大学物理_2运动与力
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大学物理基础教程答案1-2力-2
r α x = ±h tan θ = ±h tan ωt X ωt dx 2 2 h v= = ±hsec ωt ⋅ ω = ±hω / cos ωt dt π 0 0 2π t= 当α = 60 , ωt = θ = 30 , 60 6 3 2π v = ±5×10 / cos2 300 = ±698(m⋅ s−1 ) 60 2 sin ωt −2 & = ±2hω & a=x |α=600 = ±84.4(m⋅ s ) 3 4 cos ωt
r
r vθ
ωt
r v
r v
o
r
& = rωtan ωt, && = rω2 tan2 ωt + rω2tg2ωt Qr r & θ = ω, && = 0, θ && ∴ar = 2rω tan ωt, a0 = 2rθ = 2rω2 tan ωt
2 2
sinωt a = a + a = 2hω 2 cos ωt 注意: ωr = vθ ≠ v
&& = 2, && = 2 && + && = 2 2 (m/ s2 ) (3) Qx y ∴a = x y dv 16 t − 8 t = 2s aτ = = = 2 (m⋅ s-2 ) dt 2 8 t 2 − 8 t + 4
∴an = a − a = 2 (m/ s )
2 2 τ 2
9
一质点沿一圆周按下述规律运动： 式中s 2-10 一质点沿一圆周按下述规律运动：s=t3+2t2，式中s是沿圆周测 得的路程，以米为单位， 以秒为单位，如果当t=2 t=2秒时质点的加 得的路程，以米为单位，t 以秒为单位，如果当t=2秒时质点的加 求圆的半径。 速度为 16 2 米/秒2，求圆的半径。
大学物理第二章第二部分
变力问题的处理方法（1）力随时间变化：F ＝f （t ）在直角坐标系下，以x方向为例，由牛顿第二定律：()x dv m f t dt=且：t ＝t 0时，v x ＝v 0 ；x ＝x 0则：1()x dv f t dt m =直接积分得：1()()x x v dv f t dt mv t c===+∫∫其中c由初条件确定。
由速度求积分可得到运动学方程：2()x x v dt x t c ==+∫其中c 2由初条件确定。
例：飞机着陆时受到的阻力为F＝－ct（c为常数）且t＝0时，v＝v 0。
求：飞机着陆时的速度。
解：根据牛顿第二定律：－ct ＝m dv / dt212c v dv tdt mc t c m==−=−+∫∫当t ＝0时，v ＝v 0，代入得：v 0＝c 1202c v v t m=−(2)力随速度变化：F＝f（v）直角坐标系中，x 方向f （v ）＝m dv ⁄dt 经过移项可得：()dv dt m f v =等式两边同时积分得：01()()m t t dt dv m dv f v f v −===∫∫∫具体给出f（v）的函数试就可进行积分运算例：质量为m的物体以速度v 0投入粘性流体中，受到阻力f＝－cv （c为常数）而减速，若物体不受其它力，求：物体的运动速度。
解：根据牛顿第二定律：dv cv m dt−=移项变换：－c/m dt ＝dv/v 1ln c dv dt m vc t v c m−=−=+∫∫积分得由初条件定c 1：当t ＝0时，v ＝v 0∴0＝lnv 0＋c 1∴c 1＝－lnv 00ln c t mc v t m v v v e −−==(3)力随位移变化：F ＝f （x）直角坐标系中，x方向：()dv dx dv dv f x m m mv dt dt dx dx===经过移项可得：f （x ）dx ＝mv dv等式两边同时积分得：2201()()2f x dx mvdv m v v ==−∫∫例：光滑的桌面上一质量为M，长为L的匀质链条，有极小一段被推出桌子边缘。
大学物理2-1质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
直角坐标系中
M mi
mN y c mi
rc mi ri / M
xc mi xi / M yc mi yi / M zc mi zi / M
m1
rN
ri
r2 m2 x
rc
r1
O
z
对于质量连续分布的物体
rc
