《风险理论与非寿险精算》期末复习

分布参数的估计 矩估计法、极大似然估计法、分位点法
常用分布 二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、 正态分布、伽玛分布、贝塔分布 期望、方差
第三章 损失分布的贝叶斯方法
3.1 贝叶斯方法的基本过程 3.2 先验概率的估计 3.3 先验概率与后验概率 3.4 损失函数与贝叶斯估计量 3.5 贝叶斯方法的理论基础－主观概率
5.5 中心极限定理与正态分布逼近
令 s (1 )E(S) ，称θE(S)为保单组合的安全
附加保费，称θ为相对附加安全系数（或安全附 加保费率）。
第六章 短期聚合风险模型
6.1 引 言 6.2 理赔次数和理赔额的分布 6.3 理赔总量模型 6.4 复合泊松分布及其性质 6.5 聚合理赔量的近似模型
保费计算与实际相差较大； 准备金的提取不充分； 赔付过早发生； 营运成本扩大； 佣金的提高； 投资失利； 巨灾事故频繁发生； 风险聚合估计不周；
意外责任事故的赔付； 市场条件发生不利的变化； 保单责任文字界定不清晰； 宏观经济环境的不利变化； 法律法规的改变； 公司管理人员的贪污渎职行
第四章 随机模拟
4.1 引 言 4.2 均匀分布的随机数与伪随机数 4.3 服从各种分布的随机数 4.4 模拟应用举例 4.5 模拟样本的容量
4.2 均匀分布的随机数与伪随机数
产生均匀分布随机数的方法： 1、检表法 2、物理方法（可获得真正的随机数） 3、数学方法（伪随机数）
自然取中法（平方取中法） 倍积取中法 乘同余法（Skellam一阶线性同余法）
e n
fS (x)
n0
n!
p*n (x)
E(S) p1
Var(S ) p2
S的矩母函数：
M S (t) M N [ln M C (t)] e[MC (t)1]
6.4 复合泊松分布及其性质
1、求和的封闭性
定理6.4.1 若S1,S2,…,Sm是相互独立的随机变量，且
Si是服从参数为λi的复合泊松分布，理赔额的分布
风险理论与非寿险精算
期末复习
主要内容
第一章 风险与精算
第七章 长期聚合风险模型
第二章 损失分布
第八章 效用理论与保险决
第三章 损失分布的贝叶斯 策
方法
第九章 费率厘定
第四章 随机模拟
第十章 经验费率
第五章 短期个体风险模型 第十一章 准备金
第六章 短期聚合风险模型 第十二章 再保险
t
第八章 效用理论与保险决策问题
8.1 引言 8.2 效用与期望效用原理 8.3 效用函数与风险态度 8.4 效用原理与保险定价问题 8.5 期望效用的计算 8.6 效用理论的应用
8.2 效用与期望效用原理
最大期望效用原理：在具有风险和不确定的条 件下，个人进行决策的行为动机和准则是获得 最大的期望效用值，而不是为了获得最大期望 金额值。
风险和不确定情形下的一般决策准则：人们将 追求效用的期望值尽可能地达到最大。
8.3 效用函数与风险态度
决策者的三类风险态度： 1、u(w)为线性函数，即u’’(w)=0，
称决策者为风险中立型。 2、u(w)为凸函数（上凸），即
第一章 风险与精算
1.1 风险的含义 1.2 保险经营中的风险和风险因素 1.3 保险精算问题 1.4 本书的基本内容
1.2 保险经营中的风险和风险因素
保险公司的收支
收入
支出
保费收入 投资收入 分保和再保险佣金 新投入资本 其他收入
赔付 营运费用 再保险费 红利、税务 其他杂费
保险公司面临的不确定因素 （非寿险公司经营中的风险因素）
从先验概率到后验概率的过程是直接应用贝叶斯公
式，即
f (x ) f ( ) f ( x)
f (x ) f ( )d
其中 f (x ) f ( )d 是与θ无关的常数。
可以把贝叶斯公式简化为 f ( x) ∝ f (x ) f ()
∝表示“成比例关系”。
3.4 损失函数与贝叶斯估计量
常用的三种损失函数形式及其贝叶斯估计
1、利用个体理赔的分布计算总理赔S的均值
n
n
E(S) E( X k ) 和方差Var(S) Var(X k ) 。
k 1
k 1
2、对S的分布进行标准化处理：
P{S s} P{S E(S) s E(S) } Var(S) Var(S)
3、利用中心极限定理近似计算：
P{S s} ( s E(S) ) Var (S )
一般地，对估计值的精确度要求越高，对样 本容量的要求就越大。
第五章 短期个体风险模型
5.1 引 言 5.2 个别保单的理赔分布 5.3 独立和分布的卷积 5.4 求理赔分布的矩母函数法 5.5 中心极限定理与正态分布逼近 5.6 应用举例
5.1 引 言
假定第i 张保单可能的理赔为Xi，则Xi为非负随机变 量(i=1,2,…,n)。进而保险人在这个时间段内的理赔或 赔付总量为：
M S (t) M X1 (t)M X2 (t)L M Xn (t), t 0 (5.4.1)
若X1,X2,…,Xn同分布，设其共同的矩母函数为MX(t) ，
则有：
M S (t) [M X (t)]n , t 0
(5.4.2)
5.5 中心极限定理与正态分布逼近
利用中心极限定理求保单数很多时保单组合的总理 赔分布，基本步骤为：
命题6.3 设若短期聚合风险模型中的N和C的数 学期望和方差都存在，则有
E(S) E(N)E(C)
Var(S) E2 (C)Var(N ) E(N )Var(C)
6.4 复合泊松分布及其性质
复合泊松分布S的分布函数和密度函数：
FS (x)
n0
e n
n!
