江苏省如皋中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段检测数学试题 含答案
江苏省如皋中学2020～2021学年度第一学期第一次阶段检测高二数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．命题“20,22x x ∀≥−≤”的否定为 ( )A ．20,22x x ∀≥−>B ．20,22x x ∃≥−>C ．20,22x x ∀<−>D ．20,22x x ∃<−>2．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b −=>>以椭圆222:143x y C +=的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则双曲线1C 的渐近线方程为 ( )A.30x y ±=B. 30x y ±=C. 230x y ±=D. 320x y ±=3．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，E 为11A D 的中点，设AB=a ，AD b =，1AA =c ，则CE= ( )A ．12a b c +− B ．12a b c −+C ．12a b c −−D ．1-2a b c −+4．双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的渐近线方程为265y x =±，且过点()5,32，则其焦距为( ) A.7 B.72C.1D.125．已知命题:p “x R ∃∈，使得210mx mx m ++−≥”为假命题，:q 0m <，则命题p 是命题q 的条件. ( )A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要6．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为5．P 是C 上一点，且12F P F P ⊥．若△12PF F 的面积为4，则a = ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 87． 如图，已知矩形ABCD 与矩形ABEF 全等，二面角D AB E −−为直二面角，M 为AB 中点，FM 与BD 所成角为θ，且3cos 9θ=，则AB BC = ( ) A ．1 B.2 C ．22D ．128．如图，A ，B ，C 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且||3||BF CF =，则该椭圆的离心率为 ( )A ．12B ．22C ．32D ．23二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合项目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．如果双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一条渐近线上的点(1,3)M −关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F ，P 为双曲线上的动点，已知(3,1)A ，则12PA PF +的值可能为A ．32B ．2C ．52D ．4 ( ) 10．已知点P 是椭圆22:16x C y +=上的动点，Q 是圆221:(1)5D x y ++=上的动点，点11(,)23M 则 ( )A ．椭圆C 的离心率为306B ．椭圆C 中以M 为中点的弦所在直线方程为624110x y +−= C ．圆D 在椭圆C 的内部 D ．PQ 的最小值为25511．下列说法正确的是 ( )A ．“12x −<”是 “220x x −−<”的必要不充分条件B ．“1xy =”是“lg lg 0x y +=的充要条件C ．过点(1,1)P −且与抛物线24y x =有且只有一个交点的直线有3条D ．若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该点轨迹是一条抛物线12．设1F ，2F 是双曲线C ：()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，O 是坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若16PF OP =，则下列说法正确的是A. 2F P b =B. 双曲线的离心率为3 ( )C. 双曲线的渐近线方程为3y x =±D. 点P 在直线33x a =上 三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分 13．抛物线24y x =的准线方程为 .14．在直三棱柱111ABC A B C −中，13,3,32,2AC BC AB AA ====，则异面直线1A C 与1BC 所成角的余弦值为__________．15．已知顶点在坐标原点，对称轴为x 轴的抛物线过点(1,22)P ，则该抛物线的标注方程为 ；设F 为该抛物线的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++= .（本题第一空2分，第二空3分）16.已知椭圆2214x y +=的左顶点为A ，过点6(,0)5−的直线MN 与椭圆交于点,M N 两点，（,M N 均异于点A ），若直线,AM AN 的斜率分别为12,k k ，则124k k −的最小值为 .四、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，离心率为2，且过点(4,10)−， (1)求双曲线的方程；(2)若点(,0)M m 为x 轴上一定点，P 为双曲线右支上一点，求线段PM 长的最小值.18．已知命题22:+142x y p m m =+−方程表示双曲线，(1) 若命题p 为真命题时m 的取值集合为A ，集合2{1}B m m a =+≥，如果“m A ∈”是“m B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． (2) 已知命题:[1,1]q x ∃∈−，不等式22539m m x −−≥+，若命题p q 与一个为真命题，一个为假命题，求m 的取值范围.19．如图，正方体1111D C B A ABCD −中，M 是棱1BB 的中点． (1)直线M A 1与平面1AMC 所成角的正弦值； (2)求二面角11A MC A −−的余弦值．20．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的准线方程为1y =−，直线l 过点(0,1)P −与抛物线C 交于,A B 两点．点A 关于y 轴的对称点为'A ，连结'A B .(1)求抛物线C 的标准方程；(2)问直线'A B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．21．如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ,∠ABC ＝90°, PA ⊥平面ABCD ， PA ＝3,AB ＝23,BC ＝6．(1)求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值； (2)若二面角P －BD －C 的大小为2π3，求AD 的长．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2， 且两焦点F 1，F 2与椭圆的短轴顶点(0，1)构成直角三角形． (1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线l 1，l 2过右焦点F 2，且它们的斜率乘积为－12，设l 1，l 2分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D ． ①求AB ＋CD 的值；②设AB 的中点M ，CD 的中点为N ，求△OMN 面积的最大值．江苏省如皋中学2020～2021学年度第一学期第一次阶段检测高二数学答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．命题“20,22x x ∀≥−≤”的否定为 ( )BA. 20,22x x ∀≥−>B. 20,22x x ∃≥−>C. 20,22x x ∀<−>D. 20,22x x ∃<−>2.已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b −=>>以椭圆222:143x y C +=的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则双曲线1C 的渐近线方程为 ( )AA.30x y ±=B. 30x y ±=C. 230x y ±=D. 320x y ±=3．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D −中，E 为11A D 的中点，设AB =a ，AD =b ，1AA =c ，则CE= ( )DA ．12+−a b c B ．12−+a b c C ．12−−a b c D ． 12−−+a b c4. 双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的渐近线方程为265y x =±，且过点()5,32，则其焦距为( ) AA.7B.72 C.1 D. 125．已知命题:p “x R ∃∈，使得210mx mx m ++−≥”为假命题，:q 0m <，则命题p 是命题q 的 条件. ( )BA. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要6．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为5．P 是C 上一点，且12F P F P ⊥．若△12PF F 的面积为4，则a = ( )AA. 1B. 2C. 4D. 8 7． 如图，已知矩形与矩形全等，二面角为直二面角，为中点，与所成角为，且3cos 9θ=，则AB BC = ( )C A ．1 B.2 C ．22D ．128．如图，A ，B ，C 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且||3||BF CF =，则该椭圆的离心率为 ( ) BA ．12B ．22C ．32D ．23【解答】解：设椭圆的左焦点1(,0)F c −，连接1AF ，1BF ，1CF ，设||CF m =，由对称性可知：1||||3AF BF m ==，由椭圆的定义可知：||23AF a m =−， 1||2CF a m =− 由1//AF BF ，则1AF AC ⊥，则△1AFC 中， 由2221||||||AF AC CF +=，则2229(22)(2)m a m a m +−=−，整理得：3a m =，在Rt △1AF F 中，2229(23)(2)m a m c +−=，将3a m =代入解得椭圆的离心率22c e a ==． 故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合项目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一条渐近线上的点(1,3)M −关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F ，P 为双曲线上的动点，(3,1)A ，则12PA PF +的值可能为 ( ) A ．32B ．2C ．52D ．4 C D 10.已知点P 是椭圆22:16x C y +=上的动点，Q 是圆221:(1)5D x y ++=上的动点，点11(,)23M 则( )ABC A ．椭圆C 的离心率为306B ．椭圆C 中以M 为中点的弦所在直线方程为624110x y +−= C ．圆D 在椭圆C 的内部 D ．PQ 的最小值为25511．下列说法正确的是 ( )ACA ．“12x −<”是 “220x x −−<”的必要不充分条件B ．“1xy =”是“lg lg 0x y +=的充要条件C ．过点(1,1)P −且与抛物线24y x =有且只有一个交点的直线有3条D ．若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该点的轨迹是一条抛物线12．设1F ，2F 是双曲线C ：()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，O 是坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若16PF OP =，则下列说法正确的是 ( )A. 2F P b =B. 双曲线的离心率为3 ABDC. 双曲线的渐近线方程为3y x =±D. 点P 在直线33x a =上 三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分 13．抛物线24y x =的准线方程为 . 116y =−14．在直三棱柱111ABC A B C −中，13,3,32,2AC BC AB AA ====，则异面直线1A C 与1BC 所成角的余弦值为__________．41315．已知顶点在坐标原点，对称轴为x 轴的抛物线过点(1,22)P ，则该抛物线的标注方程 为 ；设F 为该抛物线的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++= .28y x =；12（本题第一空2分，第二空3分）16.已知椭圆2214x y +=的左顶点为A ，过点6(,0)5−的直线MN 与椭圆交于点,M N 两点，（,M N 均异于点A ），若直线,AM AN 的斜率分别为12,k k ，则124k k −的最小值 为 .4四、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，离心率为2，且过点(4,10)−， (1)求双曲线的方程；(2)若点(,0)M m 为x 轴上一定点，P 为双曲线右支上一点，求线段PM 长的最小值. 解：(1)因为2e =，则双曲线的实轴、虚轴相等．所以可设双曲线方程为22(0)x y λλ−=≠因为双曲线过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为226x y −=.------------------------------------------------------4分 (2)设(,)(6)P x y x ≥，2222()226(6)PM x a y x ax a x =−+=−+−≥ 令22()226f x x ax a =−+−=222()622a a x −+−(6)x ≥① 当62a≤即26a ≤时，当6x =时，2min ()(6)f x a =− ，min 6PM a =−②当62a >即26a >时，当2a x =时，2min ()62a f x =− ，2min 62a PM =−------------10分 18．已知命题22:+142x y p m m =+−方程表示双曲线，(1) 若命题p 为真命题时m 的取值集合为A ，集合2{1}B m m a =+≥，如果“m A ∈”是“m B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． (2) 命题:[1,1]q x ∃∈−，不等式22539m m x −−≥+，若命题p q 与一个为真命题，一个为假命题，求m 的取值范围.解：(1)若p 为真：(4)(2)0m m +−<，所以{42}A m m =−<<，因为“m A ∈”是“m B ∈”的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，所以214a −≤−，即25a ≥，所以实数a 的取值范围是(,5][5,)−∞−+∞----------------------------------------------6分(2)由(1)知若p 为真42m −<<，若q 为真：2533m m −−≥即16m m ≤−≥或，因为若命题p q 与一个为真命题，一个为假命题， 所以m 的取值范围是(,4](1,2)[6,)−∞−−+∞-----------------------------------12分19．如图，正方体1111D C B A ABCD −中，M 是棱1BB 的中点． (1)直线M A 1与平面1AMC 所成角的正弦值； (2)求二面角11A MC A −−的余弦值．解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 并设正方体的棱长为2。
2020-2021学年江苏省如皋中学高二上学期期末模拟卷一数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省如皋中学高二上学期期末模拟卷一数学试题一、单选题1．钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1， ，则AC=A ．5BC ．2D ．1【答案】B【详解】由面积公式得：1122B =，解得sin B =，所以45B =或135B =，当45B =时，由余弦定理得：21245AC =+-=1，所以1AC =，又因为AB=1，，所以此时ABC ∆为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以135B =，由余弦定理得：212AC =+-=5，所以AC = B.【解析】本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识. 2．若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（ ） A ．46 B ．64C ．15D ．360【答案】C【分析】根据组合的定义，结合组合数公式进行计算求解即可.【详解】因为是无座的足球门票，所以可以看成相同的元素，因此可以看成组合问题，则有466!6515(64)!4!2C ⨯===-⋅.故选：C 3．在()()42121x x -+的展开式中4x 的系数为（ ）A ．13B ．11C ．11-D ．20-【答案】C【分析】先求出()41x +展开式的通项为4k k k T C x =，展开式中4x 的项有44441C x x ⨯=和22244212x C x x -=-，系数相加即可求解.【详解】()41x +展开式的通项为4k kk T C x =， 展开式中4x 项为44441C x x ⨯=和22244212x C x x -=-，所以()()42121x x -+的展开式中4x 的系数为11211-=-，故选：C4．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A ．平均数为3.中位数为2 B ．中位数为3.众数为2 C ．平均数为2.方差为2.4 D ．中位数为3.方差为2.8【答案】C【分析】根据题意,举出反例说明,即可得出正确选项.【详解】对于A, 当掷骰子出现结果为1,1,2,5,6时,满足平均数为3.中位数为2,可以出现点数6,所以A 错误;对于B,当掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时,满足中位数为3.众数为2, 可以出现点数6,所以B 错误;对于C,若平均数为2.且出现6点,则方差221(62) 3.2245s >-=>,所以平均数为2.方差为2.4时一定没有出现点数6,所以C 正确;对于D,当当掷骰子出现结果为2,3,3,5,6时,中位数为3,方差为2222221(23)(33)(33)(53)(63) 2.85s +++++⎡⎤=-----=⎣⎦,可以出现点数6,所以D 错误.综上可知,C 为正确选项. 故选:C【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数和方差在统计中的应用,各个数据对总体的影响,属于基础题.5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A ．0.8 B ．0.75C ．0.6D ．0.45【答案】A【详解】试题分析：记A =“一天的空气质量为优良”，B =“第二天空气质量也为优良”，由题意可知()()0.75,0.6P A P AB ==,所以()()()4|5P AB P B A P A ==，故选A. 【解析】条件概率．6．设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为A B C ．6332D ．94【答案】D【详解】由题意可知：直线AB 的方程为3)34y x =-，代入抛物线的方程可得：2490y --=，设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，则所求三角形的面积为1324⨯94，故选D.【解析】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π【答案】C【详解】正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为即2R =2424R S R ππ===球8．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A ．110B ．25C ．10D ．