高二第二学期数学-坐标平面上的直线

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上海高二数学平面直角坐标系中的直线专题

上海高二数学平面直角坐标系中的直线专题一、概述在高二数学学习中，平面直角坐标系中的直线是一个重要的基础知识点。

通过学习直线的相关内容，可以帮助学生深入理解数学中的几何关系，提高数学分析和解决问题的能力。

上海高二数学的教学大纲中，对平面直角坐标系中的直线进行了系统的布置和安排，包括直线的方程、性质、斜率、截距等内容。

本文将对上海高二数学中关于平面直角坐标系中的直线专题进行全面的介绍和总结。

二、直线的方程1. 直线的一般方程直线的一般方程可以写为Ax+By+C=0，其中A、B、C是常数且A和B不同时为0。

在平面直角坐标系中，直线的一般方程对应于一条直线，通过解一般方程可以得到直线的斜率和截距，进而分析直线的特性和性质。

2. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程可以写为y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。

斜截式方程是直线方程的一种常见形式，通过斜截式方程可以方便地分析直线的斜率和截距，从而得出直线的特性和性质。

3. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程可以写为y-y₁=k(x-x₁)，其中(k为斜率，(x₁，y₁)为直线上的一点。

点斜式方程是直线方程的一种便利形式，通过点斜式方程可以轻松求出直线的斜率和经过的点，进而分析直线的特性和性质。

三、直线的性质1. 相交直线两条不平行的直线在平面直角坐标系中相交于一点，通过分析相交直线的斜率和截距可以得出它们的相交关系和交点的坐标。

2. 平行直线平行直线具有相同的斜率但不同的截距，在平面直角坐标系中平行直线之间的距离可以通过截距的差值来表达。

通过研究平行直线的性质可以帮助学生更好地理解直线在坐标系中的位置关系。

3. 垂直直线垂直直线的斜率之间满足互为倒数的关系，两条直线的斜率之积为-1。

通过研究垂直直线的特性，可以帮助学生理解直线之间的垂直关系，从而在几何分析中有更深入的应用。

四、直线的应用1. 直线的方程与图像通过直线的方程可以得到直线在平面直角坐标系中的图像，通过分析直线的方程可以得出它在坐标系中的位置和特性，帮助学生更好地理解直线和几何关系。

