四条线段成比例问题
4.2_平行分线段成比例(省级优质课)
例1：填空
A D
（1）∵ AB∥DE
B
E
C
∴
CD AD
＝（ CE） （ BE ）
AC CD
＝（ BC ） （ CE ）
BE BC
＝（ AD） （ AC ）
（2）∵ AD∥EF ∥BC
A
D
∴
AG GC
＝（
（
AE） （ DF ） BE）＝ （ FC ）
E B
F G
C
（2）已知平行四边形ABCD
D
则 AB ＝（ DF） CF ＝（ DF） AE （ DE） FB （ EF）
BC = MC . AB AD
在△DMF中，
DE = MC . EF CF
∵AD=CF，
B \ BC = DE .
AB EF
MC
F
例3. 已知：如图△ABC中，D、E分别是AB、AC
上两点，DE、BC的延长线相交于F. AD=CF.
求证：BC = DE .
A
AB EF
方法二. 证明：作DN∥BC交AC于N. D N
四、练习题：
1、教材P84/随堂练习 2、教材P84/知识技能1、2 3、教材P84/问题解决3、4
五、练习题：
4. 已知，如图，在△OCE中，BD∥CE, AD∥BE.
求证：OB是OA和OC的比例中项.
证明: 在△OCE中， ∵BD∥CE. \ OB = OD .
OC OE
在△OBE中， ∵AD∥BE. \ OA = OD . O
求证： AE ＝ AF
AB
AD
E
B
A
F
G
D
C
例1.如图，若EF∥AB, DE∥AC, 以下比例正确的
线段的比、黄金分割(培优训练)
线段的比、黄金分割知识要点◆要点1 线段的比(1) 线段的比：在同一单位下，两条线的长度的比叫做这两条线段的比。
(2) 成比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d c b a =，那么这四条线段成比例线段，当b ＝c 时，有db b a =，称b 为a 与d 的比例中项。
(3) 比例尺：比例尺＝图上距离：实际距离★说明：判断四条线段是否成比例，首先要把四条线段的单位化成同一单位，再计算它们的比值来判断，要注意它们的顺序。
◆要点2 比例的性质a . 比例的基本性质：()()0,02≠=⇔=≠=⇔=d c b a ac b cb b a dc b a bc ad d c b a 、、、、、、 b . 合比性质：（两边都加1或减1）dd c b b a d c b a ±=±⇒= c . 等比性质：如果()0≠+++===m d b n m d c b a ，那么b a n d b m c a =++++++ 。
◆要点3 黄金分割概念：若点C 把线段AB 分成两条线段AC 、BC (AC ＞BC)，若ACBC AB AC =，我们称线段AB 被点C 黄金分割，C 点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈-618.0215。
★说明：(1)一条线段有两个黄金分割点。
黄金分割比是两个线段的比，没有单位；(2) 一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段有其固定关系：若AB ＝1，.253,215-=-=BC AC 则(3)作一条线段的黄金分割点一般有两种方法，如右图XS —01、XS —02：易错易混点 (1)求线段的比时，忽视了单位的统一；(2) 不按顺序写成比例线段；运用等比性质时，忽略了成立的条件；(3) 没有理解黄金分割的定义；XS —02 XS —01例☆ 已知：k zy x y z x x z y =+=+=+，求k 的值。
比例线段的划分及比例的基本性质
(1)比例的基本性质
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc.
比例的内项乘积等于外项乘积.
因为 a：b=c：d， 两边同乘以 bd，得
a即d=babc；=
c d
，
上述性质反过来也对，就是
如果 ad =bc，那么 a：b =c：d .
比例线段的划分及比例的基本性质
(1)比例的基本性质
综合地说：
a：b=c：d ad=bc.
特殊地说：
a：b=b：c b 2=ac.
