第二章-轴向拉伸与压缩-拉压静不定

B 3
D
1

A
2
C 例：图示1、2号杆的尺寸及材料都相同， 当结构温度由T1变到T2时,求各杆的温度 内力，各杆线膨胀系数分别为i 。
L2
L3
A1 N3
P L1
解：（1）平衡方程 Fx 0 N1 sin N 2 sin 0
F
y
0
N1 cos N 2 cos N 3 0
x 1 2
y
1
2
3
(2)变形几何方程
L1 L3 cos
N3 N1
(3)本构方程
N2
A1
N 3 L3 N1 L1 2 E3 A3 E1 A1 cos a
(4)联立求解
L3 A 1


L1
E1 A1 cos2 N1 N 2 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
三、拉压静不定问题举例
1.不同材料组成的组合杆件 变形特点：两种材料的伸长或缩短变形相同。
弹性模量为E1、横截面面积为A1的实心 圆杆与弹性模量为 E2 、横截面面积为 A2 的 圆筒用刚性板联接，如图a)所示。试求在F 力作用下圆杆和圆筒的应力。
解：受力分析如图，可知为一次静不定问题。 (1)平衡条件（平衡方程）
（5）求结构的许可载荷
N i Ai [ i ] (i 1, 2)
角钢面积由型钢表查得
A1=3.086cm2
P1 N1 / 0.07 A1 1 / 0.07 308.6 160 / 0.07 705.4kN
P2 N 2 / 0.72 A2 2 / 0.72 250 2 12 / 0.72 1042kN
拉压杆超静定问题
一.静定问题与静不定问题 约束反力及轴力都可以由 静力平衡方程求得，这类 问题称为静定问题. (statically determinate problem ) 凭静力平衡方程不能求 得约束反力或轴力，这 类问题称为静不定问题 (statically indeterminate problem) 判别方法： 未知力的数目 – 独立静力平衡方程式的数目 = 静不定次数
例：求三杆桁架内力。 杆长 L1=L2， L3 =L ； 面积 A1=A2=A，A3 弹性模量 E1=E2=E，E3
B
3 1
D
C
2

A P N1
解：(1)静力平衡方程
F
F
y
x
0
N1 sin N 2 sin 0
N1 cos N 2 cos N 3 P 0
N1 N 2 0
(2)变形几何方程
L LT LN 0
N2 a
（3）本构方程
LT 2aT ;
N1a N 2 a LN ( ) EA1 EA2
由变形和本构方程消除位移未知量
N1 N2 2T EA1 EA2
（4）联立求解得
N1 N2 33.3kN
拉压杆的刚度系数 EA ,刚度系数越大，杆件变形越小。 k 静不定结构中，杆件的内力与各杆的刚度系数间的比值有关。 l A C F B
l1
l2
B 3 1 D C 2
联立求解得

A
E1 A1 (1 3 cos )T N1 N 2 3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
2Leabharlann L2L3A1
L1
2 E1 A1 (1 3 cos )T cos N3 3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
如图示OB是刚体，AB杆制造误差为
变形几何方程
l AB 2lCD
4 .温度应力
(1)静不定结构中由于环境温度的改变而引起 的构件内的应力称为温度应力。 (2)两端固定的超静定杆件的变形协调条件： 杆件的总长度不变。
例：两端固定的等直杆，已知 A,E,线 膨胀系数为 ，求温度升高△T时的 温度应力。 力学方面
2
例 ：阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固 定,上下两段的面积为 =cm2 ， =cm2， 当温度升至T2=25℃时,求各杆的温度应力 6 弹性模量E=200GPa，线膨胀系数 =12.5×10 1 C
a
解:受力分析如图示，可知为一次静不定。
(1)平衡方程
a
N1
a
F
y
0
（5）温度应力
N1 1杆 66.7MPa A1
N2 2杆 33.3MPa A2
例 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角 钢和木材的许用应力分别为[]1=160M Pa,[]2=12MPa， 弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P
N3
0

