2020年吉林省长春市中考数学试卷(含解析)印刷版
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23．（10 分）如图①，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点 P 从点 A 出发，沿折线 AB﹣BC 以每秒 5 个单位长度的速度向点 C 运动，同时点 D 从点 C 出发，沿 CA 以每秒 2 个单位长度的速度向 点 A 运动，点 P 到达点 C 时，点 P、D 同时停止运动．当点 P 不与点 A、C 重合时，作点 P 关于直线 AC 的对称点 Q，连结 PQ 交 AC 于点 E，连结 DP、DQ．设点 P 的运动时间为 t 秒． （1）当点 P 与点 B 重合时，求 t 的值． （2）用含 t 的代数式表示线段 CE 的长． （3）当△PDQ 为等腰直角三角形时，求 t 的取值范围．
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C．
D． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得． 【解答】解：x≥3﹣2， x≥1， 故选：D． 5．（3 分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点 B，塔身中心线 AB 与垂 直中心线 AC 的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线 AC 引垂线，垂足为点 D．通过测量可得 AB、BD、 AD 的长度，利用测量所得的数据计算∠A 的三角函数值，进而可求∠A 的大小．下列关系式正确的是 （）
（1）甲车的速度为
千米/时，a 的值为
．
（2）求乙车出发后，y 与 x 之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距 100 千米时，求甲车行驶的时间．
5
22．（9 分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第 121 页的部分内容． 1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
年．
（2）长春市从 2014 年到 2019 年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为
天，平均数为
天．
（3）长春市从 2015 年到 2019 年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是
年，
这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为
（精确到 1%）．
（空气质量为“优”的天数的增长率＝
×100%）
直中心线 AC 的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线 AC 引垂线，垂足为点 D．通过测量可得 AB、BD、
AD 的长度，利用测量所得的数据计算∠A 的三角函数值，进而可求∠A 的大小．下列关系式正确的是
（）
1
A．sinA＝
B．cosA＝
C．tanA＝
D．sinA＝
6．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，∠BDC＝20°，则∠AOC 的大小为（ ）
17．（6 分）图①、图②、图③均是 3×3 的正方形网格，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点
3
称为格点，线段 AB 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以 AB 为边 画△ABC． 要求： （1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形； （2）三个图中所画的三角形的面积均不相等； （3）点 C 在格点上．
18．（7 分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证， 使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了 20 元．预计今年的销量 是去年的 3 倍，年销售额为 360 万元．已知去年的年销售额为 80 万元，问该村企去年黑木耳的年销量 为多少万斤？
（4）你认为长春市从 2014 年到 2019 年哪一年的空气质量好？请说明理由．
21．（8 分）已知 A、B 两地之间有一条长 240 千米的公路．甲车从 A 地出发匀速开往 B 地，甲车出发两小
时后，乙车从 B 地出发匀速开往 A 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和 y（千米）与
甲车行驶的时间 x（时）之间的函数关系如图所示．
级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也
就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从 2014 年到 2019 年的空气质
量级别天数的统计图表．
2014﹣2019 年长春市空气质量级别天数统计表
空气质量级别 优 良 轻度污染
中度污染 重度污染 严重污染
10．（3 分）分解因式：a2﹣4＝
．
11．（3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m＝0 有两个相等的实数根，则实数 m 的值为
．
12．（3 分）正五边形的一个外角的大小为
度．
13．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点 C 为圆心，线段 CA 的长为半径作 ，
故选：B．
3．（3 分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形而且有 4 条棱进行解答即可．
【解答】解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形而且有 4 条棱．
故选：A．
4．（3 分）不等式 x+2≥的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
天数
年份
2014
30 215
73
28
13
6
4
2015
43 193
87
19
15
8
2016
51 237
58
15
5
0
2017
65 211
62
16
9
2
2018
123 202
39
0
1
0
2019
126 180
38
16
5
0
根据上面的统计图表回答下列问题：
（1）长春市从 2014 年到 2019 年空气质量为“达标”的天数最多的是
6
（4）如图②，取 PD 的中点 M，连结 QM．当直线 QM 与△ABC 的一条直角边平行时，直接写出 t 的 值．
24．（12 分）在平面直角坐标系中，函数 y＝x2﹣2ax﹣1（a 为常数）的图象与 y 轴交于点 A． （1）求点 A 的坐标． （2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值 y 随 x 的增大而增大时 x 的 取值范围． （3）当 x≤0 时，若函数 y＝x2﹣2ax﹣1（a 为常数）的图象的最低点到直线 y＝2a 的距离为 2，求 a 的 值． （4）设 a＜0，Rt△EFG 三个顶点的坐标分别为 E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函 数 y＝x2﹣2ax﹣1（a 为常数）的图象与△EFG 的直角边有交点时，交点记为点 P．过点 P 作 y 轴的垂 线，与此函数图象的另一个交点为 P′（P′与 P 不重合），过点 A 作 y 轴的垂线，与此函数图象的另 一个交点为 A′．若 AA′＝2PP′，直接写出 a 的值．
【问题解决】如图①，已知矩形纸片 ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点 D 的直线折叠，使点 A 落 在边 DC 上，点 A 的对应点为 A′，折痕为 DE，点 E 在 AB 上．求证：四边形 AEA′D 是正方形．
【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE 为等腰三角形．现将图①中的点 A′沿 DC 向
“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张， 记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡 片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为 A1、A2，图案为“保 卫和平”的卡片记为 B）
19．（7 分）如图，在▱ ABCD 中，O 是对角线 AC、BD 的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点 E、F． （1）求证：OE＝OF． （2）若 BE＝5，OF＝2，求 tan∠OBE 的值．
20．（7 分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四
右平移至点 Q 处（点 Q 在点 C 的左侧），如图②，折痕为 PF，点 F 在 DC 上，点 P 在 AB 上，那么△ PQF 还是等腰三角形吗？请说明理由．
【结论应用】在图②中，当 QC＝QP 时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点 C 与点 P 重合，折痕为
QG，点 G 在 AB 上．要使四边形 PGQF 为菱形，则 ＝
2020 年吉林省长春市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．（3 分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ）
A．﹣1
B．﹣1.5
C．﹣3
D．﹣4.2
2．（3 分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为 79000 平方米的新少年宫，预计
2020 年 12 月正式投入使用．79000 这个数用科学记数法表示为（ ）
A．∠BDN＝∠CDN
B．∠ADC＝2∠B
C．∠ACD＝∠DCB
D．2∠B+∠ACD＝90°
8．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，2），AB⊥x 轴于点 B，点 C 是线段 OB 上的点，
连结 AC．点 P 在线段 AC 上，且 AP＝2PC，函数 y＝ （x＞0）的图象经过点 P．当点 C 在线段 OB
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把
原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n
是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数． 【解答】解：79000 这个数用科学记数法表示为：7.9×104．
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2020 年吉林省长春市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．（3 分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ）
2020学年吉林省长春市中考试题数学及答案解析
2020年吉林省长春市中考试题数学一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1.-15的绝对值是( )A.-1 5B.1 5C.-5D.5解析：计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号.答案：B.2.长春市奥林匹克公园即将于2020年年底建成，它的总投资额约为2500000000元，2500000000这个数用科学记数法表示为( )A.0.25×1010B.2.5×1010C.2.5×109D.25×108解析：2500000000用科学记数法表示为2.5×109.答案：C.3.下列立体图形中，主视图是圆的是( )A.B.C.D.解析：A、圆锥的主视图是三角形，故A不符合题意；B、圆柱的柱视图是矩形，故 B错误；C、圆台的主视图是梯形，故C错误；D、球的主视图是圆，故D正确.答案：D.4.不等式3x-6≥0的解集在数轴上表示正确的是( )A.B.C.D.解析：3x-6≥0，3x≥6，x≥2，在数轴上表示为答案：B.5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为( )A.44°B.40°C.39°D.38°解析：∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°-54°-48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB=12×78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°.答案：C.6.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为( )A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺解析：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴1.5150.5x=，解得x=45(尺).答案：B.7.如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A、B在同一水平面上).为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为( )A.800sinα米B.800tanα米C.800 sinα米D.800tanα米解析：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，∴tanα=ACAB，∴AB=800tan tanACαα=.答案：D.8.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=kx(x＞0)的图象上，若AB=2，则k的值为( )A.4B.22C.2D.2解析：作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC=2AB=22，BD=AD=CD=2，再利用AC⊥x轴得到C(2，22)，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值.答案：A.二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)9.比较大小：10_____3.(填“＞”、“=”或“＜”)解析：∵32=9＜10，∴10＞3.答案：＞.10.计算：a2·a3=_____.解析：根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可. 答案：a5.11.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，3)、(n，3)，若直线y=2x与线段AB有公共点，则n的值可以为_____.(写出一个即可)解析：由直线y=2x与线段AB有公共点，可得出点B在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，在其内任取一数即可得出结论.答案：2.12.如图，在△ABC中，AB=AC.以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD.若∠A=32°，则∠CDB的大小为_____度.解析：∵AB=AC，∠A=32°，∴∠ABC=∠ACB=74°，又∵BC=DC，∴∠CDB=∠CBD=12∠ACB=37°.答案：37.13.如图，在▱ABCD中，AD=7，3，∠B=60°.E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为_____.解析：当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，∵AE⊥BC，AB=23，∠B=60°.∴AE=3，BE=3，∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，∴EF=BC=AD=7，∴四边形AEFD周长的最小值为：14+6=20.答案：20.14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A.点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上.过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A′的横坐标为1，则A′C的长为_____.解析：解方程x2+mx=0得A(-m，0)，再利用对称的性质得到点A的坐标为(-1，0)，所以抛物线解析式为y=x2+x，再计算自变量为1的函数值得到A′(1，2)，接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标，然后计算A′C的长.答案：3.三、解答题(本大题共10小题，共78分)15.先化简，再求值：22111xx x-+--，其中5解析：根据分式的加法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题.答案：22111 xx x-+--=2211 xx-+-=211xx--=()()111x xx+--=x+1，当x=5-1时，原式=5-1+1=5.16.剪纸是中国传统的民间艺术，它画面精美，风格独特，深受大家喜爱，现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“金鱼”，另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”，卡片除正面剪纸图案不同外，其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图(或列表)的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率.(图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“蝴蝶”的卡片记为B)解析：列表得出所有等可能结果，然后根据概率公式列式计算即可得解答案：列表如下：由表可知，共有9种等可能结果，其中抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的4种结果，所以抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率为49.17.图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON的端点均在格点上.在图①、图②给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上.要求：(1)所画的两个四边形均是轴对称图形.(2)所画的两个四边形不全等.解析：利用轴对称图形性质，以及全等四边形的定义判断即可.答案：如图所示：18.学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠.结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润.(1)求每套课桌椅的成本；(2)求商店获得的利润.解析：(1)设每套课桌椅的成本为x元，根据利润=销售收入-成本结合商店获得的利润不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；(2)根据总利润=单套利润×销售数量，即可求出结论.答案：(1)设每套课桌椅的成本为x元，根据题意得：60×100-60x=72×(100-3)-72x，解得：x=82.答：每套课桌椅的成本为82元.(2)60×(100-82)=1080(元).答：商店获得的利润为1080元.19.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D.已知⊙O的半径为6，∠C=40°.(1)求∠B的度数.(2)求AD的长.(结果保留π)解析：(1)根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可；(2)根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可.答案：(1)∵AC切⊙O于点A，∠BAC=90°，∵∠C=40°，∴∠B=50°；(2)连接OD，∵∠B=50°，∴∠AOD=2∠B=100°，∴AD的长为1006101803ππ⨯=.20.某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查.该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：20 21 19 16 27 18 31 29 21 2225 20 19 22 35 33 19 17 18 2918 35 22 15 18 18 31 31 19 22整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：(1)上表中众数m的值为_____；(2)为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励.如果想让一半左右的工人能获奖，应根据_____来确定奖励标准比较合适.(填“平均数”、“众数”或“中位数”)(3)该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手.若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数.解析：(1)根据条形统计图中的数据可以得到m的值；(2)根据题意可知应选择中位数比较合适；(3)根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数.答案：(1)由图可得，众数m的值为18；(2)由题意可得，如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适；(3)300×11231230+++++=100(名)，答：该部门生产能手有100名工人.21.某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口.从某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口.储存罐内的水泥量y(立方米)与时间x(分)之间的部分函数图象如图所示.(1)求每分钟向储存罐内注入的水泥量.(2)当3≤x ≤5.5时，求y 与x 之间的函数关系式.(3)储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是_____立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为_____分钟.解析：(1)体积变化量除以时间变化量求出注入速度； (2)根据题目数据利用待定系数法求解；(3)由(2)比例系数k=4即为两个口同时打开时水泥储存罐容量的增加速度，则输出速度为5-4=1，再根据总输出量为8求解即可.答案：(1)每分钟向储存罐内注入的水泥量为15÷3=5分钟； (2)设y=kx+b(k ≠0)把(3，15)(5.5，25)代入15325 5.5k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得43k b =⎧⎨=⎩∴当3≤x ≤5.5时，y 与x 之间的函数关系式为y=4x+3(3)由(2)可知，输入输出同时打开时，水泥储存罐的水泥增加速度为4立方米/分，则每分钟输出量为5-4=1立方米；只打开输出口前，水泥输出量为 5.5-3=2.5立方米，之后达到总量8立方米需需输出8-2.5=5.5立方米，用时5.5分钟∴从打开输入口到关闭输出口共用的时间为：5.5+5.5=11分钟.22.