2021年1月北京市各区初二上学期期末数学汇编—新定义压轴题(学生版)
2021年1月北京市各区初二上学期期末数学汇编--新定义压轴题
（学生版）
1.（2021.01-海淀-期末）25．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 为过点(0)M m ，且与x 轴
垂直的直线．对某图形上的点()P a b ，作如下变换：当b m ≥时，作出点P 关于直线l 的对称点1P ，称为I()m 变换；当b m <时，作出点P 关于x 轴的对称点2P
，称为II()m 变换．若某个图形上既有点作了I()m 变换，又有点作了II()m 变换，我们就称该图形为-m 双变换图形．
例如，已知(13)A ，
，(21)B -，，如图1所示，当2m =时，点A 应作I(2)变换，变换后1A 的坐标是(33)，；点B 作II(2)变换，变换后1B 的坐标是(21)，．
请解决下面的问题：
（1）当0m =时，
①已知点P 的坐标是(11)-，
，则点P 作相应变换后的点的坐标是________；②若点()P a b ，作相应变换后的点的坐标为(12)-，，求点P 的坐标；
（2）已知点(15)C -，，(42)D -，，
①若线段CD 是-m 双变换图形，则m 的取值范围是_________________；
②已知点()E m m ，在第一象限，若CDE 及其内部（点E 除外）组成的图形是-m 双变换图形，且变换后所得图形记为G ，直接写出所有图形G 所覆盖的区域的面积．
图1备用图
2.（2021.01-西城-期末）
附加题：
4.（2021.01-东城-期末）28.(7分)如图,在平面直角坐标系xoy中,直线l经过点M(3,0),且平行于y轴.给出如下定义：
点P（x，y）先关于y轴对称得点1P，再将点1P关于直线l对称得点P'，则称点P'是点P 关于y轴和直线l的二次反射点．
A B C的
(1)已知A(-4,0),B(-2,0),C(-3,1),则它们关于y轴和直线l的二次反射点',','
坐标分别是____________________；
(2)若点D的坐标是(a,0),其中a<0,点D关于y轴和直线l的二次反射点是点D'，求线段DD'的长；
(3)已知点E（4，0），点F（6，0），以线段EF为边在x轴上方作正方形EFGH中，若点P(a,1), Q(a+1,1)关于y轴和直线l的二次反射点为P'，Q'，且线段P Q''与正方形EFGH的边有公共点，求a的取值范围．
5.（2021.01-朝阳-期末）26．在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继
续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当AB ＞AC 时，∠C ＞∠B ．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：
（1）在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线．
①如图1，若AB =AC ，则∠BAD =∠CAD ；
②如图2，若AB ≠AC ，当AB ＞AC 时，
∠
BAD ∠CAD ．（填“>”，“<”，“=”）
证明：∵AD 是BC 边上的高线，
∴∠ADB =∠ADC =90°．
∴∠BAD =90°-∠B ，∠CAD =90°-∠C ．
∵AB ＞AC ，
∴
（在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD ∠CAD ．
（2）在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线．
①如图1，若AB =AC ，则∠BAD =∠CAD ；
②如图3，若AB ≠AC ，当AB ＞AC 时，
∠BAD
∠CAD ．（填“>”，“<”，“=”）
证明：图1图2图3
26．如果实数a，b满足a b ab
-=的形式，那么a和b就是“智慧数”，用(),a b表示．
如：由于
22
22
33
-=⨯，所以
2
2,
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
是“智慧数”．
（1）下列是“智慧数”的是（填序号）；
① 1.2
-和6，②9
2和3-，③
1
2-和1-．
（2）如果()
3,☆是“智慧数”，那么“☆”的值为；
（3）如果()
,x y是“智慧数”，
①y与x之间的关系式为y=；
②当x＞0时，y的取值范围是；
③在②的条件下，y随x的增大而（填“增大”，“减小”或“不变”）．
9.（2021.01-大兴-期末）25.如图，在平面内取一个定点O，自O引一条射线O x，设M
是平面内一点，点O与点M的距离为m（m＞0）,以射线O x为始边,射线OM为终边的∠x OM 的度数为x°（x≥0）.那么我们规定用有序数对（m，x°）表示点M在平面内的位置，并记为M（m，x°）.
例如，在右图中，如果OG=4，∠x OG=120°，那么点G在平面内的位置记为G（4，120°）.
(1)如图，如果点N在平面内的位置记为N（6，35°），那么ON=;
xON
=°；
（2）如图，点A,点B在射线O x上，点A，B在平面内的位置分别
记为(a,0°）,(2a,0°),点A,E,C在同一条直线上.且OE=BC.用等式
表示∠OEA与∠ACB之间的数量关系，并证明.。
北京市东城区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题含答案
北京市东城区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在第32届夏季奥林匹克运动会（即2020年东京奥运会）上，中国健儿勇于挑战，超越自我，生动诠释了奥林匹克精神和中华体育精神，共获得38金32银18铜的骄人战绩．在下列的运动标识中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．肥皂属于碱性，碱性会破坏细菌的内部结构，对去除细菌有很强的效果，用肥皂洗手对预防传染疾病起到很重要的作用．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0000007m ，将数字0.0000007用科学记数法表示应为（ ）A ．6710-⨯B ．60.710-⨯C ．7710-⨯D ．70.710-⨯ 3．下列各式计算正确的是（ ）A ．248a a a +=B ．()44422ab a b = C ．()248a a = D ．824a a a ÷= 4．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．()2111x x x x -+=-+B ．()2x y x xy x +=+C ．()()22x y x y x y +-=-D ．()2222x xy y x y -+=- 5．下列分式中是最简分式的是（ ）A ．269x x B ．22x y x y ++ C ．2442x x x +++ D ．211x x -- 6．如图，BD 是ABC 的角平分线，∥DE BC ，交AB 于点E ．若30A ∠=︒，50BDC ∠=︒，则BDE ∠的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．50°7．如图，90A D ∠=∠=︒，AC ，BD 相交于点O ．添加一个条件，不一定能使ABC ≌DCB 的是（ ）A ．AB DC =B ．OB OC = C ．ABO DCO ∠=∠D ．ABC DCB ∠=∠8．如图，在ABE △中，AE 的垂直平分线MN 交BE 于点C ，连接AC ．若AB AC =，5CE =，6BC =，则ABC 的周长等于（ ）A ．11B ．16C ．17D ．189．若()()23mx x x n +--的运算结果中不含2x 项和常数项，则m ，n 的值分别为（ ）A ．0m =，0n =B ．0m =，3n =C ．3m =，1n =D ．3m =，0n =10．如图，在≌ABC 中，AB 的垂直平分线EF 分别交AB 、AC 边于点E 、F ，点K 为EF 上一动点，则BK +CK 的最小值是以下条线段的长度（ ）A．EF B．AB C．AC D．BC 二、填空题11．分解因式：24a b b-=_______．12．当x______时，分式12x-有意义.13．212-⎛⎫=⎪⎝⎭___．14．若一个正多边形的每一个外角都等于60︒，则这个正多边形的边数为______________．15．如图，点B、D、E、C在一条直线上，若△ABD≌△ACE，BC=12，BD=3，则DE的长为________．16．如图，BD，CE是等边三角形ABC的中线，BD，CE交于点F，则BFC∠=______°．17．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释一个等式是______．18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点C 在直线l 上．点P 从点A 出发，在三角形边上沿A C B →→的路径向终点B 运动；点Q 从B 点出发，在三角形边上沿B C A →→的路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于点E ，QF l ⊥于点F ，则点P 的运动时间等于_____秒时，PEC 与CFQ 全等．三、解答题19．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC <．分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于D ，E 两点，直线DE 交BC 于点F ，连接AF ．以点A 为圆心，AF 为半径画弧，交BC 延长线于点H ，连接AH ．(1)使用直尺和圆规完成作图过程（保留作图痕迹）；(2)通过作图过程，可以发现直线DE 是线段AB 的______，AFH 是______三角形；(3)若4BC =，则AFH 的周长为______．20．计算：()232622a a a a a ⋅-+÷． 21．（1）已知：2320m m +-=，求代数式()()()22213m m m +-++的值．（2）先化简22221211x x x x x x x+÷-++++，然后选一个合适的x 值代入，求出代数式的值． 22．解分式方程：42155x x x+=--． 23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 是第一、三象限的角平分线．已知ABC 的三个顶点坐标分别为()3,1A ，()4,3B ，()6,0C ．(1)若ABC 与A B C '''关于y 轴对称，画出A B C '''；(2)若在直线l 上存在点P ，使ABP △的周长最小，则点P 的坐标为______．24．如图，AD 是ABC 的高，CE 是ADC 的角平分线．若BAD ECD ∠=∠，70B ∠=︒，求CAD ∠的度数．25．如图，在四边形ABCD 中，E 是CB 上一点，分别延长AE ，DC 相交于点F ，AB CF =，CEA B F ∠=∠+∠．(1)求证：EAB F ∠=∠；(2)若10BC =，求BE 的长．26．列方程解应用题：2021年9月23日，我国迎来第四个中国农民丰收节．在庆祝活动中记者了解到：某种粮大户2020年所种粮食总产量约150吨．在强农惠农富农政策的支持下，2021年该农户种粮积极性不断提高，他不仅扩大耕地面积，而且亩产量也大幅提高，因此取得大丰收．已知他2021年比2020年增加20亩耕地，亩产量是2020年的1.2倍，总产量约216吨，那么2020年该农户所种粮食的亩产量约为多少吨？27．在等腰ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上的一个动点（点D 不与点B ，C 重合），连接AD ，作等腰ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，点D ，E 在直线AC 两旁，连接CE ．(1)如图1，当90BAC ∠=︒时，直接写出BC 与CE 的位置关系；(2)如图2，当090BAC ︒<∠<︒时，过点A 作AF CE ⊥于点F ，请你在图2中补全图形，用等式表示线段BD ，CD ，2EF 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，将点(),M x y 到x 轴和y 轴的距离的较大值定义为点M 的“相对轴距”，记为()d M ．即：如果x y ≥，那么()d M x =；如果x y <，那么()d M y =．例如：点()1,2M 的“相对轴距”()2d M =．(1)点()2,1P -的“相对轴距”()d P =______；(2)请在图1中画出“相对轴距”与点()2,1P -的“相对轴距”相等的点组成的图形；(3)已知点()1,1A ，()2,3B ，()3,2C ，点M ，N 是ABC 内部（含边界）的任意两点．≌直接写出点M 与点N 的“相对轴距”之比()()d M d N 的取值范围； ≌将ABC 向左平移()0k k >个单位得到A B C '''，点M '与点N '为A B C '''内部（含边界）的任意两点，并且点M '与点N '的“相对轴距”之比()()d M d N ''的取值范围和点M 与点N 的“相对轴距”之比()()d M d N 的取值范围相同，请直接写出k 的取值范围．参考答案：1．A【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：A．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．2．C【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此即可得到答案.【详解】解：0.0000007=7×10−7.故选C.【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1⩽|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．C【解析】【分析】根据合并同类项、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则逐项判断解答即可．【详解】解：A 、a 2、a 4不是同类项，不能合并计算，此选项错误，不符合题意；B 、()4444442126ab a b a b ==，此选项错误，不符合题意；C 、()248a a =，此选项正确，符合题意；D 、82826a a a a -÷==，此选项错误，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答的关键．4．D【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式逐项判断即可．【详解】解： A 选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；B 选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；C 选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；D 选项的右边是积的形式，是因式分解，故符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查因式分解，熟知因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解答的关键．5．B【解析】【分析】根据最简分式的定义逐一判定即可解答.【详解】解:A.26293x xx=,故A不是;B.22x yx y++,B是最简分式;C.2442x xx+++=2x+, 故C不是;D.211xx--=x+1, 故D不是故答案为:B【点睛】本题考查最简分式，约分，解的关键是正确理解最简分式的定义，本题属于基础题型．6．B【解析】【分析】由外角的性质可得≌ABD＝20°，由角平分线的性质可得≌DBC＝20°，由平行线的性质即可求解.【详解】解：（1）≌≌A＝30°，≌BDC＝50°，≌BDC＝≌A＋≌ABD，≌≌ABD＝≌BDC−≌A＝50°−30°＝20°，≌BD是△ABC的角平分线，≌≌DBC＝≌ABD＝20°，≌DE≌BC，≌≌EDB=≌DBC＝20°，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活应用这些性质解决问题是解决本题的关键．7．C【解析】【分析】直接利用直角三角形全等的判定定理（HL定理）即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得ACB DBC∠=∠，再根据三角形全等的判定定理（AAS定理）即可判断选项B；直接利用三角形全等的判定定理（AAS 定理）即可判断选项D ，由此即可得出答案．【详解】解：当添加条件是AB DC =时，在Rt ABC 和Rt DCB △中，AB DC BC CB =⎧⎨=⎩， ()Rt ABC Rt DCB HL ∴≅，则选项A 不符题意；当添加条件是OB OC =时，ACB DBC ∴∠=∠，在ABC 和DCB 中，90A D ACB DBC BC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DCB A AA BC S ∴≅，则选项B 不符题意；当添加条件是ABC DCB ∠=∠时，在ABC 和DCB 中，90A D ABC DCB BC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DCB A AA BC S ∴≅，则选项D 不符题意；当添加条件是ABO DCO ∠=∠时，不一定能使ABC DCB ≅，则选项C 符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．8．B【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到CA =CE ，所以AB =AC =5，据此可计算出ABC ∆的周长．【详解】解：MN 垂直平分AE ，5CE =5AC CE ∴==，AB AC =，5AB =，6BC =，ABC ∴∆的周长=AB +AC +BC =5+5+6=16，故选：B ．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9．D【解析】【分析】直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出m ，n 的值；【详解】解: ()()23mx x x n +--=322333mx mx mnx x x n --+--=()()32333mx m x mn x n +--+-≌结果中不含2x 项和常数项≌3-m =0，3n =0≌3m =，0n =故答案为D【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．10．C【解析】【分析】连接AK ，根据垂直平分线的性质可得AK BK =，进而可得BK +CK 的最小值是AC 的长．【详解】如图，连接AK ，EF是AB的垂直平分线AK BK∴=∴BK+CK AK CK AC=+≥A K C三点共线时，BK+CK取得最小值，当,,则BK+CK的最小值是AC的长．故选C【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．11．b（a+2）（a-2）【解析】【分析】先提取公因式b，再利用平方差公式因式分解即可.【详解】()()()22a b b b a b a a-=-=+-.4422故答案为：b（a+2）（a-2）.【点睛】本题主要考查因式分解，解此题的关键在于熟练掌握提取公因式法与平方差公式. 12．≠2【解析】【详解】试题分析：分式有意义的条件：分式的分母不为0时，分式才有意义.由题意得，．考点：分式有意义的条件点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握分式有意义的条件，即可完成. 13．4【解析】【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．【详解】解：212-⎛⎫= ⎪⎝⎭4故答案为：4．【点睛】本题考查了负整数指数幂的知识，属于基础题，掌握其运算法则是解题关键．14．6【解析】【分析】多边形的外角和为360°，而多边形的每一个外角都等于60°，由此做除法得出多边形的边数．【详解】解：≌360°÷60°=6，≌这个多边形为六边形，故答案为：6．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，关键是明确多边形的外角和为360°．15．