山东省高一上学期数学期末考试试卷A卷(练习)
山东省高一上学期数学期末考试试卷A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）已知集合，，则=（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）若角α的终边在直线y=﹣2x上，且sinα＞0，则cosα和tana的值分别为（）
A . ,﹣2
B . -,
C . -,=2
D . -,-2
3. （2分）对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f （x）满足f （x+4）=f（x），且当0≤x≤2时，f （x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f （x）﹣mx=0恰有两个根，则m的取值范围是（）
A . {﹣1，1}∪（﹣ln2，-）∪（， ln2）
B . [﹣1，-）∪(,1]
C . {﹣1，1}∪（﹣ln2，-）∪（， ln2）
D . （-， -）∪（，）
4. （2分）已知函数f（x）=lg+ax5+bx3+1，且f（8）=8，则f（﹣8）=（）
A . -6
B . -8
C . 6
D . 8
5. （2分） (2017高一下·上饶期中) 函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（11）的值等于（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2016高一上·河北期中) 设a，b，c∈R，函数f（x）=ax5﹣bx3+cx，若f（﹣3）=7，则f（3）的值为（）
A . ﹣13
B . ﹣7
C . 7
D . 13
7. （2分）在等比数列{an}中，，则a4=（）
A . ±16
B . ±4
C . 16
D . 4
8. （2分）函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值（）
A . 大于0
B . 小于0
C . 等于0
D . 无法确定
9. （2分）求值：4cos50°﹣tan40°=（）
A .
B .
C . 2 ﹣1
D .
10. （2分）已知函数的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）(2016·河北模拟) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻的对称轴的距离为．若角φ的终边经过点P（1，﹣2），则f（）等于（）
A .
B .
C . ﹣
D . ﹣
12. （2分）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）(2018·安徽模拟) 设为曲线上的动点，为曲线上的动点，则称的最小值为曲线、之间的距离，记作 .若：，：，则
________．
14. （1分）已知cosα=，且α∈（，2π），则cos（α+）=________
15. （1分）关于函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+ ），则下列命题：
①y=f（x）的最大值为；
②y=f（x）最小正周期是π；
③y=f（x）在区间上是减函数；
④将函数y= cos2x的图象向右平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是________．
16. （1分） (2016高一上·宁波期中) 函数g（x）=log2 （x＞0），关于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则实数m的取值范围为________．
三、解答题 (共6题；共50分)
17. （10分）化简求值
（1）化简：；
（2）已知f（x）= ，求f（﹣）的值．
18. （5分） (2017高一上·江苏月考) 已知是角终边上的一点，且 ,求
的值.
19. （10分）(2019·广东模拟) 已知函数 .
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）若满足，求的值
20. （10分） (2016高一上·普宁期中) 设函数g（x）=3x ， h（x）=9x ．
（1）解方程：h（x）﹣8g（x）﹣h（1）=0；
（2）令p（x）= ，求值：p（）+p（）+…+p（）+p（）．
21. （5分） (2018高一下·四川期末) 已知向量，， .
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，且，求的值.
22. （10分） (2019高一上·宾县月考) 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
（1）证明：f(x)为单调递减函数．
（2）若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、答案：略
17-2、答案：略
18-1、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、21-1、22-1、22-2、。
2023-2024学年山东省高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年山东省高一上册期末数学试题一、单选题1．sin390°的值是（）A ．12B ．2C ．D ．12-【正确答案】A【分析】根据终边相同的角，将390-︒化成30-︒，再利用30︒的三角函数值与sin()α-的公式，即可求出答案．【详解】解：根据题意，得()()1sin 390sin 30360sin 302︒=︒+︒=︒=故选：A．2．“函数()sin(2)f x x θ=+为偶函数”是“2πθ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】充分性判断：利用偶函数的性质，结合和差角正弦公式求θ；必要性判断：应用诱导公式化简()f x 并判断奇偶性，最后由充分、必要性定义确定题设条件间的关系.【详解】当()sin(2)f x x θ=+为偶函数时sin(2)sin(2)x x θθ-=+，则2sin 2cos 0x θ=恒成立，即2k πθπ=+，Z k ∈；当,2πθ=时，()sin(2)cos 22f x x x π=+=为偶函数；综上，“函数()sin(2)f x x θ=+为偶函数”是“2πθ=”的必要不充分条件.故选：B3．已知函数()2222()1mm f x m m x--=--是幂函数，且为偶函数，则实数m =（）A ．2或1-B ．1-C ．4D ．2【正确答案】D【分析】利用幂函数的定义及偶函数的概念即得.【详解】由幂函数的定义知211m m --=，解得1m =-或2m =．又因为()f x 为偶函数，所以指数222m m --为偶数，故只有2m =满足．故选：D ．4．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c<a<b【正确答案】C【分析】可以看出0,0,0a b c ><<，直接排除A 、B ，再比较1,1b c >-<-，从而选出正确答案.【详解】可以看出37π是一个锐角，故3sin07a π=>；又4cos cos 72ππ<，故10b -<<；又34tan tan77ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而43274πππ<<，故1c <-；从而得到c b a <<，故选C.比较大小时常用的方法有①单调性法，②图像法，③中间值法；中间值一般选择0、1、-1等常见数值.5．函数()sin ln ||f x x x =⋅的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D先根据函数的奇偶性，可排除A ，C ，根据当01x <<时，()0f x <即可排除B ．得出答案.【详解】因为()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠，所以()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除A ，C ．当01x <<时，sin 0x >，ln ||0x <，则()0f x <，故排除B ，故选:D ．思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．函数()22sin 2cos f x x x =-+的最大值和最小值分别是（）A ．2,2-B ．52,2-C ．12,2-D ．5,22-【正确答案】B 【分析】，函数可化简为()2152cos 22f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,令cos t x =,本题转化为函数215222y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,[]1,1t ∈-的最值求解即可.【详解】根据题意()222152sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22f x x x x x x ⎛⎫=-+=+-=+- ⎪⎝⎭,令cos t x =,则[]1,1t ∈-,因为函数的对称轴为12t =-,所以根据二次函数的图像和性质得:当12t =-时,min 52y =-;当1t =时,max 2y =.故选:B.7．要得到函数214y x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．先向右平移8π个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．先向左平移8π个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．先向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．先向左平移4π个单位长度，再向上平移1个单位长度【正确答案】B根据212148y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 22y x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭可判断.【详解】21sin 2148y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭先向左平移8π个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到218y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象.故选：B.8．已知函数24,0,()(0,1)log (1)1,0a x a x f x a a x x ⎧+<=>≠⎨++≥⎩在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．119,4216⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭D ．119,4216⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭【正确答案】C【分析】由log (1)1a y x =++在[0，)∞+上单调递减，得01a <<，由()f x 在R 上单调递减，得114a ≤<，作出函数24,0()(0log (1)1,0ax a x f x a x x ⎧+<=>⎨++⎩且1)a ≠在R 上的大致图象，利用数形结合思想能求出a 的取值范围．【详解】解：由log (1)1a y x =++在[0,)+∞上单调递减，得01a <<，又由24,0()(0log (1)1,0ax a x f x a x x ⎧+<=>⎨++⎩且1)a ≠在R 上单调递减，得204(0)1a f +≥=，解得1a 4≥，所以114a ≤<，作出函数24,0()(0log (1)1,0ax a x f x a x x ⎧+<=>⎨++⎩且1)a ≠在R 上的大致图象，由图象可知，在[0,)+∞上，|()|2f x x =-有且仅有一个解，故在(,0)-∞上，|()|2f x x =-同样有且仅有一个解，当42a >，即12a >时，联立2|4|2x a x +=-，即242x a x +=-，则214(42)0a ∆=--=，解得：916a =，当142a ≤≤时，即1142a ≤≤，由图象可知，符合条件．综上：119,4216a ⎡⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭．故选：C ．二、多选题9．已知函数：①tan y x =，②sin y x =，③sin y x =，④cos y x =，其中周期为π，且在π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增的是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【正确答案】AC【分析】根据正切函数的性质可判断①正确；根据图象变换分别得到sin y x =、sin y x =、cos y x =的图象，观察图象可判断②不正确、③正确、④不正确.【详解】函数tan y x =的周期为π，且在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故①正确；函数sin y x =不是周期函数，故②不正确；函数sin y x =的周期为π，且在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故③正确；函数cos y x =的周期为2π，故④不正确.故选：AC.10．已知1sin cos 5αα-=，且α为锐角，则下列选项中正确的是（）A ．12sin cos 25αα=B ．7sin cos 5αα+=C ．0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．4tan 3α=【正确答案】ABD【分析】根据()2sin cos 12sin cos αααα±=±，并结合α为锐角求解即可.【详解】解：因为1sin cos 5αα-=，所以242sin cos 25αα=，即12sin cos 25αα=所以()249sin cos 12sin cos 25αααα+=+=，因为α为锐角，所以7sin cos 5αα+=，所以43sin ,cos 55αα==，所以4tan 13α=>，所以,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα故选：ABD11．设函数()ln ,0,cos ,30,2x x f x xx π>⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩则（）A ．()f x 的定义域为[)3,∞-+B ．()f x 的值域为[)1,-+∞C ．()f x 的单调递增区间为[)2,-+∞D ．()12f x =的解集为23⎧-⎨⎩【正确答案】AD【分析】A.根据函数的解析式判断；B.分0x >，30x -≤≤，利用对数函数和余弦函数的性质求解判断；C.利用函数的图象判断；D.分0x >，30x -≤≤，令1()2f x =求解判断.【详解】因为函数ln ,0()πcos ,302x x f x xx >⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，所以()f x 的定义域为[30](0)[3,)∞-⋃+=-+∞，，，故A 正确；当0x >时，()(),f x ∈-∞+∞，当30x -≤≤时，[]()1,1f x ∈-，所以()f x 的值域为[11]()()-⋃-∞+∞=-∞+∞，，，，故B 错误；如图所示：当0x >时，()f x 的单调递增区间为(0)+∞，，当30x -≤≤时，()f x 的单调递增区间为[20]-，，但在[2)∞-+，上不单调，故C 错误；当0x >时，1()ln 2f x x ==，解得x =当30x -≤≤时，π1()cos 22x f x ==，解得23x =-，D 正确.故选：AD ．12．存在实数a 使得函数2()223x x f x ma a -=+-+-有唯一零点，则实数m 可以取值为（）A ．14-B ．0C ．14D ．12【正确答案】ABC【分析】把问题转化为22x x y -=+与23y ma a =-+有唯一交点，利用换元法求22x x y -=+的最小值，再转化为关于a 的二次函数有根，利用判别式大于等于0求得实数m 的取值范围．【详解】函数2()223x x f x ma a -=+-+-有唯一零点，即方程22230x x ma a -+-+-=有唯一根，也就是22x x y -=+与23y ma a =-+有唯一交点，令2x t =，则112222x x xx y t t-=+=+=+，由“对勾函数”的单调性可知，当1t =，即0x =时，y 有最小值2，可得232ma a -+=，即210ma a -+=，当0m =时，1a =符合题意，当0m ≠时，则2(1)40m ∆=--，解得14m且0m ≠．综上，实数m 的取值范围是(-∞，1]4．故选：ABC三、填空题13．化简：22(1tan )cos αα+=_____.【正确答案】1【详解】()222222cos sin 1tan cos cos 1cos αααααα++=⋅=，故答案为1.14．已知cos 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13，0<α<2π，则sin 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________.【详解】由已知4π<α＋4π<34π，∴sin 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭>0，∴sin 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝3.15．若42log (34)log a b +=a b +的最小值为_____.【正确答案】7+【详解】试题分析：由42log (34)log a b +=34ab a b =+，即304ab a =>-，所以4a >，312477744a ab a a a a +=+=-++≥+=+--4a =+时取等号，所以a b +的最小值为7+1．对数的性质；2．基本不等式．【名师点睛】本题考查对数的性质、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，首先是要注意基本不等式的使用条件，“一正、二定、三相等”；其次在运用基本不等式时，要特别注意适当“拆”、“拼”、“凑”．16．已知函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，把()f x 的图象向左平移π3个单位长度，纵坐标不变，可得到()g x 的图象，若()()()122120g x g x x x ⋅=>>，则12x x +的最小值为____________．【正确答案】13π12【分析】根据函数图象的平移可得π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而根据()g x 的有界性可知()()122g x g x ==，根据最值点即可由三角函数的性质求解.【详解】有题意得π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于对任意的x ∈R ，()g x ,故根据()()()122120g x g x x x ⋅=>>得()()12g x g x ==()()12g x g x ==若()()12g x g x ==，因此12ππ2ππ,,N,5π5π221212x k x m k m +2，2=+2+=∈+且m k >,因此12122ππN ,πN 5π5ππ121212x x n n x x n n 2+2，，+**+++=∈+=∈，故当1n =时，12x x +取最小值，且最小值为13π12，若()()12g x g x ==123π3π2π5π5π12π,,N,2122x k x m k m ++=∈+2，2=+2且m k >,因此121223ππN 5π5π13π1212,πN 12x x n n x x n n **++=∈+=∈+2+2，，+，故当1n =时，12x x +取最小值，且最小值为25π12，故12x x +取最小值，且最小值为13π12，故13π12四、解答题17．已知集合{}2|560A x x x =--<，集合{}2|6510B x x x =-+≥，集合()(){}|90C x x m x m =---<.（1）求A B ⋂；（2）若A C C = ，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）1|13A B x x ⎧⋂=-<≤⎨⎩或162x ⎫≤<⎬⎭；（2）31m -≤≤-.【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A 、B ，即可求出A B ⋂；（2）由A C C = ，可知A C ⊆，得到不等式组，解得.【详解】解：（1）{}2|560A x x x =--< ，{}2|6510B x x x =-+≥，()(){}|90C x x m x m =---<{|16}A x x ∴=-<<，1|3B x x ⎧=≤⎨⎩或12x ⎫≥⎬⎭，{|9}C x m x m =<<+1|13A B x x ⎧∴⋂=-<≤⎨⎩或162x ⎫≤<⎬⎭；（2）由A C C = ，得A C ⊆，961m m +≥⎧∴⎨≤-⎩解得31m -≤≤-.本题考查集合的运算，集合与集合之间的关系，属于基础题.18．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边经过点(,3)A a ，4cos 5α=-.(1)求a 和tan α的值；(2)求sin()2sin()233sin()sin()2πααπαπα-++++-的值.【正确答案】(1)4a =-，3tan 4α=-；(2)1115-.【分析】（1）根据三角函数的定义求出a ，进而求出tan α；（2）先通过诱导公式对原式化简，进而进行弦化切，然后结合（1）求出答案.【详解】（1）由题意得：4cos 5α==-，解得4a =-，所以3tan 4α=-.（2）原式32sin 2cos tan 211433cos sin 3tan 1534αααααα+-+-+====--+-+--.19．已知函数()2sin(2)6f x x π=+．(1)求()f x 的最小正周期和对称轴；(2)求()f x 在ππ[,]64-上的最大值和最小值．【正确答案】(1)最小正周期为π，对称轴ππZ 62k x k =+∈，(2)最小值为1-，最大值为2【分析】(1)根据周期公式和对称轴公式求解；(2)整体代换，讨论π26x +的取值范围即可求解最值.【详解】（1）()f x 的最小正周期为2ππT ω==，令ππ2π,Z 62x k k +=+∈，可得ππZ 62k x k =+∈，即为对称轴.（2）ππππ2π1π,,2,sin(2)16466326x x x ⎡⎤∈-∴-≤+≤∴-≤+≤⎢⎥⎣⎦,π12sin(2)26x ∴-≤+≤，所以当ππ266x +=-，即π6x =-时()f x 的最小值为1-，当ππ262x +=，即π6x =时()f x 的最大值为2.20．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的剩余污染物数量()/P mg L 与过滤开始后的时间t （小时）的关系为0kt P P e -=.其中0P 为过滤开始时废气的污染物数量，k 为常数.如果过滤开始后经过5个小时消除了10%的污染物，试求：（1）过滤开始后经过10个小时还剩百分之几的污染物？（2）求污染物减少50%所需要的时间.