高二数学直线的极坐标方程

设直线L与极轴交于点A。则在MOP
OMP , OPM ( 1 )
由正弦定理得
1 sin[ ( 1 )] sin( )
显然点 P 的坐标 sin( ) 1 sin( 1 ) 也是它的解。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直பைடு நூலகம்极轴
练习：设点P的极坐标为A( a , 0) ，直 l 线过点P且与极轴所成的角为 ,求直l 线的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM，在MOA 中有
a sin( ) sin( ) 即
sin( ) a sin
显然A点也满足上方程。
例题3设点P的极坐标为( 1 ,1 ) ，直线 l 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线l 的极坐标方程。
1 P
M
o
﹚ ﹚
1
x
解：如图，设点 M ( , ) 为直线上除点P外的任意一点，连接OM 则 OM , xOM 由点P的极坐标知 OP 1 xOP 1
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
；九目妖；
国尪,绝美の面颊红扑扑の.战申榜排位赛决赛阶段,还在继续之中.只是,有鞠言战申和卢冰战申呐场对战在前,其他战申の对战,就很难引起大家太多の关注了.哪怕是其他混元无上级存在の搏杀,似乎也失色了很多.押注大厅,顶层！林岳大臣,匆匆の来到鲍一公爵面前.“公爵大人！”林岳大臣对鲍一公爵拱了拱手.“嗯,有哪个事?”鲍一公爵坐在椅子上,抬眉问道.“鞠言战申与卢冰战申の对战,已经结束,有结果了.”林岳大臣微微低头说道.林岳大臣の声音发颤,他很激动兴奋.“卢冰战申获胜了?”鲍一公爵也全部没去想鞠言战申有获胜の可能,很自然の就认为是卢冰战申获胜了：“鞠言战申,还活着吧?”“公爵大人,是鞠言战申胜了.卢冰战申,被当场斩杀.从大斗场传来の消息说,鞠言战申是炼体与道法双善王.”林岳大臣颤音说道.“哪个?”鲍一公爵陡然站起身,整个人气势不经意の爆了一下,眼睛瞪圆.“怎么可能！”鲍一公爵の第一反应,就是觉得不现实.“公爵大人,鞠言战申真是太强大了.呐一次鞠言战申の盘口压保,俺们押注大厅能从中赚取大量白耀翠玉.就算去掉分给波塔尪国の部分,也有可观の收获.啧啧,波塔尪国真是走了大运！”林岳大臣赞叹の模样道.波塔尪国,确实是走大运了.波塔尪国接连在鞠言盘口压保,鞠言战申接连获胜,让波塔尪国从中赢取了泊量の白耀翠玉,同事还得到鞠言战申盘口惊人の押注积分.通过呐一届排位赛,波塔尪国便能得到下一届战申榜排位赛大量の盘口名额.甚至,可能会有超过拾个押注盘口名额,无疑是大丰收.“俺们の王尪大人,果然是真知灼见,竟能预料到鞠言战申会在此战获胜.”鲍一公爵崇拜の语气缓缓说道,他以为仲零王尪先前就判断鞠言战申会击败卢冰战申,所以才会放开卢冰战申の盘口压保限额.(本章完)第三零三二章过意不去（补思）鲍一公爵以为仲零王尪是未卜先知,而实际上仲零王尪也根本就没想到鞠言战申能击败卢冰战申.放开盘口压保限额呐个决定,是基于鞠言愿意为法辰王国效历万年の事间.大斗场上,决赛第一轮持续进行之中.波塔尪国の贺荣国尪等人,笑得合不拢嘴.呐一群人,都没有刻意压制自身内心中琛琛の喜悦.由于,先前廉心国尪等人让他们有些憋闷,轮到他们反击了.“陛下,呐下子俺们波塔尪国真真の发了.”申肜公爵眉笑颜开道.“决赛阶段第一轮,鞠言战申和卢冰の盘口,压保额七拾多亿白耀翠玉！呐一下子,俺们波塔尪国就能获得七拾多亿押注积分.”另一名公爵也笑着说道.“哈哈,卢冰战申应该早点认输才是.早点认输,至少能活下来.蓝泊国尪,俺说得对不对?”贺荣国尪看向蓝泊国尪道.蓝泊国尪看了贺荣国尪一眼,心中将贺荣国尪祖宗拾八代都骂了一遍.“呵呵,鞠言战申已经进入战申榜,他取代了卢冰战申の位置,暂事是第拾陆名.”仲零王尪笑着说道.鞠言击败了卢冰战申,在战申榜上自动取代卢冰战申の排名,而卢冰战申如果活着,那他の名次就是第拾七名.“不知道,鞠言战申下一轮会挑战哪一位战申.”万江王尪眯着眼说道.“可能是……玄秦尪国の肖常崆战申?俺看鞠言战申呐性子,也不是好相与の呢.”秋阳王尪看向廉心国尪随意の语气道.玄秦尪国与鞠言也有矛盾,而玄秦尪国の肖常崆战申,在战申榜上排名第拾,按照规则鞠言战申是能够在下一轮决赛中挑战肖常崆战申の.廉心国尪の脸色变了变.若是在鞠言战申杀死卢冰战申之前,廉心国尪自是巴不得鞠言挑战肖常崆战申.可现在,她の想法变了.委实是,鞠言の表现太过离奇.肖常崆战申の排名,虽然比卢冰战申高出几位,但二者在实历上,差距其实并不很大.肖常崆战申即便稍稍强出那么一点点,可两人交手の话,肖常崆战申也不是一定能击败卢冰战申.一旦鞠言战申挑战肖常崆战申,那结果怕也难说.难道,要肖常崆战申主动认输?此事の鞠言战申,回到了纪沄国尪の身边.“鞠言战申,你已经登上战申榜了.拾陆名！”纪沄国尪兴奋の语气对鞠言说道.“俺们龙岩国,也出名了.” 纪沄国尪高兴得像个孩子,若不是由于呐里有太多人,她可能会在鞠言面前跳起来.“出名了,但俺们龙岩国还是太弱.陛下,俺们得尽快让尪国强大起来.就算不能成为顶级尪国,起码也得成为著名尪国.”鞠言笑着说道.“呐……太难了啊！著名尪国,一共只有二百个.俺们龙岩国,太弱小了.” 纪沄国尪摇头,那些著名尪国,基本上也都是很枯老の国度,每一个国家,都有大量善王级强者.龙岩国の善王,数量太少了.“只要资源足够,也并不是不能快速壮大扩罔.”鞠言笑道.“招揽善王级强者,需要の资源可就太多了.而且,就算有资源,善王也未必愿意加入呢.”纪沄国尪想一想其中の难度,都觉得无历.“以前难,但以后会容易很多.之前是龙岩国没有名气,以后就不一样了.信任,会有不少善王,会主动の要加入龙岩国の.而且,俺们龙岩国可是有一头混鲲兽,呐吸引历对寻常善王可不小.”鞠言看着纪沄国尪道.混鲲兽！那是混元无上级强者都很在乎の叠要资源.虽是说, 混元无上级强者能够杀死混鲲兽,但并不是说混元无上级善王去了永恒之河就能猎杀到混鲲兽.想杀死混鲲兽,那需要多个条件都同事满足才行.首先,混鲲兽若是在永恒之河内不出来,那你就算一群混元无上级强者也无计可施.在永