6【解析】【分析】根据全等三角形的性质计算即可；【详解】≌△ABD≌△ACE，≌BD CE =，≌BC =12，BD =3，≌12336DE BC BD EC =-----=；故答案为：6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，准确计算是解题的关键．16．120【解析】【分析】 等边三角形中线与角平分线合一，有1302DBC ABC ∠=∠=︒，1302ECB ACB ∠=∠=︒，由180BFC DBC ECB ∠=︒-∠-∠可求得结果．【详解】解：≌ABC 是等边三角形≌60ABC ACB ∠=∠=︒≌BD ，CE 是等边三角形ABC 的中线 ≌11303022DBC ABC ECB ACB ∠=∠=︒∠=∠=︒， 又≌180BFC DBC ECB ∠=︒-∠-∠≌1803030120BFC ∠=︒-︒-︒=︒故答案为：120︒．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，角度的计算．解题的关键在于熟练利用等边三角形三线合一的性质．17．()()2111x x x -=+-【解析】【分析】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．【详解】解：由图可知，图1的面积为：x 2−12，图2的面积为：（x＋1）（x−1），所以x2−1＝（x＋1）（x−1）．故答案为：x2−1＝（x＋1）（x−1）．【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．18．2或143或12【解析】【分析】根据全等三角形的性质可得CP=CO，然后分不同情况求解关于t的方程即可．【详解】解：≌≌PEC≌≌CFQ≌PC=CQ分以下五种情况：≌如图1，P在AC上，Q在BC上，≌PE≌l，QF≌1，≌≌PEC=≌QFC=90°，≌≌ACB=90°，≌≌EPC+≌PCE=90°，≌PCE+≌QCF=90°，≌≌EPC=≌OCF，要使≌PEC≌≌CFQ，则需PC=CQ，≌PC=6-t,CQ=8-2t，≌6-t =8-2t，解得：t=2；≌如图2，P在BC上，Q在AC上，≌PC=t-6,CQ=2t-8，≌t-6 =2t-8，解得：t=2；≌如图3:当P、Q都在AC上时，≌CP=6-t,CQ=2t-8，≌6-t=2t-8，解得：t=143；≌当Q到A点停止，P在BC上时，PC=AC=6，QC=t-6≌6=t-6，解得：t=12；≌P和2都在BC上的情况不存在≌P的速度是每秒1个单位每秒，Q的速度是2个单位每秒，≌P和Q都在BC上的情况不存在．故答案为: 2或143或12．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理以及分类讨论思想成为解答本题的关键．19．(1)见解析(2)垂直平分线；等腰(3)8【解析】【分析】（1）根据题意直接作图即可；（2）根据（1）的作图过程可得DE垂直平分AB，由以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH，可得AF=AH，即可判定AFH的形状；（3）利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC,最后根据三角形的周长公式解答即可．(1)解：作图如下所示：(2)解：由（1）的作图过程可知，DE 垂直平分AB 且AF =AH ，即≌AFH 是等腰三角形． 故答案为：垂直平分线，等腰．(3)解：由（1）基本作图方法得出：DE 垂直平分AB≌ AF ＝BF ，≌AF ＝AH ，AC ≌FH ，≌FC ＝CH ，≌AF ＋FC ＝BF ＋FC ＝AH ＋CH ＝BC ＝4≌≌AFH 的周长为：AF ＋FC ＋CH ＋AH ＝2BC ＝8．【点睛】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，运用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得到AF ＋FC ＝BF ＋FC ＝AH ＋CH ＝BC 是解答本题关键．20．42a【解析】【分析】原式根据同底数幂的乘法、幂的乘方和单项式除以单项式的运算法则计算出各项后再合并即可．【详解】解：()232622a a a a a ⋅-+÷ 4442a a a =-+42a =．【点睛】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．21．（1）13；（2）()221x x +，1 【解析】【分析】(1)通过2320m m +-=得出232m m +=,化简原式,将232m m +=代入即可．(2)化简原式,选择合适的值代入即可．【详解】（1）解：()()()22213m m m +-++22224269397m m m m m m m =-+-+++=++． ≌2320m m +-=，≌232m m +=．≌原式13=．（2）解：()()222222*********x x x x x x x x x x x x x +++÷-=⋅-++++++ ()()()22222111x x x x x x x x +=-=+++． ≌0x ≠且1x ≠-，≌取1x =代入上式，原式1=．【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．13x = 【解析】【分析】观察可得最简公分母是（x −5），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：去分母，得542x x -+=-．化简，得31x =． 解得13x =．检验：把13x=代入最简公分母50x-≠．所以13x=是原分式方程的解．【点睛】此题考查了分式方程的求解方法．注意掌握转化思想的应用，注意分式方程需检验．23．(1)见解析(2)()3,3【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征，先得到A、B、C关于y轴对称的对应点A'、B'、C'的坐标，然后在坐标系中描出A'、B'、C'三点，最后顺次连接A'、B'、C'三点即可得到答案；（2）作B关于直线l的对称点B''，连接AB''与直线l交于点P，点P即为所求．(1)解：如图所示，A B C'''即为所求；(2)解：如图所示，作B关于直线l的对称点B''，连接AB''与直线l交于点P，点P即为所求，由图可知点P的坐标为（3，3）．【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，关于y 轴对称的点的坐标特征，轴对称—最短路径问题，熟知相关知识是解题的关键．24．50︒【解析】【分析】AD 是ABC 的高，有90ADB ADC ∠=∠=︒；由70B ∠=︒知20BAD ∠=︒；CE 是ADC 的角平分线可得12ECD ACD ∠=∠；20BAD ECD ∠=∠=︒，40ACD ∠=︒；在ACD △中，904050CAD ∠=︒-︒=︒．【详解】解：≌AD 是ABC 的高≌90ADB ADC ∠=∠=︒≌70B ∠=︒≌20BAD ∠=︒≌CE 是ADC 的角平分线 ≌12ECD ACD ∠=∠ ≌20BAD ECD ∠=∠=︒≌40ACD ∠=︒≌在ACD △中，904050CAD ∠=︒-︒=︒．本题考查了角平分线．解题的关键在于正确表示各角度之间的数量关系．25．(1)见解析(2)5BE =【解析】【分析】(1)利用CEA ∠是ABE △的外角,以及CEA B F ∠=∠+∠证明即可．(2)证明ABE △≌FCE △,可知BE CE =,从而得出答案．(1)证明：≌CEA ∠是ABE △的外角，≌CEA B EAB ∠=∠+∠．又≌CEA B F ∠=∠+∠，≌EAB F ∠=∠．(2)解：在ABE △和FCE △中，AB FC EAB F AEB FEC =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，≌ABE △≌FCE △．≌BE CE =．≌10BC =，≌5BE =．【点睛】本题考查了三角形的外角以及三角形全等的性质和判定,掌握三角形全等的性质和判定是解题的关键．26．约为1.5吨【解析】设2020年所种粮食的亩产量约为x 吨，则2021年所种粮食的亩产量约为1.2x 吨，根据“2021年比2020年增加20亩耕地”列出方程即可．【详解】解：设2020年所种粮食的亩产量约为x 吨，则2021年所种粮食的亩产量约为1.2x 吨 由题意，得15021620 1.2x x+=．解得 1.5x =． 经检验， 1.5x =是原分式方程的解，且符合实际．答：2020年该农户所种粮食的亩产量约为1.5吨．【点睛】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，注意分式方程要检验．27．(1)BC CE ⊥(2)2CD BD EF -=或2BD CD EF -=，见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件求出≌B =≌ACB =45°，证明≌BAD ≌≌CAE ，得到≌ACE =≌B =45°，求出≌BCE =≌ACB +≌ACE =90°，即可得到结论BC CE ⊥；（2）根据题意作图即可，证明ABD △≌ACE ．得到BD CE =，B ACE ∠=∠，ADB AEC ∠=∠，推出ACB ACE ∠=∠．延长EF 到点G ，使FG EF =，证明ADC ≌AGC ，推出CD CG =．由此得到2CD BD EF -=．同理可证2BD CD EF -=．(1)解：90BAC ∠=︒，AB AC =，≌≌B =≌ACB =45°，≌DAE BAC ∠=∠，≌DAE DAC BAC DAC ∠-∠=∠-∠，即≌BAD =≌CAE ，≌AB AC =，AD AE =，≌≌BAD ≌≌CAE ，≌≌ACE =≌B =45°，≌≌BCE =≌ACB +≌ACE =90°，≌BC CE ⊥；(2)解：如图，补全图形；2CD BD EF -=．证明：≌BAC DAE ∠=∠，≌BAD CAE ∠=∠．又≌AB AC =，AD AE =，≌ABD △≌ACE ．≌BD CE =，B ACE ∠=∠，ADB AEC ∠=∠．≌AB AC =，≌B ACB ∠=∠．≌ACB ACE ∠=∠．延长EF 到点G ，使FG EF =．≌AF CE ⊥，≌AE AG =．≌AEG G ∠=∠．≌ADB AEC ∠=∠，≌ADC AEG ∠=∠．≌ADC G ∠=∠．≌AC AC =，≌ADC ≌AGC ．≌CD CG =．≌2CG CE EF -=，≌2CD BD EF -=．如图，同理可证2BD CD EF -=．．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定及性质是解题的关键．掌握分类思想解题是难点．28．(1)2；(2)见详解； (3)≌()()133d M d N ≤≤；≌02k <≤ 【解析】【分析】（1）根据题意正确写出答案即可；（2）根据题意画出图形即可；（3）≌正确画出图形，根据题意分别求出()d M ，()d N 的最大值和最小值，代入()()d M d N 即可求解；≌根据题意确定点'(1,1)A k -在两点（-1，1），（1，1）确定的线段上运动，列不等式111k -≤-≤即可求解．(1) 解：点(),M x y 到x 轴和y 轴的距离的较大值定义为点M 的“相对轴距”，点()2,1P - ∴ ()d P = 2；(2)解：()2,1P -的“相对轴距”是2，∴与点()2,1P -的“相对轴距”相等的点的横纵坐标的最大值为2，依题意得到的图形是正方形，如图，(3)解：≌如图，当点在三角形边界上时，有最大的“相对轴距”和最小的“相对轴距”，∴ 当d(M)取小值，()d N 取最大值时，()()d M d N 有最小值，这时点M 与点A 重合，点N 与点B 重合，()d M 的最小值为1，()d N 的最大值为3时，()()d M d N 的最小值为13， 当d(M)取最大值，()d N 取最小值时，()()d M d N 有最大值，这时这时点M 与点B 重合，点N 与点A 重合， ()d M 的最大值为3，()d N 的最小值为1时，()()d M d N 的最大值3， ∴ ()()133d M d N ≤≤； ≌ 点M '与点N '为A B C '''内部（含边界）的任意两点，并且点M '与点N '的“相对轴距”之比()()d M d N ''的取值范围和点M 与点N 的“相对轴距”之比()()d M d N 的取值范围相同，如图，依题意，点'A 的坐标为(1,1)k -，∴ 点'A 在两点（1，1），（-1，1）确定的线段上，111k ∴≤-≤-，02k ∴<≤．【点睛】本题考查了坐标平面内点的坐标特征，点到坐标轴的距离，点的平移，解一元一次不等式，正确理解题意是解决问题的关键．。
{3套试卷汇总}2021年北京市八年级上学期期末考试数学试题
八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．等腰三角形的周长为18cm ，其中一边长为4cm ，则该等腰三角形的腰长为（ ）A ．6cmB ．7cm 或4cmC ．7cmD ．4cm【答案】C【分析】此题分为两种情况：4cm 是等腰三角形的底边或4cm 是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【详解】解：若4cm 为等腰三角形的腰长，则底边长为18-4-4=10（cm ），4+4=8<10，不符合三角形的三边关系；若4cm 为等腰三角形的底边，则腰长为（18-4）÷2=7（cm ），此时三角形的三边长分别为7cm ，7cm ，4cm ，符合三角形的三边关系；∴该等腰三角形的腰长为7cm ，故选：C ．【点睛】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．2．用直角三角板，作△ABC 的高，下列作法正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析：根据高的定义一一判断即可.详解：三角形的高必须是从三角形的一个顶点向对边或对边的延长线作的垂线段.可以判断A,B,C 虽然都是从三角形的一个顶点出发的，但是没有垂直对边或对边的延长线.故选D.点睛：考查高的画法，是易错点，尤其注意钝角三角形高的画法.3．已知a 是整数，点()21,2A a a --在第四象限，则a 的值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】根据第四象限内的点的坐标特征：横坐标＞0，纵坐标＜0，列出不等式，即可判断．【详解】解：∵点()21,2A a a --在第四象限，∴21020a a ->⎧⎨-<⎩解得：122a << ∵a 是整数，∴1a =故选C ． 【点睛】此题考查的是根据点所在的象限，求坐标中参数的取值范围，掌握各个象限内的点的坐标特征是解决此题的关键．4．如图，ABC 的角平分线BE 与外角ACD ∠的平分线CE 相交于点,E 若60,A ∠=︒则E ∠的度数是（ ）A ．30B ．35C ．40D ．60【答案】A 【分析】根据角平分线的定义可得12CBE ABC ∠=∠，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义表示出DCE ∠，然后整理即可得到12∠=∠E A ，代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵BE 平分∠ABC ，∴12CBE ABC ∠=∠， ∵CE 平分△ABC 的外角，∴1111(),2222DCE ACD A ABC A ABC ∠=∠=∠+∠=∠+∠ 在△BCE 中，由三角形的外角性质，1,2DCE DBE E ABC E ∠=∠+∠=∠+∠ ∴111,222A ABC ABC E ∠+∠=∠+∠∴12∠=∠E A ． 60,A ∠=︒30.E ∴∠=︒故选A ．【点睛】本题考查了三角形的外角性质的应用，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．5．若32120x y x y --++-=，则点(x ，y)在第( )象限．A ．四B ．三C ．二D ．一【答案】D【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x 与y 的值，即可确定出点所在的象限．【详解】解：∵32120x y x y --++-=， ∴321=02=0x y x y --⎧⎨+-⎩， 解得：11x y =⎧⎨=⎩， 则点（1，1）在第一象限，故选：D ．【点睛】本题考查解二元一次方程组，以及非负数的性质，点的坐标，熟练掌握方程组的解法是解题的关键． 6．如图，若∠A=27°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE 等于（ ）A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．125︒【答案】A 【分析】根据三角形外角的性质三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AEB=∠A+∠C=65°，∠DFE=∠B+∠AEC ，进而可得答案．【详解】解：∵∠A=27°，∠C=38°，∴∠AEB=∠A+∠C=65°，∵∠B=45°，∴∠DFE=65°+45°=110°，故选：A ．【点睛】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 7．下面四个交通标志图中为轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据“一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合”求解．【详解】A 、不是轴对称图形，故本选项错误；B 、不是轴对称图形，故本选项错误；C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、是轴对称图形，故本选项正确．故选D ．【点睛】本题考查的是轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是关键.8．化简24142x x +-+的结果是（ ）A ．2x -B ．12x -C ．22x - D ．22x【答案】B【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值．【详解】原式4221(2)(2)(2)(2)(2)(2)2x x x x x x x x x -+=+==+-+-+--故选：B ．【点睛】本题考查分式的加减法；熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解是解题的关键．9．如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长是()A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】B【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD 的周长＝AD+AB+BF+DF ＝1+AB+BC+1+AC 即可得出答案．【详解】根据题意，将周长为8的△ABC 沿边BC 向右平移1个单位得到△DEF ，∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC ；又∵AB+BC+AC=8，∴四边形ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=1．故选：B ．【点睛】此题主要考查平移的性质，解题的关键是熟知平移的特点及周长的定义．10．若a ＋b ＝3，ab ＝－7，则a b b a +的值为（ ） A ．－145 B ．－25 C ．－237 D ．－257【答案】C【解析】试题解析：原式=()2222a b aba b ab ab +-+=，∵a+b=3，ab=-7，∴原式=()232791423777-⨯-+==---． 故选C ．二、填空题11．若分式21x x -+的值为0，则x=____． 【答案】1【分析】根据分式的值为零的条件得到x-1=0且x≠0，易得x=1． 【详解】∵分式21x x -+的值为0， ∴x−1=0且x≠0，∴x=1.故答案为1.【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是熟练的掌握分式的值为零的条件.12．因式分解：2ab a - = ．【答案】()()a b 1b 1+-．【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式a 后继续应用平方差公式分解即可：()()()22ab a a b 1a b 1b 1-=-=+-． 13．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右直爬2个单位到达点B ，点A 表示2-，设点B 所表示的数为m ，则2m 的值为______．