2021届高考数学一轮复习课件：第4章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数
(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦． (3)几何表示 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示． 如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 α 的_正__弦__线___、余弦 线、_正__切__线___．
9
[常用结论] (1)单位圆上任意一点可设为(cos θ，sin θ)(θ∈R)． (2)若α∈0，π2，则sin α＜α＜tan α.
38
(2)r＝ 16m2＋9m2＝5|m|， 当m＞0时，r＝5m，sin α＝－53mm＝－35，cos α＝54mm＝54， ∴2sin α＋cos α＝2×－53＋45＝－52. 当m＜0时，r＝－5m，sin α＝－－35mm＝35，cos α＝－45mm＝－45， ∴2sin α＋cos α＝2×35＋－54＝25， ∴2sin α＋cos α＝±25.]
(2)已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参 数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．
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(3)三角函数值的符号及角的终边位置的判断．已知一角的三角 函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终 边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在 坐标轴上的特殊情况．
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(3)[解] 由题意tan α＝－43， 当角α终边落在第二象限，设角α终边上一点P(－3,4)，r＝5， ∴sin α＝45，cos α＝－35， 当角α终边落在第四象限，设角α终边上一点P(3，－4)，r＝5， sin α＝－45，cos α＝35.
充分利用三角函数的定义解题是解答此类问题的关 键，对于含字母的方程求解要注意字母的范围．
S＝_12_l_r_＝__12_|α_|r_2_
6
3．任意角的三角函数 (1)定义 设角 α 终边与单位圆交于 P(x，y)，则 sin α＝_y_，cos α＝_x_，tan y α＝_x__ (x≠0)．
7
拓展：任意角的三角函数的定义(推广)． 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离 为r， 则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．
所以l＝α·R＝π3×10＝103π(cm)．
2R＋Rα＝10， (2)由题意得12α·R2＝4
⇒Rα＝＝81，
R＝4， (舍去)或α＝12.
故扇形圆心角为12rad.
27
(3)由已知得l＋2R＝20， 所以S＝12lR＝21(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2， 此时l＝10 cm，α＝2 rad.
(2)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由ctaons αα＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限 角．综上可知，α为第三象限角．]
42
判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的 象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的 符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况和三角函数 的定义域．
15
5．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_______
弧度．
[答案]
π 3
16
考点1 象限角及终边相同的角 象限角的两种判断方法
(1)图像法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的 定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的 形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判 断已知角是第几象限角．
(2)确定kα，αk(k∈Z*)的终边位置的方法ຫໍສະໝຸດ 先写出kα或α k
的范围，然后根据k的可能取值确定kα或
α k
的终边
所在位置．
24
考点2 扇形的弧长、面积公式 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意 角的单位必须是弧度．
(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公 式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方 程(组)求解．
30
2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对
的弧长是( )
A．2
B．sin 2
C．sin2 1
D．2sin 1
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C [如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC 交A︵B 于D.
则∠AOD＝∠BOD＝1弧度， 且AC＝12AB＝1， 在Rt△AOC中， AO＝sin∠ACAOC＝sin1 1， 即r＝sin1 1， 从而A︵B 的长为l＝α·r＝sin2 1.故选C.]
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二、教材改编
1．若θ满足sin θ＜0，cos θ＞0，则θ的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D [∵sin θ＜0，cos θ＞0，∴θ的终边落在第四象限．]
12
2．下列与94π的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋49π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋54π(k∈Z) C [∵94π＝2π＋π4，∴94π与π4终边相同．
(3)角α的终边在直线y＝－43x，求sin α，cos α，tan α.
37
(1)D (2)±52 [(1)由题意可知cos α＝1123，sin α＝153. cos β＝－35，sin β＝54， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝153×－35＋1123×45＝－1655＋4685 ＝3635.
25
已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； (3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个 扇形的面积最大？
26
[解] (1)α＝60°＝π3rad，
4
(3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内， 可构成一个集合 S＝{β|β＝α_＋__k_·_3_6_0_°_，k∈Z}．
(4)象限角：使角的顶点与原__点__重合，角的始边与_x_轴__的__非__负__半_ _轴___重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角； 如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
17
1.设集合M＝xx＝2k·180°＋45°，k∈Z ，N
xx＝4k·180°＋45°，k∈Z ，那么
A．M＝N
B．M⊆N
C．N⊆M
D．M∩N＝∅
18
B
[由于M中，x＝
k 2
·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k
＋1是奇数；而N中，x＝4k·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1
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三角函数定义的应用
(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始
边，角α，β的终边分别与单位圆交于点 1123，153 和 －35，45 ，则sin(α ＋β)＝( )
A．－3665
48 B.65
C．－133
33 D.65
36
(2)角α终边上一点P(4m，－3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α＝ ________.