沪教版第11章_坐标平面上的直线_111(2)_直线的点法向式方程(有答案)

沪教版(上海某校高二第二学期新高考辅导与训练第11章坐标平面上的直线 11.1（2）直线的点法向式方程一、填空题1. 写出直线的一个法向量________．二、解答题已知正方形的两个顶点，求边所在直线的点法向式方程．三、填空题过点，一个法向量是的直线的点法向式方程是________．已知两点，则线段的中垂线的点法向式方程是________．若直线经过两点，且它的一个法向量，则的值是________．直线的一个法向量是，则的值是________．若直线过点，且它的法向量与直线的法向量平行，则直线的点法向式方程是________．四、多选题直线经过点，且一个方向向量是，则直线的点法向式方程是()A. B.C. D.五、单选题若，且分别是直线的法向量，则的值分别可以是() A.1，2 B.2，1 C. D.参考答案与试题解析沪教版(上海某校高二第二学期新高考辅导与训练第11章坐标平面上的直线 11.1（2）直线的点法向式方程一、填空题1.【答案】此题暂无答案【考点】直线较向量熔程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、解答题【答案】此题暂无答案【考点】直线的都特式方程直线的验我式方程直线的较般式划程皮直校的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】直线的都特式方程直线的验我式方程直线的都特式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】与直线表于抛制直线析称的直线方程中点较标公洗直线的都特式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数量积常断换个平只存量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线的来程的阿念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线的都特式方程直线的水根式方务式直线的平行关系直线的较般式划程皮直校的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、多选题【答案】此题暂无答案【考点】直体的氯率直线的都特式方程直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答五、单选题【答案】此题暂无答案【考点】二次表数擦应用函根的萄送木其几何意义勾体定展【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

高二数学两条直线的位置关系试题答案及解析

高二数学两条直线的位置关系试题答案及解析1.已知点A（﹣2，4），B（4，2），直线l：ax﹣y+8﹣a=0，若直线l与直线AB平行，则a= _________．【答案】【解析】两直线平行斜率相等且截距不相等，计算得，答案为.【考点】直线平行的位置关系2.若直线与直线互相垂直，那么的值等于 ( )A．1B．C．D．【答案】D【解析】若直线垂直，则斜率之积为-1，即,故为D.【考点】直线垂直与直线方程.3.（1）推导点到直线的距离公式；（2）已知直线：和：互相平行，求实数的值.【答案】（1）详见解析；（2）或【解析】（1）设点，直线，过点做直线的垂线，垂足为，求出点的坐标，在直线上在取不同于点的一点，用两点间距离可求得，根据直角三角形中勾股定理可求得，即点到直线的距离。

（2）根据两直线平行斜率相等即可求出。

试题解析：（1）（略） 6分（2）∥，，解得1或-3.经检验均符合题意，故1或-3. 12分【考点】1点到线的距离公式；2两直线平行时斜率的关系。

4.若直线与直线平行，则实数( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因两直线平行，所以，解得。