【答案】22-【分析】由点2-向右直爬2个单位，即22-，据此即可得到．【详解】解：由题意， ∵点A 表示2- ∴点B 表示22-， 即22m =-， 22(22)222m =-=；故答案为：22．【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，理解向右移动是增大是关键．14．分解因式：32x 2x x -+= ．【答案】()2x x 1-．【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x 再应用完全平方公式继续分解即可：【详解】()()2322x 2x x x x 2x 1=x x 1-+=-+- 故答案为:()2x x 1-【点睛】考核知识点：因式分解.15．代数式（x ﹣2）0÷1x x -有意义，则x 的取值范围是_____． 【答案】x ≠2，x ≠0，x ≠1．【分析】根据分式的分母不为零、0的零次幂无意义来列出不等式，解不等式即可得到本题的答案．【详解】解：由题意得，x ﹣2≠0，x ≠0，x ﹣1≠0，解得，x ≠2，x ≠0，x ≠1，故答案为：x ≠2，x ≠0，x ≠1．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件、零指数幂，掌握分式的分母不为零，0的零次幂无意义是解题的关键． 16．如图，已知△ABC 的周长是22，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD=3，△ABC 的面积是_____．【答案】1【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等，从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以OD ，然后列式进行计算即可求解．【详解】解：如图，连接OA ，作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ．∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴OD=OE=OF ，∴S △ABC =S △BOC +S △AOB +S △AOC =111222BC OD AC OF AB OE ⋅+⋅+⋅ =()12BC AC AB OD ++⋅ =12×22×3=1． 故答案为：1．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．17．20213(4)()3π-+---=_______．【答案】1【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，整数指数幂的运算法则计算即可．【详解】原式=19+1-19=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂，零指数幂，整数指数幂的运算法则是解题关键．三、解答题18．在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1=∠1．（1）求证：FG∥BC；（1）若∠A=55°，∠1=30°，求∠FGC的度数．【答案】（1）证明见解析；（1）∠FGC=115°．【分析】（1）根据平行线的性质、等量代换推知内错角∠2=∠1，则易证得结论；（1）根据等量关系可求∠1=20°，根据垂直的定义可求∠AFG，再根据角的和差关系即可求解．【详解】（1）如图，∵DE∥FC，∴∠1=∠2．又∵∠1=∠1，∴∠1=∠2，∴FG∥BC；（1）∵∠1=∠1且∠1=20°，∴∠1=20°．∵CF⊥AB，∴∠AFG=90°﹣20°=60°，∴∠FGC=∠AFG+∠A=60°+55°=115°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．19．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点E 、F 在边BC 上，BF ＝CE ，求证：AE ＝AF ．【答案】见解析【分析】由等腰三角形的性质得出∠B =∠C ，证明△ACE ≌△ABF （SAS ），即可得出结论．【详解】证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△ACE 和△ABF 中，AC AB C B CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△ABF （SAS ），∴AE =AF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和证明三角形全等是解题的关键．20．（问题解决）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=1．你能求出∠APB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；思路二：将△APB 绕点B 顺时针旋转90°，得到△CP'B ，连接PP′，求出∠APB 的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．（类比探究）如图2，若点P 是正方形ABCD 外一点，PA=1，PB=1，PC=11，求∠APB 的度数．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】分析：（1）先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=1，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；（2）同（1）的思路一的方法即可得出结论．详解：（1）如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=1，在Rt△PBP'中，BP=BP'=2，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=22，∵AP=1，∴AP2+PP'2=1+8=9，∵AP'2=12=9，∴AP2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=115°；（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，11，在Rt△PBP'中，BP=BP'=1，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，22∵AP=1，∴AP 2+PP'2=9+2=11，∵AP'2=（11）2=11，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'﹣∠BPP'=90°﹣45°=45°．点睛：此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．21．如图，在平面直角坐标系中，已知A （4，0）、B （0，3）．（1）求AB 的长为____．（2）在坐标轴上是否存在点P ，使△ABP 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）5；（2）（0，8），（0，-3），（0，-2），70,6⎛⎫-⎪⎝⎭，（9，0），（-1，0），（-4，0），7,08⎛⎫ ⎪⎝⎭；理由见解析【分析】（1）根据A 、B 两点坐标得出OA 、OB 的长，再根据勾股定理即可得出AB 的长（2）分三种情况，AB=AP ，AB=BP ，AP=BP ，利用等腰三角形性质和两点之间距离公式，求出点P 坐标．【详解】解：（1） ∵A （4，0）、B （0，3）．∴OA=3，OB=4， 22435AB ∴=+=（2）当点P 在y 轴上时当AB=BP 时， 此时OP=3+5=8或OP=5-3=2，∴P 点坐标为（0，8）或（0，-2）；当AB=AP 时，此时OP=BO=3，∴P 点坐标为；（0，-3）；当AP=BP 时，设P(0，x)，∴2224(3)x x +=-7:6x =-；∴P 点坐标为70,6⎛⎫- ⎪⎝⎭ 当点P 在x 轴上时当AB=AP 时， 此时OP=4+5=9或OP=5-4=1，∴P 点坐标为（9，0）或（-1，0）；当AB=BP 时，此时OP=AO=4，∴P 点坐标为（-4，0）；当AP=BP 时，设P(x ，0)，∴2223(4)x x +=-:78x =；∴P 点坐标为7,08⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述：符合条件的点的坐标为：（0，8），（0，-3），（0，-2），70,6⎛⎫-⎪⎝⎭，（9，0），（-1，0），（-4，0），7,08⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查等腰三角形性质、两点之间距离公式和勾股定理，学生只要掌握这些知识点，解决此问题就会变得轻而易举，需要注意的是，在解题过程中不要出现漏解现象．22．计算：（1）(3-0﹣|﹣3|+(﹣1)2017+(12)﹣1 （2）31248【答案】（1）﹣1；（2）153【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】（1）原式=1﹣3﹣1+2=﹣1；（2）原式=93-143+203=153．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．23．建立模型：如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD⊥ED于D，过C作CE⊥ED 于E.则易证△ADB≌△BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”.它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用.模型应用：(1)如图2，点A（0，4)，点B(3，0），△ABC是等腰直角三角形．①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；②若AB为直角边，求点C的坐标；(2)如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标.【答案】（1）①（7,3）；②（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；（2）（4，2）、2022 (,) 33.【分析】（1）①过C作CD垂直于x轴构造“一线三垂直”，再根据全等三角形的性质求解即可；②点C有四处，分别作出图形，根据“一线三垂直”或对称求解即可；（2）当点G为直角顶点时，分点G在矩形MFNO 的内部与外部两种情况构造“一线三垂直”求解即可．【详解】（1）①如图，过C作CD垂直于x轴，根据“一线三垂直”可得△AOB ≌△BDC ，∴AO=BD ，OB=CD ，∵点A （0，4)，点B(3，0），∴AO=4，OB=3 ，∴OD=3+4=7，∴点C 的坐标为（7,3）；②如图，若AB 为直角边，点C 的位置可有4处，a 、若点C 在①的位置处，则点C 的坐标为（7,3）；b 、若点C 在1C 的位置处，同理可得，则点1C 的坐标为（4,7）；c 、若点C 在2C 的位置处，则1C 、1C 关于点A 对称，∵点A （0，4)，点1C （4,7），∴点2C 的坐标为（-4,1）；d 、若点C 在3C 的位置处，则3C 、C 关于点B 对称，∵点B(3，0），点C （7,3），∴点3C 的坐标为（-1,-3）；综上，点C 的坐标为（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；（2）当点G 位于直线y=2x-6上时，分两种情况：①当点G 在矩形MFNO 的内部时，如图，过G 作x 轴的平行线AB ，交y 轴于A ，交直线NF 于点B ，设G （x ，2x-6）；则OA=2x-6，AM=6-（2x-6）=12-2x ，BG=AB-AG=8-x ；则△MAG ≌△GBP ，得AM =BG ，即：12-2x=8-x ，解得x=4，∴G （4，2）；当点G 在矩形MFNO 的外部时，如图，过G 作x 轴的平行线AB ，交y 轴于A ，交直线NF 的延长线于点B ，设G （x ，2x-6）；则OA=2x-6，AM=（2x-6）-6=2x-12，BG=AB-AG=8-x ；则△MAG ≌△GBP ，得AM =BG ，即：2x-12=8-x ，解得203x =， ∴G 2022(,)33； 综上，G 点的坐标为（4，2）、2022(,)33. 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及到点的坐标、矩形的性质、一次函数的应用、等腰直角三角形以及全等三角形等相关知识的综合应用，需要考虑的情况较多，难度较大．24．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ,（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN ∠=︒，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：2AB AN AM +=;【答案】 (1) 232AM =(2)见解析；(3)见解析. 【解析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 AD ＝BD ＝DC ＝2 ，求出 ∠MBD ＝30°，根据勾股定理计算即可；（2）证明△BDE ≌△ADF ，根据全等三角形的性质证明；（3）过点 M 作 ME ∥BC 交 AB 的延长线于 E ，证明△BME ≌△AMN ，根据全等三角形的性质得到 BE ＝AN ，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．【详解】（1）解：90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，AD BD DC ∴==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒，2AB =，AD BD DC ∴===，30AMN ∠=︒，180903060BMD ∴∠=︒-︒-︒=︒，30BMD ∴∠=︒，2BM DM ∴=，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得，DM =AM AD DM ∴=-= （2）证明：AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，BDE ADF ∴∠=∠，在BDE ∆和ADF ∆中，{B DAFDB DA BDE ADF∠=∠=∠=∠，()BDE ADF ASA ≌∴∆∆BE AF ∴=；（3）证明：过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，90AME ∴∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，ME MA ∴=，90AME ∠=︒∵，90BMN ∠=︒，BME AMN ∴∠=∠，在BME ∆和AMN ∆中，{E MANME MA BME AMN∠=∠=∠=∠，()BME AMN ASA ∴∆∆≌，BE AN ∴=，2AB AN AB BE AE AM ∴+=+==．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，AD 平分CAB ∠，延长AC 至E，使CE AC =，连接DE ．求证：BAD ∆≌EAD ∆【答案】见解析【分析】根据已知条件可得AE= 2AC ，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半可得AB=2AC ，从而得出AB=AE ，然后根据角平分线的定义可得∠BAD=∠EAD ，最后利用SAS 即可证出结论．【详解】证明：∵CE AC =∴AE=CE ＋AC=2AC在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒∴AB=2AC∴AB=AE∵AD 平分CAB ∠，∴∠BAD=∠EAD在BAD ∆和EAD ∆中AB AE BAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BAD ∆≌EAD ∆（SAS ）【点睛】此题考查的是全等三角形的判定和直角三角形的性质，掌握利用SAS判定两个三角形全等和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．不一定在三角形内部的线段是（ ）A ．三角形的角平分线B ．三角形的中线C ．三角形的高D ．以上皆不对 【答案】C【解析】试题解析：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部，直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高.故选C.210x +≤，则x 的值为（ ）A ．2或1-B ．12x -≤≤C ．2D ．1- 【答案】C【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x 1x +异号，但是0=或10x +=，解出x 的值，找到在取值范围内的即可． 【详解】2x -有意义 ∴2x ≥10x +≤0=或10x +=∴2x = 或1x =-∵2x ≥∴2x =故选：C ．【点睛】本题主要考查绝对值和二次根式的非负性，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，绝对值和二次根式的非负性是解题的关键．3．某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍．已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是多少元？设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x 元，则下面所列方程中正确的是（ ）A．1200012000100 1.2x x=+B．12000120001001.2x x=+C．1200012000100 1.2x x=-D．12000120001001.2x x=-【答案】B【分析】首先设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为1.2x元，根据题意可得等量关系：学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，根据等量关系列出方程，【详解】设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，可得：12000120001001.2x x=+故选B．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．4．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（）A．25°B．35°C．40°D．50°【答案】B【解析】解：∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，由∠BAD=40°得∠B=∠ADB=70°，∵AD=DC，∴∠C=∠DAC，∴∠C=∠ADB=35°．故选B．5．如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（）厘米．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C2268+＝10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．【详解】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即2268+＝10（cm ）， ∴筷子露在杯子外面的长度至少为13﹣10＝3cm ， 故选C ． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用.6．已知一个等腰三角形底边的长为5cm ，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm ，则腰长为（ ） A ．2cm B ．8cmC ．2cm 或8cmD ．