比例线段的划分及比例的基本性质
练习1—1：
如果
PA PB
=
PC PD
，
那么 PA·PD= PB·PC；
如果
CD EB
=
DF AD
，
那么 AD·CD=EB·DF；
如果
AC EF =
BD EA
，
那么 EF·BD=AC·EA；
比例线段的划分及比例的基本性质
AF BF
=
AE BE
；
说明：
(1)一个等积式可以改写成八个比例式
(比值各不相同)；
(2)对调比例式的内项或外项，
比例式仍然成立
(比值变了).
a c
b=d
ad bc cb = da .
比例线段的划分及比例的基本性质
练习2—1： 如果 AE·BF=AF·BE，
那么
AE AF
练习3—1：
A
D
如图，已知
AB BC
=
DE EF
，
B
E
那么
AC BC =
DF EF
，
C
F
理由：
如何证明四条线段成比例
如何证明四条线段成比例资阳市雁江区第二初级中学葛吉明证明线段成比例的问题，思路灵活，涉及的定理较多，辅助线的添加方法亦很巧妙，多数学生感到困难，现介绍一种易学易懂的方法供大家参考。
口诀：遇等积，换等比；横找竖找定相似不相似，别生气；等线等比来代替平行线，转比例，两端各自找联系举例说明思路一、遇等积，换等比；横找竖找定相似由欲证的比例式或等积式转化为比例式．用三点定形法寻找相似三角形，这是证明线段成比例问题最基本的方法之一，一般是找到以四条成比例线段为边的两个三角形，再证明这两个三角形相似．[例1]已知：如图1，∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD等式左边的三点A、B、C构成△ABC，等式右边的三点A、D、E构成△ADE．因此，只要证明△ABC∽△ADE，本题即可获证．（竖找定相似）由已知∠ABC=∠ADE，∠A是公共角，易证△ABC∽△ADE．证明：略．号两边的分母，三个字母A、D、E构成△ADE．(横找定相似)二、不相似，别生气；等线等比来代替当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形时，往往需要进行等量代换，包括“线段的代换”或利用“中间比”进行代换．[例2]已知：如图2，在Rt△ABC中有正方形H EFG，点H、G分别在AB、AC上，EF在斜边BC上．求证：EF2=BE·FC．上，无论如何不能构成相似三角形，因此不能直接应用三点定形法．此时应联想到正方形H EFG的四条边都相等的隐含条件，用H E代换等式左边的△H BE∽△FCG使本题获证．证明：略．这是利用线段进行等量代换的典型例题，不难看出，这种代换方法往往需要含有等腰三角形、平行四边形、正三角形、正方形、线段中点等已知条件或隐含条件．[例3]已知：如图3，AC是ABCD的对角线，G是AD延长线上的一点，BG交AC于F，交CD于E．分析：由B、E、F、G四点共线可知，本题既不能直接应用平行截线定理或三点定形法，又找不到与比例式中线段相等的线段进行等量代换．代换是解决本题的关键．证明：略．这是利用中间比进行代换的典型例题，这种代换往往出现于平行线分相等成比例以及相似三角形的对应边成比例三、平行线，转比例，两端各自找联系．利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有效方法，这种方法经常通过平行线分线段成比例定理和它的推论来实现．[例4]已知：如图4，在△ABC中，D是AC上一点，延长CB到E，使BE=AD，ED交AB于F．分析：观察比例式的右边三点A、B、C可构成△ABC，而左边的三点D、E、F不能构成三角形，因此不能直接利用相似三角形获证．证明：略．此题添平行线的方法还有：（1）过D点作BC的平行线交AB于M。
九年级数学上成比例线段练习题
九年级数学上成比例线段练习题九年级数学上---3.1成比例线段练题概念复：1、对于四条线段a、b、c、d，若有ab=cd，则称这四条线段是成比例线段。
其中a、d是比例内项，b、c是比例外项，ad=bc是第四比例项，ab×cd=bc×ad是内项积外项积。
2、对于三条线段a、b、c，若有b是线段a、c的比例中项。
3、对于成比例线段的四条线段a、b、c、d，若有ab=cd，则有a：b=c：d；反之也成立。
4、比例线段的合比性质是：若a：b=c：d，b：c=e：f，则a：d=e：f。
5、比例线段的等比性质是：若a：b=b：c=c：d，则a：d=a²：b²=b²：c²=c²：d²。
练1：1.如图，格点图中有2个三角形，若相邻两个格点的横向距离和纵向距离都为1，则AB=1，BC=2，DE=3，EF=6，计算AB：BC=1：2，DE：EF=1：2，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