在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C、D重合)，连结BE.【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.(1)求证：BE=FG.(2)连结CM，若CM=1，则FG的长为_____.【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG.若CM=3，则四边形GMCE的面积为_____.解析：感知：利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；探究：(1)判断出PG=BC，同感知的方法判断出△PGF≌CBE，即可得出结论；(2)利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论.答案：感知：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠BAF=∠CBE，在△ABF和△BCE中，90BAF CBEAB BCABC BCE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABF≌△BCE(ASA)；探究：(1)如图②，过点G作GP⊥BC于P，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，∴四边形ABPG是矩形，∴PG=AB，∴PG=BC，同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，在△PGF和△CBE中，90PGF CBEPG BCPFG ECB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△PGF≌△CBE(ASA)，∴BE=FG，(2)由(1)知，FG=BE，连接CM，∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，∴BE=2CM=2，∴FG=2.应用：同探究(2)得，BE=2ME=2CM=6，∴ME=3，同探究(1)得，CG=BE=6，∵BE⊥CG，∴S四边形CEGM=12CG×ME=12×6×3=9.23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A、B重合)，作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒.(1)用含t的代数式表示线段DC的长；(2)当点Q与点C重合时，求t的值；(3)设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；(4)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值.解析：(1)先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；(2)利用AD+DQ=AC，即可得出结论；(3)分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；(4)分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论.答案：(1)在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4，∴3，∵PD⊥AC，∴∠ADP=∠CDP=90°，在Rt△ADP中，AP=2t，∴DP=t，AD=APcosA=2t×33，∴CD=AC-AD=23-3t(0＜t＜2)；(2)在Rt△PDQ中，∵∠DPC=60°，∴∠PQD=30°=∠A，∴PA=PQ，∵PD⊥AC，∴AD=DQ，∵点Q和点C重合，∴AD+DQ=AC，∴2×3t=23，∴t=1；(3)当0＜t≤1时，S=S△PDQ=12DQ×DP=12×3t×t=32t2；当1＜t＜2时，如图2，CQ=AQ-AC=2AD-AC=23t-23=23(t-1)，在Rt△CEQ中，∠CQE=30°，∴CE=CQ·tan∠CQE=23(t-1)×3=2(t-1)，∴S=S△PDQ-S△ECQ=12×3t×t-12×23(t-1)×2(t-1)=-33t2+43t-23，∴S=223013343()(231)2 t tt t t⎧≤⎪⎨⎪-+-⎪⎩＜＜＜；(4)当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，如图3，∴∠PGF=90°，PG=12PQ=12AP=t，AF=12AB=2，∵∠A=∠AQP=30°，∴∠FPG=60°，∴∠PFG=30°，∴PF=2PG=2t，∴AP+PF=2t+2t=2，∴t=12；当PQ的垂直平分线过AC的中点M时，如图4，∴∠QMN=90°，AN=12AC=3，QM=12PQ=12AP=t，在Rt△NMQ中，NQ=23cos303MQt=︒，∵AN+NQ=AQ，23323t t+=，∴t=34，当PQ的垂直平分线过BC的中点时，如图5，∴BF=12BC=1，PE=12PQ=t，∠H=30°，∵∠ABC=60°，∴∠BFH=30°=∠H，∴BH=BF=1，在Rt△PEH中，PH=2PE=2t，∴AH=AP+PH=AB+BH，∴2t+2t=5，∴t=5 4，即：当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为12秒或34秒或54秒.24.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E(点A 在点D的左侧)，经过E、D两点的函数y=-12x2+mx+1(x≥0)的图象记为G1，函数y=-12x2-mx-1(x＜0)的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G.设矩形ABCD的周长为L.(1)当点A的横坐标为-1时，求m的值；(2)求L与m之间的函数关系式；(3)当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；(4)设G在-4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当32≤y0≤9时，直接写出L的取值范围.解析：(1)求出点B坐标利用待定系数法即可解决问题；(2)利用对称轴公式，求出BE的长即可解决问题；(3)由G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，推出抛物线G2的顶点M(-m，12m2-1)在线段AE上，利用待定系数法即可解决问题；(4)分两种情形讨论求解即可；答案：(1)由题意E(0，1)，A(-1，1)，B(1，1)把B(1，1)代入y=-12x2+mx+1中，得到1=-12+m+1，∴m=1 2.(2)∵抛物线G1的对称轴x=-m-1=m，∴AE=ED=2m，∵矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，∴AD=BC=4m，AB=CD=2，∴L=8m+4.(3)∵当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点，∴抛物线G2的顶点M(-m，12m2-1)在线段AE上，∴12m2-1=1，∴m=2或-2(舍弃)，∴L=8×2+4=20.(4)①当最高点是抛物线G1的顶点N(m，12m2+1)时，若12m2+1=32，解得m=1或-1(舍弃)，若12m2+1=9时，m=4或-4(舍弃)，又∵m≤2，观察图象可知满足条件的m的值为1≤m≤2，②当(2，2m-1)是最高点时，3219 22mm⎧≤-≤⎪⎨⎪≤⎩，解得2≤m≤5，综上所述，1≤m≤5，∴12≤L≤44.。
吉林省2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
吉林省2020年中考数学试卷一、单选题（共6题；共12分）1.﹣6的相反数是（）A. ﹣6B. ﹣16C. 6 D. 16【答案】C【考点】相反数及有理数的相反数【解析】【解答】−6的相反数是：6，故选C.【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此判断即可.2.国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据V用科学记数法表示为（）A. 11.09×106B. 1.109×107C. 1.109×108D. 0.1109×108【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】科学记数法：将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法则11090000=1.109×107故答案为：B．【分析】根据科学记数法的定义即可得．3.如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】简单组合体的三视图【解析】【解答】由左视图的定义得：这个立体图形的左视图由2行1列组成，其中，每行上只有1个小正方形，1列上有2个小正方形观察四个选项可知，只有选项A符合故答案为：A．【分析】根据左视图的定义即可得．4.下列运算正确的是（）A. a2⋅a3=a6B. (a2)3=a5C. (2a)2=2a2D. a3÷a2=a【答案】 D【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方【解析】【解答】A、a2⋅a3=a2+3=a5，此项不符合题意B、(a2)3=a2×3=a6，此项不符合题意C、(2a)2=4a2，此项不符合题意D、a3÷a2=a3−2=a，此项符合题意故答案为：D．【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方逐项判断即可．5.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A. 85°B. 75°C. 65°D. 60°【答案】B【考点】三角形内角和定理，直角三角形的性质【解析】【解答】解：如图所示，由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°，∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°，∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°，故答案为：B．【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．6.如图，四边形ABCD内接于⊙O．若∠B=108°，则∠D的大小为（）A. 54°B. 62°C. 72°D. 82°【答案】C【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】因为，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=108°所以，∠D=180°- ∠B=180°−108°=72°故答案为：C【分析】根据圆内接四边形的对角互补，可求得∠D的度数．二、填空题（共8题；共8分）7.分解因式：a2−ab=________．【答案】a（a﹣b）【考点】提公因式法因式分解【解析】【解答】解：a2−ab=a（a﹣b）．故答案为a（a﹣b）．【分析】直接提取公因式a即可分解因式.8.不等式3x+1>7的解集为________．【答案】x＞2【考点】解一元一次不等式【解析】【解答】解：3x+1>7，移项：3x>7−1，合并同类项：3x>6，系数化成1：x>2，所以不等式的解集为：x>2；故答案为：x>2．【分析】移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案．9.一元二次方程x2+3x−1=0根的判别式的值为________．【答案】13【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：∵a=1，b=3，c=-1，∴△=b2-4ac=9+4=13．所以一元二次方程x2+3x-1=0根的判别式的值为13．故答案为：13．【分析】根据一元二次方程根的判别式△=b2-4ac即可求出值．10.我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为________．【答案】（240-150）x=150×12【考点】一元一次方程的实际应用-行程问题【解析】【解答】解：题中已设快马x天可以追上慢马，则根据题意得：（240-150）x=150×12．故答案为：（240-150）x=150×12．【分析】根据两马的速度之差×快马出发的时间=慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程．11.如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是________．【答案】垂线段最短【考点】垂线段最短【解析】【解答】通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．12.如图，AB//CD//EF．若ACCE =12，BD=5，则DF=________．【答案】10【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：∵AB//CD//EF，∴ACCE =BDDF，又∵ACCE =12，BD=5，∴5DF =12，∴DF=10，故答案为：10．【分析】根据平行线分线段成比例得到ACCE =BDDF，由条件即可算出DF的值．13.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为12．则四边形DBCE 的面积为________．【答案】32【考点】相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理【解析】【解答】∵点D，E分别是边AB，AC的中点∴DE//BC,DE=12 BC∴△ADE∼△ABC∴S△ADES△ABC =(DEBC)2=14，即S△ABC=4S△ADE又∵S△ADE=12∴S△ABC=4×12=2则四边形DBCE的面积为S△ABC−S△ADE=2−12=32故答案为：32．【分析】先根据三角形中位线定理得出DE//BC,DE=12BC，再根据相似三角形的判定与性质得出S△ADE S△ABC =(DEBC)2，从而可得△ABC的面积，由此即可得出答案．14.如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F，若∠ABD=∠ACD=30°，AD=1，则EF⌢的长为________（结果保留π）．【答案】π2【考点】等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形，弧长的计算【解析】【解答】由题意知：AB=CB，AD=CD，∴△ABC和△ADC是等腰三角形，AC⊥BD．∵∠ABD=∠ACD=30°，AD=1∴OD= 12，OA= √32∴OB= 32．∵∠ABD= 30°，r=32∴∠EBF= 60°，EF⌢= 60°360°×2πr=13π×32=π2．故答案为π2．【分析】根据题意，求出OB的长；根据弧长的公式，代入数据，即可求解．三、解答题（共12题；共109分）15.先化简，再求值：(a+1)2+a(1−a)−1，其中a=√7．【答案】解：原式= a2+2a+1+a−a2−1= 3a将a=√7代入原式= 3√7．【考点】利用整式的混合运算化简求值【解析】【分析】分别依据完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项，然后将a=√7代入即可．16.“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物，如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．【答案】解：解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：由树状图可以看出，所有等可能出现的概率一共有9种，而两张卡片中含有A卡片的结果有5种，所以P（小吉抽到两张卡片中有A卡片）= 59．解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：结果为：（第一次抽取情况，第二次抽取情况）由表可以看出，所有等可能出现的概率一共有9种，而两张卡片中含有A卡片的结果有5种，所以P（小吉抽到两张卡片中有A卡片）= 59．【考点】列表法与树状图法【解析】【分析】分别使用树状图法或列表法将小吉同学抽取卡片的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次同样也有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种，找出含有A卡片的抽取结果，即可算出概率．17.甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．【答案】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做(x+6)个零件，由题意得：90 x+6=60x，解得：x=12，经检验：x=12是分式方程的解，且符合题意，∴分式方程的解为：x=12，答：乙每小时做12个零件．【考点】分式方程的实际应用【解析】【分析】设乙每小时做x个零件，甲每小时做(x+6)个零件，根据时间=总工作量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出答案．18.如图，在ΔABC中，AB>AC，点D在边AB上，且BD=CA，过点D作DE//AC并截取DE=AB，且点C，E在AB同侧，连接BE．求证：ΔDEB≅ΔABC．【答案】证明：∵DE//AC，∴∠A=∠EDB，在△ABC和△DEB中，{BD=CA∠EDB=∠ADE=AB，∴ΔDEB≅ΔABC（SAS）．【考点】平行线的性质，三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】根据SAS即可证得ΔDEB≅ΔABC．19.如图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．（3）在图③中，画一个ΔDEF，使ΔDEF与ΔABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．【答案】（1）解：如图①，3×3的正方形网格的对称轴l，描出点AB关于直线l的对称点MN，连接MN即为所求；（2）解：如图②，同理（1）可得，PQ即为所求；（3）解：如图③，同理（1）可得，ΔDEF即为所求．【考点】轴对称的性质，作图﹣轴对称【解析】【分析】（1）先画出一条3×3的正方形网格的对称轴，根据对称性即可在图①中，描出点AB的对称点MN，它们一定在格点上，再连接MN即可．（2）同（1）方法可解；（3）同（1）方法可解；20.如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°= 0.59，cos36°=0.81，tan36°=0.73）【答案】解：由题意可知DE=CB=35，BE=CD=1.5，∠EDA=36°，=tan36°，在直角△ADE中，tan∠EDA=AEDE∵tan36°=0.73，∴AE=0.73，即AE=25.55，35∴AB=AE+BE=25.55+1.5=27.05≈27，因此塔AB的高度为27m．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，可求出AE的长，从而得到AB的高度．【解析】【分析】通过tan∠EDA=AEDE21.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y=k(x>0)的图象上（点B的横坐x标大于点A的横坐标），点A的坐示为(2,4)，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．（1）求k的值．（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．【答案】（1）解：将点A的坐标为(2,4)代入y=kx(x>0)，可得k=xy=2×4=8，∴k的值为8；（2）解：∵k的值为8，∴函数y=kx 的解析式为y=8x，∵D为OC中点，OD=2，∴OC=4，∴点B的横坐标为4，将x=4代入y=8x，可得y=2，∴点B的坐标为(4,2)，∴S四边形OABC =SΔAOD+S四边形ABCD=12×2×4+12(2+4)×2=10．【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）将点A的坐标为(2,4)代入y=kx(x>0)，可得结果；（2）利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．22.2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查，将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）根据以上材料，回答下列问题：（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．【答案】（1）解：小新抽样调查所得的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况.小莹抽取60名男生居家减压方式统计,没有随机抽样，而且只抽取男生，样本没有代表性；小静随机抽取10名学生居家减压方式统计，样本容量太小，也没有代表性；答：小新抽样调查所得的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况．小莹抽取60名男生居家减压方式统计,没有随机抽样，而且只抽取男生，样本没有代表性；小静随机抽取10名学生居家减压方式统计，样本容量太小，也没有代表性（2）解：估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数：=260（人）600× 2660答：估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数是260人．【考点】全面调查与抽样调查，用样本估计总体【解析】【分析】（1）根据抽样调查的要求，所抽样本必须具有代表性，要保证所有个体都有相同的机会被抽到，样本的容量要适当；（2）根据样本的情况估计总体情况，利用室内体育活动方式进行减压的人人数：600× 266023.某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为5L．在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为________L，机器工作的过程中每分钟耗油量为________L．（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．【答案】（1）3；0.5（2）解：由函数图象得：当x=10min时，机器油箱加满，并开始工作；当x=60min时，机器停止工作则自变量x的取值范围为10≤x≤60，且机器工作时的函数图象经过点(10,30),(60,5)设机器工作时y关于x的函数解析式y=kx+b将点 (10,30),(60,5) 代入得： {10k +b =3060k +b =5解得 {k =−12b =35则机器工作时y 关于x 的函数解析式 y =−12x +35 ；（3）解：设机器加油过程中的y 关于x 的函数解析式 y =ax将点 (10,30) 代入得： 10a =30解得 a =3则机器加油过程中的y 关于x 的函数解析式 y =3x油箱中油量为油箱容积的一半时，有以下两种情况：①在机器加油过程中当 y =302=15 时， 3x =15 ，解得 x =5②在机器工作过程中当 y =302=15 时， −12x +35=15 ，解得 x =40 综上，油箱中油量为油箱容积的一半时x 的值为5或40．