32
3．已知扇形弧长为20 cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为 ________cm2.
360 π
[由弧长公式l＝|α|r，
得r＝10200π＝3π6， 180
所以S扇形＝21lr＝12×20×3π6＝3π60.]
33
考点3 三角函数的概念及应用 三角函数定义问题的常见类型及解题策略
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值：先求 点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
又cos
2θ＝－cos
2θ，∴cos
2θ＜0，∴2θ是第二象限角．]
21
3．与－2 010°终边相同的最小正角是________． 150° [与－2 010°终边相同的角可表示为α＝－2 010°＋ k·360°，k∈Z， 又当k＝6时，α＝150°，故与－2 010°终边相同的最小正角为 150°.]
40
三角函数值的符号判断
(1)若tan α＞0，则( )
A．sin α＞0
B．cos α＞0
C．sin 2α＞0
D．cos 2α＞0
(2)若sin αtan α＜0，且ctaons αα＜0，则角α是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
41
(1)C (2)C [(1)由tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象 限，此时sin α与cos α同号，故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C.
第四章 三角函数、解三角形
第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
2
[最新考纲] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧 度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定 义．
3
1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着_端__点__从一个位置旋转 到另一个位置所成的图形． (2)分类按按旋终转边方位向置不不同同分分为为__正__象__角__限__、_角___负___和角_轴_、线_零角__角.___.
10
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2021高中数学一轮复习课件第四章 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
r＝123，所以 sin α＝－1123．所以 tan α＝csions αα＝152，则sin1 α＋tan1 α
＝－1132＋152＝－23．
[答案] (1)D (2)－23
[解题技法]
返回
三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法 (1)已知角 α 的终边上的一点 P 的坐标，求角 α 的三角函数值．
，k∈Z中的角所表示的范围(阴影
部分)是
()
解析：当k＝2n(n∈Z
)时，2nπ≤α≤2nπ＋
π 4
(n∈Z
)，此时α的终边
和0≤α≤
π 4
的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z )时，2nπ＋π≤α≤2nπ
＋π＋π4(n∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 答案：B
2．若角α是第二象限角，则α2是 A．第一象限角 C．第一或第三象限角 解析：∵α 是第二象限角， ∴π2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z ，
返回
4．下列与94π的终边相同的角的表达式中正确的是
()
A．2kπ－45°(k∈Z )
B．k·360°＋94π(k∈Z )
C．k·360°－315°(k∈Z )
D．kπ＋54π(k∈Z )
解析：与94π的终边相同的角可以写成2kπ＋94π(k∈Z )，但是
角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．故选C．
返回
3．象限角
返回
4．轴线角
返回
[基础自测] 一、走进教材 1．(必修4P10A组T7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第
________象限．
答案：－54π 二
最新-北京专用2021版高考文数一轮复习课件：第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的
4.(2018北京海淀高三期中)在平面直角坐标系xOy中,点A的纵坐标为2, 点C在x轴的正半轴上.在△ABC中,若cos∠AOC=- 5 ,则点A的横坐标为
3
(A)
A.- 5 B. 5 C.-3 D.3
答案
A
设点A的横坐标为x0(x0<0),由三角函数的定义得
x0 =- 5 ,
x02 4 3
解得x0=- 5 或x0= 5 (舍去),故选A.
4
答案 C 9 π=9 ×180°=360°+45°=720°-315°,
44
∴与角 9 π的终边相同的角可表示为k·360°-315°,k∈Z.弧度制与角度制
4
不能混用,故A、B不对.
2.(2016北京东城期中)已知角α的终边经过点P(-1,0),则cos α的值为
(B )
A.0 B.-1 C.- 2 D. 2
6
6
∴与2 010°角终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为5- .
6
考点二 扇形的弧长与面积公式
典例2 (1)已知扇形周长为10,面积是4,则扇形的圆心角的大小为 .