2.已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例？①a=16 cm，b=8 cm，c=5 cm，d=10 cm；不成比例。
②a=8 cm，b=5 cm，c=6 cm，d=10 cm；成比例。
3、已知a、b、c、d是成比例线段，且a=3 cm，b=2 cm，c=6 cm，则线段d=4 cm。
4、已知5，在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，矩形运动场的实际尺寸是40 m×80 m。
选择题：1.下列各组中的四条线段成比例的是(。
)A.a=2，b=3，c=2，d=3B.a=4，b=6，c=5，d=10.C.a=2，b=5，c=23，d=15D.a=2，b=3，c=4，d=12.答案：B。
2.若ac=bd，则下列各式一定成立的是(。
)A。
a/c=b/dB。
a²/c²=b²/d²C。
人教版九年级下册数学：第27章 总第2课时 27.1.2《成比例线段》
(4)若四条线段满足;,则有ad=bc。
典例精析
【例1】.一张桌面的长a=1.25 m，宽b=0.75 m，
那么长与宽的比是多少？
a:b=5：3 或 a 5
b3
a.如果a=125 cm，b=75 cm，那么长与宽的比
是多少？
a:b=5：3
或a 5 b3
b.如果a=1250 mm，b=750 mm，那么长与宽的
★★★★课堂练习 1.如图所示的两个三角形相似吗？为什么？
相似，由已知条件可知它们的角分别 相等，边成比例.
合作探究 知识点3 相似多边形性质的应用
由相似多边形的性质可知，相似多边 形的对应角相等，对应边成比例。
典例精析
【例2】如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，
β的大小和EH的长度x.
总第2课时
情景 引入
合作 探究
课堂 练习
归纳 小结
达标 测试
学习目标
1
理解比例线段的概念。
2
会根据相似多边形的特征识别两
个多边形是否相似，并会运用其性质
进行有关的计算。
复习回顾
1.形状相同的图形叫做相似图形。 注意:相似图形的大小不一定相同;
全等图形是相似图形的特殊情况。 2.图形的相似具有传递性。 3.两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一 个图形放大或缩小得到。即:利用相似放大或缩小 图形。
DE= DF2 EF2 22 1.52 =2.5 ∵ AB BC AC
DE EF DF
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F=90° ∴△ABC与△DEF相似.
1 两个边数相同的多边形，如果它们的角对 应相等，边成比例，那么这两个多边形相似。
《成比例线段》典型例题
《成比例线段》典型例题例题1 已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否是成比例线段？（1）cm 10,cm 5,cm 8,cm 16====d c b a ；（2）cm 10,m 6.0,cm 5.0,cm 8====d d c b a ．例题2 如图，)2,3(),1,2(),2,0(C B A --．（1）求出AB 、BC 、AC 的长．（2）把上述三个点的横坐标、纵坐标都乘以2，得到C B A '''、、的坐标，求出C A C B B A '''''',,的长．（3）这些线段成比例吗？例题3．已知811=+x y x ，求y x例题4．已知432z y x ==，求y x z y x -+-33的值例题5．若3753=+b b a ，则b a 的值是__________例题6．设k yx z x z y z y x =+=+=+，求k 的值例题7．如果0432≠==c b a ，求：b c a c b a 24235-++-的值例题8．线段x ，y 满足1:4:)4(22=+xy y x ，求y x :的值例题9．如图，已知，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，并且 23===AE AC DE BC AD AB ，ABC ∆的周长为12cm求：ADE ∆的周长参考答案例题1 分析 观察四条线段是否成比例时，首先要把四条线段的单位都化成一致的单位，再把它们按从小到大的顺序排列，由比例线段的基本性质知bc ab =，即如果第一、四两个数的积等于第二四两个数的积，则四条线段成比例，否则不成比例．