2【答案】C【详解】以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线1CC 为z 轴，则设CA=CB=1，则(0,1,0)B ，11(,,1)22M ，A（1，0，0），1(,0,1)2N ，故11(,,1)22BM =-，1(,0,1)2AN =-，所以cos ,BM AN BM AN BM AN⋅〈〉==⋅3465=⋅30，故选C. 【解析】本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.二、多选题9．如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，2AB AD CD ===，22BD =，90BDC ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 折起至'A BD △，使平面'A BD ⊥平面BCD ，则在四面体'A BCD -中，下列结论正确的是（ ）A ．//EF 平面'A BCB ．异面直线CD 与'A B 所成的角为90︒C ．异面直线EF 与'A C 所成的角为60︒D ．直线'A C 与平面BCD 所成的角为30 【答案】ABD【分析】运用线面平行的判定定理可判断A 正确；由面面垂直的性质定理，结合异面直线所成角可判断B 正确；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断C 错误；由线面角的求法，可判断D 正确．【详解】对于A ：因为E ，F 分别为A D '和BD 两边中点，所以//EF A B '，又EF ⊄平面A BC '，所以//EF 平面A BC '，故A 正确； 对于B ：因为平面A BD '⊥平面BCD ，交线为BD ，且CD BD ⊥， 所以CD ⊥平面A BD '，即CD A B ⊥'，故B 正确；对于C ：取CD 边中点M ，连接EM ，FM ，则//EM A C '，所以FEM ∠或其补角为异面直线EF 与A C '所成角， 又1EF =，122EM A C ='=132FM BC ==，即90FEM ∠=︒，故C 错误；D ：连接A F '，可得A F BD '⊥，由面面垂直的性质定理可得A F '⊥平面BCD ， 连接CF ，可得A CF ∠'为A C '与平面BCD 所成角，由21sin 222A F A CF A C '∠'==='，则直线A C '与平面BCD 所成的角为30°，故D 正确． 故选：ABD【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．10．已知a ，b ，c 是实数，则下列结论正确的是 A ．“22a b >”是“a b >”的充分条件 B ．“22a b >”是“a b >”的必要条件 C ．“22ac bc >”是“a b >”的充分条件D ．“||||a b >”是“a b >”的既不充分也不必要条件 【答案】CD【详解】A ，举反例，取4,1a b =-=可知A 错误；B ，举反例，取1,2a b ==-可知B 错误；而C ，D 显然正确．故选CD ．11．在平面直角坐标系xOy 中，点()4,4M 在抛物线()220y px p =>上，抛物线的焦点为F ，延长MF 与抛物线相交于点N ，则下列结论正确的是（ ） A ．抛物线的准线方程为1x =- B ．174MN =C ．OMN 的面积为72D ．MF NF MF NF +=【答案】AD【分析】根据条件求出p ，再联立直线与抛物线求出N ，进而求出结论． 【详解】解：点(4,4)M 在抛物线22(0)y px p =>上，242?42p p ∴=⇒=，24y x ∴=，焦点为(1,0)，准线为1x =-，A 对，因为(4,4)M ，故404413MF k -==-， 故直线MF 为：4(1)3y x =-，联立244(1)3y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⇒2161(1)494x x x -=⇒=或4x =， 1(4N ∴，1)-，452p MF ∴=+=，15424p NF =+=，525544MN ∴=+=，B 错，25·4MF NF MN MF NF +===，D 对，OMN 的面积为115·()15222M N OF y y -=⨯⨯=．故C 错， 故选：AD ．12．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）A ．若任意选择三门课程，选法总数为37A B ．若物理和化学至少选一门，选法总数为1226C CC ．若物理和历史不能同时选，选法总数为3175C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为121255C C C -【答案】ABD【分析】若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为37C 种，可判断A 错误；若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为12212525C C C C +种，可判断B 错误；若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为3175C C -种，可判断C正确；若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D 错误． 【详解】对于A ，若任意选择三门课程，选法总数为37C 种，故A 错误对于B ，若物理和化学选一门，有12C 种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有25C 种选法若物理和化学选两门，有22C 种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有15C 种选法 由分步乘法计数原理知，总数为12212525C C C C +种选法，故B 错误对于C ，若物理和历史不能同时选，选法总数为3213172575·C C C C C -=-种，故C 正确对于D ，若物理和化学至少选一门，有3种情况，只选物理不选历史，有1214C C 种选法 选化学，不选物理，有1215C C 种选法 物理与化学都选，不选历史，有2124C C 种选法故总数为121221141524610420C C C C C C ++=++=种，故D 错误 故选：ABD三、填空题13．从-1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数2()f x ax bx c =++的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个（用数字作答）． 【答案】18 6【分析】利用计数原理求出,,a b c 的组数即可，其中不同的偶函数的个数为0b =的组合，再利用计数原理计算即可．【详解】()0a a ≠有3种取法，b 有3种取法，c 有2种取法， 由分步计数原理知共有二次函数33218⨯⨯=个 若二次函数为偶函数，则0b =，共有326⨯=个 故答案为：18；6．14．已知21001210()g x a a x a x a x =++++，9019()h x b b x b x =+++，若()()()()()19101121x x x g x h x +-=-+，则9a =________．【答案】1832-⨯【分析】根据等式1910(1)(12)(1)()()x x x g x h x +-=-+的两边展开式中的19x 的系数相等、20x 的系数相等求得9a 的值． 【详解】19101021029012100129(1)(12)(1)()()(1)?()x x x g x h x x a a x a x a x b b x b x b x +-=-+=-+++⋯+++++⋯+由19x 的系数相等可得1919181810919191091010·(2)?(2)?·C C C a C a -+-=-①， 再根据20x 的系数相等可得191910191010·(2)C C a -=②．由①②求得18932a =-⨯，故选：D15．已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．【答案】【分析】根据题意，根据1,,P A F 三点共线，求出直线1AF 的方程，联立双曲线方程，即可求得P 点坐标，则由11APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-即可容易求得.【详解】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，12PF a PF =+， ∴△APF 的周长为|P A|+|PF|+|AF|=|P A|+12a PF ++|AF|=|P A|+1PF +|AF|+2a ，由于2||a AF +是定值，要使△APF 的周长最小，则|P A|+1PF 最小，即P 、A 、1F 共线，∵()0,66A ，()13,0F -∴直线1AF的方程为1366x +=-，即326x =-代入2218y x -=整理得266960y y +-=，解得26y =或86y =- (舍)，所以P 点的纵坐标为26， ∴111166662622APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-⨯⨯-⨯⨯=126. 故答案为：126.【点睛】本题考查双曲线中三角形面积的求解，涉及双曲线的定义，属综合中档题. 16．某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球”工艺品如图所示，底座是用一边长为2m 的正方形钢板，按各边中点连线垂直折起四个小三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入其中.若水晶球最高点到底座底面的距离为(2＋1)m ，则水晶球的表面积为_______m 2.【答案】4π【分析】根据条件求得四个小三角形的项点所在平面截球面得小圆的半径，由勾股定理求得球心到小圆圆心的距离、小圆面到底座的距离和球的的半径和即为水晶球最高点到底座底面的距离可得答案.【详解】如图，原边长为2正方形的四个顶点为A B C D 、、、，四个边的中点分别是M N P Q 、、、，且四边形MNPQ 2的正方形，折起后正方形ABCD 四个点在底面上的射影分别为1111A B C D 、、、，是正方形MNPQ 的中点，且1111D C B A 是边长为1的正方形，其对角线长为112AC =，所以112AC AC ==，即则四个小三角形的项点所在平面截球面得小圆的半径为2，由勾股定理求得球心到小圆圆心的距离为212R -，小圆面到底座的距离为22，设球的半径为R ， 由条件得R ＋212R -＋22＝2＋1，解得R ＝1，所以水晶球的表面积4πm 2. 故答案为：4π.【点睛】本题考查点、线、面间的距离的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题中的隐含条件，合理地化空间问题为平面问题，注意数形结合法的合理运用.四、解答题173sin A ＝a cos C ；②tan 4C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝23a 2＋b 2＝c 23ab 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若c ＝4，B ＝105°， ，求a 和S .【答案】选①：2a =443S =+选②：42a =443S =+选③：2a =443S =+【分析】选①3csinA ＝acosC 3cos C C =，求得角C ;选②由tan (C ＋4π)＝233tan C =求得角C ；选③由a 2＋b 2＝c 2，利用余弦定理求得角C ；然后利用正弦定理求得a ，再利用三角形面积公式求解.,【详解】选①∵csinA ＝acosC ；sin sin cos A C A C =， ∵在△ABC 中，(0,)A π∈， ∴sinA ≠0，cos C C =，∴si ta s n n co C C C ==选②∵tan (C ＋4π)＝2∴tan tan421tan tan 4C c ππ+=-1tan 21tan C C +=-，则tan C =选③∵a 2＋b 2＝c 2，∴由余弦定理得：222cos 2a b c C ab +-===， ∵在△ABC 中，C ∈(0，π)， ∴C ＝6π， ∵在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，且B ＝105°， ∴A ＝4π， ∵正弦定理sin sin a cA C =且4c =， ∴4sin sin 46a ππ=，则a = sin10s 5sin(4560n )i B ︒︒︒==+ ,sin 45cos60cos 45sin 60︒︒︒︒=+ ,21232622224+=⨯+⨯=, ∴1126sin 42444322S ac B +==⨯⨯⨯=+. 【点睛】方法点睛：（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制． 18．已知，（1）若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项 的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）70（2）332（2x ）10 【详解】试题分析：（1）第k+1项的二项式系数为kn C ，由题意可得关于n 的方程，求出n ．而二项式系数最大的项为中间项，n 为奇数时，中间两项二项式系数相等；n 为偶数时，中间只有一项．（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n 的方程，求出n ．而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设1k T +项的系数最大，1k T +项的系数为k r ，则有11{k k k k r r r r +-≥≥ 试题解析：（1）通项T r ＋1＝C rn 12⎛⎫ ⎪⎝⎭n －r ·（2x ）r ＝22r －n C r n x r ，由题意知4C n ，5C n ，6C n 成等差数列，∴52C n ＝46C C n n +，∴n ＝14或7.当n ＝14时，第8项的二项式系数最大，该项的系数为22×7－14714C ＝3 432； 当n ＝7时，第4、5项的二项式系数相等且最大， 其系数分别为22×3－737C =352，22×4－747C =70. （2）由题意知012C C C n n n ++＝79，∴n＝12或n＝－13（舍）．∴T r＋1＝22r－1212C r x r.由2122(1)12112122122(1)12112122C2C,{2C2C,r r r rr r r r-----+-+≥≥得525{475rr≤≥∴r＝10.∴展开式中系数最大的项为T11＝22×10－12·1012C x10＝332（2x）10.【解析】二项式定理的应用19．在网络空前发展的今天，电子图书发展迅猛，大有替代纸质图书之势.但电子阅读的快餐文化本质，决定了它只能承担快捷传递信息性很强的资料，缺乏思想深度和回味，电子阅读只能是传统纸质阅读的一种补充.看传统的书不仅是学习，更是种文化盛宴的享受，读书感受的不仅是跃然于纸上的文字，更注重的是蕴藏于纸质书中的中国传统文化.某地为了提高居民的读书兴趣，准备在各社区兴建一批自助图书站(电子纸质均可凭电子借书卡借书)由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现从一社区内随机抽取了一天中的80名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.若将该80人分成两个年龄层次，年龄在[20,50)定义为中青年，在[50,80]定义为老年.（1）从这80名读书者中再次随机抽取3人作进一步调查，求抽取的这3人都为中青年的概率(直接用组合数表示)；（2）为进一步调查阅读习惯(电子阅读和传统阅读)与年龄层次是否有关，得到如下22⨯列联表：完善该表数据，并判断：是否有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关”.中青年老年合计电子阅读13附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，(其中n a b c d =+++)临界值表供参考：3.841【答案】（1）328380C C ；（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关.【分析】（1）从这80名读书者中再次随机抽取3人有380C 种抽取方法，由频率分布直方图可得中青年人数为28人，从中青年读书者中随机抽取3人有328C 种抽取方法，从而可得答案.(2)先根据频率分布直方图，完善22⨯列联表，求出()22801539131328522852K ⨯-⨯=⨯⨯⨯，根据临界值表得出答案.【详解】解：（1）由频率分布直方图可得中青年人数为(0.0050.010.02)108028++⨯⨯=(人)，从这80名读书者中再次随机抽取3人作进一步调查，抽取的这3人都为中青年的概率为328380C C ；（2）由（1）得，中青年读书者人数为28人，老年读书者人数为802852-=，由此可得22⨯列联表如下表，()228015391313320 6.5312852285249K ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯因为6.531 3.841>，所以有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关”.20．某公司为了扩大生产规模，欲在泉州、福州、广州、海口、桂林、吉隆坡、雅加达、科伦坡、加尔加大、内罗毕、雅典、威尼斯、华盛顿13个城市中选择3个城市建设自己的工业厂房，根据这13个城市的需求量生产某产品，并将其销往这13个城市． （1）求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率．（2）已知每间工业厂房的月产量为10万件，若一间厂房正常生产，则每月可获得利润100万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损50万．该公司为了确定建设工业厂房的数目()*1013,n n n N ≤≤∈，统计了近5年来这13个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？ 【答案】（1）115143；（2）应建设工业厂房12间． 【分析】（1）先求其对立事件A “该公司所选的3个城市都在国外”的概率，再计算()()1P A P A =-即得结果；（2）结合需求量，分别计算10111213n =，，，时，每月总利润的分布列和数学期望，并进行比较可知，应建设工业厂房12间.【详解】解：（1）记事件A 为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内”，其对立事件A 为“该公司所选的3个城市都在国外”，则()38313P C A C =，故()()3831311511413P C A C P A =-==-， ∴所选的3个城市中至少有1个在国内的概率为115143； （2）设该产品每月的总利润为Y ，①当10n =时，产品可完全售出，故100101000Y =⨯=万元．②当11n =时，月需求量为100万件时，获利1001050950Y =⨯-=万元． 月需求量为110万件及以上时，获利100111100Y =⨯=万元．6(950)0.160P Y ===，(1100)1(950)10.10.9P Y P Y ==-==-=． Y 的分布列为∴()9500.111000.91085E Y =⨯+⨯=万元．③当12n =时，月需求量为100万件时，获利10010502900Y =⨯-⨯=万元． 月需求量为110万件时，获利10011501050Y =⨯-=万元． 月需求量为120万件及以上时，获利100121200Y =⨯=万元．6(900)0.160P Y ===，24(1050)0.460P Y ===，1812(1200)0.5600P Y +===． Y 的分布列为∴()9000.110500.412000.51110E Y =⨯+⨯+⨯=万元．④当13n =时，月需求量为100万件时，获利10010503850Y =⨯-⨯=万元， 月需求量为110万件时，获利100115021000Y =⨯-⨯=万元， 月需求量为120万件时，获利10012501150Y =⨯-=万元， 月需求量为130万件时，获利100131300Y =⨯=万元．6(850)0.160P Y ===，24(1000)0.460P Y ===，18(1150)0.360P Y ===，12(1300)0.260P Y ===．Y 的分布列为∴()8500.110000.411500.313000.21090E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=万元． 综上，当12n =时，()1110E Y =万元最大，∴欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房12间． 【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.21．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qian du ）：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bie nao ）指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABC A B C -中，AB AC ⊥.