【考点】一次函数的实际应用【解析】【解答】解：（1）由函数图象得：机器每分钟加油量为 3010=3(L)机器工作的过程中每分钟耗油量为 30−560−10=0.5(L)故答案为：3，0.5；【分析】（1）根据 10min 加油量为 30L 即可得；根据 60min 时剩余油量为 5L 即可得；（2）根据函数图象，直接利用待定系数法即可得；（3）先求出机器加油过程中的y 关于 x 的函数解析式，再求出 y =15 时，两个函数对应的x 的值即可．24.能够完全重合的平行四边形纸片 ABCD 和 AEFG 按图①方式摆放，其中 AD =AG =5 ， AB =9 ．点D ，G 分别在边 AE ， AB 上， CD 与 FG 相交于点H ．（1）（探究）求证：四边形 AGHD 是菱形．（2）（操作一）固定图①中的平行四边形纸片 ABCD ，将平行四边形纸片 AEFG 绕着点 A 顺时针旋转一定的角度，使点F 与点C 重合，如图②，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为________．（3）（操作二）四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③若sin∠BAD=45，则四边形DCFG的面积为________．【答案】（1）解：∵四边形ABCD和AEFG都是平行四边形∴AE//GF,AB//DC，即AD//GH,AG//DH∴四边形AGHD是平行四边形又∵AD=AG=5∴平行四边形AGHD是菱形；（2）56（3）72【考点】三角形全等及其性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：操作一：如图，设AE与DF相交于点H，AB与FG相交于点M∵四边形ABCD和AEFG是两个完全重合的平行四边形∴AD=FE,∠D=∠E，DF=AB=9在△ADH和△FEH中，{∠D=∠E∠AHD=∠FHEAD=FE∴△ADH≅△FEH(AAS)∴AH=FH，△ADH和△FEH的周长相等同理可得：△ADH≅△FEH≅△FBM≅△AGM∴△ADH、△FEH、△FBM、△AGM的周长均相等又∵AD=5,DF=AB=9∴△ADH的周长为L△ADH=AD+DH+AH=AD+DH+FH=AD+DF=14则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为4L△ADH=4×14=56故答案为：56；操作二：如图，设AB与DG相交于点N∵四边形ABCD和AEFG是两个完全重合的平行四边形∴AD=AG=5,CD=FG=AB=9,∠BAD=∠BAG,CD//AB//FG ∴△ADG是等腰三角形，且AB平分∠DAG∴AB⊥DG，DN=NG=12DG∴CD⊥DG在Rt△ADN中，sin∠NAD=DNAD =45，即DN5=45解得DN=4∴DG=2DN=8又∵CD//FG,CD=FG∴四边形DCFG是平行四边形∵CD⊥DG，即∠CDG=90°∴平行四边形DCFG是矩形则四边形DCFG的面积为DG⋅CD=8×9=72故答案为：72．【分析】探究：先根据平行四边形的性质可得AD//GH,AG//DH，再根据平行四边形的判定可得四边形AGHD是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证；操作一：先根据菱形的性质得出AD=FE,∠D=∠E，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AH=FH，然后根据全等三角形的性质、三角形的周长公式即可得；操作二：先根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定可得△ADG是等腰三角形，且AB平分∠DAG，再根据等腰三角形的三线合一可得AB⊥DG，DN=NG=12DG，然后利用正弦三角函数可求出DN的长，从而可得DG的长，最后根据矩形的判定可得四边形DCFG是矩形，据此利用矩形的面积公式即可得．25.如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC−CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D 在PQ异侧．设点P的运动时间为x(s)(0<x<2)，△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y (cm2)．（1）AP的长为________ cm（用含x的代数式表示）．（2）当点D落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【答案】（1）2x（2）解：如图，∵△ABC和△PQD都是等边三角形∴∠A=∠B=∠DPQ=60°,PQ=DP∵PQ⊥AB，即∠APQ=∠BPQ=90°∴∠AQP=90°−∠A=30°，∠BPD=∠BPQ−∠DPQ=30°在△APQ和△BDP中，{∠A=∠B∠AQP=∠BPD=30°PQ=DP∴△APQ≅△BDP(AAS)∴AQ=BP∵AB=4,AP=2x∴AQ=BP=AB−AP=4−2x∵在Rt△APQ中，∠AQP=30°∴AP=12AQ，即2x=12(4−2x)解得x=23；（3）解：∵△ABC是等边三角形∴AC=BC=AB=4当点Q与点C重合时，AP=12AQ=12×4=2则2x=2，解得x=1结合（2）的结论，分以下三种情况：①如图1，当0<x≤23时，重叠部分图形为△PQD由（2）可知，等边△PQD的边长为PQ=√3AP=2√3x 由等边三角形的性质得：PQ边上的高为√32PQ=3x则y=12⋅2√3x⋅3x=3√3x2②如图2，当23<x≤1时，重叠部分图形为四边形EFPQ∵∠B=60°,∠BPD=30°∴∠BFP=180°−∠B−∠BPD=90°则在Rt△BFP中，BF=12BP=12(4−2x)=2−x，PF=√3BF=√3(2−x)∴DF=PD−PF=2√3x−√3(2−x)=3√3x−2√3在Rt△DEF中，tanD=EFDF，即EF=tan60°⋅DF=√3DF 则y=S四边形EFPQ=S△PQD−S Rt△DEF=3√3x2−12DF⋅EF=3√3x2−√32(3√3x−2√3)2=−21√32x2+18√3x−6√3③如图3，当1<x<2时，重叠部分图形为△MPQ同②可知，BM=12BP=12(4−2x)=2−x，PM=√3BM=√3(2−x)在Rt△MPQ中，tan∠MPQ=MQPM，即MQ=tan60°⋅PM=√3PM则y=S△MNP=12PM⋅MQ=√32⋅[√3(2−x)]2=3√32(x−2)2综上，当0<x≤23时，y=3√3x2；当23<x≤1时，y=−21√32x2+18√3x−6√3；当1<x<2时，y=3√32(x−2)2．【考点】三角形的面积，三角形全等及其性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定（AAS）【解析】解：（1）由题意得：AP=2x(cm)故答案为：2x；【分析】（1）根据“路程=速度×时间”即可得；（2）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得∠A=∠B=∠DPQ=60°,PQ=DP，再根据垂直的定义可得∠AQP=∠BPD=30°，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得AQ=BP，最后在Rt△APQ中，利用直角三角形的性质列出等式求解即可得；（3）先求出点Q与点C重合时x的值，再分0<x≤23、23<x≤1和1<x<2三种情况，然后分别利用等边三角形的性质、正切三角函数、以及三角形的面积公式求解即可得．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3,0)，过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q；M是直线l上的一点，其纵坐标为−m+32，以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b 的值．（2）当点Q 与点M 重合时，求m 的值．（3）当矩形 PQMN 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m 的值．（4）当抛物线在矩形 PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．【答案】 （1）解：将点 A(3,0) 代入 y =−12x 2+bx +32得 0=−12×32+3b +32 ，解得b=1,；（2）解：由（1）可得函数的解析式为 y =−12x 2+x +32 ，∴ P(m,−12m 2+m +32) ,∵ PQ ⊥l 于点Q ，∴ Q(3,−12m 2+m +32) ,∵M 是直线l 上的一点，其纵坐标为 −m +32 ，∴ M(3,−m +32) ，若点Q 与点M 重合，则−12m 2+m +32=−m +32， 解得 m 1=0,m 2=4 ；（3）解：由（2）可得 PQ =|3−m| ， MQ =|(−m +32)−(−12m 2+m +32)|=|12m 2−2m| ， 当矩形 PQMN 是正方形时， PQ =MQ即 |12m 2−2m|=|3−m| ，即 12m 2−2m =3−m 或 12m 2−2m =m −3 ，解 12m 2−2m =3−m 得 m 1=√7+1,m 2=−√7+1 ，解 12m 2−2m =m −3 得 m 3=3+√3,m 2=3−√3 ，又 y =−12x 2+x +32=−12(x −1)+2 ，∴抛物线的顶点为(1，2)，∵抛物线的顶点在该正方形内部，∴P 点在抛物线对称轴左侧，即 m <1 ，且M 点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即 −m +32>2 ，解得m<−12，故m的值为−√7+1；（4）解：①如下图当m≤1时，若抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，且P点应该在x轴上侧，即−m+32<−12m2+m+32且−12m2+m+32>0，解−m+32<−12m2+m+32得0<m<4，解−12m2+m+32>0得−1<m<3，∴0<m≤1，②如下图当1<m<3时，若抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，即−m+32<−12m2+m+32，解得0<m<4，∴1<m<3；③当m=3时，P点和M点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意；④如下图当m>3时，若抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则M点的纵坐标应该大于P点纵坐标，即−m+32>−12m2+m+32，解得m<0或m>4，故m>4，综上所述0<m<3或m>4．【考点】正方形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值；（2）分别表示出P、Q、M的坐标，根据Q、M的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相同，列出方程求解即可；（3）分别表示出PQ和MQ的长度，根据矩形PQMN是正方形时PQ=MQ，即可求得m的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m的值；（4）分m≤1，1<m<3，m=3，m>3四种情况讨论，结合图形分析即可．。
2020年吉林省长春市中考数学试题(解析版)
2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.22．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×1053．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A．0＜k≤2B．≤k≤3C．≤k≤2D．≤k≤4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费元．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为度．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为（结果保留π）．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为天，平均数为天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为千米/时，a的值为．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．2020年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.2【分析】由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．【解答】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于﹣4，且小于﹣2，因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：79000这个数用科学记数法表示为：7.9×104．故选：B．3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．【分析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱进行解答即可．【解答】解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱．故选：A．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．【解答】解：x≥3﹣2，x≥1，故选：D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝【分析】根据直角三角形的边角关系，即锐角三角函数逐个进行判断即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，则sin A＝，cos A＝，tan A＝，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC＝40°，然后根据邻补角的定义计算出∠AOC的度数．【解答】解：∵∠BOC＝2∠BDC＝2×20°＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°．故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，∴DB＝DC，MN⊥BC，∴∠BDN＝∠CDN，∠DBC＝∠DCB，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B，∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴2∠B+∠ACD＝90°，故选项A，B，D正确，故选：C．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A．0＜k≤2B．≤k≤3C．≤k≤2D．≤k≤4【分析】设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，由△PCD∽△ACB，用c表示P点坐标，再求得k关于c的解析式，最后由不等式的性质求得k的取值范围．【解答】解：∵点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，∴OB＝3，AB＝2，设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，则BC＝3﹣c，PD∥AB，OC＝c，∴△PCD∽△ACB，∴，∵AP＝2PC，∴，∴PD＝，CD＝1﹣c，∴OD＝OC+CD＝1+c，∴P（1+c，），把P（1+c，）代入函数y＝（x＞0）中，得k＝c，∵0≤c≤3∴，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费（30m+15n）元．【分析】根据单价×数量＝总价，用代数式表示结果即可．【解答】解：根据单价×数量＝总价得，共需花费（30m+15n）元，故答案为：（30m+15n）．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为1．【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴（﹣2）2﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为72度．【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解．【解答】解：正五边形的一个外角＝＝72°．故答案为：72．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为π﹣2（结果保留π）．【分析】利用勾股定理求出AC，证明∠C＝45°，根据S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB计算即可．【解答】解：∵AB＝CB＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴∠C＝∠BAC＝45°，∴S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB＝﹣×2×2＝π﹣2，故答案为π﹣2．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为．【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），∴AB＝4，∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB＝2，∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h＝＝c+1，∴抛物线2＝﹣[c﹣（c+1）]2+k，解得，k＝．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．【解答】解：原式＝a2﹣6a+9+6a﹣2＝a2+7．当a＝时，原式＝（）2+7＝9．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是．17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【分析】根据网格画出符合条件的三个三角形即可．【解答】解：如图所示：即为符合条件的三角形．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？【分析】设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价＝总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：﹣＝20，解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．【分析】（1）由平行四边形性质得OB＝OD，由AAS证得△OEB≌△OFD，即可得出结论；（2）由（1）得OE＝OF，则OE＝2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，在△OEB和△OFD中，，∴△OEB≌△OFD（AAS），∴OE＝OF；（2）解：由（1）得：OE＝OF，∵OF＝2，∴OE＝2，∵BE⊥AC，∴∠OEB＝90°，在Rt△OEB中，tan∠OBE＝＝．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是2018年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为7天，平均数为8天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为89%（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．【分析】（1）从折线统计图可得答案；（2）利用中位数、众数的意义分别计算即可；（3）分别计算从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数，进而利用增长率计算结果；（4）根据空气质量的等级天数进行判断即可．【解答】解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年，故答案为：2018；（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝7，因此中位数是7天，这6年的“重度污染”的天数的平均数为＝8天，故答案为：7，8；（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为：2015年，43﹣30＝13天；2016年，51﹣43＝8天；2017年，65﹣51＝14天；2018年，123﹣65＝58天；2019年，126﹣123＝3天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为≈89%，故答案为：2018，89%；（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为40千米/时，a的值为480．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a＝240×2＝480；（2）运用待定系数法解得即可；（3）分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可．【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；a＝40×6×2＝480，故答案为：40；480；（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），∴，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120；（3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x＝；两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x＝，答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．（2）证明∠QFP＝∠FPQ即可解决问题．（3）证明△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF＝m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADA′＝90°，由翻折可知，∠DA′E＝∠A＝90°，∴∠A＝∠ADA′＝∠DA′E＝90°，∴四边形AEA′D是矩形，∵DA＝DA′，∴四边形AEA′D是正方形．（2）解：结论：△PQF是等腰三角形．理由：如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QFP＝∠APF，由翻折可知，∠APF＝∠FPQ，∴∠QFP＝∠FPQ，∴QF＝QP，∴△PFQ是等腰三角形．（3）如图③中，∵四边形PGQF是菱形，∴PG＝GQ＝FQ＝PF，∵QF＝QP，∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF＝m，∵∠FQP＝60°，∠PQD′＝90°，∴∠DQD′＝30°，∵∠D′＝90°，∴FD′＝DF＝FQ＝m，QD′＝D′F＝m，由翻折可知，AD＝QD′＝m，PQ＝CQ＝FQ＝m，∴AB＝CD＝DF+FQ+CQ＝m，∴＝＝．故答案为．23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．【分析】（1）根据AB＝4，构建方程求解即可．（2）分两种情形：当点P在线段AB上时，首先利用勾股定理求出AC，再求出AE即可解决问题．当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，求出EC即可．（3）求出两种特殊情形下△PDQ是等腰直角三角形时t的值，即可求解当△PDQ为锐角三角形时t的取值范围．（4）分两种情形：如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时．