江苏省苏州市2019-2020学年高一下学期期末数学试卷 (含解析)
江苏省苏州市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（）A．16πB．20πC．36πD．40π2．苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是（）A．20 B．40 C．60 D．803．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于5的概率为（）A．B．C．D．4．在同一平面直角坐标系中，两直线﹣＝1与﹣＝1的图象可能是（）A．B．C．D．5．围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（）A．B．C．D．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BB1上靠近B的三等分点，点F是棱CC1的中点，且三棱锥A1﹣AEF的体积为2，则平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．207．已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝60°，且△ABC的面积为，则b的取值范围是（）A．[2，）B．[，）C．[2，6）D．[4，6）8．在平面直角坐标系xOy中，两圆O1，O2均过点（3，0），它们的圆心分别为（x1，0），（x2，0），满足+＝，若两圆与y轴正半轴分别交于（0，y1），（0，y2），则y1y2的值为（）A．2 B．6C．9 D．与x1，x2的取值有关二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区实施乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图饼图：则下面结论中正确的有（）A．乡村振兴建设后，种植收入减少B．乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上C．乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍D．乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半10．已知函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增，则实数a的可能值为（）A．B．C．D．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＝2，∠B＝，若添加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是（）A．c＝3 B．c＝C．c＝4 D．c＝12．如图，点E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A．直线AD与直线C1M始终是异面直线B．存在点M，使得B1M⊥AEC．四面体EMAC的体积为定值D．当D1M＝2MB时，平面EAC⊥平面MAC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为．15．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x﹣y＝0和x+ay＝5上，且线段AB的中点为P（0，5），则|AB|＝．16．已知在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，则球O的表面积为，若P为线段AD的中点，则过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，M，N分别为BC，AC的中点，侧面A1ACC1是菱形，∠A1AC＝60°．（1）求证：AB∥平面A1MN；（2）求证：平面A1ACC1⊥平面A1MN．18．已知圆C经过两点P（1，﹣1），Q（﹣1，1），且圆心C在直线x+y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点M（0，3）的直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．19．随着我国中医学的发展，药用昆虫的需求愈来愈多，每年春暖花开后，昆虫大量繁殖．研究发现某类药用昆虫的个体产卵数y（单位：个）与温度x（单位：℃）有关，科研人员随机挑选了3月份中的5天进行研究，收集了5组观测数据如表：温度x/℃9 11 13 12 8产卵数y/个23 25 30 26 20科研人员确定的研究方案是：先用前三组数据建立y关于x的线性回归方程，再用后两组数据进行检验．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到后两组的估计数据与实际观测数据的误差均不超过2个，则认为线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（附：回归直线的斜率和截距的公式分别为＝，＝﹣．）20．在①b cos A﹣c＝0，②a cos B＝b cos A，③a cos C+b＝0这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，满足____．（1）请写出你的选择，并求出角A的值；（2）在（1）的结论下，已知点D在线段BC上，且∠ADB＝，求CD长．21．如图所示，等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，满足AD ＝1，DE⊥AB．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，连接A1B，A1C．（1）求二面角C﹣A1B﹣D的余弦值；（2）线段A1E上是否存在点P，使得直线CP与平面A1BC所成的角为60°？若存在，求出A1P的长；若不存在，请说明理由．22．如图，点P（x0，y0）是圆O：x2+y2＝9上一动点，过点P作圆O的切线l与圆O1：（x ﹣a）2+（y﹣4）2＝100（a＞0）交于A，B两点，已知当直线l过圆心O1时，|O1P|＝4．（1）求a的值；（2）当线段AB最短时，求直线l的方程；（3）问：满足条件＝的点P有几个？请说明理由．江苏省苏州市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（）A．16πB．20πC．36πD．40π【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．解：由圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为S侧＝π×4×5＝20π．故选：B．2．苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是（）A．20 B．40 C．60 D．80【分析】根据老年人抽取的人数计算抽取比例，再根据这个比例求青年人中需抽取的人数．解：由题可知抽取的比例为k＝＝，故青年人应该抽取人数为N＝800×＝40．故选：B．3．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于5的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝10．利用列举法求出这两个数之和等于5包含的基本事件有2个，由此能求出这两个数之和等于5的概率．解：从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，基本事件总数n＝＝10．这两个数之和等于5包含的基本事件有：（1，4），（2，3），共2个，则这两个数之和等于5的概率为p＝．故选：C．4．在同一平面直角坐标系中，两直线﹣＝1与﹣＝1的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据直线方程的截距式可知，直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为m，﹣n；直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为n，﹣m，然后结合选项，对m和n的正负性进行分析即可作出判断．解：直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为m，﹣n；直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为n，﹣m．对于A，一条直线的两截距均为正（不妨取m＞0，﹣n＞0，则n＜0），而另一条直线的两截距一正一负（即n＞0，﹣m＜0，则m＞0），在n的取值上互相矛盾；对于B，一条直线的两截距均为负（不妨取m＜0，﹣n＜0，则n＞0），而另一条直线的两截距一正一负（即n＞0，﹣m＜0，则m＞0），在m的取值上互相矛盾；对于C，一条直线的两截距均为负（不妨取m＜0，﹣n＜0，则n＞0），而另一条直线的两截距一负一正（即n＜0，﹣m＞0，则m＜0），在n的取值上互相矛盾；对于D，一条直线的两截距均为正（不妨取m＞0，﹣n＞0，则n＜0），而另一条直线的两截距均为负（即n＜0，﹣m＜0，则m＞0），符合．故选：D．5．围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出从中取出的2粒是同一种颜色的概率，由此能求出取出的2粒颜色不同的概率．解：这个问题，取出同是黑子的概率是，同是白子的概率是，∴从中取出的2粒是同一种颜色的概率是P1＝＝，∴取出的2粒颜色不同的概率P＝1﹣＝．故选：D．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BB1上靠近B的三等分点，点F是棱CC1的中点，且三棱锥A1﹣AEF的体积为2，则平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．20【分析】设四边形ABB1A1的面积为S，平面ABB1A1与平面DCC1D1的距离为d，由已知三棱锥A1﹣AEF的体积为2可得Sd的值，即平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积．解：设平行四边形ABB1A1的面积为S，平面ABB1A1与平面DCC1D1的距离为d，则△AA1E的面积为S，∵＝×S×d＝2，∴Sd＝12，则．故选：B．7．已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝60°，且△ABC的面积为，则b的取值范围是（）A．[2，）B．[，）C．[2，6）D．[4，6）【分析】由已知利用三角形的面积公式可求ac＝4，再由正弦定理可得b＝＝，可得b2＝，对于sin A sin（120°﹣A）化简整理可得sin （2A﹣30°）+，再根据三角函数的性质即可求出．解：∵B＝60°，△ABC的面积等于＝ac sin B＝ac，解得：ac＝4，∴A+C＝120°，∵△ABC为锐角三角形，∴30°＜A＜90°，由正弦定理可得＝＝，∴b＝＝，∴b2＝＝，由sin A sin（120°﹣A）＝sin A（cos A+sin A）＝sin A cos A+sin2A＝sin2A+＝（sin2A﹣cos2A）+＝sin（2A﹣30°）+，∵30°＜A＜90°，∴30°＜2A﹣30°＜150°，∴＜sin（2A﹣30°）≤1，∴＜sin（2A﹣30°）+≤∴4≤＜6，∴4≤b2＜6，∴2≤b＜故选：A．8．在平面直角坐标系xOy中，两圆O1，O2均过点（3，0），它们的圆心分别为（x1，0），（x2，0），满足+＝，若两圆与y轴正半轴分别交于（0，y1），（0，y2），则y1y2的值为（）A．2 B．6C．9 D．与x1，x2的取值有关【分析】根据圆上两点列方程，用x1，x2表示出y1，y2，再根据x1，x2的关系计算（y1y2）2即可得出答案．解：因为（3，0）和（0，y1）在圆O1上，O1（x1，0），∴|3﹣x1|＝，化简可得：y12＝9﹣6x1，同理可得：y22＝9﹣6x2，∴（y1y2）2＝（9﹣6x1）（9﹣6x2）＝81﹣54（x1+x2）+36x1x2，∵+＝＝，∴x1+x2＝x1x2，∴81﹣54（x1+x2）+36x1x2＝81，又y1＞0，y2＞0，∴y1y2＝9．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区实施乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图饼图：则下面结论中正确的有（）A．乡村振兴建设后，种植收入减少B．乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上C．乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍D．乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【分析】根据某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍，利用饼图的性质直接求解．解：对于A，设乡村振兴经济计划前农村经济收入为a，则经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入为2a，∴乡村振兴经济计划前种植收入为a×60%＝0.6a，经过三年的乡村振兴建设种植收入为2a×37%＝0.74a，∴乡村振兴建设后，种植收入增加，故A错误；对于B，乡村振兴经济计划前其它收入为a×4%＝0.04a，经过三年的乡村振兴建设其它收入为2a×5%＝0.1a，∴乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上，故B正确；对于C，乡村振兴经济计划前养殖收入为a×30%＝0.3a，经过三年的乡村振兴建设养殖收入为2a×30%＝0.6a，∴乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍，故C正确；对于D，乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为：30%+28%＝58%，超过了经济收入的一半，故D正确．故选：BCD．10．已知函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增，则实数a的可能值为（）A．B．C．D．【分析】求出复合函数的单调增区间，取k＝0，可得f（x）在[﹣，]上单调递增，再由函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增求得a的范围得答案．解：由，k∈Z，得，k∈Z．取k＝0，可得f（x）在[﹣，]上单调递增，又函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增，∴，即0＜a≤．∴实数a的可能值为，．故选：AB．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＝2，∠B＝，若添加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是（）A．c＝3 B．c＝C．c＝4 D．c＝【分析】由B的度数求出sin B的值，再由b的值，利用正弦定理得出c与sin C的关系式，同时由B的度数求出A+C的度数，再根据三角形只有一解，可得C只有一个值，根据正弦函数的图象与性质得到C的范围，且当C为直角时，也满足题意，进而由C的范围，求出正弦函数的值域，根据c与sin C的关系式，由正弦函数的值域即可可得出c的范围解：∵B＝，b＝2，根据正弦定理得：＝＝＝4，∴c＝4sin C，又A+C＝π﹣＝，且三角形只一解，可得C有一个值，∴0＜C≤，又C＝90°时，三角形也只有一解，∴0＜sin C≤，或sin C＝1，又c＝4sin C，∴c的取值范围为（0，2]∪{4}故选：AC．