(2)如图,已知扇形的圆心角α=120°,弦AB长12 cm,则该扇形的弧长l= cm.
答案 (1) 1 (2)8 3 π
2
3
25 4
,此时θ=2.
所以当r= 5 ,θ=2时,扇形面积最大.
2
2-2 已知圆中一段弧的长度等于该圆内接正方形的边长,求这段弧所 对的圆心角是多少.
解析 设圆的半径为r,则圆内接正方形的对角线长为2r,∴正方形的边 长为 2 r, ∴所求圆心角的弧度数是 2r = 2 .
r
考点三 三角函数的定义
2021版新高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形1第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数课件
(1)表示区间角集合的三个步骤
θ
(2)求 n 或 nθ(n∈N*)所在象限(位置)的方法 ①将 θ 的范围用不等式(含有 k)表示． ②两边同除以 n 或乘以 n. ③对 k 进行讨论，得到nθ或 nθ(n∈N*)所在的象限(位置)．
1．在－720°～0°范围内所有与 45°终边相同的角为________．
_负___
_负___
_负___
_正___
_负___
_正___
_负___
号 口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函数
正弦
余弦
正切
三角 函数线
有向线段_M__P_为正弦线，有向线段_O_M__为余弦线，有向线段_A_T__为正切线
[疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × ) (2)角 α 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关．( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同．( × ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( √ ) (5)若 α∈0，π2，则 tan α＞sin α.( √ ) (6)若 α 为第一象限角，则 sin α＋cos α＞1.( √ )
第四章 三角函数、解三角形
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
高效演练 分层突破
知识点
最新考纲
了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的
任意角的概念与弧度制、任意 换算．
角的三角函数
理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象
与性质，了解三角函数的周期性.
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第4章 三角函数与解三角形 4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
由三角函数的定义可得 cos
3
D.-5
A 在第二象限,又因为圆 O 为单位圆,
3
α=-5.
(2)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则5sin α+5cos α+4tan α= -2或-4 .
由题意,设点 P(-4a,3a)为角 α 终边上的任意一点,
r=|OP|=|5a|(a≠0)(O 为坐标原点).
在的象限即可.
3.确定角 kα, (k≥2,且 k∈N*)的终边的位置:先用终边相同角的形式表示出
角 α 的范围,再写出 kα 或 的范围,最后根据 k 的可能取值讨论确定角 kα 或
的终边所在位置.
对点训练 1
3π
4π
(1)给出下列四个命题:①- 4 是第二象限角;② 3 是第三象限角;③-400°是
象限,所以 是第二或第四象限角.
2
能力形成点2 利用三角函数定义求三角函数值
例 2 (1)如图,在平面直角坐标系 Oxy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,
4
点 A 的纵坐标为5,则 cos α 的值为( D )
4
A.5
因为点
所以点
4
B.-5
3
C.5
4
A 的纵坐标为 ,且点
5
3
A 的横坐标为-5.
,
.
3
7 21 21
(3)已知角α为第三象限角,则2α的终边在 第一或第二象限或y轴的非负半轴
.
3π
由α是第三象限角,得 π+2kπ<α< 2 +2kπ(k∈Z),
则2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z).
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第4章 §4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
因为－2 023°＝－360°×6＋137°， 所以与－2 023°终边相同的最小正角是137°.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.(2023·合肥模拟)在平面直角坐标系中，若角
θ
的终边经过点
P－sin
延伸探究
若α是第一象限角，则
α 2
是第几象限角？
因为α是第一象限角，所以k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z，
所以 k·180°<α2<k·180°＋45°，k∈Z， 当 k 为偶数时，α2是第一象限角， 当 k 为奇数时，α2是第三象限角.
(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为____－__6_7_5_°_和__－__3_1_5. °
a2＋2a2a2＝
2a
2 ＝
5
5，a>0，
5|a| －255，a<0，
所以 2sin α－cos α＝－35355，5，a>a0<，0.
(2)sin 2cos 3tan 4的值
√A.小于0
C.等于0
B.大于0 D.不存在
∵π2<2<3<π<4<32π，∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0. ∴sin 2cos 3tan 4<0.
(3)若 A(1，a)是角 θ 终边上的一点，且 sin θ＝ 633，则实数 a 的值为 ___1_1__.