10cm【答案】B【详解】解：如图，∵BD 是△ABC 的中线， ∴AD=CD ，∴两三角形的周长的差等于腰长与底边的差， ∵BC=5cm ，∴AB-5=3或5-AB=3， 解得AB=8或AB=2，若AB=8，则三角形的三边分别为8cm 、8cm 、5cm ， 能组成三角形，若AB=2，则三角形的三边分别为2cm 、2cm 、5cm ， ∵2+2=4＜5， ∴不能组成三角形，综上所述，三角形的腰长为8cm ． 故选：B ．故选B ．7．若分式242x x -+的值等于0，则x 的值为（ ）A ．2x =±B ．2x =C ．2x =-D ．2x ≠-【答案】B【分析】化简分式242x x -+即可求解，注意分母不为0.【详解】解：242xx-+=()()222x xx+-+=2x-=0∴x=2，经检验：x+2≠0，x=2是原方程的解.故选B.【点睛】本题考查解分式方程；熟练掌握因式分解的方法，分式方程的解法是解题的关键．8．如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=1．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于12PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）A．12B．1 C．65D．32【答案】B【解析】分析：只要证明BE=BC即可解决问题；详解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，∴∠BCE=∠DCE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，∴BE=BC=1，∵AB=2，∴AE=BE-AB=1，故选B．点睛：本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．9．在平面直角坐标系中，若点P（m＋3，－2m）到两坐标轴的距离相等，则m的值为（）A．－1 B．3 C．－1或3 D．－1或5【答案】C【分析】根据到坐标轴的距离相等，分横坐标与纵坐标相等和互为相反数两种情况讨论解答．【详解】解：∵点P（m＋3，－2m）到两坐标轴的距离相等∴m＋3+（－2m）=0或m＋3=－2m解得m=3或m=-1 故选：C 【点睛】本题考查了点的坐标，难点在于要分两种情况讨论，熟记各象限内点的坐标特征是解题的关键． 10．下列一次函数中，y 的值随着x 值的增大而减小的是( )． A ．y ＝x B ．y ＝－xC ．y ＝x ＋1D ．y ＝x －1【答案】B【分析】根据一次函数的性质依次分析各项即可．【详解】解：A 、C 、D 中10k =>，y 的值随着x 值的增大而增大，不符合题意； B 、10k =-<，y 的值随着x 值的增大而减小，本选项符合题意． 故选B ． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质：当0k >时，y 的值随着x 值的增大而增大；当0k <时，y 的值随着x 值的增大而减小． 二、填空题11．如图，长方形台球桌面ABCD 上有两个球P 、Q ．//PQ AB ，球P 连续撞击台球桌边AB ，BC 反射后，撞到球Q ．已知点M 、N 是球在AB ，BC 边的撞击点，4PQ =，30MPQ ∠=︒，且点P 到AB 边的距离为3，则MP 的长为__________，四边形PMNQ 的周长为________【答案】6 1【分析】作PE ⊥AB 于E ，则PE=3，延长PQ 、MN 交于点Q ，证出Q 与Q'关于BC 对称，MP=2PE=6，由轴对称的性质得出NQ'=NQ ，证出∠Q'=30°=∠MPQ ，得出MQ'=MP=6，即可得出答案． 【详解】解：作PE ⊥AB 于E ，则PE=3，延长PQ 、MN 交于点Q ，如图所示： ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B=90°，AB ⊥BC ， ∵PQ//AB ，∴PQ ⊥BC ，∠EMP=∠MPQ=30°，∠Q'=∠BMN ， ∴Q 与Q'关于BC 对称，MP=2PE=6，∴NQ'=NQ ，由题意得：∠BMN=∠EMP=30°， ∴∠Q'=30°=∠MPQ ， ∴MQ'=MP=6，∴四边形PMNQ 的周长=MP+PQ+NQ+MN=MP+PQ+NQ'+MN=MP+PQ+MQ'=6+4+6=1； 故答案为：6，1．【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键．12．已知()2340a b -++=，则23a b -的值是_________． 【答案】18【分析】根据平方和算术平方根的非负性可得a 和b 的值，代入可得23a b -的值. 【详解】解：∵()2340a b -+=， ∴a-3=0，b+4=0， ∴a=3，b=-4，代入，23a b -=18.故答案为：18. 【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是通过平方和算术平方根的非负性得出a 和b 的值.13．我们用[m ]表示不大于m 的最大整数，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[1.99]＝1．（1）2⎤⎦＝_____；（2）若[16x =，则x 的取值范围是_____． 【答案】1 916x ≤<【分析】(1)2 1.414，及题中所给信息，可得答案； (2)先解出3x +的取值范围后得出x 的取值范围.【详解】解：（1）2≈1.414，由题中所给信息，可得2⎤⎦=1；（2）由题意得:6≤3x+＜7，可得：1≤x ＜4， 可得：9≤x＜16. 【点睛】本题主要考查新定义及不等式的性质，找出规律是解题的关键14．要测量河岸相对两点A ，B 的距离，已知AB 垂直于河岸BF ，先在BF 上取两点C ，D ，使CD ＝CB ，再过点D 作BF 的垂线段DE ，使点A ，C ，E 在一条直线上，如图，测出DE ＝20米，则AB 的长是_____米．【答案】1【分析】由AB 、ED 垂直于BD,即可得到∠ABC ＝∠EDC ＝90°，从而证明△ABC ≌△EDC 此题得解. 【详解】解：∵AB ⊥BD ，ED ⊥AB ， ∴∠ABC ＝∠EDC ＝90°，在△ABC 和△EDC 中，ABC EDC 90BC DC ACB ECD ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△EDC （ASA ）， ∴AB ＝ED ＝1． 故答案为：1． 【点睛】考查了三角形全等的判定和性质，解题是熟练判定方法，本题属于三角形全等的判定应用.15．计算()20192019122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭的结果是____．【答案】-1【分析】根据题意直接利用积的乘方运算法则将原式变形，即可求出答案．【详解】解：()()201920192019201911221122⎛⎫⎛⎫⨯-=-⨯=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：-1. 【点睛】本题主要考查幂的运算法则，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 16．假期里小菲和小琳结伴去超市买水果，三次购买的草莓价格和数量如下表：价格/（元/kg）12 10 8 合计/kg小菲购买的数量/kg 2 2 2 6小琳购买的数量/kg 1 2 3 6从平均价格看，谁买得比较划算？（）A．一样划算B．小菲划算C．小琳划算D．无法比较【答案】C【解析】试题分析：根据题意分别求出两人的平均价格，然后进行比较．小菲：（24+20+16）÷6=10；小琳：（12+20+24）÷6≈1．3，则小琳划算．考点：平均数的计算．17．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程ax+by=c的图象如图所示.则当x=3时，y的值为_______. 【答案】12-【分析】从给出图象中得到二元一次方程的两组解，进而确定具体的二元一次方程为x＋2y＝2，再代入x=3即可求出y的值．【详解】解：从图象可以得到，2xy=⎧⎨=⎩和1xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程ax＋by＝c的两组解，∴2a＝c，b＝c，∴x＋2y＝2，当x＝3时，y＝12-，故答案为12-．【点睛】本题考查二元一次方程的解与一次函数图象的关系；能够从一次函数图象上获取二元一次方程的解，代入求出具体的二元一次方程是解题的关键．三、解答题18．先阅读理解下面的例题，再按要求解答：例题：解不等式()()550x x +->解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①5050x x +>⎧⎨->⎩或②5050x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组①得5x >，解不等式组②得5x <-， 所以不等式的解集为5x >或5x <-．问题：求不等式24031x x +<-的解集． 【答案】123x -<<.【分析】仿造例题，将所求不等式变形为不等式组，然后进一步求取不等式组的解集最终得出答案即可. 【详解】∵两数相乘（或相除），异号得负， ∴由不等式24031x x +<-可得： 240310x x +>⎧⎨-<⎩或 240310x x +<⎧⎨->⎩， 解不等式组①得：123x -<<， 解不等式组②得：该不等式组无解， 综上所述，所以原不等式解集为：123x -<<. 【点睛】本题主要考查了不等式组解集的求取，熟练掌握相关方法是解题关键.19．如图1，把一张长方形的纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在E 处，BE 交AD 于点F.（1）求证：FB=FD;（2）如图2，连接AE ，求证：AE ∥BD;（3）如图3，延长BA ，DE 相交于点G ，连接GF 并延长交BD 于点H ，求证：GH 垂直平分BD ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：(1)根据矩形的性质和折叠的性质可得：AB ＝DC=DE ，∠BAD ＝∠BCD ＝∠BED=90°，根据AAS 可证△ABF ≌△EDF ，根据全等三角形的性质可证BF=DF ；(2)根据全等三角形的性质可证：FA=FE，根据等边对等角可得：∠FAE=∠FEA，根据三角形内角和定理可证：2∠AEF ＋∠AFE =2∠FBD＋∠BFD =180°，所以可证∠AEF=∠FBD，根据内错角相等，两直线平行可证AE∥BD；(3)根据矩形的性质可证：AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，根据SSS可证：△ABD≌△EDB，根据全等三角形的性质可证：∠ABD=∠EDB，根据等角对等边可证：GB=GD，根据HL可证：△AFG≌△EFG，根据全等三角形的性质可证：∠AGF=∠EGF，所以GH垂直平分BD.试题解析：（1）∵长方形ABCD，∴AB＝DC=DE，∠BAD＝∠BCD＝∠BED=90°，在△ABF和△DEF中，{BAD BED AFB EFD AB DE∠=∠∠=∠=∴△ABF≌△EDF（AAS），∴BF=DF.（2）∵△ABF≌△EDF，∴FA=FE，∴∠FAE=∠FEA，又∵∠AFE=∠BFD，且2∠AEF ＋∠AFE =2∠FBD＋∠BFD =180°，∴∠AEF=∠FBD，∴AE∥BD，（3）∵长方形ABCD，∴AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，∴△ABD≌△EDB（SSS），∴∠ABD=∠EDB，∴GB=GD，在△AFG和△EFG中，∠GAF＝∠GEF=90°，FA=FE，FG＝FG，∴△AFG≌△EFG（HL），∴∠AGF=∠EGF，∴GH垂直平分BD.【方法II】（1）∵△BCD≌△BED，∴∠DBC＝∠EBD。
2021年1月朝阳初二(上)数学期末试卷及答案(纯净版)
北京市朝阳区2020～2021学年度第一学期期末检测七年级数学试卷 （选用） 2021.1（考试时间90分钟 满分100分）一、单项选择题:认真审题，仔细想一想，然后选出唯一正确答案。
(（本题共24分，每小题3分） 1．下列几何体中，是圆锥的为(A) (B) (C) (D)2．5的相反数为(A) 5 (B)15 (C) 15- (D) 5- 3．“奋斗者”号全海深载人潜水器在马里亚纳海沟开展1万米深的深潜海试时，钛合金载人舱承受的巨大水压接近1 100个大气压.将1 100用科学记数法表示应为(A) 40.1110⨯(B) 41.110⨯ (C) 31.110⨯ (D) 21110⨯4．如图，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段AC 的中点，若AB =8，则CD 的长为(A) 2 (B) 4(C) 6(D) 85．若1x =是关于x 的方程25x a +=的解，则a 的值为(A) 7(B) 3(C) －3(D) －76．将三角尺与直尺按如图所示摆放，下列关于∠α与∠β之间的关系一定正确的是(A) ∠α=∠β (B) ∠α=12∠β(C) ∠α+∠β=90°(D) ∠α+∠β=180°7．某个长方体的展开图如图所示，各个面上分别标有1～6的不同数字.若将其围成长方体，则这个长方体有公共顶点的三个面上的数字之和最大是(A) 15 (B) 14(C) 9(D) 78．设a ，b ，c 为非零有理数，a ＞b ＞c ，则下列大小关系一定成立的是(A) a -b ＞b -c (B)111a b c＜＜(C) a 2＞b 2＞c 2 (D) a -c ＞b -c二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9．计算：2(2)- ．10．如图所示的网络是正方形网格，BAC ∠ DAE ∠．（填“＞”，“＝”或“＜”）11．一种零件的图纸如图所示，若AB =10 mm ，BC =50 mm ，CD =20 mm ，则AD 的长为 mm ． 12．若单项式2ma b 与23a b -同类项，则m = ．13．有理数a 在数轴上的对应点的位置如图所示．若有理数b 满足b a ＜，则b 的值可以是 ． （写出一个满足题意的具体数值）14．如图，在一条笔直的马路（直线l ）两侧各有一个居民区（点M ，N ）．如果要在这条马路旁建一个购物中心，使购物中心到这两个小区的距离之和最小，那么购物中心应建在线段MN 与直线l 的交点P 处，这样做的依据是 ． 15．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数x 和y ，x ※y =xy +a (x +y )+1（a 为常数）.例如：2※3=2×3+(2+3)a +1=5a +7．若2※（－1）的值为3，则a 的值为 . 16．小韩和同学们在一家快餐店吃饭，下表为快餐店的菜单：种类 配餐 价格（元）优惠活动A 餐 1份盖饭 20 消费满150元，减24元 消费满300元，减48元……B 餐 1份盖饭+1杯饮料 28C 餐1份盖饭+1杯饮料+1份小菜32小韩记录大家的点餐种类，并根据菜单一次点好，已知他们所点的餐共有11份盖饭，x 杯饮料第13题图第14题图第10题图第11题图和5份小菜.（1餐；(用含x 的式子表示)（2）若他们至少需要6杯饮料，要使所花费的钱数最少，则应该点餐. 三、解答题（本题共52分，第17-24题每小题5分，第25、26题每小题6分） 17．计算：113 4.4 2.4322-+-+.18．计算：11112()1264⨯--.19．计算：112+4214m m -（）+（）.20．解方程：3+5302x x =-.21．解方程：3157146y y --=+.22．已知24a b -=，求3()(51)a b a b +---的值．23．近年来，我国数字经济规模不断扩张，贡献不断增强，逐渐成为驱动我国经济增长的关键.已知我国2005年与2019年数字经济增加值规模之和为38.4万亿元，2019年数字经济增加值规模比2005年数字经济增加值规模的14倍少0.6万亿元．求我国2005年数字经济增加值规模．24．阅读材料：数学活动课上，小智同学提出一个猜想：把一个三位正整数的百位上的数与个位上的数交换位置，十位上的数不变，原数与所得数的差等于99乘原数的百位上的数与个位上的数的差.例如：782-287=99×（7-2）．回答问题：（1）小智的猜想是否正确？若正确，对任意情况进行说明；若不正确，说明理由.（2）已知一个五位正整数的万位上的数为m，个位上的数为n，把万位上的数与个位上的数交换位置，其余数位上的数不变，原数与所得数的差等于．（用含m ，n的式子表示）25．已知∠AOB=120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线．(1)若OC平分∠AOB，①依题意补全图1；②∠MON的度数为.（2）当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数是否改变？若不变，求∠MON 的度数；若改变，说明理由．26．在数轴上，点A表示的数为1，点B表示的数为3.对于数轴上的图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为线段AB上任意一点，如果线段PQ的长度有最小值，那么称这个最小值为图形M关于线段AB的极小距离，记作1()d M AB，线段；如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为图形M关于线段AB的极大距离，记作2()d M AB，线段．例如：点K表示的数为4，则1()d K AB点，线段=1，2()d K AB点，线段=3. 图1 备用图已知点O 为数轴原点，点C ，D 为数轴上的动点．（1）1d （点O ，线段AB ）= ，2d （点O ，线段AB ）= ； （2）若点C ，D 表示的数分别为m ，m +2，d 1（线段CD ，线段AB ）=2．求m 的值； （3）点C 从原点出发，以每秒2个单位长度沿x 轴正方向匀速运动；点D 从表示数－2的点出发，第1秒以每秒2的单位长度沿x 轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿x 轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿x 轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿x 轴负方向匀速运动，……，按此规律运动．C ，D 两点同时出发，设运动的时间为t 秒，若2d （线段CD ，线段AB ）小于或等于6，直接写出t 的取值范围．（t 可以等于0）北京市朝阳区2020～2021学年度第一学期期末检测七年级数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共24分，每小题3分）二、填空题（本题共24分，每小题3分）三、解答题（本题共52分，第17-24题每小题5分，第25、26题每小题6分） 17．解：原式11=33 4.4 2.422-++- =0+22=．18．解：原式1111212121264=⨯-⨯-⨯ 123=--4=-．19．解：原式3122m m =++-51m =-．20．解：原方程为3+5302x x =-． 3+2305x x =-． 525x =． 5x =．21．解：原方程为3157146y y --=+． 3(31)122(57)y y -=+- ．93121014y y -=+- ．1y -=． 1y =-．22．解：3()(51)a b a b +--- 351a b a b =+--+241a b =-+． 因为24a b -=， 所以248a b -=． 原式=8+1=9．23．解：设2005年数字经济增加值规模为x 万亿元．根据题意，得 4.38)6.014(=-+x x .解得 6.2=x .答：我国2005年数字经济增加值规模为2.6万亿元.24．解：（1）小智的猜想正确.说明如下：设一个三位正整数百位上的数为a ，十位上的数为b ，个位上的数为c ，（a为 不大于9的正整数，b ，c 为不大于9的非负整数），则这个三位正整数 为100a ＋10b ＋c ．所以交换百位上的数与个位上的数的所得数为100c ＋10b ＋a ．因为100a ＋10b ＋c -（100c ＋10b ＋a ） =100a ＋10b ＋c -100c -10b -a =99a -99c=99(a -c ).所以小智的猜想正确． （2）9999(m -n ).25．解：(1) ①补全的图形如图所示②80°．(2) ∠MON 的度数不变．因为OM 是∠AOC 三等分线， ON 是∠BOC 三等分线， 所以∠AOM =13∠AOC ，∠BON =13∠BOC ． 所以∠MON =∠AOB -(∠AOM+∠BON )=∠AOB -13(∠AOC+∠BOC ) ． =23∠AOB ． 因为∠AOB =120°． 所以∠MON =80°．26．解：（1）1,3．（2）当点D 在点A 左侧时，依题意，可得1(2)2m -+=，m =－3；当点C 在点B 右侧时，依题意，可得32m -=，m =5． 综上，m 的值为－3或5．（3）t 大于或等于0且小于或等于314或者t 大于或等于126且小于或等于132．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