12．如图，点E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A．直线AD与直线C1M始终是异面直线B．存在点M，使得B1M⊥AEC．四面体EMAC的体积为定值D．当D1M＝2MB时，平面EAC⊥平面MAC【分析】当M为BD1的中点时可知A错误，证明BD1∥平面EAC可知C正确；建立空间坐标系，利用向量判断BD即可．解：（1）当M为BD1的中点时，直线AD与直线C1M是相交直线，交点为A，故A错误；（2）以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间坐标系D﹣xyz，设正方体棱长为1，则A（1，0，0），E（0，0，），B（1，1，0），D1（0，0，1），B1（1，1，1），∴＝（﹣1，0，），＝（0，0，﹣1），＝（﹣1，﹣1，1）．＝λ（0≤λ≤1），则＝+＝（﹣λ，﹣λ，λ﹣1），若B1M⊥AE，则•＝0，即λ+（λ﹣1）＝0，解得λ＝，∴当M为线段BD1的靠近B的三等分点时，B1M⊥AE，故B正确；（3）连接BD，取BD的中点O，连接EO，则O也是AC的中点，由中位线定理可知BD1∥EO，∴BD1∥平面ACE，故V E﹣MAC＝V M﹣ACE＝V B﹣ACE，故C正确；（4）∵AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥OE，AC⊥OM，故∠EOM为二面角E﹣AC﹣M的平面角，当D1M＝2BM时，M（，，），又O（，，0），∴＝（，，），＝（﹣，﹣，），∴＝﹣﹣+＝0，∴OE⊥MO，故平面EAC⊥平面MAC，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为40．【分析】由频率分布直方图先求出该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的频率，由此能求出该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数．解：由频率分布直方图得：该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的频率为：1﹣（0.005+0.020+0.035）×10＝0.4，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为：100×0.4＝40．故答案为：40．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为2．【分析】根据三角形内角的范围，利用同角三角函数的关系算出sin C的值，再由三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．解：∵cos C＝，∴C∈（0，π），可得sin C＝＝，∴S△ABC＝ab sin C＝×3×2×＝2，故答案为：2．15．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x﹣y＝0和x+ay＝5上，且线段AB的中点为P（0，5），则|AB|＝2．【分析】由两直线互相垂直可得a＝2，AB为直角三角形AOB的斜边，直角三角形斜边的中线PO的长为斜边AB的一半，且|PO|＝5，由此能求出|AB|．解：由已知两直线互相垂直可得：2×1+（﹣1）×a＝0，解得a＝2，∵线段AB中点为P（0，5），且AB为直角三角形AOB的斜边，联立，得O（1，2），∴|OP|＝＝，直角三角形斜边的中线PO的长为斜边AB的一半，且|PO|＝，∴|AB|＝2|PO|＝2，故答案为：2．16．已知在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，则球O的表面积为17π，若P为线段AD的中点，则过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为．【分析】设球O半径为R，然后求出R，再求出球O的表面积；先求出OP＝，根据条件可知，当过点P的平面截球O所得截面面积最小时，截面圆半径r＝，然后求出最小值．解：在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，设球O半径为R，则R＝＝，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×（）2＝17π．∵P为线段AD的中点，∴OP＝＝，当过点P的平面截球O所得截面面积最小时，截面圆半径r＝＝＝，∴过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为：S截面min＝＝．故答案为：17π；．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，M，N分别为BC，AC的中点，侧面A1ACC1是菱形，∠A1AC＝60°．（1）求证：AB∥平面A1MN；（2）求证：平面A1ACC1⊥平面A1MN．【分析】（1）由已知结合三角形中位线定理可得MN∥AB，再由直线与平面平行的判定得AB∥平面A1MN；（2）由已知证明A1N⊥AC，再由AB⊥AC，MN∥AB，可得MN⊥AC，利用直线与平面垂直的判定可得AC⊥平面A1NM，从而得到平面A1ACC1⊥平面A1MN．【解答】证明：（1）∵M，N分别为BC，AC的中点，∴MN是三角形ABC的中位线，可得MN∥AB，∵MN⊂平面A1MN，AB⊄平面A1MN，∴AB∥平面A1MN；（2）连接A1C，∵A1ACC1是菱形，∠A1AC＝60°，∴△A1AC是等边三角形，又N是AC的中点，∴A1N⊥AC，∵AB⊥AC，又由（1）知MN∥AB，∴MN⊥AC，而MN∩A1N＝N，∴AC⊥平面A1NM，而AC⊂平面A1ACC1，∴平面A1ACC1⊥平面A1MN．18．已知圆C经过两点P（1，﹣1），Q（﹣1，1），且圆心C在直线x+y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点M（0，3）的直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．【分析】（1）由题意设圆心C的坐标，再由圆C经过两点P，Q可得|PC|＝|QC|，可得圆心及半径的值，进而求出圆的方程；（2）分直线AB的斜率存在和不存在两种情况设直线AB的方程，求出圆心到直线AB 的距离d，由d2＝r2﹣（）2，可得直线AB的方程．解：（1）因为圆心C在直线x+y﹣2＝0上所以设圆心C的坐标（a，2﹣a），半径r＝，因为圆C经过两点P（1，﹣1），Q（﹣1，1），所以|PC|＝|QC|，即（a﹣1）2+（3﹣a）2＝（a+1）2+（1﹣a）2，解得a＝1，所以圆心C（1，1），r＝2，所以圆C的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4；（2）由（1）可得圆心C（1，1），r＝2，①当直线AB的斜率不存在时，及直线AB的方程为：x＝0，可得圆心C到直线AB的距离为d＝1，弦长|AB|＝2＝2＝2符合条件；②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，可得圆心C到直线AB的距离为d＝，因为|AB|＝2，而d2＝r2﹣（）2，即（）2＝4﹣3＝1，解得：k＝﹣，综上所述：直线AB的方程为：x＝0或y＝﹣x+3．19．随着我国中医学的发展，药用昆虫的需求愈来愈多，每年春暖花开后，昆虫大量繁殖．研究发现某类药用昆虫的个体产卵数y（单位：个）与温度x（单位：℃）有关，科研人员随机挑选了3月份中的5天进行研究，收集了5组观测数据如表：温度x/℃9 11 13 12 8产卵数y/个23 25 30 26 20科研人员确定的研究方案是：先用前三组数据建立y关于x的线性回归方程，再用后两组数据进行检验．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到后两组的估计数据与实际观测数据的误差均不超过2个，则认为线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（附：回归直线的斜率和截距的公式分别为＝，＝﹣．）【分析】（1）由已知数据求出与的值，可得y关于x的线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，分别取x＝12与8，求得y值，再与实际观测数据作差取绝对值，与2比较大小得结论．解：（1），，＝＝，＝﹣＝26﹣1.75×11＝6.75．∴y关于x的线性回归方程为；（2）当x＝12时，＝27.75，|27.75﹣26|＝1.75＜2．当x＝8时，，|20.75﹣20|＝0.75＜2．∴（1）中所得的线性回归方程是可靠的．20．在①b cos A﹣c＝0，②a cos B＝b cos A，③a cos C+b＝0这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，满足____．（1）请写出你的选择，并求出角A的值；（2）在（1）的结论下，已知点D在线段BC上，且∠ADB＝，求CD长．【分析】（1）依次代入条件①②③，可得①②不成立，故只能选③；（2）由（1）结论再结合余弦定理可得cos C，进而得到sin C，结合两角和差公式得到sin ∠CAD，利用正弦定理得到CD．解：（1）若选条件①，则有cos A＝＝＝2＞1，不合题意；若选条件②，由余弦定理可得a•＝b•，整理得a＝b，又因为此时a+b＝2＜4，不符合题意；若选条件③，由余弦定理可得a•+b＝0，即a2+3b2﹣c2＝0，所以a2＝c2﹣3b2＝16﹣6＝10，则cos A＝＝＝，因为A∈（0，π），所以A＝；故（1）答案选：③；（2）由（1）的cos C＝＝＝﹣，因为c∈（0，π），则sin C＝＝，sin∠CAD＝sin（﹣C）＝sin cos C﹣cos sin C＝，在△ACD中，因为＝，则CD＝＝＝．21．如图所示，等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，满足AD ＝1，DE⊥AB．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，连接A1B，A1C．（1）求二面角C﹣A1B﹣D的余弦值；（2）线段A1E上是否存在点P，使得直线CP与平面A1BC所成的角为60°？若存在，求出A1P的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题易知，∠A1DB为二面角A1﹣DE﹣B的平面角，即∠A1DB＝90°，以D为原点，DB、DE和DA1分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求出平面A1BC的法向量，由线面垂直的判定定理易证得DE⊥面A1BD，推出平面A1BD 的法向量为＝（0，1，0），然后根据空间向量数量积的坐标运算求出cos＜＞即可得解；（2）设线段A1E上存在点P（x，y，z）满足题意，且（λ∈[0，1]），根据空间向量的线性坐标运算可求得点P（0，λ，1﹣λ），从而得，由sin60°＝|cos ＜，＞|＝建立关于λ的方程，解之，若λ∈[0，1]，则存在点P符合，否则，不存在．解：（1）由题可知，BD⊥DE，A1D⊥DE，∵二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥BD，以D为原点，DB、DE和DA1分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，0，0），C（，，0），A1（0，0，1），E（0，，0），∴＝（2，0，﹣1），＝（，，﹣1），设平面A1BC的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝，z＝2，∴＝（1，，2），∵BD⊥DE，A1D⊥DE，且A1D、BD⊂面A1BD，A1D∩BD＝D，∴DE⊥面A1BD，∴平面A1BD的法向量为＝（0，1，0），∴cos＜＞＝＝，∵二面角C﹣A1B﹣D为锐二面角，故二面角C﹣A1B﹣D的余弦值为．（2）设线段A1E上存在点P（x，y，z）满足题意，且（λ∈[0，1]），则（x，y，z﹣1）＝λ（0，，﹣1），∴x＝0，y＝λ，z＝1﹣λ，即点P（0，λ，1﹣λ），∴＝（，，1﹣λ），由（1）知，平面A1BC的法向量为＝（1，，2），而CP与平面A1BC所成的角为60°∴sin60°＝|cos＜，＞|＝＝＝，解得λ＝或∉[0，1]，故不存在点P满足题意．22．如图，点P（x0，y0）是圆O：x2+y2＝9上一动点，过点P作圆O的切线l与圆O1：（x ﹣a）2+（y﹣4）2＝100（a＞0）交于A，B两点，已知当直线l过圆心O1时，|O1P|＝4．（1）求a的值；（2）当线段AB最短时，求直线l的方程；（3）问：满足条件＝的点P有几个？请说明理由．【分析】（1）依题意计算，可得结果；（2）解法1（代数法）：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，再求出d 的最大值即可得结果；解法2（几何法）：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，当且仅当O1，O，P三点共线时，d取得最大值，从而得解；（3）采用分类讨论，O1，O在直线AB同侧或异侧，假设|AP|＝t，可得d2+（2t）2＝100，并得t2＝|MP|2＝25﹣（d﹣3）2或t2＝|MP|2＝25﹣（d+3）2计算即可判断．解：（1）当直线l过圆心点O1时，，解得a＝3（负值舍去）．（2）解法1（代数法）：因为OP与圆O相切，所以直线l的方程为x0x+y0y＝9，且，所以圆心O1到直线l的距离，记z＝3x0+4y0，则直线3x0+4y0﹣z＝0 与圆有公共点，所以圆心（0，0）到直线3x+4y﹣z＝0 的距离，所以﹣15⩽z⩽15，所以当z＝﹣15 时，d max＝8，此时弦长|最短，由，解得，所以直线l的方程为3x+4y+15＝0．解法2（几何法）：如图，过O1作O1M⊥AB，则M为弦AB的中点，设d＝|O1M|，当|O1M|最长时，弦长|AB|最短，因为d⩽|O1P|⩽|OO1|+|OP|＝8，当且仅当O1，O，P三点共线时，取得最大值，此时OO1⊥AB，因为，所以直线OO1的方程为，由，解得（P点在第 3 象限）所以直线l的方程为3 x+4y+15＝0．（3）因为，所以设|AP|＝t，则|BP|＝3t（t＞0），所以|AB|＝4t，所以d2+（2t）2＝100 ①，（i）如图，当O1，O在直线AB同侧时，t2＝|MP|2＝25﹣（d﹣3）2②，由①②得d＝6 或d＝2，当d＝6 时，直线AB可看作是圆x2+y2＝9 与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝36 的公切线，此时两圆相交，公切线有两条，所以满足条件的点P有2个，d＝2 时，直线AB可看作是圆x2+y2＝9 与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4 的公切线，此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点P有2个，（ii）如图，当O1，O在直线AB异侧时，t2＝|MP|2＝25﹣（d+3）2，③由①③可得d＝﹣6 或d＝﹣2（舍），满足条件的P点不存在，综上，满足条件的点P共有4个．附：当d＝6 时，即|3x0+4y0﹣9|＝18，由，解得P（﹣3，0）或，当d＝2 时，即|3x0+4y0﹣9|＝6，由，解得或或舍去）．。
江苏省苏州市2019-2020学年高一下期末联考数学试题含解析
