2020年江苏省徐州市铜山区高二(上)期中数学试卷

期中数学试卷

题号一二三总分

得分

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）条件．

A. 必要不充分

B. 充分不必要

C. 既不充分也不必要

D. 充要

2.若数列的前4项分别是，则此数列一个通项公式为（）

A. B. C. D.

3.在等差数列{a n}中，若a3=2，a6=4，则等差数列{a n}的公差d=（）

A. B. 1 C. D.

4.已知等比数列{a n}中a4=27，q=-3，则a1=（）

A. 1

B. -1

C. 3

D. -3

5.已知，则y的最小值是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

6.已知命题p：x＞m，q：2+x-x2＜0，如果命题p是命题q的充分不必要条件，则实

数m的取值范围是（）

A. （-∞，-1]

B. （2，+∞）

C. [1，+∞）

D. [2，+∞）

7.在等比数列{a n}中，，，则a1=（）

A. 或6

B. 3

C. 或3

D. 6

8.设a，b，c为实数，且a＞b＞0，则下列不等式正确的是（）

A. a2＜ab

B. ac2＞bc2

C.

D.

9.我国古代用诗歌的形式提出一个数列问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，

共有三百八十一，试问塔顶几盏灯？”，请问塔顶一共（）盏灯．

A. 4

B. 3

C. 6

D. 2

10.观察下列一组数据

a1=1

a2=3+5

a3=7+9+11

a4=13+15+17+19

…

则a20从左到右第一个数是（）

A. 379

B. 383

C. 381

D. 377

11.等差数列{a n}中，S n为它的前n项和，若a1＞0，S20＞0，S21＜0，则当n＝（）

时，S n最大

A. 8

B. 9

C. 10

D. 11

12.设函数f（x）=，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前n项和的方法，

求得f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（4）+f（5）的值为（）

A. 9

B. 11

C.

D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.命题“?x＞0，2x-1＜0．”的否定是______．

14.不等式2x2-kx+k＞0对于任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围是______．

15.已知数列{a n}首项为a1=1，且，则数列的前n项和为

______．

16.已知正数a，b满足a+b=2，则的最大值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.解下列不等式：

（1）（1-x）（x+2）＞-4

（2）

18.已知等差数列{a n}前n项和为S n，且S2=-18，S11=0．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）若，求证：数列{b n}是等差数列．

19.已知数列{a n}的前n项和S n，且满足：S n=2a n-1，n∈N*．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）若b n=2n+1，求数列{a n?b n}的前n项和T n．

20.某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为C

（x），当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场

分析，该厂生产的商品能全部售完．

（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式．

（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

21.设函数f（x）=ax2+（b-2）x+3，（a≠0）

（1）若不等式f（x）＞0的解集为（-3，1），求a，b的值；

（2）若b=-a，求不等式f（x）≤1的解集．

22.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=n2-2n+1，数列{b n}中，b1=，对任意

正整数．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）是否存在实数μ，使得数列{3n?b n+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；

（3）求数列{b n}前n项和为T n．

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：当a∈R时，a＞1?a2＞1；而a2＞1不能推出a＞1，也可能a＜-1．

∴“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件．

故选：B．

由a＞1?a2＞1，而a2＞1不能推出a＞1，则答案可求．

本题考查充分必要条件的判定，是基础题．

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了数列通项公式的写法，主要用观察法，考查归纳推理，属于基础题．