（1）求证：四棱锥11B A ACC -为阳马；（2）若AB AC =，12C C =，且直线1AC 与平面11BCC B 5，求锐二面角11C A B C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）155. 【分析】（1）通过证明AB ⊥面11ACC A ，结合四边形11ACC A 为矩形即可证明； （2）以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可求解. 【详解】（1）证明：∵1A A ⊥底面ABC ，AB 面ABC ，∴1A A AB ⊥， 又AB AC ⊥，1A AAC A =，∴AB ⊥面11ACC A ， 又四边形11ACC A 为矩形， ∴四棱锥11B A ACC -为阳马.（2）解：在ABC 中作AH BC ⊥于H ，连结1C H . 显然1AC H ∠为直线1AC 与平面11BCC B 所成的角. 设2BC a =，则AH a =，214C Ha =+.故125tan 54AC H a ∠==+，解得1a =， ∴2BC =，2AB AC ==，∵AB AC ⊥，1A A ⊥底面ABC .∴以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()2,0,0B，()2,0C ，()10,0,2A ，()12,0,2A B =-，()2,2,0BC =-，()112,0AC =.设面1A BC 的一个法向量()1111,,x n y z =，由11100n A B n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111220220x z x y -==⎪⎩，令12x =，得()12,2,1n =，设平面11A BC 的一个法向量()2222,,n x y z =，则2121100n A B n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222020x z -==，令12x =，得()22,0,1n =，∴12121215cos ,5n n n n n n ⋅==⋅， 故锐二面角11C A B C --. 【点睛】利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.22．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M：22221x y a b +=（0a b >>）右焦点的直线0x y +-=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）C ，D 为M 上的两点，若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】(Ι) 22163x y +=（Ⅱ）12AB CD ⋅=3【分析】(1)把右焦点()c,0代入直线方程可求出c ，设()11,,A x y ()22,B x y ，线段AB 的中点()00,P x y ，利用“点差法”即可得出a,b 的关系式，再与222a b c =+联立即可求出a,b ，进而可得椭圆方程；(2)由CD AB ⊥，可设直线CD 方程为y x m =+,与椭圆方程联立可得根与系数关系，即可得到弦长CD ，把直线0x y AB +=与椭圆的方程联立得到根与系数关系，即可得到弦长，利用ABCD 1S 2AB CD =⋅四边形即可得到关于m 的表达式，利用二次函数的单调性即可求出其最大值.【详解】(Ι)设()11,,A x y ()22,,B x y 则()22112211x y a b +=，()22222212x y a b+=，（1）－（2）得：()()()()12121212220x x x x y y y y ab-+-++=，因为12121y y x x -=--，设()00,P x y ，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以0012y x =，即()121212y y x x +=+，所以可以解得222a b =，即()2222a a c=-，即222ac =，又因为c =26a =，所以M 的方程为22163x y +=.（Ⅱ）因为CD AB ⊥，直线AB 方程为0x y +=，所以设直线CD 方程为y x m =+，将0x y +=代入22163x y +=得：230x -=，即(A 、B ⎝⎭，所以可得AB =；将y x m =+代入22163x y +=得：2234260x mx m ++-=，设()33,,C x y ()44,,D x y 则CD =()221612260m m ∆=-->，即33m -<<，所以当0m =时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12AB CD ⋅=. 【点睛】本小题考查椭圆的方程的求解、直线与椭圆的位置关系，考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键.。
2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二上学期教学质量调研(一)数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二上学期教学质量调研（一）数学试题一、单选题1．抛物线23y x =的准线方程为（ ） A ．34x =-B ．34x =C ．34y =-D ．34y =【答案】A 【解析】先求出324p =，即得解. 【详解】由抛物线23y x =得323,24p p =∴=， 所以抛物线的准线方程为34x =-.故选：A 【点睛】本题主要考查抛物线的准线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()2,1，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2BC D 【答案】C【解析】由题得点()2,1在直线by x a=上，化简224a b =即得解. 【详解】由题得点()2,1在直线by x a=上， 所以22122,4,ba b a b a=⨯∴=∴=，所以22222254(),54,,4a c a a c e e =-∴=∴=∴=. 故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知椭圆2211612x y +=上一点P 到其左焦点的距离为6，则点P 到右准线的距离为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】A【解析】求出点P 的横坐标，进而可求得点P 到椭圆右准线的距离. 【详解】设点P 的坐标为(),x y ，则2211612x y +=，223124y x =-，且44x -≤≤，对于椭圆2211612x y +=，4a =，b =2c ，椭圆2211612x y +=的左焦点为()2,0F -，右准线方程为28a x c==，114422PF x x ====+=+6=，解得4x =，因此，点P 到右准线的距离为844-=. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆上的点到准线距离的计算，求出点P 的横坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．已知抛物线()220x py p =>的焦点到双曲线22154y x -=的渐近线的距离为2，则p 的值为（ ）A ．4B ．6C ．9D ．12【答案】B【解析】求出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】双曲线22154y x -=20y ±=，抛物线的焦点坐标为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为抛物线()220x py p =>的焦点到双曲线22154y x -=的渐近线的距离为2，22254p⨯=+，解得6p故选：B 【点睛】本题考查抛物线和双曲线简单性质的应用，点到直线距离公式的应用，较简单. 5．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则MF NF +=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】设()11,M x y ，()22,N x y ，将直线方程代入抛物线方程，韦达定理知1210x x +=，利用抛物线焦半径公式可得到结果.【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程为：()223y x =+ 将直线方程代入抛物线方程得：2540x x -+=，则125x x +=由抛物线焦半径公式可得：()12121127MF NF x x x x +=+++=++= 故选：C 【点睛】本题考查抛物线焦半径公式的应用，属于基础题.6．为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M ，N 两点为平行四边形AMBN 一组相对的顶点，当平行四边形AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】D【解析】由题意可得出10MB BN +=，在三角形MBN 中，使用余弦定理可得cos B 的关系式，再利用基本不等式可求出cos B 的最小值，从而可求出sin B 的最大值，进而求解． 【详解】设AM x =，AN y =，则由已知可得10x y +=， 在MBN △中，6MN =， 由余弦定理可得：222226()363232327cos 1111222525()2x y x y B x y xy xy xy +-+-==-=--=-=+， 当且仅当x y =时等号成立， 此时5x y ==，7cos 25min B =， 所以24sin 25max B =， 所以四边形AMBN 的最大面积为12425524225⨯⨯⨯⨯=， 此时四边形AMBN 是边长为5的菱形， 故选：D 【点睛】本题主要考查了解三角形中的余弦定理以及基本不等式的简单应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．7．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B C ．13D 【答案】B【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b--+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=， 因为AB 中点坐标为()2,1-， 所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+，又1212011422AB y y k x x -+===--，所以22212b a =，即2a b =，所以c e a ===， 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．已知双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则12PF PF ⋅=（ ） A ．8 B．C ．4D．【答案】A【解析】根据条件可得24PF =，由双曲线的定义可得110PF =，又1210F F =，由余弦定理得出12F PF ∠的余弦值，再由向量的数量积可得答案. 【详解】双曲线221916x y -=的渐近线方程为43y x =±.则焦点()25,0F到渐近线的距离为4d ==因为以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，所以4r = 所以24PF =,由双曲线的定义有110PF = 又1210F F =，由余弦定理得22212122112||+||||100161001cos 2||||21045PF PF F F F PF PF PF -+-∠===⨯⨯，1212121||||cos 4085PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠=⨯=，故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的基本性质，双曲线与向量的结合，属于中档题.二、多选题9．已知双曲线222(0)63x y λλ-=≠，则不因λ改变而变化的是（ ）A ．渐近线方程B ．顶点坐标C ．离心率D ．焦距【答案】AC【解析】首先将题中所给的双曲线方程化为标准方程，写出22,a b ，求得2c 的值，求得双曲线的离心率和渐近线方程是确定的，得出结果. 【详解】双曲线222(0)63x y λλ-=≠可化为2222163x y λλ-=，所以22226,3a b λλ==，所以229c λ=， 所以2231()2be a=+=，渐近线方程为2b y x x a =±=±， 故选：AC. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程确定双曲线的离心率和渐近线方程，观察双曲线方程研究其性质，属于简单题目.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，若123PF PF =，则双曲线的离心率可能为（ ）A ．2BCD ．3【答案】AB【解析】由双曲线的定义和已知可得21|||3,|PF PF a a ==，然后再由1212||||||PF PF F F +≥可得答案.【详解】由已知12||3||PF PF =和12||||2PF PF a -=得，所以21|||3,|PF PF a a ==，所以1212||||||2PF PF F F c ≥=+， 即42a c ≥，12e <≤， 故选：AB. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，属于基础题.11．设1F ，2F 为椭圆C ：221167x y +=的左、右焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若12MF F △为等腰三角形，则下列结论正确的是（ ） A ．12MF = B ．22MF = C ．点M 的横坐标为83D ．12MF F S =△【答案】BCD【解析】由M 的位置及12MF F △为等腰三角形，知112MF F F =，进而求得1MF ，2MF ，然后在12MF F △中，利用余弦定理求得12cos MF F ∠，再利用112cos M x MF MF F c =⋅∠-和面积公式求解即可.【详解】因为椭圆C ：221167x y +=，所以4,3a b c ===，因为M 为C 上一点且在第一象限，且12MF F △为等腰三角形， 所以12112,26MF MF MF F F c >===，且22MF =，在12MF F △中，由余弦定理得：22222211221211266217cos 226618MF F F MF MF F MF F F +-+-∠===⋅⨯⨯，所以112178cos 63183M x MF MF F c =⋅∠-=⨯-=，所以12sin 18MF F ∠==，所以1112111sin 662218MF FSMF F F MF F =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=， 故选；BCD 【点睛】本题主要考查椭圆的交点三角形以及余弦定理和面积公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．已知抛物线24x y =的焦点为F ，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．点F 的坐标为()1,0B ．若A ，F ，B 三点共线，则3OA OB ⋅=-C ．若直线OA 与OB 的斜率之积为14-，则直线AB 过点F D ．若6AB =，则AB 的中点到x 轴距离的最小值为2 【答案】BCD【解析】根据抛物线的标准方程，求得焦点F 的坐标，可判定A 错误；设直线AB 的方程为1y kx =+，根据韦达定理和向量的运算，可判定B 正确；设直线AB 的方程为y kx m =+，根据直线的斜率公式、弦长公式等，可判定C 、D 正确.【详解】由抛物线24x y =，可得2p =，则焦点F 坐标为(0,1)，故A 错误；设直线AB 的方程为1y kx =+，联立方程组214y kx x y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-， 所以2121212()11y y k x x k x x =+++=，所以1212413OA OB x x y y ⋅=+=-+=-，故B 正确； 设直线AB 的方程为y kx m =+， 联立方程组24y kx mx y=+⎧⎨=⎩，可得2440x kx m --=，所以12124,4x x k x x m +==-， 所以222222121212()44y y k x x k x x m k m mk m m =+++=-++=，因为直线OA 与OB 的斜率之积为14-，即121214y y x x ⋅=-，可得2144m m =--，解得1m =， 所以直线AB 的方程为1y kx =+，即直线过点F ，故C 正确；因为6AB ===， 所以224(1)()9k k m ++=，所以2994(1)m k ==+，因为21212()242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点到x 轴的距离：22222299224(1)4(1)d k m k k k k k =+=+-=+++229114(1)k k =++-+1312≥=-=，当且仅当212k =时等号成立，所以AB 的中点到x 轴的距离的最小值为2，故D 正确， 综上所述，正确命题为BCD. 故选：BCD. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．三、填空题 13．当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围为________.【答案】0,4π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】变换得到22111sin cos x y αα+=，根据题意得到11sin cos αα>，解得答案. 【详解】22sin cos 1x y αα+=，即22111sin cos x y αα+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故10sin α>，10cos α>， 方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，故11sin cos αα>， 即cos sin αα>，故0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：0,4π⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了根据椭圆方程求参数范围，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题目.14．设椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点.在2ABF 中，若有两边之和为10，则第三边的长度为________. 【答案】6【解析】解：先由椭圆的定义得2ABF 的周长为4a ，再由椭圆的标准方程求出4a =，最后求出2ABF 第三边的长度即可. 【详解】解：由椭圆的定义得121222AF AF aBF BF a +=⎧⎨+=⎩，所以2ABF 的周长为：4a ，因为椭圆的标准方程为：221169x y +=，所以216a =，则4a =，所以2ABF 的周长为16， 因为2ABF 有两边之和为10，则第三边的长度为16106-=， 故答案为：6. 【点睛】本题考查椭圆的定义、根据椭圆的标准方程确定a 的值、求焦点三角形的边长，是基础题15．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线左支上一点，1290F MF ∠=︒，直线2MF 交双曲线的另一支于点N ，22MN NF =，则双曲线的离心率是________. 【答案】5【解析】先设2NF m =并根据题意与双曲线的定义表示出MN ，2MF ，1MF ，1NF ，12F F ，再在直角三角形12F MF △和1F MN △中利用勾股定理建立方程整理得到225c a =，最后求双曲线的离心率. 【详解】解：由题意作图如下，设2NF m =，因为22MN NF =，所以2MN m =，2=3MF m ， 由双曲线的定义可得：1=32MF m a -，1=2NF m a +，122F F c =， 因为1290F MF ∠=︒，在直角三角形1F MN △中，222(32)(2)(2)m a m m a -+=+，整理得：43m a =， 在直角三角形12F MF △中，222(32)(3)(2)m a m c -+=，又因为43m a =所以222(42)(4)(2)a a a c -+=，整理得：225c a=，所以5ce a==5【点睛】本题考查双曲线的定义、求双曲线的离心率、焦点三角形的边长关系，是中档题四、双空题16．已知F 是抛物线()221y px p =>的焦点，(),1N p ，M 为抛物线上任意一点，MN MF +的最小值为3，则p =________；若过F 的直线交抛物线于A 、B 两点，有2AF FB =，则AB =________. 