江苏省苏州市2019-2020学年高一下期末联考数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()f x 是定义在上的奇函数，且当时，2cos ,08,(){6log ,8,xx f x x x π<≤=>，那么（ ）A ．12-B ．32-C ．12D ．32【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，，故，故选C ．考点：分段函数的应用.2．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】C 【解析】，故选C.3．．若0ac >且0bc <，直线0ax by c 不通过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限，【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为0ac >且0bc <，所以0c b ->，0ab->， 又直线0ax by c 可化为a cy x b b=--，斜率为0a b ->，在y 轴截距为0cb->，因此直线过一二三象限，不过第四象限. 故选：D.4．下列结论正确的是（ ） A ．ac bc a b <⇒<B ．若0a b <<，则b aa b>C ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥ D a b <⇒<【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质进行分析，对错误的命题可以举反例说明． 【详解】当0c <时，A 不正确；0a b <<，则1a bb a>>，B 错误；当01x <<时，lg 0x <，1lg 0lg x x +<，Ca b <⇒<正确． 故选：D. 【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式性质是解题关键．可通过反例说明命题错误．5．某市新上了一批便民公共自行车，有绿色和橙黄色两种颜色，且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2∶1，现在按照分层抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口，则其中绿色公共自行车的辆数是( ) A ．8 B ．12C ．16D ．24【答案】D 【解析】设放在该校门口的绿色公共自行车的辆数是x ，则23612x =+ ，解得x ＝1． 故选D6．设0,0x y >>且1x y += ，41x y+的最小值为( ) A ．10 B ．9C ．8D ．272【答案】B 【解析】 【分析】 由()4141x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式即可求得结果. 【详解】()41414559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当4y x x y =，即2x y =时取等号）41x y∴+的最小值为9 故选：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活利用“1”，配凑出符合基本不等式的形式.7．若直线()y c c R =∈与函数tan (0)y x ωω=≠的图象相邻的两个交点之间的距离为1,则函数tan y x ω=图象的对称中心为（ ）A ．,0,2k k Z ⎛⎫∈⎪⎝⎭B ．(,0),k k Z ∈C ．,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭D ．(,0),k k Z π∈ 【答案】A 【解析】 【分析】先计算周期得到1T ωπ=⇒=，得到函数表达式，再根据中心对称公式得到答案. 【详解】直线()y c c R =∈与函数tan (0)y x ωω=≠的图象相邻的两个交点之间的距离为1 则t n 1a y T x ωππ=⇒=⇒=tan y x π=的对称中心横坐标为：()22k kx x k Z ππ=⇒=∈ 对称中心为,0,2k k Z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案选A 【点睛】本题考查了函数的周期，对称中心，意在考查学生综合应用能力.8．已知4log 5a =，2log 3b =，sin2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性可知,a b 都大于1，把4log 5化成2log ,a b 的大小，从而可得,,a b c 的大小关系. 【详解】因为4log y x =及2log y x =都是()0,∞+上的增函数，故44log 5log 41sin 2>=>，22log 3log 21sin 2>=>，又42221log 5log 5log 5log 32==<，故c a b <<，选B. 【点睛】对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递. 9．已知函数41()x f x e -=，1()ln(2)2g x x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．1ln 24- B ．1ln 24+ C ．2ln 213- D ．12ln 23+【答案】B 【解析】()411ln 22m en t -=+=，则()1211ln 1,42t m t n e -=+=， 所以()12111ln 244t n m e t h t --=--=，则()1211'24t h t e t-=-，易知，1'02h ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()h t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 所以()min 11ln 224h x h +⎛⎫==⎪⎝⎭，故选B 。
江苏省苏州市重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学联考试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（ ） A ．8B ．8πC ．4πD ．2π2．若关于x ，y 的方程组211x y x my +=⎧⎨+=⎩无解，则m =（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．2-3．在中，内角，，的对边分别为，，.若，则A ．B ．C ．D ．4．在ABC 中，π4ABC ∠=，5AC =，3BC =，则sin BAC ∠=（ ） A ．10 B ．10 C ．310D ．5 5．《张丘建算经》中如下问题：“今有马行转迟，次日减半，疾五日，行四百六十五里，问日行几何?”根据此问题写出如下程序框图，若输出465S =，则输入m 的值为（ ）A ．240B ．220C ．280D ．2606．在投资生产A 产品时，每生产100t 需要资金200万，需场地2200m ，可获得300万；投资生产B 产品时，每生产100t 需要资金300万，需场地2100m ，可获得200万，现某单位可使用资金1400万，场地2900m ，则投资这两种产品，最大可获利( )A ．1350万B ．1475万C ．1800万D ．2100万7．函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为（ ） A ．2πB ．32π C ．πD ．2π8．在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若cos cos a B b A=，则ABC 的形状为 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．已知AB 是圆O 的一条弦，2AB =，则AO AB ⋅=( ) A ．2-B ．1C ．2D ．与圆O 的半径有关10．若不等式2(1)0mx m x m +-+>对实数x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．1m <-或13m > B ．1m > C ．13m >D ．113m -<<11．不等式223x x -≤+的解集是（ ） A ．(,8]-∞-B ．[8,)-+∞C ．(,8][3,)-∞-⋃-+∞D ．(,8](3,)-∞-⋃-+∞12．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ） A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能二、填空题：本题共4小题13．在ABC 中，60A =︒，1b =，面积为3，则sin sin sin a b cA B C________．14．如图，分别沿长方形纸片ABCD 和正方形纸片EFGH 的对角线AC EG 、剪开，拼成如图所示的平行四边形KLMN ，且中间的四边形ORQP 为正方形.在平行四边形KLMN 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是______________15．已知实数0,0a b >>，2是8a 与2b 的等比中项，则12a b+的最小值是______． 16．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为___. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
江苏省苏州市实验中学2019-2020学年高一数学理期末试题含解析
江苏省苏州市实验中学2019-2020学年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等差数列中，已知，，则（）A．9 B． 12 C．15D．18参考答案：A2. 与圆相切，并在轴、轴上的截距相等的直线共有（）A．6条B．5条C．4条D．3条参考答案：C3. 锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】HP：正弦定理；GS：二倍角的正弦．【分析】由题意可得 0＜2A＜，且＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得=2cosA，解得所求．【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜．由正弦定理可得==2cosA，∴＜2cosA＜，故选 B．4. 设P，Q两个非空集合，定义运算“⊙”；P⊙Q ={ x|x P∪Q，且x P∩Q}如果P={ y|y= }，Q={ y|y=2x, x＞0 }，则P⊙Q=A、[0，1]∪（2，+∞）；B、[0，1]∪（4，+∞）；C、[1，4]；D、（4，+∞）；参考答案：A略5. 数列，…的前n项和S n为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】8E：数列的求和．【分析】由，利用裂项求和即可求解【解答】解：∵∴===故选B6. 函数（其中）的大致图像为（）A B.C. D.参考答案：A【分析】对函数表达式进行化简可得到函数的单调性【详解】函数，有函数表达式知道，当x>0时，x值越大，函数值越小，故函数是减函数。
当x>0时，故此时y>1,当时，，此时，结合这两点，排除选项，可得到图像为A.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了已知函数解析式求函数图像，一般可以先通过函数解析式得到函数的定义域，进行选项的排除，或者通过解析式发现函数的对称性，对函数图像进行排除.7. 符号表示不超过x的最大整数，如，，定义函数：，则下列命题正确的是______．A.B.当时，C.函数的定义域为R，值域为[0,1)D.函数是增函数、奇函数参考答案：ABC【分析】由题意可得表示数x的小数部分，可得，当时，，即可判断正确结论．【详解】表示数x的小数部分，则，故A正确；当时，，故B正确；函数的定义域为R，值域为，故C正确；当时，，当时，，当时，，当时，，则，即有不为增函数，由，，可得，即有不为奇函数．故答案为：A，B，C．【点睛】本题考查函数新定义的理解和运用，考查函数的单调性和奇偶性的判断，以及函数值的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．8. 等比数列{a n}中，已知a9 =－2，则此数列前17项之积为（）A．216 B．－216 C．217 D．－217参考答案：D9. （）. . ..参考答案：B10. 已知圆，直线与圆交于两点，且，则（）A．2 B．3 C．4 D．8参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知A，B是单位圆O上的两点，，点C是平面内异于A，B的动点，MN是圆O的直径．若，则的取值范围是________．参考答案：【分析】由是单位圆的直径，可得，于是需求的取值范围. 由可得点在以为直径的圆上，于是可求出定点到圆上的动点的距离的取值范围.【详解】因为是单位圆的直径，所以.在中，，，所以，.因为，所以点在以为直径的圆上，其圆心为的中点，半径为.易得，又点异于，所以且.所以且，即且.所以的取值范围是.【点睛】本题考查平面向量数量积的综合问题，考查数量积的取值范围、圆、动点等问题.通过几何意义求取值范围是一种常见的方法.12. （5分）函数f（x）=e﹣x+x2+2x﹣2的零点个数为．参考答案：2考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=e﹣x+x2+2x﹣2的零点个数即y=e﹣x与y=﹣x2﹣2x+2的交点的个数，作图求解．解答：函数f（x）=e﹣x+x2+2x﹣2的零点个数即y=e﹣x与y=﹣x2﹣2x+2的交点的个数，作y=e﹣x与y=﹣x2﹣2x+2的图象如下，共有2个交点，故答案为：2．点评：本题考查了函数的图象与函数的零点的关系应用，属于基础题．13. 已知直线l1：ax+3y﹣1=0与直线l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，则实数a=．参考答案：【考点】两条直线垂直的判定．【专题】计算题．【分析】根据直线方程求出两直线的斜率，根据两直线垂直，斜率之积等于﹣1，求出实数a．【解答】解：∵直线l1：ax+3y﹣1=0与直线l2：2x+（a﹣1）y+1=0垂直，∴斜率之积等于﹣1，他们的斜率分别为和，∴×=﹣1，∴a=，故答案为．【点评】本题考查两直线垂直的性质，两直线垂直，斜率之积等于﹣1．14. 关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°．其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)参考答案：②略15. （5分）将角度化为弧度：﹣120°=弧度．参考答案：考点：弧度与角度的互化．专题：三角函数的求值．分析：直接利用角度与弧度的互化，求解即可．解答：因为π=180°，所以﹣120°=﹣120×=弧度．故答案为：．点评：本题考查角度与弧度的互化，基本知识的考查．16. 设设为奇函数, 且在内是减函数, ,则不等式的解集为．参考答案：略17. 已知，则函数与函数的图象可能是______。
2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (33)-720(解析版)