故D正确。

【考点】两直线平行。

5.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】（1）（2）直线的方程为，切点坐标为【解析】（1）在点处的切线的斜率，切线的方程为；（2）设切点为，则直线的斜率为，直线的方程为：．又直线过点，，整理，得，，，的斜率，直线的方程为，切点坐标为【考点】直线与曲线相切问题及导数的几何意义点评：求曲线过某一点处的切线时，通常设出切点，利用切点坐标满足直线方程，曲线方程及曲线在切点处的导数值等于切线斜率找到关于切点的关系式即可求得切点6.已知直线的一个法向量为，且经过点，则直线的方程是．【答案】【解析】因为根据题意可知直线的一个法向量为,因此可知垂直于直线l 的直线斜率为，直线l的斜率为其负倒数，即为那么利用点斜式可知直线l的方程为=,变形可知为。

高二数学课件：第八章第二节直线的交点坐标与距离公式

1 2 2 综上可知： m ,m 且m . 6 3 3
热点考向
2
距离公式的应用
【方法点睛】
1.两点间的距离的求法
两点间的距离，可利用两点间的距离公式求解；当两点连线平
行于x轴时，其距离等于这两点横坐标之差的绝对值；当两点连
线平行于y轴时，其距离等距离最大的直线l的方程，最大距离是 5 5.
5
(3)由(2)可知，过点A不存在到原点距离超过 5 的直线，因此
不存在过点A且与原点距离为6的直线.
【反思·感悟】 1.在解答本题时，直线斜率存在时,根据题设条件，由点到直线的距离公式得关于斜率的方程，这是很关键的问题,同时注意讨论斜率不存在的情况； 2.另外，求距离的最值时，除了考虑距离公式所要求的条件，以防漏解、错解外，还要注意数形结合思想的应用.
1.对称中心的求法
若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于点P(a,b)对称，则由中点坐标公式求得a、b的值，即 a x1 x 2 ，b y1 y 2 ；
2 2
2.轴对称的两个公式
若两点M(x1,y1)、N(x2,y2)关于直线l：Ax+By+C=0(A≠0)对称，
则线段MN的中点在对称轴l上，而且连接MN的直线垂直于对称轴l. 故有
24 3
因此，过点P与AB平行的直线的方程为：
1 y 2 (x 1) ,即x+3y-5=0； 3
又因为A(2,3)，B(-4,5)的中点坐标D(-1,4)，所以过点P及AB中点的直线方程为x=-1；综上可知,所求直线方程为x=-1或x+3y-5=0.
热点考向 3
【方法点睛】
对称问题
利用到原点的距离为2列方程，解方程即可，但要注意对斜率不

高二第二学期第一章线性回归方程同步练习题(文科)(1)(教师版)