如图⑦中，当点P 在线段BC上，QM∥BC时，分别求解即可．【解答】解：（1）当点P与B重合时，5t＝4，解得t＝．（2）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin A＝，cos A＝，如图①中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，AE＝AP•cos A＝4t，∴EC＝5﹣4t．如图③中，当点P在线段BC上时，在Rt△PEC中，PC＝7﹣5t，cos C＝，∴EC＝PC•cos C＝（7﹣5t）＝﹣3t．（3）当△PDQ是等腰直角三角形时，则PE＝DE，如图④中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，PE＝P A•sin A＝3t，∵DE＝AC﹣AE﹣CD＝5﹣4t﹣2t＝5﹣6t，∵PE＝DE，∴3t＝5﹣6t，∴t＝．如图⑤中，当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，PE＝PC•sin C＝（7﹣5t）＝﹣4t，∵DE＝CD﹣CE＝2t﹣（7﹣5t）＝5t﹣，∴﹣4t＝5t﹣，解得t＝．∵△PDQ是锐角三角形，∴观察图象可知满足条件的t的值为0＜t＜或＜t＜．（4）如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时，过点Q作QG⊥AB于G，延长QM交BC于N，过点D作DH⊥BC于H．∵PB∥MN∥DH，PM＝DM，∴BN＝NH，在Rt△PQG中，PQ＝2PE＝6t，∴QG＝PQ＝t，在Rt△DCH中，HC＝DC＝t，∵BC＝BH+CH＝t+t+t＝3，解得t＝．如图⑦中，当点P在线段BC上，QM∥BC时，过点D作DH⊥BC于H，过点P作PK⊥QM于K．∵QM∥BC，DM＝PM，∴DH＝2PK，在Rt△PQK中，PQ＝2PE＝（7﹣5t），∴PK＝PQ＝（7﹣5t），在Rt△DCH中，DH＝DC＝t，∵DH＝2PK，∴t＝2×（7﹣5t），解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为或．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．【分析】（1）当x＝0时，代入y＝x2﹣2ax﹣1，即可得出结果；（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得a＝﹣1，则函数的表达式为y＝x2+2x﹣1，由y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，得出抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为x＝a，顶点坐标为（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，最低点就是A（0，﹣1），则2a﹣（﹣1）＝2，即可得出结果；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，则2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，即可得出结果；（4）易证直角边为EF与FG，由抛物线的对称轴为x＝a，A（0，﹣1），则AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，PP′＝2（a+1），则﹣2a＝2×2（a+1），即可得出结果；当点P 在FG边上时，求出PP′＝2，则﹣2a＝4，即可得出结果．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，∴点A的坐标为：（0，﹣1）；（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得：2＝1﹣2a﹣1，解得：a＝﹣1，∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1，∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，如图1所示：∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：∵x≤0，∴最低点就是A（0，﹣1），∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，∴2a﹣（﹣1）＝2，解得：a＝；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，如图3所示：∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，整理得：（a+1）2＝2，解得：a1＝﹣1﹣，a2＝﹣1+（不合题意舍去）；综上所述，a的值为或﹣1﹣；（4）∵a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1），∴直角边为EF与FG，∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，A（0，﹣1），∴AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，如图4所示：则x p＝﹣1，∵EA＝OA＝1，∴点P在对称轴x＝a的左侧，∴PP′＝2（a+1），∵AA′＝2PP′，∴﹣2a＝2×2（a+1），解得：a＝﹣；当点P在FG边上时，如图5所示：则y p＝a﹣1，∴x2﹣2ax﹣1＝a﹣1，解得：x1＝a+，x2＝a﹣，∴PP′＝a+﹣（a﹣）＝2，∵AA′＝2PP′，∴﹣2a＝4，解得：a1＝﹣，a2＝0（不合题意舍去）；综上所述，a的值为﹣或﹣．第31页（共31页）。
2020年吉林省中考数学试题及参考答案(word解析版)
吉林省2020年初中毕业生学业水平考试数学试题（全卷满分120分，考试时间为120分钟）一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．﹣6的相反数是（）A．6 B．﹣6 C．D．2．国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据11090000用科学记数法表示为（）A．11.09×106B．1.109×107C．1.109×108D．0.1109×1083．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．（2a）2＝2a2D．a3÷a2＝a5．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（）A．54°B．62°C．72°D．82°二、填空题（每小题3分，共24分）7．分解因式：a2﹣ab＝．8．不等式3x+1＞7的解集为．9．一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为．10．我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为．11．如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是．12．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝．13．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为．14．如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则的长为（结果保留π）．第12题图第13题图第14题图三、解答题（每小题5分，共20分）15．先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a）﹣1，其中a＝．16．“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．17．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．18．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过点D作DE∥AC，并截取DE＝AB，且点C，E在AB同侧，连接BE．求证：△DEB≌△ABC．四、解答题（每小题7分，共28分）19．图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．20．如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．（1）求k的值．（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．22．2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式 A B C D E人数 4 6 37 8 5表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式 A B C D E人数 2 1 3 3 1表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式 A B C D E人数 6 5 26 13 10根据以上材料，回答下列问题：（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．五、解答题（每小题8分，共16分）23．某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为L，机器工作的过程中每分钟耗油量为L．（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．24．能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为．六、解答题（每小题10分，共20分）25．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）AP的长为cm（用含x的代数式表示）．（2）当点D落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P 作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．答案与解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．﹣6的相反数是（）A．6 B．﹣6 C．D．【知识考点】相反数．【思路分析】根据相反数的定义，即可解答．【解题过程】解：﹣6的相反数是6，故选：A．【总结归纳】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．2．国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据11090000用科学记数法表示为（）A．11.09×106B．1.109×107C．1.109×108D．0.1109×108【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解题过程】解：11090000＝1.109×107，故选：B．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（）A．B．C．D．【知识考点】简单组合体的三视图．【思路分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解题过程】解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层也是一个小正方形，所以左视图是选项A，故选：A．【总结归纳】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是掌握简单组合体的三视图的定义，注意：从左边看得到的图形是左视图．4．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．（2a）2＝2a2D．a3÷a2＝a【知识考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【思路分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对各选项计算后利用排除法求解．【解题过程】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（2a）2＝4a2，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a3÷a2＝a，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．【总结归纳】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．5．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°【知识考点】三角形的外角性质．【思路分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．【解题过程】解：如图所示，∵∠BCD＝60°，∠BCA＝45°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝60°﹣45°＝15°，∠α＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣15°＝75°，故选：B．【总结归纳】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（）A．54°B．62°C．72°D．82°【知识考点】M5：圆周角定理；M6：圆内接四边形的性质．【思路分析】运用圆内接四边形对角互补计算即可．【解题过程】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°，故选：C．【总结归纳】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．二、填空题（每小题3分，共24分）7．分解因式：a2﹣ab＝．【知识考点】因式分解﹣提公因式法．【思路分析】直接把公因式a提出来即可．【解题过程】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．【总结归纳】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．8．不等式3x+1＞7的解集为．【知识考点】解一元一次不等式．【思路分析】移项、合并同类项、系数化为1即可得答案．【解题过程】解：3x+1＞7，移项得：3x＞7﹣1，合并同类项得：3x＞6，系数化为1得：x＞2，故答案为：x＞2．【总结归纳】此题主要考查了解一元一次不等式，关键是掌握解不等式的步骤．9．一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为．【知识考点】根的判别式．【思路分析】根据一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac即可求出值．【解题过程】解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝9+4＝13．所以一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为13．故答案为：13．【总结归纳】本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．10．我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为．【知识考点】数学常识；由实际问题抽象出一元一次方程．【思路分析】设快马x天可以追上慢马，根据两马的速度之差×快马出发的时间＝慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解题过程】解：设快马x天可以追上慢马，依题意，得：（240﹣150）x＝150×12．故答案为：（240﹣150）x＝150×12．【总结归纳】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．11．如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是．【知识考点】垂线段最短．【思路分析】根据垂线段的性质解答即可．【解题过程】解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【总结归纳】本题考查了垂线段的定义和性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决实际问题．12．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝．【知识考点】平行线分线段成比例．【思路分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例性质求DF的长．【解题过程】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，∴DF＝2BD＝2×5＝10．故答案为10．【总结归纳】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE 的面积为．【知识考点】三角形的面积；三角形中位线定理．【思路分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求出△ABC的面积，即可得到答案．【解题过程】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面积为，∴△ABC的面积为2，∴四边形DBCE的面积＝2﹣＝，故答案为：．【总结归纳】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．14．如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则的长为（结果保留π）．【知识考点】全等三角形的判定与性质；弧长的计算．【思路分析】利用SSS证明△ABD≌△CBD，根据全等三角形的对应角相等即可得出∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠CDB，CD＝AD＝1，即可求得∠ABC＝60°，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD⊥AC，且AO＝CO，进一步求得∠ACB＝60°，即可求得∠BCD＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求得OB，然后根据弧长公式求得即可．【解题过程】解：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠CDB，CD＝AD＝1，∴∠ABC＝60°，∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴BD⊥AC，且AO＝CO，∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，∴BD＝2CD＝2，在Rt△COD中，∵∠ACD＝30°，∴OD＝CD＝，∴OB＝BD﹣OD＝2﹣＝，∴的长为：＝，故答案为．【总结归纳】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，弧长的计算等，熟练掌握性质定理是解题的关键．三、解答题（每小题5分，共20分）15．先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a）﹣1，其中a＝．【知识考点】整式的混合运算—化简求值．【思路分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值即可．【解题过程】解：原式＝a2+2a+1+a﹣a2﹣1＝3a．当a＝时，原式＝3．【总结归纳】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值．16．“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．【知识考点】列表法与树状图法．【思路分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和两张卡片中含有A卡片的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解题过程】解：根据题意列表如下：A B CA AA BA CAB AB BB CBC AC BC CC共有9种等可能的结果数，其中小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的有5种情况，∴小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率为．【总结归纳】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．17．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．【知识考点】分式方程的应用．【思路分析】设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，根据时间＝总工作量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．【解题过程】解：设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，根据题意得：＝，解得：x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，∴x+6＝18．答：乙每小时做12个零件．【总结归纳】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．18．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过点D作DE∥AC，并截取DE＝AB，且点C，E在AB同侧，连接BE．求证：△DEB≌△ABC．【知识考点】全等三角形的判定．【思路分析】由DE∥AC，根据平行线的性质得出∠EDB＝∠A，又BD＝CA，DE＝AB，利用SAS即可证明△DEB≌△ABC．【解题过程】证明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A．在△DEB与△ABC中，，∴△DEB≌△ABC（SAS）．【总结归纳】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．四、解答题（每小题7分，共28分）19．图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．【知识考点】作图﹣轴对称变换．【思路分析】（1）根据对称性在图①中，画一条不与AB重合的线段MN与AB对称即可；（2）根据对称性即可在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ与AC对称；（3）根据对称性在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称即可．【解题过程】解：（1）如图①，MN即为所求；（2）如图②，PQ即为所求；（3）如图③，△DEF即为所求．【总结归纳】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质．20．如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD 测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【思路分析】设AB与DE交于点F．在Rt△ADF中，利用三角函数定义求出AF，即可得出答案．