2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (33)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式x2−x−2>0的解集是()A. (−12,1) B. (1,+∞)C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−∞,−12)∪(1,+∞)2.点(0,5)到直线2x−y=0的距离是()A. √52B. √5 C. 32D. √543.某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为()A. 5B. 6C. 7D. 84.在△ABC中，若(a+c)(a−c)=b(b−c)，则∠A=()A. 300B. 600C. 1200D. 15005.已知圆C：x2+y2−2x−4y−4=0，则其圆心坐标与半径分别为()A. (1,2)，r=2B. (−1,−2)，r=2C. (1,2)，r=3D. (−1,−2)，r=36.已知：△ABC中，a=2，∠B=60°，∠C=75°，则b=()A. √6B. 2C. √3D. √27.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2015=S2015=2015，则首项a1=()A. 2015B. −2015C. 2013D. −20138.若直线过P(2,1)点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条()A. 1条B. 2 条C. 3条D. 以上都有可能9.某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积为()A. 2π+8B. π+8C. 2π+83D. π+8310.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则n//mC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，n//m，n//β，则α⊥β11.点P(1,−2)关于点M(3,0)的对称点Q的坐标是()A. (1,2)B. (2,−1)C. (3,−1)D. (5,2)12.已知等差数列{a n}，a1=1，a3=3，则数列{1a n a n+1}的前10项和为()A. 1011B. 911C. 910D. 1110二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设变量x，y满足约束条件： {x+y⩾3x−y⩾−12x−y⩽3，则目标函数z=3x−2y的最小值为______．14.直线l过点A(−1,3)，B(1,1)，则直线l的倾斜角为______ ．15.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°，那么二面角A1−AD−B的余弦值为______ ．16.已知等比数列{a n}的公比为正数，且a1⋅a7=2a32，a2=2，则a1的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求倾斜角为直线y=−√3x+1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(−4,1)；(2)在x轴上的截距为−10．18.已知：△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B−cos(A+C)=0．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若sinA=3sinC，△ABC的面积为3√3，求b边的长．419.已知等差数列{a n}满足：a5=9，a2+a6=14．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+120.如图，圆x2+y2=8内有一点P(−1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦，(1)当α=135°时，求|AB|(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．(3)求过点P的弦的中点的轨迹方程．21.在等差数列{a n}中，a1=10，d=−2，求数列的前n项和S n的最大值．22.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，点E，F分别是BB1，A1B1的中点。
江苏省苏州市吴江区震泽中学2019-2020学年高一下学期期末数学答案
江苏省苏州市吴江区震泽中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题参考答案1．D 【思路点拨】求出直线032xy-=的横截距、纵截距即可.【解析】令0x =，得0y =，令0y =，得0x =，所以直线032xy-=的横截距为0，纵截距为0，直线032xy-=在两个坐标轴上的截距之和为0，故选：D.【反思】本题考查的是直线的截距，属于基础题.2．C 【思路点拨】求得 3.5x y ==，得到样本中心点(3.5,3.5)，再把样本中心点代入回归直线方程得解.【解析】由表可得 3.5x y ==，带入线性回归方程中有 3.50.7 3.5 5.95=+⨯=a ，故选：C .【反思】本题考查利用线性相关关系求回归直线方程，属于基础题.3．A 【思路点拨】这是一个古典概型，设两个医院分别为A ，B ，先列举出所有基本事件数，再找出甲乙在一个医院的事件数，代入公式求解.【解析】设两个医院分别为A ，B ，则共有A （甲，乙）B （丙），A （甲，丙）B （乙），A （乙，丙）B （甲），B （甲，乙）A （丙），B （甲，丙）A （乙），B （乙，丙）A （甲），共6个基本事件，其中甲乙在一个医院的事件有2个， 则甲、乙两人分配到同一家医院的概率为2163p ==故选：A 【反思】本题主要考查古典概型的概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题. 4．C 【思路点拨】由向量共线得出方程，求解可得选项. 【解析】由向量共线得8358202652==⇒=⨯=a ab b ，故选：C. 【反思】本题考查向量共线问题，属于基础题.5．B 【思路点拨】先由正四面体的结构特征，由题中条件，求出其表面积2S ；记该正四面体为P ABC -取BC 中点为D ，连接AD ，过点P 向底面作垂线，垂足为G ，根据正四面体的性质，垂足必然落在AD 上，且23AG AD =，求出正四面体的高PG ，进而可求出体积，从而可得出结果.【解析】因为正四面体的各面都是等边三角形， 所以其表面积为214sin 323S a a a π=⋅⋅⋅⋅=； 记该正四面体为P ABC -（如下），取BC 中点为D ，连接AD ，过点P 向底面作垂线，垂足为G ，根据正四面体的性质，垂足必然落在AD 上，且23AG AD =，因为该正四面体边长为a ，所以2232a AD a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 因此233AG AD ==， 所以四面体的高为22221633h PG PA AG a a a ==-=-=，所以体积为31113623322312ABCV S h a a a a =⋅=⋅⋅⋅⋅=， 所以6=V S ；故选：B. 【反思】本题主要考查正四面体体积和表面积的计算，属于常考题型.6．B 【思路点拨】根据题意得出关于实数x 的不等式，由此可解得实数x 的取值范围. 【解析】在ABC 中，已知2a =，b x =，60B =，由于ABC 有两组解，则sin a B b a <<，即22x <<2x <<.故选：B. 【反思】本题考查利用三角形解的个数求参数，考查计算能力，属于基础题. 7．A 【思路点拨】令yk x=，根据直线与圆有公共点可得选项. 【解析】令⎡=⇒=≤⇒∈⎣yk y kx k x ，故选：A. 【反思】本题考查直线与圆的位置关系，常常由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得出直线与圆的关系，属于基础题.8．D 【思路点拨】设线段AB 的中点为M ，由已知求得M 在222x y +=上，设M 到直线34100x y +-=的距离为d ，利用平面几何知识得122=+d d d ，由直线与圆的位置可得选项.【解析】设线段AB 的中点为M，那么12===OM AB M 在222x y +=上，设M 到直线34100x y +-=的距离为d ，由题意得122=+d d d ，而222x y +=的圆心()00，到直线34100x y +-=2=，所以max 2==d 12d d +的最大值为故选：D.【反思】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题.9．AD 【思路点拨】根据空间中平行与垂直关系的判定与性质定理依次判断各个选项即可得到结果.【解析】若一条直线垂直于两平行平面当中的一个，则一定垂直于另一个，可知A 正确；αβ⊥，m β⊥ //m α∴或m α⊂，又//l α ,l m ∴可能平行、相交或异面，B 错误；m β⊥，l m ⊥ //l β∴或l β⊂，C 错误；//m αα内必存在直线m 的平行线n ，又m β⊥ n β∴⊥n α⊂ αβ∴⊥，D 正确.故选：AD【反思】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，考查学生对于空间中平行与垂直关系相关定理的掌握.10．AC 【思路点拨】由余弦函数的单调性可判断A 选项；验证得()()y x y x π≠+，可判断B 选项；由定义的诱导公式可判断C 选项；取4παβ==，代入验证可判断D 选项.【解析】因为sin 1cos y ver x x ==-，而cos y x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以函数sin 1cos y ver x x ==-在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，故A 正确；函数versin 1cos 1cos ();()coversin 1sin 1sin π-+==+=-+x x x y x y x x x x，所以()()y x y x π≠+，所以B错误；sin 1cos 1sin sin 22ver cover ππθθθθ⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；取4παβ==，sin(1cos12ver )παβ+=-=，sin sin sin sin ver cover cover ver αβαβ⋅+⋅1cos 1sin 1sin 1cos 34444+ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以sin(sin sin sin sin ver )ver cover cover ver αβαβαβ+≠⋅+⋅， 故D 错误,故选：AC.【反思】本题考查函数的新定义，三角函数的诱导公式，同角三角函数间的关系，余弦函数的性质，属于中档题.11．ABC 【思路点拨】以1,,DA DC DD 为一组正交基底建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1，求得平面1ACD 的法向量1(1,1,1)n ，点D 到平面1ACD 的距离为1d ，点1B 到平面1ACD 的距离为2d ，逐一判断选项，即可.【解析】以1,,DA DC DD 为一组正交基底建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1，那么1111(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)D A B C A B C D ，设平面1ACD 的法向量为1(,,)n x y z =，则1110AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即+0+0x y x z -=⎧⎨-=⎩， 令1x =，得平面1ACD 的一个法向量为1(1,1,1)==n 1DB ，所以1DB ⊥平面1ACD ，且13DB AB =，又点D 到平面1ACD 的距离为1113⋅==DC n d n ，点1B 到平面1ACD 的距离为11213⋅==B C n d n ，所以线段1DB 被平面1ACD 分成的两部分长度比为1:2， 又11111326D ADC V -=⨯⨯=，剩下的部分的体积为15=166V -=，所以正方体1111ABCD A B C D -被平面1ACD 分成的两部分体积比为1:5，所以ABC 正确，D 不正确，故选：ABC.【反思】本题考查正方体中的线面关系，点到面的距离，三棱锥的体积，属于中档题. 12．ABD 【解析】2,3k b ==时，直线l 上无整点，所以选项A 正确；2,2k b ==时，直线l 上只有一个整点，所以选项B 正确；若直线l 上恰有两个整点()(),,,M m n N p q ，则显然()2,2Q p m q n --也在直线l 上，且点N 为线段MQ 的中点，所以选项C 不正确；显然直线y x =上有无数个整点，所以选项D 正确. 13．1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭【思路点拨】把圆的一般方程化为标准方程，可得实数m 的取值范围． 【解析】方程220x y x y m ++++=，即22111()()222x y m +++=-，表示圆，102m ∴->，求得12m <，则实数m 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故答案为1,.2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【反思】本题主要考查圆的普通方程化为标准方程，考查二元二次方程是圆的方程的条件，考查配方法，属于基础题．对于二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=，可通过配方法配方成22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2240D E F +-=时，表示点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；当2240D E F +->时，表示圆.14．3【思路点拨】求出()y g x =的解析式，再利用函数为偶函数，则(0)1g =±从而得到ω的表达式，进而得到其最小值. 【解析】由题意得()sin 6g x x πω⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 因为()y g x =是偶函数，所以(0)sin 16g πω⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭， ∴()62k k Z ππωπ-=+∈，解得63()k k Z ω=--∈．因为0>ω，所以ω的最小值为3． 故答案为：3.【反思】本题考查三角函数的平移变换及偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 15．1532【思路点拨】设AD x =，三角形三条边长分别为,,a b c ，先分析得到222138b c a +≤，再利用余弦定理得到258bc a ≤，最后利用正弦定理即得解.【解析】设AD x =，三角形三条边长分别为,,a b c ， 那么2243,169x a x a ≤∴≤，因为cos cos 0ADB ADC ∠+∠=所以2222422+=+x a b c ， 故2222222213168849,8x b c a a b c a =+-≤∴+≤由题意得222222221135cos ,,2288b c a A b c bc a a bc a bc +-==∴+=+≤∴≤255315sin sin sin =88432B C A ∴≤=⨯.故答案为：1532【反思】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．