高二第二学期第一章线性回归方程同步练习题（文科）（1）一、选择题1 . 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ D ） A ．角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C ．正ｎ边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高2．某市纺织工人的月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为y=50+80x ，则下列说法中正确的是（ C ）A ．劳动生产率为1000元时，月工资为130元B ．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为130元C ．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为80元D ．月工资为210元时，劳动生产率为2000元 3．设有一个回归方程为y=2-1.5x ，则变量x 每增加一个单位时，y 平均（ C ） A ．增加1.5单位 B ．增加2单位 C ．减少1.5单位 D ．减少2单位4．实验测得四组(x ，y )的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为( A )A.y ^＝x ＋1 B.y ^＝x ＋2 C.y ^＝2x ＋1 D.y ^＝x －15．由一组样本(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程y ^＝a ＋bx ，下面有四种关于回归直线方程的论述：(1)直线y ^＝a ＋bx 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点；(2)直线y ^＝a ＋bx 的斜率是∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x 2；(3)直线y ^＝a ＋bx 必过(x ，y )点； (4)直线y ^＝a ＋bx 和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差∑ni ＝1 (y i －a －bx i )2是该坐标平面上所有的直线与这些点的偏差中最小的直线．其中正确的论述有( D )A ．0个 B ．1个C ．2个 D ．3个解析线性回归直线不一定过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的任何一点；b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑ni ＝1x 2i －n x 2就是线性回归直线的斜率，也就是回归系数；线性回归直线过点(x ，y )；线性回归直线是平面上所有直线中偏差∑ni ＝1(y i －a －bx i )2取得最小的那一条．故有三种论述是正确的，选D. 6．某化工厂为预测产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取8对观测值，计算，得∑8i ＝1x i ＝52，∑8i ＝1y i ＝228，∑8i ＝1x 2i ＝478，∑8i ＝1x i y i ＝1849，则其线性回归方程为( A ) A.y ^＝11.47＋2.62x B.y ^＝－11.47＋2.62x C.y ^＝2.62＋11.47x D.y ^＝11.47－2.62x解析利用回归系数公式计算可得a ＝11.47，b ＝2.62，故y ^＝11.47＋2.62x . 7. 下列变量之间的关系是函数关系的是（ A ）A ．已知二次函数c bx ax y ++=2，其中a ，b 是已知常数，取b 为自变量，因变量是这个函数的判别式ac b Δ42-=B ．光照时间和果树的亩产量C ．降雪量和交通事故发生率D ．每亩用肥料量和粮食亩产量 8. 列有关线性回归的说法，不正确是（ D ）A.变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C.线性回归直线方程最能代表观测值x ，y 之间的关系D.任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程 9.已知x 与y 之间的一组数据：则y 对x 的线性回归方程y ＝bx ＋A. (2,2) B. (1.5,3.5) C. (1,2) D. (1.5,4)10. 设回归直线方程为y ＝2－1.5x ，若变量x 增加1个单位，则( C )． A. y 平均增加1.5个单位 B. y 平均增加2个单位 C. y 平均减少1.5个单位 D. y 平均减少2个单位二、填空题11.下列关系中，是相关关系的为（填序号）.①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系. 答案 ①②12.下列有关线性回归的说法，正确的是（填序号）.①相关关系的两个变量不一定是因果关系②散点图能直观地反映数据的相关程度 ③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系④任一组数据都有回归直线方程答案 ①②③13.下列命题：①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归直线yˆ=b ˆx +a ˆ及回归系数b ˆ,可以估计和预测变量的取值和变化趋势. 其中正确命题的序号是 .答案 ①②③14．下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一树木，其截面直径与高度之间的关系；⑤学生的身高与其学号之间的关系，其中有相关关系的是___①③④_____(填序号)．15.已知回归方程为yˆ=0.50x-0.81,则x=25时，y ˆ的估计值为 .答案 11.69 16．下表是某厂1～4由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y ^＝－0.7x ＋a ，则a 等于______．解析 x ＝2.5，y ＝3.5，∵回归直线方程过定点(x ，y )，∴3.5＝－0.7×2.5＋a .∴a ＝5.25. 17．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为________件．答案 46解析由所提供数据可计算得出x ＝10，y ＝38，又b ≈－2代入公式a ＝y －b x 可得a ＝58，即线性回归方程y ^＝－2x ＋58，将x ＝6代入可得．18．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人们，体重y （kg ）依身高x （cm ）的回归方程为y=0.72x-58.5。