（计算结果参考数据：ln 20.7=，ln 3 1.1=，ln 5 1.6=）【正确答案】（1）81%；（2）35个小时【分析】（1）由当5t =时，()0110%P P =-，可得()500110%k P P e --=，从而可求出参数1ln 0.95k =-，进而可知，当10t =时，081%P P =；（2）当050%P P =时，可求出ln 0.5ln 25351ln 2ln52ln 3ln 0.95t ==⋅+-.【详解】解：（1）由0kt P P e -=可知，当0=t 时，0P P =；当5t =时，()0110%P P=-.于是有()500110%k P P e --=，解得1ln 0.95k =-，那么1ln 0.950P P e ⎛⎫⎪⎝⎭=，所以，当10t =时，1ln 0.910ln 0.81500081%P P e P e P ⎛⎫⨯⎪⎝⎭===，∴过滤开始后经过10个小时还剩81%的污染物.（2）当050%P P =时，有1ln 0.950050%t P P e ⎛⎫⎪⎝⎭=.解得15lnln 0.5ln 2ln 22553519ln 9ln10ln 2ln 52ln 3ln 0.9ln 510t -===⋅=⋅=-+-∴污染物减少50%所需要的时间为35个小时.本题考查了函数模型的应用，考查了指数方程的求解，考查了对数的运算性质.由已知条件求出参数k 的值是本题的关键.本题的易错点是误把()/P mg L 当成了已消除的污染的数量.21．已知函数()2233()log log 3f x x a x =--，x ∈[13，9].(1)当a =0时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值为-6，求实数a 的值.【正确答案】(1)[]3,1-(2)2-【分析】（1）由题意可得()23()log 3f x x =-，结合定义域，逐步可得函数的值域；（2）利用换元法转化为二次函数的值域问题，分类讨论即可得到结果.【详解】（1）当a =0时，()23()log 3f x x =-，x ∈[13，9].∴[]3log 1,2x ∈-，()[]23log 0,4x ∈，∴()[]23()log 33,1f x x =-∈-，∴函数f (x )的值域为[]3,1-；（2）令[]3log 1,2t x =∈-，即函数[]2()23,1,2g t t at t =--∈-的最小值为6-，函数2()23g t t at =--图象的对称轴为t a =，当1a ≤-时，()min ()1226g t g a =-=-=-，解得2a =-；当1a 2-<<时，()2min ()36g t g a a ==--=-，解得a =当2a ≥时，()min ()2146g t g a ==-=-，解得74a =（舍）；综上，实数a 的值为2-22．已知定义域为R 的函数()22x x b n f x b +=--是奇函数，且指数函数x y b =的图象过点(2,4)．（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）若方程()23()0f x x f a x ++-+=，(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根，求实数a 的取值集合；（Ⅲ）若对任意的[1,1]t ∈-，不等式()22(1)0f t a f at -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】（Ⅰ）121()22x x f x +-+=+；（Ⅱ）{}40a a -<<；（Ⅲ）{}0a a ≥.【分析】（Ⅰ）先利用已知条件得到b 的值，再利用奇函数得到()00f =，进而得到n 的值，经检验即可得出结果；（Ⅱ）先利用指数函数的单调性判断()f x 的单调性，再利用奇偶性和单调性得到23x x a x +=-，把23x x a x +=-在(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根转化为()24f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点，求解即可；（Ⅲ）先利用函数()f x 为R 上的减函数且为奇函数，得到221t a at -≤-，把问题转化为2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立，令()221g t t at a =+--，利用二次函数的图像特点求解即可.【详解】（Ⅰ）由指数函数x y b =的图象过点(2,4)，得2b =，所以2()222x x n f x +=-⋅-，又()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，得1n =-，经检验，当1n =-时，符合()()f x f x -=-，所以121()22x x f x +-+=+；（Ⅱ）12111()22221x x x f x +-+==-+++，因为21x y =+在定义域内单调递增，则121xy =+在定义域内单调递减，所以()f x 在定义域内单调递增减，由于()f x 为R 上的奇函数，所以由()23()0f x x f a x ++-+=，可得()()23()f x x f a x f a x +=--+=-，则23x x a x +=-在(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根，即()24f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点，则()()4000440204f a a a f a ⎧-><⎧⎪⎪∆>⇒>-⇒-<<⎨⎨⎪⎪-<>-⎩⎩，所以实数a 的取值集合为{}40a a -<<.（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数()f x 为R 上的减函数且为奇函数，由()22(1)0f t a f at -+-≥，得()()221f t a f at -≥-，所以221t a at -≤-，即2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立，令()221g t t at a =+--，由题意()()1010g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，得0a ≥，所以实数a 的取值范围为.{}0a a ≥关键点睛：利用函数的奇偶性求解析式，（Ⅱ）把问题转化为()24f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点的问题；（Ⅲ）把问题转化为2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立是解决本题的关键.。
2023-2024学年山东省潍坊市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省潍坊市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．lg100−2713=（ ） A ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣22．下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A ．y ＝lnxB ．y =1xC ．y ＝x 2D ．y ＝e x ﹣13．设m ∈R ，命题“存在m ≥0，使mx 2﹣mx ﹣1＝0有实根”的否定是（ ） A ．任意m ≥0，使mx 2﹣mx ﹣1＝0无实根 B ．任意m ＜0，使mx 2﹣mx ﹣1＝0有实根 C ．存在m ≥0，使mx 2﹣mx ﹣1＝0无实根 D ．存在m ＜0，使mx 2﹣mx ﹣1＝0有实根 4．已知a =21.01，b =log 34，c =√154，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a5．如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（ ）A ．710 B ．310C ．25D ．156．已知关于x 的不等式2x−a x−1≤−1的解集是[23，1)，则实数a 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．43D ．27．抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A ＝“第一枚出现偶数点”，B ＝“第二枚出现奇数点”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 互为对立 C ．A 与B 相等D ．A 与B 相互独立8．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若对于任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0]，当x 1≠x 2时，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0成立，则不等式（x ﹣1）f （x ）＞0的解集为（ ）A ．（0，1）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．已知实数a ，b ，c 满足a +b +c ＝0，且a ＞b ＞c ，则（ ） A ．ac ＜0B ．ab ＞bcC ．ac ＜bcD ．1a ＞1c10．已知函数f （x ）的定义域为R ，值域为[﹣2，3]，则下列函数的值域也为[﹣2，3]的是（ ） A ．y ＝f （x +1）B ．y ＝f （x ）+1C ．y ＝f （﹣x ）D ．y ＝﹣f （x ）11．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7日，每天新增疑似病例不超过5人”．根据过去连续7天的新增疑似病例数据信息，下列各项中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ） A ．众数为1且中位数为4B ．平均数为3且极差小于或等于2C ．标准差为√2且平均数为2D ．平均数为2且中位数为312．已知函数f （x ）={4(x+2)2，x ≤−1，log 12(x +1)，x ＞−1，若函数y ＝f （x ）﹣m 有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则（ ） A ．1＜m ≤4B ．−1516≤x 3＜−12C ．函数f （x +1）的增区间为[﹣2，﹣1]D ．x 12+x 22+log m √2的最小值为8+√2三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．一组数据18，27，30，33，34，40，42的75%分位数为 ．14．已知定义在R 上的函数f （x ）满足以下两个条件：①对任意x 1，x 2恒有f （x 1+x 2）＝f （x 1）f （x 2）；②f （x ）在R 上单调递减．请写出一个满足上述条件的函数f （x ）＝ ．（答案不唯一） 15．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为23，乙发球时乙得分的概率为12，各球的结果相互独立．在某局打成10：10后，甲先发球，则甲以13：11获胜的概率为 ．16．已知实数a ，b 满足12e a +a ＝2，ln 2be 2+b ＝0，则a +b ＝ ．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知集合A ＝{x |（x +2）（x ﹣8）≤0}，B ＝{x ||x |＜3}． （1）求A ∩B ；（2）若集合C＝{x|m﹣6＜x＜4m}，且“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝a x﹣2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在函数g（x）＝log a x的图象上．（1）求函数g（x）的解析式；（2）若存在互不相等的实数m，n使|g（m）|＝|g（n）|，求mn的值．19．（12分）甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率为12，乙机床加工的零件是一等品且甲机床加工的零件不是一等品的概率是14．（1）分别求甲、乙两台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲加工的零件中取两个，从乙加工的零件中取一个检验，求至少有一个一等品的概率．20．（12分）已知函数f（x）＝ax2+x﹣1（a≠0）．（1）解关于x的不等式f（x）＞﹣1；（2）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为（m，n）．（i）求1m +1n的值；（ii）求4m+n的最小值．21．（12分）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在[70，90）内取2件，乙型芯片指标在[50，70]内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在[50，60）和[70，80）内各1件的概率；（3）根据检测结果确定该指标的一个临界值c，且c∈[50，60]，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产A型手机、B型手机各1万部，有以下两种方案可供选择：方案一：将甲型芯片应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值c的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于B 型手机，其中该指标大于临界值c 的芯片会导致每部手机损失300元； 方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元；请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由，22．（12分）已知函数f （x ）={a 2x +a x −2，x ≥0，−a kx −a −x+2，x ＜0(a ＞0且a ≠1)为奇函数，且g （x ）＝|f （x ）|．（1）求实数m 的值；（2）若对于函数y ＝m （x ），x ∈[p ，q ]，用x i （i ＝0，1，2，…，n ，p ＝x 0＜x 1＜…＜x n ＝q ）将区间[p ，q ]任意划分成n 个小区间，若存在常数M ＞0，使得和式∑|m(x i )−m(x i−1)|ni=1≤M 对任意的划分恒成立，则称函数m （x ）为[p ，q ]上的有界变差函数．判断函数g （x ）是否为[﹣|log a 2|，|log a 4|]上的有界变差函数？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由．2023-2024学年山东省潍坊市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
2023-2024学年山东省青岛市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省青岛市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f （x ）＝log 2（3﹣x ）的定义域为（ ） A ．（0，3） B ．（﹣∞，2） C ．（﹣∞，3） D ．（﹣∞，3]2．cos210°＝（ ）A ．12B ．−12 C ．√32D ．−√323．已知x ，y 为正实数，则2y x +xy 的最小值为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．2√24．人类已进入大数据时代，数据量已从EB （1EB ＝10242TB ）级别跃升到ZB （1ZB ＝1024EB ）级别，据研究结果表明：某地区的数据量y （单位：EB ）与时间x （单位：年）的关系符合函数y ＝k •a x﹣2021，其中a ＞0，a ≠1．已知2022年该地区产生的数据成为0.5EB ，2023年该地区产生的数据边为1EB ，则2024年该地区产生的数据量为（ ） A ．1.5EBB ．1.75EBC ．2EBD ．2.25EB5．“x ＞4”是“log 3x ＞1”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件6．当x ∈（0，2π）时，函数f （x ）＝sin x 与g （x ）＝|cos x |的图象所有交点横坐标之和为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7．定义在[﹣2，2]上的函数f （x ）＝3|x |﹣1，若f （1﹣x ）＜f （x ），则x 的取值范围为（ ） A ．(−∞，12)B ．(12，+∞)C ．[−1，12)D ．(12，2]8．若“∃x ∈（0，m ），使得x ＞5lg303lg0.5”为假命题，则m 的最大值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合项目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知a ＜0，b ＞0，则（ ） A ．ac ＞bcB ．a ﹣c ＜b ﹣cC ．1a ＞1bD ．a 2＞ab10．已知函数f(x)=sin(3x+π)，则（）3，0)是f（x）图象的一个对称中心A．点(−π9B．直线x=π是f（x）图象的一条对称轴18C．f（x）在[0，π9]上单调递增D．f(x+π)=f(x)311．已知函数f(x)=a(1)|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则（）3A．a+b＝0B．f(x)=(1)|x|−13C．f（x）是偶函数D．f（x）在（﹣∞，0]上单调递增12．已知函数f（x）定义域为R，则（）A．若∀x∈R，f（x﹣1）＜f（x），则f（x）在R上单调递增B．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是偶函数C．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是周期函数D．若∀x1，x2∈（0，π），x1≠x2，|f（x1）﹣f（x2）|＜|cos x1﹣cos x2|，则函数y＝f（x）+cos x在（0，π）上单调递减三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点．14．写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式．①f（x）的定义域为（0，+∞）；②f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）；③当x＞1时，f（x）＞0．15．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝1，在平面内△ABC绕点B逆时针旋转到△A'BC'，使C，B，A'在同一直线上，则图中阴影部分的面积为．16．设函数f(x)=sinx+√3，若f（x1）f（x2）＝2[f（x1）﹣f（x2）﹣1]，则|x1﹣x2|的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}，B ＝{1，2，3}． （1）写出A ∩B 的所有子集；（2）若关于x 的不等式x 2+bx +c ＜0的解集为C ，A ∪C ＝[﹣1，3），A ∩C ＝（1，2]，求b +c 的值． 18．（12分）如图，平面直角坐标系xOy 中，角α的终边OT 与单位圆交于点T(35，t)．（1）求sin α，tan α的值； （2）求sin(π−α)+sin(π2−α)cos(π2+α)的值．19．（12分）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为2，f （x ）的一个零点是16．（1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[0，m ]（m ＞0）时，f （x ）的最小值为−12，求m 的取值范围．20．（12分）如图，正方形ABCD 的边长为a （a ＞1），点W ，E ，F ，M 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，EM ∥AB ，WF ∥BC ，EM 与WF 交于点N ，EF ＝1，记∠FEC =x(0＜x ＜π2)．（1）记四边形ECFN 的面积为x 的函数f （x ），周长为x 的函数g （x ）， （i ）证明：g 2(x)4−1=2f(x)；（ii ）求g （x ）的最大值；（2）求四边形AMNW 面积的最小值．21．（12分）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tmL 药品，从注射时间起血药浓度y （单位：μg /mL ）与药品在体内时间x （单位：小时）的关系如下：y ={(168−x −2)t ，0≤x ≤6，(9−x 2)t ，6＜x ≤18．当血药浓度不低于2μg /mL 时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过2mL ．（1）若注射1mL药品，求药品的有效治疗时间；（2）若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1mL药品，12小时之后又注射amL药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，求a的最小值．22．（12分）已知函数f(x)=alnx−x+1，a＞0．x−1（1）写出f（x）的单调区间，并用单调性的定义证明；（2）若f（e）＝0，解关于x的不等式f（x）＞0；（3）证明：f（x）恰有两个零点m，n（m＜n），且m+n＞2．2023-2024学年山东省青岛市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f（x）＝log2（3﹣x）的定义域为（）A．（0，3）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]解：f（x）＝log2（3﹣x），则3﹣x＞0，解得x＜3，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，3）．故选：C．2．cos210°＝（）A．12B．−12C．√32D．−√32解：cos210°＝cos（180°+30°）＝﹣cos30°=−√32．故选：D．3．已知x，y为正实数，则2yx+xy的最小值为（）A．1B．√2C．2D．2√2解：因为x，y为正实数，所以2yx+xy≥2√2yx⋅xy=2√2，当且仅当2yx=xy，即x=√2y时，2yx+xy的最小值为2√2．故选：D．4．人类已进入大数据时代，数据量已从EB（1EB＝10242TB）级别跃升到ZB（1ZB＝1024EB）级别，据研究结果表明：某地区的数据量y（单位：EB）与时间x（单位：年）的关系符合函数y＝k•a x﹣2021，其中a＞0，a≠1．已知2022年该地区产生的数据成为0.5EB，2023年该地区产生的数据边为1EB，则2024年该地区产生的数据量为（）A．1.5EB B．1.75EB C．2EB D．2.25EB解：由题意可得，{0.5=k⋅a 2022−20211=k⋅a2023−2021，解得{a=2k=14，∴y=14×2x−2021，∴当x＝2024时，y=14×22024−2021=14×23=2，即2024年该地区产生的数据量为2EB．故选：C．5．“x＞4”是“log3x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件解：∵不等式log3x＞1⇔x＞3，∴当x＞4时，有log3x＞1，充分性成立；当“log3x＞1”时，有x＞3，不能推出“x＞4”，必要性不成立，因此，“x＞4”是“log3x＞1”的充分不必要条件．故选：A．6．