2 25π 【思路点拨】设圆柱的底面半径为r ，利用圆柱体积公式即可求出，再利用圆柱的外接球关系可求出球半径，计算出表面积. 【解析】设圆柱的底面半径为r ，外接球半径为R ， 由题意得圆柱体积22312V r h r ππ=⋅==，解得2r，根据圆柱外接球的性质可得52R ==， 所以该圆柱的外接球的表面积为2425S R ππ==. 故答案为：2；25π.【反思】本题考查了圆柱的体积公式，考查了圆柱外接球问题，属于基础题. 17．【思路点拨】（1）利用线面平行的性质定理即可证明；（2）利用AP AB =，若M 为PB 的中点，可得AM PB ⊥，再利用面面垂直的性质定理即可证明AM ⊥平面PBC ，再利用面面垂直的判定定理即可求证. 【解析】（1）因为//BC 平面AMN ，BC ⊂平面PBC ，平面AMN平面PBC MN =，由线面平行的性质可得//BC MN（2）因为M 为PB 的中点，且AP AB =，由等腰三角形的性质可得AM PB ⊥， 又因为平面PAB ⊥平面PBC ， 平面PAB ⋂平面PBC BC =，AM ⊂平面PAB ，由面面垂直的性质定理即可得：AM ⊥平面PBC ，又因为AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC【反思】本题主要考查了线面平行的性质定理，面面垂直的性质定理，面面垂直的判定定理，属于中档题.18．【思路点拨】（1）根据频率直方图计算得x ，a ，b ；（2）由频率直方图的平均值的计算方法可估计该企业员工的平均年龄；（3）根据比例和分层抽样先求得第3组中抽取的人数.设这四人为甲乙丙丁，列举出所有的基本事件，由古典概率公式可求得答案.【解析】（1）50500,0.0855002000.025x a ===⨯⨯=⨯，0.02550050b =⨯⨯=，所以x =500，a =200，b =50；（2）300.025350.025400.085450.065500.02541x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 所以估计该企业员工的平均年龄为41； （3）从第3组中抽取的人数为2006=450+50+200⨯人.设这四人为甲乙丙丁，则所有的基本事件为： （甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙）， （乙，丁），（丙，丁）共6个， 故甲被选中的概率为31=62P =. 【反思】本题考查频率直方图的识别，由频率直方图估算平均值，分层抽样，以及古典概率的计算，属于中档题.19．【思路点拨】（1）利用两直线的垂直关系可得斜率，根据点斜式可得直线方程； （2）设直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为2α，根据斜率公式和二倍角的正切公式可解得结果. 【解析】（1）213514AB k +==-，故所求直线的斜率为43k =-从而所求直线方程为44(3)3y x -=--， 化简得483y x =-+ （2）设直线l 的倾斜角为α，则直线AB 的倾斜角为2α，依题意有2(1)3tan 2514α--==-，∴22tan 341tan αα=-， 即23tan 8tan 30αα+-=，∴1tan 3α=或tan 3α=-. 由02180α≤<，得090α≤<， 所以tan 0α≥，∴1tan 3α=，∴直线l 的斜率为13. 【反思】本题考查了根据两条直线垂直得斜率，考查了直线方程的点斜式，考查了斜率公式，考查了直线的倾斜角，考查了二倍角的正切公式，属于基础题. 20．【思路点拨】（1）由已知得2C A π-=.再由诱导公式和二倍角公式可得又21sin 12sin 3B A -=，求得答案.（2）选①：由正弦定理可得BC =再由诱导公式和三角形的面积公式可得答案；选②：由正弦定理可得AC =.再由诱导公式和三角形的面积公式可得答案.【解析】（1）由(,)2πππ-∈-⇒-=C A C A .又21sin sin()sin(2)cos 212sin 23π=+=+==-=B AC A A A .因为(0,)sin 3π∈⇒=A A .（2）选①：由正弦定理可得sin ==ABC B且sin sin()cos 2π=+===C A A .故11sin 22=⨯⨯=⨯=S BC AC C .选②：由正弦定理可得sin ==BAC A且sin sin()cos 23π=+===C A A .故11sin 223=⨯⨯=⨯=S BC AC C . 【反思】本题考查诱导公式，同角三角函数间的关系，正弦定理，三角形的面积公式，属于中档题.21．【思路点拨】（1）连接PE ，DF ，BE ，取BC 中点H ，连接EH ，以EA ，EH ，EP 为一组正交基底建立空间直角坐标系，求出平面DEF 的一个法向量1n ，再由1cos ,BE BE n <>，即可得出结果；（2）设平面PBC 的一个法向量为()2111,,n x y z =，根据题中条件，求出()20,1,4n =，设平面DEF 与平面PBC 的夹角为α，求出两向量夹角余弦值，进而可得出结果. 【解析】（1）连接PE ，DF ，因为PA PD =，所以PE AD ⊥， 又平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PE ⊥面ABCD ；又底面ABCD 为矩形，取BC 中点H ，连接EH ，则EA ，EH ，EP 两两垂直； 以EA ，EH ，EP 为一组正交基底建立空间直角坐标系， 因为4AB =，2AD =，所以(0,0,0)E ，(1,0,0)D -，(1,4,0)B ，(1,4,0)C -， 又PA PD ⊥，所以PAD △为直角三角形，则112PE AD ==， 所以(0,0,1)P ，11,2,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1,4,0BE =--，()1,0,0ED =-，11,2,22EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面DEF 的一个法向量为()1,,n x y z =，则120112022ED n x EF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，因此04x z y =⎧⎨=-⎩， 不妨令1y =，则()10,1,4n =-，所以点B 到平面DEF 的距离为111417cos ,BE n d BE BE n n ⋅=<>==（2）设平面PBC 的一个法向量为()2111,,n x y z =， 因为()1,4,1PB =-，()1,4,1PC =--，则111121114040PB n x y z PC n x y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，则11104x z y =⎧⎨=⎩，不妨令11y =，则()20,1,4n =.设平面DEF 与平面PBC 的夹角为α， 故12121215cos cos ,17n n n n n n α⋅=<>==， 又因为[0,]απ∈，所以8sin 17α=.【反思】本题主要考查求点到面的距离，考查求二面角的正弦值，灵活利用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.22．【思路点拨】（1）设P （x ，y ），将1,1,4=-==m n t ，代入(0PM t t PN =>且1)t ≠，可得 P 的轨迹方程； （2）由(,0),(,0)M m N n ，代入(0PM t t PN =>且1)t ≠，化简P 的轨迹方程，消去t 可得4mn =，可得证明；（3）可求出直线AB 方程为22y x =-+，故22(,)22++k Q k k .由正弦定理可得52sin sin 25===∠∠AQ OQ OQ AOQ QAO ，化简可得k 的值，可得答案. 【解析】解：（1）设P （x ，y ），由1,1,4=-==m n t ，可得(1,0),(1,0)M N -， 2PM PN=2222(1)2(1)()x y x y ++=-+化简P 的轨迹方程为2210103x y x +-+=. （2）同理设(,)P x y ，由(,0),(,0)M m N n，0PM t PN =>且1)t ≠.=化简P 的轨迹方程为22222211--++=--m nt m tn x y x t t . 由题意得22220441m nt m tn mn t m n-=⎧⎪-⎪=⇒=⎨-⎪≠⎪⎩. （3）由点A 的坐标为(,0)4mn ，点B 的坐标为(0,)2mn ， 可得直线AB 方程为22y x =-+，由22:4,+=O x y 故22(,)22++k Q k k .由正弦定理可得2sin sin 2===∠∠AQ OQ OQ OQ AOQ QAO 所以124233=⇒==CQ OQ OQ OC . 即224416(2)9+=+k k 且0k >解得85+=k . 【反思】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，考查学生的数学分析能力、综合计算能力，属于中档题.。
江苏省苏州市2019-2020学年高一下学期期末数学试卷 (含解析)
江苏省苏州市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（）A．16πB．20πC．36πD．40π2．苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是（）A．20 B．40 C．60 D．803．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于5的概率为（）A．B．C．D．4．在同一平面直角坐标系中，两直线﹣＝1与﹣＝1的图象可能是（）A．B．C．D．5．围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（）A．B．C．D．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BB1上靠近B的三等分点，点F是棱CC1的中点，且三棱锥A1﹣AEF的体积为2，则平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．207．已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝60°，且△ABC的面积为，则b的取值范围是（）A．[2，）B．[，）C．[2，6）D．[4，6）8．在平面直角坐标系xOy中，两圆O1，O2均过点（3，0），它们的圆心分别为（x1，0），（x2，0），满足+＝，若两圆与y轴正半轴分别交于（0，y1），（0，y2），则y1y2的值为（）A．2 B．6C．9 D．与x1，x2的取值有关二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区实施乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图饼图：则下面结论中正确的有（）A．乡村振兴建设后，种植收入减少B．乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上C．乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍D．乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半10．已知函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增，则实数a的可能值为（）A．B．C．D．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＝2，∠B＝，若添加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是（）A．c＝3 B．c＝C．c＝4 D．c＝12．如图，点E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A．直线AD与直线C1M始终是异面直线B．存在点M，使得B1M⊥AEC．四面体EMAC的体积为定值D．当D1M＝2MB时，平面EAC⊥平面MAC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为．15．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x﹣y＝0和x+ay＝5上，且线段AB的中点为P（0，5），则|AB|＝．16．已知在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，则球O的表面积为，若P为线段AD的中点，则过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，M，N分别为BC，AC的中点，侧面A1ACC1是菱形，∠A1AC＝60°．（1）求证：AB∥平面A1MN；（2）求证：平面A1ACC1⊥平面A1MN．18．已知圆C经过两点P（1，﹣1），Q（﹣1，1），且圆心C在直线x+y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点M（0，3）的直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．19．随着我国中医学的发展，药用昆虫的需求愈来愈多，每年春暖花开后，昆虫大量繁殖．研究发现某类药用昆虫的个体产卵数y（单位：个）与温度x（单位：℃）有关，科研人员随机挑选了3月份中的5天进行研究，收集了5组观测数据如表：温度x/℃9 11 13 12 8产卵数y/个23 25 30 26 20科研人员确定的研究方案是：先用前三组数据建立y关于x的线性回归方程，再用后两组数据进行检验．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到后两组的估计数据与实际观测数据的误差均不超过2个，则认为线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（附：回归直线的斜率和截距的公式分别为＝，＝﹣．）20．在①b cos A﹣c＝0，②a cos B＝b cos A，③a cos C+b＝0这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，满足____．（1）请写出你的选择，并求出角A的值；（2）在（1）的结论下，已知点D在线段BC上，且∠ADB＝，求CD长．21．如图所示，等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，满足AD ＝1，DE⊥AB．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，连接A1B，A1C．（1）求二面角C﹣A1B﹣D的余弦值；（2）线段A1E上是否存在点P，使得直线CP与平面A1BC所成的角为60°？若存在，求出A1P的长；若不存在，请说明理由．22．如图，点P（x0，y0）是圆O：x2+y2＝9上一动点，过点P作圆O的切线l与圆O1：（x ﹣a）2+（y﹣4）2＝100（a＞0）交于A，B两点，已知当直线l过圆心O1时，|O1P|＝4．（1）求a的值；（2）当线段AB最短时，求直线l的方程；（3）问：满足条件＝的点P有几个？请说明理由．江苏省苏州市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（）A．16πB．20πC．36πD．40π【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．解：由圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为S侧＝π×4×5＝20π．故选：B．2．苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是（）A．