【答案】292【解析】作出图形，过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得出MN MF MN MP +=+，由点P 、M 、N 共线时MN MF +取最小值可求得p 的值，设直线AB 的方程为1x my =+，与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合2AF FB =可求得2m 的值，利用弦长公式可求得AB . 【详解】过点M 作MP 垂直于抛物线()221y px p =>的准线l ，垂足为点P ，由抛物线的定义可得MP MF =，1p >，则2212p <，则点N 在抛物线内，如下图所示：MN MF MN MP ∴+=+，当点P 、M 、N 共线时，MN MF +取得最小值32pp +=，解得2p =， 所以，抛物线的标准方程为24y x =，该抛物线的焦点为()1,0F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，可知直线AB 不与x 轴重合，设直线AB 的方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，216160m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，2AF FB =，则()()11221,21,x y x y --=-，122y y ∴=-，所以，1224y y y m +=-=，可得24y m =-，221222324y y y m =-=-=-，可得218m =，因此，()2129412AB y y m =-==+=. 故答案为：2；92. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线上的点到定点和焦点距离之和的最值，同时也考查了抛物线焦点弦长的计算，考查计算能力，属于中等题.五、解答题17．已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，P 是E 上一点，且在第一象限，满足(2,PF =-.（1）求点P 的坐标和抛物线E 的方程；（2）已知过点P 的直线l 与E 有且只有一个公共点，求直线l 的方程.【答案】（1）P 坐标为(2,，抛物线的方程为216y x =；（2）y =y =+【解析】（1）先表示出焦点坐标和设点P 的坐标，再建立方程组解得0y =8p =，最后求点P 的坐标和抛物线的方程即可；（2）先判断当直线l 的斜率不存在时，l 与抛物线有两个交点，再根据题意设直线l 的方程，求出0k =与k =l 的方程.【详解】（1）焦点坐标,02P F ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为(2,PF =-，所以2222y p p y ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩， 又0p >，解得0y =8p =，所以P坐标为(2,，抛物线的方程为216y x =.（2）当直线l 的斜率不存在时，l 与抛物线有两个交点，故舍去；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，代入抛物线方程，消去x 得到216320ky y k --+=，若0k =，此时直线l：y = 若0k ≠，则(2564320k k ∆=--+=，解得k =综上：直线l的方程为y =y =+【点睛】本题考查求抛物线的标准方程、根据直线与抛物线的位置关系求直线方程，是基础题.18．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点F 重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D 两点. （1）求ABCD的值； （2）设M 为1C 与2C的公共点，若3OM =，求1C 与2C 的标准方程. 【答案】（1）34AB CD =；（2）椭圆方程为22143x y +=，抛物线方程为24y x =. 【解析】（1）设椭圆的方程为2222143x y c c+=，抛物线方程为24y cx =，然后分别求出AB 、CD 即可；（2）联立椭圆和抛物线的方程求出点M的坐标，然后由OM =c 即可.【详解】（1）因为椭圆1C 的离心率为12，所以设其方程为2222143x y c c+=，(),0F c ，令x c =解得32y c =±，所以3AB c =， 又抛物线2C 的焦点与椭圆1C 的右焦点(),0F c 重合，所以设其方程为24y cx =， 令x c =解得2y c =±，所以4CD c =， 故34AB CD =. （2）由222221434x y c c y cx⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得：22316120x cx c +-=，解得23x c =或6c -（舍）.所以2,3M c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为OM =1c =. 即椭圆方程为22143x y +=，抛物线方程为24y x =.【点睛】本题考查的是椭圆和抛物线的综合问题，考查了学生的分析能力，属于基础题. 19．设椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为2，且椭圆上的点到焦点1. （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l ：x ty m =+（m <）与C 交于A ，B 两点，已知()2,0M ，且2MA MB ⋅=，求证：直线l 恒过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意易得c a =，1a c +=，解得a 和c 的值，再由222b a c =-得出2b 的值，最后写出椭圆的方程即可；（2）联立直线和椭圆的方程得到关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得12y y +和12y y 的表达式，代入2MA MB ⋅=中可得23820m m -+=，解出m 的值即可证明直线过定点. 【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，由题意可得2c a =，1a c +=，所以a =1c =， 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2212x y +=；（2）由2212x y x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2222220t y mty m +++-=，由>0∆，得222m t <+，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222mt y y t +=-+，212222m y y t -=+，()()()121212122224x x MA y M x x B y x x =--⋅+=-++()()()121222ty m ty m t y y m =++-++⎡⎤⎣⎦ ()()2212121(2)(2)2t y y t m y y m =++-++-=，所以有23820m m -+=，解得43m =，又m <，所以m =，即直线l恒过定点⎫⎪⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单几何性质，考查直线过定点问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点为()2,0A -，右焦点()1,0F ，斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于M ，N 两点.（1）当直线l 过原点O 时，满足直线AM ，AN 斜率和为2k -，求弦长MN ； （2）当直线l 过点F 时，满足直线AM ，AN 斜率和为k -，求实数k 的值. 【答案】（1）MN =（2）1k =±.【解析】(1）先求出椭圆的方程，设()00,M x y ，()00,N x y --，根据2AM AN k k k+=-可得202x =，代入椭圆方程求出2032y =，从而求出弦长|MN |; (2）直线l 方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入AM AN k k k +=-，即可求出k 的值. 【详解】（1）由左顶点为()2,0A -，右焦点()1,0F 知2,1a c ==， 所以2223b a c =-=所以椭圆方程为22143x y +=，设()00,M x y ，()00,N x y --， 由2AM AN k k k +=-，得0000222y y k x x +=-+-，0000222kx kx k x x +=-+-， 因为0k ≠，所以202x =，代入椭圆方程得2032y =，所以MN ==.（2）设直线l 方程为(1)y k x =-，由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得，()22223484120k x k x k +-+-=， >0∆恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 由AM AN k k k +=-，得121222y yk x x +=-++， ()()12121122k x k x k x x --+=-++，又0k ≠，所以()()1212121224124x x x x x x x x ++-=-+++，()12120x x x x ∴++=，2222412803434k k k k -∴+=++， 21k =∴解得1k =±. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题.21．已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的实轴长为，F 为右焦点，()0,1M ，()0,1N -，且MNF 为等边三角形.（1）求双曲线E 的方程；（2）过点M 的直线l 与E 的左右两支分别交于P 、Q 两点，求PQN 面积的取值范围.【答案】（1）2212x y -=；（2）[)4,+∞. 【解析】(1)由题意可知c =，再利用2a =和2221b c a =-=，即可求出a ， b ， c 的值，从而得到双曲线E 的方程;(2）当直线l 的斜率存在时，直线与双曲线没有交点，当直线l 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+，与双曲线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得到PQNS=,由1200x x ∆>⎧⎨<⎩，求出k 的取值范围，从而求出PQNS的取值范围.【详解】（1）设焦距为2c ，因为()0,1M ，()0,1N -，且MNF 为等边三角形， 所以c =又2a =，所以a =2221bc a =-=，所以双曲线方程为2212x y -=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线与双曲线没有交点，当直线l 的斜率存在时，设其方程为1y kx =+，22112y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得到()2212440k x kx ---=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122412kx x k +=-，122412x x k =--， 因为直线l 与E 的左右两支分别交于两点，所以1200x x ∆>⎧⎨<⎩，解得22k -<<，（或由双曲线的渐近线方程为y =得k <<）.121212PQN x x x x S N M -==-=△=2102k ≤<， 令1,12t ⎛⎤=⎥⎝⎦， 则2441212t S t t t==--，因为12y t t=-在1,12⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，所以当1t =时，y 最小为4. 即[)4,S ∈+∞. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.22．已知点()1,0F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，直线l 与抛物线E 相交于A ，B 两点，抛物线E 在A ，B 两点处的切线交于M .（1）求证：A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列；（2）若AB a ，其中a 为定值，求证：ABM 的面积的最大值为38a p. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由题得抛物线方程为24y x =，先求出两切线的方程分别为1122yy x y =+①，2222y y x y =+②，解之得122M y y y +=，即得证； （2）取AB 的中点Q ，连接MQ ，过M 点作MN AB ⊥，垂足为N ，先证明()212||4y y MN -≤，设直线AB 的方程为x my t =+（由题意可知0m ≠），所以12y y a -≤，所以2||8a MN ≤，即得ABM 的面积的最大值.【详解】（1）证明：由题得抛物线方程为24y x =，设211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可知切线的斜率一定存在，设为k ， 211244y y y k x y x ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩消去x 得，2211440ky y y ky -+-=， 因为直线与抛物线相切，所以0∆=，解得12k y =， 此时切线方程为211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即112,2y y x y =+① 同理设222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，另一条切线方程为2222y y x y =+②， 将①②联立方程组，解得122M y y y +=， 所以A ，M ，B 三点的纵坐标成等差数列.（2）取AB 的中点Q ，连接MQ ，过M 点作MN AB ⊥，垂足为N ，第 2 页 共 4 页则()2221212121212||||24844y y x x y y y y y y MN MQ -++≤=-=-=， 设直线AB 的方程为x my t =+（由题意可知0m ≠），则212||1AB m y y a =+-=，所以12y y a -≤，即()2212||||48y y a MN MQ -≤=≤， 所以3311||||||22168ABM a a S AB MN a MQ p=⋅≤⋅==. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的最值问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
江苏省如皋市2020-2021学年高二上学期期末教学质量调研数学试题
2020－2021学年度高二年级第一学期期末教学质量调研数 学 试 题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. βα>是βαsin sin >的 ( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件2. 5(2)(12)x x +-的展开式中，2x 的系数为（ ）A ．70B ．70-C ．120D ． 120-3. 如图是容量为n 的样本的频率分布直方图，已知样本数据在[1418)，内的频数是6，则样本数据落在[610)，的频数是 ( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 104. 设l 是直线，αβ，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ( )A. 若//l α，//l β，则//αβ B . 若//l α，l β⊥，则αβ⊥ C. 若αβ⊥，l α⊥，则//l β D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥5. 直线43+-=k kx y 与双曲线191622=-yx 有且只有一个公共点，则k 的取值有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．46. 已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为 ( )A.221 B. 221 C. 47 D. 477. 琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的概率为 ( )A ．1360B ．16C ．115D ．7158. 设12F F ，是椭圆22:13x y C m+=的两个焦点，若椭圆C 上存在点M 满足12120F MF ∠=︒，则m 的取值范围是 ( )A ．3(0][4)4+∞，，B ．9(0][4)4+∞，，C ．3(0][12)4+∞，，D ．9(0][12)4+∞，， 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省如皋中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段检测数学试题含答案
江苏省如皋中学2020～2021学年度第一学期第一次阶段检测高二数学一、单选题：本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．命题“20,22x x∀≥-≤”的否定为 ( )A ．20,22x x ∀≥-> B ．20,22x x∃≥-> C ．20,22x x∀<-> D ．20,22x x∃<->2．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>以椭圆222:143x y C +=的焦点为顶点，左右顶点为焦点,则双曲线1C 的渐近线方程为 （ )A.30x y ±=B.30x y ±=C. 230x y ±=D 。
320x y ±=3．如图,在平行六面体1111ABCD A BC D -中，E 为11A D 的中点，设AB=a ,AD b =，1AA =c ，则CE =（ )A ．12a b c +- B ．12a b c -+C ．12a b c --D ．1-2a b c -+4．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为265y x =±，且过点()5,32，则其焦距为 ( ） A 。
7 B 。
72C 。
1 D.125．已知命题:p “x R ∃∈，使得210mxmx m ++-≥"为假命题,:q 0m <,则命题p 是命题q 的 条件。
（ ）A. 充分不必要 B 。
必要不充分 C 。
充要 D 。
既不充分也不必要6．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ,离心率为5．P是C 上一点，且12F P F P ⊥．若△12PF F 的面积为4,则a =( )A. 1B. 2C. 4D 。
8 7． 如图，已知矩形ABCD 与矩形ABEF 全等，二面角D AB E--为直二面角，M为AB中点，FM与BD所成角为θ,且3cos 9θ=，则ABBC =( )A ．1B 。