rdm rdm m dm
y c rc dm
由牛顿第二定律得
dv m a m
n n n
d v1 m1a1 m1 F1 f12 f13 f1n dt d v2 m2 a2 m2 F2 f 21 f 23 f 2 n dt
n
dt
Fn f n1 f n 2
f nn 1
对于内力
f12 f 21 0,, f in f ni 0,
mi ai F i Fi Fi ac mi ai M mi ac mi 质心运 动定理 Fi Mac
yc
ydl
m
0
R sin Rd m
2 R 2 R R m
2
2
例
确定半径为R的均质半球的质心位置。
解：建立如图所示坐标 已知薄圆盘的质心位于圆心，取 厚度为dy的薄圆盘为质量微元。
y dy
R
d m dV R y d y
2 2
例题2-1求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。 解:建立图示坐标, 在离原点x处取宽度为dx的面积元， 由于面积元的高度为2y，所以其面积为2ydx=2xdx。设 薄板每单位面积的质量为 则此面积元的质量
M mi
mN y c mi
rc mi ri / M
xc mi xi / M yc mi yi / M zc mi zi / M
m1
rN
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r1
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对于质量连续分布的物体
rc
rdm rdm m dm
y c rc dm
由牛顿第二定律得
dv m a m
n n n
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n
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对于内力
f12 f 21 0,, f in f ni 0,
mi ai F i Fi Fi ac mi ai M mi ac mi 质心运 动定理 Fi Mac
yc
ydl
m
0
R sin Rd m
2 R 2 R R m
2
2
例
确定半径为R的均质半球的质心位置。
解：建立如图所示坐标 已知薄圆盘的质心位于圆心，取 厚度为dy的薄圆盘为质量微元。
y dy
R
d m dV R y d y
2 2
例题2-1求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。 解:建立图示坐标, 在离原点x处取宽度为dx的面积元， 由于面积元的高度为2y，所以其面积为2ydx=2xdx。设 薄板每单位面积的质量为 则此面积元的质量
(自然科学基础物理)运动和力
运动和力是自然科学基础物理中非常重要的概念，它们是描述物体运动状态和相互作用的基础。
下面简单介绍一下这两个概念：
1. 运动：在物理学中，运动是指物体在空间中的位置随时间而变化的过程。
运动可以是直线运动、曲线运动、往复运动等不同形式。
运动的描述需要考虑物体的速度、加速度以及路径等因素。
2. 力：力是导致物体产生运动或形变的原因，是物体之间相互作用的结果。
根据牛顿运动定律，力可以改变物体的运动状态，包括使物体加速、减速或改变方向等。
常见的力包括重力、弹力、摩擦力、张力等。
在描述物体的运动时，物体所受的所有外力之和会影响物体的加速度，即根据牛顿第二定律（F=ma），物体的加速度与作用在物体上的合力成正比，与物体的质量成反比。
力还可以分为接触力和非接触力。
接触力是通过物体之间的直接接触而产生的力，如摩擦力、支持力等；非接触力则是通过距离作用于物体之间，如引力、静电力等。
通过研究运动和力的关系，可以深入理解物体的运动规律和相互作用原理，为解释自然现象、设计工程应用等提供基础。
物理学中的运动
和力是许多其他物理学领域的基础，对于理解自然界的规律和推动科学技术发展具有重要意义。
大学物理2牛顿运动定律
解：分析受力：mg B R ma
v dv tK d v K ( v v ) T 运动方程变为： 0 d t 0 vT v m dt m
d v mg B Kv 加速度 a dt m mg B 极限速度为：vT K
B R
m
mg
vT v K ln t vT m
x
g sin a2 arc tg g cos