20 B．40 C．60 D．80【分析】根据老年人抽取的人数计算抽取比例，再根据这个比例求青年人中需抽取的人数．解：由题可知抽取的比例为k＝＝，故青年人应该抽取人数为N＝800×＝40．故选：B．3．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于5的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝10．利用列举法求出这两个数之和等于5包含的基本事件有2个，由此能求出这两个数之和等于5的概率．解：从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，基本事件总数n＝＝10．这两个数之和等于5包含的基本事件有：（1，4），（2，3），共2个，则这两个数之和等于5的概率为p＝．故选：C．4．在同一平面直角坐标系中，两直线﹣＝1与﹣＝1的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据直线方程的截距式可知，直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为m，﹣n；直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为n，﹣m，然后结合选项，对m和n的正负性进行分析即可作出判断．解：直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为m，﹣n；直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为n，﹣m．对于A，一条直线的两截距均为正（不妨取m＞0，﹣n＞0，则n＜0），而另一条直线的两截距一正一负（即n＞0，﹣m＜0，则m＞0），在n的取值上互相矛盾；对于B，一条直线的两截距均为负（不妨取m＜0，﹣n＜0，则n＞0），而另一条直线的两截距一正一负（即n＞0，﹣m＜0，则m＞0），在m的取值上互相矛盾；对于C，一条直线的两截距均为负（不妨取m＜0，﹣n＜0，则n＞0），而另一条直线的两截距一负一正（即n＜0，﹣m＞0，则m＜0），在n的取值上互相矛盾；对于D，一条直线的两截距均为正（不妨取m＞0，﹣n＞0，则n＜0），而另一条直线的两截距均为负（即n＜0，﹣m＜0，则m＞0），符合．故选：D．5．围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出从中取出的2粒是同一种颜色的概率，由此能求出取出的2粒颜色不同的概率．解：这个问题，取出同是黑子的概率是，同是白子的概率是，∴从中取出的2粒是同一种颜色的概率是P1＝＝，∴取出的2粒颜色不同的概率P＝1﹣＝．故选：D．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BB1上靠近B的三等分点，点F是棱CC1的中点，且三棱锥A1﹣AEF的体积为2，则平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．20【分析】设四边形ABB1A1的面积为S，平面ABB1A1与平面DCC1D1的距离为d，由已知三棱锥A1﹣AEF的体积为2可得Sd的值，即平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积．解：设平行四边形ABB1A1的面积为S，平面ABB1A1与平面DCC1D1的距离为d，则△AA1E的面积为S，∵＝×S×d＝2，∴Sd＝12，则．故选：B．7．已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝60°，且△ABC的面积为，则b的取值范围是（）A．[2，）B．[，）C．[2，6）D．[4，6）【分析】由已知利用三角形的面积公式可求ac＝4，再由正弦定理可得b＝＝，可得b2＝，对于sin A sin（120°﹣A）化简整理可得sin （2A﹣30°）+，再根据三角函数的性质即可求出．解：∵B＝60°，△ABC的面积等于＝ac sin B＝ac，解得：ac＝4，∴A+C＝120°，∵△ABC为锐角三角形，∴30°＜A＜90°，由正弦定理可得＝＝，∴b＝＝，∴b2＝＝，由sin A sin（120°﹣A）＝sin A（cos A+sin A）＝sin A cos A+sin2A＝sin2A+＝（sin2A﹣cos2A）+＝sin（2A﹣30°）+，∵30°＜A＜90°，∴30°＜2A﹣30°＜150°，∴＜sin（2A﹣30°）≤1，∴＜sin（2A﹣30°）+≤∴4≤＜6，∴4≤b2＜6，∴2≤b＜故选：A．8．在平面直角坐标系xOy中，两圆O1，O2均过点（3，0），它们的圆心分别为（x1，0），（x2，0），满足+＝，若两圆与y轴正半轴分别交于（0，y1），（0，y2），则y1y2的值为（）A．2 B．6C．9 D．与x1，x2的取值有关【分析】根据圆上两点列方程，用x1，x2表示出y1，y2，再根据x1，x2的关系计算（y1y2）2即可得出答案．解：因为（3，0）和（0，y1）在圆O1上，O1（x1，0），∴|3﹣x1|＝，化简可得：y12＝9﹣6x1，同理可得：y22＝9﹣6x2，∴（y1y2）2＝（9﹣6x1）（9﹣6x2）＝81﹣54（x1+x2）+36x1x2，∵+＝＝，∴x1+x2＝x1x2，∴81﹣54（x1+x2）+36x1x2＝81，又y1＞0，y2＞0，∴y1y2＝9．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区实施乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图饼图：则下面结论中正确的有（）A．乡村振兴建设后，种植收入减少B．乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上C．乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍D．乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【分析】根据某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍，利用饼图的性质直接求解．解：对于A，设乡村振兴经济计划前农村经济收入为a，则经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入为2a，∴乡村振兴经济计划前种植收入为a×60%＝0.6a，经过三年的乡村振兴建设种植收入为2a×37%＝0.74a，∴乡村振兴建设后，种植收入增加，故A错误；对于B，乡村振兴经济计划前其它收入为a×4%＝0.04a，经过三年的乡村振兴建设其它收入为2a×5%＝0.1a，∴乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上，故B正确；对于C，乡村振兴经济计划前养殖收入为a×30%＝0.3a，经过三年的乡村振兴建设养殖收入为2a×30%＝0.6a，∴乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍，故C正确；对于D，乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为：30%+28%＝58%，超过了经济收入的一半，故D正确．故选：BCD．10．已知函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增，则实数a的可能值为（）A．B．C．D．【分析】求出复合函数的单调增区间，取k＝0，可得f（x）在[﹣，]上单调递增，再由函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增求得a的范围得答案．解：由，k∈Z，得，k∈Z．取k＝0，可得f（x）在[﹣，]上单调递增，又函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增，∴，即0＜a≤．∴实数a的可能值为，．故选：AB．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＝2，∠B＝，若添加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是（）A．c＝3 B．c＝C．c＝4 D．c＝【分析】由B的度数求出sin B的值，再由b的值，利用正弦定理得出c与sin C的关系式，同时由B的度数求出A+C的度数，再根据三角形只有一解，可得C只有一个值，根据正弦函数的图象与性质得到C的范围，且当C为直角时，也满足题意，进而由C的范围，求出正弦函数的值域，根据c与sin C的关系式，由正弦函数的值域即可可得出c的范围解：∵B＝，b＝2，根据正弦定理得：＝＝＝4，∴c＝4sin C，又A+C＝π﹣＝，且三角形只一解，可得C有一个值，∴0＜C≤，又C＝90°时，三角形也只有一解，∴0＜sin C≤，或sin C＝1，又c＝4sin C，∴c的取值范围为（0，2]∪{4}故选：AC．12．如图，点E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A．直线AD与直线C1M始终是异面直线B．存在点M，使得B1M⊥AEC．四面体EMAC的体积为定值D．当D1M＝2MB时，平面EAC⊥平面MAC【分析】当M为BD1的中点时可知A错误，证明BD1∥平面EAC可知C正确；建立空间坐标系，利用向量判断BD即可．解：（1）当M为BD1的中点时，直线AD与直线C1M是相交直线，交点为A，故A错误；（2）以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间坐标系D﹣xyz，设正方体棱长为1，则A（1，0，0），E（0，0，），B（1，1，0），D1（0，0，1），B1（1，1，1），∴＝（﹣1，0，），＝（0，0，﹣1），＝（﹣1，﹣1，1）．＝λ（0≤λ≤1），则＝+＝（﹣λ，﹣λ，λ﹣1），若B1M⊥AE，则•＝0，即λ+（λ﹣1）＝0，解得λ＝，∴当M为线段BD1的靠近B的三等分点时，B1M⊥AE，故B正确；（3）连接BD，取BD的中点O，连接EO，则O也是AC的中点，由中位线定理可知BD1∥EO，∴BD1∥平面ACE，故V E﹣MAC＝V M﹣ACE＝V B﹣ACE，故C正确；（4）∵AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥OE，AC⊥OM，故∠EOM为二面角E﹣AC﹣M的平面角，当D1M＝2BM时，M（，，），又O（，，0），∴＝（，，），＝（﹣，﹣，），∴＝﹣﹣+＝0，∴OE⊥MO，故平面EAC⊥平面MAC，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为40．【分析】由频率分布直方图先求出该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的频率，由此能求出该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数．解：由频率分布直方图得：该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的频率为：1﹣（0.005+0.020+0.035）×10＝0.4，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为：100×0.4＝40．故答案为：40．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为2．【分析】根据三角形内角的范围，利用同角三角函数的关系算出sin C的值，再由三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．解：∵cos C＝，∴C∈（0，π），可得sin C＝＝，∴S△ABC＝ab sin C＝×3×2×＝2，故答案为：2．15．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x﹣y＝0和x+ay＝5上，且线段AB的中点为P（0，5），则|AB|＝2．【分析】由两直线互相垂直可得a＝2，AB为直角三角形AOB的斜边，直角三角形斜边的中线PO的长为斜边AB的一半，且|PO|＝5，由此能求出|AB|．解：由已知两直线互相垂直可得：2×1+（﹣1）×a＝0，解得a＝2，∵线段AB中点为P（0，5），且AB为直角三角形AOB的斜边，联立，得O（1，2），∴|OP|＝＝，直角三角形斜边的中线PO的长为斜边AB的一半，且|PO|＝，∴|AB|＝2|PO|＝2，故答案为：2．16．已知在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，则球O的表面积为17π，若P为线段AD的中点，则过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为．【分析】设球O半径为R，然后求出R，再求出球O的表面积；先求出OP＝，根据条件可知，当过点P的平面截球O所得截面面积最小时，截面圆半径r＝，然后求出最小值．解：在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，设球O半径为R，则R＝＝，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×（）2＝17π．∵P为线段AD的中点，∴OP＝＝，当过点P的平面截球O所得截面面积最小时，截面圆半径r＝＝＝，∴过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为：S截面min＝＝．故答案为：17π；．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，M，N分别为BC，AC的中点，侧面A1ACC1是菱形，∠A1AC＝60°．（1）求证：AB∥平面A1MN；（2）求证：平面A1ACC1⊥平面A1MN．【分析】（1）由已知结合三角形中位线定理可得MN∥AB，再由直线与平面平行的判定得AB∥平面A1MN；（2）由已知证明A1N⊥AC，再由AB⊥AC，MN∥AB，可得MN⊥AC，利用直线与平面垂直的判定可得AC⊥平面A1NM，从而得到平面A1ACC1⊥平面A1MN．【解答】证明：（1）∵M，N分别为BC，AC的中点，∴MN是三角形ABC的中位线，可得MN∥AB，∵MN⊂平面A1MN，AB⊄平面A1MN，∴AB∥平面A1MN；（2）连接A1C，∵A1ACC1是菱形，∠A1AC＝60°，∴△A1AC是等边三角形，又N是AC的中点，∴A1N⊥AC，∵AB⊥AC，又由（1）知MN∥AB，∴MN⊥AC，而MN∩A1N＝N，∴AC⊥平面A1NM，而AC⊂平面A1ACC1，∴平面A1ACC1⊥平面A1MN．18．已知圆C经过两点P（1，﹣1），Q（﹣1，1），且圆心C在直线x+y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点M（0，3）的直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．【分析】（1）由题意设圆心C的坐标，再由圆C经过两点P，Q可得|PC|＝|QC|，可得圆心及半径的值，进而求出圆的方程；（2）分直线AB的斜率存在和不存在两种情况设直线AB的方程，求出圆心到直线AB 的距离d，由d2＝r2﹣（）2，可得直线AB的方程．