根据三角函数的终边上点的定义可得，r＝ 1＋a2， 所以 sin θ＝ a2a＋1＝ 633>0， 即 a>0 且 a2＝11，所以 a＝ 11.
2024届新高考一轮总复习人教版 第四章 第1节 任意角和弧度制、三角函数的概念 课件(29张)
rad，1
rad＝__1_π8_0__°．
(3)扇形的弧长公式：l＝__|α_|_r__，
扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|r2.
3．任意角的三角函数
三角函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
设 α 是一个任意角，α∈R，它的终边 OP 与单位圆相交于点 P(x，y).把
点 P 的纵坐标与横坐标
定义
点 P 的纵坐标 y 叫做 α 的正弦函数，记作 sin α
点 P 的横坐标 x 叫做 α 的余弦函数，记作 cos α
的比值yx 叫做 α 的正切
函数，记作 tan α
定义域
R
R
{xx≠π2＋kπ，k∈Z}
[必记结论] 1．若 α∈0，π2，则 tan α>α>sin α. 2．三角函数定义的推广 设点 P(x，y)是角 α 终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则 sin α＝yr，cos α ＝xr，tan α＝yx. 3．三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．(多选)已知 α 为第三象限角，则α2的终边所在的象限可能是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三为第三象限角，∴π＋2kπ<α<32π＋2kπ，k∈Z，∴π2＋kπ<α2<34π＋kπ，k∈Z，
当 k＝2m，m∈Z 时，π2＋2mπ<α2<34π＋2mπ，m∈Z，此时α2在第二象限，
(3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β ＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个_周__角___ 的和．
(4)象限角：使角的顶点与_原__点___重合，角的始边与 x 轴的_非__负__半__轴___重合．那么， 角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认 为这个角不属于任何一个象限．
高考数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第1讲 任意角弧度制及任意角
卜人入州八九几市潮王学校第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数【2021年高考会这样考】1．考察三角函数的定义及应用．2．考察三角函数值符号确实定．【复习指导】从近几年的高考试题看，这局部的高考试题大多为教材例题或者习题的变形与创新，因此学习中要立足根底，抓好对局部概念的理解．根底梳理1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边一样的角终边与角α一样的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度〞做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．⑤弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的间隔为r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝，cosα＝，tanα＝，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，那么点M是点P在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或者其反向延长线相交于点T，那么tanα＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)终边落在x轴上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为.两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能那么取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝πrad进展互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．双基自测1．(A教材习题改编)以下与的终边一样的角的表达式中正确的选项是()．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)解析与的终边一样的角可以写成2kπ＋π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．答案C2．假设α＝k·180°＋45°(k∈Z)，那么α在()．A．第一或者第三象限B．第一或者第二象限C．第二或者第四象限D．第三或者第四象限解析当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．答案A3．假设sinα＜0且tanα＞0，那么α是()．A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析由sinα＜0知α是第三、四象限或者y轴非正半轴上的角，由tanα＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角．答案C4．角α的终边过点(－1,2)，那么cosα的值是()．A．－B.C．－D．－解析由三角函数的定义可知，r＝，cosα＝＝－.答案A5．(2021·)角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，假设P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，那么y＝________.解析根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y＜0，sinθ＝＝－⇒y＝－8.答案－8考向一角的集合表示及象限角的断定【例1】►(1)写出终边在直线y＝x上的角的集合；(2)假设角θ的终边与角的终边一样，求在[0,2π)内终边与角的终边一样的角；(3)角α是第二象限角，试确定2α、所在的象限．[审题视点]利用终边一样的角进展表示及判断．解(1)在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，∴终边在直线y＝x上的角的集合为.(2)∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)．依题意0≤＋＜2π⇒－≤k＜，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与一样的角为，，.(3)∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z.∴2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z.∴2α是第三、第四象限角或者角的终边在y轴非正半轴上．∵k·180°＋45°＜＜k·180°＋90°，k∈Z，当k＝2m(m∈Z)时，m·360°＋45°＜＜m·360°＋90°；当k＝2m＋1(m∈Z)时，m·360°＋225°＜＜m·360°＋270°；∴为第一或者第三象限角．(1)相等的角终边一定一样，但终边一样的角却不一定相等，终边一样的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴非正半轴上的角的集合可以表示为，也可以表示为.【训练1】角α与角β的终边互为反向延长线，那么()．A．α＝－βB．α＝180°＋βC．α＝k·360°＋β(k∈Z)D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)解析对于角α与角β的终边互为反向延长线，那么α－β＝k·360°±180°(k∈Z)．∴α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)．