2020年江苏省徐州市铜山区高二(上)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）条件．A. 必要不充分B. 充分不必要C. 既不充分也不必要D. 充要2.若数列的前4项分别是，则此数列一个通项公式为（）A. B. C. D.3.在等差数列{a n}中，若a3=2，a6=4，则等差数列{a n}的公差d=（）A. B. 1 C. D.4.已知等比数列{a n}中a4=27，q=-3，则a1=（）A. 1B. -1C. 3D. -35.已知，则y的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 46.已知命题p：x＞m，q：2+x-x2＜0，如果命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A. （-∞，-1]B. （2，+∞）C. [1，+∞）D. [2，+∞）7.在等比数列{a n}中，，，则a1=（）A. 或6B. 3C. 或3D. 68.设a，b，c为实数，且a＞b＞0，则下列不等式正确的是（）A. a2＜abB. ac2＞bc2C.D.9.我国古代用诗歌的形式提出一个数列问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共有三百八十一，试问塔顶几盏灯？”，请问塔顶一共（）盏灯．A. 4B. 3C. 6D. 210.观察下列一组数据a1=1a2=3+5a3=7+9+11a4=13+15+17+19…则a20从左到右第一个数是（）A. 379B. 383C. 381D. 37711.等差数列{a n}中，S n为它的前n项和，若a1＞0，S20＞0，S21＜0，则当n＝（）时，S n最大A. 8B. 9C. 10D. 1112.设函数f（x）=，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前n项和的方法，求得f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（4）+f（5）的值为（）A. 9B. 11C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“∃x＞0，2x-1＜0．”的否定是______．14.不等式2x2-kx+k＞0对于任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围是______．15.已知数列{a n}首项为a1=1，且，则数列的前n项和为______．16.已知正数a，b满足a+b=2，则的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解下列不等式：（1）（1-x）（x+2）＞-4（2）18.已知等差数列{a n}前n项和为S n，且S2=-18，S11=0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求证：数列{b n}是等差数列．19.已知数列{a n}的前n项和S n，且满足：S n=2a n-1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2n+1，求数列{a n•b n}的前n项和T n．20.某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式．（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21.设函数f（x）=ax2+（b-2）x+3，（a≠0）（1）若不等式f（x）＞0的解集为（-3，1），求a，b的值；（2）若b=-a，求不等式f（x）≤1的解集．22.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=n2-2n+1，数列{b n}中，b1=，对任意正整数．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数μ，使得数列{3n•b n+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；（3）求数列{b n}前n项和为T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：当a∈R时，a＞1⇒a2＞1；而a2＞1不能推出a＞1，也可能a＜-1．∴“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件．故选：B．由a＞1⇒a2＞1，而a2＞1不能推出a＞1，则答案可求．本题考查充分必要条件的判定，是基础题．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了数列通项公式的写法，主要用观察法，考查归纳推理，属于基础题．根据数列的前四项是，找规律，奇数项为负数，偶数项为正数，分子都是1，分母是项数加1，即可写出通项公式．【解答】解：由数列的前四项是，归纳推理得；故选：A．3.【答案】C【解析】解：∵在等差数列{a n}中，a3=2，a6=4，∴等差数列{a n}的公差d===．故选：C．利用等差数列的通项公式直接求解．本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：等比数列{a n}中，a4=27，q=-3，则a1===-1．故选：B．根据等比数列的通项公式计算即可．本题考查了等比数列的定义与性质应用问题，是基础题．5.【答案】C【解析】解：=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号．则y的最小值是3．故选：C．变形利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：命题p：x＞m，q：2+x-x2＜0，∵命题p是命题q的充分不必要条件，∴p能推出q，q推不出p．