当x∈（0，2π）时，函数f（x）＝sin x与g（x）＝|cos x|的图象所有交点横坐标之和为（）A．πB．2πC．3πD．4π解：由f（x）＝g（x），可得sin x＝|cos x|，显然π2，π，3π2不是图象的交点的横坐标，当0＜x＜π2时，由题意得sin x＝cos x，则x=π4，当π2＜x＜π时，sin x＞0，cos x＜0，由题意得sin x＝cos x，x=3π4，当π＜x＜3π2时，由题意得sin x＝﹣cos x，x不存在，当3π2＜x＜2π时，由题意得sin x＝cos x，此时x不存在，故π4+3π4=π．故选：A．7．定义在[﹣2，2]上的函数f（x）＝3|x|﹣1，若f（1﹣x）＜f（x），则x的取值范围为（）A．(−∞，12)B．(12，+∞)C．[−1，12)D．(12，2]解：根据题意，函数f（x）＝3|x|﹣1，其定义域为[﹣2，2]，有f（﹣x）＝3|﹣x|﹣1＝3|x|﹣1＝f（x），f（x）为偶函数，在区间[0，2]上，f（x）＝3x﹣1，易得f（x）在[0，2]上为增函数，若f（1﹣x）＜f（x），则有|1﹣x|＜|x|≤2，解可得：12＜x≤2，即x 的取值范围为（12，2]．故选：D ．8．若“∃x ∈（0，m ），使得x ＞5lg303lg0.5”为假命题，则m 的最大值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17解：根据题意，若“∃x ∈（0，m ），使得x ＞5lg303lg0.5”为假命题，则其否定“∀x ∈（0，m ），都有x ≤5lg303lg0.5“”为真命题，则有m ≤5lg303lg0.5，由于m ＞0，且5lg303lg0.5＞0，两边同时取对数可得：lgm ≤lg 5lg303lg0.5=lg 5lg 30﹣lg 3lg 0.5＝lg 30lg 5﹣lg 0.5lg 3＝lg 30lg 5+lg 2lg 3＝（lg 3+1）（1﹣lg 2）+lg 2lg 3＝lg 15，即lgm ≤lg 15，必有m ≤15，即m 的最大值为15． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合项目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知a ＜0，b ＞0，则（ ） A ．ac ＞bcB ．a ﹣c ＜b ﹣cC ．1a ＞1bD ．a 2＞ab解：对于A ，当c ＜0时，ac ＞0，bc ＜0，故A 错误； a ＜b ，﹣c ＝﹣c ，故a ﹣c ＜b ﹣c ，故B 正确； a ＜0，b ＞0，则1a ＜0，1b＞0，故C 错误；a ＜0，b ＞0，则a ﹣b ＜0，a 2﹣ab ＝a （a ﹣b ）＞0，即a 2＞ab ，故D 正确． 故选：BD ．10．已知函数f(x)=sin(3x +π3)，则（ ）A ．点(−π9，0)是f （x ）图象的一个对称中心B ．直线x =π18是f （x ）图象的一条对称轴 C ．f （x ）在[0，π9]上单调递增D ．f(x +π3)=f(x)解：对于函数f(x)=sin(3x +π3)，令x =−π9，求得f （x ）＝0，可得点(−π9，0)是f （x ）图象的一个对称中心，故A正确．令x=π18，求得f（x）＝1，为最大值，可得直线x=π18是f（x）图象的一条对称轴，故B正确．在[0，π9]上，3x+π3∈[π3，2π3]，函数f（x）不单调，故C错误．由于f（x+π3）＝sin（3x+π+π3）＝﹣sin（3x+π3）＝﹣f（x），故D错误．故选：AB．11．已知函数f(x)=a(13)|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y＝1但又不与该直线相交，则（）A．a+b＝0B．f(x)=(13)|x|−1C．f（x）是偶函数D．f（x）在（﹣∞，0]上单调递增解：因为函数f(x)=a(13)|x|+b的图象过原点，所以a(13)0+b=0⇒a+b=0，A项正确；又因为f（x）图象无限接近直线y＝1，所以b＝1，从而a＝﹣1，所以f(x)=−(13)|x|+1，B项错误；C项，f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，正确；D项，x＞0，f(x)=−(13)x+1在[0，+∞）上单调递增，偶函数的图象关于y轴对称，则在（﹣∞，0]上单调递减，错误．故选：AC．12．已知函数f（x）定义域为R，则（）A．若∀x∈R，f（x﹣1）＜f（x），则f（x）在R上单调递增B．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是偶函数C．若∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤|cos x1﹣cos x2|，则f（x）是周期函数D．若∀x1，x2∈（0，π），x1≠x2，|f（x1）﹣f（x2）|＜|cos x1﹣cos x2|，则函数y＝f（x）+cos x在（0，π）上单调递减解：根据题意，依次分析选项：对于A，设f（x）＝sin（2πx）+x，满足f（x﹣1）＜f（x），但f（x）在R上不是增函数，A错误；对于B，当x1＝﹣x2＝m时，有|f（m）﹣f（﹣m）|≤|cos m﹣cos（﹣m）|＝0，必有f（m）＝f（﹣m），故f（x）为偶函数，B正确；对于C，当x1＝x2+2π时，有|f（x2+2π）﹣f（x2）|＝|cos（x2+2π）﹣cos x2|＝0，必有f（x2+2π）＝f（x2），故f（x）是周期为2π的周期函数；对于D，∀x1，x2∈（0，π），x1≠x2，设x1＜x2，则cos x1＞cos x2，则有|f（x1）﹣f（x2）|＜cos x1﹣cos x2，即cos x2﹣cos x1＜f（x1）﹣f（x2）＜cos x1﹣cos x2，对于cos x2﹣cos x1＜f（x1）﹣f（x2），变形可得f（x1）+cos x1＞f（x2）+cos x2，故函数y＝f（x）+cos x在（0，π）上单调递减，D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，2）．解：因为y＝a x恒过定点（0，1），而y＝a x+1是由y＝a x沿y轴向上平移1个单位得到的，所以其图象过定点（0，2）．故答案为（0，2）14．写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式f（x）＝lgx；（答案不唯一）．①f（x）的定义域为（0，+∞）；②f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）；③当x＞1时，f（x）＞0．解：当f（x）＝lgx时，对于①：因为x＞0，所以f（x）的定义域为（0，+∞），满足①；对于②：对∀x1，x2∈（0，+∞），有f（x1x2）＝lgx1x2＝lgx1+lgx2＝f（x1）+f（x2），满足②；对于③：当x∈（1，+∞）时，由函数f（x）＝lgx在x∈（0，+∞）上单调递增，可得lgx＞lg1＝0，即f（x）＞0成立．满足③．故答案为：lgx（答案不唯一）．15．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝1，在平面内△ABC绕点B逆时针旋转到△A'BC'，使C，B，A'在同一直线上，则图中阴影部分的面积为3π8．解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=π2，AC＝1，∴∠ABC＝∠C'BA'=π4，AB=√2，∴∠ABC'=π2，∴∠CBC′=π4+π2=3π4，∠A'BA=π4+π2=3π4，∴图中阴影部分的面积S＝S△ABC+S扇形BAA'﹣S扇形BCC'﹣S△A'BC'＝S扇形BAA'﹣S扇形BCC'=12×3π4×AB2−1 2×3π4×BC2=3π8×2−3π8=3π8．故答案为：3π8．16．设函数f(x)=sinx+√3，若f（x1）f（x2）＝2[f（x1）﹣f（x2）﹣1]，则|x1﹣x2|的最小值为π．解：因为f（x1）f（x2）＝2[f（x1）﹣f（x2）﹣1]，所以[f（x1）+2][f（x2）﹣2]＝﹣6，又因为f(x)=sinx+√3且﹣1≤sin x≤1，所以√3−1≤f（x）≤√3+1，所以√3+1≤f（x1）+2≤√3+3，√3−3≤f（x2）﹣2≤√3−1，显然f（x1）+2＞0，f（x2）﹣2＜0，所以[f（x1）+2][f（x2）﹣2]∈[（√3−3）（√3+3），（√3−1）（√3+1）]，即f（x1）f（x2）∈[﹣6，2]，当且仅当f（x1）+2=√3+3，f（x2）﹣2=√3−3时，[f（x1）+2][f（x2）﹣2]＝﹣6成立，所以sin x1＝1，sin x2＝﹣1，所以x1＝2k1π+π2，k1∈Z，x2＝2k2π−π2，k2∈Z，所以|x1﹣x2|＝|2（k1﹣k2）π+π|，k1∈Z，k2∈Z，当且仅当k1﹣k2＝1或k1＝k2时（k1∈Z，k2∈Z），|x1﹣x2|有最小值，且|x1﹣x2|min＝π，故答案为：π．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{1，2，3}．（1）写出A∩B的所有子集；（2）若关于x的不等式x2+bx+c＜0的解集为C，A∪C＝[﹣1，3），A∩C＝（1，2]，求b+c的值．解：（1）因为x2﹣x﹣2≤0，所以（x+1）（x﹣2）≤0，解得﹣1≤x≤2，所以A＝[﹣1，2]，所以A∩B＝{1，2}．所以A ∩B 的所有子集为：∅，{1}，{2}，{1，2}； （2）因为A ∪C ＝（﹣1，3），A ∩C ＝（1，2]， 所以C ＝（1，3），由题意得1和3是方程x 2+bx +c ＝0的两根， 所以1+3＝﹣b ，1×3＝c ， 所以b +c ＝﹣1．18．（12分）如图，平面直角坐标系xOy 中，角α的终边OT 与单位圆交于点T(35，t)．（1）求sin α，tan α的值； （2）求sin(π−α)+sin(π2−α)cos(π2+α)的值．解：（1）角α的终边OT 与单位圆交于点T(35，t)，且由图象可得t =45，则由三角函数的定义知：cosα=35，sinα=45，tanα=43．（2）∵sin(π−α)=sinα=45，sin(π2−α)=cosα=35，cos(π2+α)=−sinα=−45，∴sin(π−α)+sin(π2−α)cos(π2+α)=45+35−45=−74．19．（12分）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为2，f （x ）的一个零点是16．（1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[0，m ]（m ＞0）时，f （x ）的最小值为−12，求m 的取值范围．解：（1）由题知T =2πω=2，所以ω＝π． 又因为f(16)=sin(π6+φ)=0，所以{φ=kπ−π6，k ∈Z −π2＜φ＜π2，解得φ=−π6，所以f(x)=sin(πx −π6)．（2）因为f(x)=sin(πx −π6)，x ∈[0，m ]，令t =πx −π6∈[−π6，πm −π6]，因为y ＝sin t 在[−π6，πm −π6]上的最小值为−12，所以πm −π6≤7π6，解得m ≤43， 所以m 的取值范围是(0，43]．20．（12分）如图，正方形ABCD 的边长为a （a ＞1），点W ，E ，F ，M 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，EM ∥AB ，WF ∥BC ，EM 与WF 交于点N ，EF ＝1，记∠FEC =x(0＜x ＜π2)．（1）记四边形ECFN 的面积为x 的函数f （x ），周长为x 的函数g （x ）， （i ）证明：g 2(x)4−1=2f(x)；（ii ）求g （x ）的最大值；（2）求四边形AMNW 面积的最小值．解：（1）（i ）由题知：f （x ）＝sin x cos x ，g （x ）＝2（sin x +cos x ）， 所以g 2(x)4−1=(sinx +cosx)2−1=sin 2x +cos 2x +2sinxcosx −1=2sin x cos x ＝2f （x ）．（ii ）由（sin x +cos x ）2﹣1＝2sin x cos x ≤sin 2x +cos 2x ＝1，当且仅当sin x ＝cos x 时，即x =π4时取等号，所以sin x +cos x ≤√2，即g （x ）的最大值为2√2；（2）因为S AMNW ＝BE •DF ＝（a ﹣cos x ）（a ﹣sin x ）＝a 2﹣a （sin x +cos x ）+sin x cos x ， 令t ＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），因为0＜x ＜π4，所以π4＜x +π4＜π2，所以√22＜sin(x +π4)＜1，所以t =sinx +cosx ∈(1，√2]， 所以sinxcosx =(sinx+cosx)2−12=t 2−12，令S AMNW=ℎ(t)=a 2−at +t 2−12=t 22−at +a 2−12，若1＜a ＜√2，则h （t ）在（1，a ）上单调递减，在(a ，√2)上单调递增， 所以ℎ(t)≥ℎ(a)=a 2−12． 若a ≥√2，则h （t ）在(1，√2]上单调递减，所以ℎ(t)≥ℎ(√2)=a 2−√2a +12，综上，当1＜a ＜√2时，四边形AMNW 面积最小值为a 2−12；当a ≥√2时，四边形AMNW 面积最小值为a 2−√2a +12．21．（12分）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tmL 药品，从注射时间起血药浓度y （单位：μg /mL ）与药品在体内时间x （单位：小时）的关系如下：y ={(168−x −2)t ，0≤x ≤6，(9−x 2)t ，6＜x ≤18．当血药浓度不低于2μg /mL 时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过2mL ． （1）若注射1mL 药品，求药品的有效治疗时间；（2）若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1mL 药品，12小时之后又注射amL 药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，求a 的最小值．解：（1）注射1ml 该药品，其浓度为y ={168−x −2，0≤x ≤69−x2，6＜x ≤18， 当0≤x ≤6时，由2≤168−x−2可得，4≤x ≤6， 当6＜x ≤18时，由2≤9−x2可得，6＜x ≤14，所以一次注射1ml 该药品，则药物有效时间可达14﹣4＝10小时； （2）设从第一次注射起，经x （12≤x ≤18）小时后，其浓度g(x)=9−x 2+a[168−(x−12)−2]=20−x 2+16a20−x−2a −1，因为20﹣x ∈[2，8]，a ＞0， 当a ∈[18，2]时，因为20−x 2+16a 20−x−2a −1≥2√(20−x)2⋅16a (20−x)−2a −1=4√2a −2a −1，当20−x 2=16a 20−x时，即x =20−4√2a ∈[12，18]时，等号成立，所以{4√2a−2a−1≥218≤a≤2，解得0.5≤a≤2，当a=18时，g(x)=20−x2+220−x−54，g(18)=34＜2，所以a∈(0，18)不能保证持续有效，综上所述，a的取值范围为[0.5，2]，即要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，a的最小值为0.5．22．（12分）已知函数f(x)=alnx−x+1x−1，a＞0．（1）写出f（x）的单调区间，并用单调性的定义证明；（2）若f（e）＝0，解关于x的不等式f（x）＞0；（3）证明：f（x）恰有两个零点m，n（m＜n），且m+n＞2．解：（1）由f(x)=alnx−x+1x−1可知，f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．∵f(x)=alnx−x+1x−1=alnx−x−1+2x−1=alnx−2x−1−1，∴f（x）在（0，1）上和（1，+∞）上单调递增．对∀x1，x2∈（0，1），x1＜x2，∵f(x1)−f(x2)=a(lnx1−lnx2)+(2x2−1−2x1−1)=a(lnx1−lnx2)+2(x1−x2)(x2−1)(x1−1)．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在（0，1）上单调递增，同理对∀x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增．（2）由（1）知，f（x）在（0，1）上和（1，+∞）上单调递增，又∵f(1e)=aln1e−1e+11e−1=−alne−e+1e1−ee=−(alne−e+1e−1)=−f(e)=0．∴不等式的解集为(1e，1)∪(e，+∞)．（3）由（1）知，f（x）在（0，1）上和（1，+∞）上单调递增，又∵f(e 1a)=−2e1a−1＜0，且e1a∈(1，+∞)，取p满足{p＞e2ap＞3，则f(p)=alnp−1−2p−1＞aln(e2a)−1−23−1=0，∴f（x）在（1，+∞）上有唯一零点n，又∵f(e−1a)=21−e−1a−2＞0，且e−1a∈(0，1)，取q满足{q＜e−2aq＜13，则f(q)=alnq−1+21−q＜aln(e−2a)−1+21−13=0，∴f（x）在（0，1）上有唯一零点m．∵f（m）＝0，又f(1m)=aln1m−1m+11m−1=−(alnm−m+1m−1)=−f(m)=0，f（x）在（1，+∞）上单调递增，且1m，n∈（1，+∞）．∴1m=n，∴mn＝1，∴m+n＞2√mn=2．。
2023-2024学年山东省临沂市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项1．设集合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{x∈R|1﹣x≥0}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{x|﹣2≤x≤1}C．{1，2}D．{x|0≤x≤1}2．命题“∀x∈R，3x﹣x≥0”的否定是（）A．“∀x∈R，3x﹣x≤0”B．“∀x∈R，3x﹣x＜0”C．“∃x∈R，3x﹣x≤0”D．“∃x∈R，3x﹣x＜0”3．函数D(x)={1，x∈Q0，x∈∁R Q被称为狄利克雷函数，则D(D(√2))=（）A．2B．√2C．1D．04．已知函数f（x）＝（m﹣2）x m为幂函数，若函数g（x）＝lgx+x﹣m，则g（x）的零点所在区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．函数y=6xx2+1的图象大致为（）A．B．C．D．6．“a≥2”是“函数f（x）＝ln（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流．如图，该折扇扇面画的外弧长为51，内弧长为21，且该扇面所在扇形的圆心角约为135°，则该扇面画的面积约为（）（π≈3）A．960B．480C．320D．2408．已知89＜710，设a ＝log 87，b ＝log 98，c ＝0.9，则（ ） A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目 9．已知函数f(x)=tan(x +π3)，则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为πB ．f （x ）的定义域为{x|x ≠π6+kπ，k ∈Z}C ．f （x ）是增函数D ．f(π4)＜f(π3)10．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |x ≤﹣2或x ≥1}，则（ ） A ．b ＞0且c ＜0B ．4a +2b +c ＝0C ．不等式bx +c ＞0的解集为{x |x ＞2}D ．不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集为{x|−1＜x ＜12}11．若正实数a ，b 满足a +2b ＝2，则（ ） A ．1a +2b有最小值9B ．ab 有最大值12C ．2a +4b 的最小值是4D ．a 2+b 2的最小值是2512．已知函数f （x ），假如存在实数λ，使得f （x +λ）+λf （x ）＝0对任意的实数x 恒成立，称f （x ）满足性质R （λ），则下列说法正确的是（ ）A ．若f （x ）满足性质R （2），且f （0）＝2，则f （2）＝﹣4B ．若f （x ）＝sin πx ，则f （x ）不满足性质R （λ）C ．若f （x ）＝a x （a ＞1）满足性质R （λ），则λ＜0D ．若f （x ）满足性质R(−12)，且x ∈[0，12)时，f(x)=11−2x ，则当x ∈[32，2)时，f(x)=42−x三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年山东省济南高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年山东省济南高一上册期末数学试题一、单选题1．设集合{|1}A x x =≥，{}2|20B x x x =--<，则A B ⋃=（）A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x ≥C ．{|11}x x -<<D ．{|12}x x ≤<【正确答案】A【分析】解出集合{}|12=-<<B x x ，根据并集的运算法则求得结果.【详解】由220x x --<，得(2)(1)0x x -+<，得12x -<<即{}|12=-<<B x x ，则A B ⋃={|1}x x >-故选：A.2．已知p ：02x <<，那么p 的一个充分不必要条件是（）A ．13x <<B ．11x -<<C ．01x <<D ．03x <<【正确答案】C【分析】利用集合的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】对于A ，(1,3)(0,2)⊄，且(0,2)(1,3)⊄，即13x <<是p 的不充分不必要条件，A 不是；对于B ，(1,1)(0,2)-⊄，且(0,2)(1,1)⊄-，即11x -<<是p 的不充分不必要条件，B 不是；对于C ，(0,1)(0,2)，即01x <<是p 的一个充分不必要条件，C 是；对于D ，(0,2)(0,3)，即03x <<是p 的必要不充分条件，D 不是.故选：C3．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a【正确答案】B【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4．函数3()6x f x x =+的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】由题可得函数定义域，函数()f x 的奇偶性及其在0x >时的函数值符号，结合排除法即得.【详解】对任意的x ∈R ，660x +≥>，故函数3()6x f x x =+的定义域为R ，故A 错误；又当0x >时，()0f x >，故B 错误；因为33()()()66x x f x f x x x ---===--++，所以()f x 为奇函数，故C 错误.故选：D.5．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩,所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.6．已知π3cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．45±B ．45C ．45-D ．35【正确答案】D 【分析】根据πππ626αα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭及诱导公式即可求解.【详解】∵π3cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴ππππ3sin cos cos 62635ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选:D ．