答案D考向二三角函数的定义【例2】►角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sinθ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．[审题视点]根据三角函数定义求m，再求cosθ和tanθ.解由题意得，r＝，∴＝m，∵m≠0，∴m＝±，故角θ是第二或者第三象限角．当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，角θ是第二象限角，∴cosθ＝＝＝－，tanθ＝＝＝－.当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三象限角．∴cosθ＝＝＝－，tan＝＝＝.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．假设角α已经给出，那么无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．【训练2】(2021·课标全国)角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，那么cos2θ＝()．A．－B．－C.D.解析取终边上一点(a,2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cosθ＝±，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－.答案B考向三弧度制的应用【例3】►半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.[审题视点](1)由条件可得△AOB是等边三角形，可得圆心角α的值；(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积．解(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝.(2)由(1)可知α＝，r＝10，∴弧长l＝α·r＝×10＝，∴S扇形＝lr＝××10＝，而S△AOB＝·AB·＝×10×＝，∴S＝S扇形－S△AOB＝50.弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要纯熟地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．【训练3】扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解设圆心角是θ，半径是r，那么2r＋rθ＝40，S＝lr＝r(40－2r)＝r(20－r)≤2＝100.当且仅当r＝20－r，即r＝10时，S max＝100.∴当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大．考向四三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适宜以下条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：(1)sinα≥；(2)cosα≤－.[审题视点]作出满足sinα＝，cosα＝－的角的终边，然后根据条件确定角α终边的范围．解(1)作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，那么OA与OB围成的区域(图中阴影局部)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为.(2)作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，那么OC与OD围成的区域(图中阴影局部)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为.利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：(1)用边界值定出角的终边位置；(2)根据不等式(组)定出角的范围；(3)求交集，找单位圆中公一共的局部；(4)写出角的表达式．【训练4】求以下函数的定义域：(1)y＝；(2)y＝lg(3－4sin2x)．解(1)∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影局部所示)．∴定义域为(k∈Z)．(2)∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜，∴－＜sin x＜.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影局部所示)，∴定义域为(k∈Z)．标准解答7——如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设α是任意角，其终边上任一点P(不与原点重合)的坐标为(x，y)，它到原点的间隔是r(r＝＞0)，那么sinα＝、cosα＝、tanα＝分别是α的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x，y的符号由α终边所在象限确定，r的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误．三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程．【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x，y，r的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论．【例如】►(此题总分值是12分)(2021·月考)角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．只要确定了r的值即可确定角α经过的点P的坐标，即确定角α所在的象限，并可以根据三角函数的定义求出所要求的值．[解答示范]∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的间隔r＝，(2分)又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.(6分)当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－；(9分)当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.(12分)当角的终边经过的点不固定时，需要进展分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，在根据三角函数定义求解三角函数值时，就要把这条直线看做两条射线，分别求解，实际上这时求的是两个角的三角函数值，这两个角相差2kπ＋π(k∈Z)，当求出了一种情况后也可以根据诱导公式求另一种情况．【试一试】角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα＋cosα＋tanα.[尝试解答]取直线3x＋4y＝0上的点P1(4，－3)，那么|OP1|＝5，那么sinα＝－，cosα＝，tanα＝－，故sinα＋cosα＋tanα＝－＋＋×＝－；取直线3x＋4y＝0上的点P2(－4,3)，那么sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.故sinα＋cosα＋tanα＝－＋×＝－.综上，sinα＋cosα＋tanα的值是－或者－.。
2021高考理科数学一轮总复习课标通用版课件：第4章 三角函数、解三角形 4-1
图2
5．特殊角的三角函数值
※sin15°＝
6－ 4
2，sin75°＝
6＋ 4
2，tan15°＝2－
3，tan75°＝2＋
3，由余
角公式易求 15°，75°的余弦值和余切值．
答案 1．(1)旋转 逆时针 顺时针 零角 (2)非负半轴
②α|2kπ＋π2 <α<2kπ＋π，k∈Z ③α|2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z ④α|2kπ＋23π<α<2kπ＋2π，k∈Z或 {α|2kπ－π2 <α<2kπ，k∈Z}
解析：根据扇形的弧长公式得 α＝114240＝1.2. 答案：1.2
4．(教材改编)若角 α 的终边经过点 P(－3，－4)，则 sinα＋cosα＝________． 解析：sinα＝－45，cosα＝－35，所以 sinα＋cosα＝－75.