2021年北京初二(上)期末数学试卷汇编：分式章节综合
2021北京初二（上）期末数学汇编分式章节综合一、单选题1．（2021·北京西城·八年级期末）23−的计算结果为（ ）A ．6B ．19C ．16D ．92．（2021·北京东城·八年级期末）若分式11x x −+的值为0，则x 的值是（ ） A ．1x = B ．1x =− C ．1x =± D ．1x ≠−3．（2021·北京丰台·八年级期末）下列计算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅⋅=B ．()428a a =C ．22a a −=−D ．33a a a ÷=4．（2021·北京东城·八年级期末）2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就．科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米91.010−=⨯米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（ ）A ．91.2510−⨯米B ．81.2510−⨯米C ．71.2510−⨯米D ．61.2510−⨯米5．（2021·北京顺义·八年级期末）化简22a b ab b a−−结果正确的是（ ） A ．ab B ．ab − C ．22a b − D ．22b a −6．（2021·北京平谷·八年级期末）如果分式11m m −+的值为零，则m 的值是（ ） A ．1m =−B ．1m =C ．1m =±D ．0m =二、填空题 7．（2021·北京大兴·八年级期末）关于x 的分式方程3122m x x +=−−有增根，则m 的值为_______． 8．（2021·北京大兴·八年级期末）若分式22y y −−的值为零，则y ＝________． 9．（2021·北京昌平·八年级期末）计算：26193a a ÷=−+__________． 10．（2021·北京顺义·八年级期末）若代数式23x x −+的值等于零，则实数x 的值是________． 11．（2021·北京房山·八年级期末）某校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A 型计算机和B 型计算机．已知一台A 型计算机的售价比一台B 型计算机的售价便宜400元，如果购买A 型计算机需要224 000元，购买B 型计算机需要240 000元．求一台A 型计算机和一台B 型计算机的售价分别是多少元． 设一台B 型计算机的售价是x 元，依题意列方程为__．12．（2021·北京房山·八年级期末）若分式3a a−的值等于0，则a 的值为_____． 13．（2021·北京石景山·八年级期末）将分式42326xy x y约分可得____，依据为_____．14．（2021·北京延庆·八年级期末）化简：a b a b b a+−−22＝______________． 15．（2021·北京西城·八年级期末）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：3(1)441111a a a a a +−+==+−−−，212(1)332111a a a a a −+−==−+++．参考上面的方法，解决下列问题： （1）将1a a +变形为满足以上结果要求的形式：1a a =+_________； （2）①将321a a +−变形为满足以上结果要求的形式：321a a +=−_________；②若321a a +−为正整数，且a 也为正整数，则a 的值为__________．16．（2021·北京通州·八年级期末）某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛．已知A 型陶笛比B 型陶笛的单价低20元，用2700元购买A 型陶笛与用4500元购买B 型陶笛的数量相同，设A 型陶笛的单价为x 元，根据题意列出正确的方程是_______________________．三、解答题17．（2021·北京昌平·八年级期末）计算：2212y x y x y −−−． 18．（2021·北京西城·八年级期末）计算：21311211a a a a a a −−+÷−+++． 19．（2021·北京石景山·八年级期末）创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．20．（2021·北京石景山·八年级期末）关于x 的分式方程321x m x −=+的解是负数，求满足条件的整数m 的最大值．21．（2021·北京延庆·八年级期末）北京延庆于2020年12月1日6时26分迎来首列高铁G8881停靠标志着京张高铁延庆支线及市郊铁路S2线正式开通运营，综合交通服务中心（换乘中心）同步投入使用．作为京张高铁支线火车站，延庆综合交通服务中心是集高铁、市郊铁路、公交、出租车、自行车及停车场等多种形式于一体的综合枢纽．同时，作为北京2022年冬奥会重点交通服务配套设施，该中心将在冬奥会期间承担观众和部分注册人员的交通转换及服务功能，冬奥会后将服务于延庆区日常活动及通勤，并为游客提供出行便利．小李计划周末到延庆站参观．为了响应绿色出行号召，他从家到延庆站由驾车改为骑自行车．小李家距离延庆站20千米，在相同路线上，驾车的平均速度是骑自行车平均速度的4倍，骑自行车所用时间比驾车所用时间多45分钟，求小李驾车的平均速度是多少？22．（2021·北京延庆·八年级期末）先化简，再求值：23211(1)a a a a −−−÷，其中20a a −=． 23．（2021·北京丰台·八年级期末）先化简，再求值：23x y y x y ⎛⎫−⋅ ⎪+⎝⎭其中340x y −=．24．（2021·北京通州·八年级期末）解方程：11322x x x −=+−−． 25．（2021·北京门头沟·八年级期末）阅读材料，并回答问题： 小亮在学习分式运算过程中，计算26193a a +−+解答过程如下： 解：26193a a +−+ ()()61333a a a =++−+① ()()()()633333a a a a a −=++−+−② 63a =+−③3a =+④问题：（1）上述计算过程中，从 步开始出现错误（填序号）；（2）发生错误的原因是： ；（3）在下面的空白处，写出正确解答过程：26．（2021·北京门头沟·八年级期末）计算：（1）11a b−； （2）323236y x x y⋅． 27．（2021·北京平谷·八年级期末）计算：211121a a a a ⎛⎫+÷ ⎪−−+⎝⎭ 28．（2021·北京朝阳·八年级期末）2020年12月17日，中国研制的嫦娥五号返回器成功携带月球样品着陆地球，在接近大气层时，它的飞行速度接近第二宇宙速度，约为某列高铁全速行驶速度的112倍．如果以第二宇宙速度飞行560千米所用时间比该列高铁全速行驶10千米所用时间少50秒，那么第二宇宙速度是每秒多少千米？29．（2021·北京朝阳·八年级期末）解分式方程：31(1)(2)1x x x x +=−+−. 30．（2021·北京东城·八年级期末）解方程：214111x x x ++=−−．参考答案1．B【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算，即可得出结论． 【详解】解：2211339−==． 故选：B ．【点睛】此题考查了负整数指数幂的运算，掌握负指数幂的运算法则是解题的关键．2．A【分析】分式的值为0：分子等于0，分母不等于0，据此解答即可．【详解】解：依题意得，x ﹣1＝0，且x+1≠0，解得 x ＝1．故选：A ．【点睛】本题考查了分式值为0的条件，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．3．B【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、负整数指数幂、同底数幂相除逐一计算即可．【详解】解：A. 235a a a ⋅=，该项计算错误；B. ()428a a =，该项计算正确； C. 221a a −=，该项计算错误； D. 331a a ÷=，该项计算错误；故选：B ．【点睛】本题考查整式的运算，掌握同底数幂相乘、幂的乘方、负整数指数幂、同底数幂相除是解题的关键．4．C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】125纳米=125×10-9米=1.25×10-7米．故选：C ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10-n ，其中1≤｜a ｜<10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．B【分析】把分子分解因式后与分母约分即可． 【详解】解：22a b ab b a −−=()ab a b b a−−=ab −． 故选B ．【点睛】本题考查了分式的约分，解题的关键是确定公因式：取各系数的最大公因数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最低次幂，本题也考查了因式分解．6．B【分析】先根据分式为零的条件列出关于m 的不等式组并求解即可． 【详解】解：∵11m m −+=0 ∴m-1=0，m+1≠0，解得m=1．故选B ．【点睛】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键，同时分母不等于零是解答本题的易错点．7．3【分析】分式方程有增根，则增根为x =2，把分式方程化为整式方程后，把x =2代入整式方程中，即可求得m 的值．【详解】由题意知，分式方程的增根为x =2分式方程去分母得：m －3=x －2把x =2代入上述整式方程中，解得m =3故答案为：3【点睛】本题考查了分式方程的增根，关键是确定分式方程的增根．8．-2 【分析】分式0A B=，则0A =且 0B ≠，据此解题． 【详解】解：分式2=02y y −− 则2=0y −且20y −≠解得：2y =±且2y ≠2y ∴=−故答案为：-2．【点睛】本题考查分式的值为零，分式有意义的条件等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 9．63a − 【分析】根据分式的除法法则计算．【详解】解：原式=()()()6333a a a ⨯++− =63a −， 故答案为63a − ．【点睛】本题考查分式的除法运算，熟练掌握分式的除法法则及整式的因式分解和分式的约分是解题关键．10．2．【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不等于零，列方程和不等式即可求出答案． 【详解】解：∵代数式23x x −+的值等于0， ∴2030x x −=⎧⎨+≠⎩， 解得2x =．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握则分子为零，且分母不等于零，是解题关键． 11．240000224000400x x =− 【分析】本题的等量关系是：224 000元购买A 型计算机的数量=240 000元购买B 型计算机数量，依此列出方程即可．【详解】解：设B 型计算机每台需x 元，则A 型计算机每台需（x-400）元，依题意有240000224000400x x =− 故填，240000224000400x x =−． 【点睛】考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，本题重点是熟悉单价，总价，数量之间的关系．12．3【分析】根据分子等于0，且分母不等于0求解即可．【详解】解：由题意得a-3=0，且a≠0，∴a=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．13． 3y x分式的分子和分母同时除以一个不为0的整式，分式的值不变 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：分式42326xy x y的分子和分母同时除以 32xy 进行约分，可得3y x ， 故答案为：3y x；分式的分子和分母同时除以一个不为0的整式，分式的值不变． 【点睛】本题考查分式的约分，掌握分式的基本性质是解题的关键．14．a b +【分析】根据异分母分式的加减运算法则求解即可．【详解】原式=()()2222a b a b a b a b a b a b a b a b a b+−−−===+−−−−， 故答案为：a b +．【点睛】本题考查分式的加减运算，掌握基本的运算法则是解题关键．15． 111a −+ 531a +− 2或6 【分析】（1）根据材料中分式转化变形的方法，即可把1a a +变形为满足要求的形式； （2）①根据材料中分式转化变形的方法，即可把321a a +−变形为满足要求的形式；②令325311a x a a +==+−−，可先求出a 与x 是整数时的对应值，再从所得结果中找出符合条件的a ，x 的值，即可得出结论．【详解】解：（1）1111111a a a a a +−==−+++； 故答案为：111a −+； （2）①323(1)553111a a a a a +−+==+−−−； 故答案为：531a +−； ②∵323(1)553111a a a a a +−+==+−−− 令531x a =+−， 当x ， a 都为整数时，11a −=±或15a −=±，解得a ＝2或a ＝0或a ＝6或a ＝-4，当a ＝2时，x ＝8；当a ＝0时，x ＝-2；当a ＝6时，x ＝4；当a ＝-4时，x ＝2；∵x ， a 都为正整数，∴符合条件的a 的值为2或6．故答案为：2或6．【点睛】此题考查了分式的加减及求分式的值等知识，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键．16．2700450020x x =+ 【分析】设A 型陶笛的单价为x 元，则B 型陶笛的单价为（x +20）元，根据用2700元购买A 型陶笛与用4500元购买B 型陶笛的数量相同，列方程即可．【详解】设A 型陶笛的单价为x 元，则B 型陶笛的单价为（x +20）元，根据用2700元购买A 型陶笛与用4500元购买B 型陶笛的数量相同，可得2700450020x x =+． 故答案为：2700450020x x =+． 【点睛】本题考查了由实际问题，抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．17．1x y+ 【分析】首先把两分式通分化为同分母分式后，再按照分母不变，分子相加减的法则计算． 【详解】解：原式2()()()()x y y x y x y x y x y +=−+−+− 2()()x y y x y x y +−=+−. ()()x y x y x y −=+−. 1x y=+. 【点睛】本题考查分式的加减运算，熟练掌握异分母分式的加减法则是解题关键．18．21a + 【分析】根据分式混合运算的运算顺序，先算分式的除法，再算加法，即可求出结果． 【详解】解：21311211a a a a a a −−+÷−+++ 21311(1)1a a a a a −+=+−+− 13=1(1)1a a a a −+−+−（）13(1)1(1)1a a a a a a +−=++−+−（）（）22(1)1a a a −=+−（） 2(1)(1)1a a a −=+−（） 21a =+．【点睛】此题考查了分式的混合运算，掌握分式的除法法则及异分母分式加减法法则是解题的关键． 19．200【分析】设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()120x +%棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务列出方程即可求解．【详解】解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()120x +%棵， 根据题意可得：()480048004120x x −=+%，解得200x =，经检验得200x =是分式方程的解，答：原计划每天植树200棵．【点睛】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20．-4【分析】先解分式方程，求出x=2+m ，根据方程的解是负数，且10x +≠，列得2+m<0且210m ++≠，求解即可． 【详解】解：321x m x −=+ 3x-m=2（x+1）3x-m=2x+2x=2+m ，∵方程的解是负数，且10x +≠，∴2+m<0且210m ++≠，解得m<-2且m ≠-3．∴满足条件的整数m 的最大值-4．【点睛】此题考查已知分式方程的解求未知数的取值范围，正确解分式方程且掌握分母不等于零是解题的关键．21．80km/h【分析】根据驾车速度是骑自行车速度的4倍可以分别分别设出自行车速度为x ，驾车速度为4x ，根据两种交通方式的时间差为45分钟列分式方程解题即可．【详解】解：设骑自行车的平均时速为x km/h ，则驾车的平均时速为4x km/h ， 由题意 得：202045460x x −= 解得 20x经检验：20x 是所列方程的解，且符合实际问题的意义．当20x时， 442080x =⨯= 答：小李驾车的平均时速为80km/h ． 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，难度一般，注意解分式方程时要检验，列方程时注意单位要化统一．22．2−a a【分析】先化简分式得2−a a ，再通过方程得2a a − 【详解】解：23211(1)a a a a−−−÷ ＝232211a a a a a −+⋅− ＝232(1)1a a a a −⋅− ＝2−a a∵20a a −∴原式=2−a a=【点睛】本题考查分式的化简求值，能得到分式准确的最简结果是解题的关键23．33x y y−；1 【分析】先计算括号中的异分母分式减法，再计算乘法，由340x y −=得到3x=4y ，代入求值即可． 【详解】解：原式223x y y x y−=⋅+ ()()3x y x y y x y+−=⋅+ 33x y y −=； 340x y −=34x y ∴= 原式431y y y−==． 【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握分式的计算法则正确化简分式是解题的关键．24．无解【分析】本题的最简公分母是x-2，等式两边都乘以x-2，化简求解，最后检验即可． 【详解】解：原方程整理得：11322x x x −=+−−， 去分母得：()1132x x −=+−，移项合并得：24x −=−，解得：2x =，检验：把2x =代入最简公分母2x −中，2220x −=−=，∴2x =是增根，∴原方程无解．【点睛】本题主要考查的是分式方程，把分式方程转化为整式方程，最后检验是解答本题的关键是．25．（1）③；（2）分式加法法则运用错误；（3）见解析【分析】观察整个运算过程，根据分式的加法运算法则，找出错误的步骤并正确求解即可．【详解】（1）③；（2）同分母分式相加时，分母不变，分子相加，不能去掉分母；（3）原式()()61333a a a =++−+， ()()()()633333a a a a a −=++−+−，()()6333a a a +−=+−， 13a =−． 【点睛】本题考查了分式的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．26．（1）b a ab−；（2）29x y 【分析】（1）根据分式减法运算法则，先通分，分母不变分子相减，计算得出答案即可．（2）根据分式乘法运算法则进行约分得到最简分式即可．【详解】（1）解：原式b a ab ab =− b a ab−=． （2）解：原式2222323y x x x y y ⋅⋅=⋅⋅ 29x y =． 【点睛】本题考查了分式减法运算和分式乘法运算，熟练掌握分式运算法则是解题关键．27．1a −【分析】先计算括号内的异分母分式加法，再将除法化为乘法计算即可． 【详解】解：211121a a a a ⎛⎫+÷ ⎪−−+⎝⎭ ()211111a a a a a −⎛⎫=+÷ ⎪−−⎝⎭− ()211a a a a −=− 1a =−．【点睛】此题考查分式的混合运算，正确掌握异分母分式的加减法计算法则，分式的除法计算法则是解题的关键．28．第二宇宙速度是每秒11.2千米．【分析】设第二宇宙速度是每秒xkm ，则高铁全速行驶的速度是每秒1112x km ，根据第二宇宙速度飞行560千米所用时间+50=该列高铁全速行驶10千米所用时间，列出方程求解即可．【详解】解：设第二宇宙速度是每秒xkm ，则高铁全速行驶的速度是每秒1112x km ， 根据题意，11125601050x x +=， 解得11.2x =，经检验11.2x =是该方程的解．所以，第二宇宙速度是每秒11.2千米．【点睛】本题考查分式方程的应用．能结合题意找出等量关系列出方程是解题关键．不要忘记验根哦．29．方程无解【分析】去分母将分式方程化为整式方程，求解并验证根即可．【详解】解：去分母得：3(1)(2)(2)x x x x +−+=+，去括号得：22322x x x x ++−=+，移项合并得：1x −=−，解得：1x =．经检验1x =是该方程的增根，即方程无解．方程求解．解分式方程一定不要忘了验根．30．x =﹣3【分析】通过去分母，把分式方程化成整式方程，求解整式方程，再把解代入最简公分母检验即可．【详解】解：方程两边乘以（x +1）（x ﹣1）得：2(1)4(1)(1)x x x ++=+−解这个方程得：x =﹣3检验：当x =﹣3时，（x +1）（x ﹣1）≠0∴x =﹣3是原方程的解∴原方程的解是：x =﹣3．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．。