解答 （1）cm 16,cm 10,cm 8,cm 5====a d b c ，ac bd c a d b ==⨯=⨯,80,80 ， ∴dc a b =， ∴四条线段成比例．（2）10cm 8cm,6cm,0.6dm cm,5.0=====d a c b ，ca bd ca bd ≠==,48,5，∴这四条线段不成比例．例题2 分析 利用勾股定理可以求出这些线段的长．解答 （1）133222=+=AB ，543,26152222=+==+=AC BC ．（2）)4,6(),2,4(),4,0(C B A '-'-'，132134526422=⨯==+=''B A ，26226410421022=⨯==+=''C B ，108622=+=''C A ．（3）21,21,2113213=''=''==''C A AC C B BC B A AB， ∴C A AC C B BC B A AB ''=''=''， 这些线段成比例．例题3．解答：由比例的基本性质得x y x 11)(8=+∴y x 83=∴38=y x 说明 本题考查比例的基本性质，易错点是由y x 83=化成比例式时错成83=y x ，解题关键是运用比例的基本性质，本题还可以运用合比性质求解。
比例线段
������ = ������������
������
即 ������
������
= ������������
������
类型二
2. 若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则：①AB＝ 5－1 AC；
②AC＝ 3－
5 AB;
③AB∶AC＝AC∶CB;
2
④AC≈0.618AB.
2
其中正确的有( D )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3. 已知-1，9，x，其中一个数是其他两个数的比例中项，求 x 的值.
7. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，过点 C 作 CD∥AB， 且 BD⊥AB，连结 AD．
（1） 判断线段 AC，AB，BD，BC 是否成比例，并说明理由. （2） 若 AB=5，AC=3，求 BD 的长. （3） 若 AB=2AC，求△ACD 与△ABC 的面积比.
6.
已知
������−������������ = ������
������
������
，求
������ ������
的值．
解：������ − ������ = ������
������
������
������ ������
=
������������ ������
解：������������ − ������������������ = ������������
度单位(即统一长度单位)．
2．四条线段成比例与它们的排列顺序有关．线段 a，b，c，d
成比例表示成a＝c，而线段 bd
b，a，c，d
成比例则表示成ba＝cd.
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3.判断已知四条线段是否成比例或是否成比例线段，方法是：一般把四个数大小排列，判断前后两组比是否相等；或看两个极值的积是否等于另两个数的积来判断。
如：（1）已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例？
关于四条线段成比例问题
关于四条线段成比例，个人认为有以下几种情况，供大家参考，期待着与大家讨论并完善！
1.具体指出哪四条线段成比例，根据比例线段的顺序性，一般只有一种情况：
如：（1）已知四条线段a、b、c、d成比例，且a=2，b=3，c=4．则d= 66．
（2）线段a、b，c，d是成比例线段，若a=10、c=8、d=12，则b= 1515．
C．a=8，b=5，c=4，d=3
D．a＝9，b＝ ，c＝3，d＝
“已知线段a=2,b=4，c=6,则d=?时，它们是成比例线段。”此问题很显然是第一种类型。按顺序性只能确定一种答案。
（4）已知：a=3，b=4，c=5，请再添加一条线段，使这四条线段成比例线段．
2.没指出具体哪四条线段成比例（未确定顺序），一般考虑多种情况。
如：（1）已知三条线段的长分别是4cm，5cm和10cm，则再加一条（ 或8或2cm）的线段，才能使这四条线段成比例．
（1）a=16cmb=8cmc=5cmd=10cm
（2）a=8cmb=5cmc=6cmd=10cm．
解：（1）∵8×10=80，16×5=80，∴能够成比例；
（2）∵8×6=48，10×5=50，∴不能够成比例．
再如：（2）下列四条线段为成比例线段的是（B）
A．a=10，b=5，c=4，d=7
B．a＝1，b＝ ，c＝ ，d＝