最新高中数学人教A版(课件)必修四第二章平面向量 2.2.1

示这两个向量的和
平行四边形法
则
①把两个已知向量的始点平移到同一点 ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形 ③对角线上以两向量公共始点为始点的向量就是这两个已知向量的和
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向量加法运算律的应用
(1)下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②A→B＋B→A＝0；③A→C＝D→C＋A→B＋B→D.
＋c，并求出其模的大小．
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【答案】
(1)B
→ (2)DA
→ CB
(3)根据平行四边形法则可知，a＋b＝A→B＋A→D＝A→C.
根据三角形法则，延长 AC，在 AC 的延长线上作C→E＝A→C，则 a＋b＋c＝A→C
＋A→C＝A→C＋C→E＝A→E(如图所示)．
所以|a＋b＋c|＝|A→E|＝2 12＋12＝2 2.
阶
阶
段
段
一
2.2 平面向量的线性运算
三
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
学
业
阶
分
段
层
二
测ห้องสมุดไป่ตู้
评
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1．理解向量的加法及其运算法则、运算律．(重点) 2．理解向量加法的几何意义．(难点) 3．数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)
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[基础·初探] 教材整理 1 向量加法的定义及其运算法则
【答案】 B
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我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)
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学业分层测评点击图标进入…
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B→C＝b，则向量A→C叫做 a 与 b 的和，记作__a_＋__b_，即 a
三角形法则
＋b＝A→B＋B→C＝__A→_C___
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教材整理 2 向量加法的运算律
阅读教材 P82～P83 例 2 以上内容，完成下列问题.
交换律
结合律
a＋b＝_b_＋__a__
(a＋b)＋c＝a＋_(_b_＋__c_)
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1．向量求和的注意点： (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用． (2)两个向量的和向量仍是一个向量． (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．
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2．利用向量的两种加法法则作图的方法：
法则
作法
①把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面三角形向量的始点与其前面向量的终点重合即用同一个字母来表示) 法则 ②由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表
阅读教材 P80～P81“例 1”以上内容，完成下列问题． 1．向量加法的定义定义：求_____两__个__向__量__和______的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量 a，规定0＋a＝a＋_0_＝__a_．
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2．向量求和的法则
已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作A→B＝a，
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向量加法的实际问题的解题步骤如下： (1)用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量； (2)利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和； (3)利用直角三角形知识解决问题．
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【解】 (1)如图所示，A→D表示船速，A→B表示水速．易知 AD⊥AB，以 AD，AB 为邻边作矩形 ABCD，则A→C表示船实际航行的速度． (2)在 Rt△ABC 中，|A→B|＝5，|B→C|＝5 3，所以|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2＝ 52＋（5 3）2＝ 100＝10.
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[小组合作型]
向量加法运算法则的应用 (1)化简A→E＋E→B＋B→C等于( )
A．A→B
B．A→C
C．C→E
D．B→E
(2)如图 2－2－1 所示，a＋d＝________，c＋b＝________. 图 2－2－1
(3)若正方形 ABCD 的边长为 1，A→B＝a，A→D＝b，A→C＝c.试作出向量 a＋b
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向量加法的实际应用
如图 2－2－3 所示，一架飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km 到达 B 地接到受伤人员，然后又从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km 送往 C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和. 【导学号：00680036】
图 2－2－3
→ 因为 tan∠CAB＝|B→C|＝ 3，所以∠CAB＝60°.
|AB| 因此，船实际航行的速度大小为 10 km/h，方向与江水的速度方向间的夹角为 60°.
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[探究共研型]
向量加法的多边形法则探究 1 在△ABC 中，若A→B＝a，B→C＝b，C→A＝c，那么 a＋b＋c＝0 一定成立吗？【提示】一定成立，因为在△ABC 中，由向量加法的三角形法则A→B＋B→C ＝A→C，所以A→B＋B→C＋C→A＝0，那么 a＋b＋c＝0.
A．②③
B．②
C．①
D．③
(2)设 A，B，C，D 是平面上任意四点，试化简：
①A→B＋C→D＋B→C；
②D→B＋A→C＋B→D＋C→A.
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向量加法运算律的意义和应用原则： (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
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三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据多边形法则作出向量的和向量．
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[构建·体系]
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1．化简O→P＋P→Q＋P→S＋S→P的结果等于( )
A．Q→P
B．O→Q
C．S→P
D．S→Q
【解析】 O→P＋P→Q＋P→S＋S→P＝O→Q＋0＝O→Q.