答案：－75
5．混淆几种角的概念：任意角；终边相同的角；象限角． 下列说法正确的有________个． (1)小于 90°的角是锐角； (2)终边相同的角相等； (3)第二象限角大于第一象限角． 解析：(1)角有正角、零角和负角，小于 90°的角可能是零角或负角． (2)说法错误，如 30°和 390°的终边相同，但它们不相等．终边相同的角，它们可 能相差 360°的整数倍；相等的角，终边一定相同． (3)第二象限角不一定大于第一象限角，如 100°是第二象限角，390°是第一象限角． 答案：0
※cotα＝xy(y≠0)，secα＝xr(x≠0)，cscα＝yr(y≠0)．
(2)正弦、余弦、正切函数的定义域 三角函数
sinα cosα tanα
定义域
(3)三角函数值在各象限的符号 图1
2021版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.1弧度制与任意角的三角函数课件苏教版
4
cos = 2 ,sin 5 =cos 5 =- 2 .根据三角函数线的变化规律标出满足
42
4
4
2
题中条件的角的范围,所以x∈ ( ，5) .
44
答案: ( ，5)
44
核心素养·微专题
核心素养 直观想象——利用三角函数线解不等式
【典例】函数y=lg(3-4sin2x)的定义域为________.
【解析】因为3-4sin2x>0,所以sin2x< 3 ,所以- 3 <sin x< 3 .利用三角函
4
2
2
数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),
所以x∈ (k－，k＋) (k∈Z).
第四章 第一节 角函数
三角函数、解三角形 弧度制与任意角的三
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养·微专题 核心素养测评
必备知识·自主学习
【教材·知识梳理】 1.任意角 (1)角的概念:角可以看做平面内一条射线绕着它的_端__点__从一个位置旋转到另一 个位置所成的图形. (2)角的分类:按旋转方向分为_正__角、_负__角、_零__角;按终边位置分为_象__限__角、 _轴__线__角. (3)与角α终边相同的角的集合:S={β|β= _α__+_k_·__3_6_0_°__,_k_∈__Z_}_.
3
3
答案: (k－，k＋) (k∈Z)
3
3
核心素养·微专题
【思想方法指导】 根据三角函数值的范围,确定角的终边在单位圆中的区域,可写出解集.
核心素养·微专题
【迁移应用】
在(0,2π)内,使sin x>cos x成立的x的取值范围为________.
高考数学一轮复习 第4章 三角函数与解三角形 第1讲 任意角和弧制及任意角的三角函数课件 文
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2．设集合 M＝{x|x＝k2·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k4·180° ＋45°，k∈Z}，那么( )
A．M＝N
B．M⊆N
C．N⊆M
D．M∩N＝∅
解析：选 B.由于 M 中，x＝2k·180°＋45°＝k·90°＋45°＝
45°·(2k＋1)，2k＋1 是奇数；而 N 中，x＝k4·180°＋45°＝
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(2)作直线 x＝－21与单位圆交于 A、B 两点，则 A－12， 23， B－12，－ 23.
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3 则 sin α＝ 23，cos α＝－12，tan α＝－221＝－ 3，或 sin α＝－ 23，
cos α＝－21，tan α＝－－2123＝ 3.
所以 sin αtan α＝ 23·(－
3)＝－23或
sin
αtan
－ α＝ 2
3 ·
3＝－32.
选 D.
【答案】 (1)C (2)D
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用定义法求三角函数值的三种情况 (1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标，可求角 α 的三角函数值．先 求 P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解． (2)已知角 α 的某三角函数值，可求角 α 终边上一点 P 的坐标 中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值． (3)已知角 α 的终边所在的直线方程或角 α 的大小，根据三角 函数的定义可求角 α 终边上某特定点的坐标．
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[思想方法] 在利用三角函数定义时，点 P 可取终边上任一点，如有可 能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r 一定是正值． 三角函数的符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借 助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是 一个小技巧．