2021年1月北京市各区上学期期末初二数学汇编-初二代综(教师版)
2021年1月北京市各区初二上学期期末数学汇编—代数综合（教师版）1.（2021.01-海淀-期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x 的多项式223x x -+，由于2223(1)2x x x -+=-+，所以当1x -取任意一对互为相反数的数时，多项式223x x -+的值是相等的．例如，当11x -=±，即2x =或0时，223x x -+的值均为3；当12x -=±，即3x =或1-时，223x x -+的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x 的多项式，若当x t -取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x t =对称．例如223x x -+关于1x =对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：（1）多项式246x x -+关于x =____________对称；（2）若关于x 的多项式223x bx ++关于3x =对称，求b 的值；（3）整式22(816)(44)x x x x ++-+关于x =____________对称．答案（1）2 …………1分（2）解：22223()3x bx x b b ++=++-， …………2分∴关于x 的多项式223x bx ++关于x b =-对称．3b ∴-=．3b ∴=-． ………3分（3）1- ……………5分2.（2021.01-西城-期末）3.（2021.01-朝阳-期末）已知22a m n =+，2b m =，c mn =，且m >n >0．（1）比较a ，b ，c 的大小；（2）请说明以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在．（1）2222()a b m n m n -=+-=． …………………1分∵n >0，∴20n >．∴a >b ． ………………………………2分 2()b c m mn m m n -=-=-．∵m >n >0，∴()0m m n ->．∴b >c ． ……………………………3分∴c <b <a ．（2）∵c <b <a ，∴要判断以a ，b ，c 为边长的三角形是否一定存在，只需要比较b +c 与a 的大小．222()()b c a m mn m n n m n +-=+-+=-． …………………4分∵m >n >0，∴()0n m n ->．∴b +c >a ．∴以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在． …………5分4.（2021.01-丰台-期末）25.()1310; ()2①()11111112233445+11m L m m m +++⨯+⋅⋅⋅+⋅=⨯⨯+ ②这1L 水不能倒完因为1+1m m <,所以无论倒水次数m 有多大，倒出的总水量总小于1L因此，按这种方法，容器中的1L 水是倒不完的.如果实数a ，b 满足a b ab -=的形式，那么a 和b 就是“智慧数”，用(),a b 表示． 如：由于222233-=⨯，所以22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭是“智慧数”． （1）下列是“智慧数”的是 （填序号）；① 1.2-和6，② 92和3-，③ 12-和1-． （2）如果()3,☆是“智慧数”，那么“☆”的值为 ；（3）如果(),x y 是“智慧数”，① y 与x 之间的关系式为y = ；② 当x ＞0时，y 的取值范围是 ；③ 在②的条件下，y 随x 的增大而 （填“增大”，“减小”或“不变”）．解：（1）①，③；…………………………………………… 2分（2）34；………………………………………… 4分（3）① 1x x +（1x ≠-）；……………………………………… 5分 ② 01y ＜＜；……………………………………………… 6分③ 增大. ……………………………………………… 7分解：（1）1+2x ，1…………… 2分 （2）减小. ……………………… 3分（3）2. ………………… 4分理由如下：121，=++x 随着x 的值逐渐减小，∴随着x 的值无限趋近于2. … 6分坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
2021年1月北京市八年级第一学期期末数学备考之新定义
为“和谐分式”． （1）下列分式中，
①
；②
是和谐分式（填写序号即可）；
；③
；④
（2）若 a 为整数，且
为和谐分式，请写出 a 的值；
（3）在化简
﹣ ÷ 时，
小冬和小奥分别进行了如下三步变形：
小冬：原式＝
﹣
＝
﹣＝
小奥：原式＝
﹣
＝
﹣＝
显然，小奥利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小冬的结果简单，原因是：
且 BC＝BE．
（1）若 AB＝AC，点 E 在 AD 延长线上．
①当α＝30°，点 D 恰好为 BC 中点时，依据题意补全图 1．请写出图中的一个“半角三
角形”：
；
②如图 2，若∠BAE＝2α，图中是否存在“半角三角形”（△ABD 除外），若存在，请写
出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由；
2021 年 1 月北京市八年级第一学期期末数学备考之新定义
一．选择题（共 3 小题） 1．如果正整数 a、b、c 满足等式 a2+b2＝c2，那么正整数 a、b、c 叫做勾股数，某同学将自
己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知 x+y 的值为（ ）
A．47
B．62
C．79
D．98
2．定义运算“※”：a※b＝
距点，且 PC＝1，求线段 DC 的长；
（3）如图 2，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°．点 P 在 BC 上，△ABC 关于点 P
的等距点恰好有四个，且其中一个是点 C．若 BC＝a，直接写出 PC 长的取值范围．（用
含 a 的式子表示）
13．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式
2021-2022初二上期末新定义(有答案)
①当t=-1，且直线m与y轴平行时,点A的<x轴，m>伴随图形点A'的坐标为；
如： ， ．
根据上述定义，解决下列问题：
（1） ， ；
（2）如果 ，那么x＝；
（3）如果 ，求x的值．
【答案】（1） ， ；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据新定义的运算进行计算即可求解；
（2）根据 得到 ，解分式方程即可求解；
（3）根据-2＜0，得到 =-2+x，对 分大于0和小于0两种情况讨论，得到方程，解方程并对答案进行验证，问题得解．
②若 与 的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求 的值．
27．【分析】（1）根据材料中的新定义求解；
（2）①把 ， 代入可计算 和 的值，分别代入 ， ， ， 中计算，并根据新定义判断是否是二次分式；
②计算 并根据一次分式的定义可得 和 的值，代入 中计算求值即可．
【解答】解：（1） ；
故答案为 ；
（2）第n个等式为： ．
【点睛】此题主要考查分式运算的应用，解题的关键是根据已知的等式找到规律．
（2021昌平区28题）28．（7分）若 和 均为等腰三角形，且 ，当 和 互余时，称 与 互为“底余等腰三角形”， 的边 上的高 叫做 的“余高”．
（1）如图1， 与 互为“底余等腰三角形”．
①若连接 ， ，判断 与 是否互为“底余等腰三角形”：（填“是”或“否” ；
（2）根据材料中的 进行计算即可；
（3）结合（1）（2）的规律进行计算即可
【详解】解：（1） （答案不唯一）；
（2） ；Biblioteka 故答案为：证明：=
北师大版八年级数学上册期末压轴题
一．选择题（共20小题）1．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的北师大版八年级数学上册期末压轴题面积，则一定能求出()A ．直角三角形的面积B ．最大正方形的面积C ．较小两个正方形重叠部分的面积D ．最大正方形与直角三角形的面积和2．已知，如图，C 为线段AE 上一动点（不与A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ，OC ，以下四个结论：①AD BE =；②CPQ ∆是等边三角形；③AD BC ⊥；④OC 平分AOE ∠．其中正确的结论是()A ．①、②B ．③、④C ．①、②、③D ．①、②、④3．如图，已知一次函数2y kx =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与正比例函数13y x =交于点C ，已知点C 的横坐标为2，下列结论：①关于x 的方程20kx +=的解为3x =；②对于直线2y kx =+，当3x <时，0y >；③对于直线2y kx =+，当0x >时，2y >；④方程组302y x y kx -=⎧⎨-=⎩的解为2,23x y =⎧⎪⎨=⋅⎪⎩，其中正确的是()4．如图①，在正方形ABCD 中，点P 沿边DA 从点D 开始向点A 以1/cm s 的速度移动，同时点Q 沿边AB ，BC 从点A 开始向点C 以2/cm s 的速度移动，当点P 移动到点A 时，P 、Q 同时停止移动．设点P 出发x 秒时，PAQ ∆的面积为2ycm ，y 与x 的函数图象如图②，则下列四个结论，其中正确的有()①当点P 移动到点A 时，点Q 移动到点C ；②正方形边长为6cm ；③当AP AQ =时，PAQ ∆面积达到最大值；④线段EF 所在的直线对应的函数关系式为318y x =-+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，已知ABC ∆中，AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，AE 是BAC ∠的外角平分线，//ED AB 交AC 于点G ，下列结论：①AD BC ⊥；②//AE BC ；③AE AG =；④2224AD AE AG +=．其中正确结论的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在Rt ABO ∆中，90OBA ∠=︒，(4,4)A ，点C 在边AB 上，且13AC CB =，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为()A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，83D ．(3,3)7．如图，已知直线55:3AB y x =+分别交x 轴、y 轴于点B 、A 两点，(3,0)C ，D 、E 分别为线段AO 和线段AC 上一动点，BE 交y 轴于点H ，且AD CE =．当BD BE +的值最小时，则H 点的坐标为()A ．B ．(0,5)C ．(0,4)D ．8．在平面直角坐标系中，已知四边形AMNB 各顶点坐标分别是：(0,2)A -，(2,2)B ，(3,)M a ，(3,)N b ，且1MN =，a b <，那么四边形AMNB 周长的最小值为()A ．6+B ．6+C 1++D 1++9．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，8BC =，点E 是BC 边上一点，且AE EC =，点P 是边AD 上一动点，连接PE ，PC ，则下列结论：①3BE =；②当5AP =时，PE 平分AEC ∠；③PEC ∆周长的最小值为15；④当256AP =时，AE 平分BEP ∠．其中正确的个数有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是边CB 延长线上一点，F 为AB 边上一点，BE BF =，连接EF 并延长交线段AD 于点G ，连接CF 交BD 于点M ，连接CG 交BD 于点N ．则下列结论：①AE CF =；②BFM BMF ∠=∠；③45CGF BAE ∠-∠=︒；④当15BAE ∠=︒时，MN =．其中正确的个数有()11．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，3AD cm =，点E 是AB 的中点，点P 沿E A D C ---以1/cm s 的速度运动，连接CE 、PE 、PC ，设PCE ∆的面积为2ycm ，点P 运动的时间为t 秒，则y 与x 的函数图象大致为()A ．B ．C ．D ．12．如图，四边形ABCD 的顶点坐标分别为(4,0)A -，(2,1)B --，(3,0)C ，(0,3)D ，当过点B 的直线l 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分时，直线l 所表示的函数表达式为()A ．116105y x =+B ．2133y x =+C ．1y x =+D ．5342y x =+13．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D ，E 是边AB 上的点，连接CD ，CE ，先将边AC 沿CD 折叠，使点A 的对称点A '落在边AB 上；再将边BC 沿CB 折叠，使点B 的对称点B '落在CA '的延长线上．若15AC =，20BC =，则下列结论：①//EB CD '，②45DEC ∠=︒，③3EA '=，④18BCE S ∆=．其中正确的个数有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个14．如图，已知在正方形ABCD 中，4AD =，E ，F 分别是CD ，BC 上的一点，且45EAF ∠=︒，1EC =，点G 在CB 延长线上且GB DE =，连接EF ，则以下结论：①DE BF EF +=，②47BF =，③307AF =，④507AEF S ∆=中正确的个数有()个．A ．1B ．2C ．3D ．415．已知直线1:l y kx b =+与直线21:2l y x m =-+都经过6(5C -，8)5，直线1l 交y 轴于点(0,4)B ，交x 轴于点A ，直线2l 交y 轴于点D ，P 为y 轴上任意一点，连接PA 、PC ，有以下说法：①方程组12y kx b y x m =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩的解为6585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；②BCD ∆为直角三角形；③6ABD S ∆=；④当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为(0,1)．其中正确的说法是()A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④16．如图，等腰直角三角形纸片ABC 中，90C ∠=︒，把纸片沿EF 对折后，点A 恰好落在BC 上的点D 处，若1CE =，AB =()①BC =；②BD CE >；③2CED DFB EDF ∠+∠=∠；④DCE ∆与BDF ∆的周长相等．17．在平面直角坐标系中，对于任意三点A 、B 、C 的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S ah =．例如：三点坐标分别为(1,2)A ，(3,1)B -，(2,2)C -，则“水平底”5a =，“铅垂高”4h =，“矩面积”20S ah ==，若(1,2)D 、(2,1)E -、(0,)F t 三点的“矩面积”为15，则t 的值为()A ．3-或7B ．4-或6C ．4-或7D ．3-或618．如图，在长方形ABCD 中，6AB =，18BC =，点E 是BC 边上一点，且AE EC =，点P 是边AD 上一动点，连接PE ，PC ，则下列结论：①8BE =；②当10AP =时，PE 平分AEC ∠；③PEC ∆的周长最小值为；④当254AP =时，AE 平分BEP ∠．其中正确的个数有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个19．如图所示，在ABC ∆中，内角BAC ∠与外角CBE ∠的平分线相交于点P ，BE BC =，PB 与CE 交于点H ，//PG AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP ．下列结论：①2ACB APB ∠=∠；②::PAC PAB S S AC AB ∆∆=；③BP 垂直平分CE ；④PCF CPF ∠=∠．其中，正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个20．如图，点M 是直线y ＝2x +3上的动点，过点M 作MN 垂直于x 轴于点N ，y 轴上是否存在点P ，使得△MNP 为等腰直角三角形，则符合条件的点P 有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（）二．填空题（共40小题）21．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为__________cm ．22．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 中点，F 为BC 边上一点，且1CF =，连AF ，EG AF ⊥交BC 于G ，则BG =________．23．如图，已知点D 为ABC ∆内一点，AD 平分CAB ∠，BD AD ⊥，C CBD ∠=∠．若10AC =，6AB =，则AD 的长为________．24．如图，放置的1OAB ∆，△112B A B ，△223B A B ，⋯都是边长为2的等边三角形，边AO 在y 轴上，点1B 、2B 、3B ⋯都在直线3y x =上，则点2019A 的坐标为________．25．如图，直线33y x =上有点1A ，2A ，3A ，1n A +⋯，且11OA =，122A A =，234A A =，12n n n A A +=，分别过点1A ，2A ，3A ，1n A +⋯作直线y =的垂线，交y 轴于点1B ，2B ，3B ，1n B +⋯，依次连接12A B ，23A B ，34A B ，1n n A B +⋯，得到△112A B B ，△223A B B ，△334A B B ，⋯，△1n n n A B B +，则△445A B B 的面积为________．26．如图，在平面直角坐标系中，点(6,0)A ，点(0,2)B ，点P 是直线1y x =--上一点，且45ABP ∠=︒，则点P 的坐标为________．27．如图，E 是腰长为2的等腰直角ABC ∆斜边上一点，且BE BC =，P 为CE 上任意一点，PQ BC ⊥于点Q ，PR BE ⊥于点R ，则PQ PR +的值是________．28．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点E 在AC 上，且1AE =，连接BE ，90BEF ∠=︒，且BE FE =，连接CF ，则CF 的长为________．29．甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的A ，B 两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A 处后行走的路程y （单位：)m 与行走时间x （单位：)min 的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离y （单位：)m 与甲行走时间x （单位：)min 的函数图象，则a b -=________．