7．已知函数()1e e 3x xf x x-=-++，若()2f m =，则()f m -=（）A ．2-B ．4-C ．2D ．4【正确答案】D【分析】令()()3g x f x =-，由奇偶性定义可知()g x 为奇函数，由()()0g m g m +-=可构造方程求得结果.【详解】令()()13e e x xg x f x x -=-=-+，则()()1e e x xg x g x x--=--=-，()g x ∴为定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，()()0g m g m ∴+-=，即()()330f m f m --+-=，()()64f m f m ∴-=-=.故选：D.8．定义在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数3cos y x =与8tan y x =的图象交点为00(,)P x y ，则0sin x 的值为（）A ．13BC ．23D．3【正确答案】A【分析】将P 点坐标代入两个函数的解析式，结合同角三角函数的基本关系式求得0sin x .【详解】依题意0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0000008sin 3cos ,8tan cos x y x y x x ===，所以008sin 3cos cos x x x =，2003cos 8sin x x =，()20031sin 8sin x x -=，2003sin 8sin 30x x +-=，()()00sin 33sin 10x x +-=，其中0sin 30x +>，所以0013sin 10,sin 3x x -==.故选：A二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．若22ac bc >，则a b>B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-C ．若0b a >>，0c >，则b c ba c a+>+D ．若0a b >>，则11a b b a+>+【正确答案】AD【分析】通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可.【详解】对于A ，∵22ac bc >，∴0c ≠，∴20c >，∴210c>，∴222211ac bc c c ⨯>⨯，∴a b >，故选项A 正确；对于B ，当2a =，1b =，0c =，2d =-时，有a b >，c d >，但此时2a c -=，3b d -=，a c b d -<-，故选项B 错误；对于C ，当1a =，2b =，1c =时，有0b a >>，0c >，但此时32b c a c +=+，2b a =，b c ba c a+<+，故选项C 错误；对于D ，∵0a b >>，∴0ab >，∴10ab>，∴11a b ab ab ⨯>⨯，∴11b a>，由不等式的同向可加性，由a b >和11b a >可得11a b b a+>+，故选项D 正确.故选：AD.10．已知函数()1f x x =-，()2g x x =．记{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，则下列关于函数()()(){}()max ,0F x f x g x x =≠的说法正确的是（）A ．当()0,2x ∈时，()2F x x=B ．函数()F x 的最小值为2-C ．函数()F x 在()1,0-上单调递减D ．若关于x 的方程()F x m =恰有两个不相等的实数根，则21m -<<-或1m >【正确答案】ABD【分析】得到函数()1,1022,102x x x F x x x x --≤<≥⎧⎪=⎨<-<<⎪⎩或或，作出其图象逐项判断.【详解】由题意得：()1,1022,102x x x F x x x x --≤<≥⎧⎪=⎨<-<<⎪⎩或或，其图象如图所示：由图象知：当()0,2x ∈时，()2F x x=，故A 正确；函数()F x 的最小值为2-，故正确；函数()F x 在()1,0-上单调递增，故错误；方程()F x m =恰有两个不相等的实数根，则21m -<<-或1m >，故正确；故选：ABD11．已知函数π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，下列选项中正确的是（）A ．()f x 的最小值为2-B ．()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 的图象关于π8x =对称D ．()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上值域为21,3⎤⎦【正确答案】BD【分析】根据三角函数的最值、单调性、对称性、值域等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】当2ππ22π4x k -=-，Z k ∈，即ππ8x k =-，Z k ∈时，π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最小值，最小值为211-+=-，A 错误；当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2,444x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，则π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；当π8x =时，πππ()2sin 211884f ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，故C 错误；ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ3π24,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当ππ244x -=或3π4，即π4x =或π2时，π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最小值，最小值为2112+=，当ππ242x -=，即3π8x =时，π()2sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最大值，最大值为2113⨯+=，故值域为1,3⎤⎦，D 正确.故选：BD12．关于函数()|ln |2||f x x =-，下列描述正确的有（）A ．函数()f x 在区间(1,2)上单调递增B ．函数()y f x =的图象关于直线2x =对称C ．若12x x ≠，但()()12f x f x =，则122x x +=D ．函数()f x 有且仅有两个零点【正确答案】ABD【分析】根据函数图象变换，可得图像，利用图象注意检测选项，可得答案.【详解】由函数ln y x =，x 轴下方图象翻折到上方可得函数ln y x =的图象，将y 轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数ln ln y x x ==-的图象，将函数图象向右平移2个单位，可得函数()ln 2ln 2y x x =--=-的图象，则函数()|ln |2||f x x =-的图象如图所示.由图可得函数()f x 在区间(1,2)上单调递增，A 正确；函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，B 正确；若12x x ≠，但()()12f x f x =，若1x ，2x 关于直线2x =对称，则124x x +=，C 错误；函数()f x 有且仅有两个零点，D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知正实数x ，y 满足111x y+=，则4x y +最小值为______．【正确答案】9【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.【详解】 正数x ，y 满足：111x y+=，∴()114445529y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即2x y =，233x y ==，时“=”成立，故答案为.914．已知tan 2α=，则22sin cos cos ααα-=______．【正确答案】35##0.6【分析】根据同角三角函数之间的基本关系，以及“1”的妙用即可将22sin cos cos ααα-转化为tan α的形式，代入即可求得结果.【详解】由题意知，222222sin cos cos 2sin cos cos 2sin cos cos 1sin cos ααααααααααα---==+又因为sin tan cos ααα=，将上式分子分母同时除以2cos α得222tan 12sin cos cos tan 1ααααα--=+代入tan 2α=即可得，2222tan 122132sin cos cos tan 1215ααααα-⨯--===++故3515．若函数()()()12log ,02,0xx x f x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()2f f =⎡⎤⎣⎦______．【正确答案】12##0.5【分析】首先计算()21f =-，从而得到()()21f f f =-⎡⎤⎣⎦，即可得到答案.【详解】因为()122log 21f ==-，所以()()112122f f f -=-==⎡⎤⎣⎦.故1216．如果定义在R 上的函数()f x ，对任意12x x ≠都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数为“H 函数”，给出下列函数，其中是“H 函数”的有_____________（填序号）①()31f x x =+②11()2x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭③2()1f x x =+④21,1()45,1x f x xx x x ⎧-<-⎪=⎨⎪++≥-⎩【正确答案】①④．【分析】不等式11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+等价为1212()[()()]0x x f x f x -->，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．【详解】 对于任意的不等实数1x ，2x ，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+恒成立，∴不等式等价为1212()[()()]0x x f x f x -->恒成立，即函数()f x 是定义在R 上的增函数；①()f x 在R 上单调递增，符合题意；②()f x 在R 上单调递减，不合题意；③()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，不合题意；④()f x 在R 上单调递增，符合题意；故①④．四、解答题17．设{},56,{|6U R A x x B x x ==-<≤=≤-或2}x >，求：（1）A B ⋂；（2）()()U U A B 痧【正确答案】（1）{}26x x <≤；（2）{|2x x ≤或6}x >.【分析】（1）根据集合交集的概念及运算，即可求解；（2）根据补集的运算，求得,U U A B 痧，再结合集合并集的运算，即可求解.【详解】（1）由题意，集合{}56,{|6A x x B x x =-<≤=≤-或2}x >，根据集合交集的概念及运算，可得{}26A B x x ⋂=<≤.（2）由{},56,{|6U R A x x B x x ==-<≤=≤-或2}x >，可得{|5U A x =≤ð或6}x >，{|62}U B x x =-<≤ð，所以()()U U A B 痧{|2x x =≤或6}x >.18．已知4cos 5α=-，且α为第三象限角.(1)求sin α的值；(2)求()()tan()sin()sin 2cos f ππαπαααπα⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭=+的值.【正确答案】(1)35-(2)920-【分析】（1）根据同角三角函数关系平方和公式求解即可；（2）由题知3tan 4α=，再根据诱导公式化简计算即可.【详解】（1）解：因为4cos 5α=-，且α为第三象限角，所以3sin 5α==-，（2）解：由（1）知sin 3tan cos 4ααα==，()()tan()sin()sin 2cos f ππαπαααπα⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭=+tan sin cos tan 33sin cos 94520αααααα-⋅⋅===⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭-.19．已知函数()π2sin 2,R4f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭(1)求()f x 的最大值及对应的x 的集合；(2)求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；【正确答案】(1)()max 2f x =，此时x 的集合为3π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭(2)3π7π0,,,π88⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【分析】（1）根据正弦函数的最值结合整体思想即可得解；（2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得出答案.【详解】（1）解：当ππ2242π+x k -=，即3ππ,Z 8x k k =+∈时，()max 2f x =，所以()max 2f x =，此时x 的集合为3π|π,Z 8x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）令πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤-≤+∈，则π3πππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈，又因[]0,πx ∈，所以()f x 在[]0,π上的单调递增区间为3π7π0,,,π88⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.20．已知函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.(1)求实数k 的值；(2)解关于m 的不等式()()211f m f m +>-.【正确答案】(1)1-(2)()(),20,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；（2）判断0x ≥时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可.【详解】（1）函数的定义域为R ，函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数,()()f x f x ∴-=，即()()22log 41log 41x x kx kx -+-=++，()()22224142log 41log 41log log 4241x x x x x x kx x --+∴=+-+===-+，1k ∴=-；（2）()()222411log 41log log 222x x x x x f x x ⎛⎫+⎛⎫=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当0x ≥时，121,22x x xy ≥=+在[0,)+∞单调递增，()f x \在[)0,∞+上单调递增，又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，在(],0∞-上单调递减，()()211f m f m +>- ，211m m ∴+>-，解得2m <-或0m >，所以所求不等式的解集为()(),20,∞∞--⋃+。
2023-2024学年山东省东营市高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年山东省东营市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}2560,{10}A x x x B x x =-+≥=-<，则A B = （）A ．(,1)-∞B ．(2,1)--C ．(3,1)--D ．(3,)+∞【正确答案】A【分析】解不等式求得集合,A B ，由此求得A B ⋂.【详解】()()256230x x x x -+=--≥，解得2x ≤或3x ≥，所以(][),23,A =-∞⋃+∞，而(),1B =-∞，所以A B = (,1)-∞.故选：A2．十名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其中位数为a ，众数为b ，第一四分位数为c ，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．a b c <<B ．<<c a bC ．c b a <<D ．a c b<<【正确答案】B【分析】根据中位数、众数、分位数的定义求解.【详解】对生产件数由小到大排序可得：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，所以中位数151515,2a +==众数为b =17，100.25 2.5⨯=，所以第一四分位数为第三个数，即c =14，所以<<c a b ，故选:B.3．已知函数()f x 的定义域为R ，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】通过反例和奇函数的性质可直接得到结论.【详解】若()2f x x =，则()00f =，此时()f x 为偶函数，充分性不成立；若()f x 为奇函数，且其定义域为R ，则()00f =恒成立，必要性成立；∴函数()f x 的定义域为R ，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的必要不充分条件.故选：B.4．如图是函数()f x 的图象，则下列说法不正确的是（）A ．()02f =-B ．()f x 的定义域为[]3,2-C ．()f x 的值域为[]22-,D ．若()0f x =，则12x =或2【正确答案】C【分析】结合函数的图象和定义域，值域等性质进行判断即可．【详解】解：由图象知(0)2f =-正确，函数的定义域为[3-，2]正确，函数的最小值为3-，即函数的值域为[3-，2]，故C 错误，若()0f x =，则12x =或2，故D 正确故选：C ．5．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知lg20.3010,lg30.4771≈≈，设71249N =⨯，则N 所在的区间为（）A ．()131410,10B ．()141510,10C ．()151610,10D ．()161710,10【正确答案】C【分析】根据对数的运算性质，结合题中所给的数据进行判断即可.【详解】因为712712142449,lg lg4lg9lg2lg314lg224lg3 4.21411.450415N N =⨯=+=+=+≈+≈.6644，所以()15.664415161010,10N =∈.故选：C6．方程24x x +=的根所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【正确答案】B构造函数()24xf x x =+-，利用零点存在定理可得出结论.【详解】构造函数()24xf x x =+-，则函数()f x 为R 上的增函数，()110f =-< ，()220f =>，则()()120f f ⋅<，因此，方程24x x +=24x x +=的根所在的区间为()1,2.故选：B.7．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，且2是它的一个零点，则不等式(1)0f x ->的解集为（）A ．(1,3)-B ．(,3)(1,)-∞-+∞C ．(3,1)-D ．(,1)(3,)-∞-⋃+∞【正确答案】A【分析】根据函数的单调性和奇偶性解不等式.【详解】因为偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以()f x 在(],0-∞上单调递增，又因为2是它的一个零点，所以(2)0f =，所以(2)(2)0f f -==，所以当22x -<<时()0f x >，所以由(1)0f x ->可得212x -<-<解得13x -<<，故选:A.8．设()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，对任意的12,(0,)x x ∈+∞满足()()2112120x f x x f x x x->- 且(1)2f =，则不等式()2f x x >的解集为（）A ．(1,0)(1,)-⋃+∞B ．(1,0)(0,1)-C ．,1(),)1(-∞-⋃+∞D ．(,2)(2,)-∞-+∞ 【正确答案】A 【分析】设()()f x F x x=，判断出()F x 的奇偶性、单调性，由此求得不等式()2f x x >的解集.【详解】设()()f x F x x =，由于()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，所以()()()()f x f x F x F x x x--===-，所以()F x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数.任取120x x <<，120x x -<，则：()()()()()()1221121212120f x f x x f x x f x F x F x x x x x --=-=<，()()12F x F x <，所以()F x 在()0,∞+上递增，则()F x 在(),0∞-上递减.()(1)21f f ==-，()()()11211f F F ===-，对于不等式()2f x x >，当0x >时，有()2f x x >，即()()11F x F x >⇒>；当0x <时，由()2f x x<，即()()110F x F x <-⇒-<<，综上所述，不等式()2f x x >的解集为(1,0)(1,)-⋃+∞.故选：A二、多选题9．有一组样本数据123,,,,n x x x x ，由这组数据得到新样本数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ ，则下列结论正确的是（）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同【正确答案】CD【分析】根据一组数据的平均数、中位数、标准差和极差的定义求解.【详解】数据123,,,,n x x x x 的平均数为123nx x x x x n++++=，新数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ 的平均数为123123222222n n x x x x x x x x nx n n++++++++++++==++ ，故A 错误；若数据123,,,,n x x x x 的中位数为i x ，则新数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ 的中位数为2i x +，故B 错误；数据123,,,,n x x x x 的标准差为s =，新数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ 的标准差为1s s ==，故C 正确；若数据123,,,,n x x x x 中的最大数为,m x 最小数为n x ，则极差为m n x x -，则数据1232,2,2,,2n x x x x ++++ 的极差为22m n m n x x x x +--=-，故D 正确，故选：CD.10．