由题知：q：2+x-x2＜0，解得：x＞2或x＜-1．则：m≥2．故选：D．求解一元二次不等式化简q，再由命题p是命题q的充分不必要条件转化为两集合间的关系求解．本题考查了充要条件、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，是基础题．7.【答案】A【解析】解：由，，得：得a1=或6．故选：A．将，建立关于a1，q的方程组求解，解方程组即可求出结果本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，熟练掌握公式，同时要注意运算的正确性，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：因为a，b，c为实数，且a＞b＞0，所以取a=2，b=1，可排除A，B，C．故选：D．根据a＞b＞0，取a=2，b=1可用排除法得到正确选项．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．9.【答案】B【解析】解：由题设知七层塔中，各层塔上灯的个数成等比数列，且公比q=2，设塔顶有x盏灯，则=381，解得x=3．故选：B．设塔顶有x盏灯，由等比数列的求和公式可得=381，解方程可得结果．本题考查等比数列的前n项和，从实际问题中抽象出数列问题是解决本题的关键，属基础题．10.【答案】C【解析】解：依题意，前从a1到a19共有=190个数字，所以a20从左到右第一个数是第191个奇数，第n个奇数为2n-1，所以第191个奇数为2×191-1=381．故选：C．先计算前19行数字的个数，进而可得a20从左到右第一个数．本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．属于中档题．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的性质和前n项和应用问题，是基础题．根据等差数列的前n项和公式与项的性质，得出a10＞0，且a11＜0，由此判断数列{a n}的前10项和最大．【解答】解：等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S20＞0，S21＜0，所以即a10+a11＞0，并且a11＜0，所以a10＞0，所以数列{a n}的前10项和最大．故选：C．12.【答案】B【解析】解：函数f（x）=，可得f（-x）==，则f（x）+f（-x）==2，设s=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（4）+f（5），则s=f（5）+f（4）+…+f（0）+…+f（-4）+f（-5），相加可得2s=[f（-5）+f（5）]+[f（-4）+f（4）]+…+2f（0）+…+[f（4）+f（-4）]+[f（5）+f（-5）]=2+2+…+2+…+2+2=2×11，可得s=11．故选：B．由题意求得f（x）+f（-x）=2，设s=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（4）+f（5），则s=f（5）+f（4）+…+f（0）+…+f（-4）+f（-5），两式相加，计算可得所求和．本题考查函数的值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得f（x）+f（-x）=2是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．13.【答案】∀x＞0，2x-1≥0【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x＞0，2x-1≥0，故答案为：∀x＞0，2x-1≥0．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14.【答案】0＜k＜8【解析】解：2x2-kx+k＞0对于任意的实数x恒成立，∴二次函数y=2x2-kx+k的图象恒在x轴上方，∴△=k2-4×2×k＜0，即k2-8k＜0，∴0＜k＜8，故答案为：0＜k＜8．本题是一道二次不等式恒成立问题，可以转化为对应的二次函数的图象恒在x轴上方，则判别式△＜0求解．本题是二次不等式恒成立问题，x的范围是R，我们还可以变式将x的范围进行适当的限制，然后用分类讨论的方法或分离参数的方法求解．15.【答案】【解析】解：a1=1，且，可得a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n-a n-1）=1+2+3+…+n=n（n+1），则==2（-），可得数列的前n项和为2（1-+-+…+-）=2（1-）=．故答案为：．由数列的恒等式：a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n-a n-1），结合已知递推式，结合等差数列的求和公式，可得a n，求得==2（-），再由数列的裂项相消求和，可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的恒等式，考查数列的裂项相消求和，同时考查等差数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：正数a，b满足a+b=2，∴（a+1）+（b+2）=5．则=+=2-（+）．∵+=[（a+1）+（b+2）]（+）=（2++）≥（2+2）=，当且仅当a+1=b+2=，解得a=，b=时取等号．∴=2-（+）≤2-=．∴的最大值为．故答案为：．正数a，b满足a+b=2，变形为（a+1）+（b+2）=5．变形=+=2-（+），再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质、变形方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.