例题2-3 一重物m用绳悬起，绳的另一端系在天花板上，
绳长l=0.5m，重物经推动后，在一水平面内作匀速率圆 周运动，转速n=1r/s。这种装置叫做圆锥摆。求这时绳 和竖直方向所成的角度。
2 2Biblioteka 解： T sin m r m l sin T cos mg 角速度： 2n T 拉力：T m 2l 4 2 n 2 ml
1.电磁力
电磁力：存在于静止电荷之间的电性力以及 存在于运动电荷之间的磁性力，本质上相互联系， 总称为电磁力。 分子或原子都是由电荷系统组成，它们之间 的作用力本质上是电磁力。例如：物体间的弹力、 摩擦力，气体的压力、浮力、粘滞阻力。
2.强力
强力：亚微观领域，存在于核子、介子和超 子之间的、把原子内的一些质子和中子紧紧束缚 在一起的一种力。 15 15
F
N 1
i
i
3、矢量性：具体运算时应写成分量式
dv x Fx ma x m dt 直角坐标系中： F ma m dv y y y dt
dvz Fz maz m dt
dv 自然坐标系中： F m dt
F
n
m
v
2
4、惯性的量度： 质量
三. 牛顿第三定律
大学物理第二章牛顿第二定律
二、牛顿第一定律(惯性定律)
任何物体如果没有力作用在它上面,都将保持静止得或作匀速直线 运动得状态。
牛顿第一定律得意义: 1、定义了惯性参考系
2、定性了物体得惯性与力:保持运动状态与改变运动状态
三、牛顿第二定律
定义质点动量:Pm主F 要 d内dPt容:ddt某有mv时关刻系m质: dd点vt F受v得ddm合dtdPt力为Fddm,t则合0力与动F量得m变a化率
Fr FN (mg F sin ) (2、3-4) 将(2、3-3)式 代入(2、3-4)式,得
F cos (mg F sin ) 0
所以 F
mg
sin cos
(2、3-5)
由(2、3-5)式可知:只有当
f ( ) sin cos
为最大时,拉力才为最小,故对函数 f ( ) 求导数,则有
第三定律就是牛顿在惠更斯、雷恩、沃 利 斯弹等性人物研体究得碰碰撞撞得定时律候,得在基力础学上得建体立系得中。, 就是从牛顿定律中推出得,但从定律发现得过 程瞧,牛顿第二、第三运动定律就是从碰撞定 律、动量守恒定律得研究中逐步行成得。
六、几种常见得力与基本得自然力
❖ (一)、几种常见得力
❖ 1、重力 ——由于地球吸引而使物体受到得力叫做重力。 重力得作用使液体有天然形状--球状。
❖ 2、惯性(参考)系 (1)、惯性系定义—— 在研究物体相对运动时,选取得参考系 就是牛顿运动定律适用得参考系,这样得系统称为惯性(参考) 系; (2)、惯性系属性—— 凡就是相对于某一已知得惯性系,作匀 速直线运动得参考系也都就是惯性参考系。
？
匀速直
线运动
S
S
S系
仅凭观测球得上 抛与下落,不能 觉察车相对地面 得运动。
大学物理-第二章-牛顿定律(运动定律)
二 弹性力:（压力、支持力、张力、弹簧弹性力等）
物体在受力形变时,有恢复原状的趋势, 这种抵抗外 力, 力图恢复原状的的力就是弹性力.
在弹性限度内弹性力遵从胡克定律
FP
FT
F FT
FT (l) FT (l)
F kx
al
l
FT (l l) FT (l l)
害处: 消耗大量有用的能量, 使机器运转部分发热等. 减少摩擦的主要方法:
化滑动摩擦为滚动摩擦, 化干摩擦为湿摩擦. 摩擦的必要性:
人行走, 车辆启动与制动, 机器转动（皮带轮）, 弦乐器演奏等.
失重状态下悬浮在飞船舱内的宇航员, 因几乎受 不到摩擦力将遇到许多问题. 若他去拧紧螺丝钉, 自 己会向相反的方向旋转, 所以必须先将自己固定才行.
1、关于力的概念
１)力是物体与物体间的相互作用，这种作用可使物体产生形 变，可使物体获得加速度。
２)物体之间的四种基本相互作用；
两种长程作用电引磁力作作用用 两种短程作用弱 强相 相互 互作 作用 用
7
3)力的叠加原理 若一个物体同时受到几个力作用，则合力产生的加速
度，等于这些力单独存在时所产生的加速度之矢量和。 力的叠加原理的成立，不能自动地导致运动的叠加。 牛顿第二定律给出了力、质量、加速度三者间瞬 时的定量关系
17
讨论：胖子和瘦子拔河,两人彼此之间施与的力 是一对作用力和反作用力（绳子质量可略），大小 相等，方向相反，那么他们的输赢与什么有关？
50kg
胜负的关键在于脚下的摩擦力.