若a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22lg lg a b >B ．22a b--<C ．11a b<D ．33a b >【正确答案】BD【分析】应用特殊值23a b =>=-，判断A 、C ，根据2x y =，3y x =的单调性判断B 、D.【详解】当23a b =>=-时，则()22239<-=，而lg 4lg9<，又1123>-，∴A ，C 不正确；∵2x y =，3y x =都是R 上单调递增函数，∴B ，D 是正确的.故选：BD.11．关于x 的方程221x k xx x x-=--的解集中只含有一个元素，则k 的值可能是（）A ．0B ．1-C ．1D ．3【正确答案】ABD【分析】由方程有意义可得0x ≠且1x ≠，并将方程化为220x x k +-=；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况：方程220x x k +-=有且仅有一个不为0和1的解、方程220x x k +-=有两个不等实根，其中一个根为0，另一根不为1、方程220x x k +-=有两个不等实根，其中一个根为1，另一根不为0；由此可解得k 所有可能的值.【详解】由已知方程得：210x x x -≠-≠⎧⎨⎩，解得：0x ≠且1x ≠；由221x k x x x x-=--得：220x x k +-=；若221x k x x x x-=--的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：①方程220x x k +-=有且仅有一个不为0和1的解，440k ∴∆=+=，解得：1k =-，此时220x x k +-=的解为1x =-，满足题意；②方程220x x k +-=有两个不等实根，其中一个根为0，另一根不为1；由0200k +⨯-=得：=0k ，220x x ∴+=，此时方程另一根为2x =-，满足题意；③方程220x x k +-=有两个不等实根，其中一个根为1，另一根不为0；由1210k +⨯-=得：=3k ，2230x x ∴+-=，此时方程另一根为3x =-，满足题意；综上所述：1k =-或0或3.故选：ABD.12．已知函数2()21xx f x =+，下列说法正确的是（）A ．若2()1f a >，则0a >B ．()f x 在R 上单调递增C ．当120x x +>时，()()121f x f x +>D ．函数()y f x =的图像关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称【正确答案】ABC【分析】根据指数不等式、函数单调性、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()21f a >，即221,2221,21,021aa a a aa ⨯>⨯>+>>+，A 选项正确.B 选项，1221()12111212x x x x xf x ==+=-+++-，由于121x y =+在R 上递减，所以()f x 在R 上递增，B 选项正确.C 选项，当120x x +>时，12x x >-，所以()()12f x f x >-，即12122221212112x x x x x -->=+++，所以()()1221222122221212121211x x x x x x x f x f x +=>++=++++，C 选项正确.D 选项，()()112212122x x xf x f x ---==≠-++，D 选项错误.故选：ABC三、填空题13．已知幂函数()f x x α=的图像经过点(8,2)，则1()f x -=_________．【正确答案】3x 【分析】根据幂函数的的知识求得α，然后根据反函数的知识求得正确答案.【详解】依题意，幂函数()f x x α=的图像经过点(8,2)，所以182,3αα==，所以()13f x x =，令13y x =，解得3x y =，交换,x y 得3y x =，所以13()f x x -=故3x 14．设两个相互独立事件A 与B ，若事件A 发生的概率为p ，B 发生的概率为1p -，则A 与B 同时发生的概率的最大值为______.【正确答案】14##0.25【分析】求出相互独立事件同时发生的概率，利用二次函数求最值.【详解】因为事件A 与B 同时发生的概率为()[]()221110,124p p p p p p ⎛⎫-=-=--+∈ ⎪⎝⎭，所以当12p =时，最大值为14.故1415．已知函数(),y f x x =∈R ，且(1)(2)()(0)3,2,2,,2,N (0)(1)(1)f f f n f n f f f n *===∈- ，写出函数()y f x =的一个解析式：________．【正确答案】()32xf x =⨯【分析】利用累乘的方法可求解函数解析式.【详解】因为(1)(2)()(0)3,2,2,,2,N (0)(1)(1)f f f n f n f f f n *===∈- ，所以(1)(2)()(0)32(0)(1)(1)n f f f n f f f f n ⨯⨯⨯=⨯- ，即()32n f n =⨯，所以函数()y f x =的一个解析式为()32x f x =⨯，故答案为:()32x f x =⨯.16．已知函数2()|2|4f x x x a a a =-+-，若函数()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则123111x x x ++的取值范围是_________．【正确答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】将()f x 表示为分段函数的形式，对a 进行分类讨论，求得12123,,x x x x x +，由此求得123111x x x ++的取值范围.【详解】()222224,224,2x ax a a x af x x ax a a x a ⎧-+-≥=⎨-++-<⎩，当0a >时，方程有3个不相等的实数根，()f x 在()2,a +∞上递增，所以2x a ≥时，22240x ax a a -+-=有1个根，且2x a <时，22240x ax a a -++-=有2个根，所以()222444040a a a a a ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩，解得24a <<.由于123x x x <<，则2121232,4,2x x a x x a a x a +==-+=+，所以122123123111124x x a x x x x x x a a +++=+=+-+()24a a a =+-()()244a a a a a a -=-==--()()221111=----，)2111,311<<-<<，)22110-<-<，()2111<-()212214211+-<=-.当a<0时，当2x a >时，方程22240x ax a a -+-=的判别式()22444160a a a a ∆=--=<，所以此时不符合题意.当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭.故12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭研究含有绝对值的函数的零点，关键点在于去绝对值，将所研究的函数表示为分段函数的形式，由此再对参数进行分类讨论，结合零点个数来求得参数的取值范围.在分类讨论时，要注意做到不重不漏.四、解答题17．求解下列问题：(1)2433641)27--⎛⎫-++ ⎪⎝⎭；(2)2log 3491lg2log 27log 8100-+-⋅．【正确答案】(1)2916(2)74-【分析】（1）根据根式、指数运算求得正确答案.（2）根据对数运算求得正确答案.【详解】（1）2433641)27--⎛⎫++ ⎪⎝⎭24333324123--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦224123--⎛⎫=++ ⎪⎝⎭9129116416=++=.（2）2log 3491lg2log 27log 8100--⋅221233223lg10ln e 3log 3log 2-=-+-⋅2313323log 3log 2222=--+-⋅192324=--+-74=-.18．甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试，将样本数据分成［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］五组，并整理得到如下频率分布直方图：已知甲测试成绩的中位数为75.（1）求x ，y 的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）；（2）从甲、乙两人测试成绩不足60分的试卷中随机抽取3份，求恰有2份来自乙的概率.【正确答案】（1）0.025x =；0.02y =；甲的平均分为74.5，乙的平均分为73.5；（2）35.（1）根据甲测试成绩的中位数为75，由0.0110100.04(7570)0.5y ⨯+⨯+⨯-=，求得y ,再利用各矩形的面积的和为1，求得x ,然后利用平均数公式求解.（2）易得甲测试成绩不足60分的试卷数2，乙测试成绩不足60分的试卷数3，先得到从中抽3份的基本事件数，再找出恰有2份来自乙的基本事件数，代入古典概型公式求解.【详解】（1）∵甲测试成绩的中位数为75，∴0.0110100.04(7570)0.5y ⨯+⨯+⨯-=，解得0.02y =.∴0.0110100.0410100.005101y x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.025x =.同学甲的平均分为550.0110650.0210750.0410850.02510950.0051074.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.同学乙的平均分为550.01510650.02510750.0310850.0210950.011073.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（2）甲测试成绩不足60分的试卷数为200.01102⨯⨯=，设为A ，B .乙测试成绩不足60分的试卷数为200.015103⨯⨯=，设为a ，b ，c .从中抽3份的情况有(),,A B a ，(),,A B b ，(),,A B c ，(),,A a b ，(),,A a c ，(),,A b c ，(),,B a b ，(),,B a c ，(),,B b c ，(),,a b c ，共10种情况.满足条件的有(),,A a b ，(),,A a c ，(),,A b c ，(),,B a b ，(),,B a c ，(),,B b c ，共6种情况，故恰有2份来自乙的概率为63105=.19．已知关于x 的不等式2540bx x -+>的解集为{|1x x <或}x a >（1a >）.(1)求a ，b 的值；(2)当0x >，0y >，且满足1a b x y+=时，有226x y k k +>--恒成立，求k 的取值范围.【正确答案】(1)41a b =⎧⎨=⎩(2)(3,5)-【分析】（1）根据一元二次不等式的解法可得1和a 是方程2540bx x -+=的两个实数根且0b >，从而利用韦达定理建立方程组即可求解；（2）由均值不等式中“1”的灵活运用可得min ()9x y +=，从而解一元二次不等式22150k k --<即可得答案.【详解】（1）解：因为不等式2540bx x -+>的解集为{|1x x <或}x a >（1a >），所以1和a 是方程2540bx x -+=的两个实数根且0b >，所以5141a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得41a b =⎧⎨=⎩；（2）解：由（1）知411x y+=，且0x >，0y >，所以414()559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即63x y =⎧⎨=⎩时等号成立，依题意有2min ()26x y k k +>--，即2926k k >--，所以22150k k --<，解得35k -<<，所以k 的取值范围为(3,5)-.20．甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响.（1）求乙获胜的概率；（2）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.【正确答案】（1）1327；（2）427.【分析】（1）根据规则乙先投进，分情况讨论，求各个情况下概率和即可；（2）根据规则第四次乙先进球或第五次甲先进球，符合题意，求概率和即可.【详解】（1）记“乙获胜”为事件C ，记甲第i 次投篮投进为事件i A ，乙第i 次投篮投进为事件iB 由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知()()()()111122112233P C P A B P A B A B P A B A B A B =+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅()()()()()()()()()()()()111122112233P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B =++⋅22332121211332323227⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知()()()112211223P D P A B A B P A B A B A =⋅⋅+⋅⋅⋅()()()()()()()()()112211223P A P B P A P B P A P B P A P B P A =+⋅22222121143232327⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：50,020,60,20120.140x v k x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩研究表明，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．(1)若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；(2)隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅．求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时）及隧道内车流量达到最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．2.646=）【正确答案】(1)（1）车流速度v 不小于40千米/小时，车流密度x 的取值范围为(0，80]；(2)（2）隧道内车流量的最大值为3250辆/小时，车流量最大时的车流密度87辆/千米．【分析】（1）由120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时）求得k ，可得v 关于x 的关系式，再由40v 求解x 的范围得结论；（2）结合（1）写出隧道内的车流量y 关于x 的函数，再由函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最值，则答案可求．【详解】（1）解：由题意，当120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时），代入60140k v x=--，得060140120k =--，解得1200k =．∴50,020120060,20120140x v x x <⎧⎪=⎨-<⎪-⎩，当020x <时，5040v =，符合题意；当20120x <时，令12006040140x--，解得80x ，2080x ∴<．综上，080x <．故车流速度v 不小于40千米/小时，车流密度x 的取值范围为(0，80]；（2）由题意得，50,020120060,20120140x x y x x x x <⎧⎪=⎨-<⎪-⎩，当020x <时，50y x =为增函数，20501000y ∴⨯=，等号当且仅当20x =时成立；当20120x <时，12002020(140)28006060()60[140140140x x x y x x x x x x--=-=-=+---2800280060(2060[160(140)140140x x x x=+-=-----60(16060(1603250-=-≈．当且仅当2800140140x x-=-，即14087(20x =-≈∈，120]时成立，综上，y 的最大值约为3250，此时x 约为87．故隧道内车流量的最大值为3250辆/小时，车流量最大时的车流密度87辆/千米．22．函数()()lg 93x x f x a =+-．(1)若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)当0a ≤时，若()f x 的值域为R ，求实数a 的值；(3)在（2）条件下，()g x 为定义域为R 的奇函数，且0x >时，()()109f x x g x =-，对任意的R t ∈，解关于x 的不等式()32()2|()|g x g x tx t g x +-≥．【正确答案】(1)0a ≤；(2)0a =；(3)答案详见解析.【分析】（1）由930x x a +->恒成立分离常数a ，结合指数函数、二次函数的性质求得正确答案；（2）令()93x x h x a =+-，结合()h x 的值域包含()0,∞+列不等式，由此求得正确答案；（3）先求得()g x 的解析式，由此化简不等式()32()2|()|g x g x tx t g x +-≥.对t 进行分类讨论，由此求得正确答案.【详解】（1）由题930x x a +->恒成立，则93x x a <+恒成立，由于1130,322x x >+>，所以211933024x x x ⎛⎫+=+-> ⎪⎝⎭，所以0a ≤；（2）令()93x x h x a =+-，则()h x 的值域包含()0,∞+，因为21193324x x x a a a ⎛⎫+-=+-->- ⎪⎝⎭，所以0a -≤，即0a ≥,又因为0a ≤，所以0a =；（3）当0x >时，()()1093f x x x g x =-=；若0x <，0x ->，()3x g x --=，又因为()g x 为定义域为R 的奇函数，所以当0x <时，()3xg x -=-，所以()3,00,03,0x x x g x x x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，()()3g x g x =()()20g x x ≠，不等式()()()322g x g x tx t g x +-≥等价于()()()2220g x tx t g x x +-≥≠，由于()3,00,03,0x x x g x x x -⎧>⎪==⎨⎪-<⎩在()(),00,∞-+∞U 上是单调递增函数，所以原不等式等价于()2220x tx t x x +-≥≠，即：()()()200x x t x -+≥≠，当2t <-时，解集为{|2x x ≤且0x ≠或}x t ≥-；当2t =-时，解集为{}0x x ≠；当20t -<≤时，解集为{|x x t ≤-且0x ≠或}2x ≥；当0t >时，解集为{|x x t ≤-或}2x ≥.根据函数的奇偶性求函数的解析式要注意的地方有：1.如果函数的定义域为R ，则对于奇函数来说，必有()00f =，偶函数则不一定；2.当0x >时，0x -<（或当0x <时，0x ->），需要代入对应范围的解析式，结合()()=f x f x -或()()f x f x =--来求得函数的解析式.。
2023-2024学年山东省聊城市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省聊城市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合M ＝{0，1，2，3}，N ＝{x |x ＜2}，则M ∩（∁R N ）＝（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（2，3）C ．{2，3}D ．{1，2，3}2．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ） A ．y ＝tan x B ．y ＝|tan x |C ．y ＝sin|x |D ．y =cos(x 2+π6)3．已知tan α＝﹣2，且0＜α＜π，则cos α﹣sin α的值为（ ） A ．−3√55B ．−2√55C ．−√55D ．√554．已知a ＝log 30.5，b ＝log 0.50.3，c =sin 17π4，则（ ） A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a5．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t （单位：s ）之间的关系可以表示为（ ）A ．d =4sin(π20t −π6)+2 B ．d =4sin(π20t +π6)+2C ．d =4sin(π10t −π6)+2 D ．d =4sin(π10t +π6)+2 6．函数f(x)=1−4x1+4x ln|x|的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若φ是三角形的一个内角，且函数y ＝2sin （3x +φ）在区间(−2π9，π12)上单调，则φ的取值范围为（ ）A ．[0，π6]B ．[π6，π4]C ．[π4，π2]D ．[2π3，5π6]8．已知函数f(x)={|x 2−3|，x ＜03x ，x ＞0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣m （m ∈R ）有三个零点a ，b ，c ，且a ＜b ＜c ，则c ab的最小值为（ ）A ．49B ．23C ．32D ．94二、选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9．以下说法正确的是（ ）A ．“∀x ∈R ，3x 2﹣2≥0”的否定是“∃x ∈R ，3x 2﹣2＜0”B ．“x ＞3”是“log 3（2x +1）＞2”的充分不必要条件C ．若一扇形弧长为3π2，圆心角为π2，则该扇形的面积为9π4D ．“∀x ∈R ，2ax 2+ax −38≤0”是真命题，则﹣3≤a ≤0 10．若实数a 、b 满足2a ＜2b ＜1，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ac 2＜bc 2B ．c 2+1a ＞c 2+1bC ．log 0.2(a 2+1)＜log 0.2(b 2+1)D ．a+b2≥√ab11．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．f(x)=2cos(2x +π3)B ．f （x ）在[π6，2π3]上单调递增C ．若x 1、x 2∈(π12，7π12)，x 1≠x 2且f （x 1）＝f （x 2），则f （x 1+x 2）＝1D ．把f （x ）的图象向右平移5π12个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）的图象，则g （x ）＝2sin x12．已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意a ，b ∈R ，都有f （a ）f （b ）＝f （a +b ），当x ＞0时，0＜f （x ）＜1，且f （0）≠0，则（ ） A ．