30．如图，已知//AB CD ，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作：第一次操作，分别作ABE ∠和DCE ∠的平分线，交点为1E ，第二次操作，分别作1ABE ∠和1DCE ∠的平分线，交点为2E ，第三次操作，分别作2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ，⋯，第n 次操作，分别作1n ABE -∠和1n DCE -∠的平分线，交点为n E ．若1n E ∠=度，那BEC ∠等于________度．31．如图，由多个直角三角形拼成的美丽图案，已知直角边2OA =，其它直角边11223341AA A A A A A A ====⋯=，则2021OA =________．32．已知关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的唯一解是41x y =⎧⎨=⎩，则关于m ，n 的方程组11112222(26)(26)a m b n c b a m b n c b --=+⎧⎨--=+⎩的解是________．33．如图，ABC ∆中，10BC =，4AC AB -=，AD 是BAC ∠的角平分线，CD AD ⊥，则BDC S ∆的最大值为________．34．如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，点E 是AD 中点，过点E 作BC 垂线交BC 于点F ，已知10BC =，ABD ∆的面积为18，则EF 的长为________．35．某通信公司提供了两种移动电话收费方式：方式1：收月基本费20元，再以每分钟0.1元的价格计费：方式2：收月基本费20元，送80分钟通话时间，超过80分钟的部分，以每分钟0.15元的价格计费．下列结论：①如图描述的是方式1的收费方法；②若月通话时间少于240分钟，选择方式2省钱；③若月通信费为50元，则方式1比方式2的通话时间多；@若方式1比方式2的通信费多10元，则方式1比方式2的通话时间多100分钟．其中正确结论的序号是________________．36．如图，直线22y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 是第二象限内一点，ABC ∆为等腰直角三角形且90C ∠=︒，则直线BC 的解析式为________________．37．如图在ABC ∆，ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD CE =；②BD CE ⊥；③45ACE DBC ∠+∠=︒；④2222()BE AD AB =+，其中结论正确的是________________．38．如图，一次函数483y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点．P 是x 轴上一个动点，若沿BP 将OBP ∆翻折，点O 恰好落在直线AB 上的点C 处，则点P 的坐标是________________．39．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的一点，4BE =，8EC =，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC 于点G ，连接AG ，现在有如下四个结论：①45EAG ∠=︒；②FG FC =；③//FC AG ；④14.4GFC S ∆=．其中结论正确的序号是________________．40．如图，在平面直角坐标系中，对ABC ∆进行循环往复的轴对称变换，若原来点A 的坐标是(2,3)，则经过第2020次变换后所得的A 点坐标是________________．41．如图，矩形ABCD 中，4AD =，2AB =．点E 是AB 的中点，点F 是BC 边上的任意一点（不与B 、C 重合），EBF ∆沿EF 翻折，点B 落在B '处，当DB '的长度最小时，BF 的长度为________．42．如图，以AB 为斜边的Rt ABC ∆的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN ，正方形BCPQ ，正方形ACEF ，且边EF 恰好经过点N ．若346S S ==，则15S S +=________．（注：图中所示面积S 表示相应封闭区域的面积，如3S 表示ABC ∆的面积）43．如图，长方形ABCD 中，4AD =，3AB =，点P 是AB 上一点，1AP =，点E 是BC 上一动点，连接PE ，将BPE ∆沿PE 折叠，使点B 落在B '，连接DB '，则PB DB ''+的最小值是________．44．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,6)，点B 为x 轴上一动点，以AB 为边在直线AB 的右侧作等边三角形ABC ．若点P 为OA 的中点，连接PC ，则PC 的长的最小值为________．45．在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，点D 在边AB 上，连接CD ，将ADC ∆沿直线CD 翻折，点A 恰好落在BC 边上的点E 处，若3AC =，1BE =，则DE 的长是________．46．如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，P 是边AD 上一点，将ABP ∆沿着直线BP 翻折得到△A BP '．当8AP =时，A D '=2，连接A C '，当2AP =时，此时△A BC '的面积为________________．47．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(0,2)，点B 为x 轴上的动点，以AB 为边作等边三角形ABC ，当OC 最小时点C 的坐标为____________________________．48．如图，点(2,0)A -，直线33:?33l y x =+与x 轴交于点B ，以AB 为边作等边1ABA ∆，过点1A 作11//A B x 轴，交直线l 于点1B ，以11A B 为边作等边△112A B A ，过点2A 作22//A B x 轴，交直线l 于点2B ，以22A B 为边作等边△223A B A ，则点3A 的坐标是________．49．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，D 为BC 上一点，连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，取AE AD =，连接BE 交AC 于F ．当AEF ∆为等腰三角形时，CD =________．50．在平面直角坐标系xOy 中，我们把点O ，(0,4)A ，(8,4)B ，(8,0)C 顺次连接起来，得到一个长方形区域，P 为该区域（含边界）内一点．若将点P 到长方形相邻两边的距离之和的最小值记为d ，则称P 为“d 距点”．例如：点(5,3)P 称为“4距点”．当4d =时，横、纵坐标都是整数的点P 的个数为________个．51．如图，已知ABC ∆中，6AB AC ==，45A ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，将BCD ∆沿BC 翻折，使点D 落在点E 处，延长EB 与CD 的延长线交于点F ．求BF 的长为________．52．已知：k 为正数，直线1:1l y kx k =+-与直线2:(1)l y k x k =++及x 轴围成的三角形的面积为k S ，则2S =_______，1232020S S S S +++⋯+的值为__________．53．如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ACB ∆的顶点A 在ECD ∆的斜边DE 上，CD 交AB 于点F，若AE =2AD =，则ACF ∆的面积为________________．54．在长方形ABCD 中，52AB =，4BC =，CE CF =，延长AB 至点E ，连接CE ，CF 平分ECD ∠，则BE =________．55．如图，在平面直角坐标系中，点1(1,1)A 在直线y x =图象上，过1A 点作y 轴平行线，交直线y x =-于点1B ，以线段11A B 为边在右侧作正方形1111A B C D ，11C D 所在的直线交y x =的图象于点2A ，交y x =-的图象于点2B ，再以线段22A B 为边在右侧作正方形2222A B C D ⋯依此类推．按照图中反映的规律，则点n A 的坐标是第2020个正方形的边长是________________．56．如图，已知30MON ∠=︒，B 为OM 上一点，BA ON ⊥于A ，四边形ABCD 为正方形，P 为射线BM 上一动点，连接CP ，将CP 绕点C 顺时针方向旋转90︒得CE ，连接BE ，若AB =，则BE 的最小值为________．——————57．当m ，n 是正实数，且满足m n mn +=时，就称点(,m P m n为“美好点”．已知点(1,8)A 与点B 的坐标满足y x b =-+，且点B 是“美好点”，则OAB ∆的面积为．58．如图，在平面直角坐标系中，点A ，1A ，2A ，⋯在x 轴上，点P ，1P ，2P ，⋯在直线3:(0)4l y kx k =+>上，90OPA ∠=︒，点(1,1)P ，(2,0)A ，且1AP ，12A P ，⋯均与OP 平行，11A P ，22A P ，⋯均与AP 平行，则有下列结论：①直线1AP 的函数解析式为2y x =-；②点2P 的纵坐标是259；③点2021P 的纵坐标为20215()3．其中正确的是（填序号）．59．如图，ABC ∆中，45A ∠=︒，3AB =，AC =，若点D 、E 、F 分别是三边AB 、BC 、CA 上的动点，则DEF ∆60．如图，ABC ∆中，75BAC ∠=︒，60ACB ∠=︒，4AC =，则ABC ∆D ，点E ，点F分别为BC ，AB ，AC 上的动点，连接DE ，EF ，FD ，则DEF ∆的周长最小值为．。
2021-2022学年北京市海淀区八年级(上)期末数学试题及答案解析
2021-2022学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷1.下列冰雪运动项目的图标中，是轴对称图形的是( )A. B. C. D.2.2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息．将数字0.000003用科学记数法表示应为( )A. 30×10−3B. 3×10−6C. 3×10−5D. 0.3×10−43.下列变形是因式分解的是( )A. x(x+1)=x2+xB. x2+6x+4=(x+3)2−5C. x2+xy−3=x(x+y)−3D. x2+2x+1=(x+1)24.下列计算正确的是( )A. (3a3)2=9a6B. a3+a2=2a5C. a3⋅a2=a6D. a8÷a2=a45.如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E.若EC=3，则DC的长为( )A. 4B. 5C. 6D. 76.下列变形正确的是( )A. yx =y+3x+3B. yx=−y−xC. yx=y2x2D. y x=x y7.如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B=75°，则∠ACD的度数为( )A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°8.某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为24，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为( )C. 2D.A. 1B. 32839.若分式1有意义，则x的取值范围为．x−210.在平面直角坐标系xOy中，点A(2,4)与点B关于y轴对称，则点B的坐标是．11.分解因式：3a2−12=．12.若x=4是关于x的方程2x−m=3的解，则m的值为．x−313.等腰三角形的一个角等于40°，则它的顶角的度数是．14.在〇处填入一个整式，使关于x的多项式x2+〇+1可以因式分解，则〇可以为.(写出一个即可)15.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分∠ABC，EF=2，BC=8，则△CDF的面积为．16.如图，在△ABC中，AC=BC，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E.CD的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点．作直线FG，若再分别以点C，D为圆心，大于12直线FG经过点E，则∠AEG的度数为°.17.计算：(−π)0+(13)−1−28÷26．18.化简：(x−2)2+(x+3)(x+1)．19.化简：[(x+3y)(x−3y)−x2]÷9y．20.解方程：1x =5x+321.如图，已知线段AB及线段AB外一点C，过点C作直线CD，使得CD⊥AB．小欣的作法如下：①以点B为圆心，BC长为半径作弧；②以点A为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于另外一点D；③作直线CD．则直线CD即为所求．(1)根据小欣的作图过程补全图形；(2)完成下面的证明．证明：连接AC，AD，BC，BD．∵BC=BD，∴点B在线段CD的垂直平分线上．(______)(填推理的依据)∵AC=______，∴点A在线段CD的垂直平分线上．∴直线AB为线段CD的垂直平分线．∴CD⊥AB．22.在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中△ABC是一个格点三角形．请在图1和图2中各画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并画出对称轴．23.如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D，E在BC边上，AD=AE.求证：CD=BE．24.已知a2+2a−1=0，求代数式(a2−1a2−2a+1−11−a)÷1a2−a的值．25.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需要的时间与原计划生产450台机器所需要的时间相同，现在平均每天生产多少台机器？26.如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A(−4,0)，B(4,0)，C(0,4)，给出如下定义：若P为△ABC 内(不含边界)一点，且AP与△BCP的一条边相等，则称P为△ABC的友爱点．(1)在P1(0,3)，P2(−1,1)，P3(−2,1)中，△ABC的友爱点是______．(2)如图2，若P为△ABC内一点，且∠PAB=∠PCB=15°，求证：P为△ABC的友爱点；(3)直线l为过点M(0,m)且与x轴平行的直线，若直线l上存在△ABC的三个友爱点，直接写出m 的取值范围是______．27. 在分式N M 中，若M ，N 为整式，分母M 的次数为a ，分子N 的次数为b(当N 为常数时，b =0)，则称分式NM 为(a −b)次分式．例如，x+1x 4−x 3为三次分式． (1)请写出一个只含有字母x 的二次分式______；(2)已知A =mx+2x−3，B =nx+3x 2−9(其中m ，n 为常数)． ①若m =0，n =−5，则A ·B ，A +B ，A −B ，A 2中，化简后是二次分式的为______； ②若A 与B 的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求2m +n 的值．28. 在△ABC 中，∠B =90°，D 为BC 延长线上一点，点E 为线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，连接EA ，EC ，ED ．(1)如图1，当∠BAC =50°时，则∠AED =______°；(2)当∠BAC =60°时，①如图2，连接AD ，判断△AED 的形状，并证明；②如图3，直线CF 与ED 交于点F ，满足∠CFD =∠CAE.P 为直线CF 上一动点．当PE −PD 的值最大时，用等式表示PE ，PD 与AB 之间的数量关系为______，并证明．答案和解析1.【答案】D【解析】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：D．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】B【解析】解：0.000003=3×10−6．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查的是因式分解的概念的有关知识，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．【解答】解：A.是整式的乘法，故A错误；B.没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B错误．C.没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；D.把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D正确．故选：D．4.【答案】A【解析】解：A、(3a3)2=9a6，故A符合题意；B、a3与a2不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；C、a3⋅a2=a5，故C不符合题意；D、a8÷a2=a6，故D不符合题意；故选：A．利用合并同类项的法则，积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则掌握．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，能求出∠CDE=30°是解此题的关键．根据△ABC是等边三角形得出∠C=60°，由DE⊥AC得出∠DEC=90°，从而可以求出∠CDE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出DC即可．【解答】解：因为△ABC是等边三角形，所以∠C=60°，因为DE⊥AC，所以∠DEC=90°，所以∠CDE=180°−∠DEC−∠C=180°−90°−60°=30°，DC，所以EC=12所以CD =2EC ，因为EC =3，所以CD =2×3=6．6.【答案】B【解析】解：A 、当x =y ≠0时，y x =y+3x+3，故A 不符合题意． B 、y x =−y −x ，故B 符合题意．C 、当x =y ≠0时，y x =y2x 2，故C 不符合题意． D 、当x =y ≠0时，y x =x y ，故D 不符合题意．故选：B ．根据分式的基本性质即可求出答案．本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 7.【答案】C【解析】解：因为△ABC≌△DEC ，所以∠ACB =∠DCE ，BC =EC ，所以∠ACB −∠ACE =∠DCE −∠ACE ，即∠BCE =∠ACD ，因为BC =EC ，所以∠BEC =∠B =75°，所以∠BCE =180°−∠B −∠BEC =30°，所以∠ACD =30°．故选：C ．由全等三角形的性质可得∠ACB =∠DCE ，BC =EC ，从而可求得∠BCE =∠ACD ，∠BEC =∠B =75°，由三角形的内角和可求得∠BCE =30°，从而得解．本题主要考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．8.【答案】B【解析】解：设AB=a，BC=b，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12可得，4a×2+4b×2=24，2a2+2b2=12，即a+b=3①，a2+b2=6②，由①得，a2+2ab+b2=9③，③−②得2ab=3，，所以ab=32，即长方形ABCD的面积为32故选：B．设AB=a，BC=b，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12列方程求解即可．本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提．