18
扩展：
四种基本相互作用
力的种类 相互作用的粒子 力的强度 力程
万有引力 一切质点
大学物理第2章 牛顿运动定律
1、第一定律(物体在没有外力作用的情况下会保持原有的状态)；
推论：当你不去追求一个美眉，这个美眉就会待在那里不动。 2、第二定律(F=ma，物体的加速度，与施加在该物体上的外力成正比)； 推论：当你强烈地追求一个美眉，这个美眉也会有强烈的反应。 评述：这个显然也是错误的！如果你是一只蛤蟆，那么公主是不会动心的。 你的鲜花送得越勤，电话费花得越多，可能对方越是反感，还可能肥了不费力 气的对手。更可能的情况是，当多个人同时在追求一个美眉时，该美眉反而无 动于衷，心想：机会多着呢，再挑一挑。所以，紧了绷，轻了松，火候要拿捏 得好。
mgR 2 F r2
R2 dv mg 2 m 由牛顿第二定律得： r dt 2 dv dv dr dv gR 又 v dr vdv 2 dt dr dt dr r
当r0 = R 时，v = v0，作定积分，得：
v gR 2 R r 2 dr v0 vdv r
故有
k
例题2-4 不计空气阻力和其他作用力，竖直上抛物体的初速 v0最小应取多大，才不再返回地球?
分析：初始条件，r R 时的速度为 v0 只要求出速率方程 v v ( r ) “不会返回地球”的数学表示式为： 当
r 时， v 0
结论：用牛顿运动定律求出加速度后，问 题变成已知加速度和初始条件求速度方程或运动 方程的第二类运动学问题。 解∶地球半径为R，地面引力 = 重力= mg， 物体距地心 r 处引力为F，则有：
说明
1）定义力
2）力的瞬时作用规律
3）矢量性
4）说明了质量的实质 ： 物体惯性大小的量度
5）适用条件：质点、宏观、低速、惯性系
在直角坐标系中，牛顿第二定律的分量式为
d ( mv x ) Fx dt
推论：当你不去追求一个美眉，这个美眉就会待在那里不动。 2、第二定律(F=ma，物体的加速度，与施加在该物体上的外力成正比)； 推论：当你强烈地追求一个美眉，这个美眉也会有强烈的反应。 评述：这个显然也是错误的！如果你是一只蛤蟆，那么公主是不会动心的。 你的鲜花送得越勤，电话费花得越多，可能对方越是反感，还可能肥了不费力 气的对手。更可能的情况是，当多个人同时在追求一个美眉时，该美眉反而无 动于衷，心想：机会多着呢，再挑一挑。所以，紧了绷，轻了松，火候要拿捏 得好。
mgR 2 F r2
R2 dv mg 2 m 由牛顿第二定律得： r dt 2 dv dv dr dv gR 又 v dr vdv 2 dt dr dt dr r
当r0 = R 时，v = v0，作定积分，得：
v gR 2 R r 2 dr v0 vdv r
故有
k
例题2-4 不计空气阻力和其他作用力，竖直上抛物体的初速 v0最小应取多大，才不再返回地球?