∀x ∈R ，都有f(−x)=−1f(x)B ．当x ＜0时，f （x ）＞1C ．f （x ）是减函数D ．若f(3)=12，则不等式f(2t 2−5t)＞116的解集为(−32，4)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知幂函数y ＝f （x ）的图象通过点(3，√33)，则f （4）＝ ．14．若a ，b ＞0，且2ab ﹣8＝a +2b ，则a +2b 的最小值为 ．15．在△ABC 中，A =π3，AB 边上的高等于√33AB ，则tan ∠ACB ＝ ．16．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +2）为偶函数，且f （x ）在（﹣∞，2）上单调递减，若x ∈[12，3]，不等式f （ax ）＜f （x ﹣2）恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）函数y =log 12x(x ∈[116，2])的值域为A ，y =√1x+a−1(a ∈R)的定义域为B ． （1）求A ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．18．（12分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P （6，﹣8）．（1）求sin(π−α)+3cos(π+α)cos(3π2−α)+2sin(π2+α)的值； （2）已知β为锐角，sin(α+β)=−√210，求β．19．（12分）为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为脱贫乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示：为了描述建立平台年数x （x ∈N *）与该平台会员人数y （千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①y =ax+b(a ＞0)；②y ＝d log c x +e （d ＞0，c ＞1）；③y ＝ka x +m （k ＞0，a ＞1）． （1）根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式；（2）根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立t 年的会员人数将超过100.2万人，求t 的最小值．参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609．20．（12分）已知函数f(x)=13x−1−1+3 2．（1）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并根据定义证明你的判断；（2）函数y＝h（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是y＝h（x+a）﹣b为奇函数．依据上述结论，证明：f（x）的图象关于点（1，1）成中心对称图形．21．（12分）已知函数f(x)=4√3sinωx2cosωx2+4cos2ωx2+1(ω＞0)，A、B是f（x）的图象与直线y＝﹣1的两个相邻交点，且|AB|＝π．（1）求ω的值及函数f（x）在[0，π2]上的最小值；（2）若关于x的不等式f2（x）﹣（3m+2）f（x）﹣m﹣13≤0恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）若存在实数a、b使得φ（x）＝af（x）+bg（x），则称函数φ（x）为函数f（x），g（x）的“T （a，b）函数”．（1）若函数φ（x）＝e x为函数f（x）、g（x）的“T（1，2）函数”，其中f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，求函数f（x）、g（x）的解析式；（2）设函数f（x）＝ln（e x+1），g（x）＝x，是否存在实数a、b使得函数φ（x）为函数f（x）、g（x）的“T（a，b）函数”，且同时满足：①φ（x）是偶函数；②φ（x）的值域为[2ln2，+∞）．若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．注：e＝2.71828⋯为自然对数的底数．2023-2024学年山东省聊城市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|x＜2}，则M∩（∁R N）＝（）A．（﹣∞，2）B．（2，3）C．{2，3}D．{1，2，3}解：因为N＝{x|x＜2}，所以∁R N＝{x|x≥2}，又因为集合M＝{0，1，2，3}，故M∩（∁R N）＝{0，1，2，3}∩{x|x≥2}＝{2，3}．故选：C．2．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（）A．y＝tan x B．y＝|tan x|C．y＝sin|x|D．y=cos(x2+π6)解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝tan x，是正切函数，是奇函数，不满足题意，故A错误；对于B，若y＝f（x）＝|tan x|，其定义域为{x|x≠π2+kπ，k∈Z}，关于原点对称，且f（﹣x）＝|tan（﹣x）|＝|tan x|＝f（x），所以y＝f（x）＝|tan x|是偶函数，又f（x+π）＝|tan（x+π）|＝|tan x|＝f（x），所以y＝f（x）＝|tan x|是周期函数，故B正确；对于C，函数y＝sin|x|的图象如图：由此可知函数y＝sin|x|不是周期函数，故C错误；对于D，若y=f(x)=cos(x2+π6)，则f(2π3)=cos(π3+π6)=0≠f(−2π3)=cos(−π3+π6)=−√32，所以该函数不是偶函数，故D错误．故选：B．3．已知tanα＝﹣2，且0＜α＜π，则cosα﹣sinα的值为（）A．−3√55B．−2√55C．−√55D．√55解：因为tanα＝﹣2，且0＜α＜π，所以α∈(π2，π)，则{tanα=sinαcosα=−2sin2α+cos2α=1，解得sinα=2√55，cosα=−√55．则cosα−sinα=−√55−2√55=−3√55． 故选：A ．4．已知a ＝log 30.5，b ＝log 0.50.3，c =sin 17π4，则（ ） A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a解：因为a ＝log 30.5＜0，b ＝log 0.50.3＞1，c =sin 17π4=sin π4=√22，所以a ＜c ＜b ． 故选：D ．5．如图，一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，则d 与时间t （单位：s ）之间的关系可以表示为（ ）A ．d =4sin(π20t −π6)+2 B ．d =4sin(π20t +π6)+2C ．d =4sin(π10t −π6)+2 D ．d =4sin(π10t +π6)+2 解：设d =Asin(ωt +φ)+b(A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)，由题意可知，d max ＝A +b ＝6，d min ＝﹣A +b ＝﹣2，解得A ＝4，b ＝2，函数d =4sin(ωt +φ)+2(A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的最小正周期为T =601.5=40，则ω=2πT =2π40=π20， 当t ＝0时，d ＝4sin φ+2＝0，可得sinφ=−12，又因为−π2＜φ＜π2，则φ=−π6，故d =4sin(πt 20−π6)+2，故选：A ．6．函数f(x)=1−4x1+4x ln|x|的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．解：由函数f(x)=1−4x1+4x ln|x|，可知定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且定义域关于原点对称． 因为f(−x)=1−4−x1+4−x ln|−x|=4x−14x+1ln|x|=−f(x)， 所以函数f(x)=1−4x 1+4x ln|x|为奇函数，故排除选项B ； 因为f(1)=1−41+4ln|1|=0，故排除选项A ； 因为f(12)=1−21+2ln 12=13ln2＞0，故排除选项D ．故选：C ．7．若φ是三角形的一个内角，且函数y ＝2sin （3x +φ）在区间(−2π9，π12)上单调，则φ的取值范围为（ ） A ．[0，π6]B ．[π6，π4]C ．[π4，π2]D ．[2π3，5π6]解：当x ∈(−2π9，π12)时，3x +φ∈(−2π3+φ，π4+φ)， 由于φ是三角形的一个内角，所以0＜φ＜π， 则−2π3＜−2π3+φ＜π3，π4＜π4+φ＜5π4， 由于函数y ＝2sin （3x +φ）在区间(−2π9，π12)上单调， 所以{−π2≤−2π3+φπ4+φ≤π2，解得π6≤φ≤π4， 即φ的取值范围为[π6，π4]．故选：B ．8．已知函数f(x)={|x 2−3|，x ＜03x ，x ＞0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣m （m ∈R ）有三个零点a ，b ，c ，且a ＜b ＜c ，则c ab的最小值为（ ）A ．49B ．23C ．32D ．94解：画出f(x)={|x 2−3|，x ＜03x，x ＞0的图象和y ＝m 的图象，如下：由题意得a2﹣3＝3﹣b2＝m，3c=m，且m∈（0，3），即a=−√3+m，b=−√3−m，c=3m ，故cab=m√9−m2=22≥3m2+9−m22=23，当且仅当m2＝9﹣m2，即m=3√22时，等号成立，即cab的最小值为23．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．以下说法正确的是（）A．“∀x∈R，3x2﹣2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2﹣2＜0”B．“x＞3”是“log3（2x+1）＞2”的充分不必要条件C．若一扇形弧长为3π2，圆心角为π2，则该扇形的面积为9π4D．“∀x∈R，2ax2+ax−38≤0”是真命题，则﹣3≤a≤0解：对于A，“∀x∈R，3x2﹣2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2﹣2＜0”，故A正确；对于B，log3（2x+1）＞2即log3（2x+1）＞log39，解得x＞4，因为x＞4⇒x＞3所以“x＞3”是“log3（2x+1）＞2”的必要不充分条件，故B错误；对于C，扇形弧长为3π2，圆心角为π2，所以扇形的半径长为3π2π2=3，则该扇形面积为12×3×3π2=9π4，故C正确；对于D，因为“∀x∈R，2ax2+ax−38≤0”是真命题，即2ax2+ax−38≤0，对∀x∈R恒成立．当a＝0时，命题成立；当a≠0时，{a＜0Δ=a2+3a≤0，解得﹣3≤a＜0，综上可得，﹣3≤a≤0，故D正确．故选：ACD ．10．若实数a 、b 满足2a ＜2b ＜1，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ac 2＜bc 2B ．c 2+1a ＞c 2+1bC ．log 0.2(a 2+1)＜log 0.2(b 2+1)D ．a+b2≥√ab解：因为函数y ＝2x 为R 上的增函数，由2a ＜2b ＜1＝20，可得a ＜b ＜0， 对于A ，当c ＝0时，ac 2＜bc 2不成立，故A 不正确； 对于B ，因为a ＜b ＜0，所以c 2+1a−c 2+1b=(c 2+1)(b−a)ab＞0，故c 2+1a＞c 2+1b，B 正确；对于C ，因为a ＜b ＜0，则|a |＞|b |＞0，可得a 2＞b 2＞0，所以a 2+1＞b 2+1＞0，因为函数y ＝log 0.2x 为（0，+∞）上的减函数，所以log 0.2(a 2+1)＜log 0.2(b 2+1)，C 正确； 对于D 选项，由于a ＜b ＜0，所以a+b2＜0＜√ab ，故D 不正确．故选：BC ．11．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．f(x)=2cos(2x +π3)B ．f （x ）在[π6，2π3]上单调递增C ．若x 1、x 2∈(π12，7π12)，x 1≠x 2且f （x 1）＝f （x 2），则f （x 1+x 2）＝1D ．把f （x ）的图象向右平移5π12个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）的图象，则g （x ）＝2sin x 解：对于A 选项，由图可知，A ＝f （x ）max ＝2， 函数f （x ）的最小正周期T 满足3T 4=5π6−π12=3π4，可得T ＝π，则ω=2πT =2ππ=2， 则f （x ）＝2cos （2x +φ）， 又因为f(5π6)=2cos(5π3+φ)=2，可得cos(5π3+φ)=1， 因为0＜φ＜π，则5π3＜φ+5π3＜8π3，所以，φ+5π3=2π，可得φ=π3，所以，f(x)=2cos(2x+π3)，A对；对于B选项，当π6≤x≤2π3时，2π3≤2x+π3≤5π3，所以f（x）在[π6，2π3]上不单调，B错；对于C选项，当π12＜x＜7π12时，π2＜2x+π3＜3π2，由2x+π3=π可得x=π3，所以，函数f（x）在区间(π12，7π12)内的图象关于直线x=π3对称，若x1、x2∈(π12，7π12)，x1≠x2且f（x1）＝f（x2），则x1+x2=2π3，所以，f(x1+x2)=f(2π3)=2cos5π3=2cos(2π−π3)=2cosπ3=1，C对；对于D选项，把f（x）的图象向右平移5π12个单位长度，可得到函数y=2cos[2(x−5π12)+π3]=2cos(2x−π2)=2sin2x的图象，再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则g（x）＝2sin x，D对．故选：ACD．12．已知函数f（x）的定义域为R，对任意a，b∈R，都有f（a）f（b）＝f（a+b），当x＞0时，0＜f（x）＜1，且f（0）≠0，则（）A．∀x∈R，都有f(−x)=−1f(x)B．当x＜0时，f（x）＞1C．f（x）是减函数D．若f(3)=12，则不等式f(2t2−5t)＞116的解集为(−32，4)解：令a＝b＝0，则[f（0）]2＝f（0），又f（0）≠0，所以f（0）＝1．当x＜0时，﹣x＞0，所以0＜f（﹣x）＜1，又f（x）f（﹣x）＝f（x﹣x）＝f（0）＝1，所以f(x)=1f(−x)，即f（x）＞1．故A错误，B正确；设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2+x2）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）f（x2）﹣f（x2）＝f（x2）[f（x1﹣x2）﹣1]，又x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，所以f（x1﹣x2）＞1，又当x＜0时，f（x）＞1，当x＞0时，0＜f（x）＜1，f（0）＝1，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）在R上单调递减．C正确；因为f(3)=12，所以f(12)=f(6)f(6)=f(3)f(3)f(6)=[f(3)]4=116，所以f(2t 2−5t)＞116，即f （2t 2﹣5t ）＞f （12）， 又f （x ）在R 上单调递减，所以2t 2﹣5t ＜12，解得−32＜t ＜4，所以不等式f （2t 2﹣5t ）＞f （12）的解集为(−32，4)，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知幂函数y ＝f （x ）的图象通过点(3，√33)，则f （4）＝12． 解：设幂函数y ＝f （x ）的解析式为y ＝x α， ∵幂函数y ＝x α过点(3，√33)，∴√33=3α，∴α=−12，∴该函数的解析式为y =x −12，∴f(4)=4−12=2−1=12．故答案为：12．14．若a ，b ＞0，且2ab ﹣8＝a +2b ，则a +2b 的最小值为 8 ． 解：因为a ，b ＞0，且a +2b ≥2√2ab ，则2ab ≤(a+2b)24，又因为2ab ﹣8＝a +2b ，所以8+a +2b ≤(a+2b)24，令t ＝a +2b ＞0，则t +8≤t 24，即t 2﹣4t ﹣32≥0，解得t ≥8或t ≤﹣4（舍去），当且仅当a ＝2b ＝4时，等号成立，所以a +2b 的最小值为8． 故答案为：8．15．在△ABC 中，A =π3，AB 边上的高等于√33AB ，则tan ∠ACB ＝ 3√3 ．解：由题意设CD 为AB 边上的高，CD =√33AB =√33c ，又A =π3，所以AD =CD tanA =√33c tan π3=13c ＜AB =c ，所以垂足D 必定落在线段AB 上面，如图所示：BD =c −13c =23c ，tan ∠BCD =23c 33c=2√33， 又tan ∠ACD =tan(π2−π3)=tan π6=√33，所以tan ∠ACB =2√33+√331−2√33×√33=3√3．故答案为：3√3．16．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +2）为偶函数，且f （x ）在（﹣∞，2）上单调递减，若x ∈[12，3]，不等式f （ax ）＜f （x ﹣2）恒成立，则实数a 的取值范围为 (13，1) ．解：定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +2）为偶函数，所以f （x ）关于x ＝2对称， 因为f （x ）在（﹣∞，2）上单调递减，所以f （x ）在（2，+∞）上单调递增， 所以f （x ）越靠近对称轴x ＝2函数值越小， 所以由f （ax ）＜f （x ﹣2）得|ax ﹣2|＜|x ﹣2﹣2|， 由于x ∈[12，3]，所以x ﹣4＜ax ﹣2＜4﹣x ，可得1−2x ＜a ＜6x −1，即x ∈[12，3]时1−2x ＜a ＜6x −1恒成立，可得(1−2x )max ＜a ＜(6x−1)min ，由于y =1−2x 在x ∈[12，3]时单调递增，(1−2x )max =13，y =6x −1在x ∈[12，3]时单调递减，(6x−1)min =1， 所以13＜a ＜1．故答案为：(13，1)．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）函数y =log 12x(x ∈[116，2])的值域为A ，y =√1x+a−1(a ∈R)的定义域为B ． （1）求A ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 解：（1）因为y =log 12x 在[116，2]上单调递减， 所以，当x =116时y 有最大值，且最大值为log 12116=4， 当x ＝2时，y 有最小值，最小值为log 122=−1，所以A ＝{x |﹣1≤x ≤4}．（2）由1x+a −1≥0，得x+a−1x+a≤0，解得﹣a ＜x ≤﹣a +1，所以，B ＝{x |﹣a ＜x ≤﹣a +1}，因为B ⊆A ，所以{−a ≥−1−a +1≤4，解得﹣3≤a ≤1．故实数a 的取值范围[﹣3，1]．18．（12分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P （6，﹣8）．（1）求sin(π−α)+3cos(π+α)cos(3π2−α)+2sin(π2+α)的值； （2）已知β为锐角，sin(α+β)=−√210，求β．解：（1）因为角α的终边过点P （6，﹣8），所以|OP|=√62+(−8)2=10， 则sinα=−810=−45，cosα=610=35，tanα=−43． sin(π−α)+3cos(π+α)cos(3π2−α)+2sin(π2+α)=sinα−3cosα−sinα+2cosα=tanα−3−tanα+2=−43−343+2=−1310． （2）因为角α的终边过点P （6，﹣8），所以α为第四象限角，即2kπ−π2＜α＜2kπ(k ∈Z)，又因为β为锐角，则0＜β＜π2，可得2kπ−π2＜α+β＜2kπ+π2(k ∈Z)，因为sin （α+β）＜0，则2kπ−π2＜α+β＜2kπ(k ∈Z)，因为sin(α+β)=−√210，所以cos(α+β)=√1−sin 2(α+β)=√1−(−√210)2=7√210． 则sin β＝sin[（α+β）﹣α]＝sin （α+β）cos α﹣cos （α+β）sin α=−√210×35−7√210×(−45)=√22． 所以β=π4．19．（12分）为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为脱贫乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示：为了描述建立平台年数x （x ∈N *）与该平台会员人数y （千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①y =ax+b(a ＞0)；②y ＝d log c x +e （d ＞0，c ＞1）；③y ＝ka x +m （k ＞0，a ＞1）． （1）根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式；（2）根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立t 年的会员人数将超过100.2万人，求t 的最小值． 参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099，ln 5≈1.609．解：（1）从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快， 因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②， 模型③符合两个条件，所以选择模型③，将数据代入y ＝ka x +m （k ＞0，a ＞1）可得{14=ka +m20=ka 2+m 29=ka 3+m ，解得{k =8m =2a =32，所以，函数为y =8(32)x +2，x ∈N *；（2）由（1）知f(x)=8(32)x +2，x ∈N *，则8(32)t +2＞1002．得(32)t ＞125，t ＞log 32125=ln125ln 32=3ln5ln3−ln2≈3×1.6091.099−0.693≈11.89， 故t 的最小值为12． 20．（12分）已知函数f(x)=13x−1−1+32． （1）判断函数f （x ）在（1，+∞）上的单调性，并根据定义证明你的判断；（2）函数y ＝h （x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是y ＝h （x +a ）﹣b 为奇函数．依据上述结论，证明：f （x ）的图象关于点（1，1）成中心对称图形． 解：（1）函数f （x ）在（1，+∞）上单调递减．证明如下： 任取x 1，x 2∈（1，+∞），且x 1＜x 2，f(x 1)−f(x 2)=13x 1−1−1+32−(13x 2−1−1+32)=(3x 2−1−1)−(3x 1−1−1)(3x 1−1−1)(3x 2−1−1)=13(3x 2−3x1)(3x 1−1−1)(3x 2−1−1)． 因为1＜x 1＜x 2，所以3x 2−3x 1＞0，(3x 1−1−1)(3x 2−1−1)＞0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）， 故函数f （x ）在（1，+∞）上单调递减． （2）证明：设g （x ）＝f （x +1）﹣1， 则g(x)=13x −1+12=2+3x−12(3x −1)=3x+12(3x−1)． 