P*n (x)
S的均值和方差：
Var( X ) Var(E(B | I )) E(Var(B | I )) E2 (B)Var(I ) E(I )Var(B) q(1 q)E2 (B) qVar(B)
5.3 独立和分布的卷积
两项卷积 离散型随机变量的两项卷积
5.4 求理赔分布的矩母函数法
对于独立的随机变量和 S X1 X 2 L X n，由于 X1,X2,…,Xn相互独立，因此有：
6.1 引 言
用N表示某类保单在单位时间内的理赔次数，用Ci 表示该类保单第i次理赔金额，则理赔总量S为：
S
C1
C2
L
CN
N
Ci ,
i 1
0,
N 0 N 0
称为短期聚合风险模型，其中：
N取值为非负整数，称为理赔数变量。 Ci是取值于正数（连续或离散）称为理赔额变量。
6.3 理赔总量模型
函数为Pi(x), i=,1,2,…,m，则S= S1+S2+…+Sm服从参 m
数为 i 的复合泊松分布， S的理赔额的分布 i 1
函数为：
P(x)
m i 1
i
Pi
(
x)
6.4 复合泊松分布及其性质
2、可分解性
定理6.4.2 假设S服从复合泊松分布，参数λ>0，个别理 赔额为离散型概率分布，记πi=P(C=xi)，其中x1,x2,…,xm 表示个别理赔额的取值；记Ni为S中取值为xi的次数， i=1,2,…,m，则有 N N1 N2 L Nm , N 0 ，且 S x1N1 x2 N2 L xm Nm , N 0 则以下结论成立： a) N1,N2,…,Nm相互独立； b) Ni服从参数λi =λπi的泊松分布， i=1,2,…,m 。
4.3 服从各种分布的随机数
随机数生成方法：
1) 反函数法
2) 取舍法
3) Box-Muller法
4) 极方法 标准正态分布：
标准正态分布随机数生成方法
1) 检表法
2) 中心极限定理法
标准正态分布→ 正态分布N(μ,σ2) →对数正态分布
u
→ v =μ+σu → exp(v)
泊松分布的随机数
泊松分布随机数生成方法：
6.4 复合泊松分布及其性质
3、分布计算的递推性
推论6.4.1 假设S服从复合泊松分布，若理赔额C仅取值 为正整数，则有如下迭代公式：
f (0) e
f
(x)
x i 1
i x
i
f
(x i)
x i p(i) f (x i), i1 x
x 1, 2,L
第七章 长期聚合风险模型 （破产理论）
为； ……
1.3 保险精算问题
保险精算的四个问题： （1）厘订费率 （2）准备金计提及其分配 （3）再保险形式的选择及自留额的确定问题 （4）资产负债配比与偿付能力问题
第二章 损失分布
2.1 引言 2.2 获得损失分布的一般过程 2.3 损失分布的数学工具 2.4 拟合损失分布
2.1 引言
损失与赔付 损失：承保标的的可能发生的实际损失大小。 赔付：保险人按承保合同规定的保险责任所 支付的实际费用。 赔付≤实际损失
2.2 获得损失分布的一般过程
获得随机变量概率分布的方法： 数理统计方法 又称为频率学派方法，主要依靠样本信息来估计未 知参数，从而获得概率分布。 贝叶斯方法 又称为主观贝叶斯方法，通过采用“先验概率”、 “损失函数”等主观信息，在不具备样本信息的情 况下估计未知参数，获得损失分布。 随机模拟方法 利用现代计算机技术，用机器的高速运算结果来模 拟实际过程，以获得对实际过程的了解。
n
S X1 X 2 L X n X i i 1
称之为短期个体风险模型。
短期个体风险模型的四个假设条件
假设1 每张保单是否发生理赔以及理赔额大小是相互独
立的，即Xi是相互独立的随机变量。
假设2 每张保单至多发生一次理赔。若用随机变量I表示