2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，b ＝4，c ＝2，△ABC 的面积S =2√3，则a 等于（ ） A ．2√7 B ．2√3 C ．2√7或2√3 D ．2√62．∀x ∈(0，π2)，x ≤sin x 的否定是（ ） A ．∃x ∉(0，π2)，x ≤sin x B ．∃x ∈(0，π2)，x ＞sin xC ．∀x ∉(0，π2)，x ＞sin xD ．∀x ∈(0，π2)，x ≤sin x3．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户．若政府计划援助这三个社区中90户低收入家庭，现采用分层随机抽样的方法决定各社区户数，则甲社区中接受援助的低收入家庭的户数为（ ） A ．20 B ．30 C ．36 D ．404．古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（D ）的立方成正比”，此即V ＝kD 3，欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V ＝kD 3中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于正四面体、正方体也可利用公式V ＝kD 3求体积（在正四面体中，D 表示正四面体的棱长；在正方体中，D 表示棱长）假设运用此体积公式求得球（直径为a ）、正四面体（正四面体棱长为a ）、正方体（棱长为a ）的“玉积率”分别为k 1，k 2，k 3，那么k 1：k 2：k 3的值为（ ） A ．π：√2：12 B ．2π：√2：12 C ．π：√2：6 D ．π：2√2：125．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，抛物线C 上一点P （m ，1）到焦点F 的距离为54．则实数p 值为（ ） A ．2 B ．1 C ．12D ．146．设A 为平面α上一点，过点A 的直线AO 在α平面上的射影为AB ，AC 为α平面内的一条直线，令∠OAC ＝θ，∠OAB ＝θ1，∠BAC ＝θ2，则这三个角存在一个余弦关系：cos θ＝cos θ1cos θ2（其中θ1和θ2只能是锐角），称为最小张角定理．直线l 与平面α所成的角是π4，若直线l 在α内的射影与α内的直线m 所成角为π4，则直线l 与直线m 所成的角是（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π27．在三棱锥P ﹣ABC 中，PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝BC ＝4，P A =2√3，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值是（ ） A ．18B ．16C ．14D ．138．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，关于原点对称的两点A 、B 分别在双曲线的左、右两支上，AF →⋅FB →=0，3BF →=FC →且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√102C ．√3D ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右准线为l ，点P 是双曲线C 上一点，记点P 到直线l 的距离为d ，双曲线C 的离心率为e ，则下列条件中是2d ＞PF 的充分不必要条件有（ ） A ．e ∈(1，32)B ．e ∈(1，74)C ．e ∈（1，2）D ．e ∈（1，3）10．在直角梯形ABCD 中，∠ABC =∠BCD =π2，AB ＝BC ＝1，DC ＝2，E 为DC 中点，现将△ADE 沿AE 折起，得到一个四棱锥D ﹣ABCE ，则下列命题正确的有（ ） A ．在△ADE 沿AE 折起的过程中，四棱锥D ﹣ABCE 体积的最大值为13B ．在△ADE 沿AE 折起的过程中，异面直线AD 与BC 所成的角恒为π4C ．在△ADE 沿AE 折起的过程中，二面角A ﹣EC ﹣D 的在大小为45°D ．在四棱锥D ﹣ABCE 中，当D 在EC 上的射影恰好为EC 的中点F 时，DB 与平面ABCE 所成的角的正切为√15511．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，下列命题正确的有（ ） A ．若A ＝45°，b ＝4，a ＝4，则△ABC 有两解B ．若tan A +tan B +tanC ＞0，则△ABC 一定是锐角三角形 C ．a ＞b 是sin A ＞sin B 是充要条件D ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 形状是等腰或直角三角形12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为DD 1的中点，N 为正方形ABCD 所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）A ．若MN ＝2，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为πB ．若N 到直线BB 1与直线DC 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线C ．若D 1N 与AB 所成的角为π3，则N 的轨迹为双曲线D ．若MN 与平面ABCD 所成的角为π3，则N 的轨迹为椭圆三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若∀x ∈(0，π2)，m ≥sin x +cos x 恒成立，则m 的取值范围为 ．14．已知F （2，0）为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点．直线l ：y =−13x +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，A ，B 的中点为P ，且直线OP 的斜率k ＝1，则椭圆C 的方程为 ．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若4sin 2C ＝3sin 2B +sin A sin B ，c =√14，则cos C 的最小值为 ，当cos C 最小时，△ABC 的面积为 ．16．已知菱形ABCD 的边长为2，对角线BD ＝2，现将△ABD 沿BD 折起，使得二面角A ﹣BD ﹣C 为120°，则折得几何体ABCD 的外接球的表面积为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知m ＞2，p ：方程x 2m+y 24=1表示焦点在y 轴上的椭圆；q ：方程x 2m−t+y 2m−4t=1表示双曲线．若p 是q 的充分不必要条件，求实数t 的取值范围．18．（12分）在①c sin A＝a，②sin C＝2sin A，③2b2=(b2+c2−a2)(1+√33tanA)这三个条件中有且只有一个符合题意，请选择符合题意的条件，补充在下面的问题中，并求解．在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，_____，b＝4，a＝3．（1）求C；（2）若M为边AB上一点，且∠ACM＝∠MCB，求CM的长．19．（12分）如图在直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，AA 1、AC 、A 1C 1的中点分别为D 、E 、F ． （1）求证：AC ⊥平面BEF ；（2）若异面直线AA 1与BF 所成的角为45°，且BC 与平面BEF 所成角的正弦值为√55，求二面角 B ﹣CD ﹣B 1的余弦值．20．（12分）如图，四边形ABCD的四个顶点共圆，cos∠ABD=513，AB＝14，AD＝15．（1）求BD和sin A的值；（2）求四边形ABCD的周长的最大值．21．（12分）如图，在平面四边形DACB中，AD＝AC＝3，BC＝BD＝4，AB＝5，现将△DAB沿AB翻折至△D'AB，记二面角D'﹣AB﹣C的大小为θ（0°＜θ＜180°）．（1）求证：AB⊥D'C；（2）当θ＝60°时，求直线D'B与平面ABC所成的角的正弦值．22．（12分）如图所示，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其右准线方程为x ＝4，A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，过点A 、B 作斜率分别为k 1、k 2，直线AM 和直线BN 分别与椭圆C 交于点M ，N （其中M 在x 轴上方，N 在x 轴下方）． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 恒过椭圆的左焦点F 1，求证：k 1k 2为定值．2020-2021学年江苏省南通市如皋市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝4，c＝2，△ABC的面积S=2√3，则a等于（）A．2√7B．2√3C．2√7或2√3D．2√6解：因为b＝4，c＝2，△ABC的面积S=2√3=12bc sin A=12×4×2×sin A，解得sin A=√3 2，因为A∈（0，π），所以A=π3，或2π3，当A=π3时，由余弦定理可得a=√b2+c2−2bccosA=√42+22−2×4×2×12=2√3，当A=2π3时，由余弦定理可得a=√b2+c2−2bccosA=√42+22−2×4×2×(−12)=2√7，则a的值为：2√3，2√7．故选：C．2．∀x∈(0，π2)，x≤sin x的否定是（）A．∃x∉(0，π2)，x≤sin x B．∃x∈(0，π2)，x＞sin xC．∀x∉(0，π2)，x＞sin x D．∀x∈(0，π2)，x≤sin x解：命题为全称命题，则命题的否定∃x∈(0，π2)，x＞sin x，故选：B．3．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户．若政府计划援助这三个社区中90户低收入家庭，现采用分层随机抽样的方法决定各社区户数，则甲社区中接受援助的低收入家庭的户数为（）A．20B．30C．36D．40解：每个个体被抽到的概率等于90360+270+180=19，甲社区有360户低收入家庭，故应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×19=40，故选：D．4．古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（D ）的立方成正比”，此即V ＝kD 3，欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V ＝kD 3中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于正四面体、正方体也可利用公式V ＝kD 3求体积（在正四面体中，D 表示正四面体的棱长；在正方体中，D 表示棱长）假设运用此体积公式求得球（直径为a ）、正四面体（正四面体棱长为a ）、正方体（棱长为a ）的“玉积率”分别为k 1，k 2，k 3，那么k 1：k 2：k 3的值为（ ） A ．π：√2：12B ．2π：√2：12C ．π：√2：6D ．π：2√2：12解：直径为a 的球的体积V 1=43π⋅(a2)3=π6a 3，则k 1=π6； 如图，正四面体的棱长为a ，则底面外接圆的半径为BF =23BE =23×√a 2−14a 2=√33a ， 正四面体的高h =√AB 2−BF 2=a 2−(√33a)2=√63a ， 则其体积V 2=13×12a 2×√32×√63a =√212a 3，得k 2=√212； 正方体的体积V 3=a 3，则k 3＝1． ∴k 1：k 2：k 3的值为2π：√2：12． 故选：B ．5．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，抛物线C 上一点P （m ，1）到焦点F 的距离为54．则实数p 值为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．14解：抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，抛物线C 上一点P （m ，1）到焦点F 的距离为54． 可得p2+1=54，解得p =12．故选：C ．6．设A 为平面α上一点，过点A 的直线AO 在α平面上的射影为AB ，AC 为α平面内的一条直线，令∠OAC ＝θ，∠OAB ＝θ1，∠BAC ＝θ2，则这三个角存在一个余弦关系：cos θ＝cos θ1cos θ2（其中θ1和θ2只能是锐角），称为最小张角定理．直线l 与平面α所成的角是π4，若直线l 在α内的射影与α内的直线m 所成角为π4，则直线l 与直线m 所成的角是（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：由题意，θ1=π4，θ2=π4，则直线l 与直线m 所成的角θ满足cos θ＝cos θ1cos θ2=cos π4•cos π4=√22×√22=12， 又θ∈[0，π2]，∴θ=π3．故选：C ．7．在三棱锥P ﹣ABC 中，PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝BC ＝4，P A =2√3，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值是（ ） A ．18B ．16C ．14D ．13解：作AC 的中点，作DE ∥PC ，DF ∥AB ，连接AF ，EF ，PF ， 异面直线PC 与AB 所成角即DF 和DE 所成的角， 如图示：，显然DF ＝DE =12AB =12PC ＝2，在等边△ABC 中，AF =√AB 2−BF 2=2√3， 在等边△PBC 中，PF =√PB 2−BF 2=2√3而P A =2√3，故△P AF 是等边三角形，故EF =√PF 2−PE 2=3， 在△DEF 中，DF ＝2，DE ＝2，EF ＝3， 故cos ∠EDF =4+4−92×2×2=−18，由异面直线的夹角的范围是（0°，90°]， 故DF 和DE 所成的角是∠EDF 的补角，故DF 和DE 所成的角的余弦值是18，即异面直线PC 与AB 所成角的余弦值是18，故选：A ．8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，关于原点对称的两点A 、B 分别在双曲线的左、右两支上，AF →⋅FB →=0，3BF →=FC →且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√102C ．√3D ．2解：设双曲线的左焦点为F '，连接AF '，BF '，CF '， 由AF →⋅FB →=0可得AF ⊥BF ，四边形AFBF '为矩形， 可设|BF |＝t ，则|FC |＝3t ，|BF '|＝2a +t ，|CF '|＝3t +2a ， 在直角三角形CBF '中，可得|BC |2+|BF '|2＝|CF '|2， 即为（4t ）2+（2a +t ）2＝（3t +2a ）2， 解得t ＝a ，又在直角三角形BFF '中，|BF |2+|BF '|2＝|FF '|2， 即为t 2+（2a +t ）2＝4c 2， 即为a 2+9a 2＝10a 2＝4c 2， 即有e =ca =√102， 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右准线为l ，点P 是双曲线C 上一点，记点P 到直线l 的距离为d ，双曲线C 的离心率为e ，则下列条件中是2d ＞PF 的充分不必要条件有（ ） A ．e ∈(1，32)B ．e ∈(1，74)C ．e ∈（1，2）D ．e ∈（1，3）解：由双曲线的定义可得e =|PF|d，即|PF |＝ed ， 2d ＞|PF |，即有2d ＞ed ，可得1＜e ＜2，由充分不必要条件的定义可得A ，B 正确；C ，D 不正确． 故选：AB ．10．在直角梯形ABCD 中，∠ABC =∠BCD =π2，AB ＝BC ＝1，DC ＝2，E 为DC 中点，现将△ADE 沿AE 折起，得到一个四棱锥D ﹣ABCE ，则下列命题正确的有（ ） A ．在△ADE 沿AE 折起的过程中，四棱锥D ﹣ABCE 体积的最大值为13B ．在△ADE 沿AE 折起的过程中，异面直线AD 与BC 所成的角恒为π4C ．在△ADE 沿AE 折起的过程中，二面角A ﹣EC ﹣D 的在大小为45°D ．在四棱锥D ﹣ABCE 中，当D 在EC 上的射影恰好为EC 的中点F 时，DB 与平面ABCE 所成的角的正切为√155解：对于A ，△ADE 沿AE 折起得到，四棱锥D ﹣ABCE ，由四棱锥底面积是固定值，要使得体积最大， 需要四棱锥的高最大，即平面DAE ⊥平面ABCD ，此时DE ⊥CE ，由已知得DE ＝1， 则V D ﹣ABCE =13S △ABCE •DE =13×1×1×1=13，故A 正确；对于B ，在△ADE 沿AE 折起的过程中，AE ∥BC ，所以异面直线AB 与AE 所成的角即为AD 与BC 所成的角，又AB ＝BC ＝1，DC ＝2，E 为DC 的中点，可知∠DAE =π4，即异面直线AD 与BC 所成的角恒为π4，故B 正确；对于C ，由翻折前知，AE ⊥EC ，AE ⊥ED ，且EC ∩ED ＝E ，则AE ⊥平面DEC ，又AE ⊂平面ABCE ， 所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角二面角A ﹣EC ﹣D 的在大小为π2，故C 错误；对于D ，如图连接DF ，BF ，由选项C 可知，AE ⊥平面DEC ，又DF ⊂平面DEC ，则AE ⊥DF ， 又由已知得EC ⊥DF ，且EC ∩AE ＝E ，则DF ⊥平面ABCD ，所以∠DBF 为直线与平面ABCE 所成的角，在直角三角形DFB 中，tan ∠DBF =DF BF =√DE 2−(12CE)2√2+(12CE)2=√1−(12)2√1+(12)2=√32√52=√155，所以DB 与平面ABCE 所成的角的正切为√155，故D 正确． 故选：ABD ．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，下列命题正确的有（ ） A ．若A ＝45°，b ＝4，a ＝4，则△ABC 有两解B ．若tan A +tan B +tanC ＞0，则△ABC 一定是锐角三角形 C ．a ＞b 是sin A ＞sin B 是充要条件D ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 形状是等腰或直角三角形解：对于A ，A ＝45°，b ＝4，a ＝4，所以A ＝B ＝45°，C ＝90°，∴c ＝4√2，△ABC 只有一解，故A 错；对于B ，假设△ABC 为钝角△，不妨设A ＞π2，tan A ＜0，∵A +B +C ＝π，∴tan A +tan B +tan C ＝tan A +tan （B +C ）（1﹣tan B tan C ）＝tan A +（﹣tan A ）（1﹣tan B tan C ）＝tan A tan B tan C ＜0，与题设tan A tan B tan C ＞0矛盾．△ABC 不是直角三角形，直角没有正切值，∴△ABC 为锐角三角形，故选项B 正确； 对于C ，因为由正弦定理可得a ＞b ⇔2R sin A ＞2R sin B ⇔sin A ＞sin B ，所以C 正确； 对于D ，由正弦定理a sinA=b sinB，化简已知等式得：sin A cos A ＝sin B cos B ，∴12sin2A =12sin2B ，∴sin2A ＝sin2B ，又A 和B 都为三角形的内角， ∴2A ＝2B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B =π2， 则△ABC 为等腰或直角三角形，故D 正确． 故选：BCD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为DD 1的中点，N 为正方形ABCD 所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）A ．若MN ＝2，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为πB ．若N 到直线BB 1与直线DC 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线C ．若D 1N 与AB 所成的角为π3，则N 的轨迹为双曲线D ．若MN 与平面ABCD 所成的角为π3，则N 的轨迹为椭圆解：对于A ，MN ＝2，MD ＝1，所以DN =√3， 则MN 的中点到MD 中点的距离为√32， MN 中点的轨迹为以MD 中点为圆心，√32为半径且平行于平面ABCD 的圆， 其面积为π×(√32)2=3π4，故A 错误； 对于B ，BB 1⊥平面ABCD ，NB 即为N 到直线BB 1的距离，在平面ABCD 内，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等， 所以点N 的轨迹就是以B 为焦点，DC 为准线的抛物线，故B 正确； 对于C ，如图，建立空间直角坐标系，设N （x ，y ，0）， D 1N →=（x ，y ，﹣2），AB →=（0，2，0），cos60°=|D 1N →⋅AB →||D 1N →||AB →|=|2y|√=12，化简得3y 2﹣x 2＝4，即y 243−x 24=1，所以N 的轨迹为双曲线，故C 正确；对于D ，MN 与平面ABCD 所成的角为∠MND ，所以∠MND =π3， 则DN =√33，所以点N 的轨迹为以D 为圆心，√33为半径的圆，故D 错误．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若∀x ∈(0，π2)，m ≥sin x +cos x 恒成立，则m 的取值范围为 [√2，+∞） ．解：由已知m ≥sin x +cos x 在（0，π2）上恒成立，只需m ≥（sin x +cos x ）max ， 又sin x +cos x =√2sin （x +π4）， 当x ∈（0，π2）时，x +π4∈（π4，3π4），所以当x +π4=π2即x =π4时，（sin x +cos x ）max =√2×1=√2， 所以m ≥√2，故m 的取值范围为：[√2，+∞）．14．已知F （2，0）为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点．直线l ：y =−13x +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，A ，B 的中点为P ，且直线OP 的斜率k ＝1，则椭圆C 的方程为 x 26+y 22=1 ．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）， 则x 12a 2+y 12b 2=1，x 22a 2+y 22b 2=1， 两式作差可得，(x 1−x 2)(x 1+x 2)a 2=−(y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2，即y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=−b 2a 2，∵直线l ：y =−13x +m ，直线OP 的斜率k ＝1，∴−13×1=−b2a2，即a 2＝3b 2，①又F （2，0），∴c ＝2，则a 2＝b 2+4，② 联立①②解得a 2＝6，b 2＝2． ∴椭圆C 的方程为x 26+y 22=1．