根据数列的前四项是，找规律，奇数项为负数，偶数项为正数，分子都是

1，分母是项数加1，即可写出通项公式．

【解答】

解：由数列的前四项是，

归纳推理得；

故选：A．

3.【答案】C

【解析】解：∵在等差数列{a n}中，a3=2，a6=4，

∴等差数列{a n}的公差d===．

故选：C．

利用等差数列的通项公式直接求解．

本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4.【答案】B

【解析】解：等比数列{a n}中，a4=27，q=-3，

则a1===-1．

故选：B．

根据等比数列的通项公式计算即可．

本题考查了等比数列的定义与性质应用问题，是基础题．

5.【答案】C

【解析】解：=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号．

则y的最小值是3．

故选：C．

变形利用基本不等式的性质即可得出．

本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6.【答案】D

【解析】解：命题p：x＞m，q：2+x-x2＜0，

∵命题p是命题q的充分不必要条件，

∴p能推出q，q推不出p．

由题知：q：2+x-x2＜0，解得：x＞2或x＜-1．

则：m≥2．

故选：D．

求解一元二次不等式化简q，再由命题p是命题q的充分不必要条件转化为两集合间的关系求解．

本题考查了充要条件、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，是基础题．7.【答案】A

【解析】解：由，，得：

得a1=或6．

故选：A．

将，建立关于a1，q的方程组求解，解方程组即可求出结果

本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，熟练掌握公式，同时要注意运算的正确性，属于基础题．

8.【答案】D

【解析】解：因为a，b，c为实数，且a＞b＞0，

所以取a=2，b=1，可排除A，B，C．

故选：D．

根据a＞b＞0，取a=2，b=1可用排除法得到正确选项．

本题考查了不等式的基本性质，属基础题．

9.【答案】B

【解析】解：由题设知七层塔中，各层塔上灯的个数成等比数列，且公比q=2，

设塔顶有x盏灯，则=381，解得x=3．

故选：B．

设塔顶有x盏灯，由等比数列的求和公式可得=381，解方程可得结果．

本题考查等比数列的前n项和，从实际问题中抽象出数列问题是解决本题的关键，属基础题．

10.【答案】C

【解析】解：依题意，前从a1到a19共有=190个数字，

所以a20从左到右第一个数是第191个奇数，

第n个奇数为2n-1，

所以第191个奇数为2×191-1=381．

故选：C．

先计算前19行数字的个数，进而可得a20从左到右第一个数．

本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．属于中档题．

11.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了等差数列的性质和前n项和应用问题，是基础题．

根据等差数列的前n项和公式与项的性质，得出a10＞0，且a11＜0，由此判断数列{a n}的前10项和最大．

【解答】

解：等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S20＞0，S21＜0，

所以

即a10+a11＞0，并且a11＜0，

所以a10＞0，

所以数列{a n}的前10项和最大．

故选：C．

12.【答案】B

【解析】解：函数f（x）=，可得f（-x）==，

则f（x）+f（-x）==2，

设s=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（4）+f（5），

则s=f（5）+f（4）+…+f（0）+…+f（-4）+f（-5），

相加可得2s=[f（-5）+f（5）]+[f（-4）+f（4）]+…+2f（0）+…+[f（4）+f（-4）]+[f（5）+f（-5）]

=2+2+…+2+…+2+2=2×11，

可得s=11．

故选：B．

由题意求得f（x）+f（-x）=2，设s=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（4）+f（5），则s=f（5）+f（4）+…+f（0）+…+f（-4）+f（-5），两式相加，计算可得所求和．

本题考查函数的值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得f（x）+f（-x）=2是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．

13.【答案】?x＞0，2x-1≥0

【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为?x＞0，2x-1≥0，

故答案为：?x＞0，2x-1≥0．

根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

14.【答案】0＜k＜8

【解析】解：2x2-kx+k＞0对于任意的实数x恒成立，

∴二次函数y=2x2-kx+k的图象恒在x轴上方，

∴△=k2-4×2×k＜0，

即k2-8k＜0，

∴0＜k＜8，

故答案为：0＜k＜8．

本题是一道二次不等式恒成立问题，可以转化为对应的二次函数的图象恒在x轴上方，则判别式△＜0求解．

本题是二次不等式恒成立问题，x的范围是R，我们还可以变式将x的范围进行适当的限制，然后用分类讨论的方法或分离参数的方法求解．

15.【答案】

【解析】解：a1=1，且，

可得a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n-a n-1）

=1+2+3+…+n=n（n+1），

则==2（-），

可得数列的前n项和为2（1-+-+…+-）

=2（1-）=．

故答案为：．

由数列的恒等式：a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n-a n-1），结合已知递推式，结合等

差数列的求和公式，可得a n，求得==2（-），再由数列的裂项相消求和，

可得所求和．

本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的恒等式，考查数列的裂项相消求和，同时考查等差数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．

16.【答案】

【解析】解：正数a，b满足a+b=2，∴（a+1）+（b+2）=5．

则=+=2-（+）．

∵+=[（a+1）+（b+2）]（+）=（2++）≥（2+2）=，当且仅当a+1=b+2=，解得a=，b=时取等号．

∴=2-（+）≤2-=．

∴的最大值为．

故答案为：．

正数a，b满足a+b=2，变形为（a+1）+（b+2）=5．变形=+=2-

（+），再利用基本不等式的性质即可得出．

本题考查了基本不等式的性质、变形方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.【答案】解：（1）原不等式可化为x2+x-6＜0，所以原不等式的解集为{x|-3＜x＜2}；