分析：初始条件，r R 时的速度为 v0 只要求出速率方程 v v ( r ) “不会返回地球”的数学表示式为： 当
r 时， v 0
结论：用牛顿运动定律求出加速度后，问 题变成已知加速度和初始条件求速度方程或运动 方程的第二类运动学问题。 解∶地球半径为R，地面引力 = 重力= mg， 物体距地心 r 处引力为F，则有：
说明
1）定义力
2）力的瞬时作用规律
3）矢量性
4）说明了质量的实质 ： 物体惯性大小的量度
5）适用条件：质点、宏观、低速、惯性系
在直角坐标系中，牛顿第二定律的分量式为
d ( mv x ) Fx dt
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解：切向 mgsin m dv
dt
g sin dv dv d v dv dt d dt R d
o R
T v m
mg
v
vdv gR sin d
v0
0
得：1 2
(v 2
v02
)
gR(cos
1)
v( )=[ v02 -2gR(1 - cos ) ]1/2
g
y
N地M
x
Mg
MNaM0m
四、匀速转动非惯性系中的惯性力
设S＇系相对惯性系S 匀速转动
物体 S： S＇
令 则
m 在 S＇ 中静止
fafsFsFm0m0 anm2ramo
2
(r )
r^
m
2
r
m
m 2r0 ─ 惯性离心力
m 2r
S ＇ 中向心力与惯性离心力平衡，m静止
二、非惯性系
S
E
a
a
在 E 参考系， 运动符合牛顿定律，在 S 则不然
非惯性系中的如何研究运动的动力学规律？
任务：
寻求一普遍物理方法， 以使用统一的动力学规律，
引入 惯性力
研究惯性系和非惯性系中 的力学问题。
如何求得？
三、平动非惯性系中惯性力
惯性a系FaFma(a0m a
Sin
巴黎， 49，T 31小时52分
北京， 40，T 37小时15分
这是在地球上验证地球转动的著名的实验。
▲落体偏东； ▲河岸冲刷，双轨磨损（北半球右，南半球左）； ▲大气环流，赤道附近的信风（北半球东北，
南半球东南）。
*§2.7 潮汐 (1)为什么潮汐受太阳影响比月亮影响弱一些呢？
v
fc
只有相对转动参考系运动时才出现
*与转动角速度一次方成正比
当角速度较小时，科氏力比离心力更重要
*科氏力方向垂直相对速度
该力不会改变相对速度的大小
*科氏力在地球上的表现
▲ 傅科摆
摆长67m， 摆锤28kg，摆平面转动
顶视 1
摆 Fc
2
2 Fc
傅
地球
科
3 1
摆 摆平面转动周期 T 24小时
S
线运动
S
S系
仅凭观测球的上 抛和下落，不能 觉察车相对地面 的运动。
匀速直
匀速直
S
线运动
S
线运动
S系
匀速直
匀速直
S
线运动
S
线运动
S系
力学相对性原理数学表述：
m m , F F ,
a
a
因此
F
ma
F
ma
对于不同的惯性系，力学的基本规律— 牛顿方程的形式相同。 或者说：牛顿方程具有伽利略变换协变对称 性。
微分方程组 代数方程组
1 f1 f2
m1 m2 N1
f1
F
2
N2
【例】已知：m1，m2 ； 1，2 求：使m2抽出的最小的F
1 f1 f2
m1 m2 N1
f1
F
2
N2
解：设m2尚未抽出，m1，m2 相对静止,
f1为静摩擦力
对m1，m2： F - (m1+m2 )g2 = (m1+m2 )a
对m1：
m1a = f1 <= m1g1 a <= g1
F - (m1+m2 )g2 <= (m1+m2 )g1
使m2抽出的最小的
F= (m1+m2 )(1+2)g
二、微分方程(组)型
一般F为变力 , 除求a外，还求v,r . 需要积分
【例】 轻绳系球m, v=0 = v0 求: v(), T()
M
以地面为参考系对M列方程
N Mm sin Ma0 ①
以M为参考系对m 列方程 (非)
ma0 cos mg sin mamM
ma 0
NMm
m
y x
a0
② mg M
NmM ma0 sin mg cos 0 ③
amM
(M m)sin M msin2