故答案为：x 26+y 22=1．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若4sin 2C ＝3sin 2B +sin A sin B ，c =√14，则cos C 的最小值为14，当cos C 最小时，△ABC 的面积为7√158．解：因为4sin 2C ＝3sin 2B +sin A sin B ，由正弦定理可得4c 2＝3b 2+ab ，可得c 2=14（3b 2+ab ），由余弦定理可得cos C =a 2+b 2−c 22ab =a 2+b 2−14(3b 2+ab)2ab =a 2b +b 8a −14≥2√a 2b ⋅b 8a −14=14，当且仅当b ＝2a 时等号成立， 所以cos C 的最小值为14．当cos C 最小时，cos C =14，c =√14，b ＝2a ，由余弦定理可得14＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝a 2+b 2−12ab ， 所以解得a =√142，b =√14，又sin C =√1−cos 2C =√154，则S △ABC =12ab sin C =12×√142×√14×√154=7√158． 故答案为：14，7√158．16．已知菱形ABCD 的边长为2，对角线BD ＝2，现将△ABD 沿BD 折起，使得二面角A ﹣BD ﹣C 为120°，则折得几何体ABCD 的外接球的表面积为283π ．解：如图，设两三角形外心分别为O 2，O 3，球心为O ，BD 中点为O 1，菱形ABCD 的边长为2，对角线BD ＝2，由题意知∠AO 1C ＝120°，O 1O 3=13×√32×2=√33， ∴OO 1=2√33，OO 3＝1，CO 3=23×√32×2=2√33 ∴球半径OC =1+(2√33)2=√73，∴四面体的外接球的表面积为S ＝4π×（√73）2=283π．故答案为：283π．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知m ＞2，p ：方程x 2m+y 24=1表示焦点在y 轴上的椭圆；q ：方程x 2m−t+y 2m−4t=1表示双曲线．若p 是q 的充分不必要条件，求实数t 的取值范围． 解：由m ＞2且p ：方程x 2m+y 24=1表示焦点在y 轴上的椭圆；则2＜m ＜4， 由m ＞2且q ：方程x 2m−t+y 2m−4t=1表示双曲线，则（m ﹣t ）（m ﹣4t ）＜0，则t ＜m ＜4t ， 若p 是q 的充分不必要条件， 则（2，4）⫋（t ，4t ）， 则{t ≤24t ≥4，解得：1≤t ≤2， 故t 的范围是[1，2]．18．（12分）在①c sin A ＝a ，②sin C ＝2sin A ，③2b 2=(b 2+c 2−a 2)(1+√33tanA)这三个条件中有且只有一个符合题意，请选择符合题意的条件，补充在下面的问题中，并求解．在锐角△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，_____，b ＝4，a ＝3． （1）求C ；（2）若M 为边AB 上一点，且∠ACM ＝∠MCB ，求CM 的长．解：（1）若选①，c sin A＝a，又由正弦定理asinA =csinC，可得c sin A＝a sin C，所以sin C＝1，因为△ABC位锐角三角形，故C无解，不符合题意．若选②，sin C＝2sin A，由正弦定理可得c＝2a，因为b＝4，a＝3，可得c＝6，所以cos C=a2+b2−c22ab=9+16−362×3×4=−1124＜0，因为△ABC位锐角三角形，故C无解，不符合题意．若选③，2b2=(b2+c2−a2)(1+√33 tanA)，可得2b2＝2bc cos A（1+√33tan A），整理可得b＝c cos A+√33c•cos A•sinAcosA，由正弦定理可得，sin B＝sin C cos A+√33sin C•sin A，又sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，所以可得sin A cos C=√33sin C•sin A，因为sin A≠0，可得tan C=√3，由C为锐角，可得C=π3，（2）因为C=π3，b＝4，a＝3，由余弦定理可得c=√a2+b2−2abcosC=√9+16−2×3×4×12=√13，因为M为边AB上一点，且∠ACM＝∠MCB=π6，且AMMB=43，AM+MB=√13，解得AM=4√13 7，所以在△ACM中，由余弦定理AC2+CM2﹣2AC•CM•cos∠ACM＝AM2，可得16+CM2﹣2×4×CM×√32=（4√137）2，整理得CM2﹣4√3CM+57649=0，解得CM=16√37，或12√37．19．（12分）如图在直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，AA 1、AC 、A 1C 1的中点分别为D 、E 、F ． （1）求证：AC ⊥平面BEF ；（2）若异面直线AA 1与BF 所成的角为45°，且BC 与平面BEF 所成角的正弦值为√55，求二面角B ﹣CD ﹣B 1的余弦值．（1）证明：∵直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中， ∴BB 1⊥平面ABC ， ∵AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1， 又E ，F 分别是AC ，A 1C 1的中点， ∴AE ＝A 1F ，∴四边形AEF A 1是平行四边形， ∴EF ∥AA 1，∴EF ⊥平面ABC ， 又AC ⊂平面ABC ， ∴EF ⊥AC ，∵AB ＝BC ，E 是AC 的中点， ∴BE ⊥AC ，又BE ∩EF ＝E ， ∴AC ⊥平面BEF ． （2）解：∵AA 1∥EF ，∴∠BFE 为异面直线AA 1与BF 所成的角，即∠BFE ＝45°， ∴EF ＝BE ，∵AC ⊥平面BEF ，∴∠CBE 为直线BC 与平面BEF 所成的角，∴sin ∠CBE =√55，∴tan ∠BCF =12，∴BE ＝2CE ，以E 为原点，以EB ，EC ，EF 为坐标轴建立空间直角坐标系E ﹣xyz ，如图所示， 设CE ＝1，则B （2，0，0），C （0，1，0），D （0，﹣1，1），B 1（2，0，2）， ∴DC →=（0，2，﹣1），BC →=（﹣2，1，0），CB 1→=（2，﹣1，2），设平面BCD 的法向量为m →=（x 1，y 1，z 1），则{m →⋅DC →=0m →⋅BC →=0，即{2y 1−z 1=0−2x 1+y 1=0， 令x 1＝1可得m →=（1，2，4），设平面B 1CD 的法向量为n →=（x 2，y 2，z 2），则{n →⋅DC →=0n →⋅CB 1→=0，即{2y 2−z 2=02x 2−y 2+2z 2=0，令y 2＝1可得n →=（−32，1，2），∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=172√21×√292=17√609609，∴二面角B ﹣CD ﹣B 1的余弦值为17√609609．20．（12分）如图，四边形ABCD 的四个顶点共圆，cos ∠ABD =513，AB ＝14，AD ＝15． （1）求BD 和sin A 的值；（2）求四边形ABCD 的周长的最大值．解：（1）设BD ＝x ，∵cos ∠ABD =AB 2+BD 2−AD 22×AB×BD =142+x 2−1522×14×x =513，整理得：13x2﹣140x﹣13×29＝0，∴（x﹣13×（13x+29）＝0，解得：x＝13，x=−2913（舍去）．∴BD＝13．又∵在△ABD中，cos A=AB2+AD2−BD22×AB×AD=142+152−1322×14×15=35，∴sin A=√1−(cosA)2=√1−(35)2=45．（2）∵四边形ABCD的四个顶点共圆，∴∠BAD+∠BCD＝π，∴cos∠BCD＝cos（π﹣∠BAD）＝﹣cos BAD=−3 5，∴在△BCD中，BD2＝BC2+CD2﹣2×BC×CD，即1132＝BC2+CD2﹣2×BC×CD cos∠BCD，∴132=(BC+CD)2−2×BC×CD+65BC×CD=（(BC+CD)2−45BC×CD，又∵BC×CD≤(BC+CD2)2，当且仅当BC＝CD时取等号，∴(BC+CD)2−45BC×CD≥45(BC+CD)2，∴(BC+CD)2≤132×54，∴BC+CD≤13√52，∴AB+BC+CD+DA≤14+15+13√52=29+13√52，∴四边形ABCD的周长的最大值为：29+13√5 2．21．（12分）如图，在平面四边形DACB中，AD＝AC＝3，BC＝BD＝4，AB＝5，现将△DAB沿AB翻折至△D'AB，记二面角D'﹣AB﹣C的大小为θ（0°＜θ＜180°）．（1）求证：AB⊥D'C；（2）当θ＝60°时，求直线D'B与平面ABC所成的角的正弦值．（1）证明：过D′作D′O⊥AB，交AB于O，连接CO，∵在平面四边形DACB中，AD＝AC＝3，BC＝BD＝4，AB＝5，将△DAB沿AB翻折至△D'AB，∴CO⊥AB，∵CO∩D′O＝O，∴AB⊥平面D′OC，∵D ′C ⊂平面D ′OC ，∴AB ⊥D 'C ．（2）解：∵在平面四边形DACB 中，AD ＝AC ＝3，BC ＝BD ＝4，AB ＝5， 将△DAB 沿AB 翻折至△D 'AB ，二面角D '﹣AB ﹣C 的大小60°， ∴D ′O ＝CO ＝D ′C =3×45=125，过D ′作D ′E ⊥平面ABC ，交CO 于点E ，则D ′E =√(125)2−(65)2=6√35， 连接BE ，则∠D ′BE 是直线D 'B 与平面ABC 所成的角，sin ∠D ′BE =D′E D′B=6√354=3√310，∴直线D 'B 与平面ABC 所成的角的正弦值为3√310．22．（12分）如图所示，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其右准线方程为x ＝4，A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，过点A 、B 作斜率分别为k 1、k 2，直线AM 和直线BN 分别与椭圆C 交于点M ，N （其中M 在x 轴上方，N 在x 轴下方）． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 恒过椭圆的左焦点F 1，求证：k 1k 2为定值．解：（1）根据题意可得{ ca =12a 2c =4a 2=b 2+c 2，解得a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆的方程为x 24+y 23=1．（2）设直线AM 的方程为y ＝k 1（x +2），M （x 1，y 1）联立椭圆的方程得（3+4k 12）x 2+16k 12x +16k 12﹣12＝0， 所以x 1﹣2=−16k 123+4k 12，x 1×（﹣2）=16k 12−123+4k 12，所以x 1=−8k 12+63+4k 12，y 1＝k 1（−8k 12+63+4k 12+2）=12k 13+4k 12，所以M （−8k 12+63+4k 12，12k 13+4k 12），设直线BN 的方程为y ＝k 2（x +2），M （x 2，y 2） 联立椭圆的方程得（3+4k 22）x 2+16k 22x +16k 22﹣12＝0， 所以x 2×2=16k 22−123+4k 22，即x 2=8k 22−63+4k 22，所以y 2＝k 2（8k 22−63+4k 22−2）=−12k 23+4k 22，所以N （8k 22−63+4k 22，−12k 23+4k 22），又MN 过点F 1（﹣1，0），MF 1→∥NF 1→，MF 1→=（−4k 12+93+4k 12，12k 13+4k 12），NF 1→=（12k 22−33+4k 22，−12k 23+4k 22），所以−4k 12+93+4k 12×−12k 23+4k 22−12k 13+4k 12×12k 22−33+4k 22=0，即（k 1﹣3k 2）（4k 1k 2+3）＝0， 又k 1＞0，k 2＞0， 所以4k 1k 2+3＞0， 所以k 1＝3k 2，即k 1k 2=3，所以k 1k 2的定值为3．。
江苏省南通市如皋第一中学2020-2021学年高二数学文模拟试卷含解析
江苏省南通市如皋第一中学2020-2021学年高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A．24 B．20 C．16 D．12参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故选B．【点评】本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．2. 已知经过椭圆的左焦点F1的直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△AB F2的周长（）A、12B、16C、20D、25参考答案：C略3. “”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分又不必要条件参考答案：B4. 给出平面区域如图所示，其中A（1，1），B（2， 5），C（4，3），若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则的值是( )A． B． 1 C． 4 D．参考答案：A略5. 命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是( )A．若a2+b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a=0且b=0，则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0参考答案：D【考点】四种命题．【专题】常规题型．【分析】若原命题是“若p，则q”，则逆否命题是“若非q，则非p”也就是将命题的条件与结论都否定，再进行互换．由此分别将“a2+b2=0”、“a=0且b=0”否定，得到否命题，再将其改成逆命题，就不难得出正确答案．【解答】解：∵原命题是若a2+b2=0，则“a=0且b=0”∴否命题是“若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0”从而得到逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”故选D【点评】本题考查了原命题与逆否命题之间的关系，属于基础题．解题时应该注意含有逻辑词的条件的否定：“p且q”的否定是“非p或非q”．6. 已知等差数列{a n}中，a7+a9=4，则a8的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】直接由已知结合等差数列的性质求得a8的值．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a7+a9=4，∴由等差数列的性质可得：．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．7. “关于的不等式对于一切实数都成立”是“”的A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件参考答案：C8. 中，分别是角的对边，向量且=（）A．B．C．D．参考答案：A9. 已知i是虚数单位，则（）A． B． C． D．参考答案：B10. 是椭圆的两焦点，是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠的外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（）.A. 圆B. 椭圆C.双曲线D.抛物线参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. .已知其中是常数，计算=______________．参考答案：112. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 .参考答案：棱长为的正方体中挖去一个底面半径为高为的倒立的圆锥，它的体积为.13. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为；参考答案：0.12814. 已知随机变量所有的取值为，对应的概率依次为，若随机变量的方差，则的值是．参考答案：略15. 直线2x ﹣5y﹣10=0与坐标轴所围成的三角形面积是．参考答案：5【考点】两条直线的交点坐标．【分析】求出直线与坐标轴的交点，即可求解三角形的面积．【解答】解：直线2x﹣5y﹣10=0与坐标轴的交点坐标为（0，﹣2），（5，0），所以直线2x﹣5y﹣10=0与坐标轴所围成的三角形面积是： =5．故答案为：5．16. 已知过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，，则=_____．参考答案：2试题分析：焦点坐标，准线方程，由|AF|＝2可知点A到准线的距离为2，所以轴，考点：抛物线定义及直线与抛物线相交的弦长问题点评：抛物线定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，依据定义可实现两个距离的转化17. 已知椭圆方程为，则它的离心率是__________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期期末数学试题(解析版)
2020－2021学年度高二年级第一学期期末教学质量调研数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. αβ>是sin sin αβ>的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据既不充分又不必要条件的定义α、β取特殊角可排除得答案，【详解】取απ=，0β=，有sin sin 0αβ==，可知αβ>不是sin sin αβ>成立的充分条件， 取2πα=，2βπ=，有sin 1,sin 0αβ==，可知αβ>不是sin sin αβ>成立的必要条件．故选：D.【点睛】结论点睛：本题考查既不充分又不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 2. ()()5212x x +-的展开式中，2x 的系数为（ ） A. 70 B. 70-C. 120D. 120-【答案】A 【解析】 【分析】先展开555(2)(12)(12)2(12)x x x x x +-=-+-，再分别找5(12)x x -和52(12)x -中含2x 的项，求和即得到2x 的系数.【详解】555(2)(12)(12)2(12)x x x x x +-=-+- ，对于5(12)x x -中，含2x 的项为141251(2)10x C x x ⋅⨯⨯-=-， 对于52(12)x -中，含2x 的项为2322521(2)80C x x ⨯⨯-= ，所以，()()5212x x +-的展开式中含2x 的项为22280(10)70x x x +-=， 故2x 的系数为70． 故选：A ．3. 如图是容量为n 的样本的频率分布直方图，已知样本数据在[)14,18内的频数是6，则样本数据落在[)6,10的频数是（ ）A. 6B. 8C. 9D. 10【答案】B 【解析】 【分析】计算出n 的值以及样本数据落在[)6,10的频率，即可得解. 【详解】样本数据落在[)6,10内的频率为0.0840.32⨯=，样本数据落在[)14,18内的频率为()10.020.080.0940.24-++⨯=，6250.24n ∴==， 因此，样本数据落在[)6,10的频数为250.328⨯=.故选：B.4. 设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若//l α，//l β，则//αβ B. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥ C. 若αβ⊥，l α⊥，则//l β D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B 【解析】 【分析】利用线面平行的性质定理与面面垂直的判定定理与性质定理分别对每个选项判断.【详解】对A ，若//l α，//l β，则α与β相交或平行；对B ，若//l α，l β⊥，则αβ⊥；对C ，若αβ⊥，l α⊥，则//l β或l β⊂；对D ，若αβ⊥，//l α，则l 与β相交、平行或l β⊂；故选：B.5. 直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有（ ）个 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程与双曲线的方程联立，得出关于x 的方程，根据直线与双曲线只有一个公共点，求出对应的k 值，即可得解.【详解】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390k x k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得34k =±或2724250k k +-=，对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解. 