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说课课件第二章平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念

猫能捉住老鼠吗?
老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,而猫由B 向正东方向10m/s的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
嘻嘻!大笨猫！
C
唉, 哪儿去了?
A
B
猫的速度再快也没用，因为方向错了.
D
12
情景引入
南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?” 他却说“不要紧，我有一匹好马！”问：北方人能到达楚国吗？
4
重点难点
教学重难点
向量概念、向量的几何表示、以及相等向量、平行向量、共线向量的概念；
让学生感受向量、平行向量或共线向量及相等向量概念形成过程；
5
教学目标
01 知识技能 02 过程与方法
情感态度与价
03
值观
知识技能（1）理解平面向量的概念，学会平面向量的表示方法; （2）理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
a
b
l
c
C
OB A
平行向量也叫做共线向量！
22
设计意图——根据目标选择合适题型，检测学生本节课的学习情况。
23
小试牛刀
1.如图, D、E、F分别是△ABC各边上的中点,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示 A 的向量中，请分别写出：
（1）与向量 DE 相等的向量有__个, E
F
分别是___________；
（）
（6）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（）
（7）共线向量一定在同一直线上；
（）
25
课堂小结
向量的概念；向量的表示方法；零向量、单位向量概念；平行向量、共线向量定义；共线向量与平行向量关系；

高一数学人教A版必修四课件第二章平面向量2.1ppt版本

所以 D 地在 A 地的东南方向，距 A 地 1 000 2 km.
[归纳升华] (1)步骤
用有向线段表示向量的步骤及注意事项
(2)注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的不同；字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头.
2．在某军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从 A 处出发向西迂回了 100 km 到达 B 地，然后又改变方向向北走了 120 km 到达 C 地，最后又改变方向，向南偏东 45°突进 80 2 km 到达 D 处，完成了对蓝军的包围．
1．判断下列说法是否正确，不正确的说明理由： (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|＝|b|，若 a 与 b 的方向相同，则 a＝b； (4)由于 0 方向不确定，故 0 不与任意向量平行； (5)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反．
⑦×
单位向量的模均为 1，但方向不确定
⑧√
由A→B＝D→C，得 AB∥DC 且 AB＝DC
⑨√
零向量的模为零且方向不确定
⑩×
共线的向量，若起点不同，终点也可以相同
答案： ①⑧⑨
[归纳升华] 上述概念性问题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的表示形式，并不等同于向量；还有如单位向量，任何一个非零向量都有单位向量，单位向量只是从模的角度定义的，与方向无关
解析：序号正误
①√ ②× ③× ④× ⑤×
原因 |A→B|＝|B→A|＝AB 因为平行向量包括方向相同和相反两种情况向量可以用有向线段来表示，但不能把二者等同起来 0 是一个向量，而 0 是一个数量向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别

高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4

【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？问题2：共线向量怎样进行求和？问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示，首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.