高二数学直线方程试题答案及解析

高二数学直线方程试题答案及解析1.已知直线l经过点P(-2,1)（1）若直线l的方向向量为(-2,-1)，求直线l的方程；（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求此时直线l的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或x+y+1=0【解析】（1）已知直线的方向向量利用方向向量设方程时可设为：,然后根据直线过点P(-2,1)来得直线方程.（2）可先设直线的斜率，然后表示直线方程；根据直线方程来表示直线在两坐标轴上的截距，根据截距相等列出方程即可.试题解析：（1）直线斜率为得（2）或x+y+1=0.【考点】函数及其性质的应用.2.如图，已知长方形的两条对角线的交点为，且与所在的直线方程分别为．（1）求所在的直线方程；（2）求出长方形的外接圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知条件推导出，设所在的直线方程为，由到的距离和到的距离相等，能求出所在的直线方程．（2）由，得，从而得到，由此能求出长方形的外接圆的方程．试题解析：（1）由于，则由于，则可设直线的方程为：，又点到与的距离相等，则，因此，，或（舍去），则直线所在的方程为．（2）由直线的方程解出点的坐标为，则即为长方形的外接圆半径. 故长方形的外接圆的方程为．【考点】圆的标准方程；直线的一般式方程．3.如图，已知长方形的两条对角线的交点为，且与所在的直线方程分别为．（1）求所在的直线方程；（2）求出长方形的外接圆的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知条件推导出，设所在的直线方程为，由到的距离和到的距离相等，能求出所在的直线方程．（2）由，得，从而得到，由此能求出长方形的外接圆的方程．试题解析：（1）由于，则由于，则可设直线的方程为：，又点到与的距离相等，则，因此，，或（舍去），则直线所在的方程为．（2）由直线的方程解出点的坐标为，则即为长方形的外接圆半径.故长方形的外接圆的方程为．【考点】圆的标准方程；直线的一般式方程．4.直线与两坐标轴围成的三角形面积等于__________.【答案】【解析】令，则，令，则，所以【考点】求直线的横纵截距5.光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射，这时反射光线恰好过点,求所在直线的方程及点的坐标．【答案】直线方程为：；.【解析】试题分析:先求出点关于轴的对称点,然后根据直线两点式方程求出的直线方程为.试题解析：点关于轴的对称点.因为点在直线上，，所以的直线方程为：.化简后得到的直线方程为：.【考点】直线方程.6.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 .【答案】或.【解析】直线的截距式中要求截距不为0，而直线的截距相等进可以全为0，因此本题应该分类讨论，截距不为0时，设直线方程为，把点（1，2）坐标代入，解得；截距为0时，设直线方程为，把点（1，2）坐标代入，解得，∴满足题意的直线有两条：或.【考点】直线的截距及截距式方程.7.已知直线不通过第四象限，则的取值范围是 ________.【答案】【解析】∵直线不过第四象限,所以①，解之得；②，综上所述a的取值范围是.【考点】直线的一般式方程.8.已知直线过点（0，7），且与直线平行，则直线的方程为（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】根据两直线平行斜率相等，设过P与直线l平行的直线方程是 y=-4x+m把点P（0，7）代入可解得 m，从而得到所求的直线方程解：设过P与直线l平行的直线方程是y=-4x+m，把点P（0，7）代入可解得 m=7，故所求的直线方程是y=-4x+7．故选C【考点】直线方程点评：本题考查根据两直线平行和垂直的性质，利用待定系数法求直线方程的方法9.已知直线方程为,且在轴上的截距为,在轴上的截距为，则等于（）A．3B．7C．10D．5【答案】A【解析】因为直线方程为，所以令，得令，得所以【考点】本小题主要考查直线在两坐标轴上的截距的求法，考查学生的运算能力.点评：注意直线在坐标轴上的截距与距离不同，截距可正可负也可以为零.10.一束光线通过点射到轴上，再反射到圆上，求反射点在轴上的横坐标的活动范围（）A．（0，1 ）B．（1-2，0）C．（1-2，1）D．（1，2-1）【答案】C【解析】因为根据求出点关于x轴的对称点M′，利用反射光线过M′与圆心，即可求得直线方程；A的取值范围是反射后射到圆，临界状态时的取值范围．利用圆心到直线的距离等于半径，从而可求得临界状态时反射光线的方程，进而可求A的活动范围（1-2，1），选C11. .过点(2,1)且与直线平行的直线方程是_______.【答案】【解析】设所求直线3x+4y+m=0，因为此直线过点(2,1)，所以,所以所求直线方程为.12.在等腰中,,顶点为直线与轴交点且平分,若，求（1）直线的方程；（2）计算的面积.【答案】（1）；（2）【解析】第一问中利用等腰中,,，顶点为直线与轴交点且平分,可知两点关于直线对称，利用方程组很容易得到。

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)

PQ xu yv.
从而n PQ n ( xu yv) xn u yn v 0,
所以,向量n也是平面的法向量, 故 / / .
b
a
v
P
u
n
例3 如图1.4 12, 在长方体ABCD A1B1C1D1中, AB 4, BC 3,CC1 2.
B1C上是否存在点P, 使得A1P / / 平面ACD1 ? 分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系, 那么问题中涉及的点、
A1 D
C1
B1 P C y
A B
x
设n ( x, y, z)是平面ACD1的法向量, 则n AC 0, n AD1 0,即
3 3
x x
4y 2z
0, 0.
所以
x y
Hale Waihona Puke 2 x, 3 取z 1 z. 2
6, 则x 4,
y 3.
所以, n (4, 3, 6)是平面ACD1的一个法向量. z
由A(3, 0, 2), C(0, 4, 0), B1(3, 4, 2), 得 A1B1 (0, 4, 0), B1C (3, 0, 2).
D1
A1 D
C1
B1 P C y
A B
x
设点P满足B1P B1C(0 ≤ ≤ 1), 则B1P (3 , 0, 2 ), 所以A1P A1B1 B1P (3 , 4, 2 ).
图1.4-6
例1 如图1.4 7, 在长方体ABCD A1B1C1D1中, AB 4, BC 3,CC1 2, M是AB的中点, 以D为原点, DA, DC, DD1所在直线分别为x轴、y轴、z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系.
(1) 求平面BCC1B1的法向量;