A P
N2
(2)变形协调方程 B D C 2
L1 L3 cos
(3) 物理方程
3
1

A
N1 L1 L1 E1 A1
（4）补充方程
N 3 L3 L3 E3 A3
L2
L3
A1
L1
N1 L1 N 3 L3 cos E1 A1 E3 A3
（5）联立求解
1.结构由于制造误差或温度变化，有（ C ）。
A、静定结构中将引起应力和变形 B、静定或静不定结构中都引起应力和变形 C、静定结构中引起变形，静不定结构中引起应力 D、静定结构中引起应力，静不定结构中引起变形
2. AC和BC材料相同，面积不同，外力作用在连接界 面处，在外力不变的情况下，要使AC上轴力增加，错 误的方法有（ C ）。 A、 增加AC的横截面积 B、 减小BC的横截面积 C、 增加AC的长度 D、 增加BC的长度
二、解决静不定问题的方法和步骤
需要综合考虑物理、几何、平衡三个方面。 步骤： 1.选取研究对象进行受力分析，分析结构的未知力数和 独立平衡方程数，决定结构的静不定次数。(受力分析图) 2.列静力平衡方程 3.根据多余约束的特点，分析结构的变形协调条件，建 立变形几何方程。(变形几何方程) 4.将物理关系代入几何方程，得补充方程，和平衡方程 联立求解。 物理关系 静力平衡 变形协调条件 胡克定律 平衡方程 变形几何方程 补充方程 联立求解
（2）变形方程 L1 L3 cos
N2
N1

A P
（3）本构方程
N i Li Li T i Li E i Ai ( i 1, 2, 3)
由变形和本构方程消除位移未知量
N1L1 N 3 L3 T1L1 ( T3 L3 ) cos E1 A1 E3 A3
2
E1 A1P cos E3 A3 P N1 N 2 ; N3 3 2 E1 A1 cos E3 A3 2 E1 A1 cos3 E3 A3
图示桁架，1、2杆为铝杆，3杆为钢杆，预使3杆 的内力增大，正确的做法是( B ) (A)增大1、2两杆的横截面面积
B
3 1
D
P P P y 4N1 N2
解：(1)平衡方程
F
y
0
4 N1 N 2 P 0
L1 L2
(2)变形方程
(3)本构方程
N1L1 N 2 L2 L1 L2 E1 A1 E2 A2
P P
（4） 联立求解得
P y 4N1 N2
N1 0.07P ; N 2 0.72P
L2
A
2 E1 A1 cos3 N3 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
如果取 /L=0.001 ,E=200GPa, =30, 可知 1 = 2 =-65.2MPa,
3 =113MPa. 预应力钢筋混凝土构件就是利用装配应力来提高
构件承载能力的工程实例。
静不定结构中，由于制造误差而进行 强行装配引起的构件内的初应力，称为 装配应力。注：静定问题无装配应力； 静不定问题存在装配应力。(在荷载作用 前，构件内已经具有的应力。)
2
例：如图示，3号杆的尺寸误差为， 求各杆的装配内力。 解:(1)平衡方程

A1 A
3

F 0 N sin N sin 0 F 0 N cos N cos N 0
(2)变形谐调条件（谐调方程 ）
(3)物理条件 （物理方程）
式（b）代入式（a） 得补充方程 联立（1）和（2）式，解得圆杆和圆筒的轴力
圆杆和圆筒的应力 由内力结果可见，静不定问题中各杆的轴力与各杆抗 拉刚度的大小有关。这是不同于静定问题的一个重要特点。
2.超静定杆系 变形特点：杆系受力变形后，节点仍联接于一点。
变形方面
物理方面
补充方程 联立（1）（2）两式 温度应力
若此杆是钢杆，线膨胀系数 1.2 105 1 C ，弹性模量 E=210GPa,若温度升高40 ℃ ，则温度应力：
100.8MPa
可见，在温度变化较大的环境中工作的结构，温度应 力不容忽视。在工程中常考虑温度的影响，例在钢轨接头 处，在混凝土路面中，通常留有空隙；高温管道隔一段要 设一个弯道，就是用于调节因温度变化而产生的伸缩等。
C
2
(B)减小1、2两杆的横截面面积
(C)将1、2两杆改为钢杆

A P
(D)将3杆改为铝杆
提示：1.拉压杆的抗拉刚度为EA
2.E铝﹤E钢
越小。静不定结构中，杆件的内力与各杆的刚度系数间的比值 有关。
EA 3.拉压杆的刚度系数 k ,刚度系数越大，杆件变形 l
3、装配应力
B 1 A B 1 D 2 C C