2018年全国2卷数学试卷及参考答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。 1．

1212i

i

+=-（ ） A ．4355i --

B ．4355

i -+

C ．3455

i --

D ．3455

i -+

2．已知集合(){}

2

23A x y x

y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（ ）

A ．9

B ．8

C ．5

D ．4

3．函数()2

x x

e e

f x x

--=的图象大致是（ ）

4．已知向量a b ，满足，1a =，1a b ⋅=-，则()2a a b ⋅-=（ ） A ．4

B ．3

C ．2

D ．0

5．双曲线()22

22100x y a b a b

-=＞，＞ ）

A ．y =

B ．y =

C ．y =

D ．y =

6．在ABC △中，cos 2C =

1BC =，5AC =，则AB =（ ）

A ．

B

C

D ．

7．为计算11111

123499100

S =-

+-+⋅⋅⋅+-

，设计了右侧的程序框图， 则在空白框中应填入（ ） A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．112

B ．

114

C ．

115

D ．

118

9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ）

A ．15

B ．

56

C ．

55

D ．

22

10．若()cos sin f x x x =-在[]a a -，是减函数，则a 的最大值是（ ）

A ．4

π B ．

2

π C ．

4

3π

D ．π

11．已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则

()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）

A ．50-

B ．0

C ．2

D ．50

12．已知1F ，2F 是椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=＞＞的左、右焦点交点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且

斜率为3

6

的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．

23

B ．

12

C ．13

D ．

14

二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．曲线()2ln 1y x =+在点()00，处的切线方程为__________．

14．若x y ，满足约束条件25023050x y x y x +-⎧⎪

-+⎨⎪-⎩

≥≥≤，则z x y =+的最大值为_________．

15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________．

16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为

7

8

，SA 与圆锥底面所成角为45︒．若SAB △

的面积为_________．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题。每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 17．（12分）

记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，153-=S ． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．

18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．

为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年数据（时间变量t 的值依次为127⋅⋅⋅，，，）建立模型①：30.413.5y t =-+：根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127⋅⋅⋅，，，）建立模型②：9917.5y t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

19．（12分）

设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为()0k k ＞的直线l 与C 交于A B ，两点。8AB =． （1）求l 的方程；

（2）求过点A B ，且与C 的准线相切的圆的方程．

20．（12分）

如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ；

（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．