单位化
p1
1
2 1 ,
5 0
2
p2
1 35
4, 5
24
当 1 7 时解 7E AX 0
为标准形, 并求出所作的可逆线性变换.
解 x1 y1 y2
令
x2 y1 y2
x3
y3
f (x1, x2, x3) 2 y12 2 y22 4 y1y3 4 y2 y3
2( y12 2y1y3 y32 ) 2y22 4y2 y3 2y32
2( y1 y3)2 2( y2 y3)2
2 1
0 2
0 2 0
(2) 求出A 的全部特征值及其对应的标准正交的
特征向量。
2 2 0
E A 2 1 2 2 1 4
0 2
1 2 2 1 3 4
17
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2
1
P1
3
1 2
2
1
P2
3
2 1
1
P3
1 3
2 2
(3) 写出正交变换
为 x1, x2,, xn 的标准二次型（二次型的标准形）
可见 f 为对角形。
注：由（1）可见，每一项中变量的方次之和均为2。
如：
f
x12
x1x2
3x2 3
线性代数 正定二次型ppt课件
2. 若A, B均为n阶正定矩阵,则A B也是 正定矩阵.
性质： （Байду номын сангаас） 设λ０ 是Ａ的特征值， ｇ（ｘ）为任一多项式， 则ｇ（λ０） 是ｇ（Ａ）的特征值。（用定义证）
（２） 若Ａ可逆，则Ａ的的特征值均非零。
且若λ０ 是Ａ的特征值，则
１ λ０
为Ａ－１ 的特征值。
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
定理2之证明 设可逆变换x Cy使 n f x f Cy ki yi2.
充分性
i 1
设 k i 0 i 1,,n. 任给 x 0,
则 y C -1 x 0, 故
是否正定.
解 用特征值判别法.
二次型的矩阵为
2 A 0
0 2 4 0 ,
2 0 5
令 I A 0 1 1, 2 4, 3 6.
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例3 判别二次型
f 5 x2 6 y2 4 z2 4xy 4xz
f
x
n
ki
y
2 i
0.
必要性
i 1
假设有 ks 0, 则当y es (单位坐标向量)时,
f Ces ks 0.
显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾.
故 ki 0i 1,,n.
P
1
P
n
n t
所以A的特征值为1 t，2 t，n t，当t充分大时，
它们全大于零，所以tI A是正定矩阵。
四、小结
性质： （Байду номын сангаас） 设λ０ 是Ａ的特征值， ｇ（ｘ）为任一多项式， 则ｇ（λ０） 是ｇ（Ａ）的特征值。（用定义证）
（２） 若Ａ可逆，则Ａ的的特征值均非零。
且若λ０ 是Ａ的特征值，则
１ λ０
为Ａ－１ 的特征值。
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
定理2之证明 设可逆变换x Cy使 n f x f Cy ki yi2.
充分性
i 1
设 k i 0 i 1,,n. 任给 x 0,
则 y C -1 x 0, 故
是否正定.
解 用特征值判别法.
二次型的矩阵为
2 A 0
0 2 4 0 ,
2 0 5
令 I A 0 1 1, 2 4, 3 6.
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例3 判别二次型
f 5 x2 6 y2 4 z2 4xy 4xz
f
x
n
ki
y
2 i
0.
必要性
i 1
假设有 ks 0, 则当y es (单位坐标向量)时,
f Ces ks 0.
显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾.
故 ki 0i 1,,n.
P
1
P
n
n t
所以A的特征值为1 t，2 t，n t，当t充分大时，
它们全大于零，所以tI A是正定矩阵。
四、小结