【解题过程】解：设AB与DE交于点F，如图所示：由题意得：DF⊥AB，BE＝CD＝1.5m，DF＝BC＝35m，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，tan∠EDA＝，∴AF＝DF×tan36°≈35×0.73＝25.55（m），∴AB＝AF+BF＝25.55+1.5≈27（m）；答：塔AB的高度约27m．【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上（点B 的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．（1）求k的值．（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．【知识考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【思路分析】（1）将点A的坐标为（2，4）代入y＝（x＞0），可得结果；（2）利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．【解题过程】解：（1）将点A的坐标为（2，4）代入y＝（x＞0），可得k＝xy＝2×4＝8，∴k的值为8；（2）∵k的值为8，∴函数y＝的解析式为y＝，∵D为OC中点，OD＝2，∴OC＝4，∴点B的横坐标为4，将x＝4代入y＝，可得y＝2，∴点B的坐标为（4，2），∴S四边形OABC＝S△AOD+S四边形ABCD＝＝10．【总结归纳】本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键．22．2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式 A B C D E人数 4 6 37 8 5表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式 A B C D E人数 2 1 3 3 1表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式 A B C D E人数 6 5 26 13 10根据以上材料，回答下列问题：（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．【知识考点】抽样调查的可靠性；用样本估计总体；统计表．【思路分析】（1）根据抽取样本的原则，为使样本具有代表性、普遍性、可操作性的原则进行；（2）样本中“采取室内体育锻炼减缓压力”的占，因此估计总体600人的是采取室内体育锻炼减缓压力的人数．【解题过程】解：（1）小新同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，小莹同学调查的只是男生，不具有代表性，小静同学调查的人数偏少，具有片面性，对整体情况的反映容易造成偏差．（2）600×＝260（人），答：该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的大约有260人．【总结归纳】本题考查样本估计总体的统计方法，理解选取样本的原则是正确判断的前提．五、解答题（每小题8分，共16分）23．某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为L，机器工作的过程中每分钟耗油量为L．（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．【知识考点】一次函数的应用．【思路分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到机器每分钟加油量和机器工作的过程中每分钟耗油量；（2）根据函数图象中的数据，可以得到机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据（2）中的函数解析式，令函数值为30÷2，即可得到相应的x的值．【解题过程】解：（1）由图象可得，机器每分钟加油量为：30÷10＝3（L），机器工作的过程中每分钟耗油量为：（30﹣5）÷（60﹣10）＝0.5（L），故答案为：3，0.5；（2）当0≤x≤10时，设y关于x的函数解析式为y＝kx，10k＝30，得k＝3，即当0≤x≤10时，y关于x的函数解析式为y＝3x，当10＜x≤60时，设y关于x的函数解析式为y＝ax+b，，解得，，即当10＜x≤60时，y关于x的函数解析式为y＝﹣0.5x+35，由上可得，y关于x的函数解析式为y＝；（3）当3x＝30÷2时，得x＝5，当﹣0.5x+35＝30÷2时，得x＝40，即油箱中油量为油箱容积的一半时x的值是5或40．【总结归纳】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为．【知识考点】四边形综合题．【思路分析】【探究】先由平行四边形的性质得AE∥GF，DC∥AB，进而得四边形AGHD是平行四边形，再结合邻边相等，得四边形AGHD是菱形；【操作一】这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和实际为平行四边形ABCD和平行四边形AEFG的周长和，由此求得结果便可；【操作二】证明△AMD≌△AMG得∠AMD＝∠AMG＝90°，解Rt△ADM得DM，再证明四边形DCFG为矩形，由矩形面积公式求得结果．【解题过程】解：【探究】∵四边形ABCD和AEFG都是平行四边形，∴AE∥GF，DC∥AB，∴四边形AGHD是平行四边形，∵AD＝AG，∴四边形AGHD是菱形；【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为：ME+EF+MC+AD+DM+AM+AG+GN+AN+BN+BC+NF＝（ME+AM+AG+EF+NF）+（AD+BC+DM+MC+AN+BN）＝2（AE+AG）+2（AB+AD）＝2×（9+5）+2×（9+5）＝56，故答案为：56；【操作二】由题意知，AD＝AG＝5，∠DAB＝∠BAG，又AM＝AM，∴△AMD≌△AMG（SAS），∴DM＝GM，∠AMD＝∠AMG，∵∠AMD+∠AMG＝180°，∴∠AMD＝∠AMG＝90°，∵sin∠BAD＝，∴，∴DM＝AD＝，∴DG＝，∵四边形ABCD和四边形AEFG是平行四边形，∴DC∥AB∥GF，DC＝AB＝GF＝9，∴四边形CDGF是平行四边形，∵∠AMD＝90°，∴∠CDG＝∠AMD＝90°，。
吉林省长春市2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
吉林省长春市2020年中考数学试卷一、单选题（共8题；共16分）1.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A. =1B. -1.5C. -3D. -4.2【答案】C【考点】数轴及有理数在数轴上的表示【解析】【解答】解：根据题意可知，墨水遮盖区域的数在-4和-2之间∴数字可能为-3.故答案为：C.【分析】根据数轴上有理数的大小和顺序进行判断即可。
2.为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A. 79×103B. 7.9×104C. 0.79×105D. 4ab【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：79000用科学记数法表示为7.9×104故答案为：B.【分析】根据科学记数法的含义，表示得到数字即可。
3.下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A. B.C. D.【答案】A【考点】几何体的展开图【解析】【解答】解：由分析知：四棱柱的侧面展开图是四个矩形组成的图形．故选：A．【分析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形图进行解答即可．4.不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】 D【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集【解析】【解答】解：∵x+2≥3∴x≥1∴在数轴上表示正确的为D.故答案为：D.【分析】根据题意，解出不等式的解集，在数轴上进行表示即可。
5.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A. sinA=BDAB B. cosA=ABADC. tanA=ADBDD. sinA=ADAB【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：根据题意可知，在直角三角形ABD中，求∠A可由以下方法求得①sinA=BDAB②cosA=ADAB③tanA=BDAD故答案为：A.【分析】根据题意，结合锐角三角函数的定义，表示得到∠A的式子，进行判断即可得到答案。
2020年吉林省长春市中考数学试卷 (解析版)
2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为()A．1-B． 1.5--C．3-D． 4.22．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为() A．3⨯D．50.7910⨯7.9107910⨯B．47.910⨯C．53．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是()A．B．C．D．x+的解集在数轴上表示正确的是()4．（3分）不等式23A．B．C．D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为A∠，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算A∠的三角函数值，进而可求A∠的大小．下列关系式正确的是()A．sinBDAAB=B．cosABAAD=C．tanADABD=D．sinADAAB=6．（3分）如图，AB是O的直径，点C、D在O上，20BDC∠=︒，则AOC∠的大小为()A．40︒B．140︒C．160︒D．170︒7．（3分）如图，在ABC∆中，90BAC∠=︒，AB AC>．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是()A．BDN CDN∠=∠B．2ADC B∠=∠C．ACD DCB∠=∠D ．290B ACD ∠+∠=︒8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连结AC ．点P 在线段AC 上，且2AP PC =，函数(0)ky x x=>的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是( )A ．02k <B ．233k C ．223k D ．843k 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费 元． 10．（3分）分解因式：24a -= ．11．（3分）若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为 ．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为 度．13．（3分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，以点C 为圆心，线段CA 的长为半径作AD ，交CB 的延长线于点D ，则阴影部分的面积为 （结果保留)π．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)．若抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且12CD AB =，则k 的值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：2(3)2(31)a a -+-，其中2a =．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为1A 、2A ，图案为“保卫和平”的卡片记为)B17．（6分）图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB 为边画ABC ∆． 要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等； （3）点C 在格点上．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19．（7分）如图，在ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE AC⊥，DF AC⊥，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE OF=．（2）若5∠的值．OF=，求tan OBEBE=，220．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．20142019-年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为天，平均数为天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是 年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为 （精确到1%)． （空气质量为“优”的天数的增长率100%)""-""=⨯""今年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21．（8分）已知A 、B 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A 地出发匀速开往B 地，甲车出发两小时后，乙车从B 地出发匀速开往A 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y （千米）与甲车行驶的时间x （时)之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为 千米/时，a 的值为 ． （2）求乙车出发后，y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片()ABCD AB AD >，将矩形纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边DC 上，点A 的对应点为A '，折痕为DE ，点E 在AB 上．求证：四边形AEA D '是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A DE '为等腰三角形．现将图①中的点A '沿DC 向右平移至点Q 处（点Q 在点C 的左侧），如图②，折痕为PF ，点F 在DC 上，点P 在AB 上，那么PQF ∆还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC QP =时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C 与点P 重合，折痕为QG ，点G 在AB 上．要使四边形PGQF 为菱形，则ADAB= ．23．（10分）如图①，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -以每秒5个单位长度的速度向点C 运动，同时点D 从点C 出发，沿CA 以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，点P 到达点C 时，点P 、D 同时停止运动．当点P 不与点A 、C 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ 交AC 于点E ，连结DP 、DQ ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当点P 与点B 重合时，求t 的值． （2）用含t 的代数式表示线段CE 的长．（3）当PDQ ∆为锐角三角形时，求t 的取值范围．（4）如图②，取PD 的中点M ，连结QM ．当直线QM 与ABC ∆的一条直角边平行时，直接写出t 的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数221(y x ax a =--为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x 时，若函数221(y x ax a =--为常数）的图象的最低点到直线2y a =的距离为2，求a 的值．（4）设0a <，Rt EFG ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)E --、(1,1)F a --、(0,1)G a -．当函数221(y x ax a =--为常数）的图象与EFG ∆的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为(P P ''与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A '．若2AA PP '='，直接写出a 的值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为()A．1-B． 1.5-C．3-D． 4.2-解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于4-，-，且小于2因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为() A．30.7910⨯D．57.910⨯⨯C．57910⨯B．47.910解：79000这个数用科学记数法表示为：47.910⨯．故选：B．3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是()A．B．C．D．解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形．故选：A．x+的解集在数轴上表示正确的是()4．（3分）不等式23A．B．C．D．解：32x-，1x，故选：D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为A∠，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算A∠的三角函数值，进而可求A∠的大小．下列关系式正确的是()A．sinBDAAB=B．cosABAAD=C．tanADABD=D．sinADAAB=解：在Rt ABD∆中，90ADB∠=︒，则sinBDAAB=，cosADAAB=，tanBDAAD=，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．6．（3分）如图，AB是O的直径，点C、D在O上，20BDC∠=︒，则AOC∠的大小为()A．40︒B．140︒C．160︒D．170︒解：222040BOC BDC ∠=∠=⨯︒=︒， 18040140AOC ∴∠=︒-︒=︒．故选：B ．7．（3分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC >．按下列步骤作图：①分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ； ②作直线MN ，与边AB 相交于点D ，连结CD ． 下列说法不一定正确的是( )A ．BDN CDN ∠=∠B ．2ADC B ∠=∠ C ．ACD DCB∠=∠D ．290B ACD ∠+∠=︒解：由作图可知，MN 垂直平分线段BC ， DB DC ∴=，MN BC ⊥，BDN CDN ∴∠=∠，DBC DCB ∠=∠， 2ADC B DCB B ∴∠=∠+∠=∠， 90A ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒， 290B ACD ∴∠+∠=︒，故选项A ，B ，D 正确， 故选：C ．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连结AC ．点P 在线段AC 上，且2AP PC =，函数(0)ky x x=>的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是( )A ．02k <B ．233k C ．223k D ．843k 解：点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ， 3OB ∴=，2AB =，设(C c ，0)(03)c ，过P 作PD x ⊥轴于点D ， 则3BC c =-，//PD AB ，OC c =， PCD ACB ∴∆∆∽， ∴PD CD CPAB CB CA==，2AP PC =， ∴1233PD CD c ==-， 23PD ∴=，113CD c =-， 213OD OC CD c ∴=+=+，2(13P c ∴+，2)3，把2(13P c +，2)3代入函数(0)ky x x =>中，得2439k c =+， 03c∴223k ， 故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费 (3015)m n + 元． 解：根据单价⨯数量=总价得，(3015)m n +元， 故答案为：(3015)m n +．10．（3分）分解因式：24a -= (2)(2)a a +- ． 解：24(2)(2)a a a -=+-．11．（3分）若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为 1 ．解：关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根， ∴△0=，2(2)40m ∴--=，1m ∴=，故答案为：1．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为 72 度． 解：正五边形的一个外角360725︒==︒． 故答案为：72．13．（3分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，以点C 为圆心，线段CA 的长为半径作AD ，交CB 的延长线于点D ，则阴影部分的面积为 2π- （结果保留)π．解：2AB CB ==，90ABC ∠=︒，22222222AC AB BC ∴=+=+=45C BAC ∴∠=∠=︒，245(22)12223602ACBCAD S S S ππ∆⋅⋅∴=-=-⨯⨯=-阴扇形，故答案为2π-．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)．若抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且12CD AB =，则k 的值为72．解：点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)， 4AB ∴=，抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且122CD AB ==，∴设点C 的坐标为(,2)c ，则点D 的坐标为(2,2)c +，2212c h c +==+， ∴抛物线232[(1)]2c c k =--++，解得，72k =． 三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：2(3)2(31)a a -+-，其中2a =． 解：原式26962a a a =-++- 27a =+．当2a =时，原式2(2)79=+=．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为1A 、2A ，图案为“保卫和平”的卡片记为)B解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是19．17．（6分）图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC∆．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．解：如图所示：即为符合条件的三角形．