解：（1）因为圆心C在直线x+y﹣2＝0上所以设圆心C的坐标（a，2﹣a），半径r＝，因为圆C经过两点P（1，﹣1），Q（﹣1，1），所以|PC|＝|QC|，即（a﹣1）2+（3﹣a）2＝（a+1）2+（1﹣a）2，解得a＝1，所以圆心C（1，1），r＝2，所以圆C的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4；（2）由（1）可得圆心C（1，1），r＝2，①当直线AB的斜率不存在时，及直线AB的方程为：x＝0，可得圆心C到直线AB的距离为d＝1，弦长|AB|＝2＝2＝2符合条件；②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，可得圆心C到直线AB的距离为d＝，因为|AB|＝2，而d2＝r2﹣（）2，即（）2＝4﹣3＝1，解得：k＝﹣，综上所述：直线AB的方程为：x＝0或y＝﹣x+3．19．随着我国中医学的发展，药用昆虫的需求愈来愈多，每年春暖花开后，昆虫大量繁殖．研究发现某类药用昆虫的个体产卵数y（单位：个）与温度x（单位：℃）有关，科研人员随机挑选了3月份中的5天进行研究，收集了5组观测数据如表：温度x/℃9 11 13 12 8产卵数y/个23 25 30 26 20科研人员确定的研究方案是：先用前三组数据建立y关于x的线性回归方程，再用后两组数据进行检验．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到后两组的估计数据与实际观测数据的误差均不超过2个，则认为线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（附：回归直线的斜率和截距的公式分别为＝，＝﹣．）【分析】（1）由已知数据求出与的值，可得y关于x的线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，分别取x＝12与8，求得y值，再与实际观测数据作差取绝对值，与2比较大小得结论．解：（1），，＝＝，＝﹣＝26﹣1.75×11＝6.75．∴y关于x的线性回归方程为；（2）当x＝12时，＝27.75，|27.75﹣26|＝1.75＜2．当x＝8时，，|20.75﹣20|＝0.75＜2．∴（1）中所得的线性回归方程是可靠的．20．在①b cos A﹣c＝0，②a cos B＝b cos A，③a cos C+b＝0这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，满足____．（1）请写出你的选择，并求出角A的值；（2）在（1）的结论下，已知点D在线段BC上，且∠ADB＝，求CD长．【分析】（1）依次代入条件①②③，可得①②不成立，故只能选③；（2）由（1）结论再结合余弦定理可得cos C，进而得到sin C，结合两角和差公式得到sin ∠CAD，利用正弦定理得到CD．解：（1）若选条件①，则有cos A＝＝＝2＞1，不合题意；若选条件②，由余弦定理可得a•＝b•，整理得a＝b，又因为此时a+b＝2＜4，不符合题意；若选条件③，由余弦定理可得a•+b＝0，即a2+3b2﹣c2＝0，所以a2＝c2﹣3b2＝16﹣6＝10，则cos A＝＝＝，因为A∈（0，π），所以A＝；故（1）答案选：③；（2）由（1）的cos C＝＝＝﹣，因为c∈（0，π），则sin C＝＝，sin∠CAD＝sin（﹣C）＝sin cos C﹣cos sin C＝，在△ACD中，因为＝，则CD＝＝＝．21．如图所示，等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，满足AD ＝1，DE⊥AB．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，连接A1B，A1C．（1）求二面角C﹣A1B﹣D的余弦值；（2）线段A1E上是否存在点P，使得直线CP与平面A1BC所成的角为60°？若存在，求出A1P的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题易知，∠A1DB为二面角A1﹣DE﹣B的平面角，即∠A1DB＝90°，以D为原点，DB、DE和DA1分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求出平面A1BC的法向量，由线面垂直的判定定理易证得DE⊥面A1BD，推出平面A1BD 的法向量为＝（0，1，0），然后根据空间向量数量积的坐标运算求出cos＜＞即可得解；（2）设线段A1E上存在点P（x，y，z）满足题意，且（λ∈[0，1]），根据空间向量的线性坐标运算可求得点P（0，λ，1﹣λ），从而得，由sin60°＝|cos ＜，＞|＝建立关于λ的方程，解之，若λ∈[0，1]，则存在点P符合，否则，不存在．解：（1）由题可知，BD⊥DE，A1D⊥DE，∵二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥BD，以D为原点，DB、DE和DA1分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，0，0），C（，，0），A1（0，0，1），E（0，，0），∴＝（2，0，﹣1），＝（，，﹣1），设平面A1BC的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝，z＝2，∴＝（1，，2），∵BD⊥DE，A1D⊥DE，且A1D、BD⊂面A1BD，A1D∩BD＝D，∴DE⊥面A1BD，∴平面A1BD的法向量为＝（0，1，0），∴cos＜＞＝＝，∵二面角C﹣A1B﹣D为锐二面角，故二面角C﹣A1B﹣D的余弦值为．（2）设线段A1E上存在点P（x，y，z）满足题意，且（λ∈[0，1]），则（x，y，z﹣1）＝λ（0，，﹣1），∴x＝0，y＝λ，z＝1﹣λ，即点P（0，λ，1﹣λ），∴＝（，，1﹣λ），由（1）知，平面A1BC的法向量为＝（1，，2），而CP与平面A1BC所成的角为60°∴sin60°＝|cos＜，＞|＝＝＝，解得λ＝或∉[0，1]，故不存在点P满足题意．22．如图，点P（x0，y0）是圆O：x2+y2＝9上一动点，过点P作圆O的切线l与圆O1：（x ﹣a）2+（y﹣4）2＝100（a＞0）交于A，B两点，已知当直线l过圆心O1时，|O1P|＝4．（1）求a的值；（2）当线段AB最短时，求直线l的方程；（3）问：满足条件＝的点P有几个？请说明理由．【分析】（1）依题意计算，可得结果；（2）解法1（代数法）：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，再求出d 的最大值即可得结果；解法2（几何法）：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，当且仅当O1，O，P三点共线时，d取得最大值，从而得解；（3）采用分类讨论，O1，O在直线AB同侧或异侧，假设|AP|＝t，可得d2+（2t）2＝100，并得t2＝|MP|2＝25﹣（d﹣3）2或t2＝|MP|2＝25﹣（d+3）2计算即可判断．解：（1）当直线l过圆心点O1时，，解得a＝3（负值舍去）．（2）解法1（代数法）：因为OP与圆O相切，所以直线l的方程为x0x+y0y＝9，且，所以圆心O1到直线l的距离，记z＝3x0+4y0，则直线3x0+4y0﹣z＝0 与圆有公共点，所以圆心（0，0）到直线3x+4y﹣z＝0 的距离，所以﹣15⩽z⩽15，所以当z＝﹣15 时，d max＝8，此时弦长|最短，由，解得，所以直线l的方程为3x+4y+15＝0．解法2（几何法）：如图，过O1作O1M⊥AB，则M为弦AB的中点，设d＝|O1M|，当|O1M|最长时，弦长|AB|最短，因为d⩽|O1P|⩽|OO1|+|OP|＝8，当且仅当O1，O，P三点共线时，取得最大值，此时OO1⊥AB，因为，所以直线OO1的方程为，由，解得（P点在第 3 象限）所以直线l的方程为3 x+4y+15＝0．（3）因为，所以设|AP|＝t，则|BP|＝3t（t＞0），所以|AB|＝4t，所以d2+（2t）2＝100 ①，（i）如图，当O1，O在直线AB同侧时，t2＝|MP|2＝25﹣（d﹣3）2②，由①②得d＝6 或d＝2，当d＝6 时，直线AB可看作是圆x2+y2＝9 与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝36 的公切线，此时两圆相交，公切线有两条，所以满足条件的点P有2个，d＝2 时，直线AB可看作是圆x2+y2＝9 与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4 的公切线，此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点P有2个，（ii）如图，当O1，O在直线AB异侧时，t2＝|MP|2＝25﹣（d+3）2，③由①③可得d＝﹣6 或d＝﹣2（舍），满足条件的P点不存在，综上，满足条件的点P共有4个．附：当d＝6 时，即|3x0+4y0﹣9|＝18，由，解得P（﹣3，0）或，当d＝2 时，即|3x0+4y0﹣9|＝6，由，解得或或舍去）．。
【苏教版2019精品高一期末】2019学年苏州市高一下学期期末测试+答案
苏教版高一下册期末测试数 学一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分.） 1. 经过空间任意三点作平面个数为 .2．在ABC ∆中，已知 ()()a b c a b c ab +++-=，则C ∠的大小为 ．3. 设定义在区间上的函数的图象与图象的交点横坐标为，则的值为 ．4. 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 和AD 1所成角的大小 是 ．5.求值：=- 15cos 2315sin 21 . 6．若长方体的底面正方形边长为1，与底面成60°角，则到底面的距离为 ．⒎ 设直线n 和平面α，不管直线n 和平面α的位置关系如何，在平面α内总存在直线m ，使得它与直线n ．(在“平行”、 “相交”、 “异面”、 “垂直”中选择一个填空)8．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是 ． ①若αα⊂b a ,//则b a // ②若，则 ③若，则 ④若b a a //,//α则α//b 或α⊂b 9．ABC ∆中，已知cos cos a b c B c A -=-，则三角形的 形状为 ．10．已知圆内接四边形ABCD 中，2,6,4,AB BC AD CD ====则四边形ABCD 的面积为 ． 11．已知113cos ,cos(),07142πααββα=-=<<<且，则β= ． 12．已知0a ≥，函数21()2cos()sin 242f x a x x π=+-+的最大值为252，则实数a 的值为 ． 13.已知ABC ∆中，︒=∠45B ，4=AC ，则ABC ∆面积的最大值为 ．14.设,a b 均为大于1的自然数,函数()(sin ),()cos f x a b x g x b x =+=+,若存在实数m,使得()()f m g m =,则a b += ．二、解答题：（本大题共6个小题.共90.）()π02, sin 2y x =1cos 2y x =αtan α1111ABCD A B C D -1AB ABCD 11A C ABCD ,αβl //,//l ααβl β⊂,//l ααβ⊥l β⊥15．(本题满分14分)在中，已知，. (1)求的值；(2)若为的中点，求的长.16.(本题满分14分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,已知1112,60AB AC AA BAA CAA ==∠=∠=,点D,E 分别为1,AB A C 的中点. (1) 求证:DE ∥平面11BB C C ； (2) 求证:11BB A BC ⊥平面.17.( （本题满分15分）)ABC ∆45A =4cos 5B =cosC 10,BCD =ABCDP在ABC ∆中,已知角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sin sin sin a c Bb c A C-=-+. (1) 求A ；(2) 若22()cos ()sin ()f x x A x A =+--,求()f x 的单调递增区间.18．（本题满分15分）如图，三棱锥ABC P -中， ⊥PC 平面D BC AB AC PC ABC ,,2,===是PB 上一点，且⊥CD 平面PAB ．(1) 求证：⊥AB 平面PCB ；(2) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小.19．（本题满分16分）如图，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点34(,)55B -，AOB α∠=，2παπ<<1=，AOP θ∠=，02πθ<<．（1）若16cos()65αθ-=-，求点P 的坐标； （2）若四边形OAQP 为平行四边形且面积为S ，求S ⋅+的最大值．20. (本题满分16分)如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD,在点A 处有一个可转动的探照灯,其照射角PAQ ∠始终为45(其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上),设,tan PAB t θθ∠==.(1) 用t 表示出PQ 的长度,并探求CPQ ∆的周长l 是否为定值；(2) 问探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至少为多少(平方百米)?DP45θ答案:1.一个或无数个2.23π 3.1515 4.3π5.2-6.7. 垂直8. ③ ④ 9. 等腰或直角 10. 3π12.212-13.244+ 14.4二、解答题：本大题共6个小题.共90解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．(本题满分14分)在中，已知，. (1)求的值； (2)若为的中点，求的长. 解：（Ⅰ）且，∴．． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得． 由正弦定理得，解得．在中，， ， 所以．16.(本题满分14分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,已知1112,60AB AC AA BAA CAA ==∠=∠=,点D,E 分别为1,AB A C 的中点. （1）求证:DE ∥平面11BB C C ; （2）求证:11BB A BC ⊥平面.ABC ∆45A =4cos 5B =cos C 10,BC D =AB CD 4cos ,5B =(0,180)B ∈3sin 5B ==cos cos(180)cos(135)C A B B =--=-243cos135cos sin135sin 55B B =+=-+=sin C ===sin sin BC AB A C =7AB=14AB =BCD ∆7BD =22247102710375CD =+-⨯⨯⨯=CD =P17.(本题满足15分)在ABC ∆中,已知角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sin sin sin a c Bb c A C-=-+. (3) 求A.(4) 若22()cos ()sin ()f x x A x A =+--,求()f x 的单调递增区间.18．（本小题满分15分）（如图）三棱锥ABC P -中， ⊥PC 平面D BC AB AC PC ABC ,,2,===是PB 上一点，且⊥CD 平面PAB ． (1) 求证：⊥AB 平面PCB；(2) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小.(1) ∵PC ⊥平面ABC ，⊂AB 平面ABC ，∴PC ⊥AB ．∵CD ⊥平面PAB ，⊂AB 平面PAB ，∴CD ⊥AB ． 又C CD PC = ，∴AB ⊥平面PCB ． ……6分 (2) 过点A 作AF//BC ，且AF=BC ，连结PF ，CF ．则 PAF ∠为异面直线PA 与BC 所成的角． 