显然34k =±不满足方程2724250k k +-=. 综上所述，k 的取值有4个. 故选：D.【点睛】方法点睛：将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．6. 已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为（ ）A.7B.21C.7D.21【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将点1B 到平面1A BC 的距离转化为点A 到平面1A BC 的距离，然后再利用等体积法11A A BC A ABC V V --=代入求解点A 到平面1A BC 的距离.【详解】已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，所以可得11==A B AC ，1A BC 为等腰三角形，所以1A BC 111--=B A BC A A BC V V ，所以点1B 到平面1A BC 的距离等于点A 到平面1A BC 的距离，所以11A A BC A ABC V V --=，又因为1122=⨯=A BC S △，122ABCS=⨯=，所以111233⨯⨯=⨯⨯A BC ABC S h S △△，即7h ==. 故选：A.【点睛】一般关于点到面的距离的计算，一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算平面的法向量，然后代入数量积的夹角公式计算即可，二是可以通过等体积法，通过换底换高代入利用体积相等计算.7. 琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排四节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡一定安排，且这两种乐器互不相邻的概率为（ ） A.1360B.16C.115D.715【答案】C 【解析】 【分析】先求得总可能性为410A 种，再求得满足题意的可能性为2283A A 种，代入公式，即可求得答案. 【详解】由题意得：10种乐器种任选4种，故总的可能性有410A 种， 琵琶、二胡一定安排且不相邻的可能性有2283A A 种，所以两种乐器互不相邻的概率2283410115A A P A ==. 故选：C8. 设1F ，2F 是椭圆22:13x y C m+=的两个焦点，若椭圆C 上存在点M 满足12120F MF ∠=︒，则m 的取值范围是（ ） A. [)3044⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,B. [)9044⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,C. [)30,12,4⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D. [)90124⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论焦点在x 轴与y 轴两种情况，由题意，写出222,,a b c ，利用160∠≥︒F MO ，在直角三角形中利用正切值列不等式求解m 的范围.【详解】由题意可知，若焦点在x 轴上，223,(0)==>a b m m ，则23=-c m ，椭圆C 上存在点M 满足12120F MF ∠=︒，如图所示，则160∠≥︒F MO ，即1tan tan 60∠=≥︒cF MO b，所以3≥c b ，即33-≥m m ，得34m ≤；若焦点在y 轴上，22,3(3)==>a m b m ，则23c m =-，则160∠≥︒F MO ，即1tan tan 60∠=≥︒cF MO b，所以3≥c b ，即39-≥m ，得12m ≥； 所以m 的取值范围是[)30,12,4⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知双曲线22:19x y C m m +=-的离心率3e = ）A. 3m =B. 双曲线C的渐近线方程为y = C. 双曲线C的实轴长等于 D. 双曲线C 的准线为1y =±【答案】ABC 【解析】【分析】根据双曲线的离心率公式求出m 的值，可判断A 选项的正误；利用双曲线的几何性质可判断BCD 的正误.【详解】对于A 选项，由于方程2219x y m m +=-表示双曲线，则()90m m -<，解得09m <<，所以，双曲线C 的标准方程为2219x y m m-=-，则a =b =，3c =，所以，c e a ===3m =，A 选项正确； 对于B 选项，a =b =，双曲线C 的渐近线方程为by x a=±=，B 选项正确； 对于C 选项，双曲线C 的实轴长为2a =，C 选项正确；对于D 选项，双曲线C 的渐近线方程为21a x c=±=±，D 选项错误.故选：ABC.10. 给出下列命题，其中正确命题为（ ）A. 投掷一枚均匀的硬币和均匀的骰子（形状为正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）各一次，记硬币正面向上为事件A ，骰子向上的点数是2为事件B ，则事件A 和事件B 同时发生的概率为112B. 以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3C .随机变量X 服从正态分布()21,N σ，()1.50.34P X >=，则()0.50.16P X <=D. 某选手射击三次，每次击中目标的概率均为12，且每次射击都是相互独立的，则该选手至少击中2次的概率为12【答案】ABD【解析】 【分析】分别计算事件A 和事件B 的概率可判断A ；根据对数的运算性质可判断B ；根据正态分布的性质可判断C ； 计算该选手击中2次的概率和3次都击中的概率可判断D. 【详解】对于A ，事件A 的概率为12，事件B 的概率为16，则事件A 和事件B 同时发生的概率为1112612⨯=，故A 正确；对于B ，因为e kx y c =，所以两边取对数得()ln ln eln kxy c c kx ==+，令ln z y =，可得ln z c kx =+，因为0.34z x =+，所以ln 4,0.3c k ==，所以4c e =，故B 正确； 对于C ， 随机变量X 服从正态分布()21,N σ，所以正态曲线关于1x =对称，则()()0.5 1.50.34P X P X <=>=，故C 错误；对于D ，由题意得，该选手1次未击中， 2次击中的概率为111332228⨯⨯⨯=，3次都击中的概率11112228⨯⨯=，则至少击中2次的概率为311882+=，故D 正确.故选：ABD.【点睛】考查了相互独立事件的概率、线性回归方程、正态分布问题，其中熟练掌握相关知识、性质、运算是解题的关键.11. 在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a ，b ，c ，π3A =，2a =，若满足条件的三角形有且只有一个，则边b 的可能取值为（ ） A. 1B.C. 2D. 3【答案】ABC 【解析】 【分析】作图，然后根据题意分析满足条件的三角形有且只有一个的情况有两种：a h =或a b ≥，即可求出b 的可能取值.【详解】如图所示，则sin h b A =，因为满足条件的三角形有且只有一个，所以sin ==a h b A 或者a b ≥，则b =2b ≤，则可知b 的可能取值为1，2.故选：ABC.【点睛】关于三角形解的个数问题，求解时一定要注意结合三角形的图分析，主要通过比较边长与高的大小关系来判断三角形解的个数.12. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11A C 上一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在M 点使得异面直线BM 与AC 所成角为75︒ B. 存在M 点使得二面角M BD C --为135︒的二面角 C. 直线1D M 与平面1AD C 6D. 当1114A M A C =时，平面BDM 截正方体所得的截面面积为94【答案】AC 【解析】 【分析】转化为异面直线BM 与AC 所成的角为直线BM 与11A C 所成角，考虑M 与1A 重合和M 为11A C 的中点时，直线BM 与AC 所成的角范围可判断A ；求出二面角M BD C --的平面角最大时即M 与1A 重合可判断B ；等体积转换求出M 点到平面1D AC 的距离，设直线1D M 与平面1AD C 所成的角为α，利用1sin hMD α=，考虑1MD 最小时可判断C ；作出平面BDM 截正方体所得的截面，为等腰梯形，求出梯形的面积可判断D. 【详解】对于A ，连接11BA BC AC 、、，在正方体1111ABCD A B C D -中，11A BC 为等边三角形，且11//AC AC ，所以异面直线BM 与AC 所成的角可转化为直线BM 与11A C 所成角， 当M 与1A 重合时，直线BM 与AC 所成的角最小，为60，当M 为11A C 的中点时，11BM AC ⊥，直线BM 与AC 所成的角最大，为90， 所以A 正确； 对于B ，当M 与1A 重合时，二面角M BD C --的平面角最大， 设BD AC 、交于点O ，所以BD AC ⊥， 连接1111AO AC A B A D 、、、，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，所以112A B A D BD ===所以1BD AO ⊥，所以1A OC ∠为二面角的平面角，且2132AO =， 1222OC ==2222113A C A A AB AD =++=， 由余弦定理得2221111313122cos 22326222A O OC A C A OC A O OC +-+-∠===>-⨯⨯⨯，所以1120AOC ∠<，所以B 错误； 对于C ，因为11//AC AC ，所以11111111136M ACD A ACD AA D V V S A B --==⨯=， 1213sin 602AD CSAC =⨯=，设M 点到平面1D AC 的距离为h ， 所以111136M ACD ACD V S h -=⨯=，解得3h =，设直线1D M 与平面1AD C 所成的角为α，则1133sin h MD MD α==，所以当1MD 最小时，sin α最大，α最大， 所以当111MD AC ⊥即M 为11A C 的中点时1MD 最小，此时122MD =时， 所以363sin 322α==，所以C 正确；对于D ，过M 作11//EF D B ，交11A B 于F ，交11A D 于E 点，因为1114A M A C =， 所以E F 、分别是11A D 、11A B 的中点，又11//B D BD ，所以//EF DB ， 四边形EFBD 即为平面BDM 截正方体所得的截面，因为112122E BF D ==，且221152BF DE BB B F ==+=， 所以四边形EFBD 是等腰梯形，作FG DB ⊥交BD 于G 点， 所以()1224BG BD EF =-=，22324FG FB BG =-=， 所以梯形的面积为()1928BD EF FG +⨯=，所以D 错误. 故选：AC.【点睛】本题考查了线线角、线面角、面面角的求法，综合性较强，对于角的求法，一般是先作出角，再证明，最后计算，考查了学生的空间想象力和计算能力.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求每一行、每一列上都有且只有1个紫色小方格（如图所示即满足要求）.则一共可以传递______种信息.（用数字作答）【答案】6 【解析】 【分析】由题意，分3步依次分析三行方格的可能情况数目，由分步计数原理计算可得答案 【详解】解：根据题意，分3步分析：第一步，在每行中，有且只有1个紫色小方格，有3 种情况，第二步，在第二行的3个方格中，要求每列上都有且只有一个紫色小方格，则第二行有2种情况， 第三步，在第三行，只有1种情况， 则有3216⨯⨯=种情况， 故答案为：614. 已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点()4,4M ，若点P 为椭圆C 上的一个动点，则1PM PF -的最小值为____________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知可以转化为124PM PF PM PF -=+-，然后由三点共线即两点之间线段最短可得答案. 【详解】由已知得222224,3,1a b c a b ===-=，2(1,0)F ， 因为2124PF PF a +==，所以124PF PF =-， 所以()12244PM PF PM PF PM PF -=--=+-， 所以当三点2M P F 、、共线时，24PM PF +-最小， 即2222443441PM PF MF +-=-=+-=. 故答案为：1.【点睛】本题考查了椭圆上的点到焦点和定点距离和的问题，解题关键是利用定义转化为两点之间线段最短的问题，考查了学生分析问题、解决问题的能力.15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A 、B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C 、D ，测得45m CD =，135ADB ∠=，15BDC DCA ∠=∠=，120ACB ∠=，则A 、B 两点的距离为______m .【答案】5【解析】 【分析】在BCD △中，利用正弦定理计算出BD ，分析出ACD △为等腰三角形，可求得AD ，然后在ABD △中，利用余弦定理可求得AB .【详解】在ACD △中，150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=，15DCA ∠=，15DAC ∴∠=，()45AD CD m ∴==，在BCD △中，15BDC ∠=，135BCD ACB ACD ∠=∠+∠=，30CBD ∴∠=，由正弦定理可得sin sin CD BDCBD BCD=∠∠，()245245212BD m ⨯∴==，在ABD △中，()45AD m =，()452BD m =，135ADB ∠=，由余弦定理可得22222cos 455AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠=⨯，因此，()455AB m =. 故答案为：455.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.16. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长均为2，其内有9个小球，球1O 与正方体1111ABCD A B C D -的六个面都相切，球2O ，3O ，4O ，5O ，6O ，7O ，8O ，9O 与正方体1111ABCD A B C D -三个面和球1O 都相切，则球1O 的体积等于__________，球2O 的表面积等于__________. 【答案】 (1). 43π(2). (28163π- 【解析】 【分析】根据球1O 与正方体的六个面都相切，可求得球1O 的半径1R ，即可求得其体积，根据题意，可得球2O 与球1O 的球心在一条直线上，且在对角线上，根据图象，结合三角形相似，可求得球2O 的半径2R ，即可求得答案.【详解】因为球1O 与正方体1111ABCD A B C D -的六个面都相切， 所以正方体棱长即为球1O 的直径，即11R =， 所以球1O 的体积314433V R ππ==. 因为其他8个球都与正方体三个面和球1O 都相切， 所以球2O 与球1O 的球心在一条直线上，且在对角线上，设球2O 的球心与在同一条对角线上最近的顶点距离为x ，如图所示，为正方体的一个对角面，即12A O x =，1111,3R AO =22113R R R ==①， 又123x OO +123x R R ++②， ①②联立解得2312331R -==+所以球2O 的表面积22244(23)(28163)S R πππ==⨯=-. 故答案为：43π；(28163π- 【点睛】解题的关键是根据题意，找到球2O 的球心位置，根据相似，求得其半径，两球外切，球心距离为两球半径之和，考查分析计算的能力，属中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 请从下列条件中选取一个条件补充在横线上，并解决你组成的问题： ①4c =，3ab ；②6b =，3π7sin 24B ⎛⎫-=-⎪⎝⎭；③2b =，5π12C =. 问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()()sin sin sin B cA b c AB a a=-++，且________.求：（1）a 的值； （2）ABC 的面积. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】由已知和正弦定理得222a b c bc =+-，由余弦定理得A ， 若选① （1）由sin sin a bA B=及3a b 得sin B ，结合B 为锐角可C ，再由正弦定理可得答案；（2）由面积公式可得答案. 若选②（1）由已知得cos B ，利用平方关系可得sin B ，再由正弦定理可得答案； （2）由面积公式可得答案. 若选③（1）由A B C π++=得B ，再由正弦定理可得答案； （2）由面积公式可得答案.【详解】∵A B C π++=∴()sin sin A B C +=，∵()()sin sin sin B b c cA AB a a-=++，∴()sin sin sin B b c cA C a a-=+，由正弦定理，得()2b bc c a a a-=+，∴222a b c bc =+-，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，∵()0,A π∈∴3A π=，若选① （1）由sin sin a bA B=及3a b ，得sin 1sin 322b A B a ==⨯=， ∵3a b ∴a b >∴A B >，∴B 为锐角，∴6B π=， 此时362C ππππ=--=，则sin 43a c π===（2）122ABCS =⨯⨯=. 若选②（1）∵3sin cos 2B B π⎛⎫-=-=⎪⎝⎭∴cos B =，∵()0,B π∈∴3sin 4B ==，∵sin sin a bA B=∴sin sin b A a B ==.（2）∵()3sin sin sin cos cos sin 8C A B A B A B =+=+=，∴ABC9113sin 62282Sab C ==⨯⨯=△.若选③（1）∵A B C π++=∴51234B ππππ=--=，∵sin sin a bA B =∴sin sin b A a B==（2）11sin 222ABC S ab C ===△【点睛】本题考查了利用余弦定理、面积公式解三角形，在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理，应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．18. 如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，点G 、E 分别在线段AO 和BC 上，2BE EC =，2AG GO =，2CA CB CD BD ====，AB AD ==（1）求证：//GE 平面ACD ； （2）求证：平面ABD ⊥平面BCD . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先依题意得到G 为ABD △的重心，即得到21BG BE GM EC ==，证得//GE MC ，再利用线面平行的判定定理即证结论；（2）先在ABD △中，证得AO BD ⊥，求得1AO =，在BCD △中，求得3OC =，结合勾股定理证得AO OC ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明AO ⊥平面BCD ，即证平面ABD ⊥平面BCD .【详解】证明：（1）连接BG 并延长，交AD 于M ，连接MC ，在ABD △中，O 为BD 中点，G 在AO 上，2AG GO =， ∴G 为ABD △的重心∴21BG GM =， 又21BE EC =∴BG BEGM EC=∴//GE MC ， ∵GE ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， ∴//GE 平面ACD ；（2）在ABD △中，O 为BD 中点，2BD =，2AB AD ==∴AO BD ⊥∴221AO AB BO =-=，在BCD △中，2BC CD BD ===，O 为BD 中点，连接OC ，则3OC =又2CA =，∴222OA OC CA +=，∴AO OC ⊥由AO OC ⊥，AO BD ⊥，OC BD O =，,OC BD ⊂平面BCD ，得AO ⊥平面BCD ， 又AO ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BCD . 【点睛】思路点睛：证明线面平行时运用线面平行的判定定理证得，或者利用面面平行的性质证得；证明线面垂直时，运用其判定定理需要证明一条直线与相交的两条直线垂直，当题目条件中给出长度时可以采用勾股定理逆定理证得线线垂直，或者运用面面垂直的性质定理证得线面垂直．19. 已知直线:1l y kx =+过抛物线()2:20E x py p =>的焦点，且与抛物线E 交于A 、B 两点，点M 为AB 中点.（1）求抛物线E 的方程；（2）以AB 为直径的圆与x 轴交于C 、D 两点，求MCD △面积取得最小值时直线l 的方程. 