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：36080203x x-=，解得：2x=，经检验，2x=是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．19．（7分）如图，在ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE AC⊥，DF AC⊥，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE OF=．（2）若5BE=，2OF=，求tan OBE∠的值．【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，OB OD∴=，BE AC⊥，DF AC⊥，90OEB OFD∴∠=∠=︒，在OEB∆和OFD∆中，OEB OFDBOE DOF OB OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，() OEB OFD AAS∴∆≅∆，OE OF∴=；（2）解：由（1）得：OE OF =， 2OF =， 2OE ∴=， BE AC ⊥， 90OEB ∴∠=︒，在Rt OEB ∆中，2tan 5OE OBE BE ∠==． 20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表． 20142019-年长春市空气质量级别天数统计表根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是 2018 年． （2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为 天，平均数为 天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是 年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为 （精确到1%)． （空气质量为“优”的天数的增长率100%)""-""=⨯""今年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年， 故答案为：2018；（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为5972+=，因此中位数是7天， 这6年的“重度污染”的天数的平均数为1315591586+++++=天，故答案为：7，8；（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为： 2015年，433013-=天； 2016年，51438-=天； 2017年，655114-=天； 2018年，1236558-=天； 2019年，1261233-=天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为12365100%89%65-⨯≈， 故答案为：2018，89%；（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．21．（8分）已知A 、B 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A 地出发匀速开往B 地，甲车出发两小时后，乙车从B 地出发匀速开往A 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y （千米）与甲车行驶的时间x （时)之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为 40 千米/时，a 的值为 ．（2）求乙车出发后，y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80240÷=（千米/时）； 4062480a =⨯⨯=，故答案为：40；480；（2）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+， 由图可知，函数图象经过(2,80)，(6,480)， ∴2806480k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得100120k b =⎧⎨=-⎩， y ∴与x 之间的函数关系式为100120y x =-；（3）两车相遇前：80100(2)240100x +-=-，解得135x =； 两车相遇后：80100(2)240100x +-=+，解得235x =， 答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时． 22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片()ABCD AB AD >，将矩形纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边DC 上，点A 的对应点为A '，折痕为DE ，点E 在AB 上．求证：四边形AEA D '是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A DE '为等腰三角形．现将图①中的点A '沿DC 向右平移至点Q 处（点Q 在点C 的左侧），如图②，折痕为PF ，点F 在DC 上，点P 在AB 上，那么PQF ∆还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC QP=时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则ADAB=35．【解答】（1）证明：如图①中，四边形ABCD是矩形，90A ADA∴∠=∠'=︒，由翻折可知，90DA E A∠'=∠=︒，90A ADA DA E∴∠=∠'=∠'=︒，∴四边形AEA D'是矩形，DA DA='，∴四边形AEA D'是正方形．（2）解：结论：PQF∆是等腰三角形．理由：如图②中，四边形ABCD是矩形，//AB CD ∴，QFP APF ∴∠=∠，由翻折可知，APF FPQ ∠=∠，QFP FPQ ∴∠=∠，QF QP ∴=，PFQ ∴∆是等腰三角形．（3）如图③中，四边形PGQF 是菱形，PG GQ FQ PF ∴===，QF QP =，PFQ ∴∆，PGA ∆都是等边三角形，设QF m =，60FQP ∠=︒，90PQD ∠'=︒，30DQD ∴∠'=︒，90D ∠'=︒，1122FD DF FQ m ∴'===，332QD D F '='=， 由翻折可知，32AD QD ='=，PQ CQ FQ m ===， 52AB CD DF FQ CQ m ∴==++=， ∴332552m AD AB m ==． 35． 23．（10分）如图①，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -以每秒5个单位长度的速度向点C 运动，同时点D 从点C 出发，沿CA 以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，点P 到达点C 时，点P 、D 同时停止运动．当点P 不与点A 、C 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ 交AC 于点E ，连结DP 、DQ ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当点P 与点B 重合时，求t 的值．（2）用含t 的代数式表示线段CE 的长．（3）当PDQ ∆为锐角三角形时，求t 的取值范围．（4）如图②，取PD 的中点M ，连结QM ．当直线QM 与ABC ∆的一条直角边平行时，直接写出t 的值．解：（1）当点P 与B 重合时，54t =，解得45t =． （2）在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，4AB =，3BC =，2222435AC AB BC ∴=+=+=，3sin 5A ∴=，4cos 5A =， 如图①中，当点P 在线段AB 上时，在Rt APE ∆中，cos 4AE AP A t ==， 54EC t ∴=-．如图③中，当点P 在线段BC 上时，在Rt PEC ∆中，75PC t =-，3cos 5C =， 321cos (75)355EC PC C t t ∴==-=-．（3）当PDQ ∆是等腰直角三角形时，则PE DE =，如图④中，当点P 在线段AB 上时，在Rt APE ∆中，sin 3PE PA A t ==，54256DE AC AE CD t t t =-----=-，PE DE =，356t t ∴=-，59t ∴=． 如图⑤中，当点P 在线段BC 上时，在Rt PCE ∆中，428sin (75)455PE PC C t t ==-=-， 3212(75)555DE CD CE t t t =-=--=-， ∴28214555t t -=-， 解得5945t =． 观察图象可知满足条件的t 的值为509t <<或497455t <<．（4）如图⑥中，当点P 在线段AB 上，//QM AB 时，过点Q 作QG AB ⊥于G ，延长QN 交BC 于N ，过点D 作DH BC ⊥于H ． ////PB MN DH ，PM DM =，BN NH ∴=，在RtPQG 中，26PQ PE t ==，42455QG PQ t ∴==，在Rt DCH ∆中，3655HC DC t ==， 242463555BC BH CH t t t =+=++=， 解得518t =． 如图⑦中，当点P 在线段BC 上，//QM BC 时，点点D 作DH BC ⊥于H ，过点P 作PK QM ⊥于K ．//QM BC ，DM PM =，2DH PK ∴=，在Rt PQK ∆中，82(75)5PQ PE t ==-， 324(75)525PK PQ t ∴==-， 在Rt DCH ∆中，4855DH DC t ==， 2DH PK =，∴8242(75)525t t =⨯-， 解得65t =， 综上所述，满足条件的t 的值为518或65． 24．（12分）在平面直角坐标系中，函数221(y x ax a =--为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x 时，若函数221(y x ax a =--为常数）的图象的最低点到直线2y a =的距离为2，求a 的值．（4）设0a <，Rt EFG ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)E --、(1,1)F a --、(0,1)G a -．当函数221(y x ax a =--为常数）的图象与EFG ∆的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为(P P ''与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A '．若2AA PP '='，直接写出a 的值．解：（1）当0x =时，2211y x ax =--=-，∴点A 的坐标为：(0,1)-；（2）将点(1,2)代入221y x ax =--，得：2121a =--，解得：1a =-，∴函数的表达式为：221y x x =+-，2221(1)2y x x x =+-=+-，∴抛物线的开口向上，对称轴为1x =-，如图1所示：∴当1x >-时，y 随x 的增大而增大；（3）抛物线22221()1y x ax x a a =--=---的对称轴为：x a =，顶点坐标为：2(,1)a a --， 当0a >时，对称轴在y 轴右侧，如图2所示：0x ，∴最低点就是(0,1)A -，图象的最低点到直线2y a =的距离为2，2(1)2a ∴--=，解得：12a =； 当0a <，对称轴在y 轴左侧，顶点2(,1)a a --就是最低点， 如图3所示：22(1)2a a ∴---=，整理得：2(1)2a +=，解得：11a =--21a =-；综上所述，a 的值为12或1--； （4）0a <，Rt EFG ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)E --、(1,1)F a --、(0,1)G a -， ∴直角边为EF 与FG ，抛物线22221()1y x ax x a a =--=---的对称轴为：x a =，(0,1)A -， 2AA a ∴'=-，当点P 在EF 边上时，如图4所示：则1p x =-，1EA OA ==，∴点P 在对称轴x a =的左侧，2(1)PP a ∴'=+，2AA PP '='，222(1)a a ∴-=⨯+， 解得：23a =-； 当点P 在FG 边上时，如图5所示：则1p y a =-，2211x ax a ∴--=-，解得：1x a =+，2x a =，(PP a a ∴'=+--= 2AA PP '='，224a a a∴-=+，解得：14 3a=-，20a=（不合题意舍去）；综上所述，a的值为23-或43-．。
2020年吉林省中考数学试题及参考答案(word文本版)
吉林省2020年初中毕业生学业水平考试数学试题数学试题共6页，包括六道大题，共26道小题。
全卷满分120分。
考试时间为120 分钟。
考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，请将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时，请按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。
一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1．-6的相反数为（ ）（A ）6． （B ）-6． （C ）16． （D ）16． 2．国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090 000， 脱贫攻坚取得决定性成就．数据11 090 000 用科学记数法表示为（ ）（A ）11.09×106． （B ）1.109×107． （C ）1.109×108． （D ）0.1109×108． 3．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（ ）4．下列运算正确的是（ ）（A ）a 2•a 3= a 6． （B ）(a 2)3=a 5． （C ）(2a )2= 2a 2． （D ）a 3÷a 2=a ． 5．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ） （A ）85°． （B ）75°． （C ）65°． （D ）60°．（A ） （B ） （C ） （D ）（第3题）（第5题）（第6题）α6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ．若∠B = 108°，则∠D 的大小为（ ） （A ）54°． （B ）62°． （C ）72°． （D ）82°． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7．分解因式：a 2 - ab = ． 8．不等式3x +1 > 7的解集为 ．9．一元二次方程x 2 +3x -1= 0根的判别式的值为 ．10．我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x 天可以追上慢马，根据题意，可列方程为 ．11．如图，某单位要在河岸l 上建一个水泵房引水到C 处．他们的做法是：过点C 作CD⊥l 于点D ，将水泵房建在了D 处，这样做最节省水管长度，其数学道理是 ．12．如图，AB //CD //EF ． 若12ACCE ，BD = 5，则DF = ． 13．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若△ADE 的面积为12，则四边形DBCE 的面积为 ．14．如图，在四边形ABCD 中，AB = CB ，AD = CD ，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．以点B 为圆心，BO 长为半径画弧，分别交AB ，BC 于点E ，F ．若∠ABD =∠ACD = 30°，AD = 1，则EF 的长为 （结果保留π）． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15．先化简，再求值：2(1)(1)1a a a ，其中7a ．（第13题）（第14题）E ABD C FE A BD CO（第11题）（第12题）EA B D C F16．“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A ，B ，C ，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A 卡片的概率．17．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．18．如图，在△ABC 中，AB > AC ， 点D 在边AB 上，且BD = CA ，过点D 作DE // AC ，并截取DE = AB ，且点C ，E 在AB 同侧，连接BE ．求证：△DEB ≌ △ABC ．四、解答题（每小题7分，共28分）19．图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A ，B ，C 均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB 重合的线段MN ，使MN 与AB 关于某条直线对称，且M ，N 为格点．（2）在图②中，画一条不与AC 重合的线段PQ ，使PQ 与AC 关于某条直线对称，且P ，Q 为格点．（3）在图③中，画一个△DEF ，使△DEF 与△ABC 关于某条直线对称，且D ，E ，F为格点．（第18题）EABD C（第16题）20．如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B 相距35 m 的C 处，用高1.5 m 的测角仪CD 测得该塔顶端A 的仰角∠EDA 为36°．求塔AB 的高度（结果精确到1 m ）． （参考数据： sin36° = 0.59，cos36° = 0.81，tan36° = 0.73）21．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B 在函数kyx（x >0）的图象上（点B 的横坐标大于点A 的横坐标），点A 的坐标为（2，4），过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，连接OA ，AB ． （1）求k 的值．（2）若D 为OC 中点，求四边形OABC 的面积22．2020 年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A （享受美食）、B （交流谈心）、C （室内体育活动）、D （听音乐）和E （其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3． 表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式 A B C D E 人数 4 6 37 8 5 减压方式 A B C D E 人数21331（第20题）（第19题）A B CAACB 图①图② 图③（第21题）D A O yBCx（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处． （2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．五、解答题（每小题8分，共16分）23．某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作。
2020年吉林长春中考数学试卷(解析版)
2020年吉林长春中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ）．A. B. C. D.2.为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为平方米的新少年宫，预计年月正式投入使用．这个数用科学记数法表示为（ ）．A. B. C. D.3.下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（ ）．A. B.C. D.4.不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）．A. B.C. D.5.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点，通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）．垂直中心线塔身中心线A.B.C.D.6.如图，是⊙的直径，点、在⊙上，，则的大小为（ ）．A.B.C.D.7.如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连接．下列说法不一定正确的是（ ）．A.B.C.D.8.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，点是线段上的点，连结．点在线段上，，函数（）的图象经过点．当点在线段上运动时，的取值范围是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张元，儿童票每张元．若购买张成人票和张儿童票，则共需花费 元．10.分解因式： ．11.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 .12.正五边形的一个外角的大小为 度．13.如图，在中，，，以点为圆心，线段的长为半径作，交的延长线于点，则阴影部分的面积为 （结果保留）．14.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为 ．xyO三、解答题（本大题共10小题，共78分）15.先化简，再求值：，其中．16.现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为、，图案为“保卫和平”的卡片记为）17.图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画．要求：图图图（）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形．（）三个图中所画的三角形的面积均不相等．（）点在格点上．18.在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了元．预计今年的销量是去年的倍，年销售额为万元．已知去年的年销售额为万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？（1）（2）19.如图，在平行四边形中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．求证：．若，，求的值．20.空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气．下图是长春市从年到年的空气质量级别天数的统计图表．（1）（2）（3）（4）空气质量级别天数年份优良轻度污染中度污染重度污染严重污染年长春市空气质量级别天数统计表空气质量为达标的天数空气质量为优的天数年份天数（天）年长春市空气质量为达标和优的天数折线统计图根据上面的统计图表回答下列问题：长春市从年到年空气质量为“达标”的天数最多的是 年．长春市从年到年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为 天，平均数为 天．长春市从年到年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是 年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为 （精确到）．你认为长春市从年到年哪一年的空气质量好？请说明理由．空气质量为优的天数的年增长率今年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数21.（1）（2）（3）已知、两地之间有一条长千米的公路．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发两小时后，乙车从地出发匀速开往地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和（千米）与甲车行驶的时间（时）之间的函数关系如图所示．