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直线与方程一．选择题（共18小题）1．（2004•黑龙江）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条2．设直线l：x+y=0，若点A（a，0），B（﹣2b，4ab）（a＞0，b＞0）满足条件AB∥l，则的最小值为（）A．B．C．D．3．设直线x+my+n=0的倾角为θ，则它关于x轴对称的直线的倾角是（）A．θB．C．π﹣θD．4．已知，，直线l过原点O且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．5．将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y﹣3=0的角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°6．已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率的范围是（）A．k≥k≤﹣4 B．﹣4≤k≤C．k＜D．≤k≤47．三条直线l1：x﹣y=0，l2：x+y﹣2=0，l3：5x﹣ky﹣15=0构成一个三角形，则k的取值范围是（）A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0 C．k∈R且k≠±5，k≠﹣10 D．k∈R且k≠±5，k≠18．“m=﹣2”是“直线（m+1）x+y﹣2=0与直线mx+（2m+2）y+1=0相互垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．以下四个命题：①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线．其中正确的命题是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④10．下列命题中正确的是（）A．经过点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示B．经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示C．经过任意两个不同点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）=（y2﹣y1）（x﹣x1）表示D．不经过原点的直线都可以用方程表示11．过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A．3x﹣2y=0 B．x+y﹣5=0C．3x﹣2y=0或x+y﹣5=0 D．2x﹣3y=0或x+y﹣5=012．过点P（5，﹣2），且与直线x﹣y+5=0相交成45°角的直线l的方程是（）A．y=﹣2 B．y=2，x=5 C．x=5 D．y=﹣2，x=513．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是（）A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直14．若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=﹣2x+4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣B．k＜2 C．﹣＜k＜2D．k＜﹣或k＞215．已知点A（﹣1，﹣2），B（2，3），若直线l：x+y﹣c=0与线段AB有公共点，则直线l在y轴上的截距的取值范围是（）A．[﹣3，5]B．[﹣5，3]C．[3，5]D．[﹣5，﹣3]16．已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），直线l：λx﹣4y+4﹣λ=0与线段AB恒有公共点，则λ的取值范围是（）A．λ≥3或λ≤﹣16 B．或λ≤﹣4C．﹣16≤λ≤3 D．3≤λ≤1617．点P在直线3x+y﹣5=0上，且点P到直线x﹣y﹣1=0的距离为，则P点坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，2）或（2，﹣1）D．（2，1）或（﹣2，1）18．△ABC中，点A（4，﹣1），AB的中点为M（3，2），重心为P（4，2），则边BC的长为（）A．5B．4C．10 D．8二．填空题（共6小题）19．（2008•上海）已知A（1，2），B（3，4），直线l1：x=0，l2：y=0和l3：x+3y﹣1=0、设P i是l i（i=1，2，3）上与A、B两点距离平方和最小的点，则△P1P2P3的面积是_________．20．已知直线（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线不经过第二象限，则实数a的范围是_________．21．对平面上两点A（﹣4，1），B（3，﹣1），直线y=kx+2与线段AB恒有公共点，则k的取值范围是_________．22．若直线l经过点（a﹣2，﹣1）和（﹣a﹣2，1），且与经过点（﹣2，1），斜率为﹣的直线垂直，则实数a的值为_________．23．直线2x﹣y﹣4=0绕它与x轴的交点逆时针旋转45°，所得的直线方程是_________．24．已知直线l：kx+y﹣k+2=0和两点A（3，0），B（0，1），下列命题正确的是_________（填上所有正确命题的序号）．①直线l对任意实数k恒过点P（1，﹣2）；②方程kx+y﹣k+2=0可以表示所有过点P（1，﹣2）的直线；③当k=±1及k=2时直线l在坐标轴上的截距相等；④若，则直线（x0﹣1）（y+2）=（y0+2）（x﹣1）与直线AB及直线l都有公共点；⑤使得直线l与线段AB有公共点的k的范围是[﹣3，1]；⑥使得直线l与线段AB有公共点的k的范围是（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．三．解答题（共6小题）25．（2011•番禺区）已知直线l夹在两条直线l1：3x+y﹣2=0和l2：x+5y+10=0之间的线段被点D（2，﹣3）平分，求直线l的方程．26．已知定义在（0，+∞）上的函数是增函数（1）求常数k的取值范围（2）过点（1，0）的直线与f（x）（x∈（e，+∞））的图象有交点，求该直线的斜率的取值范围．27．已知函数，g（x）=x+a（a＞0）（1）求a的值，使点M（f（x），g（x））到直线x+y﹣1=0的最短距离为；（2）若不等式在x∈[1，4]恒成立，求a的取值范围．28．在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0．若点B 的坐标为（1，2），求点C的坐标．29．一条直线经过点A（2，﹣3），它的倾斜角等于直线y=x+1的倾斜角的2倍，求这条直线的方程．30．直线l过点P（2，1），且分别与x，y轴的正半轴于A，B两点，O为原点．（1）求△AOB面积最小值时l的方程；（2）|PA|•|PB|取最小值时l的方程．直线与方程参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2004•黑龙江）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条考点：点到直线的距离公式。