以最简单的情况来直观地说明科里奥利力的起因
质点沿径向以 v匀速运动
地面参考系
m
r^
取平面极坐标 t=0 时位置为极轴
极点在圆心 v
vr^
r^
a
r
2^r
2v^
o
极轴
例. 水桶以 旋转，水对桶静止 。求水面形状？
z
ω
N
解：任选水面一小质元，在切线
z rθ· θ m
第一定律: 定义了“惯性系”（inertial frame） 定性给出了“力”与“惯性”的概念
惯性系： 牛顿第一定律成立的参考系。 力：改变物体运动状态的原因（并非维持物 体运动状态的原因）。
二、牛顿第二定律
运动的改变（指动量变化）和引起运动所施加的
运动力(指外力)成正比，且发生在所施加的运动力
的方向上
2mv^
转动参考系
质点相对转动参考系匀速运动
F
m
2rr^
2mv^
0
^ v
o
极轴
离心力
与物体速度有 关的科氏力
指向物体运动的右方 一般，用矢量表示 fc
2mv
v
fc
fi
m 2rr^
fc
2mv
科里奥利力的特征
*与相对速度成正比
z0
方向静止，
mg sin mr 2 cos 0
mg O
r tan r 2 为z（r）曲线的斜率
g
mr2
由导数关系知 dz r 2
dr g
mg
积分
z dz r dr r 2
g
z
z0
r
2 2
2g
z0
0
由牛顿第二定律
F
m 2r^r
向对方
F12 F21
作用的 相互性
自学: SI单位和量纲
自学: Δ§2.2 常见的几种力 Δ§2.3 基本的自然力
力的基本类型: 四种
◆万有引力定律：
fG
G
m1m2 r2
引力 质量
r m2
定律对两个质点得出。
m1
由叠加可证： 可用于
球与质点； 两球之间。
r M
m
M1
M2
r
◆实验：地面上同一地点一切自由落体 加速度相同。
(2)为什么潮汐同时在向月和背月侧发生？
自由降落“大升降机”中的引潮力：
引力 不均匀 D
惯性力 均匀
A
C
B
D 引潮力
A
C
B
E
E
加速度
引力和惯性力
引潮力=引力+惯性力
引潮力是被惯性力抵消后的“残余的力”。
地球自转引起的惯性离心力顾及在海水视重中，
只考虑在引力场中地球的平动。
忽略海水相对地球的流动引起的效应。
惯性力： 非惯性系中的附加力 作用：使非惯性系中可用牛顿第二定律。
其大小∝惯性质量 （因而所产生的加速度与质量无关）
性质：既虚拟又真实。 “虚拟”（牛顿力学观点）: 无相互性。 “真实” : 同真实力一样产生加速度。
二战中的小故事：
美Tinosa号潜艇携带16枚鱼雷，在太平洋离 敌舰4000码斜向攻击，发射4枚，使敌舰停航。
第二章 运动与力
§2.1 牛顿运动定律 Δ§2.2 常见的几种力 Δ§2.3 基本的自然力
§2.4 牛顿定律应用举例 §2.5 非惯性系与惯性力 §2.6 科里奥利力 *§2.7 潮汐
Isaac Newton(1642-1727)
§2.1 牛顿运动定律
一、牛顿第一定律——惯性定律
任何物体都保持其静止或沿一条直线做匀速运动状 态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态。
有关惯性离心力的几个问题：
▲ 失重：在绕地球旋转的飞船中观察，引力被 惯性离心力完全抵消,出现失重 飞船中是真正能验证惯性定律的地方
▲ 重力和纬度的关系： 思考 ● 重力是物体所受的
地球的引力吗?
● 重力加速度 g 和地球
纬度 的关系式为：
ω
· r m
F引 PF0O来自P Rg
g0 (1
4、地面系（实验室系）：坐标轴固定在地面 上—赤道处自转向心加速度～3.410-2m/s2
对于描述力学规律来说，所有的惯性参考系都 是等效的。 或者说：相对某惯性系作匀速直线运动的参考 系，其内部发生的力学过程，不受系统整体的 匀速直线运动的影响。
—力学相对性原理，
或伽利略相对性原理。
？
匀速直
§2.5非惯性系和惯性力 一、惯性系与伽利略相对性原理
总能找到特殊的物体群（参考系），在这个 参考系中牛顿第一定律成立。这个参考系称为 惯性系。
