一阶线性微分方程例题与习题

代入上式，有
即
x v d x 2 = + Cv . 1 1 d t V v v 0+ 12t
xv2 dx =+ C v , 1 1 dt V + v -v t 0 1 2 x 0 =x . 0
因此，问题归结为求解初值问题
（1）
3 具体问题：某厂房容积为 4 5 1 5 6 m . 经测定 3 空气中含有 0 . 2 % 的 c o ， 通 风 设 备 以 3 6 0 m / s 2 的速度输入含有 0.05% 的 co2 的新鲜空气，同 时又排出等量的室内气体，问30分钟后室内所
0 0 0
因此，只需证明
x x 0
lim ( s ) e ds , 则 lim f x 0 , f
a s x 0 x
此时有 b0 .
由积分中值定理证。
b b
( x ) x dx f C x dx x 不变 f
例7 混合流体问题。容器内有含物质A的流体， 当t=0时，流体体积V , 物 质 A 的 质 量 为 x 。 0 0 流入：流速 v1,浓度C1; 流出：流速 v 2 . 求时刻t时容器中物质A的质量及流体浓度。
C
1
v1
C
2
v2
解 设t时刻，容器内物质A的质量为x=x（t）， 浓度为 C 2 , 由微元法，经过时间dt，容器内物 质A的增量dx为
一阶线性微分方程习题 ) 在 [ 0 , ) 例5 设函数 f (x 上连续且有界，试证 明方程
dy y f (x) dx ) 上有界。 的所有解在 [0,
证明 设 y y(x) 为方程的任一解，满足
y ( x ) y ,x [ 0 , ) 0 0 0
由公式或按上述变易法求解，得到
ds
ax-x0
当

x
x 0
ห้องสมุดไป่ตู้
e a s-x 0 f (s ) e ds 时，有
x
f s e 0 lim
x x0
e f x b lim . x a a x a s x 0 当 ) e ds ,有 x f(s
x
x 0
lim
lim f x b 0 , 那么，由积分中值定 假设 x 理，对任意闭区间 x ,x ,有
a a
0
x x 0
lim )e f(s
f ( s ) e ds f C e ds ， C x , x 0
x a s x 0 s a s x 0 x 0
x
y 0 M 1e e - e
x
y0 M 1 1 - e


x0
x0
- x - x0


y0 M 1 M 2 .
M 3,使得 y ( x ) M ,x [ 0 ,x ] 3 0
当 0xx 时，由（ 1 ）知解有界，即 0
取M max ( M ,M ), 则有 2 3
含 c o 2 的百分比。 解 设在t时刻，厂房内c o 2 的百分比为 x t % , 由题意，在（1）式中，有 v 1 = v 2 , 于是问题为
dx x =C v1, 12 dt V 0 x 0 = x0. 现在 0 . 0 5 % 3 3 V = 4 5 1 5 6, m C = , v = 3 6 0/ m s 0 1 1 V 代入（2），得 0
x
a s x 0
ds lim f C e
s x x 0
x 0
a s x 0
ds
1 a x x 0 lim f C e 1 x a


这与已知条件


x 0
f( s ) e
a s x 0
ds 矛盾 , 于是有
x
lim f x 0 .
d x = C v d t C v d t 增 量 = 流 入 量 流 出 量 1 1 2 2
或 又
d x = C v C v t d 1 1 2 2
x C2 = V0 + v1 -v2 t
x v 2 d x= Cv d t 1 1 V + v v t 0 1 2
y y e 0
x x 0
f ( s ) e ds
s x x 0
x
（1）
设 f ( x ) M , x [ 0 , ), 对于 x x ， 1 0 由（1）式两端取绝对值，有
y y0 e
- x - x0
f ( s ) e ds
s-x -x
由求解公式，知方程的解为
y y e 0 于是
x x a 0

x
x 0
f( s ) e e
a s x 0
ds
as-x0
a x x 0
x
limy limy0e
x
-ax-x0
lim
x as-x0 ax-x0
x
x0
f (s) e e
x
x0
f (s) e
as-x0
ax-x0
ax-x0 ds f x e lim ax-x0 x ae
x
lim ylim y e 0
x
a x -x 0
f( s ) e lim
x 0 x
a s -x 0
ds
e
a x -x 0
y x Mx [ 0 , ).
) 在 [ 0 , ) 例6 设 f (x 上连续，且
x
lim f( x ) b , 又 a 0 .
求证方程
dy ay f (x) dx 的一切解 y( x), 均有
b lim y(x) . x a 证明 设 y y(x) 是方程的任一解，且满足 y (x )y ,
1d x 0 . 0 5 %x % = - v 1 1 0 0d t V V 0 0
那么，初值问题的解满足 x t 4 d x = d t 0 .2 0 . 0 5 x 04 5 解出x，有