专题：作图题；转化思想。

分析：由题意，A、B到直线距离是1和2，则以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线的条数即可．解答：解：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求．故选B．点评：本题考查点到直线的距离公式，考查转化思想，是基础题．2．设直线l：x+y=0，若点A（a，0），B（﹣2b，4ab）（a＞0，b＞0）满足条件AB∥l，则的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数的值域；斜率的计算公式。

分析：由AB∥l可以找出a和b的关系，4ab=a+2b，故可采用消元法转化为某个变量的函数求最值．解答：解：由AB∥l得4ab=a+2b，故，因为a＞0，b＞0，故b＞，所以a+b=当且仅当即b=时“=”成立，故故选D点评：本题考查直线平行的条件、基本不等式求最值问题，解题中要注意创造性的利用基本不等式．3．设直线x+my+n=0的倾角为θ，则它关于x轴对称的直线的倾角是（）A．θB．C．π﹣θD．考点：直线的倾斜角。

专题：阅读型。

分析：直接利用对称性，求出直线关于x轴对称的直线的倾角即可．解答：解：如图：直线x+my+n=0的倾角为θ，它关于x轴对称的直线的倾角是π﹣θ．故选C．点评：本题考查直线的倾斜角，考查计算能力，是基础题．4．已知，，直线l过原点O且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：直线的斜率。

专题：计算题。

分析：由于直线l与线段AB有公共点，故直线l的斜率应介于OA，OB斜率之间．解答：解：由题意，，，由于直线l与线段AB有公共点，所以直线l的斜率的取值范围是，故选B．点评：本题主要考查直线的斜率公式，考查直线l与线段AB有公共点，应注意结合图象理解．5．将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y﹣3=0的角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°考点：直线的斜率。

专题：计算题；作图题。

分析：结合图象，由题意知直线l1l3互相垂直，不难推出l2到直线l3：x+2y﹣3=0的角．解答：解：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，注意到k1k3=﹣1，l1⊥l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l2到直线l3的角是30°，故选A．点评：本题考查直线与直线所成的角，以及到角公式，是基础题．6．已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率的范围是（）A．k≥k≤﹣4 B．﹣4≤k≤C．k＜D．≤k≤4考点：直线的斜率。

专题：作图题。

分析：根据题意在坐标系中画出线段AB，再根据直线斜率的计算公式可得：直线PA的斜率与直线PB的斜率，进而转动直线l结合正切函数的图象可以得到答案．解答：解：根据题意在坐标系中画出线段AB，如图所示：根据直线斜率的计算公式可得：直线PA的斜率k=，直线PB的斜率k′==，所以转动直线l，可以发现直线能够出现与x轴垂直的情况，所以可得直线l的斜率k的取值范围是k≤﹣4或k≥．故选A．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线斜率公式及斜率变化与倾斜角之间的关系，以及正切函数的图象，注意在得到两个边界值时应该根据正切函数的图象得到斜率是去两边还是取中间，一般当倾斜角变化90°了就取两边，没有变化90°就取中间，此题属于基础题亦是易错题．7．三条直线l1：x﹣y=0，l2：x+y﹣2=0，l3：5x﹣ky﹣15=0构成一个三角形，则k的取值范围是（）A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0 C．k∈R且k≠±5，k≠﹣10 D．k∈R且k≠±5，k≠1考点：两条直线平行的判定；直线的一般式方程。