因为函数g （x ）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 且g(−x)=3−x+12(3−x −1)=3x+12(1−3x )=−3x+12(3x−1)=−g(x)， 所以g （x ）为奇函数，图象关于原点对称，因为y＝g（x）是由y＝f（x）的图象左平移一个单位，再向下平移1个单位，故f（x）的图象关于点（1，1）成中心对称图形．21．（12分）已知函数f(x)=4√3sinωx2cosωx2+4cos2ωx2+1(ω＞0)，A、B是f（x）的图象与直线y＝﹣1的两个相邻交点，且|AB|＝π．（1）求ω的值及函数f（x）在[0，π2]上的最小值；（2）若关于x的不等式f2（x）﹣（3m+2）f（x）﹣m﹣13≤0恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）函数f(x)=2√3sinωx+2(2cos2ωx2−1)+3=2√3sinωx+2cosωx+3=4sin(ωx+π6)+3，则f（x）min＝﹣4+3＝﹣1，因为A、B是函数f（x）的图象与直线y＝﹣1的两个相邻交点，且|AB|＝π，所以函数f（x）的最小正周期为T＝π，则ω=2πT=2ππ=2，可得f(x)=4sin(2x+π6)+3．由x∈[0，π2]，得π6≤2x+π6≤7π6，所以，−12≤sin(2x+π6)≤1，所以，f(x)min=4×(−12)+3=1，故函数f（x）在[0，π2]上的最小值为1．（2）解：设t＝f（x），因为−1≤sin(2x+π6)≤1，所以﹣1≤f（x）≤7．因为不等式f2（x）﹣（3m+2）f（x）﹣m﹣13≤0恒成立，设φ（t）＝t2﹣（3m+2）t﹣m﹣13，所以φ（t）＝t2﹣（3m+2）t﹣m﹣13≤0在t∈[﹣1，7]上恒成立．所以{φ(−1)≤0φ(7)≤0，即{1+3m+2−m−13=2m−10≤049−21m−14−m−13=22−22m≤0，解得1≤m≤5，故m的取值范围为[1，5]．22．（12分）若存在实数a、b使得φ（x）＝af（x）+bg（x），则称函数φ（x）为函数f（x），g（x）的“T （a，b）函数”．（1）若函数φ（x）＝e x为函数f（x）、g（x）的“T（1，2）函数”，其中f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，求函数f（x）、g（x）的解析式；（2）设函数f（x）＝ln（e x+1），g（x）＝x，是否存在实数a、b使得函数φ（x）为函数f（x）、g（x）的“T（a，b）函数”，且同时满足：①φ（x）是偶函数；②φ（x）的值域为[2ln2，+∞）．若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．注：e＝2.71828⋯为自然对数的底数．解：（1）根据题意，因为φ（x）＝e x为f（x）、g（x）的“T（1，2）函数”，所以f（x）+2g（x）＝e x①，所以f（﹣x）+2g（﹣x）＝e﹣x．因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），所以﹣f（x）+2g（x）＝e﹣x②，联立①②得，f(x)=12(e x−e−x)，g(x)=14(e x+e−x)．（2）假设存在实数a、b使得函数φ（x）为函数f（x）、g（x）的“T（a，b）函数”．则φ（x）＝af（x）+bg（x）＝aln（e x+1）+bx．①因为φ（x）是偶函数，所以φ（﹣x）＝φ（x）．即aln（e﹣x+1）﹣bx＝aln（e x+1）+bx，则alne x+1e−x+1+2bx=alne x(e x+1)e x(e−x+1)+2bx=alne x(e x+1)e x+1+2bx=ax+2bx=0，整理得（2b+a）x＝0．因为（a+2b）x＝0对x∈R恒成立，所以a＝﹣2b．②φ(x)=aln(e x+1)+bx=a2ln(e x+1)2e x=a2ln(e x+1e x+2)．因为e x+1e x+2≥2√e x⋅1e x+2=4，当且仅当x＝0取等号，所以ln(e x+1e x+2)≥ln4=2ln2，由于φ（x）的值域为[2ln2，+∞），所以a2×2ln2=2ln2，则a＝2，又a＝﹣2b，所以b＝﹣1．综上，存在a＝2，b＝﹣1满足要求．。
2023-2024学年山东省日照市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省日照市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合A ＝{x |﹣1≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |x ≥﹣1}B ．{x |x ≤2}C ．{x |﹣1≤x ≤2}D ．{x |﹣1≤x ＜1}2．命题“∀x ＞1，x 2﹣1＞0”的否定形式是（ ） A ．∀x ＞1，x 2﹣1≤0 B ．∀x ≤1，x 2﹣1≤0C ．∃x ＞1，x 2﹣1≤0D ．∃x ≤1，x 2﹣1≤03．函数f （x ）＝2x +3x ﹣4的零点所在的大致区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）4．若命题“∀x ∈[﹣1，2]，m ≤x 2+1”是真命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞） B ．（﹣∞，2] C ．（﹣∞，1] D ．（﹣∞，5]5．“1＜x ＜3”是“1x−2＞1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若ae a ＝blnb ＝clgc ＝1，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b7．中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2023年10月25日，神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功点火发射．在太空站内有甲，乙，丙三名航天员依次出仓进行同一试验，每次只派一人，每人最多出仓一次．若前一人试验不成功，返仓后派下一人重复进行该试验；若试验成功，终止试验．已知甲，乙，丙各自出仓试验成功的概率分别为910，23，12，每人出仓试验能否成功相互独立，则该项试验最终成功的概率为（ ） A ．310B ．910C ．2930D ．59608．已知函数f(x)={|lnx|，x ＞0e x+2，x ≤0，若函数y =f(f(x)a )所有零点的乘积为1，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（2，3）B ．（0，2]∪（3，+∞）C ．（3，+∞）D ．[1，2]∪（3，+∞）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届山东省济宁市数学高一上期末检测试题含解析
2024届山东省济宁市数学高一上期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC =AB =2，则原平面图形的面积为（）A.322B.32C.122D.622．函数cos y x =的定义域为[],a b ，值域为3[1,]2-，则b a -的取值范围是（） A.5[,]6ππ B.55[,]63ππ C.[]6,ππD.11[,]6ππ 3．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α=π4，则点P 的坐标为 ( ) A.(1，2) B.(2，1) C.(22，)D.(1，1)4．一个容量为1 000的样本分成若干组，已知某组的频率为0．4，则该组的频数是 A.400 B.40 C.4 D.6005．若将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A.的最小正周期为B.在区间上单调递减C.图象的一条对称轴为直线D.图象的一个对称中心为6．若点()1,3A --、()2,B a 、()3,1C 在同一直线上，则=a （） A.0 B.1 C.2D.1-7．已知集合{|43}M x x =-<<，{|5N x x =<-或3}x ≥，则M N ⋃=（） A.{|5x x <-或}4x >- B.{|53}x x -<< C.{|54}x x -<<-D.{|5x x <-或3}x >8．命题“∀x >0，x 2-x ≤ 0 ”的否定是（） A.∃x >0，x 2-x ≤ 0 B.∃x > 0，x 2-x >0 C.∀x > 0，x 2-x > 0 D.∀x ≤0，x 2-x > 09．已知0.23a =，13log 0.4b =，2log 0.2c =，则()A.a b c >>B.b c a >>C.c b a >>D.b a c >>10．已知,,R a b c ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A.22a b > B.11a b< C.||||a c b c >D.c a c b -<-二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．在矩形ABCD 中，AB =2，AD =1．设123456t AB BC CD DA AC BD λλλλλλ=+++++ ①当1234561,1λλλλλλ===-===时，t =___________； ②若{}1,1,1,2,3,4,5,6i i λ∈-=，则t 的最大值是___________ 12．已知函数()2cos 3sin cos f x x x x =.（1）当函数()f x 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）完成下表，并在平面直角坐标系内作出函数()f x 在[]0,π的图象. x 0 πy13．若关于x 的不等式3231012xkx x x ->+-对任意的()0,2x ∈恒成立，则实数k 的取值范围为____________14．过两直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点,且平行于直线4x-3y-7=0的直线方程为_______________. 15．已知点(1,1),(1,5)A B -，若12AC AB =，则点C 的坐标为_________. 三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．某行业计划从新的一年2020年开始，每年的产量比上一年减少的百分比为(01)<<x x ，设n 年后（2020年记为第1年）年产量为2019年的a 倍. （1）请用a ，n 表示x .（2）若10%x =，则至少要到哪一年才能使年产量不超过2019年的25%？ 参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈. 17．已知向量()2,6a =-，10b =.（1）若a 与b 共线且方向相反，求向量b 的坐标. （2）若a b +与b 垂直，求向量a ，b 夹角θ的大小. 18．若函数f (x )满足f (log a x )＝21a a -·(x －1x)(其中a ＞0且a ≠1). (1)求函数f (x )的解析式，并判断其奇偶性和单调性；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围 19．已知函数()2=-a f x x x，且()922f =.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，并证明.20．已知3sin()cos cos 22()3sin()cos(2)sin tan()2f ππθπθθθππθπθθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫---+-- ⎪⎝⎭. （1）化简()fθ；（2）若()3f πθ-=-，求3sin 2cos 5cos 2sin θθθθ-+的值；（3）解关于θ的不等式：2f πθ⎛⎫≥⎪⎝⎭21．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型(01)xy ka k a =>>，与12(00)y px k p k =+>>，可供选择（1）试判断哪个函数模型更合适并说明理由，求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 20.3010,lg30.4711≈≈）参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、C【解析】先求出直观图中，∠ADC =45°，AB =BC =2，AD =DC =4，即可得到原图形是一个直角梯形和各个边长及高，直接求面积即可.【详解】直观图中，∠ADC =45°，AB =BC =2，DC ⊥BC，∴AD =DC =4，∴原来的平面图形上底长为2，下底为4，高为42的直角梯形， ∴该平面图形的面积为()124421222+⨯⨯=. 故选：C 2、B【解析】观察cos y x =在[]0,2π上的图象，从而得到b a -的取值范围. 【详解】解：观察cos y x =在[]0,2π上的图象，当32y =时，6x π=或116π，当1y =-时，x π=， ∴b a -的最小值为：566πππ-=，b a -的最大值为：111056663ππππ-==，∴b a -的取值范围是55[,]63ππ故选：B【点睛】本题考查余弦函数的定义域和值域，余弦函数的图象，考查数形结合思想，属基础题 3、D【解析】设出P 点坐标（x ，y ），利用正弦函数和余弦函数的定义结合4π的三角函数值求得x ，y 值得答案 【详解】设点P 的坐标为(x ，y)，则由三角函数的定义得π42π42sin cos ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即π214π2 1.4x cos y sin ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，故点P 的坐标为(1，1).故选D【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，是基础的计算题 4、A【解析】频数为10000.4400⨯= 考点：频率频数的关系 5、D【解析】根据题意函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数，即可求出最小正周期，把看成是整体，分别求的单调递减区间、对称轴、对称中心，在分别验证选项即可得到答案. 【详解】由于函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），故函数的解析式为，再将所得图象向左平移个单位长度，.，故A 错误；的单调减区间为，故在区间内不单调递减；图象的对称轴为，不存在使得图象的一条对称轴为直线，故C错误；图象的对称中心的横坐标为，当时，图象的一个对称中心为，故D 正确.故选：D. 6、A【解析】利用AB AC k k =结合斜率公式可求得实数a 的值.【详解】因为()1,3A --、()2,B a 、()3,1C 在同一直线上，则AB AC k k =，即3132131a ++=++，解得0a =. 故选：A. 7、A【解析】应用集合的并运算求M N ⋃即可.【详解】由题设，M N ⋃={|43}x x -<<⋃{|5x x <-或3}{|5x x x ≥=<-或}4x >-. 故选：A 8、B【解析】根据含有一个量词命题否定的定义，即可得答案. 【详解】命题“∀x >0，x 2-x ≤ 0 ”的否定是：“∃x > 0，x 2-x >0 ”. 故选：B 9、A【解析】比较a 、b 、c 与中间值0和1的大小即可﹒【详解】0.20331a ＝＞＝，()1113331log 0.4log 1log 013b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭＝，＝，，22log 0.2log 10c ＝＜＝，∴a b c >>﹒ 故选：A ﹒ 10、D【解析】对A ，B ，C ，利用特殊值即可判断，对D ，利用不等式的性质即可判断. 【详解】解：对A ，令1a =，2b =-，此时满足a b >，但22a b <，故A 错； 对B ，令1a =，2b =-，此时满足a b >，但11a b>，故B 错； 对C ，若0c ，a b >，则||||a c b c =，故C 错；对D ，a b >a b ∴-<-，则c a c b -<-，故D 正确. 故选：D.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上） 11、 ①.0 ②.【解析】利用坐标法可得t =.【详解】由题可建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,2,0,2,1,0,1A B C D ，∴()()()()()()()123456135624562,00,12,00,12,12,12222,λλλλλλλλλλλλλλ++-+-++-=-+--++， ∴()()22135624564t λλλλλλλλ=-+-+-++∴当1234561,1λλλλλλ===-===时，()()221356245640t λλλλλλλλ=-+-+-++=，因为{}1,1,1,2,3,4,5,6i i λ∈-=，要使t 最大，可取1234561,1,1,1,1,1λλλλλλ===-=-==-，即135624564,2λλλλλλλλ-+-=-++=时， t 取得最大值是17故答案为：0；21712、（1）,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）答案见解析【解析】( 1 )由三角恒等变换求出解析式，再求得最大值时的x 的集合, ( 2)由五点法作图,列出表格,并画图即可. 【小问1详解】21131()cos 3cos cos 22sin(2),2262x x x x x x f x =+=+=++π 令2262x k πππ+=+，函数()f x 取得最大值，解得,6=+∈x k k Z ππ，所以此时x 的集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【小问2详解】 表格如下：x 06π 512π 23π 1112ππ26x π+6π 2π π32π 2π136πy1321212-121作图如下，13、[]0,1【解析】根据题意显然可知0k ≥，整理不等式得：102k x x <-，令()102f x x x=-，求出()f x 在()0,2x ∈的范围即可求出答案.【详解】由题意知：2302kx x x +->，即22>-k x x 对任意的()0,2x ∈恒成立，0k ∴≥当()0,2x ∈，3231012x kx x x->+-得：233210kx x x x <+--， 即200+21x kx <-对任意的()0,2x ∈恒成立，即210210=2x k x x x-<-对任意的()0,2x ∈恒成立，令()102f x x x=-，()f x 在()0,2x ∈上单减，所以()()21f x f >=，所以1k ≤ 01k ∴≤≤.故答案为：[]0,1 14、4360x y --=【解析】联立两直线方程求得交点坐标，求出平行于直线4x-3y-7=0的直线的斜率，由点斜式的直线方程，并化为一般式【详解】联立280210x y x y ＝＝+-⎧⎨-+⎩ ，解得32x y ⎧⎨⎩＝＝∴两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点为（3，2）， ∵直线4x-3y-7=0的斜率为43， ∴过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且平行于直线4x-3y-7=0的直线的方程为y-2=43（x-3） 即为4x-3y-6=0 故答案为4x-3y-6=0【点睛】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，训练了二元一次方程组的解法，是基础题 15、（0,3）【解析】设点C 的坐标，利用12AC AB =，求解即可 【详解】解：点(1,1)A ，(1,5)B -，(2,4)AB =-， 设(,)C a b ，(1)1,AC a b =--，12AC AB =， (1a ∴-，11)(2,4)2b -=-，解得0a =，3b =点C 的坐标为(0,3)， 故答案为：(0,3)【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量相等的应用，属于基础题三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）*1)x n N =∈（2）2033【解析】（1）每年的产量比上一年减少的百分比为(01)<<x x ，那么n 年后的产量为2019年的(1)nx -，即得；（2）将 10%x =代入（1）中得到式子，解n ，n 取正整数。