【答案】解：（1）原不等式可化为x2+x-6＜0，所以原不等式的解集为{x|-3＜x＜2}；（2）原不等式可化为，等价于，所以原不等式的解集为{x|x≤-4或x＞3}．【解析】（1）原不等式可化为x2+x-6＜0，然后按一元二次不等式的解法解即可；（2）原不等式可化为，该不等式又等价于，然后解不等式组即可．考查一元二次不等式和分式不等式的解法．18.【答案】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，可得，∴a n=2n-12．（2），，从而b n+1-b n=1（常数）．所以数列{b n}是等差数列．【解析】（1）设出数列的公差，利用已知条件列出方程组求解首项与公差，即可得到通项公式．（2）求出等差数列的和，化简，然后求解数列的和即可．本题考查数列求和数列的递推关系式的应用，考查转化首项以及计算能力．19.【答案】解：（1）依题意：当n=1时，有：S1=2a1-1，又S1=a1，故a1=1，由S n=2a n-1①当n≥2时，有S n-1=2a n-1-1②，①②得：S n-S n-1=a n=2a n-2a n-1化简得：a n=2a n-1，∴{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴．（2），，，=，．【解析】（1）求出数列的首项，推出{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．（2）利用错位相减法，求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力．20.【答案】解：（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：当0＜x＜80时，L（x）=（0.05×1 000x）--250=-x2+40x-200．当x≥80时，L（x）=（0.05×1 000x）-（）-200=1200-．所以，（2）当0＜x＜80时，L（x）=-（x-60）2+1000．此时，当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=1000万元．当x≥80时，L（x）=1250-≤1250-2=1250-200=1 050．此时x=，即x=100时，L（x）取得最大值1 050万元．由于1000＜1050，答：当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1050万元．【解析】（1）利用已知条件通过当0＜x＜80时，当x≥80时，列出L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式．（2）利用分段函数分段求解函数的最值即可．本题考查分段函数的应用，实际问题的处理方法，二次函数以及基本不等式的应用，是基本知识的考查．21.【答案】解：（1）由不等式f（x）＞0的解集为（-3，1）可得：方程ax2+（b-2）x+3=0的两根为-3，1且a＜0由根与系数的关系可得：解得：．（2）当b=-a，不等式f（x）≤1即ax2-（a+2）x+2≤0，（a≠0）．即（ax-2）（x-1）≤0，（a≠0）．①a＜0时，不等式可化为，，所以．②a＞0时，原不等式可化为．∴当0＜a＜2时，，所以．当a=2时，原不等式可化为（x-1）2≤0，所以x=1．当a＞2时，，所以．综上：当a＜0时，原不等式的解集为．当0＜a＜2时，原不等式的解集为．当a=2时，原不等式的解集为{x|x=1}．当a＞2时，原不等式的解集为．【解析】（1）一元二次不等式解集为（-3，1），则-3，1即为方程ax2+（b-2）x+3=0的两实根，由根与系数的关系可得a，b的值．（2）当b=-a，不等式f（x）≤1即ax2-（a+2）x+2≤0，（a≠0）．即（ax-2）（x-1）≤0，（a≠0）．先看二次项系数，分a＜0，a＞0两种情况；当a＞0时，再比较两个根为1和的大小关系，分别求出解集即可．本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，含参数的一元二次不等式的解法，注意数形结合和分类讨论的思想方法的运用，属于中档题．22.【答案】解：（1）S n=n2-2n+1，当n=1时，a1=S1=0；当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2-2n+1-（n-1）2-2（n-1）-1=2n-3，则a n=；（2）假设存在实数μ，使得数列{3n•b n+μ}是等比数列，数列{b n}中，b1=，对任意正整数．可得b1=，且3•3n-1•b n-1+3n•b n=1，由假设可得3n•b n+μ=-3（3n-1•b n-1+μ），则-4μ=1，可得μ=-，可得存在实数μ=-，使得数列{3n•b n+μ}是公比q=-3的等比数列；（3）由（2）可得3n•b n-=（3b1-）•（-3）n-1=•（-3）n-1，则b n=•（）n+•（-1）n-1，则前n项和T n=[++…+•（）n]+（-+…+•（-1）n-1]，当n为偶数时，T n=+0=（1-）；当n为奇数时，T n=+=（1-）+=-，则T n =．【解析】（1）由数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n-S n-1，计算可得所求通项公式；（2）假设存在实数μ，使得数列{3n•b n+μ}是等比数列，求得b1，再由任意正整数，构造等比数列{3n•b n+μ}，解方程可得μ，即可判断存在性；（3）由等比数列的通项公式可得b n =•（）n +•（-1）n-1，再由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，讨论n为奇数或偶数，即可得到所求和．本题考查数列的递推式的运用：求通项公式，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查分类讨论思想和构造数列法，考查化简运算能力，属于中档题．第11页，共11页。