牛顿第一、二定律只在惯性系中成立。 在非惯性系中通过引入“惯性力”，牛顿第
一、二定律才形式上成立。
实用的惯性系：
1、FK4系：以1535颗恒星平均静止位形作为 基准—目前最好。 2、太阳系：太阳中心为原点，坐标轴指向恒 星—绕银河中心的向心加速度～1.810-10m/s2 3、地心系：地心为原点，坐标轴指向恒星— 绕太阳的向心加速度～610-3m/s2（g的10－3）
dt
g sin dv dv d v dv dt d dt R d
o R
T v m
mg
v
vdv gR sin d
v0
0
得：1 2
(v 2
v02
)
gR(cos
1)
v( )=[ v02 -2gR(1 - cos ) ]1/2
g
y
N地M
x
Mg
MNaM0m
四、匀速转动非惯性系中的惯性力
设S＇系相对惯性系S 匀速转动
物体 S： S＇
令 则
m 在 S＇ 中静止
fafsFsFm0m0 anm2ramo
2
(r )
r^
m
2
r
m
m 2r0 ─ 惯性离心力
m 2r
S ＇ 中向心力与惯性离心力平衡，m静止
二、非惯性系
S
E
a
a
在 E 参考系， 运动符合牛顿定律，在 S 则不然
非惯性系中的如何研究运动的动力学规律？
任务：
寻求一普遍物理方法， 以使用统一的动力学规律，
引入 惯性力
研究惯性系和非惯性系中 的力学问题。
如何求得？
三、平动非惯性系中惯性力
惯性a系FaFma(a0m a
Sin
巴黎， 49，T 31小时52分
北京， 40，T 37小时15分
这是在地球上验证地球转动的著名的实验。
▲落体偏东； ▲河岸冲刷，双轨磨损（北半球右，南半球左）； ▲大气环流，赤道附近的信风（北半球东北，
南半球东南）。
*§2.7 潮汐 (1)为什么潮汐受太阳影响比月亮影响弱一些呢？
v
fc
只有相对转动参考系运动时才出现
*与转动角速度一次方成正比
当角速度较小时，科氏力比离心力更重要
*科氏力方向垂直相对速度
该力不会改变相对速度的大小
*科氏力在地球上的表现
▲ 傅科摆
摆长67m， 摆锤28kg，摆平面转动
顶视 1
摆 Fc
2
2 Fc
傅
地球
科
3 1
摆 摆平面转动周期 T 24小时
S
线运动
S
S系
仅凭观测球的上 抛和下落，不能 觉察车相对地面 的运动。
匀速直
匀速直
S
线运动
S
线运动
S系
匀速直
匀速直
S
线运动
S
线运动
S系
力学相对性原理数学表述：
m m , F F ,
a
a
因此
F
ma
F
ma
对于不同的惯性系，力学的基本规律— 牛顿方程的形式相同。 或者说：牛顿方程具有伽利略变换协变对称 性。
微分方程组 代数方程组
1 f1 f2
m1 m2 N1
f1
F
2
N2
【例】已知：m1，m2 ； 1，2 求：使m2抽出的最小的F
1 f1 f2
m1 m2 N1
f1
F
2
N2
解：设m2尚未抽出，m1，m2 相对静止,
f1为静摩擦力
对m1，m2： F - (m1+m2 )g2 = (m1+m2 )a
对m1：
m1a = f1 <= m1g1 a <= g1
F - (m1+m2 )g2 <= (m1+m2 )g1
使m2抽出的最小的
F= (m1+m2 )(1+2)g
二、微分方程(组)型
一般F为变力 , 除求a外，还求v,r . 需要积分
【例】 轻绳系球m, v=0 = v0 求: v(), T()
M
以地面为参考系对M列方程
N Mm sin Ma0 ①
以M为参考系对m 列方程 (非)
ma0 cos mg sin mamM
ma 0
NMm
m
y x
a0
② mg M
NmM ma0 sin mg cos 0 ③
amM
(M m)sin M msin2
以最简单的情况来直观地说明科里奥利力的起因
质点沿径向以 v匀速运动
地面参考系
m
r^
取平面极坐标 t=0 时位置为极轴
极点在圆心 v
vr^
r^
a
r
2^r
2v^
o
极轴
例. 水桶以 旋转，水对桶静止 。求水面形状？
z
ω
N
解：任选水面一小质元，在切线
z rθ· θ m