高中数学必修四课件：第二章平面向量

专题突破
第二章章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
专题一有关向量的共线问题已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)．若ka＋2b与2a－4b
平行，求实数k的值． [分析] 本题考查两向量的共线问题，要求学生熟练掌握
两向量共线的条件．
第二章章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
[解析] ∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)， 2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)， ka＋2b与2a－4b平行， ∴(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0. 解得k＝－1.
→ OP
与
→ OQ
垂
直，求x的值．
第二章章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
∵
→ OP
＝(2cosx＋1,2cos2x＋2)，
→ OQ
＝(cosx，－
1)，
∴由两向量垂直的条件得cosx(2cosx＋1)－1×(2cos2x＋2)
＝0，
即2cos2x＋cosx－2(2cos2x－1)－2＝0.
数学 ·人教A版 · 必修4
[解析] 解法1：∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7. 即：|a－b|的范围是[1,7]．解法2：∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cosθ ＝25－24cosθ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]．∴|a－b|∈[1,7]．
[点拨] 本题易犯的三点错误： (1)求a＝2e1＋e2或b＝－3e1＋2e2的模时，错认为|a|＝ 22＋12 或|b|＝－32＋22 ，这是因为e1与e2不是互相垂直的单位向量，所以(2,1)或(－3,2)不是a或b的坐标，要将其转化成模的平方． (2)求点乘e1·e2时极易漏掉cosθ，应为e1·e2＝|e1||e2|cosθ(θ为e1与e2的夹角)．

人教A版必修四平面向量的正交分解及坐标表示课件

y
a xi y j y
a
A
OA xi y j
j
Oi x
x
2．点A的坐标与向量a 的坐标的关系？
两者相同
向量 a 一一对应坐标（x ，y）
人教A版必修四第二章平面向量的正交分解及坐标表示课件（共24 张PPT ）
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练习1:在同一直角坐标系内画出下列向量.
(1)a (1, 2)
(2)b (1, 3)
. 解：B(1,2) y 3
. 2
A(1, 2)
ba
o -1
1
x
几何画板演示
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Oi x
x
OA xi y j.
（演示）
结论：向量发生平移，对应系数不变
人教A版必修四第二章平面向量的正交分解及坐标表示课件（共24 张PPT ）
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这样，平面内的任一向量 a 都可由x，y唯一确定，我们把（x,y）叫做向量 a 的（直角）
有且只有一对实数x、y，可使
a xi y j.
人教A版必修四第二章平面向量的正交分解及坐标表示课件（共24 张PPT ）
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思考：
如图 OA a
a xi y j.
y
a
y

高一数学(人教A版)必修4精品课件：2-2-1 向量加法运算及其几何意义公开课一等奖课件

温故知新 1．向量的有关概念：
既有大小又有方向 (1)所谓向量是______________________ 的量，其三要素
始点，大小，方向．是____________________ 大小相等，方向相同，所谓共线 (2)相等向量应满足______________________ 方向相同或相反向量是指___________________ 的向量．
向量和的方法叫做向量加法的三角形和，记作a＋b.这种求________
法则．
第二章
2.2 2.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量 a、b(如图乙所 → → → → 示)，作AB＝a，AD＝b，则 A、B、D 三点不共线，以AB，AD为 → 邻边作平行四边形 ABCD，则向量 AC ＝a＋b，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
第二章
2.2 2.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
自主预习 1．向量的加法
和的运算，叫做向量的加法．两 (1)定义：求两个向量____ 向量．个向量的和仍然是一个______
(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a，b，在平 → → → 面内任取一点，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做向量a与b的
第二章
2.2 2.2.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
[拓展]①向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量．这个法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则实质就是三角形法则的连续应用． ②三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义． (4)规定：a＋0＝0＋a＝a. (5)结论：|a＋b|≤|a|＋|b|.