【答案】（1）24x y =；（2）1y =. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线E 的焦点坐标，将焦点坐标代入直线l 的方程，求出p 的值，即可求得抛物线E 的方程； （2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线l 与抛物线E 的方程，求出点M 的坐标，求出点M 到CD 的距离以及CD ，可得出MCD △的面积的表达式，利用函数的单调性可求得MCD △面积的最小值，进而可求得对应的直线l 的方程.【详解】（1）抛物线2:2E x py =的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭在:1l y kx =+上，12p ∴=，2p ∴=， 所以，抛物线E 的方程为24x y =； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以，212121616044k x x k x x ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩，则AB 中点()22,21Mk k +，()21241AB x k =-==+，所以，以AB 为直径的圆M 的半径()221r k=+，M 到CD 的距离221d k=+，CD ==((221221212MCD S k k ∴=⨯⨯+=+△，令()20k t t =≥，则(21MCDSt =+[)0,+∞单调递增.当0t =时，即0k =时，MCD Sl 的方程为1y =.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．20. 为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取50名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关； （2）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出9人，再从这9人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为X ，试求X 的分布列与数学期望. 参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）没有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（2）分布列见解析，()2E X =. 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据和题中信息可完善22⨯列联表，计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望值. 【详解】（1）22⨯列联表如下表所示：假设学生的学习成绩与使用手机无关，()22505102015258.33310.828203025253χ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以，没有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关； （2）9人中学习成绩优秀的人有209630⨯=人，学习成绩一般的有109330⨯=人，X 可能的取值有0、1、2、3，()3911084P X C ===，()1263393114C C P X C ===，()21633915228C C P X C ===，()363953?21C P X C ===. 所以，随机变量X 的分布列为()1232142821E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 21. 如图，在棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为平行四边形，4DD CD '==，2AD =，π3BAD ∠=，且D 在底面上的投影H 恰为CD 的中点.（1）求证：BC ⊥平面B D H ''； （2）求二面角C BH C '--的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）4π. 【解析】 【分析】（1）由棱柱ABCD A B C D ''''-可得四边形BDD B '为平行四边形，则有//BD B D ''，在ABD △中，利用余弦定理求出BD ，进而可得222AD BD AB +=，则AD BD ⊥，而//AD BC ，从而得BC B D ''⊥，由已知可得BC D H '⊥，进而利用线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面B D H ''；（2）以HC 所在直线为y 轴，'HD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，利用空间向量求解即可【详解】（1）∵棱柱ABCD A B C D ''''- ∴.四边形ABB A ''，ADD A ''为平行四边形 ∴//AA DD ''，AA DD ''=//AA BB ''，AA BB ''=∴//BB DD ''，BB DD ''= ∴四边形BDD B '为平行四边形. ∴//BD B D ''.在ABD △中，∵2AD =，4AB =，3BAD π∠=，∴2164224cos123BD π=+-⨯⨯⨯=∴222AD BD AB += ∴AD BD ⊥∵四边形ABCD 为平行四边形. ∴//AD BC ∴BC BD ⊥∴BC B D ''⊥ ∵D 在平面ABCD 上的投影为H ∴D H'⊥平面ABCD∴BC ⊂平面ABCD .∴BC D H '⊥ 又∵BC B D ''⊥D H B D D ''''⋂= ,D H B D '''⊂平面B D H ''∴BC ⊥平面B D H ''（2以HC 所在直线为y 轴，'HD 所在直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系H xyz - 则()0,0,0H ，)3,1,0B，()0,2,0C ，(0,4,23C '设()1,,n x y z =为平面C BH '的一个法向量则11304230n HB x y n HC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=⎩'+=⎪令1x =，则3y =2z =，则()11,3,2n =- 又()20,0,1n =为平面BHC 的一个法向量 ∴122cos ,n n =∵[]12,0,n n π∈ ∵12,4n n π=12,n n 与二面角C BH C '--所成平面角相等∴二面角C BH C '--的大小为4π【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查二面角的求法，解题的关键是由已知条件以以HC 所在直线为y 轴，'HD 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，利用空间向量求二面角的大小，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点是椭圆22:19x E y +=的左、右顶点，P 为直线6x =上的动点，PA 与椭圆E 的另一交点为Q ，当点P 不为点()6,0时，过P 作直线PH QB ⊥，垂足为H . （1）证明：直线PH 过定点M ；（2）过（1）中的定点M 作斜率为k 的直线与椭圆E 交于C ，D 两点，设直线AC ，AD 的斜率分别为1k ，2k ，试判断()12k k k ⋅+是否为定值？如果是定值，求出定值.【答案】（1）证明见解析；（2）是，定值为112-. 【解析】 【分析】（1）设()00 ,Q x y ，()()6,0P t t ≠，法一：根据椭圆方程求得19QA QB k k ⋅=-，根据9QA PA tk k ==，即可求得QB k ，根据PH QB ⊥，可求得PH k ，可得直线PH 的方程，即可得答案；法二：根据9AP QA t k k ==，可得直线AP 的方程，与椭圆联立，根据韦达定理，可得Q 点坐标，根据PH QB ⊥，可求得PH k ，可得直线PH 的方程，即可得答案；（2）设()11,C x y ，()22,D x y ，则直线CD 的方程为()5y k x =-，与椭圆联立，根据韦达定理，可得1212,x x x x +⋅表达式，即可得()12k k k ⋅+的表达式，化简整理，即可得答案.【详解】（1）法一：由题意得：(3,0),(3,0)A B -，设()00 ,Q x y ，()()6,0P t t ≠，则220019x y +=∴00001339QA QB y y k k x x ⋅=⋅=-+-，9QA PA t k k == ∴1QB k t=-∵PH QB ⊥，∴1PH QB k k ⋅=-，∴PH k t =，直线PH 的方程为()6y t t x -=-， 即()5y t x =-，所以过定点()5,0M ，法二：由题意得：(3,0),(3,0)A B -，设()00,Q x y ，()()6,0P t t ≠，9AP QA tk k ==∴直线AP 的方程为()39ty x =+， 由()223919t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()2222969810t x t x t +++-=. ∴20298139t x t --⋅=+，∴2022739t x t -=+，()0023699t y t t x +=+=， ∴2222736,99t t Q t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭，∴222619 27339QBtt k t tt +==---+.∵PH QB ⊥，∴1PH QB k k ⋅=-，∴PH k t =，∴PH 的方程为()6y t t x -=-，即()5y t x =-，所以过定点()5,0M（2）设()11,C x y ，()22,D x y ，则直线CD 的方程为()5y k x =-由()22519y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩.得()2222199022590k x k x k +-+-=， ∴22221222122(90)4(19)(2259)0901*******k k k k x x k k x x k ⎧⎪∆=--+->⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩∴()()()()()()()122121121222153533333x x x x y y k k k k k x x x x -++-+⎛⎫⋅+=⋅+= ⎪+⎭⋅+++⎝ ()()1212222121222304813957612x x x x k k x x x x k -⋅+--++⋅===-+为定值【点睛】解题的技巧为：根据椭圆方程可得19QA QB k k ⋅=-，根据QA PA k k =，可直接求得QB k ，简化计算，提高正确率，考查计算化简的能力，属中档题.。
江苏省如皋市2021-2022学年高二上学期期初调研模拟测试数学试题答案
−
2 3
AB)
=
1 2
AB·AD
−
2 3
2
AB
+
1 2
2
AD
−
2 3
AB·AD
=−
1 6
×
3
−
2 3
×
9
+
1 2
×
4
=−
9，
2
∴
cos
<
AC,EF
>=
AC⋅EF |AC|⋅|EF|
=−
3 57 38
.
∴
EF和AC夹角的余弦值为−
3 57．
38
19. 解：(1) ∵ (b − a)(sinB + sinA) = c( 3sinB − sinC)，
B
A
C
C
B
A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有项选错得 0 分.
题号
9
10
11
12
答案
CD
BD
BD
ACD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 3 4i
14. 1 3 24
∴由正弦定理可得：(b − a)(b + a) = c( 3b − c)，
即b2 + c2 − a2 = 3bc，
∴ cosA = b2+c2−a2 = 3bc = 3，
2bc
2bc 2
∵ 0 < A < π，
∴ A = π．
6
江苏省如皋中学2020~2021学年度第一学期第一次阶段考试 数学 (1)
江苏省如皋中学2020~2021学年度第一学期第一次阶段考试高一数学一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1. 若集合{}N x x x A ∈≤≤-=,21,集合{}3,2=B ,则B A 等于 ( )A. {}3,2,1,0,1-B.{}3,2,1,0C. {}3,2,1 D.{}22. 若命题p :012,2≤++∈∃x x R x ,则命题p 的否定为 ( )A .012,2>++∈∃x x R x B . 012,2<++∈∃x x R x C . 012,2≤++∈∀x x R x D .012,2>++∈∀x x R x 3. 若p :21<<x ,q :12>x ,则p 是q 的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．已知a ，b ，c ，d R ∈且满足a b >，c d >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．ac bd >B ．a c b d ->-C ．22ac bd >D ．a c b d +>+5. 设}1{},22{a x x B x x A <-=≥-=,若φ=B A ，则a 的取值范围为 （ ）A.1<aB.10≤<aC.1≤aD.30≤<a 6. 已知04:<-m x p ,22:≤≤-x q ,若p 是q 的一个必要不充分条件,则m 的 取值范围为 ( ) A . 8≥mB . 8>mC . 4>mD . 4-≥m7．2020年如皋中学阳光运动会，某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为( )A ．7B ．8C ．10D ．12 8．设m ，n 为正数，且2m n +=，则2312m n m n +++++的最小值为 ( ) A ．176B ．145 C ．114D ．83二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9．下列命题正确的是( )A ．存在032,02=--<x x x B ．对于一切实数0<x ，都有x x >C ．x x R x =∈∀2,D ．已知m b n a m n 3,2==，对于任意*∈N m n ,，m n b a ≠10．命题“0,312≤-≤≤∀a x x ”是真命题的一个充分不必要条件是( )A ．9≥aB ．11≥aC ．10≥aD ．10≤a11．下列命题为真命题的是( )BCDA ．若,0>>b a 则22bc ac >B ．若,0<<b a 则22b ab a >> C ．若,0>>b a 且0<c ，则22b c a c > D ．若b a >且ba 11>，则0<ab 12．已知函数)0(2>++=a b ax x y 有且只有一个零点，则( )A ．422≤-b a B ．412≥+ba C ．若不等式02<-+b ax x 的解集为),(21x x ，则021>x xD ．若不等式c b ax x <++2的解集为),(21x x ，且421=-x x ，则4=c三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13.已知0,0>>y x ，且13=+y x ，则xyyx +的最小值是________. 14．集合{}13,,2,12--=a a a M ，{}3,1-=N ，若M ∈3且M N ⊄，则a 的取值为________．15. 已知032:2<--x x p ，1:+<<m x m q ，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．16. 已知关于x 的不等式022>+-ax ax 在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共有6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.已知集合{}52≤≤-=x x A ，{}121-≤≤+=m x m x B ，若命题:p “A x B x ∈∈∀,”是真命题，求m 的取值范围．18. (1)求值：①340121)8()35(20)25(10)5001(-+-⨯+----；②2lg 20lg 5lg 8lg 325lg 22+⋅++； （2）已知41=+-x x ，求2323-+xx .19.已知b a ,均为正实数，且082=-+ab b a ，求b a +的最小值；(2)已知c b a ,,都为正实数，且0=++c b a 1.求证：10)1()1()1(≥+++++cc b b a a20. 已知集合{}21,3124≤+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=a a B a a aA ，}3{+≤<-=m x m x C （1）求B A ； （2）若)(C A C ⊆，求m 的取值范围.21.如皋中学为创建高品质高中，计划在校园内建造一个长方形文化展览区ABCD ，展览区由长方形1111D C B A 的展览馆和环展览馆人行道(阴影部分)组成．已知展览馆A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设展览馆的长和宽的比)1(1111>=x x C B B A ，写出文化展览区ABCD 所占 面积s 与x 的关系式；(2)要使文化展览区所占面积最小，则展览馆1111D C B A 的长和宽该如何设计？22.所以要使展览区所占面积最小，展览馆A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米． 若关于x 的不等式01)2(2≥+--+b x a ax 的解集是{}21≥-≤x x x 或. (1) 求实数b a ,的值.(2）若关于x 的不等式0)(2)3(2<+++-a c c x a c x 的解集为A ，不等式x x +<22的解集为B ，且B A ⊆，求实数c 的取值范围.江苏省如皋中学2020~2021学年度第一学期第一次阶段考试1. B2.D3.A4.D5.D6.B7.B8.B9.AB 10.BC 11.BCD 12.ABD13.14.4 15. 16.答案 [)8,0 17.已知集合{}52≤≤-=x x A ，{}121-≤≤+=m x m x B ，若命题:p “A x B x ∈∈∀,”是真命题，求m 的取值范围．解 由于命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题， 所以B ⊆A ，(1)B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.（2）φ=B ,121->+m m 得2<m 综上m 的取值范围是3≤m 。
江苏省南通市如皋中学2020_2021学年高二数学下学期第一次阶段考试试题
江苏省南通市如皋中学2020—2021学年高二数学下学期第一次阶段考试试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．若22(1)(32)xx x i-+++是纯虚数（i 为虚数单位),则实数x 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1±D 。
以上都不对 2．设集合,,M N P 均为R 的非空真子集，且,MN R MN P ==，则()R MC P =A ．MB ．NC ．R C MD ．R C N( ）3．欧拉恒等式：10i e π+=被数学家们惊叹为“上帝创造的等式"。
该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底e 、圆周率π、虚数单位i 、自然数1和0完美地结合在一起,它是在欧拉公式：cos sin ()i e i R θθθθ=+∈中,令θπ=得到的。
根据欧拉公式,4i e 在复平面内对应的点在 ( ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4。
“M N >"是“ln ln M N >"的（ ）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必要5．已知函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数()y f x =在(),1-∞-上是增函数B ．3x =是函数()y f x =的极小值点C ．()()35f f ''<D ．()()13f f -<6．已知函数()f x 在R 上满足2(2)2()44f x f x xx --=--+,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 ( ) A ．650x y --= B ．650x y -+= C ．210x y --= D ．210x y -+= 7．已知函数()2,()(1)xf x xeg x x a==-++，若12,x x R ∃∈使得21()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．[,)e -+∞ B ．[1,)-+∞ C 。