由（1）可得AB ⊥BC ，∴CF ⊥AF ． 得PF ⊥AF ．则AF=CF=2，PF=6 CF PC 22=+， 在PFA Rt ∆中， tan ∠PAF=26AFPF==3，∴异面直线PA 与BC 所成的角为3π． 19．（本小题满分16分）如图，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点34(,)55B -，AOB α∠=，2παπ<<，||1OP =u u u r ，AOP θ∠=，02πθ<<．（1）若16cos()65αθ-=-，求点P 的坐标； （2）若四边形OAQP 为平行四边形且面积为S ，求OQ OA S ⋅+的最大值．解：（1）由点34(,)55B -，AOB α∠=，可知3cos 5α=-，4sin 5α=． 又2παπ<<，02πθ<<，所以0αθπ<-<，于是由16cos()65αθ-=-可得63sin()65αθ-=．………………………………………4分 cos cos[()]θααθ∴=--316463()565565=-⨯-+⨯=1213， sin sin[()]θααθ=--416363()()565565=⨯---⨯513=， 因||1OP =u u u r ，故点P 的坐标为125(,)1313． ……………………………………………8分（2）(1,0)OA =u u r ，(cos ,sin )OP θθ=u u u r ．因02πθ<<，故sin S θ=．……………10分因OAQP 为平行四边形，故(1cos ,sin )OQ OA OP θθ=+=+u u u r u u r u u u r．S ⋅+sin 1cos θθ=++)14πθ=++(02πθ<<)．…………………14分当4πθ=时，OQ OA S ⋅+1+．…………………………………………16分20. (本题满分16分)如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD,在点A 处有一个可转动的探照灯,其照射角PAQ ∠始终为45(其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上),设,tan PAB t θθ∠==.(3) 用t 表示出PQ 的长度,并探求CPQ ∆的周长l 是否为定值.(4) 问探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少(平方百米)?D P45θ。
江苏省苏州市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷(II)卷
江苏省苏州市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高二下·黄陵期末) 复数的共轭复数是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·柳州月考) 以下命题中真命题的个数是（）①若直线平行于平面内的无数条直线，则直线；②若直线在平面外，则；③若直线，则；④若直线，则平行于平面内的无数条直线.A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）已知向量，当∥时的值是（）A . 3B . 4C . 5D . 64. （2分）(2020·龙岩模拟) 保护生态环境是每个公民应尽的职责！某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在内，按得分分成5组：、、、、，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的众数为（）A . 70B . 72.5C . 80D . 755. （2分） (2019高一下·吉林期末) 若α是第一象限角，则sinα+cosα的值与1的大小关系是（）A . sinα+cosα＞1B . sinα+cosα=1C . sinα+cosα＜1D . 不能确定6. （2分）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高一下·绍兴月考) 在中，若，则是（）A . 等边三角形B . 等腰三角形C . 不等边三角形D . 直角三角形8. （2分）一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次模得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与是（）A . 相互独立事件B . 不相互独立事件C . 互斥事件D . 对立事件9. （2分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，则三棱锥C﹣ABD的外接球表面积为（）A . 16πB . 12πC . 8πD . 4π10. （2分） (2019高二上·丽水月考) 如图，扇形中，，M是中点，P是弧上的动点，N是线段上的动点，则的最小值为（）A . 0B .C .D .二、填空题 (共5题；共6分)11. （2分）(2019·和平模拟) 若，其中，是虚数单位，则 ________．12. （1分）(2019·青浦模拟) 已知、是互斥事件，，，则________13. （1分） (2017高一下·承德期末) 底面半径为2 ，母线长为4的圆锥的体积为________．14. （1分） (2018高一下·山西期中) 已知、满足：，，，则________．15. （1分）在中, 已知 ,则角的大小为________三、双空题 (共1题；共1分)16. （1分）(2017·天河模拟) 在△ABC中，D为BC上靠近B点的三等分点，连接AD，若 =m +n ，则m+n=________．四、解答题 (共4题；共27分)17. （10分） (2017高一上·南昌月考) 已知函数 .（1）将函数化成的形式，并求函数的增区间；（2）若函数满足：对任意都有成立，求实数的取值范围.18. （10分） (2018高一下·阿拉善左旗期末) 某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额，为此该学校高中部推荐2男1女三名候选人，初中部也推荐了1男2女三名候选人。
江苏省苏州市2019-2020年度高一下学期期末数学考试试卷(II)卷
江苏省苏州市2019-2020年度高一下学期期末数学考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高二上·西安月考) 已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a ，则a的值等于（）A . －4B . －1C . 0D . 12. （2分）已知偶函数在区间上是增函数，如果，则x的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·河南模拟) 定义表示不超过的最大整数，，例如，，执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A .B .C .D .4. （2分）已知O为坐标原点，，点P的坐标满足约束条件，则的最大值为（）A . -2B . -1C . 1D . 25. （2分） (2016高二上·定兴期中) 向边长分别为3、4、5的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（）A . 1﹣B . 1﹣C . 1﹣D . 1﹣6. （2分） (2017高一下·庐江期末) 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A . 860B . 720C . 1020D . 10407. （2分）动点P满足,则动点P的轨迹一定通过的（）A . 重心B . 垂心C . 内心D . 外心8. （2分） (2016高二上·辽宁期中) 如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的中位数为16，则x，y的值分别为（）A . 18，6B . 8，16C . 8，6D . 18，169. （2分）已知函数f（x）=，若∀x∈R，则k的取值范围是（）A . 0≤k＜B . 0＜k＜C . k＜0或k＞D . 0＜k≤10. （2分）在锐角△ABC中，若A=2B，则的范围是（）A . （，）B . （， 2）C . （0，2）D . （， 2）二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2017高一上·长宁期中) 函数f（x）= 的定义域是________．12. （1分） (2017高二上·日喀则期中) △ABC的三个内角A，B，C的大小成等差数列，则B=________．13. （1分） (2018高一下·平顶山期末) 一个项目由15个专家评委投票表决，剔除一个最高分96，一个最低分58后所得到的平均分为92，方差为16，那么原始得分的方差为________．14. （1分）(2016·浦城模拟) 如果实数x，y满足条件，则z= 的最小值为________．15. （1分） (2017高二下·启东期末) 若从甲、乙、丙3位同学中选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是________．16. （1分） (2016高三上·沈阳期中) 等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）已知数列的前项和，且，等差数列满足， .（1）求数列的通项公式；（2），求数列的前项和 .18. （10分）近两年来，各大电视台都推出了由明星参与的游戏竞技类节目．高一某研究性学习小组在长沙某社区对50人进行第一时间收看该类节目与性别是否有关的收视调查，其中20名女性中有15名第一时间收看该类节目，30名男性中10名第一时间收看该类节目．参考数据：．临界值表：P（Χ2≥k）0.1000.0500.0250.0100.0050.001 k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（1）根据以上数据建立一个2×2列联表，并判断第一时间收看该类节目是否与性别有关？（2）该研究性学习小组共有A、B、C、D和E五名同学，五人分成两组模拟“撕名牌”的游戏，其中一组三人，一组两人，求A、B两同学分在同一组的概率．19. （10分） (2017高一下·宿州期中) 如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=4，AC=2，DC=2（1）求cos∠ADC（2）求AB．20. （5分）已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足an=3Sn﹣2（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和Tn ．21. （5分） (2016高一上·南城期中) 已知二次函数f（x）的二次项系数为a（a＜0），且1和3是函数y=f （x）+2x的两个零点．若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式．22. （15分） (2017高一下·双流期中) 已知正项数列{an}的前n项和为Sn ，对任意n∈N* ，点（an ，Sn）都在函数的图象上．（1）求数列{an}的首项a1和通项公式an；（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）已知数列{cn}满足．若对任意n∈N*，存在，使得c1+c2+…+cn≤f（x）﹣a成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
江苏省苏州市2019-2020年度高一下学期数学期末考试试卷(II)卷
江苏省苏州市2019-2020年度高一下学期数学期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是（）A .B .C . 2D .2. （2分）已知a＞0，则下列不等关系不恒成立的是（）A . 若m＞n，则＜B . a+ ≥4C . a2+ ≥a+D . 若函数f（x）=|1﹣x2|，则f（ax）﹣a2f（x）≤f（a）3. （2分） (2017高二·卢龙期末) 已知椭圆的方程为，则此椭圆的离心率为（）A .B .C .D .4. （2分）若，则角是（）A . 第一或第二象限角B . 第二或第三象限角C . 第二或第四象限角D . 第三或第四象限角5. （2分）(2017高二下·深圳月考) 在中，内角所对的边分别是，若，，则的面积是（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高一下·开鲁期末) 已知等差数列的前n项和为，且，则满足的正整数n的最大值为（）A . 16B . 17C . 18D . 197. （2分）过点且垂直于直线的直线方程为（）A .B .C .D .8. （2分）直线与圆心为D的圆，交于A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一上·分宜月考) 已知函数在区间上的最大值为3，则实数t的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一上·周口期末) 直线y=kx+3被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4截得的弦长为，则直线的倾斜角为（）A . 或B . 或C . 或D .11. （2分）已知直线：和直线：，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（）A .B . 3C .D . 212. （2分）(2018·河北模拟) 已知椭圆的右焦点为，为上的动点，，若的周长的最大值为，则的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·吉林模拟) 已知向量满足，，且在方向上的投影是，则实数 ________．14. （1分）(2017·广西模拟) 已知x、y满足，则z=x+2y的最大值为________．15. （1分） (2019高二下·深圳期末) 设是公差不为零的等差数列，为其前项和.已知成等比数列，且，则数列的通项公式为________.16. （1分） (2018高二下·孝感期中) 已知点，点B是圆F：（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）已知函数f（x）=x3+x﹣16．（1）求曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．18. （5分）设向量，满足||=||=1及|3﹣2|=求，夹角的大小；19. （15分）(2020·泰州模拟) 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为A，过点A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B，以为边作矩形，其中直线过原点O．当点B为椭圆M的上顶点时，的面积为b，且．（1）求椭圆M的标准方程；（2）求矩形面积S的最大值；（3）矩形能否为正方形？请说明理由．20. （10分）已知等差数列中，，数列中， .（1）分别求数列的通项公式；（2）定义，是的整数部分，是的小数部分，且 .记数列满足，求数列的前项和.21. （10分） (2019高一下·吉林期末) 如图，已知圆：，点 .（1）求经过点A且与圆M相切的直线的方程；（2）过点的直线与圆M相交于D、E两点，F为线段的中点，求线段长度的取值范围.22. （5分）已知椭圆，(Ⅰ)求出椭圆上的动点到点的距离的最大值；(Ⅱ)若点是椭圆的左顶点，在椭圆上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，求斜边的长。