时千米甲车的速度为 千米/时，的值为 ．求乙车出发后，与之间的函数关系式．当甲、乙两车相距千米时，求甲车行驶的时间．（1）（2）22.【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第页的部分内容．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形．图【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的为等腰三角形，现将图①中的点沿向右平移至点处（点在点的左侧），如图②，折痕为，点在上，点在上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由．图图（3）【结论应用】在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点与点重合，折痕为，点在上，要使四边形为菱形，则．（1）（2）（3）（4）23.如图①，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点时，点、同时停止运动．当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连结交于点，连结、．设点的运动时间为秒．图当点与点重合时，求的值．用含的代数式表示线段的长．当为锐角三角形时，求的取值范围．如图②，取的中点，连结．当直线与的一条直角边平行时，直接写出的值．图24.在平面直角坐标系中，函数（为常数）的图象与轴交于点．【答案】解析:设数轴上被墨水遮盖的数为，则由题意可知：．（1）（2）（3）（4）求点的坐标．当此函数图象经过点时，求此函数的表达式，并写出函数值随的增大而增大时的取值范围．当时，若函数（为常数）的图象的最低点到直线的距离为，求的值．设，三个顶点的坐标分别为、、．当函数（为常数）的图象与的直角边有交点时，交点记为点．过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 (与不重合)，过点作轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为．若，直接写出的值．C1.选项：，故错误；选项：，故错误；选项：，故正确；选项：，故错误．故选．解析:科学记数法：．故选．解析:四棱柱的侧面展开图是四个矩形，所以只有符合题意．故选．解析:，在数轴上表示为：故选．解析:∵于点，∴在中，，故答案为：．B 2.A 3.D 4.B 5.解析:∵为⊙的直径，点、在⊙上，，∴，∴．故选．解析:∵点的坐标为，轴，∴点的坐标为，∵点是线段上的点，设点的坐标是，则，过点作轴于点，如下图所示，则有，∵，∴，∵，∴，，∵，∴，故点坐标为，点坐标为，∵点在函数（）的图象上，∴，即，随的增大而增大，B 6.C 7.C 8.∵，∴，故答案选．9.解析:由题意得，共需花费：（元）．故答案为：．10.解析:因式分解：故答案为：．11.解析:∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，∴，故答案为：．12.解析:∵（度），∴正五边形每个外角的大小是度．故答案为：．13.解析:∵，且，∴，且，∴．故答案为：．解析:由题可知：∵，，，∴，∵令，∴，解得：，，∵，∴，，∴，，∴．解析:原式，当时，原式．解析:方法一：树状图如下：阴影面积14.．15.．16.第一张第二张开始（两次抽取的卡片上图案都是“保卫和平”）．方法二：列表法如下表：第一张结果第二张（两次抽取的卡片上图案都是“保卫和平”）．解析:答案不唯一，示例如图一：图图图图一图①中，，故为钝角三角形；图②中，，故为直角三角形；图③中，，，，故为锐角三角形．故符合题意．如图二所示：画图见解析．17.（1）图图图图二在图①中，延长，过点作垂足为，则，，则的面积为；在图②中，过点作于点，则，，则的面积为；在图③中，取格点，，，则，，，，，，则的面积为，的面积为，的面积为，四边形的面积为，所以的面积；，故符合题意．解析:设该村企去年黑木耳的年销量为万斤，依题意得，解得：，经检验是原方程的根，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为万斤．解析:在平行四边形中，，万斤．18.（1）证明见解析．（2）．19.（2）（1）（2）（3）∵，，∴，∴，又∵，∴≌，∴．∵，，∴，∵，∴，在中，，．解析:年达标有：天，年达标有：天，年达标有：天，年达标有：天，年达标有：天，年达标有：天，∴达标天数最多的是年．故答案为：．“重度污染”天数从小到大排列：，，，，，，∴中位数：，平均数：．故答案为：；．由折线统计图可知：（1）（2） ; （3） ; （4）年．20.（4）（1）（2）（3）年：天，年：天，年：天，年：天，年：天，∴天数增加最多的是年，增长率：．故答案为：；．年空气质量好．因为年达标天数最多．解析:由题意可知：甲出发两小时，经过的路径为，∴，∴甲车的速度为千米时，甲车行驶完两地需：小时，∴对应的时间刚好为小时，∵是两车行驶的总路程，∴，故答案为：；．设与之间的函数关系式为，由图可知，函数图象过点，，所以，解得，所以与之间的函数关系式为．两车相遇前：，解得：，两车相遇后：，解得：，答：当甲、乙两车相距千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．（1） ;（2）．（3）小时或小时．21.甲（1）（2）（3）解析:在矩形中，，由翻折得：，∴，∴四边形是矩形，又∵，∴矩形是正方形．在矩形中，，∴，由翻折得：，∴，∴，∴是等腰三角形．设，由（）可知：为等腰三角形，，∴，又∵四边形为菱形，∴，∴，∴为等边三角形，∴，（1）证明见解析．（2）是，证明见解析．（3）22.（1）（2）∴，由折叠可知：，，∴，∴在中，，，，∴，∴，由折叠可得：，，∴，∵四边形为矩形，∴，∴．故答案为：．解析:当点与点重合时，．解得．在中，，，所以，，．如图，图当点在上时，在中，．（1）．（2）．（3）或．（4）或．23.（3）（4）所以．如图，图当点在上时，在中，，，所以．先考虑临界值等腰直角三角形，那么．如图，图当点在上时，在中，．而，由，得，解得．如图，图当点在上时，在中，．而，由，得，解得．再数形结合写结论：当为锐角三角形时，或．如图，图当点在上时，延长交于点．作于，作于．由，是的中点，可知是的中点．在中，，所以．在中，，由，得．如图，图当点在上时，作于．由，是的中点，可知．在中，，所以．在中，，由，得，解得．∴的值为或．24.（1）．（1）（2）（3）解析:当时，，所以．将点代入，得，解得．所以（如图所示）．图抛物线的开口向上，对称轴为．因此当时，随的增大而增大．抛物线的对称轴为，顶点坐标为．图如图，如果，那么对称轴在轴右侧，最低点就是．已知最低点到直线的距离为，所以．解得．如图，如果，那么对称轴在轴左侧，顶点就是最低点．（2），．（3）或．（4）或．（4）图所以．整理，得．解得（如图），或（舍去正值）．抛物线的对称轴为，，所以．图①如图，当点在边上时，．因为，所以点在对称轴的左侧，所以．由，得．解得．图②如图，当点在边上时，．解方程，得，所以．由，得．解得，或（舍去）．综上：或．。
吉林省长春市2020版中考数学试卷C卷
吉林省长春市2020版中考数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共6题；共12分)1. （2分） 12的平方根是（）A .B .C .D .2. （2分）某种禽流感病毒变异后的直径为0.00000012米，将这个数写成科学记数法是（）A . 1.2×10﹣5B . 0.12×10﹣6C . 1.2×10﹣7D . 12×10﹣83. （2分）下列四边形不是轴对称图形的是（）A . 正方形B . 矩形C . 菱形D . 平行四边形4. （2分）(2012·资阳) 如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，它的俯视图是（）A .B .C .D .5. （2分）本学期的五次数学测试中，甲、乙两同学的平均成绩一样，方差分别为1.2、0.5，由此可知（）A . 甲比乙的成绩稳定B . 乙比甲的成绩稳定C . 甲乙两人的成绩一样稳定D . 无法确定谁的成绩更稳定6. （2分）若用简便方法计算19992 ，应当用下列哪个式子？（）A .(2000 -1)2B . (2000 -1)(2000+1)C . (1999 -1)(1999+1)D . (1999+1)2二、填空题： (共10题；共11分)7. （1分）(2017·薛城模拟) 20170+2|1﹣sin30°|﹣（）﹣1+ =________．8. （1分）函数y=中，自变量x的取值范围是________ .9. （1分）在一个不透明的盒子中有12个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数________10. （1分）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AE，则tan∠1=________．11. （1分）(2016·庐江模拟) 如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，AD与OC交于点E，连接CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE=OE；③∠CDE=∠COD；④2CD2=CE•AB．其中正确结论的序号是________（在横线上填上你认为所有正确结论的代号）．12. （1分）如图，△ABC是边长为8的等边三角形，F是边BC上的动点，且DF⊥AB，EF⊥AC．则四边形ADFE 的面积最大值是________．13. （1分）在平面直角坐标系中，有一条线段AB，已知点A（﹣2，0）和B（0，2），平移线段AB得到线段A1B1 ．若点A的对应点A1的坐标为（1，3），则线段A1B1的中点坐标是________14. （2分）已知关于x的一元二次方程x2+px﹣6=0的一个根为2，则p=________，另一根是________．15. （1分）如图：在△ABC中，∠A、∠B的对边分别为a、b，且∠C=90°，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________16. （1分）如果A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）是二次函数y=x2+m图象上的两个点，那么y1________y2（填“＜”或者“＞”）三、解答题 (共10题；共95分)17. （15分） (2020八下·襄阳开学考) 计算：（1）（2）（3）18. （8分）(2019·东城模拟) 某年级共有400学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．不同交通方式学生人数分布统计图如图1所示：b．采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如图2所示（数据分成6组：10≤x＜20，20≤x ＜30，30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x≤70）：c．采用公共交通方式单程所花费时间在30≤x＜40这一组的是：30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39根据以上信息，回答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为________分；（3）请你估计该年级采用公共交通方式上学共有________人，其中单程不少于60分钟的有________人．19. （10分） (2017九上·宁波期中) 甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．20. （5分） (2016九上·芦溪期中) 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？21. （10分）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值．22. （5分） (2020九上·遂宁期末) 某风景区内有一古塔AB，在塔的北面有一建筑物，当光线与水平面的夹角是30°时，塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD；而当光线与地面的夹角是45°时，塔尖A在地面上的影子E与墙角C有15米的距离（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度（结果保留根号）．23. （7分） (2015九上·应城期末) 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，3）、B（3，3）、C（4，2）．（1）请在图中作出经过点A、B、C三点的⊙M，并写出圆心M的坐标；（2）若D（1，4），则直线BD与⊙M ．A . 相切B . 相交．24. （10分）(2017·泾川模拟) 如图，在平面直角坐标系中，过点A（2，0）的直线l与y轴交于点B，tan∠OAB=，直线l上的点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为1．（1）求直线l的表达式；（2）若反比例函数y= 的图象经过点P，求m的值．25. （10分）(2019·锡山模拟) 已知：PA= ，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小.26. （15分）(2018·温州模拟) 如图，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分别交x轴、AC于点E、F，点P是射线DE上一动点，过点P作AC的平行线MN 交x轴于点H，交抛物线于点M，N（点M位于对称轴的左侧）.设点P的纵坐标为t..（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标.（2）当点P位于EF的中点时，求点M的坐标.（3）① 点P在线段DE上运动时，当时，求t的值.参考答案一、选择题： (共6题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、二、填空题： (共10题；共11分)7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共10题；共95分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、25-2、26-1、26-2、26-3、。
长春市部编人教版中考数学试题及精析(word版).doc
2020 年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题：本大题共8 小题，每题 3 分，共24 分1．﹣ 5 的相反数是（）A ．B．C．﹣5D．52．吉林省在践行社会主义核心价值观活动中，共评比出各级各种“吉林好人”45000 多名， 45000这个数用科学记数法表示为（）A ． 45×103B ．×104C．×105D ．×1033．如图是由 5 个同样的小正方体构成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A ．B．C．D．4．不等式组的解集在数轴上表示正确的选项是（）A ．B．C．D．5．把多项式x2﹣ 6x+9分解因式，结果正确的选项是（）A ．（ x﹣ 3）2B．（ x﹣9）2C．（ x+3）（ x﹣ 3） D ．（ x+9 ）（ x﹣ 9）6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt △ ABC绕点 C 按逆时针方向旋转48°获得Rt△ A ′B′C′，点A 在边 B ′C 上，则∠B ′的大小为（）A ． 42°B． 48°C．52°D．58°7．如图， PA 、PB 是⊙ O 的切线，切点分别为 A 、 B ，若 OA=2 ，∠ P=60°，则的长为（）A ．πB ．πC． D ．8．如图，在平面直角坐标系中，点P（ 1， 4）、 Q（m， n）在函数y= （ x＞0）的图象上，当m＞ 1 时，过点P 分别作x 轴、 y轴的垂线，垂足为点 A ，B ；过点Q 分别作x 轴、 y 轴的垂线，垂足为点C、D ．QD 交PA于点E，跟着m 的增大，四边形ACQE的面积（）A ．减小B ．增大C．先减小后增大D．先增大后减小二、填空题：本大题共 6 小题，每题3分，共 18分9．计算（ ab）3=．10．对于 x 的一元二次方程x 2+2x+m=0 有两个相等的实数根，则m 的值是．11．如图，在 △ ABC 中， AB ＞AC ，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧订交于点M 和点 N ，作直线 MN 交 AB 于点 D ；连结 CD ．若 AB=6 ， AC=4 ，则 △ ACD的周长为．12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的对称中心与原点重合，极点 A 的坐标为（﹣ 1， 1），极点 B 在第一象限，若点 B 在直线 y=kx+3 上，则 k 的值为．13．如图，在 ⊙ O 中，AB 是弦，C 是上一点．若 ∠OAB=25 °，∠OCA=40 °，则∠ BOC 的大小为 度．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的极点 A 在 x 轴正半轴上，极点 C 的坐标为（ 4， 3）， D是抛物线 y=﹣ x 2+6x 上一点，且在x 轴上方，则 △BCD 面积的最大值为．三、解答题：本大题共10 小题，共 78 分15．先化简，再求值：（ a+2）（ a ﹣ 2）+a （ 4﹣ a ），此中 a=．16．一个不透明的口袋中有三个小球，上边分别标有数字 0， 1， 2，每个小球除数字不一样外其他均同样，小华先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字、用画树状图（或列表）的方法，求小华两次摸出的小球上的数字之和是3 的概率．17． A 、B 两种型号的机器加工同一种部件，已知A 型机器比B 型机器每小时多加工20 个部件， A 型机器加工 400 个部件所用时间与B 型机器加工 300 个部件所用时间同样， 求 A 型机器每小时加工部件的个数．18．某中学为认识该校学生一年的课外阅读量，随机抽取了 n 名学生进行检查，并将检查结果绘制成以下条形统计图，依据统计图供给的信息解答以下问题：（ 1）求 n 的值；（ 2）依据统计结果，预计该校1100 名学生中一年的课外阅读量超出 10 本的人数．19．如图，为认识丈量长春解放纪念碑的高度AB ，在与纪念碑底部 B 相距 27 米的 C 处，用高 1.5 米的测角仪 DC 测得纪念碑顶端A 的仰角为 47°，求纪念碑的高度（结果精准到0.1 米）【参照数据： sin47°=0.731 ， cos47°， tan47°=1.072 】20．如图，在 ?ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 的延伸线上，且 DF=BE ， BE 与 CD 交于点 G（1）求证： BD ∥ EF；（2）若 =，BE=4 ，求 EC 的长．21．甲、乙两车分别从 A 、B两地同时出发，甲车匀速前去 B 地，抵达 B 地立刻以另一速度按原路匀速返回到 A 地；乙车匀速前去 A 地，设甲、乙两车距 A 地的行程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y 与x 之间的函数图象以下图（ 1）求甲车从 A 地抵达 B 地的行驶时间；（ 2）求甲车返回时（ 3）求乙车抵达y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量A 地时甲车距 A 地的行程．x 的取值范围；22．感知：如图1，AD 均分∠BAC ．∠ B+ ∠C=180°，∠ B=90 °，易知： DB=DC ．研究：如图2， AD 均分∠ BAC ，∠ ABD+ ∠ ACD=180 °，∠ ABD ＜90°，求证： DB=DC．应用：如图3，四边形ABCD中，∠ B=45 °，∠ C=135°， DB=DC=a，则AB ﹣ AC=（用含a 的代数式表示）23．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与 BD 订交于点 O，AB=8 ，∠BAD=60 °，点 E 从点 A 出发，沿AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动，当点 E 不与点 A 重合时，过点 E 作 EF⊥ AD 于点 F，作EG∥AD 交 AC 于点 G，过点 G 作 GH⊥ AD 交 AD （或 AD 的延伸线）于点 H，获得矩形 EFHG ，设点 E运动的时间为 t 秒（1）求线段 EF 的长（用含 t 的代数式表示）；（2）求点 H 与点 D 重合时 t 的值；（3）设矩形 EFHG 与菱形 ABCD 重叠部分图形的面积与S 平方单位，求 S 与 t 之间的函数关系式；（4）矩形 EFHG 的对角线 EH 与 FG 订交于点 O′，当 OO′∥ AD 时， t 的值为；当 OO′⊥ AD 时， t 的值为．24．如图，在平面直角坐标系中，有抛物线y=a（ x﹣ h）2．抛物线 y=a（ x﹣ 3）2+4 经过原点，与x 轴正半轴交于点 A ，与其对称轴交于点 B，P 是抛物线 y=a（x﹣ 3）2+4 上一点，且在 x 轴上方，过点P 作 x 轴的垂线交抛物线y=（ x﹣ h）2于点Q，过点Q 作PQ 的垂线交抛物线y=（x﹣ h）2于点Q（′不与点Q 重合），连结PQ′，设点P 的横坐标为m．（1）求 a 的值；（2）当抛物线 y=a（x﹣ h）2经过原点时，设△ PQQ′与△ OAB 重叠部分图形的周长为 l．① 求的值；②求 l 与 m 之间的函数关系式；（ 3）当 h 为什么值时，存在点 P，使以点O，A ，Q，Q′为极点的四边形是轴对称图形？直接写出h 的值．2020 年吉林省长春市中考数学试卷参照答案与试题分析一、选择题：本大题共8 小题，每题 3 分，共 24 分1．﹣ 5 的相反数是（）A ．B ．C ．﹣ 5D ．5【考点】相反数．【剖析】依据只有符号不一样的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：﹣ 5 的相反数是 5．应选： D ．【评论】本题考察了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．吉林省在践行社会主义核心价值观活动中，共评比出各级各种“吉林好人 ”45000 多名， 45000 这个数用科学记数法表示为（）A ． 45×103B ．×104C ．×105D ．×103【考点】科学记数法 —表示较大的数．【剖析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，此中1≤|a|＜ 10， n 为整数．确立n 的值时，要看把原数变为a 时，小数点挪动了多少位，n 的绝对值与小数点挪动的位数同样．当原数绝对值大于10 时， n 是正数；当原数的绝对值小于1 时， n 是负数．【解答】解：45000 这个数用科学记数法表示为×104，应选：B ．【评论】本题考察了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，此中1≤|a|＜ 10， n为整数，表示时重点要正确确立a 的值以及 n 的值．3．如图是由 5 个同样的小正方体构成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】简单组合体的三视图．【剖析】从上边看到的平面图形即为该组合体的俯视图，据此求解．【解答】解：从上边看共有 2 行，上边一行有 3 个正方形，第二行中间有一个正方形，应选 C ．【评论】本题考察了简单组合体的三视图的知识，解题的重点是认识俯视图的定义，属于基础题，难度不大．4．不等式组的解集在数轴上表示正确的选项是（）A ．B ．C ．D ．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【剖析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：，由 ① 得， x ＞﹣ 2，由 ② 得， x ≤3，故不等式组的解集为：﹣ 2＜x ≤3．