高中数学必修4第二章：平面向量2.2平面向量的线性运算

知识回顾
向量的表示：AB或a
有向线段
向量
向量的大小 (长度、模)
向量的方向
单位向量与零向量
相等向量与平行向量相反向量 (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量；向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
新课导入
大三通之前，由于大陆和台湾没有直航，因此要从台湾去上海探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？
解：(1)OA OC OB;
(2)BC FE AD;
E
D
FO
C
(3)OA FE 0.
A
B
(1)向量加法交换律： a b b a
D
a
C
b
b a+b
A
a
B
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c a (b c)
D
c
C
D
c
C
(a + b) + c
a+b
a + (b + c) b
b+c b
B
B
A
a
－c.
通法提炼两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行.例如，作a－b，可以先作－b，然后作a＋－b即可，也可以直接用向量减法的三角形法则，把两向量的起点重合，则差向量就是连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
如图，已知不共线的两个非零向量a，b，求作向量a－ b，b－a，－a－b.
2（2008安徽）若 AB (2,4), AC (1, 3),
则BC （ B ）
A.(1,1) C.(3,7)
B.(-1,-1) D.(-2,-4)

高中数学人教A版(课件)必修四第二章平面向量 2.2.2 .ppt

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[探究共研型]
向量减法的三角不等式及其取等条件
探究 1 若|A→B|＝8，|A→C|＝5，则|B→C|的取值范围是什么？【提示】由B→C＝B→A＋A→C及三角不等式，得|B→A|－|A→C|≤|B→A＋A→C|≤|B→A| ＋|A→C|，又因为|B→A|＝|A→B|＝8，所以 3≤|B→C|＝|B→A＋A→C|≤13，即|B→C|∈[3，13]．
综上所述，得不等式 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
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设 a 和 b 的长度均为 6，夹角为2π 3 ，则|a－b|等于________．
【精彩点拨】画出平行四边形数形结合求解．【自主解答】作O→A＝a，O→B＝b，则|a－b|＝|B→A|，在 Rt△BCO 中， ∠BOC＝π3 ，|B→O|＝6， ∴|B→C|＝3 3， ∴|a－b|＝|B→A|＝2|B→C|＝6 3. 【答案】 6 3
即
→ 0<|AC|<4.
【答案】 (1)D (2)①0 ②0 ③A→B (3)2 (0，4)
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1．向量加法与减法的几何意义的联系： (1)如图所示，平行四边形 ABCD 中，若A→B＝a，A→D＝b，则A→C＝a＋b，D→B ＝a－b.
(2)类比||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|可知||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
即|a＋b|与|a－b|是平行四边形的两条对角线的长度，又因为|a＋b|＝|a－b|，所以该四边形为矩形，从而|a－b|＝ 62＋82＝10.
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[构建·体系]
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高中数学必修四第2章平面向量课件 2.2.1 向量加法运算及其几何意义

③A→B＋A→D＋C→D＝________； ④A→C＋B→A＋D→A＝________. [思路探索] 首先观察各向量字母的排列顺序，再进行恰当的组合，利用向量加法法则运算求解．解 (1)C→D＋B→C＋A→B＝(A→B＋B→C)＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝(A→B＋B→C)＋(C→D＋D→F)＋FA ＝A→C＋C→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0.
(3)①A→D＋A→B＝A→C，
②C→D＋A→C＋D→O＝C→O＋A→C＝A→O，
③A→B＋A→D＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D，
④A→C＋B→A＋D→A＝D→C＋B→A＝0.
答案
→ (1)AD
(2)0
(3)①A→C
②A→O
③A→D
④0
[规律方法] (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0 写成0. (2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．
类型一向量的加法运算【例 1】化简或计算：(1)C→D＋B→C＋A→B＝________. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝________.
(3)在平行四边形 ABCD 中(如图)，对角线 AC、BD 交于点 O. 则①A→D＋A→B＝________； ②C→D＋A→C＋D→O＝________；
类型二利用向量证明几何问题【例 2】在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线及反向延长线上，取点 F、E，使 BE＝DF(如图)．用向量的方法证明：四边形 AECF 也是平行四边形．
[思路探索] 本题主要考查利用向量方法证明几何问题，只需证明一组对边对应的向量相等即可．

最新高中数学人教A版(课件)必修四 第二章 平面向量 2.2.1

说课课件第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念

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高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4

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高中数学必修4第二章：平面向量2.2平面向量的线性运算

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高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.2.1 向量加法运算及其几何意义

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