（2）原不等式可化为，

等价于，

所以原不等式的解集为{x|x≤-4或x＞3}．

【解析】（1）原不等式可化为x2+x-6＜0，然后按一元二次不等式的解法解即可；

（2）原不等式可化为，该不等式又等价于，然后解不等式组

即可．

考查一元二次不等式和分式不等式的解法．

18.【答案】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，

可得，

∴a n=2n-12．

（2），

，从而b n+1-b n=1（常数）．

所以数列{b n}是等差数列．

【解析】（1）设出数列的公差，利用已知条件列出方程组求解首项与公差，即可得到通项公式．

（2）求出等差数列的和，化简，然后求解数列的和即可．

本题考查数列求和数列的递推关系式的应用，考查转化首项以及计算能力．

19.【答案】解：（1）依题意：当n=1时，有：S1=2a1-1，又S1=a1，故a1=1，

由S n=2a n-1①当n≥2时，有S n-1=2a n-1-1②，

①②得：S n-S n-1=a n=2a n-2a n-1化简得：a n=2a n-1，

∴{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，

∴．

（2），

，

，

=

，

．

【解析】（1）求出数列的首项，推出{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．

（2）利用错位相减法，求解数列的和即可．

本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力．20.【答案】解：（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：

当0＜x＜80时，L（x）=（0.05×1 000x）--250=-x2+40x-200．

当x≥80时，L（x）=（0.05×1 000x）-（）-200

=1200-．

所以，

（2）当0＜x＜80时，L（x）=-（x-60）2+1000．

此时，当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=1000万元．

当x≥80时，L（x）=1250-≤1250-2

=1250-200=1 050．

此时x=，即x=100时，L（x）取得最大值1 050万元．

由于1000＜1050，

答：当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，

最大利润为1050万元．

【解析】（1）利用已知条件通过当0＜x＜80时，当x≥80时，列出L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式．

（2）利用分段函数分段求解函数的最值即可．

本题考查分段函数的应用，实际问题的处理方法，二次函数以及基本不等式的应用，是基本知识的考查．

21.【答案】解：（1）由不等式f（x）＞0的解集为（-3，1）可得：方程ax2+（b-2）x+3=0的两根为-3，1且a＜0

由根与系数的关系可得：解得：．

（2）当b=-a，不等式f（x）≤1即ax2-（a+2）x+2≤0，（a≠0）．

即（ax-2）（x-1）≤0，（a≠0）．

①a＜0时，不等式可化为，，所以．

②a＞0时，原不等式可化为．

∴当0＜a＜2时，，所以．

当a=2时，原不等式可化为（x-1）2≤0，所以x=1．

当a＞2时，，所以．

综上：当a＜0时，原不等式的解集为．

当0＜a＜2时，原不等式的解集为．

当a=2时，原不等式的解集为{x|x=1}．

当a＞2时，原不等式的解集为．

【解析】（1）一元二次不等式解集为（-3，1），则-3，1即为方程ax2+（b-2）x+3=0的两实根，由根与系数的关系可得a，b的值．

（2）当b=-a，不等式f（x）≤1即ax2-（a+2）x+2≤0，（a≠0）．即（ax-2）（x-1）≤0，（a≠0）．先看二次项系数，分a＜0，a＞0两种情况；

当a＞0时，再比较两个根为1和的大小关系，分别求出解集即可．

本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，含参数的一元二次不等式的解法，注意数形结合和分类讨论的思想方法的运用，属于中档题．

22.【答案】解：（1）S n=n2-2n+1，

当n=1时，a1=S1=0；

当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2-2n+1-（n-1）2-2（n-1）-1=2n-3，

则a n=；

（2）假设存在实数μ，使得数列{3n?b n+μ}是等比数列，

数列{b n}中，b1=，对任意正整数．

可得b1=，且3?3n-1?b n-1+3n?b n=1，

由假设可得3n?b n+μ=-3（3n-1?b n-1+μ），

则-4μ=1，可得μ=-，

可得存在实数μ=-，使得数列{3n?b n+μ}是公比q=-3的等比数列；

（3）由（2）可得3n?b n-=（3b1-）?（-3）n-1=?（-3）n-1，

则b n=?（）n+?（-1）n-1，

则前n项和T n=[++…+?（）n]+（-+…+?（-1）n-1]，

当n为偶数时，T n=+0=（1-）；

当n为奇数时，T n=+=（1-）+=-，

则T n=．

【解析】（1）由数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n-S n-1，计算可得所求通项公式；

（2）假设存在实数μ，使得数列{3n?b n+μ}是等比数列，求得b1，再由任意正整数

，构造等比数列{3n?b n+μ}，解方程可得μ，即可判断存在性；（3）由等比数列的通项公式可得b n=?（）n+?（-1）n-1，再由数列的分组求和，结

合等比数列的求和公式，讨论n为奇数或偶数，即可得到所求和．

本题考查数列的递推式的运用：求通项公式，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查分类讨论思想和构造数列法，考查化简运算能力，属于中档题．