第一定律: 定义了“惯性系”（inertial frame） 定性给出了“力”与“惯性”的概念
惯性系： 牛顿第一定律成立的参考系。 力：改变物体运动状态的原因（并非维持物 体运动状态的原因）。
二、牛顿第二定律
运动的改变（指动量变化）和引起运动所施加的
运动力(指外力)成正比，且发生在所施加的运动力
的方向上
2mv^
转动参考系
质点相对转动参考系匀速运动
F
m
2rr^
2mv^
0
^ v
o
极轴
离心力
与物体速度有 关的科氏力
指向物体运动的右方 一般，用矢量表示 fc
2mv
v
fc
fi
m 2rr^
fc
2mv
科里奥利力的特征
*与相对速度成正比
z0
方向静止，
mg sin mr 2 cos 0
mg O
r tan r 2 为z（r）曲线的斜率
g
mr2
由导数关系知 dz r 2
dr g
mg
积分
z dz r dr r 2
g
z
z0
r
2 2
2g
z0
0
由牛顿第二定律
F
m 2r^r
向对方
F12 F21
作用的 相互性
自学: SI单位和量纲
自学: Δ§2.2 常见的几种力 Δ§2.3 基本的自然力
力的基本类型: 四种
◆万有引力定律：
fG
G
m1m2 r2
引力 质量
r m2
定律对两个质点得出。
m1
由叠加可证： 可用于
球与质点； 两球之间。
r M
m
M1
M2
r
◆实验：地面上同一地点一切自由落体 加速度相同。
(2)为什么潮汐同时在向月和背月侧发生？
自由降落“大升降机”中的引潮力：
引力 不均匀 D
惯性力 均匀
A
C
B
D 引潮力
A
C
B
E
E
加速度
引力和惯性力
引潮力=引力+惯性力
引潮力是被惯性力抵消后的“残余的力”。
地球自转引起的惯性离心力顾及在海水视重中，
只考虑在引力场中地球的平动。
忽略海水相对地球的流动引起的效应。
惯性力： 非惯性系中的附加力 作用：使非惯性系中可用牛顿第二定律。
其大小∝惯性质量 （因而所产生的加速度与质量无关）
性质：既虚拟又真实。 “虚拟”（牛顿力学观点）: 无相互性。 “真实” : 同真实力一样产生加速度。
二战中的小故事：
美Tinosa号潜艇携带16枚鱼雷，在太平洋离 敌舰4000码斜向攻击，发射4枚，使敌舰停航。
第二章 运动与力
§2.1 牛顿运动定律 Δ§2.2 常见的几种力 Δ§2.3 基本的自然力
§2.4 牛顿定律应用举例 §2.5 非惯性系与惯性力 §2.6 科里奥利力 *§2.7 潮汐
Isaac Newton(1642-1727)
§2.1 牛顿运动定律
一、牛顿第一定律——惯性定律
任何物体都保持其静止或沿一条直线做匀速运动状 态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态。
有关惯性离心力的几个问题：
▲ 失重：在绕地球旋转的飞船中观察，引力被 惯性离心力完全抵消,出现失重 飞船中是真正能验证惯性定律的地方
▲ 重力和纬度的关系： 思考 ● 重力是物体所受的
地球的引力吗?
● 重力加速度 g 和地球
纬度 的关系式为：
ω
· r m
F引 PF0O来自P Rg
g0 (1
4、地面系（实验室系）：坐标轴固定在地面 上—赤道处自转向心加速度～3.410-2m/s2
对于描述力学规律来说，所有的惯性参考系都 是等效的。 或者说：相对某惯性系作匀速直线运动的参考 系，其内部发生的力学过程，不受系统整体的 匀速直线运动的影响。
—力学相对性原理，
或伽利略相对性原理。
？
匀速直
§2.5非惯性系和惯性力 一、惯性系与伽利略相对性原理
总能找到特殊的物体群（参考系），在这个 参考系中牛顿第一定律成立。这个参考系称为 惯性系。
牛顿第一、二定律只在惯性系中成立。 在非惯性系中通过引入“惯性力”，牛顿第
一、二定律才形式上成立。
实用的惯性系：
1、FK4系：以1535颗恒星平均静止位形作为 基准—目前最好。 2、太阳系：太阳中心为原点，坐标轴指向恒 星—绕银河中心的向心加速度～1.810-10m/s2 3、地心系：地心为原点，坐标轴指向恒星— 绕太阳的向心加速度～610-3m/s2（g的10－3）