2023-2024学年山东省烟台市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos960°＝（）A．12B．√32C．−12D．−√322．在同一平面直角坐标系中，函数y＝e x与y＝lnx的图象（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于直线y＝﹣x对称3．函数f(x)=lnx−6x+1的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．质点P在以坐标原点为圆心的单位圆上沿顺时针方向做匀速圆周运动，其角速度大小为π6rad/s，起点为射线y=√33x(x≤0)与单位圆的交点，20s后点P的纵坐标为（）A．−12B．12C．−√32D．√325．设a＝log30.2，b＝30.2，c＝0.23，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a6．已知f(x)={2−x−1，x≤0f(x−1)，x＞0，则f（log23）＝（）A．−43B．−14C．13D．27．函数f（x）＝cos（sin x）的单调递减区间为（）A．[2kπ，2kπ+π2](k∈Z)B．[kπ，kπ+π2](k∈Z)C．[2kπ−π2，2kπ+π2](k∈Z)D．[kπ−π2，kπ+π2](k∈Z)8．对于函数f（x），若存在实数a，b（a＜b），使{f（x）|x∈[a，b]}＝[a，b]，则称函数f（x）为“M函数”，下列函数中为“M函数”的是（）A．y＝sin x B．y＝tan xC．y=−14x2−1D．y＝e x﹣1﹣1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若实数m ＞n ＞0，则（ ） A ．m ﹣1＜n ﹣1B ．lgm ＞lgnC ．2﹣m＞2﹣nD ．sin m ＞n10．若角α是第二象限角，则下列说法正确的有（ ） A ．sin α2＞0B ．tan α2＞0C ．sin2α＜0D ．cos2α＜011．已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（ ）A ．φ=π4B ．f （x ）在区间[8，10]上单调递减C ．f （x ）的图象关于点（﹣5，0）对称D ．f 2（1）+f 2（2）+f 2（3）+⋯+f 2（2024）＝202412．切比雪夫多项式是以递归方式定义的一元多项式序列，在计算数学中应用广泛．已知某类切比雪夫多项式f n （x ）满足f n （cos x ）＝cos nx ，n ∈N ，则（ ） A ．f n （0）＝1B ．f n+1(x)=2xf n (x)−f n−1(x)，x ∈[−1，1]，n ∈N ∗C ．当n 为奇数时，f n （x ）（x ∈[﹣1，1]）为奇函数D ．若方程4x 3−3x =12在（﹣1，1）上有三个相异实根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3＝0三、填空题：本题共4小题，每小蒝5分，共20分．13．已知某扇形的面积为25，圆心角的弧度数为2，则该扇形的周长为 ． 14．已知tan α＝2，则sin(3π−α)+sin(−π2+α)cos(π+α)+sin(−α)的值为 ．15．若函数f(x)=log 2(4x +m)−x −1为偶函数，则实数m 的值为 ．16．已知f(x)={|log 2x −1|，0＜x ＜4−14x 2+x +1，x ≥4，若x 1，x 2，x 3是方程f （x ）＝t 的三个相异实根，则实数t 的取值范围为 ，x 1x 2x 3的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）求值：413×213+log 45×log 252−e ln2；（2）化简√1+sinα1−sinα−√1−sinα1+sinα，其中α为第三象限角．18．（12分）已知函数f(x)=2sin(2x−π3)．（1）用五点法画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；（2）求不等式f（x）≥1的解集．19．（12分）已知函数f(x)=√3sinωxcosωx+cos2ωx−12(ω＞0)，且其图象相邻两条对称轴间的距离为π2．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）将函数f（x）图象向右平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图像，求g（x）的单调递增区间．20．（12分）某企业现有A，B两条生产线，根据市场调查，A生产线的利润f（x）（单位：万元）与投入金额x（单位：万元）的关系式为f(x)=log2√x+1+mx+n，x≥0，B生产线找的利润g（x）（单位：万元）与投入金额x（单位：万元）的关系式为g（x）＝x﹣log2（32﹣x）+p，0≤x＜32．假定f（0）＝g（0）＝0且f（3）＝4．（1）求实数m，n，p的值；（2）该企业现有22万元资金全部投入A，B两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．21．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC=√3，P，Q分别是线段AD，AB上的动点，且∠PCQ=π4，设∠PCD＝α．（1）用α表示△PCQ的面积；（2）当α为何值时，△PCQ面积取得最小值？并求出最小值．22．（12分）已知函数f（x）满足：对∀x、y∈R，f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1），且f（1）＝0．（1）求f（0）的值；（2）若∀x∈R，y∈（﹣∞，﹣1），恒有f(sinx)+14＞log a(1−y)（a＞0且a≠1），求实数a的取值范围．2023-2024学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos960°＝（）A．12B．√32C．−12D．−√32解：cos960°＝cos（720°+240°）＝cos240°＝cos（180°+60°）＝﹣cos60°=−1 2．故选：C．2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝e x与y＝lnx的图象（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于直线y＝﹣x对称解：因为函数y＝e x与y＝lnx互为反函数，所以两者的图象关于直线y＝x对称．故选：C．3．函数f(x)=lnx−6x+1的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：由题设，y＝lnx，y=−6x在（0，+∞）为递增函数，f（x）是定义域在（0，+∞）上连续不断的递增函数，又f（2）＝ln2﹣3+1＝ln2﹣2＜0，f（3）＝ln3﹣2+1＝ln3﹣1＞0，f（2）f（3）＜0，由零点存在定理可知，零点所在区间为（2，3）．故选：C．4．质点P在以坐标原点为圆心的单位圆上沿顺时针方向做匀速圆周运动，其角速度大小为π6rad/s，起点为射线y=√33x(x≤0)与单位圆的交点，20s后点P的纵坐标为（）A．−12B．12C．−√32D．√32解：射线y=√33x(x≤0)为角7π6的终边，20s后，点P在角7π6−π6×20=−13π6的终边上，则20s后点P的纵坐标为sin(−13π6)=−sin13π6=−sin(2π+π6)=−sinπ6=−12．故选：A．5．设a＝log30.2，b＝30.2，c＝0.23，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 解：∵a＝log30.2＜0，b＝30.2＞1，0＜c＝0.23＜1，∴a＜c＜b．故选：B．6．已知f(x)={2−x−1，x≤0f(x−1)，x＞0，则f（log23）＝（）A．−43B．−14C．13D．2解：由题意得log23＞1＞0，故f(log23)=f(log23−1)=f(log232)=f(log232−1)=f(log234)=2−log234−1=43−1=13．故选：C．7．函数f（x）＝cos（sin x）的单调递减区间为（）A．[2kπ，2kπ+π2](k∈Z)B．[kπ，kπ+π2](k∈Z)C．[2kπ−π2，2kπ+π2](k∈Z)D．[kπ−π2，kπ+π2](k∈Z)解：设μ＝sin x，则μ∈[﹣1，1]；函数y＝cosμ，μ∈[﹣1，1]，在[﹣1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减．又μ＝sin x在[2kπ，2kπ+π2]，k∈Z上单调递增且μ∈[0，1]；在[2kπ+π2，2kπ+π]，k∈Z上单调递减且μ∈[0，1]；在[2kπ+π，2kπ+3π2]，k∈Z上单调递减且μ∈[﹣1，0]；在[2kπ+3π2，2kπ+2π]，k∈Z上单调递增且μ∈[﹣1，0]．根据复合函数的单调性可得y＝cos（sin x）的单调减区间为[2kπ，2kπ+π2]或[2kπ+π，2kπ+3π2]，k∈Z．即减区间为[kπ，kπ+π2]，k∈Z．故选：B．8．对于函数f（x），若存在实数a，b（a＜b），使{f（x）|x∈[a，b]}＝[a，b]，则称函数f（x）为“M函数”，下列函数中为“M函数”的是（）A．y＝sin x B．y＝tan xC．y=−14x2−1D．y＝e x﹣1﹣1解：对于A，由于y＝sin x为周期函数，考查其在一个周期内的情况即可；先考虑在递增区间[−π2，π2]内的情况，此时若函数为“M 函数”，则满足存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]， 即sin a ＝a ，sin b ＝b ，即在[−π2，π2]内，sin x ＝x 需有两不同实数解；当x ＝0时，y ＝sin0＝0，当0＜x ≤π2时，0＜sin x ≤1，且sin x ＜x ，当−π2≤x ＜0时，﹣1≤sin x ＜0，结合y ＝sin x 以及y ＝x 的对称性知sin x ＞x ， 即不能满足sin x ＝x 有两不同实数解；故此时不存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]； 结合y ＝sin x 的对称性知在单调递减区间[π2，3π2]内，不存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]，A 错误；对于B ，考查y ＝tan x 在一个周期内的情况，即在单调递增区间(−π2，π2)内的情况，此时若函数为“M 函数”，则满足存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]， 即tan a ＝a ，tan b ＝b ，即在(−π2，π2)内，tan x ＝x 需有两不同实数解；当x ＝0时，y ＝tan0＝0，当0＜x ＜π2时，0＜tan x ＜x ，当−π2＜x ＜0时，x ＜tan x ＜0，即不能满足tan x ＝x 有两不同实数解；即不存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]，B 错误；对于C ，函数y =−14x 2−1在（﹣∞，0]上单调递增，在0，+∞）上单调递减，由于y =−14x 2−1的图象关于x ＝0对称，且y =−14x 2−1≤−1，x ＝0时取等号，故只需考虑函数在（﹣∞，﹣l ]上的情况；假设y =−14x 2−1为“M 函数”，则在（﹣∞，﹣1]上−14x 2−1=x 需有两个不同实数根，而−14x 2−1=x ，即x 2+4x +4＝0，∴x ＝﹣2，不符合要求，即此时不存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]，C 错误； 对于D ，假设y ＝e x ﹣1﹣1为“M 函数”，由于y ＝e x ﹣1﹣1在R 上单调递增，则存在实数a ，b （a ＜b ），使{f （x ）|x ∈[a ，b ]}＝[a ，b ]， 则e x ﹣1﹣1＝x ，即e x ﹣1＝x +1需有两不同实数解，作出函数y ＝e x﹣1的图象和直线y ＝x +1，结合二者图象可知，函数y＝e x﹣1的图象和直线y＝x+1有两个不同交点，即e x﹣1﹣1＝x，也即e x﹣1＝x+1有两不同实数解，假设成立，即y＝e x﹣1﹣1为“M函数”，D正确，故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若实数m＞n＞0，则（）A．m﹣1＜n﹣1B．lgm＞lgn C．2﹣m＞2﹣n D．sin m＞n解：对于A，因为m＞n＞0，所以m﹣1＜n﹣1，故A正确；对于B，因为y＝lgx是增函数，且m＞n＞0，所以lgm＞lgn，故B正确；对于C，因为y=(12)x是减函数，且m＞n＞0，所以(12)m＜(12)n，即2﹣m＜2﹣n，故C不正确；对于D，因为π2＞π3，sinπ2=1＜π3，所以D不正确．故选：AB．10．若角α是第二象限角，则下列说法正确的有（）A．sinα2＞0B．tanα2＞0C．sin2α＜0D．cos2α＜0解：由题意2kπ+π2＜α＜π+2kπ，k∈Z，所以kπ+π4＜α2＜π2+kπ，k∈Z，4kπ+π＜2α＜2π+4kπ，k∈Z，所以α2为第一或第三象限角，2α为第三或第四象限角或终边在y轴的非正半轴，故BC正确，AD错误．故选：BC．11．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（）A ．φ=π4B ．f （x ）在区间[8，10]上单调递减C ．f （x ）的图象关于点（﹣5，0）对称D ．f 2（1）+f 2（2）+f 2（3）+⋯+f 2（2024）＝2024解：对于A ，由图可知A =√2，T 2=1−(−3)=4=2π2ω，解得T ＝8，ω=π4，且1×π4+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，解得φ=π4+2kπ，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以只能k ＝0，φ=π4，故A 正确；对于B ，f(x)=√2sin(π4x +π4)，当x ∈[8，10]时，π4x +π4∈[94π，114π]，所以f （x ）在区间[8，10]上不单调，故B 错误；对于C ，f(−5)=√2sin(−π)=0，即f （x ）的图象关于点（﹣5，0）对称，故C 正确； 对于D ，f 2（1）+f 2（2）+f 2（3）+…+f 2（8）＝2+1+0+1+2+1+0+1＝8， 又周期T ＝8，所以f 2（1）+f 2（2）+f 2（3）+…+f 2（2024）＝8×20248=2024，故D 正确． 故选：ACD ．12．切比雪夫多项式是以递归方式定义的一元多项式序列，在计算数学中应用广泛．已知某类切比雪夫多项式f n （x ）满足f n （cos x ）＝cos nx ，n ∈N ，则（ ） A ．f n （0）＝1B ．f n+1(x)=2xf n (x)−f n−1(x)，x ∈[−1，1]，n ∈N ∗C ．当n 为奇数时，f n （x ）（x ∈[﹣1，1]）为奇函数D ．若方程4x 3−3x =12在（﹣1，1）上有三个相异实根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3＝0解：对于A ，取n =1，x =π2，则f 1(cos π2)=f 1(0)=cos π2=0，故A 错误；对于B ，∀x ∈[﹣1，1]，存在t ∈[0，2π）使得x ＝cos t ，所以当n ∈N *时，f n +1（x ）＝cos （nt +t ）＝cos （nt ）cos t ﹣sin （nt ）sin t=cos(nt)cost −12[cos(n −1)t −cos(n +1)t]=xf n (x)−12[f n−1(x)−f n+1(x)]，解得f n+1(x)=2xf n (x)−f n−1(x)，x ∈[−1，1]，n ∈N ∗，故B 正确；对于C ，由f 0（cos x ）＝cos0＝1是偶函数， 由f 1（cos x ）＝cos x ，得f 1（x ）＝x 是奇函数，所以由f n+1(x)=2xf n (x)−f n−1(x)，x ∈[−1，1]，n ∈N ∗得， f 2(x)=2xf 1(x)−f 0(x)=2x 2−1是偶函数，f 3(x)=2xf 2(x)−f 1(x)=2x(2x 2−1)−x =4x 3−3x 是奇函数，f 4(x)=2xf 3(x)−f 2(x)=2x(4x 3−3x)−(2x 2−1)=8x 4−8x 2+1是偶函数， f 5（x ）＝2xf 4（x ）﹣f 3（x ）是奇函数，……，所以归纳可得当n 为奇数时，f n （x ）（x ∈[﹣1，1]）为奇函数，故C 正确； 对于D ，若方程4x 3−3x =12在（﹣1，1）上有三个相异实根x 1，x 2，x 3，则4x 3−3x −12=4(x −x 1)(x −x 2)(x −x 3)， 左边的二次项系数为0，展开后右边的二次项系数为﹣4（x 1+x 2+x 3）， 所以﹣4（x 1+x 2+x 3）＝0，即x 1+x 2+x 3＝0，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小蒝5分，共20分．13．已知某扇形的面积为25，圆心角的弧度数为2，则该扇形的周长为 20 ． 解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 因为扇形的面积为25，圆心角的弧度数为2，则{S =12lr =25l =2r，解得{r =5l =10，所以该扇形的周长为l +2r ＝10+10＝20． 故答案为：20．14．已知tan α＝2，则sin(3π−α)+sin(−π2+α)cos(π+α)+sin(−α)的值为 −13 ．解：由题意知tan α＝2，则sin(3π−α)+sin(−π2+α)cos(π+α)+sin(−α)=sinα−cosα−cosα−sinα=tanα−1−1−tanα=2−1−1−2=−13． 故答案为：−13．15．若函数f(x)=log 2(4x +m)−x −1为偶函数，则实数m 的值为 1 ． 解：函数f(x)=log 2(4x +m)−x −1为偶函数，则有f （﹣x ）＝f （x ）， 即log 2(4x +m)−x −1=log 2(4−x +m)+x −1， 得log 2(4x +m)−log 2(4−x +m)=2x ，则有log 24x +m 4−x +m =2x =log 222x =log 24x，得4x +m 4−x +m=4x ，即（m ﹣1）（1﹣4x ）＝0，解得m ＝1，f(x)=log 2(4x +1)−x −1，函数定义域为R ，符合题意．所以实数m 的值为1． 故答案为：1．16．已知f(x)={|log 2x −1|，0＜x ＜4−14x 2+x +1，x ≥4，若x 1，x 2，x 3是方程f （x ）＝t 的三个相异实根，则实数t 的取值范围为 （0，1） ，x 1x 2x 3的取值范围为 （16，8+8√2） ． 解：∵f(x)={|log 2x −1|，0＜x ＜4−14x 2+x +1，x ≥4，∴作出其图象如下：∵x 1，x 2，x 3是方程f （x ）＝t 的三个相异实根， ∴y ＝f （x ）与y ＝t 有三个交点， ∴数形结合可得t ∈（0，1）；不妨设x 1＜x 2＜x 3，令−14x 2+x +1=0，x ＞4，可得x =2+2√2，∴x 1∈（1，2），x 2∈（2，4），x 3∈(4，2+2√2)， 又f （x 1）＝f （x 2），∴|log 2x 1﹣1|＝|log 2x 2﹣1|， ∴1﹣log 2x 1＝log 2x 2﹣1，∴log 2（x 1x 2）＝2， ∴x 1x 2＝4，∴x 1x 2x 3的＝4x 3∈（16，8+8√2）． 故答案为：（0，1）；(16，8+8√2)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）求值：413×213+log 45×log 252−e ln2；（2）化简√1+sinα1−sinα−√1−sinα1+sinα，其中α为第三象限角．解：（1）原式=223⋅213+lg5lg4⋅lg2lg25−e ln2=2+lg52lg2⋅lg22lg5−2 =14． （2）原式=√(1+sinα)21−sin 2α−√(1−sinα)21−sin 2α=√(1+sinα)2cos 2α−√(1−sinα)2cos 2α．因为α为第三象限角，所以1+sin α＞0，1﹣sin α＞0，cos α＜0， 即上式=1+sinα−cosα−1−sinα−cosα=2sinα−cosα=−2tan α．18．（12分）已知函数f(x)=2sin(2x −π3)．（1）用五点法画出函数f （x ）在长度为一个周期的闭区间上的简图； （2）求不等式f （x ）≥1的解集． 解：（1）由题意函数f(x)=2sin(2x −π3)，列表如下：描点，连线，可得f(x)=2sin(2x −π3)的图象如下：（2）由题意f （x ）≥1，可得sin(2x −π3)≥12，令π6+2kπ≤2x −π3≤5π6+2kπ，k ∈Z ，解得π4+kπ≤x ≤7π12+kπ，k ∈Z ， 所以不等式f （x ）≥1的解集为{x|π4+kπ≤x ≤7π12+kπ，k ∈Z}．19．（12分）已知函数f(x)=√3sinωxcosωx+cos2ωx−12(ω＞0)，且其图象相邻两条对称轴间的距离为π2．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）将函数f（x）图象向右平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图像，求g（x）的单调递增区间．解：（1）由题知，f(x)=√3sinωxcosωx+cos2ωx，所以，f(x)=√32sin2ωx+12cos2ωx=sin(2ωx+π6)．因为相邻两条对称轴间的距离为π2，所以函数f（x）的周期T=π=2π2ω，所以ω＝1，f(x)=sin(2x+π6 )．令2x+π6=π2+kπ，解得x=π6+kπ2，k∈Z，函数f（x）图象的对称轴所在直线的方程为x=π6+kπ2，k∈Z．（2）由题知，将函数f（x）图象向右平移π6个单位长度，得到y=sin(2(x−π6)+π6)=sin(2x−π6)，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)=sin(x−π6 )．所以，当x−π6∈[−π2+2kπ，π2+2kπ]，即x∈[−π3+2kπ，2π3+2kπ]，k∈Z时，g（x）单调递增，所以函数g（x）的单调递增区间为[−π3+2kπ，2π3+2kπ]，k∈Z．20．（12分）某企业现有A，B两条生产线，根据市场调查，A生产线的利润f（x）（单位：万元）与投入金额x（单位：万元）的关系式为f(x)=log2√x+1+mx+n，x≥0，B生产线找的利润g（x）（单位：万元）与投入金额x（单位：万元）的关系式为g（x）＝x﹣log2（32﹣x）+p，0≤x＜32．假定f（0）＝g（0）＝0且f（3）＝4．（1）求实数m，n，p的值；（2）该企业现有22万元资金全部投入A，B两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．解：（1）因为f（0）＝0，所以n＝0．又因为f（3）＝4，即f(3)=log2√3+1+3m=4，所以m＝1．又因为g（0）＝0，即0﹣log232+p＝0，解得p＝5．（2）由（1）知，f(x)=log2√x+1+x，x≥0，g（x）＝x﹣log2（32﹣x）+5，0≤x＜32．设企业所获利润为h（x），投入A生产线x万元，则投入B生产线（22﹣x）万元，所以h（x）＝f（x）+g（22﹣x），0≤x≤22，即ℎ(x)=log2√x+1+x+22−x−log2(10+x)+5，0≤x≤22，整理得ℎ(x)=log2√x+110+x+27，0≤x≤22，令√x+1=t，t∈[1，√23]，则x＝t2﹣1，所以u(t)=log2t9+t2+27=log219t+t+27，t∈[1，√23]，因为t+9t≥6，当且仅当t=9t，即t＝3时等号成立，此时x＝8．最大利润为27+log216=26−log23．所以投入A生产线8万元、B生产线14万元时，该企业获得最大利润为（26﹣log23）万元．21．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC=√3，P，Q分别是线段AD，AB上的动点，且∠PCQ=π4，设∠PCD＝α．（1）用α表示△PCQ的面积；（2）当α为何值时，△PCQ面积取得最小值？并求出最小值．解：（1）因为AB=3，BC=√3，∠PCQ=π4，所以在直角△PCD中，PD＝3tanα，则AP=√3−3tanα，在△QBC中，QB=√3tan(π4−α)，所以AQ=3−√3tan(π4−α)，所以S△CPQ＝S矩形ABCD﹣S△APQ﹣S△CPD﹣S△BCQ=3√3−12(√3−3tanα)(3−√3tan(π4−α))−92tanα−32tan(π4−α)，0≤α≤π6，整理得S△CPQ=3√32−3√32tanαtan(π4−α)，0≤α≤π6；（2）由（1）知，S△CPQ=3√32−3√32tanαtan(π4−α)，0≤α≤π6，所以S△CPQ=3√32(1−sinαsin(π4−α)cosαcos(π4−α))=3√32×[1sinα(√22cosα−√22sinα)cosα(22cosα+22sinα)]=3√32×1cos2α+sinαcosα=3√32×112cos2α+12sin2α+12=3√32sin(2α+π4)+1，因为0≤α≤π6，所以2α+π4∈[π4，7π12]，所以当2α+π4=π2，即α=π8时，√2sin(2α+π4)取得最大值√2，所以△CPQ面积的最小值为3√6−3√3．22．（12分）已知函数f（x）满足：对∀x、y∈R，f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1），且f（1）＝0．（1）求f（0）的值；（2）若∀x∈R，y∈（﹣∞，﹣1），恒有f(sinx)+14＞log a(1−y)（a＞0且a≠1），求实数a的取值范围．解：（1）因为f（x+y）﹣f（y）＝x（x+2y+1），令x＝1，y＝0，所以f（1）﹣f（0）＝2，因为f（1）＝0，所以f（0）＝﹣2．（2）由（1）知，f（0）＝﹣2，令y＝0，得f（x）﹣f（0）＝x2+x，所以f（x）＝x2+x﹣2．所以f(sinx)+14=sin2x+sinx−74，令sin x＝t，其中﹣1≤t≤1，则y=t2+t−7 4，所以当t=−12时，y=t2+t−74取得最小值y min=14−12−74=−2．又因为∀x∈R，∀y∈（﹣∞，﹣1），恒有f(sinx)+14＞log a(1−y)，所以，∀y∈（﹣∞，﹣1），log a（1﹣y）＜﹣2恒成立．当a＞1时，u＝log a（1﹣y）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，因为1﹣y＞2，则u＝log a（1﹣y）＞log a2，则log a（1﹣y）＜﹣2不可能恒成立，舍去；当0＜a＜1时，u＝log a（1﹣y）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，所以要使log a（1﹣y）＜﹣2在（﹣∞，﹣1）上恒成立，只需log a2≤−2=log a 1a2，可得1a2≤2，解得√22≤a＜1．综上，a的取值范围为[√22，1)．。