9.【答案】x≠2【解析】【分析】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．根据分母不为零，分式有意义，可得答案．【解答】解：由题意，得x−2≠0．解得x≠2，故答案为：x≠2．10.【答案】(−2,4)【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，点A(2,4)关于y轴对称的点B的坐标是(−2,4)，故答案为：(−2,4)．根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．此题主要考查了轴对称中的坐标变化，正确掌握点的坐标特点是解题关键．11.【答案】3(a+2)(a−2)【解析】解：3a2−12=3(a2−4)=3(a+2)(a−2)．先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要继续利用平方差公式进行因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．12.【答案】5=3，【解析】解：2x−mx−32x−m=3(x−3)，2x−3x=−9+m，−x=m−9，即x=9−m，∵方程的解为x=4，∴4=9−m，∴m=5．故答案为：5．解方程可得x=9−m，由题意可得4=9−m，求出m的值即可．本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键．13.【答案】40°或100°【解析】解：分两种情况讨论：①若40°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为40°；②若40°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°−40°×2=100°．∴这个等腰三角形的顶角的度数为：40°或100°．故答案为：40°或100°．由等腰三角形中有一个角等于40°，可分别从①若40°为顶角与②若40°为底角去分析求解，即可求得答案．此题考查了等腰三角形的性质．解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用．14.【答案】2x(答案不唯一)【解析】解：在〇处填入一个整式，使关于x的多项式x2+〇+1可以因式分解，则〇可以为：2x，x2+2x+1=(x+1)2．故答案为：2x(答案不唯一)．根据完全平方公式的特征即可解答．本题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．15.【答案】4【解析】解：过点F作FG⊥BC，垂足为G，如图，∵BF平分∠ABC，CE⊥AB，EF=2，∴FG=FE=2，∵BC=8，AD为BC边上的中线，∴CD=12BC=4，∴S△CDF=12CD⋅FG=12×4×2=4．故答案为：4．过点F作FG⊥BC，由角平分线的性质可得FG=FE=2，再由AD是中线，则有CD=4，利用三角形的面积公式可求得△CDF的面积．本题主要考查角平分线的性质，解答的关键是熟记角平分线的性质．16.【答案】126【解析】解：连接AD、DE，如图，设∠C=α，由作法得EF垂直平分CD，∴ED=EC，∴∠EDC=∠C=α，∴∠AED=∠EDC+∠C=2α，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=2α，∵CA=CB，∴∠B=12(180°−∠C)=90°−12α，∵AB=AD，∴∠ADB=∠B=90°−12α，∵∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°，∴90°−12α+2α+α=180°，解得α=36°，∴∠AEG=90°+∠C=90°+36°=126°．故答案为126．连接AD、DE，如图，设∠C=α，利用基本作图得到ED=EC，则∠EDC=∠C=α，所以∠AED=2α，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B=90°−12α，接着利用AB=AD得到∠ADB=∠B=90°−12α，则根据∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°求出α=36°，然后利用三角形外角性质计算∠AEG的度数．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质以及角的计算．17.【答案】解：(−π)0+(1)−1−28÷263=1+3−22=4−4=0．【解析】先化简零指数幂，负整数指数幂，计算同底数幂的除法，最后进行计算即可．本题主要考查了有理数的混合运算，涉及了零指数幂，负整数指数幂和同底数幂的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．18.【答案】解：原式=x2−4x+4+(x2+x+3x+3)=x2−4x+4+x2+x+3x+3=2x2+7．【解析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握完全平方公式，多项式乘多项式运算法则是解题的关键．根据完全平方公式以及多项式乘多项式的运算法则计算即可．19.【答案】解：原式=[x2−9y2−x2]÷9y=−9y2÷9y=−y．【解析】先利用平方差计算，再算中括号里面的，最后算除法即可．本题考查整式的混合运算，掌握平方差公式和整式的混合运算法则是求解本题的关键．20.【答案】解：去分母，得：x+3=5x，化简，得：4x=3，．系数化为1：x=34是原方程的根．经检验，x=34【解析】本题考查解分式方程，该分式方程等号左右分式的最简公分母是x(x+3)，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解，最后结果要检验即可．21.【答案】解：(1)图形如图所示：(2)到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；AD．【解析】(1)见答案；(2)连接AC，AD，BC，BD．∵BC=BD，∴点B在线段CD的垂直平分线上．(到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)∵AC=AD，∴点A在线段CD的垂直平分线上．∴直线AB为线段CD的垂直平分线．∴CD⊥AB．故答案为：到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；AD．(1)根据题目要求作出图形即可；(2)利用线段的垂直平分线的判定解决问题即可．本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题．22.【答案】解：如图1，2中，△DEF即为所求(答案不唯一)．【解析】根据轴对称的性质作出图形即可．本题考查作图−轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．23.【答案】证明：因为AD=AE，所以∠AED=∠ADE，所以∠CEA=∠BDA，在△ACE与△ABD中，{∠C=∠B∠CEA=∠BDA AE=AD,所以△ACE≌△ABD(AAS)，所以CE=BD，所以CE+ED=DB+ED，即CD=BE．【解析】根据AAS证明△ACE与△ABD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明△ACE与△ABD全等．24.【答案】解：原式=[(a+1)(a−1)(a−1)2+1a−1]·a(a−1)=(a+1a−1+1a−1)·a(a−1)=a+1+1a−1·a(a−1)=a2+2a，因为a2+2a−1=0，所以a2+2a=1，所以原式=a2+2a=1．【解析】原式小括号内的式子先进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后利用整体思想代入求值．本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序(先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的)和计算法则，利用整体代入求值是关键．25.【答案】解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天可生产(x−50)台．依题意得：600x =450x−50．解得：x=200．检验：当x=200时，x(x−50)≠0．所以x=200是原分式方程的解．答：现在平均每天生产200台机器．【解析】本题考查列分式方程解实际问题的能力，因为现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．26.【答案】(1)P1，P2；(2)证明：在Rt△AOC和Rt△BOC中，OA=OB=OC=4，∴∠OAC=∠OCA=∠OCB=∠OBC=45°，∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°，∵∠PAB=∠PCB=15°，∴∠PAC=∠OAC−∠PAB=30°，∠ACP=∠ACB−∠PCB=75°，∴∠APC=180°−∠PAC−∠ACP=75°=∠ACP，∴AP=AC，∴AP=BC，∴P点是△ABC的友爱点；(3)0<m<2．【解析】(1)根据轴对称的性质和坐标得出OA，OB，OC，根据友爱点的定义分析即可；(2)根据三角形的内角和定理得出∠APC，进而利用等腰三角形的判定解答即可；(3)根据友爱点的概念分三种情况①AP=BP，②AP=CP，③AP=BC=AC解答即可．此题考查新定义的综合题，关键是根据轴对称的性质求解．(1)解：∵A(−4,0)，B(4,0)，C(0,4)，∴OA=OB=OC=4，AC=BC=√42+42=4√2，连接P1A，P1B，如图，∵A点与B点关于y轴对称，点P1在y轴上，∴P1A=P1B，∴P1点是△ABC的友爱点；连接P2A，P2B，P2C，过点P2分别作x轴，y轴的垂线段P2M，P2N，如图，则OM=P2M=ON=P2N=1，∠AMP2=∠CNP2=90°，∴AM=CN=3，在Rt△AP2M与Rt△CP2N中，{AM=CN∠AMP2=∠CNP2 P2M=P2N，∴Rt△AP2M≌Rt△CP2N(SAS)，∴AP2=CP2，∴P2点是△ABC的友爱点；连接P3A，P3B，P3C，过点P3分别作x轴，y轴的垂线段P3D，P3E，如图，则OD=P3E=2，OE=P3D=1，∠ADP3=∠BDP3=∠CEP3=90°，∴AD=2，BD=6，CE=3，∴P3点不是△ABC的友爱点；综上所述，△ABC的友爱点是P1，P2，故答案为：P1，P2；(2)见答案；(3)由题意知，△ABC的友爱点P，满足AP=BP或AP=CP或AP=BC=AC，若AP=BP，则点P在线段AB的垂直平分线上，即y轴上；若AP=CP，则点P在线段AC的垂直平分线上；若AP=BC=AC，则点P在以点A为圆心，AC长为半径的圆弧上，设AC的中点为G，则点G的纵坐标为2，如图，由图可知，当直线l在过点G且平行于x轴的直线与x轴之间时，直线l存在△ABC的友爱点，∴直线l为过点M(0,m)且与x轴平行的直线，若直线l上存在△ABC的三个友爱点，则m的取值范围是0<m<2；故答案为：0<m<2．27.【答案】解：(1)xx3−1(答案不唯一)；(2)①A⋅B，A2；②解：A+B=mx+2x−3+nx+3x2−9，∵A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，∴n=1，结果为mx+2x−3+1x−3=mx+3x−3，∴m=0，∴2m+n=0+1=1；由①知：m=0，n=−5时，也符合条件，此时2m+n=−5；综上，2m+n的值为1或−5．【解析】解：(1)根据新定义可得只含有字母x的二次分式xx3−1(答案不唯一)；(2)①当m=0，n=−5时，A=mx+2x−3=2x−3，B=nx+3x2−9=−5x+3x2−9∴A·B=2x−3·−5x+3x2−9=−10x+6(x−3)(x2−9)=−10x+6x3−3x2−9x+27，分母是3次，分子是1次，所以A·B是二次分式；A+B=2x−3+−5x+3x2−9=2(x+3)−5x+3(x+3)(x−3)=−3x+9(x−3)(x+3)=−3(x−3)(x−3)(x+3)=−3x+3，分母是1次，分子是常数，所以A+B是一次分式，不是二次分式；A −B =2x−3−−5x+3(x+3)(x−3)=2(x+3)−(−5x+3)(x−3)(x+3)=2x+6+5x−3(x−3)(x+3)=7x+3x 2−9， 分母是2次，分子是一次，所以A +B 是一次分式，不是二次分式；A 2=(2x−3)2=4x 2−6x+9，是二次分式； 故答案为：A ⋅B ，A 2；②见答案．(1)根据材料中的新定义求解；(2)①把m =0，n =−5代入可计算A 和B 的值，分别代入A ⋅B ，A +B ，A −B ，A 2中计算，并根据新定义判断是否是二次分式；②计算A +B 并根据一次分式的定义可得m 和n 的值，代入2m +n 中计算求值即可．本题考查了新定义和分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．28.【答案】解：(1)80；(2)①结论：△AED 是等边三角形．理由：如图2中，∵点E 是线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，∴EA =EC =ED ，∴∠EAC =∠ECA ，∠ECD =∠EDC ，∵∠ABC =90°，∠BAC =60°，∴∠ACB =90°−60°=30°，∴∠ACD =180°−30°=150°，∴∠EAC +∠ACD +∠EDC =300°，∴∠AED=360°−300°=60°，∴△ADE是等边三角形；②PE−PD=2AB．【解析】解：(1)如图1中，∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，∴EA=EC=ED，∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC，∵∠ABC=90°，∠BAC=50°，∴∠ACB=90°−50°=40°，∴∠ACD=180°−40°=140°，∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=280°，∴∠AED=360°−280°=80°，故答案为：80．(2)①见答案；②PE−PD=2AB;证明：如图3中，作点D关于直线CF的对称点D′，连接CD′，DD′，ED′．当点P在ED′的延长线上时，PE−PD的值最大，此时PE−PD=ED′，∵∠CFD+∠CFE=180°，∠CFD=∠CAE，∴∠CAE+∠CFE=180°，∴∠ACF+∠AEF=180°，∵∠AED=60°，∴∠ACF=120°，∴∠ACB=∠FCD=30°，∴∠DCF=∠FCD′=30°，∴∠DCD′=60°，∵CD=CD′，∴△CDD′是等边三角形，∴DC=DD′，∠CDD′=∠ADE=60°，∴∠ADC=∠EDD′，∵DA=DE，在△ADC和△EDD′中，{CD=DD′∠ADC=∠EDD′DA=DE∴△ADC≌△EDD′(SAS)，∴AC=ED′，∵∠B=90°，∠ACB=30°，∴AC=2AB，∴PE−PD=2AB．故答案为：PE−PD=2AB..(1)利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；(2)①△ADE是等边三角形，证明EA=ED，∠AED=60°即可；②结论：PE−PD=2AB.如图3中，作点D关于直线CF的对称点D′，连接CD′，DD′，ED′.当点P在ED′的延长线上时，PE−PD的值最大，此时PE−PD=ED′，利用全等三角形的性质证明ED′=AC，可得结论．本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题．。
北京市八年级上册期末数学试卷精选汇编：选择压轴题(含答案)
选择压轴题海淀区10.已知长方形ABCD 可以按图示方式分成九部分，在a ，b 变化的过程中，下面说法正确的有①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD 的周长 ②长方形ABCD 的长宽之比可能为2③当长方形ABCD 为正方形时，九部分都为正方形 ④当长方形ABCD 的周长为60时，它的面积可能为100 A ．①② B ．①③ C ．②③④ D ．①③④答案：B 东城区10. 已知OP 平分∠AOB ，点Q 在OP 上，点M 在OA 上，且点Q ,M 均不与点O 重合.在OB 上确定点N ，使QN =QM ，则满足条件的点N 的个数为A.1 个B.2个C.1或2个D.无数个答案：C 丰台区8．如图，每个小方格的边长为1，A ，B 两点都在小方格的顶 点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且△ABC 是等腰三 角形，那么点C 的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C密云区8.对任意两个正实数a,b ,定义新运算a ★b 为：若a b ≥,则a ★b；若a b <，则a ★b则下列说法中正确的有 ① a b b a =★★ ② ()(a b b a ★★)=1 ③a ★b+1a b★<2 A. ① B.② C. ①② D. ①②③答案：A 门头沟区8.如图，在正方形网格内（每个小正方形的边长为1），有一格点三角形ABC （三个顶点分别在正方形的格点上），现需要在网格内构造一个新的格点三角形与原三角形全等，且有一条边与原三角形的一条边重合，这样的三角形可以构造出A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个答案：C朝阳区8．如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 在第一象限，B （2，0），∠AOB =60°，∠ABO =90°. 在x 轴上取一点P （m ，0），过点P 作直线l 垂直于直线OA ， 将OB 关于直线l 的对称图形记为O ′B ′， 当O ′B ′和过A 点且平行于x 轴的直线有交点时， m 的取值范围为 （A ）m ≥4 （B ）m ≤6 （C ）4＜m ＜6 （D ）4≤m ≤6答案：D顺义区8．如图，在 △ABC 中，AD ，AE 分别是 △ABC 的角平分线和高线，用等式表示∠DAE 、∠B 、∠C 的关系正确的是 A ．2DAE B C ∠=∠-∠ B ． 2DAE B C ∠=∠+∠ C ．DAE B C ∠=∠-∠ D ．3DAE B C ∠=∠+∠答案：A昌平区8．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数. 英子同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中数据的规律，可得x y +的值为x y 65…… …… ……24 10 2615 8 178 6 103 4 5a b c（A ）47 （B ）62 （C ）79 （D ）98答案：C平谷区8.已知锐角∠AOBE DA CB如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧DE ，交射线OB 于点F ，连接CF ；（2）以点F 为圆心，CF 长为半径作弧，交弧DE 于点G ； （3）连接FG ，CG ．作射线OG.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 A.∠BOG=∠AOB B.若 CG=OC 则∠AOB=30°C.OF 垂直平分CGD.CG=2FG答案：D燕山地区8．豆豆老师到学校距离是8千米，她开车上班的平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，已知豆豆老师自己开车上班比乘公交车上班所需的时间少用41小时，若设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为 A ．x x 5.28158=+ B ．x x 5.28158+= C ．x x 5.28418=+ D ．415.288+=x x 答案：D延庆区8.如图，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，BE 与CD 交于点F ， 给出下列三个条件：①∠DBF =∠ECF ；②∠BDF =∠CEF ； ③BD =CE ．两两组合在一起，共有三种组合： （1）① ② （2）① ③ （3）②③ 问能判定AB =AC 的组合的是A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）答案：C房山区F EDBA西城区答案：C 大兴区答案：B 石景山区答案：D 通州区答案：C。