在数轴上表示为：．应选 C ．【评论】本题考察的是解一元一次不等式组，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 ”的原则是解答本题的重点．5．把多项式 x 2﹣ 6x+9 分解因式，结果正确的选项是（）A ．（ x ﹣ 3） 2B ．（ x ﹣9） 2C ．（ x+3）（ x ﹣ 3）D ．（ x+9 ）（ x ﹣ 9）【考点】因式分解 -运用公式法．【专题】计算题；因式分解．【剖析】原式利用完整平方公式分解即可．【解答】解： x 2﹣ 6x+9= （ x ﹣ 3） 2，应选 A【评论】本题考察了因式分解﹣运用公式法，娴熟掌握完整平方公式是解本题的重点．6．如图，在 Rt △ABC 中， ∠BAC=90 °，将 Rt △ ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转48°获得 Rt △ A ′B ′C ′，点 A在边 B ′C 上，则 ∠B ′的大小为（）A ． 42°B ． 48°C ．52°D ．58°【考点】旋转的性质．【剖析】先依据旋转的性质得出∠A ′=∠ BAC=90 °，∠ ACA ′=48°，而后在直角△A ′CB ′中利用直角三角形两锐角互余求出∠ B′=90 °﹣∠ ACA ′=42 °．【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，∠ BAC=90 °，将 Rt△ ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转48°获得 Rt△ A′B′C′，∴ ∠ A ′=∠ BAC=90 °，∠ACA ′=48 °，∴ ∠ B ′=90 °﹣∠ACA ′=42 °．应选 A．【评论】本题考察了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考察了直角三角形两锐角互余的性质．7．如图， PA 、PB 是⊙ O 的切线，切点分别为 A 、 B ，若 OA=2 ，∠ P=60°，则的长为（）A ．πB ．πC． D ．【考点】弧长的计算；切线的性质．【专题】计算题；与圆相关的计算．【剖析】由PA 与 PB 为圆的两条切线，利用切线的性质获得两个角为直角，再利用四边形内角和定理求出∠ AOB 的度数，利用弧长公式求出的长即可．【解答】解：∵ PA、PB是⊙O的切线，∴ ∠ OBP= ∠OAP=90 °，在四边形 APBO 中，∠ P=60°，∴ ∠ AOB=120 °，∵OA=2 ，∴的长l== π，应选 C【评论】本题考察了弧长的计算，以及切线的性质，娴熟掌握弧长公式是解本题的重点．8．如图，在平面直角坐标系中，点P（ 1， 4）、 Q（m， n）在函数y= （ x＞0）的图象上，当m＞ 1 时，过点P 分别作x 轴、 y轴的垂线，垂足为点 A ，B ；过点Q 分别作x 轴、 y 轴的垂线，垂足为点C、D ．QD 交PA于点E，跟着m 的增大，四边形ACQE的面积（）A ．减小B ．增大C．先减小后增大D．先增大后减小【考点】反比率函数系数k 的几何意义．【剖析】第一利用m 和 n 表示出 AC 和 AQ 的长，则四边形 ACQE 的面积即可利用 m 、n 表示，而后依据函数的性质判断．【解答】解： AC=m ﹣ 1， CQ=n ，则 S 四边形 ACQE =AC ?CQ= （ m ﹣ 1） n=mn ﹣n ．∵ P （ 1， 4）、 Q （ m ， n ）在函数 y=（ x ＞ 0）的图象上， ∴ mn=k=4 （常数）．∴ S 四边形 ACQE =AC ?CQ=4﹣ n ，∵ 当 m ＞ 1 时， n 随 m 的增大而减小，∴ S 四边形 ACQE =4﹣ n 随 m 的增大而增大．应选 B ．【评论】本题考察了二次函数的性质以及矩形的面积的计算，利用n 表示出四边形 ACQE 的面积是重点．二、填空题：本大题共6 小题，每题 3 分，共 18 分9．计算（ ab ） 3= a 3b 3．【考点】幂的乘方与积的乘方．【专题】计算题；整式．【剖析】原式利用积的乘方运算法例计算即可获得结果．【解答】解：原式 =a 3b 3，故答案为： a 3b 3【评论】本题考察了幂的乘方与积的乘方，娴熟掌握运算法例是解本题的重点．10．对于x 的一元二次方程x 2 +2x+m=0有两个相等的实数根，则m 的值是1 ．【考点】根的鉴别式．【剖析】因为对于x 的一元二次方程x 2+2x+m=0有两个相等的实数根，可知其鉴别式为0，据此列出对于m 的方程，解答即可．【解答】解： ∵ 对于 x 的一元二次方程 x 2+2x+m=0 有两个相等的实数根，∴△=0，∴ 22﹣ 4m=0 ，∴ m=1，故答案为： 1．【评论】本题主要考察了根的鉴别式的知识，解答本题的重点是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=0，本题难度不大．11．如图，在△ ABC中， AB ＞AC ，按以下步骤作图：分别以点 B 和点 C 为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧订交于点M 和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=6 ， AC=4 ，则△ ACD的周长为10．【考点】作图—基本作图；线段垂直均分线的性质．【剖析】依据题意可知直线 MN 是线段 BC 的垂直均分线，推出 DC=DB ，能够证明△ ADC 的周长 =AC+AB ，由此即可解决问题．【解答】解：由题意直线MN 是线段 BC 的垂直均分线，∵点 D 在直线 MN 上，∴DC=DB ，∴ △ ADC 的周长 =AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，∵AB=6 ， AC=4 ，∴ △ ACD 的周长为10．故答案为10．把△ADC 【评论】本题考察基本作图、线段垂直均分线性质、三角形周长等知识，解题的重点是学会转变，的周长转变为求 AC+AB 来解决，属于基础题，中考常考题型．12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的对称中心与原点重合，极点 A 的坐标为（﹣1， 1），极点 B 在第一象限，若点 B 在直线 y=kx+3 上，则 k 的值为﹣ 2 ．【考点】一次函数图象上点的坐标特色；正方形的性质．【剖析】先求出 B 点坐标，再代入直线 y=kx+3 ，求出 k 的值即可．【解答】解：∵正方形 ABCD 的对称中心与原点重合，极点 A 的坐标为（﹣1， 1），∴ B （ 1，1）．∵点 B 在直线 y=kx+3 上，∴ 1=k+3 ，解得 k= ﹣2．故答案为：﹣2．【评论】本题考察的是一次函数图象上点的坐标特色，熟知一次函数图象上各点的坐标必定适合此函数的分析式是解答本题的重点．13．如图，在 ⊙ O 中， AB 是弦， C 是上一点．若 ∠OAB=25 °，∠ OCA=40 °，则 ∠ BOC 的大小为 30 度．【考点】圆周角定理．【剖析】 由∠ BAO=25 °，利用等腰三角形的性质， 可求得 ∠ AOB 的度数， 又由 ∠OCA=40 °，可求得 ∠ CAO的度数，既而求得 ∠AOC 的度数，则可求得答案．【解答】解： ∵ ∠BAO=25 °， OA=OB ，∴ ∠ B=∠ BAO=25 °，∴ ∠ AOB=180 °﹣ ∠ BAO ﹣ ∠B=130 °，∵ ∠ ACO=40 °， OA=OC ，∴ ∠ C=∠ CAO=40 °，∴ ∠ AOC=180 °﹣ ∠ CAO ﹣ ∠C=100°，∴ ∠ BOC= ∠ AOB ﹣ ∠ AOC=30 °．故答案为30°．【评论】本题考察了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意利用等腰三角形的性质求解是重点．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的极点 A 在 x轴正半轴上，极点C 的坐标为（ 4， 3）， D是抛物线y=﹣ x 2+6x 上一点，且在x 轴上方，则 △BCD面积的最大值为．【考点】二次函数的性质；菱形的性质．【剖析】设 D （ x ，﹣ x 2+6x ），依据勾股定理求得 OC ，依据菱形的性质得出 BC ，而后依据三角形面积公式得出 ∴ S △BCD =×5×（﹣ x 2+6x ﹣ 3） =﹣（ x ﹣ 3）2+，依据二次函数的性质即可求得最大值．【解答】解： ∵ D 是抛物线 y= ﹣ x 2+6x 上一点，2∴ 设 D （ x ，﹣ x +6x ），∵ 极点 C 的坐标为（ 4， 3），∴ OC==5 ，∵ 四边形 OABC 是菱形，∴ BC=OC=5 ， BC ∥ x 轴，∴ S △BCD =×5×（﹣ x 2+6x ﹣ 3） =﹣（ x ﹣ 3）2+，∵﹣＜ 0，∴S△BCD有最大值，最大值为，故答案为．【评论】本题库存了菱形的性质，二次函数的性质，注意数与形的联合是解决本题的重点．三、解答题：本大题共10 小题，共78 分15．先化简，再求值：（a+2）（ a﹣ 2）+a（ 4﹣ a），此中a=．【考点】整式的混淆运算—化简求值．【专题】计算题；研究型．【剖析】依据平方差公式和单项式乘以多项式能够对原式化简，而后将a=代入化简后的式子，即可解答本题．【解答】解：（a+2）（ a﹣ 2）+a（ 4﹣ a）=a 2﹣ 4+4a﹣ a2=4a﹣ 4，当 a=时，原式 =．【评论】本题考察整式的混淆运算﹣化简求值，解题的重点是明确整式的混淆运算的计算方法．16．一个不透明的口袋中有三个小球，上边分别标有数字0， 1， 2，每个小球除数字不一样外其他均同样，小华先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字、用画树状图（或列表）的方法，求小华两次摸出的小球上的数字之和是 3 的概率．【考点】列表法与树状图法．【剖析】列举出切合题意的各样状况的个数，再依据概率公式即可求出两次摸出的小球上的数字之和是3的概率．【解答】解：列表得：123和123423453456∴ P（和为 3） =．【评论】本题考察的是用列表法或树状图法求概率．列表法能够不重复不遗漏的列出全部可能的结果，适合于两步达成的事件；树状图法合用于两步或两步以上达成的事件；解题的重点是要划分放回实验仍是不放回实验．17． A 、B两种型号的机器加工同一种部件，已知 A 型机器比 B 型机器每小时多加工 20 个部件， A 型机器加工 400个部件所用时间与 B 型机器加工300个部件所用时间同样，求 A 型机器每小时加工部件的个数．【考点】分式方程的应用．【剖析】重点描绘语为：“A 型机器加工400个部件所用时间与 B 型机器加工 300 个部件所用时间同样”；等量关系为： 400÷A 型机器每小时加工部件的个数=300÷B 型机器每小时加工部件的个数．【解答】解：设 A 型机器每小时加工部件x 个，则 B 型机器每小时加工部件（ x﹣ 20）个．依据题意列方程得：=，解得： x=80．经查验， x=80 是原方程的解．答： A 型机器每小时加工部件80个．【评论】本题考察分式方程的应用，剖析题意，找到重点描绘语，找到适合的等量关系是解决问题的重点．18．某中学为认识该校学生一年的课外阅读量，随机抽取了n 名学生进行检查，并将检查结果绘制成以下条形统计图，依据统计图供给的信息解答以下问题：（ 1）求 n 的值；（ 2）依据统计结果，预计该校1100 名学生中一年的课外阅读量超出10 本的人数．【考点】条形统计图；用样本预计整体．【剖析】（1）可直接由条形统计图，求得n 的值；（ 2）第一求得统计图中课外阅读量超出10 本的百分比，既而求得答案．【解答】解：（1）依据题意得：n=6+33+26+20+15=100 ，答： n 的值为 100；（ 2）依据题意得：×1100=385（人），答：预计该校1100 名学生中一年的课外阅读量超出10 本的人数为： 385 人．【评论】本题考察了条形统计图的知识以及由样本预计整体的知识．注意能正确剖析条形统计图是解本题的重点．19．如图，为认识丈量长春解放纪念碑的高度AB ，在与纪念碑底部 B 相距27 米的C 处，用高 1.5 米的测角仪DC测得纪念碑顶端 A 的仰角为47°，求纪念碑的高度（结果精准到0.1 米）【参照数据：sin47°=0.731 ， cos47°， tan47°=1.072 】【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【剖析】作DE⊥ AB 于 E，依据正切的观点求出AE 的长，再联合图形依据线段的和差计算即可求解．【解答】解：作DE⊥AB 于 E，由题意得 DE=BC=27 米，∠ ADE=47 °，在 Rt△ ADE 中， AE=DE ?tan∠ADE=27 ×1.072=28.944 米，AB=AE+BE ≈30.4 米，答：纪念碑的高度约为30.4 米．【评论】本题考察的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的观点、熟记锐角三角函数的定义是解题的重点．20ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延伸线上，且DF=BE，BE与CD交于点G．如图，在 ?（1）求证： BD ∥ EF；（2）若 =，BE=4 ，求 EC 的长．【考点】相像三角形的判断与性质；平行四边形的性质．【剖析】（ 1）依据平行四边的判断与性质，可得答案；（2）依据相像三角形的判断与性质，可得答案．【解答】（ 1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥ BC．∵ DF=BE ，∴四边形 BEFD 是平行四边形，∴BD ∥ EF；（ 2）∵四边形 BEFD 是平行四边形，∴DF=BE=4 ．∵ DF∥ EC，∴ △ DFG∽ CEG ，∴=，∴CE==4 ×=6．【评论】本题考察了相像三角形的判断与性质，利用了平行四边形的判断与性质，相像三角形的判断与性质．21．甲、乙两车分别从 A 、B两地同时出发，甲车匀速前去 B 地，抵达 B 地立刻以另一速度按原路匀速返回到 A 地；乙车匀速前去 A 地，设甲、乙两车距 A 地的行程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y 与x 之间的函数图象以下图（ 1）求甲车从A （ 2）求甲车返回时（ 3）求乙车抵达地抵达 B 地的行驶时间；y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量A 地时甲车距 A 地的行程．x 的取值范围；【考点】一次函数的应用．【剖析】（ 1）依据题意列算式即可获得结论；（2）依据题意列方程组即可获得结论；（3）依据题意列算式即可获得结论．【解答】解：（1） 300÷（ 180÷）（小时），答：甲车从 A 地抵达 B 地的行驶时间是 2.5 小时；（ 2）设甲车返回时∴ ，解得：，∴甲车返回时y 与 x y 与 x 之间的函数关系式为y=kx+b ，之间的函数关系式是y= ﹣ 100x+550 ；（3） 300÷[（300﹣ 180）÷1.5]=3.75 小时，当 x=3.75 时， y=175 千米，答：乙车抵达 A 地时甲车距 A 地的行程是 175 千米．【评论】本题考察了待定系数法一次函数的分析式的运用，行程问题的数目关系的运用，解答时求出一次函数的分析式是重点．22．感知：如图1，AD均分∠BAC．∠ B+ ∠C=180°，∠ B=90 °，易知：DB=DC ．研究：如图应用：如图2， AD 均分∠ BAC ，∠ ABD+ ∠ ACD=180 °，∠ ABD ＜90°，求证： DB=DC3，四边形ABCD 中，∠B=45 °，∠ C=135°，DB=DC=a ，则 AB ﹣AC=a．（用含 a 的代数式表示）【考点】全等三角形的判断与性质．【剖析】研究：欲证明DB=DC ，只需证明△DFC ≌ △ DEB 即可．应用：先证明△ DFC≌ △ DEB，再证明△ ADF≌△ ADE，联合BD=EB即可解决问题．【解答】研究：证明：如图②中， DE ⊥AB 于 E，DF⊥ AC 于 F，∵DA 均分∠BAC ，DE⊥AB ，DF⊥AC，∴ DE=DF ，∵∠ B+∠ ACD=180 °，∠ ACD+ ∠FCD=180 °，∴∠B=∠FCD ，在△DFC 和△DEB 中，，∴△DFC≌△DEB ，∴DC=DB ．应用：解；如图③ 连结AD、DE⊥AB于E，DF⊥ AC于F，∵ ∠ B+∠ ACD=180 °，∠ ACD+ ∠ FCD=180 °，∴∠B=∠FCD ，在△DFC 和△DEB 中，，∴△DFC≌△DEB ，∴DF=DE ， CF=BE ，在 RT △ ADF 和 RT△ ADE 中，，∴△ADF ≌△ ADE ，∴AF=AE ，∴AB ﹣ AC= （AE+BE ）﹣（ AF ﹣ CF） =2BE ，在 RT △ DEB 中，∵ ∠ DEB=90 °，∠B= ∠ EDB=45 °， BD=a ，∴BE=a，∴AB ﹣ AC=a ．故答案为 a．【评论】本题考察全等三角形的判断和性质、角均分线的性质、等腰直角三角形的性质、解题的重点是学会增添常用协助线，结构全等三角形，属于中考常考题型．勾股定理等知识，23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD订交于点O，AB=8 ，∠BAD=60°，点 E 从点A出发，沿AB以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动，当点 E 不与点 A 重合时，过点 E 作EF⊥ AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G 作GH⊥AD交AD（或AD的延伸线）于点H，获得矩形EFHG ，设点E 运动的时间为t 秒（ 1）求线段EF 的长（用含t 的代数式表示）；（ 2）求点 H 与点 D 重合时（ 3）设矩形EFHG 与菱形（ 4）矩形 EFHG 的对角线的值为3．t 的值；ABCD 重叠部分图形的面积与S 平方单位，求S 与EH 与 FG 订交于点O′，当 OO′∥AD 时， t 的值为t 之间的函数关系式；4 ；当 OO′⊥ AD 时， t【考点】四边形综合题．【剖析】（1）由题意知：AE=2t ，由锐角三角函数即可得出EF=t；（ 2）当H 与 D 重合时，FH=GH=8﹣t ，由菱形的性质和EG∥AD可知， AE=EG ，解得t=；（ 3）矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形需要分以下两种状况议论：① 当H在线段AD上，此时重合的部分为矩形EFHG；②当 H在线段AD的延伸线上时，重合的部分为五边形；（ 4）当OO ′∥AD时，此时点 E 与B 重合；当OO ′⊥ AD时，过点O 作OM ⊥AD于点M ，EF与 OA订交于点N，而后分别求出O′M 、 O′F、 FM，利用勾股定理列出方程即可求得t 的值．【解答】解：（1）由题意知：AE=2t ， 0≤t≤4，∵ ∠ BAD=60 °，∠ AFE=90 °，∴ sin∠BAD= ，∴EF=t ；（2）∵ AE=2t ，∠AEF=30 °，∴AF=t ，当H与D重合时，此时 FH=8 ﹣ t，∴GE=8 ﹣ t，∵EG∥AD ，∴ ∠ EGA=30 °，∵四边形 ABCD 是菱形，∴ ∠ BAC=30 °，∴ ∠ BAC= ∠ EGA=30 °，∴AE=EG ，∴2t=8﹣ t，∴t= ；（ 3）当 0≤t≤时，此时矩形 EFHG 与菱形 ABCD 重叠部分图形为矩形EFHG ，∴由（ 2）可知： AE=EG=2t ，∴S=EF?EG=t?2t=2t 2，当＜ t≤4 时，如图 1，设CD与HG交于点 I，此时矩形 EFHG 与菱形 ABCD 重叠部分图形为五边形 FEGID ，∵ AE=2t ，∴AF=t ，EF=t ，∴DF=8 ﹣ t，∵AE=EG=FH=2t ，∴DH=2t ﹣（ 8﹣ t）=3t ﹣8，∵ ∠ HDI= ∠ BAD=60 °，∴tan∠HDI= ，∴HI=DH ，∴ S=EF?EG ﹣ DH ?HI=2t 2﹣（ 3t ﹣ 8）2=﹣ t 2+24t ﹣ 32；（ 4）当 OO ′∥ AD 时，如图2此时点 E 与 B 重合，∴ t=4；当 OO ′⊥AD 时，如图 3，过点 O 作 OM ⊥AD 于点 M ，EF 与 OA 订交于点N ，由（ 2）可知： AF=t ， AE=EG=2t ，∴ FN=t ，FM=t ，∵ O ′O ⊥AD ， O ′是 FG 的中点， ∴ O ′O 是△ FNG 的中位线，∴ O ′O=FN=t ，∵ AB=8 ，∴ 由勾股定理可求得： OA=4∴ OM=2 ，∴ O ′M=2 ﹣ t ， ∵ FE=t ， EG=2t ，∴ 由勾股定理可求得： FG 2=7t 2，∴ 由矩形的性质可知： O ′F 2=FG 2，∵ 由勾股定理可知：O ′F 2=O ′M 2+FM 2，∴ t 2=（2﹣ t ） 2+t 2，∴ t=3 或 t=﹣ 6（舍去）．故答案为： t=4； t=3 ．【评论】 本题考察四边形的综合问题， 波及矩形和菱形的性质， 勾股定理， 锐角三角函数， 解方程等知识，综合程度较高，考察学生灵巧运用知识的能力．24．如图，在平面直角坐标系中，有抛物线y=a （ x ﹣ h ） 2．抛物线 y=a （ x ﹣ 3） 2+4 经过原点，与x 轴正半轴交于点 A ，与其对称轴交于点 B，P 是抛物线 y=a（x﹣ 3）2+4 上一点，且在 x 轴上方，过点P 作 x 轴的垂线交抛物线y=（ x ﹣ h ）2 于点 Q ，过点Q 作PQ 的垂线交抛物线y=（x ﹣ h ）2 于点Q （′不与点 Q 重合），连结 PQ ′，设点 P 的横坐标为 m ．（ 1）求 a 的值；（ 2）当抛物线 y=a （x ﹣ h ） 2经过原点时，设 △ PQQ ′与△ OAB 重叠部分图形的周长为 l ．① 求的值；② 求 l 与 m 之间的函数关系式；（ 3）当 h 为什么值时，存在点 P ，使以点 O ，A ，Q ，Q ′为极点的四边形是轴对称图形？直接写出h 的值．【考点】二次函数综合题．【剖析】（ 1）把（ 0， 0）代入 y=a （ x ﹣3） 2+4 即可解决问题．（ 2） ① 用 m 的代数式表示 PQ 、 QQ ′，即可解决问题．② 分 0＜ m ≤3 或 3＜ m ＜ 6 两种情况，画出图形，利用相像三角形或锐角三角函数求出相应线段即可解决．（ 3）， ① 当 h=3 时，两个抛物线对称轴x=3 ，四边形 OAQQ ′是等腰梯形． ② 当四边形 OQ ′1Q 1A 是菱形 时，求出抛物线对称轴即可解决问题．【解答】解：（ 1）∵ 抛物线 y=a （ x ﹣ 3） 2+4 经过原点，∴ x=0 时， y=0 ，∴ 9a+4=0，∴ a=﹣．（ 2） ∵ 抛物线 y=a （x ﹣ h ） 2经过原点时，∴ h=0 ， ∵a=﹣，∴ y= ﹣ x 2．① ∵P （ m ，﹣ +m ）， Q （ m ，﹣），∴ PQ=﹣ +m ﹣（﹣） =m ， QQ ′=2m ，∴ ==．② 如图 1 中，当 0＜ m ≤3 时，设 PQ 与 OB 交于点 E ，与 OA 交于点 F ，∵ =， ∠ PQQ ′=∠BMO=90 °， ∴ △ PQQ ′∽ △ BMO ， ∴ ∠ QPQ ′=∠ OBM ，∵ EF ∥BM ，∴ ∠ OEF= ∠OBM ，∴ ∠ OEF= ∠QPQ ′，∴ OE ∥ PQ ′，∵ =，∴ EF= ，OE= ，∴ l=OF+EF+OE=m++m=4m ，当 3＜ m ＜ 6 时，如图 2 中，设 PQ ′与 AB 交于点 H ，与 x 轴交于点G ，PQ 交 AB 于 E ，交 OA 于 F ，作 HM ⊥ OA于 M ．∵ AF=6 ﹣ m ， tan ∠ EAF== ，∴ EF=m ，AE= ，∵ tan ∠PGF== ， PF=﹣ +，∴ GF=﹣ m 2+2m ，∴ AG= ﹣ m 2+m+6 ，∴ GM=AM= ﹣ m 2+m+3 ，∵ HG=HA= ， =﹣ m 2+m+5 ，∴ l=GH+EH+EF+FG= ﹣ m 2++10 ．综上所述 l= ．（ 3）如图 3 中， ① 当 h=3 时，两个抛物线对称轴 x=3 ，∴ 点 O 、 A 对于对称轴对称，点Q ，Q ′对于对称轴对称，∴ OA ∥ QQ ′， OQ ′=AQ ，∴ 四边形 OAQQ ′是等腰梯形，属于轴对称图形． ②当四边形 OQ ′1Q 1A 是菱形时， OQ ′1=OA=6 ，∵ Q ′1Q 1=OA=6 ，∴ 点 Q 1 的纵坐标为 4，在 RT △ OHQ ′1，中， OH=4 ，OQ ′1=6， ∴ HQ ′1=2，∴ h=3 ﹣ 2 或 3+2 ，综上所述 h=3 或 3﹣2 或 3+2 时点 O ， A ， Q ，Q ′为极点的四边形是轴对称图形．【评论】本题考察二次函数的综合题、相像三角形的性质和判断、菱形的性质、等腰梯形的性质，锐角三角函数等知识，解题的重点是学会分类议论，需要正确画出图象解决问题，属于中考压轴题．。